2023中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題17解直角三角形(精講學(xué)案）（通用版）-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

銳角三角函數(shù)（sinA，csA，tanA）解分式方程
30°，45°，60°角的三角函數(shù)值
使用參考數(shù)據(jù)由已知銳角求它的三角函數(shù)值，由已知三角函數(shù)值求它的對應(yīng)銳角
用銳角三角函數(shù)解直角三角形，能用相關(guān)知識解決一些簡單的實(shí)際問題
知識點(diǎn)精析
①銳角三角函數(shù)：
正弦: sinA＝eq \f(∠A的對邊,斜邊)＝eq \f(a,c)
余弦: csA＝eq \f(∠A的鄰邊,斜邊)＝eq \f(b,c)
正切: tanA＝eq \f(∠A的對邊,∠A的鄰邊)＝eq \f(a,b).
②特殊角的三角函數(shù)值
考點(diǎn)1：銳角三角函數(shù)的計(jì)算

（2021?云南）在中，．若，，則的長是
A．B．C．60D．80
【分析】利用三角函數(shù)定義計(jì)算出的長，然后再利用勾股定理計(jì)算出長即可．
【解答】解：，，
，
，
故選：．
【點(diǎn)評】此題主要考查了銳角三角函數(shù)的定義，關(guān)鍵是掌握正弦定義．
（2021?株洲）某限高曲臂道路閘口如圖所示，垂直地面于點(diǎn)，與水平線的夾角為，，若米，米，車輛的高度為（單位：米），不考慮閘口與車輛的寬度：
①當(dāng)時(shí)，小于3.3米的車輛均可以通過該閘口；
②當(dāng)時(shí)，等于2.9米的車輛不可以通過該閘口；
③當(dāng)時(shí)，等于3.1米的車輛不可以通過該閘口．
則上述說法正確的個(gè)數(shù)為
A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)
【分析】根據(jù)題意列出和角度之間的關(guān)系式即可判斷．
【解答】解：由題知，
限高曲臂道路閘口高度為：，
①當(dāng)時(shí)，米，即米即可通過該閘口，
故①正確；
②當(dāng)時(shí)，米，即米即可通過該閘口，
，
等于2.9米的車輛不可以通過該閘口，
故②正確；
③當(dāng)時(shí)，米，即米即可通過該閘口，
，
等于3.1米的車輛可以通過該閘口，
故③不正確；
故選：．
【點(diǎn)評】本題主要考查特殊角三角函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握特殊角三角形函數(shù)是解題的關(guān)鍵．
（2021?瀘州）在銳角中，，，所對的邊分別為，，，有以下結(jié)論：（其中為的外接圓半徑）成立．在中，若，，，則的外接圓面積為
A．B．C．D．
【分析】已知，所以求出的度數(shù)即可使用題中的結(jié)論，得到關(guān)于的方程，再求圓的面積即可．
【解答】解：，
，
，
，
，
，
故選：．
【點(diǎn)評】本題考查了特殊角的銳角三角函數(shù)值，三角形的內(nèi)角和定理，實(shí)數(shù)的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是：求出的度數(shù)，使用題中的結(jié)論，得到關(guān)于的方程．
（2021?湖州）如圖，已知在中，，，，則的值是．
【分析】根據(jù)在直角三角形中，代值計(jì)算即可得出答案．
【解答】解：，，，
．
故答案為：．
【點(diǎn)評】此題考查了銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握在直角三角形中，正弦是解題的關(guān)鍵．
（2020?桂林）如圖，在中，，，，則的值是．
【分析】根據(jù)余弦的定義解答即可．
【解答】解：在中，，
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題考查的是銳角三角函數(shù)的定義，掌握銳角的鄰邊與斜邊的比叫做的余弦是解題的關(guān)鍵．
（2021?杭州）計(jì)算：．
【分析】根據(jù)直接解答即可．
【解答】解：．
【點(diǎn)評】熟記特殊角的三角函數(shù)值是解答此題的關(guān)鍵．
（2021秋?普寧市期末）已知中，，，，那么下列各式中正確的是
A．B．C．D．
【分析】由勾股定理求出斜邊，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義分別求出、、、即可．
【解答】解：中，，
，，
，
，，，，
故選：．
【點(diǎn)評】本題考查銳角三角函數(shù)，勾股定理，掌握銳角三角函數(shù)的定義和勾股定理是正確解答的前提．
（2021?三明模擬）如圖，在中，，則等于
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)正弦的定義解答即可．
【解答】解：在中，，，
故選：．
【點(diǎn)評】本題考查的是銳角三角函數(shù)的定義，掌握銳角的對邊與斜邊的比叫做的正弦是解題的關(guān)鍵．
（2021?杭州一模）在中，，，則的正弦值為
A．B．C．2D．
【分析】先通過勾股定理求出斜邊長度，再根據(jù)三角函數(shù)求解．
【解答】解：設(shè)為，則，
由勾股定理得，
．
故選：．
【點(diǎn)評】本題考查解直角三角形，解題關(guān)鍵是注意正弦值為銳角的對邊與斜邊的比．
（2020秋?甘井子區(qū)期末）在中，，，則下列結(jié)論正確的是
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)和勾股定理，逐項(xiàng)判斷即可．
【解答】解：在中，，，
所以，
設(shè)，則，，
所以，，，
故選：．
【點(diǎn)評】本題考查銳角三角函數(shù)，勾股定理，理解銳角三角函數(shù)的定義和勾股定理是正確解答的關(guān)鍵．
（2021秋?棲霞市期中）計(jì)算：．
【分析】把特殊角的三角函數(shù)值代入原式，計(jì)算即可．
