中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)備考知識(shí)清單24 圖形的變化

這是一份中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)備考知識(shí)清單24 圖形的變化，共11頁(yè)。學(xué)案主要包含了尺規(guī)作圖，投影與視圖，圖形的軸對(duì)稱(chēng)、平移、旋轉(zhuǎn)等內(nèi)容，歡迎下載使用。
五種基本尺規(guī)作圖
投影與三視圖
常見(jiàn)幾何體的三視圖與展開(kāi)圖
軸對(duì)稱(chēng)與中心對(duì)稱(chēng)
軸對(duì)稱(chēng)圖形與中心對(duì)稱(chēng)圖形
圖形的折疊及最短路徑問(wèn)題
平移與旋轉(zhuǎn)
方法點(diǎn)撥
考向一 尺規(guī)作圖
1.解角的平分線作法的問(wèn)題
作的平分線，方法如下：
如圖所示，① 以點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)；
②分別以點(diǎn)為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧在的內(nèi)部相交于點(diǎn)；
③畫(huà)射線，射線即為所求的角平分線.
【注意】分別以點(diǎn)為圓心畫(huà)弧時(shí)，特別強(qiáng)調(diào)半徑長(zhǎng)應(yīng)大于的長(zhǎng)，否則兩弧無(wú)交點(diǎn).
2.解與線段垂直平分線作法有關(guān)的問(wèn)題
（1）作線段的垂直平分線，方法如下：
①分別以點(diǎn)和為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)和點(diǎn)；
②作直線.
直線就是線段的垂直平分線.
（2）經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線
已知：直線和外一點(diǎn).
求作：的垂線，使它經(jīng)過(guò)點(diǎn).
作法：①任意取一點(diǎn)，使點(diǎn)與點(diǎn)在的兩旁；
②以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，交于點(diǎn)和.
③分別以點(diǎn)和點(diǎn)為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn).
④作直線.
直線就是所求的垂線.
考向二 投影與視圖
1.解中心投影的問(wèn)題
由同一點(diǎn)（點(diǎn)光）發(fā)出的光線形成的投影叫做中心投影.生活中能形成中心投影的點(diǎn)光主要有路燈、臺(tái)燈、投影儀的燈光、放映機(jī)的燈光等.在中心投影中，點(diǎn)光、物體上任意一點(diǎn)及其影子上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)三點(diǎn)共線.
【敲黑板】
（1）等高的物體垂直于地面放置時(shí)，在燈光的照射下，如圖（1）所示，離點(diǎn)光近的物體的影子短，離點(diǎn)光遠(yuǎn)的物體的影子長(zhǎng).
（2）等長(zhǎng)的物體平行于地面放置時(shí)，在燈光的照射下，如圖（2）所示，離點(diǎn)光越近，物體的影子越長(zhǎng)，離點(diǎn)光越遠(yuǎn)，物體的影子越短.
（3）形成中心投影的過(guò)程中，點(diǎn)光、物體邊緣上的點(diǎn)以及它在影子上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在同一條直線上，根據(jù)同一燈光下兩個(gè)不同物體及它們的影子，可以確定點(diǎn)光所在位置.
【方法總結(jié)】
中心投影的相關(guān)計(jì)算常與相似三角形結(jié)合，利用相似三角形的性質(zhì)列方程（組）是解決中心投影計(jì)算問(wèn)題常用的方法.
2.解平行投影問(wèn)題
太陽(yáng)光線可以看成平行光線，由平行光線所形成的投影為平行投影，因此物體在陽(yáng)光的照射下形成的影子是平行投影.常運(yùn)用平行投影下的不同物體，在同一時(shí)刻，物高與影長(zhǎng)成正比進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算.一般情況下，經(jīng)過(guò)平行投影，直線的平行或相交關(guān)系保持不變.
【敲黑板】
（1）平行投影中對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線是互相平行的；反之，物體與其投影的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線是互相平行的就說(shuō)明是平行投影.
（2）在不用時(shí)刻的太陽(yáng)光照射下，物體的影子的大小和方向都在改變.
