知識必備05 反比例函數(shù) -【知識清單】最新中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識點一覽表-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

2、學(xué)會運用數(shù)形結(jié)合思想。數(shù)形結(jié)合思想是指從幾何直觀的角度,利用幾何圖形的性質(zhì)研究數(shù)量關(guān)系，尋求代數(shù)問題的解決方法（以形助數(shù)）。
3、要學(xué)會搶得分點。一道中考數(shù)學(xué)壓軸題解不出來，不等于“一點不懂、一點不會”，要將整道題目解題思路轉(zhuǎn)化為得分點。
4、學(xué)會運用等價轉(zhuǎn)換思想。在研究數(shù)學(xué)問題時，我們通常是將未知問題轉(zhuǎn)化為已知的問題，將復(fù)雜轉(zhuǎn)化為簡單，將抽象轉(zhuǎn)化為具體，將實際轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)。
5、學(xué)會運用分類討論的思想。如果不注意對各種情況分類討論，就有可能造成錯解或漏解，縱觀近幾年的中考壓軸題分類討論思想解題已成為新的熱點。
6、轉(zhuǎn)化思想:體現(xiàn)在數(shù)學(xué)上也就是要把難的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題，把不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，把未知的問題轉(zhuǎn)化為已知的問題。
知識必備05 反比例函數(shù)
方法1：反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)
一．選擇題（共3小題）
1．（2023?天津）若點，，，，，都在反比例函數(shù)的圖象上，則，，的大小關(guān)系是
A．B．C．D．
【分析】分別將點，，的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式求出，，，然后再比較它們的大小即可得出答案．
【解答】解：將，代入，得：，即：，
將，代入，得：，即：，
將，代入，得：，即：，
．
故選：．
【點評】此題主要考查了反比例函數(shù)的圖象，解答此題的關(guān)鍵是理解函數(shù)圖象上的點滿足函數(shù)的解析式，滿足函數(shù)解析式的點都在函數(shù)的圖象上．
2．（2023?德州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形是矩形，點的坐標(biāo)為，是的中點，，交于點，函數(shù)的圖象過點．．且經(jīng)過平移后可得到一個反比例函數(shù)的圖象，則該反比例函數(shù)的解析式
A．B．C．D．
【分析】先根據(jù)函數(shù)圖象經(jīng)過點和點，求出和，再由所得函數(shù)解析式即可解決問題．
【解答】解：由題知，
，，，
令直線的函數(shù)表達式為，
則，
解得，
所以．
又因為點為的中點，
所以，
同理可得，直線的函數(shù)解析式為，
由得，
，
則，
所以點坐標(biāo)為．
將，兩點坐標(biāo)代入函數(shù)解析式得，
，
解得．
所以，
則，
將此函數(shù)圖象向左平移3個單位長度，再向下平移4個單位長度，
所得圖象的函數(shù)解析式為：．
故選：．
【點評】本題考查反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟知反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
3．（2023?株洲）下列哪個點在反比例函數(shù)的圖象上？
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的圖象上的點的橫縱坐標(biāo)乘積為4進行判斷即可．
【解答】解：．，不在反比例函數(shù)的圖象上，故選項不符合題意；
．，不在反比例函數(shù)的圖象上，故選項不符合題意；
．，不在反比例函數(shù)的圖象上，故選項不符合題意；
．，在反比例函數(shù)的圖象上，故選項符合題意．
故選：．
【點評】此題考查了反比例函數(shù)，熟練掌握反比例函數(shù)圖象上的點的坐標(biāo)滿足函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．
二．填空題（共3小題）
4．（2023?煙臺）如圖，在直角坐標(biāo)系中，與軸相切于點，為的直徑，點在函數(shù)的圖象上，為軸上一點，的面積為6，則的值為 24 ．
【分析】過點作軸于點，設(shè)的半徑為，則，，設(shè)，則點的坐標(biāo)為，據(jù)此可得，然后再根據(jù)的面積為6可求出，據(jù)此可得此題的答案．
【解答】解：過點作軸于點，
設(shè)的半徑為，
與軸相切于點，
，，
設(shè)，
則點的坐標(biāo)為，
，
，
，
即：，
．
故答案為：24．
【點評】此題主要考查了反比例函數(shù)的圖象，三角形的面積，解答此題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形的面積計算公式，理解函數(shù)圖象上的點滿足函數(shù)的解析式，滿足函數(shù)解析式的點都在函數(shù)的圖象上．
5．（2023?甘孜州）若反比例函數(shù)的圖象位于第一、三象限，則的取值范圍是．
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的圖形與比例系數(shù)的關(guān)系即可解決問題．
【解答】解：因為當(dāng)時，反比例函數(shù)位于第一、三象限，
當(dāng)時，反比例函數(shù)位于第二、四象限，
所以的取值范圍是：．
故答案為：．
【點評】本題考查反比例函數(shù)的圖象，熟知反比例函數(shù)圖象所位于的象限與的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
6．（2023?安徽）如圖，是坐標(biāo)原點，的直角頂點在軸的正半軸上，，，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過斜邊的中點．
（1）；
（2）為該反比例函數(shù)圖象上的一點，若，則的值為．
【分析】（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，求出、兩點坐標(biāo)，作出輔助線，證得，利用勾股定理及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可解答．
（2）求出、的解析式，再聯(lián)立方程組，求得點的坐標(biāo)，分兩種情況討論即可求解．
【解答】解：（1）在中，，，
，
，
是的中點，
，
如圖，過點作于，
，
，
在中，，
，．
反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過斜邊的中點，
，
解得．
故答案為：．
（2）設(shè)直線的解析式為，
則，
解得，
的解析式為，
，
直線的解析式為，
點既在反比例函數(shù)圖象上，又在直線上，
聯(lián)立得，
解得，，
當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)為，時，
，
；
當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)為，時，
，
；
綜上，．
故答案為：4．
【點評】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握直角三角形的性質(zhì)及勾股定理的應(yīng)用．
三．解答題（共1小題）
7．（2023?蘇州）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點．將點沿軸正方向平移個單位長度得到點，為軸正半軸上的點，點的橫坐標(biāo)大于點的橫坐標(biāo)，連接，的中點在反比例函數(shù)的圖象上．
（1）求，的值；
（2）當(dāng)為何值時，的值最大？最大值是多少？