【解答】解：
，故答案為：．
【點(diǎn)評】本題考查的特殊角的三角函數(shù)值的計(jì)算，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．
（2021秋?徐匯區(qū)期中）計(jì)算： 0 ．
【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值代入進(jìn)而計(jì)算得出答案．
【解答】解：原式
．故答案為：0．
【點(diǎn)評】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶相關(guān)數(shù)據(jù)是解題關(guān)鍵．
（2021?新都區(qū)模擬）在中，，，，則的長為 8 ．
【分析】根據(jù)正切的定義得到，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可．
【解答】解：在中，，，
，
由勾股定理得：，即，
解得：，
故答案為：8．
【點(diǎn)評】本題考查的是銳角三角函數(shù)的定義、勾股定理，掌握銳角的對邊與鄰邊的比叫做的正切是解題的關(guān)鍵．
（2020秋?嶗山區(qū)期末）在中，，，，則．
【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)和勾股定理求解即可．
【解答】解：在中，，，，
不妨設(shè)，則，由勾股定理得，
，
即，
解得（取正值），
所以，
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題考查銳角三角函數(shù)，勾股定理，理解銳角三角函數(shù)的定義和勾股定理是正確解答的關(guān)鍵．
（2020秋?如皋市期末）如圖，在中，，，，則 10 ．
【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的意義求解即可．
【解答】解：在中，，，，
，
，
故答案為：10．
【點(diǎn)評】本題考查銳角三角函數(shù)，掌握銳角三角函數(shù)的定義是解決問題的前提．
（2020秋?歷下區(qū)期末）在中，，，，則．
【分析】利用勾股定理求出，再根據(jù)，求解即可．
【解答】解：如圖，在中，，，，
，
，
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題考查銳角三角函數(shù)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．
（2020秋?西城區(qū)期末）如圖，在中，，，，則．
【分析】根據(jù)正弦的定義解答即可．
【解答】解：在中，，，，
則，
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題考查的是銳角三角函數(shù)的定義，掌握銳角的對邊與斜邊的比叫做的正弦是解題的關(guān)鍵．
（2020秋?金山區(qū)期末）在中，，，，那么 12 ．
【分析】根據(jù)正弦的定義得到，然后把代入計(jì)算即可．
【解答】解：，
，
．
故答案為12．
【點(diǎn)評】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義：在中，．銳角的對邊與斜邊的比叫做的正弦，記作．
（2020秋?肅州區(qū)期末）如圖，在中，，，，則 6 ．
【分析】設(shè)，根據(jù)余弦的定義用表示出，根據(jù)勾股定理列式計(jì)算，得到答案．
【解答】解：設(shè)，
在中，，，
，
，
由勾股定理得，，即，
解得，，
，
故答案為：6．
【點(diǎn)評】本題考查的是銳角三角函數(shù)的定義，掌握銳角的鄰邊與斜邊的比叫做的余弦是解題的關(guān)鍵．
（2021?常州模擬）計(jì)算： 2 ．
【分析】根據(jù)特殊銳角三角函數(shù)值代入計(jì)算即可．
【解答】解：原式
，
故答案為：2．
【點(diǎn)評】本題考查特殊銳角三角函數(shù)值，掌握特殊銳角三角函數(shù)值是正確計(jì)算的前提．
（2020秋?郯城縣期末）在中，，則一定是：等腰直角三角形．
【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的意義和特殊銳角的三角函數(shù)值求出角和角，進(jìn)而確定三角形的形狀．
【解答】解：因?yàn)椋?br>所以，且，
即，，
所以，，
所以是等腰直角三角形，
故答案為：等腰直角三角形．
【點(diǎn)評】本題考查特殊銳角三角函數(shù)值以及三角形的判定，掌握特殊銳角的三角函數(shù)值是正確判斷的前提．
（2021?沁陽市模擬）．
【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值代入得出答案．
【解答】解：原式
．故答案為：．
【點(diǎn)評】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶相關(guān)數(shù)據(jù)是解題關(guān)鍵．
（2020秋?定陶區(qū)期末）．
【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值代入得出答案．
【解答】解：原式
．故答案為：．
【點(diǎn)評】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶相關(guān)數(shù)據(jù)是解題關(guān)鍵．
知識點(diǎn)精析
①解直角三角形的概念：
在直角三角形中，除直角外，一共有五個(gè)元素，即三條邊和兩個(gè)銳角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的過程叫做解直角三角形．
②解直角三角形的常用關(guān)系：
(1)三邊之間的關(guān)系：a2＋b2＝c2；
(2)銳角之間的關(guān)系：∠A＋∠B＝90°；
(3)邊角之間的關(guān)系：sinA＝=csB=eq \f(a,c)，csA＝sinB=eq \f(b,c)，tanA＝eq \f(a,b).