（3）平行投影的特征：①等高的物體垂直（或平行）于地面放置時(shí)，如圖所示，同一時(shí)刻，在太陽(yáng)光下，它們的影子長(zhǎng)相等.
②在太陽(yáng)光下，不同時(shí)刻，同一地點(diǎn)、同一物體的影子不僅方向在改變，影子的長(zhǎng)度一般也不同.從早晨到傍晚，物體影子的指向是：正西西北正北東北正東（北半球北回歸線以北地區(qū)）.一天之中，同一物體的影子的長(zhǎng)短的變化規(guī)律是：長(zhǎng)短最短短長(zhǎng).
③在太陽(yáng)光下，同一時(shí)刻，不同物體本身的高度與它們的影子長(zhǎng)度成正比，即.
【方法總結(jié)】
太陽(yáng)光下的平行投影作圖，應(yīng)首先確定太陽(yáng)光線，然后平移太陽(yáng)光線即可.由于平行投影的投影線是平行的，因此與平行投影有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題（如測(cè)量物體高度等）往往利用相似三角形來(lái)解決.
3.解物體三視圖的識(shí)別問(wèn)題
從幾何體的正面看到的圖形是主視圖，從左面看到的是左視圖，從上面看到的是俯視圖.識(shí)別三種視圖時(shí)，要知道主視圖表示物體的左右、上下——反映物體的長(zhǎng)與高；俯視圖表示物體的左右、前后——反映物體的長(zhǎng)與寬；左視圖表示物體的上下、前后——反映物體的高與寬.由于每一個(gè)視圖反映物體兩個(gè)方向的長(zhǎng)度，故三視圖之間應(yīng)保持下面的對(duì)應(yīng)關(guān)系：主視圖與俯視圖長(zhǎng)對(duì)正，主視圖與左視圖高平齊，俯視圖與左視圖寬相等，簡(jiǎn)稱(chēng)為“長(zhǎng)對(duì)正、高平齊，寬相等”.
4.解畫(huà)物體三視圖的問(wèn)題
如圖所示，畫(huà)基本幾何體的三視圖時(shí)，要注意從三個(gè)方面觀察它們.具體方法：
（1）確定主視圖的位置，畫(huà)出主視圖；
（2）在主視圖正下方畫(huà)出俯視圖，注意與主視圖“長(zhǎng)對(duì)正”；
（3）在主視圖正右方畫(huà)出左視圖，注意與主視圖“高平齊”，與俯視圖“寬相等”.
畫(huà)物體的三視圖時(shí)要遵循“長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等”的原則.畫(huà)圖時(shí)規(guī)定：看得見(jiàn)的部分的輪廓線畫(huà)成實(shí)線，因被其他部分遮擋看不見(jiàn)的部分的輪廓線畫(huà)成虛線.
【注意】
畫(huà)出三視圖，位置一定要放對(duì)，主視圖的正右方放左視圖，主視圖的正下方放俯視圖，要把握好三者之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.
5.根據(jù)三視圖確定小正方體的個(gè)數(shù)問(wèn)題
先根據(jù)幾何體（由小正方體搭成）的三視圖分析出幾何體的行數(shù)、列數(shù)及層數(shù)，再確定小正方體的個(gè)數(shù).
由主視圖和俯視圖確定小正方體的最多和最少個(gè)數(shù)的一般步驟如下：
第一步：根據(jù)主視圖數(shù)出每列中的小正方形個(gè)數(shù)，在俯視圖對(duì)應(yīng)的列（從左到右的順序）的第一行（從上到下的順序）的每一個(gè)小正方形內(nèi)填入相應(yīng)的數(shù)字.
第二步：在俯視圖對(duì)應(yīng)的列的其他行的小正方形內(nèi)填入不超過(guò)第一行且不低于1的數(shù)字.
第三步：若要求的是最多需要小正方體的個(gè)數(shù)，則應(yīng)取俯視圖中每一個(gè)小正方形上最大的數(shù)字（若相同，則任取一個(gè)），再把它們相加，即可得小正方體的最多個(gè)數(shù)；若要求的是最少需要小正方體的個(gè)數(shù)，則應(yīng)取俯視圖每列中一個(gè)小正方形上最大的數(shù)字，其余小正方形上最小的數(shù)字（若相同，則任取一個(gè)），再把它們相加，即可得小正方體的最少個(gè)數(shù).