【分析】（1）首先將點代入可求出，再將點的坐標(biāo)代入即可求出；
（2）過點作直線軸于，交于，先證和全等，得，，進而可求出點，根據(jù)平移的性質(zhì)得點，則，，據(jù)此可得出，最后求出這個二次函數(shù)的最大值即可．
【解答】解：（1）將點代入，得：，
點的坐標(biāo)為，
將點代入，得：．
（2）點的橫坐標(biāo)大于點的橫坐標(biāo)，
點在點的右側(cè)．
過點作直線軸于，交于，
由平移的性質(zhì)得：軸，，
，
點為的中點，
，
在和中，
，
，
，．
軸，點的坐標(biāo)為，
，
，
點的縱坐標(biāo)為4，
由（1）知：反比例函數(shù)的解析式為：，
當(dāng)時，，
點的坐標(biāo)為，
點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，
點，，軸，
點的坐標(biāo)為，
，
，
當(dāng)時，取得最大值，最大值為36．
【點評】此題主要考查了反比例函數(shù)的圖象、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，點的坐標(biāo)平移等，解答此題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，理解點的坐標(biāo)的平移，難點是在解答（2）時，構(gòu)造二次函數(shù)求最值．
方法2：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象綜合題
一．選擇題（共1小題）
1．（2023?淮安）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象分別與軸、軸交于、兩點，且與反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象交于點．若點坐標(biāo)為，，則的值是
A．B．C．D．
【分析】代入點到一次函數(shù)中，得出一次函數(shù)解析式，再求出點坐標(biāo)，連接，根據(jù)，以及和等高，所以，又因為兩個三角形共用一條邊，作，得到，求出長度，即點縱坐標(biāo)，代入一次函數(shù)中求出點坐標(biāo)，再求出值．
【解答】解：連接，作交坐標(biāo)軸于點（如圖）；
點在一次函數(shù)圖象中，代入得到，
一次函數(shù)解析式：；
點橫坐標(biāo)為0，
代入得到縱坐標(biāo)為，；
和等高，且，
；
又和共用一條邊，
，
；
將的縱坐標(biāo)代入一次函數(shù)中，得到橫坐標(biāo)為3；
點坐標(biāo)，
；
故選：．
【點評】本題考查學(xué)生反比例函數(shù)一次函數(shù)的綜合運用，屬于重難點題型．
二．填空題（共1小題）
2．（2023?阜新）正比例函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于，兩點，過點作軸，垂足為點，連接，則的面積是 5 ．
【分析】先求出，兩點的坐標(biāo)，進而得出點的坐標(biāo)，以為底，則高為，兩點間的水平距離，可求得的面積．
【解答】解：由題知，
，解得或，
即，，，．
又軸，垂足為點，
所以，．
則，
故．
所以．
故答案為：5．
【點評】本題是一道一次函數(shù)和反比例函數(shù)的綜合題，正確的表示出的面積是解題的關(guān)鍵．
三．解答題（共7小題）
3．（2023?遂寧）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于，兩點．，，為常數(shù)）
（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)圖象直接寫出不等式的解集；
（3）為軸上一點，若的面積為3，求點的坐標(biāo)．
【分析】（1）將點代入反比例函數(shù)的解析式即可求出反比例函數(shù)的解析式，再將點代入已求出的反比例函數(shù)解析式求出的值，進而得點的坐標(biāo)，然后將點，的坐標(biāo)代入一次函數(shù)的解析式即可求出一次函數(shù)的解析式；
（2）觀察函數(shù)的圖象，找出一次函數(shù)的圖象在反比例函數(shù)的上方所對應(yīng)的的取值范圍即可；
（3）過點，分別作軸的垂線，垂足分別為，，根據(jù)點，的坐標(biāo)可求出四邊形，據(jù)此可判斷點在線段上，然后根據(jù)即可求出點的坐標(biāo)．
【解答】解：（1）將點代入之中，得：，
反比例函數(shù)的解析式為：，
將代入反比例函數(shù)之中，得：，
點的坐標(biāo)為，
將點，代入之中，得：，
解得：，
一次函數(shù)的解析式為：．
（2）觀察函數(shù)的圖象可知：當(dāng)或時，一次函數(shù)的圖象均在反比例函數(shù)的上方，
的解集為：或．
（3）過點，分別作軸的垂線，垂足分別為，，
，，
，，，，
，
軸，軸，
四邊形為直角梯形，
，
設(shè)點的坐標(biāo)為，
的面積為3，
有以下兩種情況：
①點在線段上，
，
，，
，，
，
解得：，
此時點的坐標(biāo)為；
②當(dāng)在延長線上時，記作
，，
，，
又，
，
解得：，
此時點的坐標(biāo)為．
綜上所述：點的坐標(biāo)為或．
【點評】此題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式等，解答此題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式的方法與技巧，難點是解答（3）時，根據(jù)相關(guān)點的坐標(biāo)向坐標(biāo)軸作垂線把不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形面積的和差．
4．（2023?甘孜州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象相交于，兩點．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）若點為軸正半軸上一點，且滿足，求點的坐標(biāo)．
【分析】（1）先求出點坐標(biāo)，再代入反比例函數(shù)解析式即可．
（2）根據(jù)反比例函數(shù)的對稱性可求出的長，再由并利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可求得的長，進而解決問題．
【解答】解：（1）點在一次函數(shù) 的圖象上，
．
點的坐標(biāo)為．
反比例函數(shù) 的圖象經(jīng)過點，
．
反比例函數(shù)的解析式為．
（2）過點作軸的垂線，垂足為點，
，
則，．
由勾股定理，得．
由圖象的對稱性，可知．
又，
．
點的坐標(biāo)為．
【點評】本題考查一次函數(shù)和反比例函數(shù)的交點問題，熟知反比例函數(shù)和一次函數(shù)的對稱性是解題的關(guān)鍵．
5．（2023?呼和浩特）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正六邊形的對稱中心在反比例函數(shù)的圖象上，邊在軸上，點在軸上，已知．
（1）判斷點是否在該反比例函數(shù)的圖象上，請說明理由；
（2）求出直線的解析式，并根據(jù)圖象直接寫出當(dāng)時，不等式的解集．
【分析】（1）連接，，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)可得出：，，，，利用待定系數(shù)法可得反比例函數(shù)的解析式為，再將點的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式檢驗即可；
（2）觀察圖象，根據(jù)兩函數(shù)圖象的上下位置關(guān)系找出不等式的解集即可．
【解答】解：（1）點在該反比例函數(shù)的圖象上．理由如下：
如圖，連接，，
正六邊形的邊長，點是正六邊形的對稱中心，
，，
，，
，，均為等邊三角形，
，，
，，，
，，
，，，，
點在反比例函數(shù)的圖象上，
，
該反比例函數(shù)的解析式為，
當(dāng)時，，
點在該反比例函數(shù)的圖象上；
（2）將，，，分別代入，得，
解得：，
直線的解析式為，