考點(diǎn)2：解直角三角形

（2021?桂林）如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有一點(diǎn)，連接，則與軸正方向所夾銳角的正弦值是
A．B．C．D．
【分析】如圖作軸于，利用勾股定理求出，根據(jù)正弦定義計(jì)算即可．
【解答】解：作軸于，如右圖．
，
，，
，
．
故選：．
【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形，銳角三角函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是記住銳角三角函數(shù)定義．
（2021?淄博）如圖，在中，，是斜邊上的中線，過點(diǎn)作交于點(diǎn)．若，的面積為5，則的值為
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)直角三角形的斜邊中線等于斜邊一半可得，進(jìn)而得到，從而有，根據(jù)三角形的面積公式求出，由勾股定理，在中，求出，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求解即可．
【解答】解：連接，
是斜邊上的中線，，
是的垂直平分線，
，，
，
，
，
在中，，，
，
，
，
又，
，
，
，
，
故選：．
【點(diǎn)評】本題考查垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)以及直角三角形的邊角關(guān)系，掌握直角三角形的邊角關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．
（2021?黑龍江）如圖，在中，，點(diǎn)在的延長線上，連接，若，，則的值為
A．1B．2C．D．
【分析】通過作垂線，構(gòu)造直角三角形，利用相似三角形的性質(zhì)可求出，再根據(jù)，設(shè)參數(shù)表示、即可求出答案．
【解答】解：過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，
，，
，
，
，
，
在中，
由于，設(shè)，則，
又，
，，
，
故選：．
【點(diǎn)評】本題考查解直角三角形，相似三角形的性質(zhì)和判定，掌握直角三角形的邊角關(guān)系以及相似三角形的判定和性質(zhì)是正確解答的前提，作垂線構(gòu)造直角三角形是常用的方法．
（2021?宜賓）如圖，在中，點(diǎn)是角平分線、的交點(diǎn)，若，，則的值是
A．B．2C．D．
【分析】放在中利用三角函數(shù)定義即可求．
【解答】解：如圖：
作于，
，平分．
．．
根據(jù)勾股定理得：．
平分．
，，．
設(shè)，則，在中，根據(jù)勾股定理得：
．
．
．
在中，．
法二：在求出后
．
．
．
．
．
故選：．
【點(diǎn)評】本題考查勾股定理，角平分線性質(zhì)及銳角三角函數(shù)的定義，構(gòu)造直角三角形求線段的長是求解本題的關(guān)鍵．
（2021?廣東）如圖，是的直徑，點(diǎn)為圓上一點(diǎn)，，的平分線交于點(diǎn)，，則的直徑為
A．B．C．1D．2
【分析】如圖，過點(diǎn)作于．證明，推出，推出，可得結(jié)論．
【解答】解：如圖，過點(diǎn)作于．
是直徑，
，
，
平分，，，
，
，
，
，
，
，
解法二：由此處開始，可以在中用勾股定理得，再由垂徑定理可得得解．
故選：．
【點(diǎn)評】本題考查圓周角定理，角平分線的性質(zhì)定理，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，利用角平分線的性質(zhì)定理解決問題．
（2021?宜昌）如圖，的頂點(diǎn)是正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)，則的值為
A．B．C．D．
【分析】由圖可知，可把放在中，利用勾股定理可求出斜邊的長，再利用余弦的定義可得．
【解答】解：法一、如圖，
在中，，，
，
．
故選：．
法二、在中，，，
，
．
故選：．
【點(diǎn)評】本題主要考查勾股定理，銳角三角函數(shù)的定義等內(nèi)容，題目比較簡單，找到角所在的直角三角形是解題關(guān)鍵．
（2021秋?長寧區(qū)期末）已知在中，，，，那么的長為
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的正弦值計(jì)算即可．
【解答】解：在中，，
故選：．
【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形，熟練掌握并區(qū)分銳角三角函數(shù)的正弦，余弦，正切是解題的關(guān)鍵．
（2021?濱江區(qū)校級三模）如圖，點(diǎn)A為∠B邊上任意一點(diǎn)，作AC⊥BC于點(diǎn)C，CD⊥AB于點(diǎn)D，下列用線段比表示tanB的值，錯(cuò)誤的是（）
A．B．C．D．
【分析】證明∠B＝∠ACD，推出tanB＝tan∠ACD，可得tanB＝＝＝，由此即可判斷．
【解答】解：∵AC⊥BC于點(diǎn)C，CD⊥AB于點(diǎn)D，
∴∠ACB＝∠CDB＝90°，
∴∠B+∠BCD＝90°，∠BCD+∠ACD＝90°，
∴∠B＝∠ACD，
∴tanB＝tan∠ACD，
∴tanB＝＝＝，
故選：A．
【點(diǎn)評】本題考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是證明∠B＝∠ACD．
（2021秋?雁塔區(qū)校級月考）如圖，在中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，于點(diǎn)，則的值等于
A．B．C．D．
【分析】連接，由中，，，為中點(diǎn)，利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)，可證得，再利用勾股定理，求得的長，那么在直角中根據(jù)三角函數(shù)的定義求出，然后根據(jù)同角的余角相等得出，于是．
【解答】解：連接，
中，，，為中點(diǎn)，
，，
，
．
，，
，，
，
，
故選：．
【點(diǎn)評】此題考查了解直角三角形、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)的定義以及余角的性質(zhì)．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出輔助線，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