【方法總結(jié)】
由俯視圖我們能夠確定幾何體從下到上的第一層小正方體的個(gè)數(shù)及分布形狀；由主視圖可以確定幾何體每層的小正方體的可能的個(gè)數(shù).
考向三 圖形的軸對(duì)稱(chēng)、平移、旋轉(zhuǎn)
1.解軸對(duì)稱(chēng)圖形和中心對(duì)稱(chēng)圖形的識(shí)別問(wèn)題
如果一個(gè)平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱(chēng)圖形，這條直線就是它的對(duì)稱(chēng)軸.也說(shuō)這個(gè)圖形關(guān)于這條直線（成軸）對(duì)稱(chēng).
把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來(lái)的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱(chēng)圖形，這個(gè)點(diǎn)就是它的對(duì)稱(chēng)中心.
在判斷一個(gè)圖形是否為軸對(duì)稱(chēng)圖形、中心對(duì)稱(chēng)圖形時(shí)，要明確以下兩點(diǎn)：①如果能找到一條直線（對(duì)稱(chēng)軸）把一個(gè)圖形分成兩部分，且直線兩旁的部分完全重合，那么這個(gè)圖形就是軸對(duì)稱(chēng)圖形；② 把一個(gè)平面圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能和原圖形重合，那么這個(gè)圖形就是中心對(duì)稱(chēng)圖形.
【規(guī)律總結(jié)】
圖中有三角形、五邊形等奇數(shù)條邊的圖形時(shí)，一般不是中心對(duì)稱(chēng)圖形；圖中含有圓、正方形等圖形時(shí)，它可能既是軸對(duì)稱(chēng)圖形又是中心對(duì)稱(chēng)圖形.
2.解有關(guān)圖形的平移與旋轉(zhuǎn)的計(jì)算問(wèn)題
在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形沿某個(gè)方向移動(dòng)一定的距離，這種圖形變換就是平移.圖形平移具有以下性質(zhì)：經(jīng)過(guò)平移，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段平行（或在同一條直線上）且相等，對(duì)應(yīng)線段平行（或在同一條直線上）且相等，對(duì)應(yīng)角相等.把一個(gè)平面圖形繞著平面內(nèi)某一點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，這種圖形變換稱(chēng)為圖形的旋轉(zhuǎn).
圖形旋轉(zhuǎn)具有以下性質(zhì)：① 對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等.②對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角.③旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等.圖形的平移和旋轉(zhuǎn)都不改變圖形的形狀和大小.
解圖形的平移問(wèn)題時(shí)，一要弄清楚平移的方向，二要注意平移的距離；解圖形的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題時(shí)，要注意圖形旋轉(zhuǎn)的三要素（旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角度）和性質(zhì).
3.解圖形的平移與旋轉(zhuǎn)的畫(huà)圖問(wèn)題
平移與旋轉(zhuǎn)作圖都應(yīng)抓住兩個(gè)要點(diǎn)：一是平移、旋轉(zhuǎn)的方向；二是平移的距離及旋轉(zhuǎn)的角度.基本的作圖方法是先選取已知圖形的幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，再根據(jù)平移或旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作出它們的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，然后以“局部帶動(dòng)整體”的思想方法作出變化后的圖形.無(wú)論是平移還是旋轉(zhuǎn)，都不改變圖形的大小和形狀.
4.利用軸對(duì)稱(chēng)解決最短距離問(wèn)題
幾何體中的最短路徑問(wèn)題，實(shí)質(zhì)就是構(gòu)建和轉(zhuǎn)化“兩點(diǎn)之間，線段最短”或“三角形兩邊之和大于第三邊”的問(wèn)題，關(guān)鍵是找相關(guān)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化.
【方法總結(jié)】
線段和最短的問(wèn)題，往往把幾條線段轉(zhuǎn)化成一條線段，利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”解決.通常將涉及的幾點(diǎn)中的任一點(diǎn)作出其關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)解決.