觀察圖象可得：在第一象限內(nèi)，當(dāng)直線位于雙曲線上方時，，
不等式的解集為．
【點評】本題考查反比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)，正六邊形的性質(zhì)，待定系數(shù)法等；根據(jù)兩函數(shù)圖象的上下位置關(guān)系找出不等式的解集是解題的關(guān)鍵．
6．（2023?青海）在同一平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象如圖所示．
（1）求一次函數(shù)的解析式；
（2）當(dāng)時，直接寫出不等式的解集．
【分析】（1）由圖象中給出交點的橫坐標(biāo)結(jié)合反比例函數(shù)表達式，可求得此點的坐標(biāo)，進而求出一次函數(shù)的解析式．
（2）利用數(shù)形結(jié)合的思想，可求出不等式得解集．
【解答】解：（1）由圖象知，
一次函數(shù)與反比例函數(shù)的一個交點的橫坐標(biāo)為1，且反比例函數(shù)表達式為，
則交點的縱坐標(biāo)為2．
將代入得，．
所以一次函數(shù)的解析式為：．
（2）當(dāng)，即圖象在軸的右側(cè)，
觀察圖象發(fā)現(xiàn)：當(dāng)圖象在直線的右側(cè)時，一次函數(shù)的圖象在反比例函數(shù)圖象的上方，
所以不等式的解集為：．
【點評】本題考查用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，以及用數(shù)形結(jié)合的思想求不等式的解集，由圖象給出的信息，求出交點的一個坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．
7．（2023?泰州）在平面直角坐標(biāo)系中，點、，的位置和函數(shù)、的圖象如圖所示．以為邊在軸上方作正方形，邊與函數(shù)的圖象相交于點，邊與函數(shù)、的圖象分別相交于點、，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點、，與軸相交于點，連接．
（1）若，，求函數(shù)的表達式及的面積；
（2）當(dāng)、在滿足的條件下任意變化時，的面積是否變化？請說明理由；
（3）試判斷直線與邊的交點是否在函數(shù)的圖象上？并說明理由．
【分析】（1）先確定、兩個點的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出函數(shù)的表達式，進而求出點的坐標(biāo)，結(jié)合點求的面積；
（2）按（1）的思路求解；
（3）用，表示直線與邊的交點，驗證是否在函數(shù)的圖象上．
【解答】（1），，
點，，，，
點，，，，，
一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點、，
設(shè)，則
，
，
函數(shù)的表達式為，
，
，
．
（2）點，，，，
點，，，，，
設(shè)，則
，
，
，
，
．
當(dāng)、在滿足的條件下任意變化時，的面積不變化．
（3）設(shè)直線與邊的交點為，設(shè)直線為，代入，，得，
，
，
當(dāng)時，，
，
點在的圖象上．
【點評】本題考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，難在用字母表示，計算繁瑣易出錯．
8．（2023?菏澤）如圖，已知坐標(biāo)軸上兩點，，連接，過點作，交反比例函數(shù)在第一象限的圖象于點．
（1）求反比例函數(shù)和直線的表達式；
（2）將直線向上平移個單位，得到直線，求直線與反比例函數(shù)圖象的交點坐標(biāo)．
【分析】（1）過點作軸于點，先證，求出點的坐標(biāo)，即可求出反比例函數(shù)的解析式和直線的解析式；
（2）先求出直線的解析式，然后與反比例函數(shù)的解析式組成方程組，求出方程組的解即得出直線與反比例函數(shù)圖象的交點坐標(biāo)．
【解答】解：（1）如圖，過點作軸于點，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，，
，，，
，
，
，
，
點的坐標(biāo)是，
反比例函數(shù)過點，
，
反比例函數(shù)的解析式為；
設(shè)直線的解析式為，
其圖象經(jīng)過點，
，
解得，
直線的解析式為；
（2）將直線向上平移個單位，得到直線，
直線的解析式為，
由題意得，，
解得，，
直線與反比例函數(shù)圖象的交點坐標(biāo)為或．
【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，待定系數(shù)法求解析式，反比例函數(shù)與一次函數(shù)交點問題，熟知反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點坐標(biāo)就是兩個解析式組成的方程組的解．
9．（2023?眉山）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點，與軸交于點，與反比例函數(shù)在第四象限內(nèi)的圖象交于點．
（1）求反比例函數(shù)的表達式；
（2）當(dāng)時，直接寫出的取值范圍；
（3）在雙曲線上是否存在點，使是以點為直角頂點的直角三角形？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【分析】（1）將，代入，求得一次函數(shù)表達式，進而可得點的坐標(biāo)，再將點的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)即可；
（2）將一次函數(shù)與反比例函數(shù)聯(lián)立方程組，求得交點坐標(biāo)即可得出結(jié)果；
（3）過點作交軸于點，證明得出點的坐標(biāo)，在求出直線的表達式，與反比例函數(shù)聯(lián)立方程組即可．
【解答】（1）將，代入得：，
解得：，
一次函數(shù)表達式為：，
將代入得：，
，
將代入得：，
反比例函數(shù)的表達式為：；
（2）設(shè)一次函數(shù)與反比例函數(shù)在第二象限交于點，
聯(lián)立，
解得：或，
，
由圖象可知：當(dāng)或時，，
（3）存在，理由：
過點作交軸于點，
，，
，
，
，
，
，
，
，
設(shè)直線的表達式為：，
將，代入得：，
解得：，
直線的表達式為：，
聯(lián)立：，
解得：或，
點的坐標(biāo)為：或．
【點評】本題是一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合題，考查的有待定系數(shù)法求一次函數(shù)、反比例函數(shù)表達式，相似三角形的判定及性質(zhì)．
方法3：用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式
一．填空題（共1小題）
1．（2023?深圳）如圖，與位于平面直角坐標(biāo)系中，，，，若，反比例函數(shù)恰好經(jīng)過點，則．
【分析】解含角的直角三角形，依次求出，的長，再求出的度數(shù)，求出點的坐標(biāo)，即可求得的值．
【解答】解：過點作軸，垂足為，
，，，，
，，
在中，即，
，
在中，即，，
，即，
，
點，，
．
故答案為：．
【點評】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)和解直角三角形，解題的關(guān)鍵是掌握解含有角的直角三角形，求函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)．
二．解答題（共3小題）
2．（2022?湘西州）如圖，一次函數(shù)的圖象與軸交于點，與反比例函數(shù)的圖象在第一象限交于點，過點作軸于點．
（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式．
（2）求的面積．
【分析】（1）利用待定系數(shù)法解答即可；
（2）利用直線的解析式求得點坐標(biāo)，利用坐標(biāo)表示出線段，的長度，利用三角形的面積公式解答即可．