（2021秋?泰興市期中）如圖，的頂點(diǎn)是正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)，則的值為
A．3B．C．D．
【分析】連接格點(diǎn)，構(gòu)造直角三角形，先計(jì)算，再算的正弦．
【解答】解：連接格點(diǎn)、．
在中，
，，
．
．
故選：．
【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形，掌握直角三角形的邊角間關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．
（2021?吳興區(qū)二模）如圖，在四邊形中，，，，，則的值為
A．2B．C．D．
【分析】延長、，兩線交于，解直角三角形求出，求出，根據(jù)勾股定理求出，求出，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出比例式，代入求出即可．
【解答】解：延長、，兩線交于，
在中，，，，
，
，
，
在中，，，，
由勾股定理得：，
，
，
，
，
，
，
解得：，
故選：．
【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理，解直角三角形和相似三角形的性質(zhì)和判定等知識點(diǎn)，能正確作出輔助線（構(gòu)造出直角三角形）是解此題的關(guān)鍵．
（2021?內(nèi)江）已知，在中，，，，則的面積為 2或14 ．
【分析】過點(diǎn)作邊的高，中，，，得，在中，，得，①是鈍角三角形時(shí)，②是銳角三角形時(shí)，分別求出的長，即可求解．
【解答】解：過點(diǎn)作邊的高，
中，，，
，
在中，，
，
①是鈍角三角形時(shí)，
，
；
②是銳角三角形時(shí)，
，
，
故答案為：2或14．
【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理，三角形面積求法，解題關(guān)鍵是分類討論思想．
（2021秋?南崗區(qū)校級期末）如圖，中，，，點(diǎn)、點(diǎn)分別在、上，連接、，，，，則．
【分析】如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)．證明，，都是等腰直角三角形，利用參數(shù)構(gòu)建方程求解即可．
【解答】解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)．
，，
，
，，
，
，
，
可以假設(shè)，，
，
，，
，
，，
，
，，，，
【點(diǎn)評】本題考查解直角三角形，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．
（2021?龍巖模擬）如圖，的頂點(diǎn)，，都在邊長為1的正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，于點(diǎn)，則的值為 3 ．
【分析】利用等面積法求出，再利用勾股定理求出即可．
【解答】解：由題意得：
，，，
的面積，
，
，
在中，，
，
故答案為：3．
【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形，利用等面積法來計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
（2020秋?東莞市校級期末）在中，，，，則的長為 4 ．
【分析】利用直角三角形的邊角間關(guān)系先求出，再利用勾股定理求出．
【解答】解：在中，
，
．
．
．
故答案為：4．
【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形．掌握勾股定理、直角三角形的邊角間關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．
（2021秋?濰坊期中）如圖，在中，，于點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是、．
．
．
．
．
【分析】在不同的直角三角形中，利用直角三角形的邊角間關(guān)系表示出及與相等的角的正弦值得結(jié)論．
【解答】解：在中，
，故正確；
在中，
．
，
．
在中，
，故正確．
綜上、正確．
故答案為：、．
【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形，掌握直角三角形的邊角間關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．
（2021秋?長寧區(qū)校級期中）在中，，，則．
【分析】根據(jù)特殊銳角的三角函數(shù)值可求出，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，根據(jù)三角形的內(nèi)角和可求出．
【解答】解：，
，
又，
，
，
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題考查解直角三角形，等腰三角形，掌握直角三角形的邊角關(guān)系以及等腰三角形的性質(zhì)是正確解答的前提．
（2021秋?寶山區(qū)期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，射線與軸正半軸的夾角為，如果，，那么點(diǎn)的坐標(biāo)是．
【分析】構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理和銳角三角函數(shù)求出，即可確定點(diǎn)的坐標(biāo)．
【解答】解：過點(diǎn)作軸，垂足為，
由于，
設(shè)，則，
，
，
，，
點(diǎn)，
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題考查解直角三角形，坐標(biāo)與圖形的關(guān)系，掌握直角三角形的邊角關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．
（2021?崇川區(qū)二模）在中，，，，，則的長為 9 ．
【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)，，設(shè)，，再利用勾股定理求得，，再次利用勾股定理求出的長，即可解決問題．
【解答】解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，
在中，，
設(shè)，，
由勾股定理得，
，
，
，，
，
，
故答案為：9．
【點(diǎn)評】本題主要考查了解直角三角形，勾股定理等知識，作輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．
