知識(shí)必備13 銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用 -【知識(shí)清單】最新中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)一覽表-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

2、學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想。數(shù)形結(jié)合思想是指從幾何直觀的角度,利用幾何圖形的性質(zhì)研究數(shù)量關(guān)系，尋求代數(shù)問題的解決方法（以形助數(shù)）。
3、要學(xué)會(huì)搶得分點(diǎn)。一道中考數(shù)學(xué)壓軸題解不出來，不等于“一點(diǎn)不懂、一點(diǎn)不會(huì)”，要將整道題目解題思路轉(zhuǎn)化為得分點(diǎn)。
4、學(xué)會(huì)運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)換思想。在研究數(shù)學(xué)問題時(shí)，我們通常是將未知問題轉(zhuǎn)化為已知的問題，將復(fù)雜轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單，將抽象轉(zhuǎn)化為具體，將實(shí)際轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)。
5、學(xué)會(huì)運(yùn)用分類討論的思想。如果不注意對(duì)各種情況分類討論，就有可能造成錯(cuò)解或漏解，縱觀近幾年的中考?jí)狠S題分類討論思想解題已成為新的熱點(diǎn)。
6、轉(zhuǎn)化思想:體現(xiàn)在數(shù)學(xué)上也就是要把難的問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問題，把不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，把未知的問題轉(zhuǎn)化為已知的問題。
知識(shí)必備13 銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用
易錯(cuò)點(diǎn)1. 涉及銳角三角函數(shù)的概念時(shí),是否明確“對(duì)邊”“鄰邊”“斜邊”都是在“直角三角形”中.
一．選擇題（共3小題）
1．（2023?青島三模）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均是1，的頂點(diǎn)均在小正方形的頂點(diǎn)上，則的值為
A．B．C．D．
【分析】過點(diǎn)作，垂足為，用勾股定理得，，再根據(jù)三角函數(shù)定義求出的值．
【解答】解：過點(diǎn)作，垂足為，
在中，根據(jù)勾股定理得，，
，
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形，熟練掌握勾股定理、三角函數(shù)定義的應(yīng)用是解題關(guān)鍵．
2．（2023?泉港區(qū)模擬）已知是銳角的內(nèi)角，，則的值是
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)，進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解答】解：，，
，
，
或（舍去），
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了同角三角函數(shù)的關(guān)系，熟練掌握是解題的關(guān)鍵．
3．（2023?宿城區(qū)校級(jí)模擬）如圖，點(diǎn)、、均在的正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，則
A．B．C．D．
【分析】過點(diǎn)作，垂足為．根據(jù)格點(diǎn)和勾股定理先求出、，利用三角形的面積求出、，最后求出的正切．
【解答】解：如圖，過點(diǎn)作，垂足為．
由格點(diǎn)三角形可知：，
．
，
．
，
．
．
．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形，掌握勾股定理和直角三角形的邊角間關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．
二．填空題（共5小題）
4．（2023?茂南區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在網(wǎng)格中，小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)、、都在格點(diǎn)上，則的正弦值是．
【分析】過點(diǎn)作的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，構(gòu)建直角三角形，利用勾股定理求出斜邊的長(zhǎng)，即可解答．
【解答】解：如圖，過點(diǎn)作的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，
則，，
在中，，
．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形，銳角三角函數(shù)的定義和勾股定理，作出輔助線并利用網(wǎng)格構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．
5．（2023?西城區(qū)校級(jí)模擬）在正方形網(wǎng)格中，的位置如圖所示，則為．
【分析】在中，先利用勾股定理求出的長(zhǎng)，然后利用銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解答】解：如圖：
在中，，，
，
，
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
6．（2023?廣陵區(qū)校級(jí)一模）如圖，在中，，，，則的長(zhǎng)為．
【分析】過點(diǎn)作，垂足為，先在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長(zhǎng)，再在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長(zhǎng)，然后根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)即可解答．
【解答】解：過點(diǎn)作，垂足為，
在中，，，
，
在中，，
，
，
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
7．（2023?鼓樓區(qū)校級(jí)二模）我們給出定義：如果兩個(gè)銳角的和為，那么稱這兩個(gè)角互為半余角．如圖，在中，，互為半余角，且，則．
【分析】要求的值，想到構(gòu)造直角三角形，根據(jù)已知可得的補(bǔ)角為，所以過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，分別在和中利用銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解答】解：過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，
，
設(shè)，，
，互為半余角，
，
，
在中，，
，
，
，
在中，，
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了余角和補(bǔ)角，解直角三角形，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
8．（2023?富錦市校級(jí)一模）等邊中，點(diǎn)在射線上，且，則的值為或．
【分析】分兩種情況討論，并畫出圖形，①當(dāng)在之間，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，求出，，
再根據(jù)，得出，從而求出的值；②當(dāng)在延長(zhǎng)線上時(shí)，過點(diǎn)作于，設(shè)，則，在中用三角函數(shù)表示兩條直角邊，從而求出的值．
【解答】解：如圖①，當(dāng)在之間
在等邊中，
，，
，
，
，
，
，
；
如圖②，當(dāng)在延長(zhǎng)線上時(shí)，過點(diǎn)作于，
在等邊中，
，，
，
設(shè)，則，
，
，
，
，，，
，
故答案為：或．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了銳角三角函數(shù)，等邊三角形的性質(zhì)，掌握等邊三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，分情況討論，作出相應(yīng)的圖形是解題關(guān)鍵．
易錯(cuò)點(diǎn)2. 實(shí)際問題中對(duì)坡角、俯角、仰角與方位角等找不準(zhǔn)無(wú)法準(zhǔn)確理解題意易出錯(cuò).
一．選擇題（共3小題）
1．（2023?石獅市模擬）如圖，線段、分別表示甲、乙建筑物的高，于點(diǎn)，于點(diǎn)，兩座建筑物間的距離為．若甲建筑物的高為，在點(diǎn)處測(cè)得點(diǎn)的仰角為，則乙建筑物的高約為（參考數(shù)據(jù)：，，
A．B．C．D．
【分析】過點(diǎn)作，垂足為，根據(jù)題意可得：，，然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長(zhǎng)，從而利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即可解答．
【解答】解：過點(diǎn)作，垂足為，
由題意得：，，
在中，，
，
，
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
2．（2023?龍崗區(qū)二模）港珠澳大橋是世界上最長(zhǎng)的跨海大橋，被譽(yù)為“現(xiàn)代世界七大奇跡”的超級(jí)工程，它是我國(guó)從橋梁大國(guó)走向橋梁強(qiáng)國(guó)的里程碑之作．港珠澳大橋主橋?yàn)槿罂缍蠕摻Y(jié)構(gòu)斜拉橋，其中九洲航道橋主塔造型取自“風(fēng)帆”，寓意“揚(yáng)帆起航”，某校九年級(jí)學(xué)生為了測(cè)量該主塔的高度，站在處看塔頂，仰角為，然后向后走160米米），到達(dá)處，此時(shí)看塔頂，仰角為，則該主塔的高度是
A．80米B．米C．160米D．米
【分析】過點(diǎn)作，垂足為，先根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得，從而可得米，然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長(zhǎng)，即可解答．
【解答】解：過點(diǎn)作，垂足為，
是的一個(gè)外角，，，
，
，
米，
在中，（米，
該主塔的高度是米，
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