5.解與線段垂直平分線有關(guān)的問(wèn)題
經(jīng)過(guò)某一條線段的中點(diǎn)，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線.
已知線段的垂直平分線，就應(yīng)想到線段垂直平分線上的點(diǎn)到該線段兩端點(diǎn)的距離相等.
已知到線段兩端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)，就應(yīng)想到這些點(diǎn)在該線段的垂直平分線上.
【拓展延伸】
（1）線段的垂直平分線可以看成是到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的集合.
（2）利用線段垂直平分線的性質(zhì)可以證明兩線段相等，不用再證明三角形全等.利用線段垂直平分線的判定可以證明垂直關(guān)系，只需找出線段的兩個(gè)段帶你距離相等的兩個(gè)點(diǎn)，過(guò)這兩點(diǎn)的直線就是線段的垂直平分線，從而得出垂直關(guān)系，也不必證明兩個(gè)三角形全等.
（3）任意一個(gè)三角形三條邊的垂直平分線必相交于一點(diǎn)，且這個(gè)點(diǎn)到三角形各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.
【規(guī)律方法】
證明一個(gè)點(diǎn)在一條線段的垂直平分線上的方法有兩種：一是從已知點(diǎn)向已知線段作垂線段，證明平分已知線段；二是取線段的中點(diǎn)，連接這一點(diǎn)與已知點(diǎn)，證明所連線段與已知線段垂直.
類(lèi)型
作法
圖示
原理
作一條線段等于已知線段（截?。?br>（1）作射線；
（2）在上截取，即為所求線段
圓弧上的點(diǎn)到圓心的距離等于半徑
作一個(gè)角等于已知角（截取）
（1）作射線；
（2）在上以為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑作弧，交的兩邊于點(diǎn)；
（3）以為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，交于點(diǎn)；
（4）以點(diǎn)為圓心，以的長(zhǎng)為半徑作弧，交前弧于點(diǎn)；
（5）過(guò)點(diǎn)作射線，即為所求角
三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等；全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等；兩點(diǎn)確定一條直線
作一個(gè)角的平分線（平分）
（1）以點(diǎn)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，分別交于點(diǎn)，；
（2）分別以點(diǎn),為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在內(nèi)相交于點(diǎn)；
（3）作射線即為所求
作線段的垂直平分線（平分）
（1）分別以點(diǎn)為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑向線段兩側(cè)作弧，兩弧分別交與點(diǎn)；
（2）過(guò)點(diǎn)作直線，所得直線即為所求
到線段兩端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上；兩點(diǎn)確定一條直線
過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線（截取+平分）
點(diǎn)在直線上
（1）以點(diǎn)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，交直線于兩點(diǎn)；
（2）分別以點(diǎn)為圓心，以大于長(zhǎng)為半徑向直線上方作弧，交點(diǎn)為；
（3）作直線即為所求
等腰三角形“三線合一”；兩點(diǎn)確定一條直線
點(diǎn)在直線外
（1）在直線另一側(cè)取點(diǎn)；
（2）以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交直線于兩點(diǎn)；
（3）分別以點(diǎn)為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧在直線同側(cè)交與點(diǎn)；
（4）連接即為所求
圓弧上的點(diǎn)到圓心的距離等于半徑；到線段兩端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上；兩點(diǎn)確定一條直線
投影
概念
一般地，用光線照射物體，在某個(gè)平面（底面、墻壁等）上得到的影子叫做物體的投影，照射光線叫做投影線，投影所在的平面叫做投影面
分類(lèi)
平行投影
由平行光線形成的投影叫做平行投影；物體在太陽(yáng)光照射下可以看成平行投影；投影線垂直于投影面產(chǎn)生的投影叫做正投影
中心投影
由同一點(diǎn)（點(diǎn)光）發(fā)出的光線形成的投影叫做中心投影，如燈光下某物體的投影
三視圖
概念
主視圖
正投影情況下，在正面內(nèi)得到的由前向后觀察物體的視圖
左視圖
正投影情況下，在側(cè)面內(nèi)得到的由左向右觀察物體的視圖
俯視圖
正投影情況下，在水平面內(nèi)得到的由上向下觀察物體的視圖
畫(huà)法
（1）主視圖和俯視圖要長(zhǎng)對(duì)正；
（2）主視圖和左視圖要高平齊；
（3）左視圖和俯視圖要寬相等；
（4）看得見(jiàn)的輪廓線通常畫(huà)成實(shí)線，看不見(jiàn)的輪廓線通常畫(huà)成虛線