（2021?南崗區(qū)校級開學(xué)）在中，是的高線，若，，，則長為 5或3 ．
【分析】分兩種情況進(jìn)行討論：高在內(nèi)部；高在外部．
【解答】解：如圖，分兩種情況：
當(dāng)高在內(nèi)部時(shí)，
在中，，
在中，，
，
；
當(dāng)高在外部時(shí)，易知，
．
故答案為：5或3．
【點(diǎn)評】本題考查解直角三角形，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．
知識點(diǎn)精析
仰角、俯角、坡度、坡角和方向角：
(1)仰、俯角：視線在水平線上方的角叫做仰角.視線在水平線下方的角叫做俯角．（如圖①）
(2)坡度：坡面的鉛直高度和水平寬度的比叫做坡度(或者叫做坡比)，用字母i表示．坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，用α表示，則有i＝tanα. （如圖②）
(3)方向角：平面上，通過觀察點(diǎn)Ο作一條水平線(向右為東向)和一條鉛垂線(向上為北向)，則從點(diǎn)O出發(fā)的視線與水平線或鉛垂線所夾的角，叫做觀測的方向角．（如圖③）
考點(diǎn)3：解直角三角形的應(yīng)用

（2021?十堰）如圖，小明利用一個(gè)銳角是的三角板測操場旗桿的高度，已知他與旗桿之間的水平距離為，為（即小明的眼睛與地面的距離），那么旗桿的高度是
A．B．C．D．
【分析】先根據(jù)題意得出的長，在中利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，由即可得出結(jié)論．
【解答】解：由題意可得，四邊形是矩形，，，
，，
在中，，，
，
．
故選：．
【點(diǎn)評】本題主要考查解直角三角形在實(shí)際生活中的應(yīng)用，含的直角三角形等，熟知銳角三角函數(shù)的定義是解答此題的關(guān)鍵．
（2021?呼和浩特）如圖，正方形的邊長為4，剪去四個(gè)角后成為一個(gè)正八邊形，則可求出此正八邊形的外接圓直徑，根據(jù)我國魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽的“割圓術(shù)”思想，如果用此正八邊形的周長近似代替其外接圓周長，便可估計(jì)的值，下面及的值都正確的是
A．，
B．，
C．，
D．，
【分析】根據(jù)外接圓的性質(zhì)可知，圓心到各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，過圓心向邊作垂線，解直角三角形，再根據(jù)圓周長公式可求得．
【解答】解：如圖，連接，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，
則，且，
設(shè)正八邊形的邊長為，則，
解得，
在中，，
，
由，
則，
．
故選：．
【點(diǎn)評】本題主要考查正多邊形的外接圓的性質(zhì)，解直角三角形等內(nèi)容，熟練掌握三角函數(shù)的定義及正多邊形外接圓的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
（2021?遵義）小明用一塊含有的直角三角尺測量校園內(nèi)某棵樹的高度，示意圖如圖所示，若小明的眼睛與地面之間的垂直高度為，小明與樹之間的水平距離為，則這棵樹的高度約為 8.5 ．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：
【分析】先根據(jù)題意得出的長，在中利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，由即可得出結(jié)論．
【解答】解：，，，
四邊形是矩形，
，，
，，
中，，，
，
答：這棵樹的高度約為．
故答案為：8.5．
【點(diǎn)評】本題考查的是解直角三角形在實(shí)際生活中的應(yīng)用，熟知銳角三角函數(shù)的定義是解答此題的關(guān)鍵．
（2021?荊州）如圖1是一臺手機(jī)支架，圖2是其側(cè)面示意圖，，可分別繞點(diǎn)，轉(zhuǎn)動(dòng)，測量知，．當(dāng)，轉(zhuǎn)動(dòng)到，時(shí)，點(diǎn)到的距離為 6.3 ．（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位，參考數(shù)據(jù)：，
【分析】通過作垂線構(gòu)造直角三角形，在中，求出，在中，求出，即可求出，從而解決問題．
【解答】解：如圖，過點(diǎn)、分別作的垂線，垂足分別為、，過點(diǎn)作，垂足為，
在中，
，，
，
，
在中，
，
，
又，
，
，
即點(diǎn)到的距離約為，
故答案為：6.3．
【點(diǎn)評】本題考查解直角三角形，構(gòu)造直角三角形，利用直角三角形的邊角關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．
（2021秋?舞鋼市期末）如圖，太陽光線與地面成角，窗子米，要在窗子外面上方0.2米的點(diǎn)處安裝水平遮陽板，使光線不能直接射入室內(nèi)，則遮陽板的長度至少是
A．米B．米C．米D．米
【分析】由已知條件易求的長，在光線、遮陽板和窗戶構(gòu)成的直角三角形中，角的正切值窗戶高：遮陽板的寬，據(jù)此即可解答．
【解答】解：米，米，
米，
光線與地面成角，．
又，
．
故選：．
【點(diǎn)評】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確選擇三角函數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵．
（2021秋?天長市月考）如圖，若要測量小河兩岸相對的兩點(diǎn)，的距離，可以在小河邊取的垂線上的一點(diǎn)，測得米，，則小河寬為多少米
A．B．C．D．
【分析】在直角三角形中根據(jù)的正切函數(shù)可求小河寬的長度．
【解答】解：，
，
米，，
，
小河寬（米．
故選：．
【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解直角三角形的一般過程是：①將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題（畫出平面圖形，構(gòu)造出直角三角形轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題）．②根據(jù)題目已知特點(diǎn)選用適當(dāng)銳角三角函數(shù)或邊角關(guān)系去解直角三角形，得到數(shù)學(xué)問題的答案，再轉(zhuǎn)化得到實(shí)際問題的答案．