3．（2023?任丘市模擬）如圖，一艘海輪位于燈塔的北偏東方向，距離燈塔2海里的點(diǎn)處，如果海輪沿正南方向航行到燈塔的正東方向，海輪航行的距離的長(zhǎng)是
A．海里B．海里C．海里D．海里
【分析】根據(jù)題意可得：，，，從而可得，然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算，即可解答．
【解答】解：由題意得：，，，
，
在中，海里，
（海里），
海輪航行的距離的長(zhǎng)是海里，
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用方向角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
二．填空題（共4小題）
4．（2023?香洲區(qū)校級(jí)三模）如圖，無(wú)人機(jī)的探測(cè)器顯示，從無(wú)人機(jī)看樹頂?shù)难鼋菫椋礃涞撞康母┙菫?，無(wú)人機(jī)與樹的水平距離為，則樹高為（結(jié)果保留根號(hào)）．
【分析】過點(diǎn)作，垂足為，然后分別在和中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出，的長(zhǎng)，從而利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即可解答．
【解答】解：過點(diǎn)作，垂足為，
在中，，，
，
在中，，
，
，
樹高為，
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
5．（2023?江漢區(qū)校級(jí)模擬）如圖載人飛船從地面處成功發(fā)射，當(dāng)飛船到達(dá)點(diǎn)時(shí)，地面處的雷達(dá)站測(cè)得米，仰角為，3秒后，飛船直線上升到達(dá)點(diǎn)處，此時(shí)地面處的雷達(dá)站測(cè)得處的仰角為．點(diǎn)，，在同一直線上，已知，兩處相距460米，則飛船從到處的平均速度為 335 米秒．（結(jié)果精確到1米；參考數(shù)據(jù)：，
【分析】根據(jù)題意可得：，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)求出和的長(zhǎng)，從而求出的長(zhǎng)，再在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長(zhǎng)，從而求出的長(zhǎng)，最后進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解答】解：由題意得：，
在中，米，，
（米，（米，
米，
米，
在中，，
米，
（米，
飛船從到處的平均速度（米秒），
故答案為：335．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
6．（2023?石峰區(qū)二模）如圖，為了測(cè)量河寬，先在處測(cè)得對(duì)岸點(diǎn)在其北偏東方向，然后沿河岸直行到點(diǎn)，在點(diǎn)測(cè)得對(duì)岸點(diǎn)在其北偏西方向，經(jīng)過計(jì)算河寬是30米，則從點(diǎn)到點(diǎn)的距離為米．（結(jié)果保留根號(hào)）
【分析】根據(jù)題意可得：，然后分別在和中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出和的長(zhǎng)，從而利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即可解答．
【解答】解：由題意得：，
在中，，米，
（米，
在中，，
（米，
米，
從點(diǎn)到點(diǎn)的距離為米，
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用方向角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
7．（2023?肇東市模擬）如圖，輪船在碼頭的正東方向，與碼頭的距離為100海里，輪船向北航行40海里到達(dá)處時(shí)，接到處一艘漁船發(fā)來的求救信號(hào)，于是沿北偏西方向航行到處，解救漁船后輪船沿南偏西返回到碼頭，那么碼頭與的距離為 105 海里．（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：，，．
【分析】過點(diǎn)作，垂足為，過點(diǎn)作，垂足為，根據(jù)垂直定義可得：，再根據(jù)題意可得：，海里，然后設(shè)海里，則海里，在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長(zhǎng)，從而求出的長(zhǎng)，再在中，利用銳角三角函數(shù)的定義列出關(guān)于的方程，進(jìn)行計(jì)算可求出的長(zhǎng)，最后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算，即可解答．
【解答】解：過點(diǎn)作，垂足為，過點(diǎn)作，垂足為，
，
由題意得：，海里，
設(shè)海里，
海里，
在中，，
（海里），
海里，
海里，
海里，
在中，，
，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的根，
（海里），
在中，（海里），
碼頭與的距離約為105海里，
故答案為：105．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用方向角問題，勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
三．解答題（共5小題）
8．（2023?扶余市二模）如圖，利用板子往卡車?yán)镅b貨，板子與地面成，車高米．在裝貨時(shí)，突然板子的處折了，板子的端點(diǎn)落在地面上的處，與地面成．
（1）求的長(zhǎng)度；
（2）求被折斷的板子的長(zhǎng)度．（精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：，，，，，
【分析】（1）根據(jù)題意可得：，然后在△中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長(zhǎng)，即可解答；
（2）在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長(zhǎng)，根據(jù)題意可得：米，然后利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即可解答．
【解答】解：（1）由題意得：，
在△中，，米，
（米，
的長(zhǎng)度約為2.83米；
（2）在中，，米，
（米，
由題意得：米，
（米，
被折斷的板子的長(zhǎng)度約為1.6米．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用坡度坡角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
9．（2023?仁壽縣模擬）為增強(qiáng)體質(zhì)，小明和小強(qiáng)相約周末去登山，小明同學(xué)從北坡山腳處出發(fā)，小強(qiáng)同學(xué)同時(shí)從南坡山腳處出發(fā)，如圖所示．已知小山北坡長(zhǎng)為240米，坡度，南坡的坡腳是．（出發(fā)點(diǎn)和在同一水平高度，將山路、看成線段）
（1）求小山南坡的長(zhǎng)；
（2）如果小明以每分鐘24米的速度攀登，小強(qiáng)若要和小明同時(shí)到達(dá)山頂，求小強(qiáng)攀登的速度．（結(jié)果保留根號(hào)）
【分析】（1）過點(diǎn)作，垂足為，根據(jù)已知可得在中，，從而可得，然后利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)可得米，在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長(zhǎng)，即可解答；
（2）利用（1）的結(jié)論，再根據(jù)路程、速度、時(shí)間之間的關(guān)系，進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解答】解：（1）過點(diǎn)作，垂足為，
山坡的坡度，
，
在中，，
，
米，
（米，
在中，，
（米，
小山南坡的長(zhǎng)為米；
（2）米，
小明到達(dá)山頂需要的時(shí)間（分，
米，
小強(qiáng)攀登的速度（米分），
小強(qiáng)若要和小明同時(shí)到達(dá)山頂，小強(qiáng)攀登的速度為米分．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用坡度坡角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
10．（2023?武陟縣三模）金水區(qū)開展了“安全行車，方便大家”的活動(dòng)，某大型連鎖超市為了購(gòu)物者行車安全，對(duì)地下車庫(kù)進(jìn)行改造．如圖，，測(cè)得米，米，現(xiàn)將斜坡的坡角改為，即（此時(shí)點(diǎn)、、在同一直線上），求斜坡改進(jìn)后的起點(diǎn)與原起點(diǎn)的距離．（參考數(shù)據(jù)：，，，結(jié)果精確到
【分析】根據(jù)垂直定義可得，然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長(zhǎng)，從而利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即可解答．
【解答】解：，
，
在中，，米，
（米，
米，
（米，
斜坡改進(jìn)后的起點(diǎn)與原起點(diǎn)的距離約為6.5米．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用坡度坡角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
11．（2023?許昌二模）如圖所示，一梯子斜靠著墻，梯子與地面夾角為．若梯子底端向右水平移動(dòng)至點(diǎn)，梯子頂端隨之向上移動(dòng)至點(diǎn)，此時(shí)，，求的長(zhǎng)度．（用含的式子表示）
【分析】根據(jù)題意可得：，，則，然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長(zhǎng)，再在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長(zhǎng)，從而利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即可解答．
【解答】解：由題意得：，，
，
，
在中，，
，
在中，，
（米，
，
長(zhǎng)度為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用坡度坡角問題，平移的性質(zhì)，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