由三視圖還原幾何體
（1）想象：根據(jù)各視圖想象從各個(gè)方向看到的幾何體形狀；
（2）定形：綜合確定幾何體（或?qū)嵨镌停┑男螤睿?br>（3）定大小位置：根據(jù)三視圖“長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等”的關(guān)系，確定輪廓線的位置，以及各個(gè)方向的尺寸
幾何體
三視圖
展開(kāi)圖（任一種）
軸對(duì)稱(chēng)
中心對(duì)稱(chēng)
圖形
性質(zhì)
（1）成軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形是全等圖形；
（2）成軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形只有一條對(duì)稱(chēng)軸；
（3）對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被對(duì)稱(chēng)軸垂直平分
（1）成中心對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形是全等圖形；
（2）成中心對(duì)稱(chēng)的兩個(gè) 圖形只有一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心；
（3）對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線交于對(duì)稱(chēng)中心，并且被對(duì)稱(chēng)中心平分
作圖方法
（1）找出原圖形的關(guān)鍵點(diǎn)，作出它們關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸（或?qū)ΨQ(chēng)中心）的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)；
（2）根據(jù)原圖形依次連接各對(duì)稱(chēng)點(diǎn)即可
軸對(duì)稱(chēng)圖形
中心對(duì)稱(chēng)圖形
圖形
判斷方法
（1）有對(duì)稱(chēng)軸——直線；
圖形沿對(duì)稱(chēng)軸折疊后完全重合
（1）有對(duì)稱(chēng)中心——點(diǎn)；
（2）圖形繞對(duì)稱(chēng)中心旋轉(zhuǎn)后完全重合
【溫馨提示】常見(jiàn)的軸對(duì)稱(chēng)圖形、中心對(duì)稱(chēng)圖形
圖形的折疊
（1）位于折痕兩側(cè)的圖形關(guān)于折痕成軸對(duì)稱(chēng)
（2）折疊前后的兩部分圖形全等，對(duì)應(yīng)邊、角、線段、周長(zhǎng)、面積等均相等；
（3）折疊前后，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線被折痕所在直線垂直平分
最短路徑
基本問(wèn)題
如圖①，在直線上找一點(diǎn)，使得點(diǎn)到點(diǎn)和點(diǎn)的距離之和最短，即的值最小
方法
作軸對(duì)稱(chēng)圖形
依據(jù)
軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短
作法
如圖②，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接與直線相交于點(diǎn)，連接，則點(diǎn)即為所求，此時(shí)的值最小
內(nèi)容
要素
性質(zhì)
網(wǎng)格作圖步驟
（1）平移的方向；
（2）平移的距離
（1）平移前后對(duì)應(yīng)線段平行（或共線）且相等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段平行（或共線）且相等；
（2）對(duì)應(yīng)角分別相等，且對(duì)應(yīng)角的兩邊分別平行（或共線），方向一致；
（3）平移變換后的圖形與原圖形全等
（1）確定平移方向和平移距離；
（2）找原圖形關(guān)鍵點(diǎn)；
（3）按平移方向和距離平移各關(guān)鍵點(diǎn)；
（4）按原圖形順次連接各關(guān)鍵點(diǎn)平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，得到平移后的圖形
（1）旋轉(zhuǎn)中心；
（2）旋轉(zhuǎn)方向；
（3）旋轉(zhuǎn)角度
（1）對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；
（2）對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；
（3）旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等
（1）確定旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)方向及旋轉(zhuǎn)角；
（2）找原圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；
（3）連接關(guān)鍵點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心，按旋轉(zhuǎn)方向與旋轉(zhuǎn)角將它們旋轉(zhuǎn)，得到各關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)；
（4）按原圖形順次連接各關(guān)鍵點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，得到旋轉(zhuǎn)后的圖形