【解答】解：（1）一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，
，
．
一次函數(shù)的解析式為，
反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，
，
反比例函數(shù)的解析式為．
（2）令，則，
．
，．
．
軸于點，，
，．
．
的面積．
【點評】本題主要考查了待定系數(shù)法確定函數(shù)的解析式，一次函數(shù)圖象的性質(zhì)，一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)的特征，反比例函數(shù)的性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)的特征，利用點的坐標(biāo)表示出相應(yīng)線段的長度是解題的關(guān)鍵．
3．（2023?綿陽）如圖，過原點的直線與反比例函數(shù)的圖象交于，兩點，一次函數(shù)的圖象過點與反比例函數(shù)交于另一點．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；當(dāng)時，根據(jù)圖象直接寫出的取值范圍；
（2）在軸上是否存在點，使得為等腰三角形？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【分析】（1）將點坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式即可求出，利用數(shù)形結(jié)合的思想即可求出的取值范圍．
（2）先求出點坐標(biāo)，再根據(jù)分類討論的數(shù)學(xué)思想即可解決問題．
【解答】解：（1）由題知，
將點坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式得，
，
所以反比例函數(shù)的解析式為．
由函數(shù)圖象可知，
在直線和之間的部分及直線右側(cè)的部分，
反比例函數(shù)的圖象在一次函數(shù)的圖象的上方，
即．
所以的取值范圍是：或．
（2）將代入反比例函數(shù)解析式得，
，
所以點的坐標(biāo)為．
則．
當(dāng)時，
，
所以點坐標(biāo)為或．
當(dāng)時，
點在的垂直平分線上，
又因為點坐標(biāo)為，
所以點坐標(biāo)為．
當(dāng)時，
點在的垂直平分線上，
過點作軸于點，
令，則，，
在中，
，
即，
解得．
所以點的坐標(biāo)為．
綜上所述：點的坐標(biāo)為或或或．
【點評】本題考查待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式及等腰三角形，熟知待定系數(shù)法及巧妙利用分類討論的數(shù)學(xué)思想是解題的關(guān)鍵．
4．（2022?大慶）已知反比例函數(shù)和一次函數(shù)，其中一次函數(shù)圖象過，兩點．
（1）求反比例函數(shù)的關(guān)系式；
（2）如圖，函數(shù)，的圖象分別與函數(shù)圖象交于，兩點，在軸上是否存在點，使得周長最?。咳舸嬖?，求出周長的最小值；若不存在，請說明理由．
【分析】（1）把，代入中，列出方程組進行計算即可解答；
（2）作點關(guān)于軸的對稱點，連接交軸于點，連接，此時的最小，即周長最小，先求出，兩點坐標(biāo)，從而求出的長，
再根據(jù)點與點關(guān)于軸對稱，求出的坐標(biāo)，從而求出的長，進而求出周長的最小值．
【解答】解：（1）把，代入中可得：
，
解得：，
反比例函數(shù)的關(guān)系式為：；
（2）存在，
作點關(guān)于軸的對稱點，連接交軸于點，連接，此時的最小，即周長最小，
由題意得：，
解得：或，
，
由題意得：，
解得：或，
，
，
點與點關(guān)于軸對稱，
，，
，
，
的最小值為，
周長最小值，
周長的最小值為．
【點評】本題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
方法4：反比例函數(shù)中k的幾何意義
一．選擇題（共1小題）
1．（2023?黑龍江）如圖，是等腰三角形，過原點，底邊軸，雙曲線過，兩點，過點作軸交雙曲線于點．若，則的值是
A．B．C．D．
【分析】設(shè)出的坐標(biāo)，通過對稱性求出點的坐標(biāo)，進而求出的坐標(biāo)，即可用表示出線段和的長度，結(jié)合已知面積即可列出方程求出．
【解答】解：設(shè)與軸的交點為，，則，，由題意知，
，即是線段的中點，過作于點，
，，
，軸，
，
，
，
，，
，
．
故選：．
【點評】對于反比例函數(shù)中圖形的面積問題，常用一個未知數(shù)表示關(guān)鍵點的坐標(biāo)，通過推導(dǎo)求其面積．
二．填空題（共6小題）
2．（2023?長沙）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點在反比例函數(shù)為常數(shù)，，的圖象上，過點作軸的垂線，垂足為，連接．若的面積為，則．
【分析】由的幾何意義可得，從而可求出的值．
【解答】解：的面積為，
所以．
故答案為：．
【點評】本題主要考查了的幾何意義．用表示三角形的面積是本題的解題關(guān)鍵．
3．（2023?黃石）如圖，點和在反比例函數(shù)的圖象上，其中．過點作軸于點，則的面積為；若的面積為，則．
【分析】由點的坐標(biāo)可得出的值，再結(jié)合的幾何意義即可求出的面積．過點作軸的垂線，將的面積轉(zhuǎn)化為梯形的面積，即可求出的值．
【解答】解：因為點在反比例函數(shù)的圖象上，
則，又，
解得．
根據(jù)的幾何意義可知，
．
過點作軸的垂線，垂足為，
則，
又根據(jù)的幾何意義可知，
，
則．
又的面積為，且，，
所以，
即．
解得．
又，
所以．
故答案為：，2．
【點評】本題考查反比例函數(shù)中系數(shù)的幾何意義，熟知的幾何意義及將的面積轉(zhuǎn)化為梯形的面積是解題的關(guān)鍵．
4．（2023?遼寧）如圖，矩形的邊平行于軸，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，，對角線的延長線經(jīng)過原點，且，若矩形的面積是8，則的值為 6 ．
【分析】根據(jù)矩形面積求出面積，再利用，求出面積，利用相似求出與的比，求出面積，即可利用幾何意義求出．
【解答】解：如圖，延長交軸于，連接，
矩形的面積是8，
，
，
，
，
，
，
，
由幾何意義得，，
，
，
故答案為：6．
【點評】本題考查了反比例函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，幾何意義及三角形面積與底、高的關(guān)系的應(yīng)用是解題關(guān)鍵．
5．（2023?齊齊哈爾）如圖，點在反比例函數(shù)圖象的一支上，點在反比例函數(shù)圖象的一支上，點，在軸上，若四邊形是面積為9的正方形，則實數(shù)的值為．
【分析】由正方形的面積可求，的長度，從而可求出，兩點的橫坐標(biāo)，結(jié)合長度列出關(guān)于的方程，即可求解．
【解答】解：正方形的面積為9，
，
，，，，
，
解得．
故答案為：．
【點評】本題主要考查了反比例函數(shù)中的面積問題，最基本的思路是通過點的坐標(biāo)去求解，對于某些問題可以通過的幾何意義去求解．
6．（2023?紹興）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)為大于0的常數(shù)，圖象上的兩點，，，，滿足，的邊軸，邊軸，若的面積為6，則的面積是 2 ．
【分析】證明出點、為矩形邊的中點，根據(jù)三角形的面積求出矩形面積，再求出三角形面積即可．
【解答】解：如圖，延長交軸于，延長交軸于點，
軸，軸，
四邊形為矩形，
，
點為的中點，
由幾何意義得，，
點為的中點，
，
，
．
故答案為：2．
2
【點評】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，幾何意義的應(yīng)用及矩形特性是解題關(guān)鍵．
7．（2023?棗莊）如圖，在反比例函數(shù)的圖象上有，，，等點，它們的橫坐標(biāo)依次為1，2，3，，2024，分別過這些點作軸與軸的垂線，圖中所構(gòu)成的陰影部分的面積從左到右依次為，，，，，則．