12．（2023?東阿縣一模）如圖，某巡邏艇在海上例行巡邏，上午10時(shí)在處接到海上搜救中心從處發(fā)來的救援任務(wù)，此時(shí)事故船位于處的南偏東方向上的處，巡邏艇位于處的南偏西方向上1260米處，事故船位于巡邏艇的北偏東方向上，巡邏艇立刻前往處救援，已知巡邏艇每分鐘行駛120米，請(qǐng)估計(jì)幾分鐘可以到達(dá)事故船處．（結(jié)果保留整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：，，，．
【分析】過點(diǎn)作，垂足為，由題意得：米，，，然后設(shè)米，分別在和中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出和的長(zhǎng)，從而根據(jù)，列出關(guān)于的方程，進(jìn)行計(jì)算可求出的長(zhǎng)，進(jìn)而求出的長(zhǎng)，最后根據(jù)時(shí)間路程速度，進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解答】解：過點(diǎn)作，垂足為，
由題意得：
米，，，
設(shè)米，
在中，（米，
在中，（米，
，
，
解得：，
米，
在中，，
（米，
（分鐘），
估計(jì)8分鐘可以到達(dá)事故船處．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用方向角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
一．解直角三角形（共7小題）
1．（2023?陜西）如圖，在的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1．若點(diǎn)，，都在格點(diǎn)上，則的值為
A．B．C．D．
【分析】連接，得到，由勾股定理求出，，即可求出．
【解答】解：連接，則，
，，
，
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形，勾股定理，關(guān)鍵是由勾股定理求出，的長(zhǎng)．
2．（2023?常州）如圖，在中，，點(diǎn)在邊上，連接．若，，則．
【分析】設(shè)，根據(jù)已知表示出，，即可得．
【解答】解：設(shè)，
，，
，
，，
，
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是用放的式子表示相關(guān)線段的長(zhǎng)度．
3．（2023?攀枝花）中，、、的對(duì)邊分別為、、．已知，，，則的值為
A．B．C．D．
【分析】先利用勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀，再利用三角形的邊角間關(guān)系得結(jié)論．
【解答】解：在中，
，，，，．
．
是直角三角形．
．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了解直角三角形，掌握直角三角形的邊角間關(guān)系、勾股定理及逆定理是解決本題的關(guān)鍵．
4．（2023?武漢）如圖，將的按下面的方式放置在一把刻度尺上，頂點(diǎn)與尺下沿的端點(diǎn)重合，與尺下沿重合，與尺上沿的交點(diǎn)在尺上的讀數(shù)為，若按相同的方式將的放置在該刻度尺上，則與尺上沿的交點(diǎn)在尺上的讀數(shù)是 2.7 （結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)，，．
【分析】過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，再通過解直角三角形可求得的長(zhǎng)，進(jìn)而可求解．
【解答】解：如圖，過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于，
在中，，，
，
在中，，，
，
，
即與尺上沿的交點(diǎn)在尺上的讀數(shù)是．
故答案為：2.7．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．
5．（2023?牡丹江）如圖，將的按下面的方式放置在一把刻度尺上；頂點(diǎn)與尺下沿的端點(diǎn)重合，與尺下沿重合，與尺上沿的交點(diǎn)在尺上的讀數(shù)恰為，若按相同的方式將的放置在該刻度尺上，則與尺上沿的交點(diǎn)在尺上的讀數(shù)為．
【分析】由等腰直角三角形的性質(zhì)得到，由平行線的性質(zhì)推出，即可求出長(zhǎng)，得到與尺上沿的交點(diǎn)在尺上的讀數(shù)．
【解答】解：，，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
．
與尺上沿的交點(diǎn)在尺上的讀數(shù)為．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是由平行線的性質(zhì)，推出，即可解決問題
6．（2023?丹東）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，已知點(diǎn)，，點(diǎn)在軸負(fù)半軸上，連接，，若，以為邊作等邊三角形，則點(diǎn)的坐標(biāo)為；點(diǎn)的坐標(biāo)為．
【分析】過點(diǎn)作于，先求處，再設(shè)，由得，進(jìn)而得，由三角形的面積公式得，即，則，然后在中由勾股定理得，由此解出，（不合題意，舍去），此時(shí)，故此可得點(diǎn)的坐標(biāo)；設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由兩點(diǎn)間的距離公式得：，，，由為等邊三角形得，整理：，②①整理得，將代入①整理得，解得，進(jìn)而再求出即可得點(diǎn)的坐標(biāo)．
【解答】解：過點(diǎn)作于，如圖：
點(diǎn)，，
由兩點(diǎn)間的距離公式得：，
設(shè)，
，
在中，，
，
，
由勾股定理得：，
，，，
，
即：，
，
在中，由勾股定理得：，
即，
整理得：，
解得：，（不合題意，舍去），
，此時(shí)，
點(diǎn)的坐標(biāo)為，
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
由兩點(diǎn)間的距離公式得：，，，
為等邊三角形，
，
，
整理得：，
②①得：，
，
將代入①得：，
整理得：，
解得：，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
點(diǎn)的坐標(biāo)為或．
故答案為：；或．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了點(diǎn)的坐標(biāo)，銳角三角函數(shù)，等邊三角形的性質(zhì)，三角形的面積公式，理解題意，熟練掌握正切函數(shù)的定義，靈活運(yùn)用勾股定理及兩點(diǎn)間的距離公式構(gòu)造方程組是解答此題的關(guān)鍵
7．（2023?廣元）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，且點(diǎn)在點(diǎn)右方，連接，，若，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，．
【分析】設(shè)，結(jié)合，兩點(diǎn)的坐標(biāo)利用兩點(diǎn)間的距離可得，，，，通過解直角三角形可得，過點(diǎn)作軸交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，利用平行線的性質(zhì)可得，，列比例式再代入計(jì)算可求解值，進(jìn)而可求解．
【解答】解：設(shè)，
，
點(diǎn)，點(diǎn)，
，，，，
在中，，，
，
過點(diǎn)作軸交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，
，，
，，
，，
，
，
解得（舍去）或，
，，
故答案為：，．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，兩點(diǎn)間的距離等知識(shí)的綜合運(yùn)用，作適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
二．解直角三角形的應(yīng)用（共16小題）
8．（2023?內(nèi)蒙古）如圖源于我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖，它是由四個(gè)全等直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形．若小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，直角三角形中較小的銳角為，則的值為
A．B．C．D．
【分析】首先根據(jù)兩個(gè)正方形的面積分別求出兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)，然后結(jié)合題意進(jìn)一步設(shè)直角三角形較短的直角邊為，則較長(zhǎng)的直角邊為，再利用勾股定理得到關(guān)于的方程，解方程可求出直角三角形的兩個(gè)個(gè)直角邊的邊長(zhǎng)，最后根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義可求出的值．
【解答】解：小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，
小正方形的邊長(zhǎng)為 1，大正方形的邊長(zhǎng)為5，
設(shè)直角三角形中較短的直角邊為，則較長(zhǎng)的直角邊是，其中，
由勾股定理得：，
整理得：
解得：，（不合題意，舍去）．
，
．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了銳角三角函數(shù)，勾股定理等，解答此題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確識(shí)圖，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義，難點(diǎn)是設(shè)置適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)，利用勾股定理構(gòu)造方程求出三角形的邊．
9．（2023?南充）如圖，小兵同學(xué)從處出發(fā)向正東方向走米到達(dá)處，再向正北方向走到處，已知，則，兩處相距
A．米B．米C．米D．米
【分析】根據(jù)題意可得：，然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長(zhǎng)，即可解答．
【解答】解：由題意得：，
在中，，米，
（米，
，兩處相距米，
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
10．（2023?達(dá)州）蓮花湖濕地公園是當(dāng)?shù)厝嗣裣矏鄣男蓍e景區(qū)之一，里面的秋千深受孩子們喜愛．如圖所示，秋千鏈子的長(zhǎng)度為，當(dāng)擺角恰為時(shí)，座板離地面的高度為，當(dāng)擺動(dòng)至最高位置時(shí)，擺角為，求座板距地面的最大高度為多少？（結(jié)果精確到；參考數(shù)據(jù)：，，，，，