（2021?寬城區(qū)一模）我國魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽首創(chuàng)“割圓術(shù)”，所謂“割圓術(shù)”就是利用圓內(nèi)接正多邊形無限逼近圓來確定圓周率，劉徽計(jì)算出圓周率．劉徽從正六邊形開始分割圓，每次邊數(shù)成倍增加，依次可得圓內(nèi)接正十二邊形，內(nèi)接正二十四邊形割的越細(xì)，圓的內(nèi)接正多邊形就越接近圓．設(shè)圓的半徑為，圓內(nèi)接正六邊形的周長，計(jì)算．下面計(jì)算圓內(nèi)接正十二邊形的周長正確的是
A．B．
C．D．
【分析】求出正多邊形的中心角，利用三角形周長公式求解即可．
【解答】解：十二邊形是正十二邊形，
．
于，又，
，
正邊形的周長，
圓內(nèi)接正十二邊形的周長，
故選：．
【點(diǎn)評】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，正多邊形與圓等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．
（2021?西湖區(qū)校級三模）如圖大壩的橫斷面，斜坡的坡比，背水坡的坡比，若坡面的長度為米，則斜坡的長度為米．
【分析】過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出，根據(jù)坡度的概念求出，根據(jù)勾股定理計(jì)算，得到答案．
【解答】解：過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于，
則四邊形為矩形，
，
坡的坡比，
，
（米，
斜坡的坡比，
，
由勾股定理得：（米，
故答案為：米．
【點(diǎn)評】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用—坡度坡角問題，掌握坡度的概念：坡度是坡面的鉛直高度和水平寬度的比是解題的關(guān)鍵．
（2020秋?沂源縣期中）在學(xué)習(xí)解直角三角形以后，某數(shù)學(xué)興趣小組測量了旗桿的高度．如圖，某一時(shí)刻，旗桿的影子一部分落在平臺上的影長為6米，落在斜坡上的影長為4米，，同一時(shí)刻，光線與旗桿的夾角為，斜坡的坡角為，旗桿的高度約為 10.61 米．（參考數(shù)據(jù)：，，，，精確到0.01米）
【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)正切的定義求出，根據(jù)余弦的定義求出，根據(jù)正切的定義求出，結(jié)合圖形計(jì)算，得到答案．
【解答】解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，
，，，
四邊形為矩形，
，，，
在中，，
，
，
，
，，
在中，，
，
，
（米，
故答案為：10.61．
【點(diǎn)評】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用坡度坡角問題，掌握坡度坡角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
（2021?阜新）如圖，甲樓高，由甲樓頂看乙樓頂?shù)难鼋鞘?，看乙樓底的俯角是，則乙樓高度約為 57 （結(jié)果精確到，．
【分析】在中，根據(jù)，，米，求出、的長度，然后在中求出的長度，繼而可求出的高度．
【解答】解：如圖，過作于，
則，
在中，，，米，
（米，
（米，
在中，，，
米，
乙樓（米．
答：乙樓的高約為57米．
【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)所給的仰角和俯角構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)的知識求解．
（2021?泰安模擬）如圖，數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)小組要測量學(xué)校附近樓房的高度，在水平地面處安置測傾器測得樓房頂部點(diǎn)的仰角為，向前走20米到達(dá)處，測得點(diǎn)的仰角為，已知測傾器的高度為1.6米，則樓房的高度為米（保留根號）
【分析】先證，設(shè)米，表示出、，再在△中，由，求出，進(jìn)而求出即可．
【解答】解：由題意得：，，
是等腰直角三角形，
，
設(shè)米，則米，
在△中，
，
，
解得，，
（米，
故答案為：米．
【點(diǎn)評】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握銳角三角函數(shù)定義和等腰直角三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
（2021秋?五華區(qū)校級月考）如圖，一艘輪船從位于燈塔的北偏東方向，距離燈塔60海里的小島出發(fā)，沿正南方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔的南偏東方向上的處，這時(shí)輪船與小島的距離約是 82 海里．（結(jié)果保留整數(shù)，
【分析】根據(jù)海里，，可以先求得的長，然后根據(jù)勾股定理可以得到的長，再根據(jù)，，即可得到，然后即可計(jì)算出的長．
【解答】解：設(shè)與交于點(diǎn)，如右圖所示，
由已知可得，海里，，
海里，
（海里），
，，，海里，
（海里），故答案為：82．
【點(diǎn)評】本題考查解直角三角形的應(yīng)用—方向角問題，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，求出和的長．
（2021秋?肇源縣月考）如圖，在東西方向的海岸線上有，兩個(gè)港口，甲貨船從港沿北偏東的方向以4海里小時(shí)的速度出發(fā)，同時(shí)乙貨船從港沿西北方向出發(fā)，2小時(shí)后相遇在點(diǎn)處，則乙貨船每小時(shí)航行 2.8 海里．（精確到，參考數(shù)據(jù)
【分析】作于點(diǎn)，首先在直角三角形中求得，然后在直角三角形中求得的長，最后除以時(shí)間即可得到乙貨輪航行的速度．
【解答】解：作于點(diǎn)，
甲貨船從港沿北偏東的方向以4海里小時(shí)的速度出發(fā)，
，（海里），
（海里）．
乙貨船從港沿西北方向出發(fā)，
，
（海里），乙貨船每小時(shí)航行（海里小時(shí)），故答案為2.8．
【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是從紛雜的實(shí)際問題中整理出直角三角形并利用解直角三角形的知識求解．