【分析】將除第一個矩形外的所有矩形向左平移至軸，得出所求面積為矩形的面積，再分別求矩形和矩形的面積即可．
【解答】解：，，，的橫坐標(biāo)依次為1，2，3，，2024，
陰影矩形的一邊長都為1，
將除第一個矩形外的所有矩形向左平移至軸，
，
把代入關(guān)系式得，，即，
，
由幾何意義得，，
．
故答案為：．
【點評】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，幾何意義的應(yīng)用是解題關(guān)鍵．
方法5：反比例函數(shù)與幾何、代數(shù)的綜合問題
一．填空題（共1小題）
1．（2023?新疆）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為直角三角形，，，．若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過的中點，交于點，則．
【分析】先根據(jù)直角三角形中的角所對的直角邊是斜邊的一半求出，再根據(jù)勾股定理求出，在中求出，，最后根據(jù)點是的中點求出點的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出的值即可．
【解答】解：過點作于點，過點作于點，
，，，
，
由勾股定理得，
在中，，，
，
由勾股定理得，
點是的中點，
，，
點在第一象限，
點的坐標(biāo)是，
反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過的中點，
，
故答案為：．
【點評】本題考查了反比例函數(shù)與幾何的綜合題，熟知直角三角形中的角所對的直角邊是斜邊的一半，熟練掌握勾股定理，求出點的坐標(biāo)是此題的關(guān)鍵．
二．解答題（共4小題）
2．（2023?濟南）綜合與實踐
如圖1，某興趣小組計劃開墾一個面積為的矩形地塊種植農(nóng)作物，地塊一邊靠墻，另外三邊用木欄圍住，木欄總長為．
【問題提出】
小組同學(xué)提出這樣一個問題：若，能否圍出矩形地塊？
【問題探究】
小穎嘗試從“函數(shù)圖象”的角度解決這個問題：
設(shè)為，為．由矩形地塊面積為，得到，滿足條件的可看成是反比例函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)點的坐標(biāo)；木欄總長為，得到，滿足條件的可看成一次函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)點的坐標(biāo)，同時滿足這兩個條件的就可以看成兩個函數(shù)圖象交點的坐標(biāo)．
如圖2，反比例函數(shù)的圖象與直線的交點坐標(biāo)為和，因此，木欄總長為時，能圍出矩形地塊，分別為：，；或，．
（1）根據(jù)小穎的分析思路，完成上面的填空；
【類比探究】
（2）若，能否圍出矩形地塊？請仿照小穎的方法，在圖2中畫出一次函數(shù)圖象并說明理由；
【問題延伸】
當(dāng)木欄總長為時，小穎建立了一次函數(shù)．發(fā)現(xiàn)直線可以看成是直線通過平移得到的，在平移過程中，當(dāng)過點時，直線與反比例函數(shù)的圖象有唯一交點．
（3）請在圖2中畫出直線過點時的圖象，并求出的值；
【拓展應(yīng)用】
小穎從以上探究中發(fā)現(xiàn)“能否圍成矩形地塊問題”可以轉(zhuǎn)化為“與圖象在第一象限內(nèi)交點的存在問題”．
（4）若要圍出滿足條件的矩形地塊，且和的長均不小于，請直接寫出的取值范圍．
【分析】（1）觀察圖象或聯(lián)立解方程組得到另一個交點坐標(biāo)為；
（2）觀察圖象得到與函數(shù) 圖象沒有交點，所以不能圍出；
（3）平移直線通過，將點代入，解得；
（4）和的長均不小于，所以，直線在、上面或之間移動，可得求的范圍．
【解答】解：（1）將反比例函數(shù)與直線聯(lián)立得
，
，
，
，，
另一個交點坐標(biāo)為，
為，為，
，．
故答案為：；4；2；
（2）不能圍出；
的圖象，如答案圖中所示：
與函數(shù) 圖象沒有交點，
不能圍出面積為的矩形．
（3）如答案圖中直線所示：
將點代入，解得．
（4）和的長均不小于，
，，
，
，
，
如圖所示，直線在、上面或之間移動，
把代入得，
．
【點評】本題考查了實際應(yīng)用題的函數(shù)直觀解釋，比較新穎，實質(zhì)是一次函數(shù)和二次函數(shù)圖象得交點問題．
3．（2023?盤錦）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，反比例函數(shù)在第一象限的圖象經(jīng)過點，，，過點作直線軸，交軸于點．
（1）求反比例函數(shù)的解析式．
（2）若點是軸上一點（不與點重合），的平分線交直線于點，請直接寫出點的坐標(biāo)．
【分析】（1）設(shè)，然后過點作軸于點，過作于點，證明，得到，，建立方程即可解決；
（2）根據(jù)（1）中結(jié)論可得，由，利用兩點距離公式求得，再由軸，，的平分線交直線于點，證明，即可分別求出的橫縱坐標(biāo)．
【解答】解：（1）過點作軸于點，過作于點，如圖所示：
，
設(shè)，
，
則，，，
，，，
，
，
，
，
又，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
反比例函數(shù)的解析式：；
（2）由（1）可得，
，
，
分兩種情況：
當(dāng)在點右側(cè)時：如（1）中圖所示，
軸，的平分線交直線于點，
點縱坐標(biāo)為2，，
，
點橫坐標(biāo)為，
，，
當(dāng)在點左側(cè)時，如圖：
軸，的平分線交直線于點，
點縱坐標(biāo)為2，，
，
，
點橫坐標(biāo)為，
，，
綜上所述：，或，．
【點評】本題考查了反比例函數(shù)的綜合運用，兩點間的距離公式，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，理解題意是解決問題的關(guān)鍵．
4．（2023?棗莊）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于，兩點．
（1）求一次函數(shù)的表達式，并在所給的平面直角坐標(biāo)系中畫出這個一次函數(shù)的圖象；
（2）觀察圖象，直接寫出不等式的解集；
（3）設(shè)直線與軸交于點，若為軸上的一動點，連接，，當(dāng)?shù)拿娣e為時，求點的坐標(biāo)．
【分析】（1）先根據(jù)反比例函數(shù)圖象經(jīng)過、，求出點、的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，在平面直角坐標(biāo)系中畫出直線即可；
（2）觀察函數(shù)圖象找出直線在雙曲線的上方時所對應(yīng)的自變量取值范圍，即可寫出不等式的解集；
（3）根據(jù)三角形面積公式列方程求解即可．
【解答】解：（1）反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過，兩點，
，，
解得：，
，，
將，代入，得，
解得：，
一次函數(shù)的表達式為，該函數(shù)的圖象如圖所示：
（2）由圖可得，不等式的解集范圍是或；
（3）設(shè)直線交軸于，交軸于，
在中，
當(dāng)時，，
，
當(dāng)時，得，
解得：，
，
，
，，
，
，
，
解得：或，
點的坐標(biāo)為或．
【點評】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點坐標(biāo)滿足兩函數(shù)的解析式．解決問題的關(guān)鍵是掌握用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的解析式．
5．（2023?宿遷）規(guī)定：若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有三個不同的公共點，則稱這兩個函數(shù)互為“兄弟函數(shù)”，其公共點稱為“兄弟點”．
（1）下列三個函數(shù)①；②；③，其中與二次函數(shù)互為“兄弟函數(shù)”的是 ② （填寫序號）；
（2）若函數(shù)與互為“兄弟函數(shù)”，是其中一個“兄弟點”的橫坐標(biāo)．