【分析】過作于，過作于，在中，求出，可得，在中，得，故，從而可知座板距地面的最大高度為．
【解答】解：過作于，過作于，如圖：
在中，
，
，
四邊形是矩形，
，
，
在中，
，
，
座板距地面的最大高度為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．
11．（2023?湘潭）問題情境：筒車是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，既經(jīng)濟(jì)又環(huán)保．明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理（如圖①．假定在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個(gè)盛水筒都按逆時(shí)針做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，每旋轉(zhuǎn)一周用時(shí)120秒．
問題設(shè)置：把筒車抽象為一個(gè)半徑為的．如圖②，始終垂直于水平面，設(shè)筒車半徑為2米．當(dāng)時(shí)，某盛水筒恰好位于水面處，此時(shí)，經(jīng)過95秒后該盛水筒運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)處．
問題解決：
（1）求該盛水筒從處逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到處時(shí)，的度數(shù)；
（2）求該盛水筒旋轉(zhuǎn)至處時(shí)，它到水面的距離．（結(jié)果精確到0.1米）（參考數(shù)據(jù)，
【分析】（1）求出筒車每秒轉(zhuǎn)過的度數(shù)，再根據(jù)周角的定義進(jìn)行計(jì)算即可；
（2）根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系分別求出、即可．
【解答】解：（1）由于筒車每旋轉(zhuǎn)一周用時(shí)120秒．所以每秒轉(zhuǎn)過，
；
（2）如圖，過點(diǎn)、點(diǎn)分別作的垂線，垂足分別為點(diǎn)、，
在中，，米，
（米．
在中，，米，
（米，
（米，
即該盛水筒旋轉(zhuǎn)至處時(shí)到水面的距離約為0.3米．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形的邊角關(guān)系是正確解答的前提．
12．（2023?成都）為建設(shè)美好公園社區(qū)，增強(qiáng)民眾生活幸福感，某社區(qū)服務(wù)中心在文化活動(dòng)室墻外安裝遮陽(yáng)篷，便于社區(qū)居民休憩．
如圖，在側(cè)面示意圖中，遮陽(yáng)篷長(zhǎng)為5米，與水平面的夾角為，且靠墻端離地高為4米，當(dāng)太陽(yáng)光線與地面的夾角為時(shí)，求陰影的長(zhǎng)．（結(jié)果精確到0.1米；參考數(shù)據(jù)：，，
【分析】過作于，于，在中，（米，（米，可得米，（米，而，知米，故米．
【解答】解：過作于，于，如圖：
在中，
（米，（米，
，
四邊形是矩形，
米，（米，
在中，
，
米，
（米，
陰影的長(zhǎng)約為2.2米．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握銳角三角函數(shù)的定義，求出相關(guān)線段的長(zhǎng)度．
13．（2023?呼和浩特）如圖所示，小明上學(xué)途中要經(jīng)過，兩地，由于，兩地之間有一片草坪，所以需要走路線，．小明想知道，兩地間的距離，測(cè)得，，，請(qǐng)幫小明求出兩地間距離的長(zhǎng)．（結(jié)果用含非特殊角的三角函數(shù)和根式表示即可）
【分析】過作于，求出，，在中可得，即克知兩地間距離的長(zhǎng)為．
【解答】解：過作于，如圖：
在中，，，
，，
在中，，，
，
；
兩地間距離的長(zhǎng)為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握銳角三角函數(shù)的定義．
14．（2023?河南）綜合實(shí)踐活動(dòng)中，某小組用木板自制了一個(gè)測(cè)高儀測(cè)量樹高，測(cè)高儀為正方形，，頂點(diǎn)處掛了一個(gè)鉛錘．如圖是測(cè)量樹高的示意圖，測(cè)高儀上的點(diǎn)，與樹頂在一條直線上，鉛垂線交于點(diǎn)．經(jīng)測(cè)量，點(diǎn)距地面，到樹的距離，．求樹的高度（結(jié)果精確到．
【分析】由題意可知，，，易知，可得，進(jìn)而求得，利用即可求解．
【解答】解：由題意可知，，，
則，
，
，，
則，
，
，
則，
，
．
答：樹的高度約為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，得到是解決問題的關(guān)鍵．
15．（2023?紹興）圖1是某款籃球架，圖2是其示意圖，立柱垂直地面，支架與交于點(diǎn)，支架交于點(diǎn)，支架平行地面，籃筐與支架在同一直線上，米，米．．
（1）求的度數(shù)；
（2）某運(yùn)動(dòng)員準(zhǔn)備給籃筐掛上籃網(wǎng)，如果他站在凳子上，最高可以把籃網(wǎng)掛到離地面3米處，那么他能掛上籃網(wǎng)嗎？請(qǐng)通過計(jì)算說明理由．（參考數(shù)據(jù)：，，
【分析】（1）根據(jù)垂直定義可得，然后利用直角三角形的兩個(gè)銳角互余進(jìn)行計(jì)算，即可解答；
（2）延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，根據(jù)垂直定義可得，從而利用平行線的性質(zhì)可得，再根據(jù)對(duì)頂角相等可得，從而利用直角三角形的兩個(gè)銳角互余可得，然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長(zhǎng)，從而利用線段的和差關(guān)系求出的長(zhǎng)，比較即可解答．
【解答】解：（1），
，
，
，
的度數(shù)為；
（2）該運(yùn)動(dòng)員能掛上籃網(wǎng)，
理由如下：延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，
，
，
，
，
，
，
，
在中，米，
（米，
（米，
米米，
該運(yùn)動(dòng)員能掛上籃網(wǎng)．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
16．（2023?貴州）貴州旅游資源豐富．某景區(qū)為給游客提供更好的游覽體驗(yàn)，擬在如圖①景區(qū)內(nèi)修建觀光索道．設(shè)計(jì)示意圖如圖②所示，以山腳為起點(diǎn)，沿途修建、兩段長(zhǎng)度相等的觀光索道，最終到達(dá)山頂處，中途設(shè)計(jì)了一段與平行的觀光平臺(tái)為．索道與的夾角為，與水平線夾角為，、兩處的水平距離為，，垂足為點(diǎn)．（圖中所有點(diǎn)都在同一平面內(nèi)，點(diǎn)、、在同一水平線上）
（1）求索道的長(zhǎng)（結(jié)果精確到；
（2）求水平距離的長(zhǎng)（結(jié)果精確到．
（參考數(shù)據(jù)：，，，
【分析】（1）通過解可求得的長(zhǎng)；
（2）延長(zhǎng)交于，證明四邊形是矩形，可得，，再解可求解的長(zhǎng)，進(jìn)而可求解．
【解答】解：（1）在中，，，，
，
即的長(zhǎng)約為；
（2）延長(zhǎng)交于，
，
，
，
，
四邊形為矩形，
，，
，，
，
，
即的長(zhǎng)為．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用，掌握三角函數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵．
17．（2023?大連）圖1是小明家在利用車載云梯搬運(yùn)裝修垃圾，將其抽象成如圖2所示的示意圖．已知，，垂足分別為，，，測(cè)得，，．求云梯頂端到地面的距離的長(zhǎng)．（結(jié)果取整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：，，
【分析】延長(zhǎng)交于，解直角三角形求出，根據(jù)矩形的性質(zhì)求出的長(zhǎng)，然后求和即可．
【解答】解：延長(zhǎng)交于，
，，，
四邊形是矩形，
，
，
，
即云梯頂端到地面的距離的長(zhǎng)大約11米．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解直角三角形的知識(shí)，熟練掌握三角函數(shù)的知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
18．（2023?蘇州）四邊形不具有穩(wěn)定性，工程上可利用這一性質(zhì)解決問題．如圖是某籃球架的側(cè)面示意圖，，，為長(zhǎng)度固定的支架，支架在，，處與立柱連接垂直于，垂足為，在，處與籃板連接所在直線垂直于，是可以調(diào)節(jié)長(zhǎng)度的伸縮臂（旋轉(zhuǎn)點(diǎn)處的螺栓改變的長(zhǎng)度，使得支架繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，從而改變四邊形的形狀，以此調(diào)節(jié)籃板的高度）．已知，，測(cè)得時(shí)，點(diǎn)離地面的高度為．調(diào)節(jié)伸縮臂，將由調(diào)節(jié)為，判斷點(diǎn)離地面的高度升高還是降低了？升高（或降低）了多少？（參考數(shù)據(jù)：，
【分析】當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，根據(jù)已知易得，從而可得四邊形是平行四邊形，進(jìn)而可得，然后利用平行線的性質(zhì)可得，再根據(jù)已知可得，最后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長(zhǎng)；當(dāng)，過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長(zhǎng)，然后進(jìn)行計(jì)算，即可解答．
【解答】解：點(diǎn)離地面的高度升高了，
理由：如圖，當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，
，，
，
，
四邊形是平行四邊形，
，
，
點(diǎn)離地面的高度為，，
，
在中，，
如圖，當(dāng)，過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，
在中，，
，
，
點(diǎn)離地面的高度升高約．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，三角形的穩(wěn)定性，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