（2021秋?昌江區(qū)校級期中）小李想測量一棵樹的高度，假設(shè)樹是豎直生長的，用圖中線段表示，小李站在點(diǎn)測得，小李從點(diǎn)走4米到達(dá)了斜坡的底端點(diǎn)，并測得，從點(diǎn)上斜坡走了8米到達(dá)點(diǎn)，測得，，，在同一水平線上，、、、、在同一平面內(nèi)，則大樹的高度約為 24.4 米．（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：，
【分析】過作于，于，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出，根據(jù)勾股定理求出，進(jìn)而求出，根據(jù)正切的定義列出方程，解方程得到答案．
【解答】解：過作于，于，
則四邊形為矩形，
，，
，
，
米，
（米，（米，
米，
，，
，
，，
，，
，
，即，
解得：（米，
故答案為：24.4．
【點(diǎn)評】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用—坡度坡角問題，掌握坡度坡角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
（2021秋?青羊區(qū)校級期中）如圖，小陽發(fā)現(xiàn)電線桿的影子落在土坡的坡面和地面上，量得米，米，的坡度為；且此時(shí)測得1米桿在地面上的影長為2米，則電線桿的高度為米．
【分析】過點(diǎn)作于，交的延長線于，根據(jù)坡度的概念分別求出、，根據(jù)題意求出，進(jìn)而求出．
【解答】解：過點(diǎn)作于，交的延長線于，
則四邊形為矩形，
，，
在中，的坡度為，
設(shè)米，則米，
由勾股定理得：，
解得：，（舍去），
米，米，
米，
由題意得：米，
米，
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用—坡度坡角問題，掌握坡度坡角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
（2021?墾利區(qū)一模）自開展“全民健身運(yùn)動(dòng)”以來，喜歡戶外步行健身的人越來越多．為方便群眾步行健身，某地政府決定對一段如圖1所示的坡路進(jìn)行改造．如圖2所示，改造前的斜坡米，坡度為；將斜坡的高度降低米后，斜坡改造為斜坡，其坡度為．則斜坡的長為米．（結(jié)果保留根號）
【分析】根據(jù)題意和銳角三角函數(shù)可以求得的長，進(jìn)而得到的長，再根據(jù)銳角三角函數(shù)可以得到的長，然后由勾股定理即可求得的長即可．
【解答】解：，米，坡度為，
，
，
米，
（米，
，斜坡的坡度為，
，
即，
解得：（米，
（米，
故答案為：米．
【點(diǎn)評】本題考查解直角三角形的應(yīng)用坡度坡角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)定義，求出
的長是解答本題的關(guān)鍵．
（2021?蒼南縣一模）如圖1，這是一個(gè)裝有貨物的長方體形狀的木箱沿著坡面裝進(jìn)汽車貨箱的立體示意圖，圖2是它的平面示意圖．已知汽車貨箱高度，貨箱底面距地面的高度，坡面與地面的夾角，木箱的長為，高為，寬小于汽車貨箱的寬度．已知，木箱底部頂點(diǎn)與坡面底部點(diǎn)重合，則木箱底部懸空部分的長為 1 ，木箱上部頂點(diǎn)到汽車貨箱頂部的距離為．
【分析】解直角，根據(jù)正弦函數(shù)的定義求出，根據(jù)求出的長；作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，證明，，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例求出，由，那么木箱上部頂點(diǎn)到汽車貨箱頂部的距離為．
【解答】解：，，
，
，
，
，即木箱底部懸空部分的長為．
作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，
則，，，
，，
，，
即，
解得，，
，
，
即木箱上部頂點(diǎn)到汽車貨箱頂部的距離為．
故答案為：1，0.12．
【點(diǎn)評】本題考查解直角三角形的應(yīng)用坡度坡角問題，相似三角形、全等三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，作出輔助線構(gòu)造直角三角形，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
（2021?甘谷縣一模）如圖是攔水壩的橫斷面，斜紋的高度為6米，斜面的坡比為，則斜坡的長為米．（保留根號）
【分析】根據(jù)斜面坡度為，斜坡的水平寬度為12米，可得，，然后利用勾股定理求出的長度．
【解答】解：斜面坡度為，，
，
則．
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)坡角構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)的知識求解．
（2020秋?鐵嶺月考）汛期已過，為加強(qiáng)明年的防汛工作，我市對一攔水壩進(jìn)行加固，如圖，加固前攔水壩的橫斷面是梯形，已知迎水坡面，背水坡面，，加固后攔水壩的橫斷面為梯形，，則的長為．
【分析】過點(diǎn)作于，過得作于，根據(jù)正弦的定義求出，進(jìn)而求出，根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)正切的定義求出，結(jié)合圖形計(jì)算，得到答案．
【解答】解：過點(diǎn)作于，過得作于，
則四邊形為矩形，
，
在中，，，
則，
，
在中，，
在中，，
則，
解得：，
，
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用—坡度坡角問題，掌握坡度坡角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
（2021?大冶市模擬）如圖，測高儀距建筑物底部，，，在測高儀處觀測建筑物頂端的仰角為，測高儀高度為，則建筑物的高度為 7.5 ．（精確到，，，
【分析】過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，在中，根據(jù)三角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算即可求得，進(jìn)而得到．
【解答】解：如圖，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，
，
四邊形是矩形，
，，
在中，
，
，
，
答：建筑物的高度約為，
故答案為：7.5．
【點(diǎn)評】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形的邊角關(guān)系是正確解答的前提，構(gòu)造直角三角形是解決問題的關(guān)鍵．