①求實數(shù)的值；
②直接寫出另外兩個“兄弟點”的橫坐標(biāo)是、；
（3）若函數(shù)為常數(shù)）與互為“兄弟函數(shù)”，三個“兄弟點”的橫坐標(biāo)分別為、、，且，求的取值范圍．
【分析】（1）分別驗證三個函數(shù)①；②；③與二次函數(shù)的交點個數(shù)；
（2）①把代入得，把，代入函數(shù)得，；
②由得，因式分解法解方程，左邊一定有因式；
（3）數(shù)形結(jié)合，對函數(shù)進行分段．
【解答】解：（1）如圖：由圖可知，與二次函數(shù)有3個交點的是，
與二次函數(shù)互為“兄弟函數(shù)”的是②，
故答案為：②；
（2）①把代入得，把，代入函數(shù)得，；
②，
，
，
，
，
，
，
或．
故答案為：，．
（3）滿足方程，即，
，滿足方程，即，是方程的兩個根，
△，即，，
．
【點評】本題在新定義下考查了一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，圖象交點與方程的關(guān)系．解三次方程時用因式分解法，關(guān)鍵是知道左邊一定有因式．第（3）問利用數(shù)形結(jié)合，對函數(shù)進行分段．
易錯點1：探究反比例函數(shù)的增減性時不分象限
反比例函數(shù)的增減性，是指在各自象限內(nèi)，不是籠統(tǒng)的概括，錯誤的原因就是沒有將兩個象限內(nèi)的點分別討論，而是一概而論．
[典例]在函數(shù)（a為常數(shù)）的圖象上有三點（-3，，），（-1，），（2，），則函數(shù)值、、．的大小關(guān)系是___________．
[錯解]∵是反比例函數(shù)，
∴．
∴y隨x的增大而增大．
∵，
∴．
故答案為：．
[錯因分析]
沒有考慮不同象限內(nèi)點的特征．
[正解]
∵，
∴函數(shù)（a為常數(shù)）的圖象在二、四象限，且在每一象限內(nèi)y隨x的增大而增大，
∵，
∴點（-1，），（，）在第二象限，
∴，
∵>0，
∴點（，）在第四象限，
∴＜0，
∴．
易錯點2：忽略反比例函數(shù)中中的條件
根據(jù)反比例函數(shù)定義可知，反比例函數(shù)（或）中存在著隱含條件“”，
[典例]
若函數(shù)是反比例函數(shù)，則m的值為．
[錯解]
∵是反比例函數(shù)，
∴，
解得．
[錯因分析]
本題只考慮到反比例函數(shù)滿足這一條件，而忽視了隱含條件“”．
[正解]
根據(jù)題意，得
，，
解得，
當(dāng)時，
．
∴不合題意，舍去．
∴．
一．反比例函數(shù)的定義（共1小題）
1．（2023?青海）生物興趣小組探究酒精對某種魚類的心率是否有影響，實驗得出心率與酒精濃度的關(guān)系如圖所示，下列說法正確的是
A．酒精濃度越大，心率越高
B．酒精對這種魚類的心率沒有影響
C．當(dāng)酒精濃度是時，心率是168次分
D．心率與酒精濃度是反比例函數(shù)關(guān)系
【分析】觀察圖象即可判斷、、的正誤，根據(jù)反比例函數(shù)的定義，即可判斷的正誤．
【解答】解：由圖象可知，酒精濃度越大，心率越低，故錯誤；
酒精濃度越大，心率越低，酒精對這種魚類的心率有影響，故錯誤；
由圖象可知，當(dāng)酒精濃度是時，心率是168次分，故正確；
任意取兩個點坐標(biāo)，，因為，所以心率與酒精濃度不是反比例函數(shù)關(guān)系，故錯誤．
故選：．
【點評】本題考查了觀察圖象，讀取、分析、處理信息的能力，反比例函數(shù)定義，根據(jù)反比例函數(shù)定義判斷是否為反比例函數(shù)是解題的關(guān)鍵．
二．反比例函數(shù)的圖象（共2小題）
2．（2023?泰安）一次函數(shù)與反比例函數(shù)，為常數(shù)且均不等于在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象可能是
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)一次函數(shù)圖象判定、的符號，根據(jù)的符號判定反比例函數(shù)圖象所在的象限．
【解答】解：、一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、三象限，則，，所以，則反比例應(yīng)該位于第一、三象限，故本選項不可能；
、一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，則，，所以，則反比例應(yīng)該位于第二、四象限，故本選項不可能；
、一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、三、四象限，則，，所以，則反比例應(yīng)該位于第二、四象限，故本選項不可能；
、一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，則，，所以，則反比例應(yīng)該位于第二、四象限，故本選項有可能；
故選：．
【點評】本題主要考查了反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)和一次函數(shù)的圖象性質(zhì)，要掌握它們的性質(zhì)才能靈活解題．
3．（2023?揚州）函數(shù)的大致圖象是
A．B．
C．D．
【分析】函數(shù)的圖象是雙曲線，它的兩個分支分別位于第一、二象限．
【解答】解：由函數(shù)可知，函數(shù)是雙曲線，它的兩個分支分別位于第一、二象限，當(dāng)時，隨的增大而減??；當(dāng)時，隨的增大而增大．
故選：．
【點評】考查了函數(shù)的圖象，函數(shù)的圖象是雙曲線，當(dāng)時，隨的增大而減??；當(dāng)時，隨的增大而增大．
三．反比例函數(shù)的性質(zhì)（共4小題）
4．（2023?上海）下列函數(shù)中，函數(shù)值隨的增大而減小的是
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)和正比例函數(shù)的性質(zhì)分別判斷即可．
【解答】解：選項，的函數(shù)值隨著增大而增大，
故不符合題意；
選項，的函數(shù)值隨著增大而減小，
故符合題意；
選項，在每一個象限內(nèi)，的函數(shù)值隨著增大而減小，
故不符合題意；
選項，在每一個象限內(nèi)，的函數(shù)值隨著增大而增大，
故不符合題意，
故選：．
【點評】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，正比例函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
5．（2023?廣州）已知正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，反比例函數(shù)的圖象位于第一、第三象限，則一次函數(shù)的圖象一定不經(jīng)過
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【分析】根據(jù)正比例函數(shù)的性質(zhì)可以判斷的正負(fù)，根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)可以判斷的正負(fù)，然后即可得到一次函數(shù)的圖象經(jīng)過哪幾個象限，不經(jīng)過哪個象限．
【解答】解：正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，點位于第四象限，
正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過第二、四象限，
；
反比例函數(shù)的圖象位于第一、第三象限，
；
一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，不經(jīng)過第三象限，
故選：．
【點評】本題考查反比例函數(shù)的性質(zhì)、正比例函數(shù)的性質(zhì)、一次函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，判斷出、的正負(fù)情況．