19．（2023?鞍山）某商店窗前計(jì)劃安裝如圖1所示的遮陽(yáng)棚，其截面圖如圖2所示，在截面圖中，墻面垂直于地面，遮陽(yáng)棚與墻面連接處點(diǎn)距地面高，即，遮陽(yáng)棚與窗戶所在墻面垂直，即，假設(shè)此地正午時(shí)太陽(yáng)光與地面的夾角恰為（若經(jīng)過點(diǎn)的光線恰好照射在地面點(diǎn)處，則，為使正午時(shí)窗前地面上能有寬的陰影區(qū)域，即，求遮陽(yáng)棚的寬度．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：
【分析】過點(diǎn)作，垂足為，根據(jù)垂直定義可得，從而可得四邊形是矩形，然后利用矩形的性質(zhì)可得，，，從而可得，再在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長(zhǎng)，從而利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即可解答．
【解答】解：過點(diǎn)作，垂足為，
，
，
四邊形是矩形，
，，，
，
在中，，
，
遮陽(yáng)棚的寬度約為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
20．（2023?錦州）如圖1，是某校教學(xué)樓正廳一角處擺放的“教學(xué)樓平面示意圖”展板，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組想要測(cè)量此展板的最高點(diǎn)到地面的高度．他們繪制了圖2所示的展板側(cè)面的截面圖，并測(cè)得，，，，底座四邊形為矩形，．請(qǐng)幫助該數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組求出展板最高點(diǎn)到地面的距離．（結(jié)果精確到．參考數(shù)據(jù)：，
【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，分別解作出的直角三角形即可解答．
【解答】解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)
四邊形，四邊形均為矩形，
，，，
，
，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
，
，
答：展板最高點(diǎn)到地面的距離為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，正確作出輔助線構(gòu)造出直角三角形，熟練通過解直角三角形求相應(yīng)未知量是解題的關(guān)鍵．
21．（2023?威海）如圖，某育苗基地為了能夠最大限度地遮擋夏季炎熱的陽(yáng)光和充分利用冬天的光照，計(jì)劃在苗圃正上方搭建一個(gè)平行于地面的遮陽(yáng)篷．已知苗圃的（南北）寬米，該地區(qū)一年中正午時(shí)刻太陽(yáng)光與地平面的最大夾角是，最小夾角是．求遮陽(yáng)蓬的寬和到地面的距離．
參考數(shù)據(jù)：，，，，，．
【分析】通過作高構(gòu)造直角三角形，利用直角三角形的邊角關(guān)系求出，再由直角三角形的邊角關(guān)系求出即可．
【解答】解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，
設(shè)，則，
在中，
，
，
同理，
，
，
解得，
即遮陽(yáng)蓬到地面的高度約為，
，，
，
，
即遮陽(yáng)蓬的寬約為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形的邊角關(guān)系是正確解答的前提．
22．（2023?蘭州）如圖1是我國(guó)第一個(gè)以“龍”為主題的主題公園——“蘭州龍?jiān)础保疤m州龍?jiān)础钡摹褒垺弊种黝}雕塑以紫銅鑄造，如巨龍騰空，氣勢(shì)如虹，屹立在黃河北岸．某數(shù)學(xué)興趣小組開展了測(cè)量“龍”字雕塑高度的實(shí)踐活動(dòng)，具體過程如下．如圖2，“龍”字雕塑位于垂直地面的基座上，在平行于水平地面的處測(cè)得，，，求“龍”字雕塑的高度．，，三點(diǎn)共線，，結(jié)果精確到（參考數(shù)據(jù)：，，，，，
【分析】先在中由，得，再在中由，得，然后由即可得出答案．
【解答】解：在中，，，
，
，
在中，，，
，
，
．
答：“龍”字雕塑的高度約為．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了解直角三角形，解答此題的關(guān)鍵是理解題意，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義．
23．（2023?常德）今年“五一”長(zhǎng)假期間，小陳、小余同學(xué)和家長(zhǎng)去沙灘公園游玩，坐在如圖的椅子上休息時(shí)，小陳感覺很舒服，激發(fā)了她對(duì)這把椅子的好奇心，就想出個(gè)問題考考同學(xué)小余，小陳同學(xué)先測(cè)量，根據(jù)測(cè)量結(jié)果畫出了圖1的示意圖（圖．在圖2中，已知四邊形是平行四邊形，座板與地面平行，是等腰三角形且，，靠背，支架，扶手的一部分．這時(shí)她問小余同學(xué)，你能算出靠背頂端點(diǎn)距地面的高度是多少嗎？請(qǐng)你幫小余同學(xué)算出結(jié)果（最后結(jié)果保留一位小數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)：，，
【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，過作于點(diǎn)，求出、的值解答即可
【解答】解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，
四邊形是平行四邊形，，
，，
過點(diǎn)作于點(diǎn)，
由題意知，，
則，又，
，
過作于點(diǎn)，
，，
，
，
靠背頂端點(diǎn)距地面高度為
．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形，掌握平行四邊形是解題的關(guān)鍵．
三．解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題（共4小題）
24．（2023?威海）如圖，某商場(chǎng)有一自動(dòng)扶梯，其傾斜角為，高為7米．用計(jì)算器求的長(zhǎng)，下列按鍵順序正確的是
A．
B．
C．
D．
【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義得出，進(jìn)而確定按鍵順序．
【解答】解：在中，，米，
，
，
因此按鍵順序?yàn)椋?br>故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形的邊角關(guān)系是正確解答的前提．
25．（2023?深圳）爬坡時(shí)坡面與水平面夾角為，則每爬耗能，若某人爬了，該坡角為，則他耗能（參考數(shù)據(jù)：，
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)題意可得：他耗能，進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解答】解：由題意得：
某人爬了，該坡角為，則他耗能，
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用坡度坡角問題，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
26．（2023?濟(jì)南）圖1是某越野車的側(cè)面示意圖，折線段表示車后蓋，已知，，，該車的高度．如圖2，打開后備箱，車后蓋落在處，與水平面的夾角．
（1）求打開后備箱后，車后蓋最高點(diǎn)到地面的距離；
（2）若小琳爸爸的身高為，他從打開的車后蓋處經(jīng)過，有沒有碰頭的危險(xiǎn)？請(qǐng)說明理由．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，，
【分析】（1）作，垂足為點(diǎn)，先求出的長(zhǎng)，再求出的長(zhǎng)即可；
（2）過作，垂足為點(diǎn)，先求得，再得到，再求得，從而得出到地面的距離為，最后比較即可．
【解答】解：（1）如圖，作，垂足為點(diǎn)，
在△中，
，，
，
，
平行線間的距離處處相等，
，
答：車后蓋最高點(diǎn)到地面的距離為．
（2）沒有危險(xiǎn)，理由如下：
如圖，過作，垂足為點(diǎn)，
，，
，
，
，
在△中，，
．
平行線間的距離處處相等，
到地面的距離為．
，
沒有危險(xiǎn)．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形的邊角關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
27．（2023?寧夏）如圖，糧庫(kù)用傳送帶傳送糧袋，大轉(zhuǎn)動(dòng)輪的半徑為，傳送帶與水平面成角．假設(shè)傳送帶與轉(zhuǎn)動(dòng)輪之間無(wú)滑動(dòng)，當(dāng)大轉(zhuǎn)動(dòng)輪轉(zhuǎn)時(shí)，傳送帶上點(diǎn)處的糧袋上升的高度是多少？（傳送帶厚度忽略不計(jì)）
【分析】設(shè)傳送帶上點(diǎn)處的糧袋上升到點(diǎn)，構(gòu)建，則，由弧長(zhǎng)公式求出的長(zhǎng)，再由含角的直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．
【解答】解：如圖，設(shè)傳送帶上點(diǎn)處的糧袋上升到點(diǎn)，構(gòu)建，
則，
由弧長(zhǎng)公式得：，
，
，
在中，，，
，
答：傳送帶上點(diǎn)處的糧袋上升的高度是．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用—坡度坡角問題，弧長(zhǎng)公式以及含角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．
四．解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題（共20小題）
28．（2023?湖北）綜合實(shí)踐課上，航模小組用航拍無(wú)人機(jī)進(jìn)行測(cè)高實(shí)踐．如圖，無(wú)人機(jī)從地面的中點(diǎn)處豎直上升30米到達(dá)處，測(cè)得博雅樓頂部的俯角為，尚美樓頂部的俯角為，已知博雅樓高度為15米，則尚美樓高度為米．（結(jié)果保留根號(hào)）
【分析】過點(diǎn)作過點(diǎn)的水平線于，過點(diǎn)作過點(diǎn)的水平線于，先求出的長(zhǎng)，在中求出的長(zhǎng)，然后求出的長(zhǎng)，在中求出的長(zhǎng)，即可求出的長(zhǎng)．
【解答】解：如圖，過點(diǎn)作過點(diǎn)的水平線于，過點(diǎn)作過點(diǎn)的水平線于，
由題意可知米，
又米，
米，
在中，，
米，
又是的中點(diǎn)，
米，
在中，，
，米，
，
米，
