
矩形的定義及其性質(zhì)
1.矩形:有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形.
【注意】
(1)矩形是特殊的平行四邊形,但平行四邊形不一定是矩形.
(2)矩形必須具備兩個條件:①是平行四邊形;②有一個角是直角.這兩個條件缺一不可.
(3)矩形的定義可以作為判定一個四邊形是矩形的方法.
2.矩形的性質(zhì):矩形是特殊的平行四邊形,它除了具有平行四邊形的所有性質(zhì)外,還具有自身獨特的性質(zhì)(見下表).
【注意】
(1)矩形的性質(zhì)可歸結(jié)為三個方面.①邊:矩形的對邊平行且相等,鄰邊互相垂直.②角:矩形的四個角都是直角.③對角線:矩形的對角線互相平分且相等.
(2)矩形的兩條對稱軸分別是兩對對邊中點連線所在的直線,對稱軸的交點就是對角線的交點.
(3)矩形的兩條對角線將矩形分成兩對全等的等腰三角形,這四個三角形的面積相等.
直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)
【拓展】該性質(zhì)的逆命題“如果一個三角形一邊上的中線等于這條邊的一半,那么這個三角形是直角三角形”仍然成立,它可以用來判斷一個三角形是否為直角三角形.
矩形的判定
方法點撥
1.解矩形性質(zhì)的應(yīng)用問題
矩形是特殊的平行四邊形,它除了具有平行四邊形的所有性質(zhì)外,還具有下列性質(zhì):
① 矩形的四個角都是直角;
② 矩形的對角線相等;
③ 矩形的兩條對稱軸分別是兩對對邊中點連線所在的直線,對稱軸的交點就是對角線的交點;④ 矩形的兩條對角線將矩形分成兩對全等的等腰三角形,這四個三角形的面積相等.
將這些性質(zhì)與其他條件結(jié)合,可用來證明線段相等或倍分,直線平行以及角相等的問題.
2.解矩形的判定問題
矩形的判定方法:
(1)有一個角是直角的平行四邊形是矩形;
(2)對角線相等的平行四邊形是矩形;
(3)有三個角是直角的四邊形是矩形.
因此,要證明一個四邊形是矩形,首先要判斷四邊形是否為平行四邊形,若是,則需要再證明對角線相等或由一個角是直角;若不易判斷,則可通過證明有三個角是直角來直接證明.
3.矩形的折疊問題
矩形的折疊問題的常用解題思路:
(1)對折疊前后的圖形進行細致分析,折疊后的圖形與原圖形全等,對應(yīng)邊、對應(yīng)角分別相等,找出各相等的邊或角;
(2)選擇一個直角三角形,運用勾股定理列出方程求解.
性質(zhì)
數(shù)學(xué)語言
圖形
角
矩形的四個角都是直角
四邊形是矩形,
對角線
矩形的對角線相等
四邊形是矩形,
對稱性
矩形是軸對稱圖形,它有兩條對稱軸
性質(zhì)
數(shù)學(xué)語言
主要應(yīng)用
圖示
直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半
如圖所示,在中,(或)
證明線段倍分、相等關(guān)系
判定方法
數(shù)學(xué)語言
圖形
角
有一個角是直角的平行四邊形是矩形(定義)
在中,
,
是矩形.
有三個角是直角的四邊形是矩形
在四邊形中,
,
四邊形是矩形.
對角線
對角線相等的平行四邊形是矩形
在中,
,
是矩形
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