（2021?武漢模擬）某市為了加快網(wǎng)格信號覆蓋，在市區(qū)附近小山頂架設(shè)信號發(fā)射塔，如圖所示．小軍為了知道發(fā)射塔的高度，從地面上的一點(diǎn)測得發(fā)射塔頂端點(diǎn)的仰角是，向前走60米到達(dá)點(diǎn)測得點(diǎn)的仰角是，測得發(fā)射塔底部點(diǎn)的仰角是，則約81 米；信號發(fā)射塔的高度為米．（結(jié)果精確到0.1米，
【分析】設(shè)米，在和中，根據(jù)三角函數(shù)利用表示出和，根據(jù)即可列出方程求得的值，再在中利用三角函數(shù)求得的長，即可求出的長度．
【解答】解：設(shè)為米，
在中，
，
,
,
,
在中，
,
,
,
，
，
則，
解得：，
，
(米,
在中，,,
，
（米．
答：約為81米，信號發(fā)射塔的高度約是94.6米．
故答案為約81,約94.6．
【點(diǎn)評】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角的問題，正確求得的長度是關(guān)鍵．
（2021?徐州模擬）如圖，一艘船由港沿北偏東方向航行至港，然后再沿北偏西方向航行至港，港在港北偏東方向，則，兩港之間的距離為．
【分析】過作于，過作，證出，由題意得，，解直角三角形求出、的長，即可得到答案．
【解答】解：如圖，過作于，過作，
則，，
，，
，
由題意得，，，
在中，，
是等腰直角三角形，
，
，
在中，，，
，
，
，兩港之間的距離為，
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，方向角問題，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識；熟練掌握解直角三角形，作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．
（2020?余姚市模擬）在一次綜合社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)中，小東同學(xué)從處出發(fā)，要到地北偏東方向的處，他先沿正東方向走了4千米到達(dá)處，再沿北偏東方向走，恰能到達(dá)目的地，如圖所示，則、兩地相距 5.5 千米．（結(jié)果精確到0.1千米，參考數(shù)據(jù)：，
【分析】先求出，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出，然后解直角三角形即可得到結(jié)論．
【解答】解：在的正東方，在地的北偏東方向，
，
在地的北偏東方向，
，
，
過作于，
在中，，，
，，
在中，，
，
，
答：、兩地相距5.5千米，
故答案為：5.5．
【點(diǎn)評】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用方向角問題，關(guān)鍵是實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形問題，此題還運(yùn)用了三角形內(nèi)角和定理．
（2021?蘭州）避雷針是用來保護(hù)建筑物、高大樹木等避免雷擊的裝置．如圖，小陶同學(xué)要測量垂直于地面的大樓頂部避雷針的長度，，三點(diǎn)共線），在水平地面點(diǎn)測得，，點(diǎn)與大樓底部點(diǎn)的距離，求避雷針的長度．（結(jié)果精確到．參考數(shù)據(jù)：，，，，，
【分析】解直角三角形求出，，根據(jù)求解即可．
【解答】解：在中，，
，
（米，
在中，，
，
（米，
（米．
答：避雷針的長度為5.4米．
【點(diǎn)評】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．
（2021?綏化）一種可折疊的醫(yī)療器械放置在水平地面上，這種醫(yī)療器械的側(cè)面結(jié)構(gòu)如圖實(shí)線所示，底座為，點(diǎn)、、在同一條直線上，測得，，，，其中一段支撐桿，另一段支撐桿．求支撐桿上的點(diǎn)到水平地面的距離是多少？（用四舍五入法對結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：，，，
【分析】方法一：過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作交延長線于，證四邊形是矩形，利用特殊角三角函數(shù)求即可；
方法二：過點(diǎn)作交延長線于，過點(diǎn)作延長線于，證四邊形是矩形，利用特殊角三角函數(shù)求即可．
【解答】解：方法一：如圖1，過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作交延長線于，
在中，，，
，
，
，
，，
，
，
在中，，
，
，，，
四邊形是矩形，
，
，，
，
，
，
，
答：支撐桿上的點(diǎn)到水平地面的距離大約是．
方法二：如圖2，過點(diǎn)作交延長線于，過點(diǎn)作延長線于，
在中，，，
，
，
，
同方法一得，，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，，，
，
答：支撐桿上的點(diǎn)到水平地面的距離大約是．
【點(diǎn)評】本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用，矩形的性質(zhì)等知識點(diǎn)，熟練掌握解直角三角形是解題的關(guān)鍵．
（2020秋?青島期末）周末，甲乙兩人相約去附近的山頂處寫生．甲從小山的正東方向處出發(fā)，乙從小山正西方向的處出發(fā)．已知處的海拔高度為18米，處的海拔高度比處高30米，且、兩地的水平距離為1048米．山坡的坡角為，山坡的坡度．問：
（1）小山的海拔高度是多少米？
（2）甲乙兩人到達(dá)山頂所走的路程相差多少米？（參考數(shù)據(jù)：，，
【分析】（1）過作于，于，過作于，交于，則米，米，由銳角三角函數(shù)定義得，再由坡度的定義得，則，解得：（米，即可求解；
（2）由勾股定理得（米，再由銳角三角函數(shù)定義得（米，則（米．
【解答】解：（1）如圖，過作于，于，過作于，交于，
則米，米，
由題意得：米，，
在中，，
，
山坡的坡度，
，
，
解得：（米，
（米，
答：小山的海拔高度約為298米；
（2）在中，米，（米，
（米，
在中，（米，
，
（米，
（米，
答：甲乙兩人到達(dá)山頂所走的路程相差約為130米．
【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．

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