米．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用—仰角俯角問題，深入理解題意，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題是解決問題的關(guān)鍵．
29．（2023?岳陽(yáng)）2023年岳陽(yáng)舉辦以“躍馬江湖”為主題的馬拉松賽事．如圖，某校數(shù)學(xué)興趣小組在處用儀器測(cè)得賽場(chǎng)一宣傳氣球頂部處的仰角為，儀器與氣球的水平距離為20米，且距地面高度為1.5米，則氣球頂部離地面的高度是 9.5 米（結(jié)果精確到0.1米，，，．
【分析】由題意得，四邊形是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，，解直角三角形即可得到結(jié)論．
【解答】解：由題意得，四邊形是矩形，
，，
在中，
，，
，
，
答：氣球頂部離地面的高度是．
故答案為：9.5．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題，矩形的性質(zhì)，正確地理解仰角的定義是解題的關(guān)鍵．
30．（2023?寧波）某綜合實(shí)踐研究小組為了測(cè)量觀察目標(biāo)時(shí)的仰角和俯角，利用量角器和鉛錘自制了一個(gè)簡(jiǎn)易測(cè)角儀，如圖1所示．
（1）如圖2，在點(diǎn)觀察所測(cè)物體最高點(diǎn)，當(dāng)量角器零刻度線上，兩點(diǎn)均在視線上時(shí)，測(cè)得視線與鉛垂線所夾的銳角為，設(shè)仰角為，請(qǐng)直接用含的代數(shù)式表示．
（2）如圖3，為了測(cè)量廣場(chǎng)上空氣球離地面的高度，該小組利用自制簡(jiǎn)易測(cè)角儀在點(diǎn)，分別測(cè)得氣球的仰角為，為，地面上點(diǎn)，，在同一水平直線上，，求氣球離地面的高度．（參考數(shù)據(jù)：，，
【分析】（1）由已知直接可得答案；
（2）設(shè)，可得，，而，有，即可解得答案．
【解答】解：（1）根據(jù)題意得：；
（2）設(shè)，
，，
，
，
，
在中，，
，即，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)，是分式方程的解，
，
答：氣球離地面的高度是．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形仰角俯角問題，解題的關(guān)鍵是掌握銳角三角函數(shù)的定義．
31．（2023?新疆）烽燧即烽火臺(tái)，是古代軍情報(bào)警的一種措施，史冊(cè)記載，夜間舉火稱“烽”，白天放煙稱“燧”．克孜爾尕哈烽燧是古絲綢之路北道上新疆境內(nèi)時(shí)代最早、保存最完好、規(guī)模最大的古代烽燧（如圖．某數(shù)學(xué)興趣小組利用無(wú)人機(jī)測(cè)量該烽燧的高度，如圖2，無(wú)人機(jī)飛至距地面高度31.5米的處，測(cè)得烽燧的頂部處的俯角為，測(cè)得烽燧的底部處的俯角為，試根據(jù)提供的數(shù)據(jù)計(jì)算烽燧的高度．
（參考數(shù)據(jù)：，，，，，
【分析】過點(diǎn)作于交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則米，在中可求出，在中可求出，再利用即可得到答案．
【解答】解：如圖，過點(diǎn)作于交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則米，
在中，米，，，，
（米，
在中，，，
（米，
（米，
答：烽燧的高度約為13.5米．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角，構(gòu)造直角三角形，合理利用三角函數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
32．（2023?長(zhǎng)沙）2023年5月30日9點(diǎn)31分，“神舟十六號(hào)”載人飛船在中國(guó)酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心點(diǎn)火發(fā)射，成功把景海鵬、桂海潮、朱楊柱三名航天員送入到中國(guó)空間站．如圖，在發(fā)射的過程中，飛船從地面處發(fā)射，當(dāng)飛船到達(dá)點(diǎn)時(shí)，從位于地面處的雷達(dá)站測(cè)得的距離是，仰角為；后飛船到達(dá)處，此時(shí)測(cè)得仰角為．
（1）求點(diǎn)離地面的高度；
（2）求飛船從處到處的平均速度．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：
【分析】（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）在中，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到，在中，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到，于是得到結(jié)論．
【解答】解：（1）在中，，，，
，
（2）在中，，，，
，
在中，，，
，
，
，
飛船從處到處的平均速度．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形仰角俯角問題，正確地求得結(jié)果是解題的關(guān)鍵．
33．（2023?菏澤）無(wú)人機(jī)在實(shí)際生活中的應(yīng)用越來越廣泛．如圖所示，某人利用無(wú)人機(jī)測(cè)量大樓的高度，無(wú)人機(jī)在空中點(diǎn)處，測(cè)得點(diǎn)距地面上點(diǎn)80米，點(diǎn)處的俯角為，樓頂點(diǎn)處的俯角為，已知點(diǎn)與大樓的距離為70米（點(diǎn)，，，在同一平面內(nèi)），求大樓的高度（結(jié)果保留根號(hào)）．
【分析】過作于，過作于，而，則四邊形是矩形，先解，求出，，得到的長(zhǎng)度，再解，得到的長(zhǎng)
即可解決問題．
【解答】解：如圖所示：
過作于，過作于，而，
則四邊形是矩形，
，，
由題意可得：，，，，
，，
，
，
，
大樓的高度為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是矩形的判定與性質(zhì)，解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，理解仰角與俯角的含義是解本題的關(guān)鍵．
34．（2023?德州）如圖，某校綜合實(shí)踐小組在兩棟樓之間的水平地面處放置一個(gè)測(cè)角儀，經(jīng)測(cè)量，，，已知米，米．求兩棟樓樓頂，之間的距離（參考數(shù)據(jù)：，，，測(cè)角儀的高度忽略不計(jì)）．
【分析】過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，根據(jù)正切的定義求出，然后利用勾股定理計(jì)算即可．
【解答】解：如圖，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)．
在中，，
是等腰直角三角形，
米，
在中，，
，
，
米．
由題意，得米，米，
（米，
在中，（米．
，之間的距離為100米．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題，掌握仰角俯角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
35．（2023?襄陽(yáng)）在襄陽(yáng)市諸葛亮廣場(chǎng)上矗立著一尊諸葛亮銅像．某校數(shù)學(xué)興趣小組利用熱氣球開展綜合實(shí)踐活動(dòng)，測(cè)量諸葛亮銅像的高度．如圖，在點(diǎn)處，探測(cè)器顯示，熱氣球到銅像底座底部所在水平面的距離為，從熱氣球看銅像頂部的俯角為，看銅像底部的俯角為．已知底座的高度為，求銅像的高度．（結(jié)果保留整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：，，，．
【分析】根據(jù)題意，找準(zhǔn)直角三角形及三角函數(shù)即可．
【解答】解：矩形中有，，
，
，
，即，
，
，
，
．
答：銅像的高度為．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角函數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵是找準(zhǔn)三角函數(shù)．
36．（2023?張家界）“游張家界山水，逛七十二奇樓”成為今年旅游新特色．某數(shù)學(xué)興趣小組用無(wú)人機(jī)測(cè)量奇樓的高度，測(cè)量方案如圖：先將無(wú)人機(jī)垂直上升至距水平地面的點(diǎn)，測(cè)得奇樓頂端的俯角為，再將無(wú)人機(jī)沿水平方向飛行到達(dá)點(diǎn)，測(cè)得奇樓底端的俯角為，求奇樓的高度．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，
【分析】延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于，則，根據(jù)題意得到，，解直角三角形即可得到結(jié)論．
【解答】解：延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于，
則，
由題意得，，，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
答：奇樓的高度約為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
37．（2023?陜西）小華想利用所學(xué)知識(shí)測(cè)量自家對(duì)面的兩棟樓與的高度差．如圖所示，她站在自家陽(yáng)臺(tái)上發(fā)現(xiàn)，在陽(yáng)臺(tái)的點(diǎn)處恰好可經(jīng)過樓的頂端看到樓的底端，即點(diǎn)，，在同一直線上．此時(shí)，測(cè)得點(diǎn)的俯角，點(diǎn)的仰角，并測(cè)得，．已知，，，，點(diǎn)，，在同一水平直線上．求樓與的高度差．（參考數(shù)據(jù)：，，，，，
【分析】過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于，根據(jù)正切的定義分別求出、、，計(jì)算即可．
【解答】解：如圖，過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于，
，，，
得矩形，矩形，
，，
在中，，，
則，
，
在中，，，
則，
，
，
在中，，，
則，
，
，
答：樓與的高度差約為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題，掌握正切的定義是解題的關(guān)鍵．
38．（2023?青島）太陽(yáng)能路燈的使用，既方便了人們夜間出行，又有利于節(jié)能減排．某校組織學(xué)生進(jìn)行綜合實(shí)踐活動(dòng)——測(cè)量太陽(yáng)能路燈電池板的寬度．如圖，太陽(yáng)能電池板寬為，點(diǎn)是的中點(diǎn)，是燈桿．地面上三點(diǎn)，與在一條直線上，，．該校學(xué)生在處測(cè)得電池板邊緣點(diǎn)的仰角為，在處測(cè)得電池板邊緣點(diǎn)的仰角為．此時(shí)點(diǎn)、與在一條直線上．求太陽(yáng)能電池板寬的長(zhǎng)度．（結(jié)果精確到．參考數(shù)據(jù)：，，，