6．（2023?廣西）如圖，過的圖象上點，分別作軸，軸的平行線交的圖象于，兩點，以，為鄰邊的矩形被坐標(biāo)軸分割成四個小矩形，面積分別記為，，，，若，則的值為
A．4B．3C．2D．1
【分析】設(shè)，在中，令得，令得，可得，，，即得，，故，，根據(jù)，得，解方程并檢驗可得答案．
【解答】解：設(shè)，
在中，令得，令得，
，，，
，，
，，
，
，
解得，
經(jīng)檢驗，是方程的解，符合題意，
故選：．
【點評】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，矩形的面積公式等，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
7．（2023?無錫）已知曲線、分別是函數(shù)，的圖象，邊長為6的正的頂點在軸正半軸上，頂點、在軸上在的左側(cè)），現(xiàn)將繞原點順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點在曲線上時，點恰好在曲線上，則的值為 6 ．
【分析】作軸于，軸于，根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義求得，，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出，，易證得△△，從而得出，即，解得．
【解答】解：作軸于，軸于，
將繞原點順時針旋轉(zhuǎn)，點在曲線上時，點恰好在曲線上，
，，
邊長為6的正的頂點在軸正半軸上，頂點、在軸上在的左側(cè)），，
，，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，
，
，
，
，
，
，
△△，
，即，
．
故答案為：6．
【點評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義，作出輔助線構(gòu)建相似三角形是解題的關(guān)鍵．
四．反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義（共8小題）
8．（2023?丹東）如圖，點是反比例函數(shù)的圖象上一點，過點作軸，垂足為點，延長至點，使，點是軸上任意一點，連接，，若的面積是6，則 4 ．
【分析】過點作交的延長線于，設(shè)點的坐標(biāo)為，則，，，，證四邊形為矩形得，然后根據(jù)的面積是6可得，由此可得的值．
【解答】解：過點作交的延長線于，如圖：
設(shè)點的坐標(biāo)為，
，點在第一象限，
，，，
軸于點，
，，
，
，
軸，，，
四邊形為矩形，
，
的面積是6，
，
即：，
，
．
故答案為：4．
【點評】此題主要考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)，三角形的面積，熟練掌握三角形的面積公式，理解反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)滿足反比例函數(shù)的解析式，滿足反比例函數(shù)解析式的點都在函數(shù)的圖象上是解答此題的關(guān)鍵．
9．（2023?張家界）如圖，矩形的頂點，分別在軸、軸的正半軸上，點在上，且，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點及矩形的對稱中心，連接，，．若的面積為3，則的值為
A．2B．3C．4D．5
【分析】設(shè)點的坐標(biāo)為，根據(jù)矩形對稱中心的性質(zhì)得出延長恰好經(jīng)過點，，，確定，，然后結(jié)合圖形及反比例函數(shù)的意義，得出，代入求解即可．
【解答】解：四邊形是矩形，
，，設(shè)點的坐標(biāo)為，
矩形的對稱中心，
延長恰好經(jīng)過點，，，
點在上，且，
，，
，
，
在反比例函數(shù)的圖象上，
，
，
，
，
故選：．
【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，三角形的面積等知識，熟練掌握和靈活運用相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．
10．（2023?淄博）如圖，在直線上方的雙曲線上有一個動點，過點作軸的垂線，交直線于點，連接，，則面積的最大值是 3 ．
【分析】設(shè)，則，將三角形面積用代數(shù)式形式表達出來，再根據(jù)二次函數(shù)最值解得出來即可．
【解答】解：設(shè)，則，
線段，
，
，二次函數(shù)開口向下，有最大值，
當(dāng)時，有最大值，最大值是3．
故答案為：3．
【點評】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，將三角形面積用代數(shù)式形式表達出來是解本題的關(guān)鍵．
11．（2023?錦州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的邊在軸上，點在第一象限內(nèi)，點為的中點，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過，兩點．若的面積是6，則的值為 4 ．
【分析】過點作軸于點，設(shè)點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，則，，由的面積是6得，將點代入反比例函數(shù)的表達式得，然后根據(jù)點為的中點得點，將點代入反比例函數(shù)表達式得，據(jù)此即可取出的值．
【解答】解：過點作軸于點，如圖：
設(shè)點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，
，，
的面積是6，
，
，
點在反比例函數(shù)的圖象上，
，
點為的中點，
點，
點在反比例函數(shù)的圖象上，
，
即：，
，
將，代入上式得：．
故答案為：4．
【點評】此題主要考查了反比例函數(shù)的圖象，解答此題的關(guān)鍵是理解函數(shù)圖象上的點滿足函數(shù)的解析式，滿足函數(shù)解析式的點都在函數(shù)的圖象上．
12．（2023?朝陽）如圖，點是反比例函數(shù)的圖象上一點，過點作軸于點，點是軸上任意一點，連接，．若的面積等于3，則的值為 6 ．
【分析】由于同底等高的兩個三角形面積相等，所以的面積的面積，然后根據(jù)反比例函數(shù)中的幾何意義，知的面積，從而確定的值，求出反比例函數(shù)的解析式．
【解答】解：設(shè)反比例函數(shù)的解析式為，
的面積的面積，的面積，
，
；
又反比例函數(shù)的圖象的一支位于第一象限，
．
．
故答案為：6．
【點評】本題主要考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式和反比例函數(shù)中的幾何意義．這里體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，做此類題一定要正確理解的幾何意義．
13．（2023?衢州）如圖，點，在軸上，分別以，為邊，在軸上方作正方形，，反比例函數(shù)的圖象分別交邊，于點，．作軸于點，軸于點．若，為的中點，且陰影部分面積等于6，則的值為 24 ．
【分析】設(shè)，因為，所以，則，，由于正方形，，則，因為軸，在上，所以點縱坐標(biāo)為，則點橫坐標(biāo)為：，由于為中點，切軸，所以，則，由于在反比例函數(shù)上，所以，根據(jù)已知陰影為矩形，長為，寬為：，面積為6，所以可得，即可解決．
【解答】解：設(shè)，
，
，
，則，
由于在正方形中，，
為中點，
，
，
在反比例函數(shù)上，
，
四邊形是正方形，
，
在上，
點縱坐標(biāo)為，
在反比例函數(shù)上，
點橫坐標(biāo)為：，
，，
作軸于點，軸于點，
四邊形是矩形，
，，
，
則，
故答案為：24．
【點評】本題考查反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)和長方形的面積公式，讀懂題意，靈活運用說學(xué)知識是解決問題的關(guān)鍵．
14．（2023?連云港）如圖，矩形的頂點在反比例函數(shù)的圖象上，頂點、在第一象限，對角線軸，交軸于點．若矩形的面積是6，，則．
