菱形的定義及其性質(zhì)
1.菱形:有一組鄰邊相等平行四邊形叫做菱形.
【注意】
(1)菱形必須具備兩個(gè)條件:①是平行四邊形;②是有一組鄰邊相等.這兩個(gè)條件缺一不可.
(2)菱形的定義既是菱形的性質(zhì),也是菱形的判定方法.
2.菱形的性質(zhì):菱形是特殊的平行四邊形,它除了具有平行四邊形的所有性質(zhì)外,還具有自身獨(dú)特的性質(zhì),總結(jié)見下表.
【注意】
(1)菱形的兩條對(duì)稱軸分別是兩條對(duì)角線所在直線.
(2)菱形的兩條對(duì)角線互相垂直,且把菱形分成四個(gè)全等的直角三角形.把菱形的性質(zhì)與勾股定理相聯(lián)系,可得對(duì)角線與邊之間的關(guān)系,即邊長的平方等于兩條對(duì)角線一半的平方和.
(3)如果菱形的一個(gè)內(nèi)角為60°,那么菱形的兩條邊與較短的對(duì)角線構(gòu)成的三角形為等邊三角形.
3.菱形的面積
【拓展】對(duì)角線互相垂直的四邊形的面積等于對(duì)角線乘積的一半.
菱形的判定
方法點(diǎn)撥
1.菱形性質(zhì)的應(yīng)用問題
菱形是特殊的平行四邊形,它除了具有平行四邊形的所有性質(zhì)外,還具有下列性質(zhì):
(1)菱形的四條邊都相等;
(2)菱形的兩條對(duì)角線互相垂直平分,且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角;
(3)菱形的兩條對(duì)稱軸分別是兩條對(duì)角線所在的直線;
(4)菱形的兩條對(duì)角線互相垂直,且把菱形分成四個(gè)全等的直角三角形.把菱形的性質(zhì)與勾股定理相聯(lián)系,可得對(duì)角線與邊之間的關(guān)系,即邊長的平方等于兩條對(duì)角線一半的平方和;
(5)如果菱形的一個(gè)內(nèi)角為,那么菱形的兩條邊與較短的對(duì)角線構(gòu)成的三角形為等邊三角形.
利用菱形的性質(zhì)求線段的長,主要是利用菱形的四條邊都相等,且對(duì)角線互相垂直平分,通過構(gòu)造直角三角形進(jìn)行求解.
2.菱形的判定問題
菱形的判定方法:
(1)有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形;
(2)四條邊都相等的四邊形是菱形;
(3)兩條對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.
判定一個(gè)四邊形是菱形時(shí),可先說明它是平行四邊形,再說明它的一組鄰邊相等或它的對(duì)角線互相垂直,也可直接說明它的四條邊都相等或它的對(duì)角線互相垂直平分.
性質(zhì)
數(shù)學(xué)語言
圖形

菱形的四條邊都相等
四邊形是菱形,
.
對(duì)角線
菱形的兩條對(duì)角巷互相垂直,并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角
四邊形是菱形,
,
對(duì)稱性
菱形是軸對(duì)稱圖形,有兩條對(duì)稱軸
公式由來
文字語言
數(shù)學(xué)語言
圖示
菱形的面積公式
菱形是平行四邊形.
菱形的面積=底×高.
菱形的對(duì)角線互相垂直
菱形的面積=對(duì)角線長的乘積的一半
判定方法
數(shù)學(xué)語言
圖示

有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形(定義).
在中,
是菱形.
四條邊相等的四邊形是菱形.
在四邊形中,
四邊形是菱形.
對(duì)角線
對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形
在中,
是菱形.

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