【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，先證和均為等腰直角三角形，四邊形為矩形，為等腰直角三角形，設(shè)，則，，，然后在中，利用得，由此解出，再利用勾股定理求出即可得的長(zhǎng)．
【解答】解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖，
依題意得：，，，
又
和均為等腰直角三角形，
，，
，，
，
，，，
四邊形為矩形，
，，，
，
為等腰直角三角形，
，
設(shè)，則，
，
，
在中，，
即：，
，
解得：，
檢驗(yàn)后知道是原方程得根．
，
在等腰中，由勾股定理得：，
點(diǎn)為的中點(diǎn)，
，
答：太陽(yáng)能電池板寬的長(zhǎng)度約為．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了解直角三角形，理解題意，正確的作出輔助線構(gòu)造直角三角形的，靈活運(yùn)用銳角三角函數(shù)及勾股定理進(jìn)行計(jì)算是解答此題的關(guān)鍵．
39．（2023?內(nèi)蒙古）某數(shù)學(xué)興趣小組借助無(wú)人機(jī)測(cè)量一條河流的寬度．如圖所示，一架水平飛行的無(wú)人機(jī)在處測(cè)得河流左岸處的俯角為，無(wú)人機(jī)沿水平線方向繼續(xù)飛行12米至處，測(cè)得河流右岸處的俯角為，線段米為無(wú)人機(jī)距地面的鉛直高度，點(diǎn)，，在同一條直線上，其中．求河流的寬度（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：．
【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，分別解、即可．
【解答】解：過點(diǎn)作于點(diǎn)．則四邊形是矩形．
，米，
，
．
在中，，
，
，
米，
在中，，，
，
，
（米，
（米．
答：河流的寬度約為64米．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了關(guān)于俯仰角的解直角三角形的問題，作垂線構(gòu)造直角三角形是解答本題的關(guān)鍵．
40．（2023?盤錦）如圖，一人在道路上騎行，段是坡路，其余為平路，當(dāng)他路過，兩點(diǎn)時(shí)，一架無(wú)人機(jī)從空中的點(diǎn)處測(cè)得，兩點(diǎn)的俯角分別為和，，，，點(diǎn)，，，，，在同一平面內(nèi)，是無(wú)人機(jī)到平路的距離，求的長(zhǎng)．（結(jié)果精確到整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：，，，
【分析】延長(zhǎng)交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為，根據(jù)題意可得：，，從而可得，，然后設(shè)，則，分別在和中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長(zhǎng)，從而列出關(guān)于的方程，進(jìn)行計(jì)算可求出的長(zhǎng)，最后利用平角定義可得，從而在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長(zhǎng)，再利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即可解答．
【解答】解：如圖：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為，
由題意得：，，
，，
設(shè)，
，
，
在中，，
在中，，
，
解得：，
，
，
，
在中，，
，
，
，
的長(zhǎng)約為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題，坡度坡角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
41．（2023?南京）如圖，為了測(cè)量無(wú)人機(jī)的飛行高度，在水平地面上選擇觀測(cè)點(diǎn)，．無(wú)人機(jī)懸停在處，此時(shí)在處測(cè)得的仰角為；無(wú)人機(jī)垂直上升懸停在處，此時(shí)在處測(cè)得的仰角為．，點(diǎn)，，，在同一平面內(nèi)，，兩點(diǎn)在的同側(cè)．求無(wú)人機(jī)在處時(shí)離地面的高度．
（參考數(shù)據(jù)：，．
【分析】延長(zhǎng)交于點(diǎn)，根據(jù)題意可得：，，然后設(shè) ，則，在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長(zhǎng)，再在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長(zhǎng)，最后根據(jù)，列出關(guān)于的方程進(jìn)行計(jì)算，即可解答．
【解答】解：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，
由題意得：，，
設(shè) ，
，
，
在中，，
，
在中，，
，
，
，
解得：，
，
無(wú)人機(jī)在處時(shí)離地面的高度約為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
42．（2023?永州）永州市道縣陳樹湘紀(jì)念館中陳列的陳樹湘雕像高2.9米（如圖1所示）．寓意陳樹湘為中國(guó)革命“斷腸明志”犧牲時(shí)的年齡為29歲．如圖2，以線段代表陳樹湘雕像，一參觀者在水平地面上處為陳樹湘雕像拍照，相機(jī)支架高0.9米，在相機(jī)處觀測(cè)雕像頂端的仰角為，然后將相機(jī)支架移到處拍照，在相機(jī)處觀測(cè)雕像頂端的仰角為，求、兩點(diǎn)間的距離（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：．
【分析】根據(jù)題意可得：，，米，米，，從而可得米，然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長(zhǎng)，再在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長(zhǎng)，從而利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即可解答．
【解答】解：由題意得：，，米，米，，
（米，
在中，，
（米，
在中，，
（米，
（米，
米，
、兩點(diǎn)間的距離約為1.5米．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
43．（2023?阜新）如圖，小穎家所在居民樓高為．從樓頂處測(cè)得另一座大廈頂部的仰角是，而大廈底部的俯角是．
（1）求兩樓之間的距離．
（2）求大廈的高度．
（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，
【分析】（1）過點(diǎn)作，垂足為，根據(jù)題意可得：，，然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長(zhǎng)，從而求出的長(zhǎng)，即可解答；
（2）在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長(zhǎng)，然后利用線段的和差關(guān)系求出的長(zhǎng)，即可解答．
【解答】解：（1）過點(diǎn)作，垂足為，
由題意得：，，
在中，，
，
，
兩樓之間的距離約為；
（2）在中，，
，
，
大廈的高度約為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
44．（2023?恩施州）小王同學(xué)學(xué)習(xí)了銳角三角函數(shù)后，通過觀察廣場(chǎng)的臺(tái)階與信號(hào)塔之間的相對(duì)位置，他認(rèn)為利用臺(tái)階的可測(cè)數(shù)據(jù)與在點(diǎn)，處測(cè)出點(diǎn)的仰角度數(shù)，可以求出信號(hào)塔的高．如圖，的長(zhǎng)為，高為．他在點(diǎn)處測(cè)得點(diǎn)的仰角為，在點(diǎn)處測(cè)得點(diǎn)的仰角為．，，，，在同一平面內(nèi)．
你認(rèn)為小王同學(xué)能求出信號(hào)塔的高嗎？若能，請(qǐng)求出信號(hào)塔的高；若不能，請(qǐng)說明理由．（參考數(shù)據(jù)：，，，結(jié)果保留整數(shù)）
【分析】過作于，于是得到，，根據(jù)勾股定理得到，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到，設(shè)，于是得到，，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論．
【解答】解：能，過作于，
則，，
在中，，，
，
在中，，
，
設(shè)，
，，
在中，，
解得，
，
答：信號(hào)塔的高為．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題，熟練掌握銳角的三角函數(shù)概念是解題關(guān)鍵．
45．（2023?鄂州）鄂州市蓮花山是國(guó)家級(jí)風(fēng)景區(qū)，元明塔造型獨(dú)特，是蓮花山風(fēng)景區(qū)的核心景點(diǎn)，深受全國(guó)各地旅游愛好者的青睞．今年端午節(jié)，景區(qū)將舉行大型包粽子等節(jié)日慶?；顒?dòng)．如圖2，景區(qū)工作人員小明準(zhǔn)備從元明塔的點(diǎn)處掛一條大型豎直條幅到點(diǎn)處，掛好后，小明進(jìn)行實(shí)地測(cè)量，從元明塔底部點(diǎn)沿水平方向步行30米到達(dá)自動(dòng)扶梯底端點(diǎn)，在點(diǎn)用儀器測(cè)得條幅下端的仰角為；接著他沿自動(dòng)扶梯到達(dá)扶梯頂端點(diǎn)，測(cè)得點(diǎn)和點(diǎn)的水平距離為15米，且；然后他從點(diǎn)又沿水平方向行走了45米到達(dá)點(diǎn)，在點(diǎn)測(cè)得條幅上端的仰角為．（圖上各點(diǎn)均在同一個(gè)平面內(nèi)，且，，共線，，，共線，、、共線，，．
（1）求自動(dòng)扶梯的長(zhǎng)度；
（2）求大型條幅的長(zhǎng)度．（結(jié)果保留根號(hào)）
【分析】（1）過點(diǎn)作，垂足為，然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長(zhǎng)，從而利用勾股定理求出的長(zhǎng)，即可解答；
（2）過點(diǎn)作，垂足為，根據(jù)題意可得：米，米，再利用平行線的性質(zhì)可得，從而在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長(zhǎng)，進(jìn)而求出的長(zhǎng)，然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長(zhǎng)，再在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長(zhǎng)，從而利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即可解答．
【解答】解：（1）過點(diǎn)作，垂足為，
在中，米，，
（米，
（米，
自動(dòng)扶梯的長(zhǎng)度為25米；
（2）過點(diǎn)作，垂足為，
由題意得：米，米，
，
，
在中，（米，
米，米，
（米，
在中，，
（米，
在中，（米，
米，
大型條幅的長(zhǎng)度為米．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
46．（2023?吉林）某校數(shù)學(xué)活動(dòng)小組要測(cè)量校園內(nèi)一棵古樹的高度，王朵同學(xué)帶領(lǐng)小組成員進(jìn)行此項(xiàng)實(shí)踐活動(dòng)，記錄如下：
填寫人：王朵綜合實(shí)踐活動(dòng)報(bào)告時(shí)間：2023年4月20日
請(qǐng)結(jié)合圖①、圖④和相關(guān)數(shù)據(jù)寫出的度數(shù)并完成【步驟四】．
【分析】根據(jù)測(cè)角儀顯示的度數(shù)和直角三角形兩銳角互余即可得到的度數(shù)，證明四邊形是矩形得到，再解直角三角形求得，于是得到結(jié)論．
【解答】解：測(cè)角儀顯示的度數(shù)為，
，
，，，
，
四邊形是矩形，
，，
在中，，
．
答：古樹高度約為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題，矩形的判定和性質(zhì)，熟練掌握解直角三角形的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．
47．（2023?徐州）徐州電視塔為我市的標(biāo)志性建筑之一，如圖，為了測(cè)量其高度，小明在云龍公園的點(diǎn)處，用測(cè)角儀測(cè)得塔頂?shù)难鼋?，他在平地上沿正?duì)電視塔的方向后退至點(diǎn)處，測(cè)得塔頂?shù)难鼋牵魷y(cè)角儀距地面的高度，，求電視塔的高度（精確到．（參考數(shù)據(jù)：，，，，，
【分析】根據(jù)題意可得：，，，，然后設(shè)，則，在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長(zhǎng)，再在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長(zhǎng)，從而列出關(guān)于的方程，進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解答】解：由題意得：，，，，
設(shè)，
，
在中，，
，
在中，，
，
，
解得：，
，
，
電視塔的高度約為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
五．解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題（共6小題）
48．（2023?郴州）某次軍事演習(xí)中，一艘船以的速度向正東航行，在出發(fā)地測(cè)得小島在它的北偏東方向，2小時(shí)后到達(dá)處，測(cè)得小島在它的北偏西方向，求該船在航行過程中與小島的最近距離（參考數(shù)據(jù)：，．結(jié)果精確到．
【分析】由題意得，，，，過作于，解直角三角形即可得到結(jié)論．
【解答】解：由題意得，，，，
過作于，
，
，
，
，
解得，
答：該船在航行過程中與小島的最近距離為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形應(yīng)用方向角問題、勾股定理的應(yīng)用等知識(shí)，求三角形的邊或高的問題一般可以轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題，解決的方法就是作高線．
49．（2023?西藏）如圖，輪船甲和輪船乙同時(shí)離開海港，輪船甲沿北偏東的方向航行，輪船乙沿東南方向航行，2小時(shí)后，輪船甲到達(dá)處，輪船乙到達(dá)處，此時(shí)輪船甲正好在輪船乙的正北方向．已知輪船甲的速度為每小時(shí)25海里，求輪船乙的速度．（結(jié)果保留根號(hào)）
【分析】過作于，解直角三角形即可得到結(jié)論．
【解答】解：過作于，
在中，，（海里），
（海里），
在中，，
（海里），
輪船乙的速度為（海里小時(shí)）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用方向角問題，周期地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
50．（2023?海南）如圖，一艘輪船在處測(cè)得燈塔位于的北偏東方向上，輪船沿著正北方向航行20海里到達(dá)處，測(cè)得燈塔位于的北偏東方向上，測(cè)得港口位于的北偏東方向上．已知港口在燈塔的正北方向上．
（1）填空： 30 度，度；
（2）求燈塔到輪船航線的距離（結(jié)果保留根號(hào)）；
（3）求港口與燈塔的距離（結(jié)果保留根號(hào)）．
【分析】（1）先說明，再利用外角與內(nèi)角的關(guān)系、平行線的性質(zhì)得結(jié)論；
（2）先利用等腰三角形的性質(zhì)先說明與的關(guān)系，再在中利用直角三角形的邊角間關(guān)系得結(jié)論；
（3）先說明四邊形是矩形，再利用等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的邊角間關(guān)系得結(jié)論．
【解答】解：分別過點(diǎn)、，作，，垂足分別為、．
（1），，
．
、都是正北方向，
．
，
．
故答案為：30，45．
（2）由（1）知，
海里．
在中，
，
（海里）．
答：燈塔到輪船航線的距離為海里．
（3），，、都是正北方向，
四邊形是矩形．
海里，．
在中，
，
．
海里．
在中，
，
（海里）．
海里．
答：港口與燈塔的距離為海里．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了解直角三角形，掌握直角三角形的邊角間關(guān)系、矩形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．
51．（2023?重慶）人工海產(chǎn)養(yǎng)殖合作社安排甲、乙兩組人員分別前往海面，養(yǎng)殖場(chǎng)捕撈海產(chǎn)品．經(jīng)測(cè)量，在燈塔的南偏西方向，在燈塔的南偏東方向，且在的正東方向，米．
（1）求養(yǎng)殖場(chǎng)與燈塔的距離（結(jié)果精確到個(gè)位）；
（2）甲組完成捕撈后，乙組還未完成捕撈，甲組決定前往處協(xié)助捕撈，若甲組航行的平均速度為600米每分鐘，請(qǐng)計(jì)算說明甲組能否在9分鐘內(nèi)到達(dá)處？
（參考數(shù)據(jù)：，
【分析】（1）過點(diǎn)作于點(diǎn)，在中，解直角三角形求出，．在中，解直角三角形即可求出；
（2）求出，，進(jìn)而求出，根據(jù)速度公式即可得到結(jié)論．
【解答】解：（1）過點(diǎn)作于點(diǎn)，
在中，，米，，，
（米，（米．
在中，，
，
（米，
（米．
答：養(yǎng)殖場(chǎng)與燈塔的距離約為2545米；
（2）（米，
（米，
米米，
能在9分鐘內(nèi)到達(dá)處．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用方向角問題，解答本題的關(guān)鍵是利用三角函數(shù)求出與的長(zhǎng)度，難度一般．
52．（2023?株洲）如圖所示，在某交叉路口，一貨車在道路①上點(diǎn)處等候“綠燈”，一輛轎車從被山峰遮擋的道路②的點(diǎn)處由南向北行駛．已知，，，，線段的延長(zhǎng)線交直線于點(diǎn)．
（1）求的大??；
（2）若在點(diǎn)處測(cè)得點(diǎn)在北偏西方向上，其中，米．問該轎車至少行駛多少米才能發(fā)現(xiàn)點(diǎn)處的貨車？（當(dāng)該轎車行駛至點(diǎn)處時(shí)，正好發(fā)現(xiàn)點(diǎn)處的貨車）
【分析】（1）根據(jù)垂直的定義得到，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到，根據(jù)垂直的定義得到，于是得到結(jié)論；
（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，解直角三角形即可得到結(jié)論．
【解答】解：（1），
，
，
，
，
，
，
即的大小為；
（2），
，
在中，，米，
（米，
（米，
，
（米，
（米，
即轎車至少行駛24米才能發(fā)現(xiàn)點(diǎn)處的貨車．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用方向角問題，平行線的性質(zhì)，正確地求出結(jié)果是解題關(guān)鍵．
53．（2023?朝陽(yáng)）如圖，是一座東西走向的大橋，一輛汽車在筆直的公路上由南向北行駛，在處測(cè)得橋頭在北偏東方向上，繼續(xù)行駛500米后到達(dá)處，測(cè)得橋頭在北偏東方向上．已知大橋長(zhǎng)300米，求橋頭到公路的距離．（結(jié)果保留根號(hào)）
【分析】延長(zhǎng)交直線于，設(shè)米，根據(jù)題意得，，解直角三角形即可得到結(jié)論．
【解答】解：如圖．延長(zhǎng)交直線于，
設(shè)米，根據(jù)題意得，，
在中，，，
米，
米，
米，
在中，，
，
米，
，
解得米，
答：橋頭到公路的距離為米．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形的應(yīng)用方向角問題，掌握直角三角形的邊角關(guān)系是正確解答的前提．
活動(dòng)任務(wù)：測(cè)量古樹高度
活動(dòng)過程
【步驟一】設(shè)計(jì)測(cè)量方案
小組成員討論后，畫出如圖①的測(cè)量草圖，確定需測(cè)的幾何量．
【步驟二】準(zhǔn)備測(cè)量工具
自制測(cè)角儀，把一根細(xì)線固定在半圓形量角器的圓心處，細(xì)線的另一端系一個(gè)小重物，制成一個(gè)簡(jiǎn)單的測(cè)角儀，利用它可以測(cè)量仰角或俯角，如圖②所示．準(zhǔn)備皮尺．
【步驟三】實(shí)地測(cè)量并記錄數(shù)據(jù)
如圖③，王朵同學(xué)站在離古樹一定距離的地方，將這個(gè)儀器用手托起，拿到眼前，使視線沿著儀器的直徑剛好到達(dá)古樹的最高點(diǎn)．如圖④，利用測(cè)角儀，測(cè)量后計(jì)算得出仰角．測(cè)出眼睛到地面的距離．測(cè)出所站地方到古樹底部的距離．
．
．
【步驟四】計(jì)算古樹高度．（結(jié)果精確到
（參考數(shù)據(jù)：，，

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