【分析】作軸于，由矩形的面積可以求得的面積是3，然后通過證得，求得，最后通過反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義即可求得的值．
【解答】解：作軸于，
矩形的面積是6，
的面積是3，
，，
，
對角線軸，
，
，
，
，
，
，
，，
．
故答案為：．
【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，解直角三角形，反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義，求得的面積是解題的關(guān)鍵．
15．（2023?宜賓）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點、分別在、軸上，軸，點、分別在線段、上，，，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過、兩點，為軸正半軸上一點，且，的面積為3，則的值為
A．B．C．D．
【分析】過點作軸于點，過作軸交軸于，交于，設(shè)，，，，由，，得，，，，又，，可得，，即，得，故，根據(jù)的面積為3，有，得，將點，代入，整理得：，代入得，從而．
【解答】解：如圖，過點作軸于點，過作軸交軸于，交于，
設(shè)，，，，
，，
，，，，
，，
，
，
，
，，
，
解得，
，
，，
，
的面積為3，
，
，
，
將點，代入得：
，
整理得：，
將代入得：，
，
，
故選：．
【點評】本題考查反比例函數(shù)的圖象上點坐標(biāo)的特征，解題的關(guān)鍵是用含字母的式子表示相關(guān)點坐標(biāo)和相關(guān)線段的長度．
五．反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征（共13小題）
16．（2023?濟南）已知點，，都在反比例函數(shù)的圖象上，則，，的大小關(guān)系為
A．B．C．D．
【分析】首先根據(jù)得函數(shù)圖象的兩個分支分別在第二、四象限內(nèi)，且在每一個象限內(nèi)隨的增大而增大，然后根據(jù)點，，的橫坐標(biāo)得，點，在第二象限內(nèi)，點在第四象限內(nèi)，進而可判定，，，最后再根據(jù)得，據(jù)此即可得出答案．
【解答】解：，，
函數(shù)圖象的兩個分支分別在第二、四象限內(nèi)，且在每一個象限內(nèi)隨的增大而增大，
又點，，，
點，在第二象限內(nèi)，點在第四象限內(nèi)，
，，，
又，
，
．
故選：．
【點評】此題主要考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是熟練掌握：對于反比例函數(shù)，當(dāng)時，圖象的兩個分支在第一、三象限內(nèi)變化，且在每一個象限內(nèi)隨的增大而減??；當(dāng)時，圖象的兩個分支在第二、四象限內(nèi)變化，且在每一個象限內(nèi)隨的增大而增大．
17．（2023?海南）若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則的值是
A．2B．C．D．
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，將點代入求解即可得出的值．
【解答】解：由題意，將點代入，
可得：，
解得：．
故選：．
【點評】本題主要考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，牢記“函數(shù)圖象上任意一點的坐標(biāo)都滿足函數(shù)關(guān)系式”是解題的關(guān)鍵．
18．（2023?邵陽）如圖，矩形的頂點和正方形的頂點都在反比例函數(shù)的圖象上，點的坐標(biāo)為，則點的坐標(biāo)為
A．B．C．D．
【分析】由題意，首先根據(jù)的坐標(biāo)求出，然后可設(shè)，再由正方形，建立關(guān)于的方程，進而得解．
【解答】解：點的坐標(biāo)為在反比例函數(shù)上，
．
．
反比例函數(shù)的解析式為．
點在反比例函數(shù)圖象上，
可設(shè)．
．
，．
，
．
．
故選：．
【點評】本題主要考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，解題時需要理解并能靈活運用．
19．（2023?云南）若點是反比例函數(shù)圖象上一點，則常數(shù)的值為
A．3B．C．D．
【分析】將點的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的關(guān)系式即可求出的值．
【解答】解：點在反比例函數(shù)圖象上，
，
故選：．
【點評】本題考查反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，將點的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的關(guān)系式是正確解答的關(guān)鍵．
20．（2023?牡丹江）如圖，正方形的頂點，在軸上，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點和的中點，若，則的值是
A．3B．4C．5D．6
【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)以及結(jié)合已知表示出，點坐標(biāo)，進而利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征得出等式求出答案．
【解答】解：由題意可得：設(shè)，則，
可得：，
解得：，
故，
則．
故選：．
【點評】此題主要考查了正方形的性質(zhì)以及反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，正確表示出點坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．
21．（2023?長春）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點、在函數(shù)的圖象上，分別以、為圓心，1為半徑作圓，當(dāng)與軸相切、與軸相切時，連接，，則的值為
A．3B．C．4D．6
【分析】依據(jù)題意，可得，，再由，從而，進而得解．
【解答】解：由題意，得，．
，
由兩點距離公式可得：．
．
或4．
又，
．
故選：．
【點評】本題考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，解題時需要熟練掌握并理解．
22．（2023?遼寧）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點的坐標(biāo)為，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接，點恰好落在反比例函數(shù)的圖象上，則的值是．
【分析】過點作軸于點，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，，在中求出、的長，即可得出點的坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)解析式即可求出的值．
【解答】解：過點作軸于點，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，，
點的坐標(biāo)為，
，
，
，
，
，
，
由勾股定理得，
，
點的坐標(biāo)為，
點恰好落在反比例函數(shù)的圖象上，
，
故答案為：．
【點評】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，坐標(biāo)與圖形的變化旋轉(zhuǎn)，解答本題的關(guān)鍵是求出點的坐標(biāo)．
23．（2023?北京）在平面直角坐標(biāo)系中，若函數(shù)的圖象經(jīng)過點和，則的值為 3 ．
【分析】將點代入反比例函數(shù)可求出的值，進而確定反比例函數(shù)關(guān)系式，再把點代入計算即可．
【解答】解：函數(shù)的圖象經(jīng)過點，
，
反比例函數(shù)的關(guān)系式為，
又在反比例函數(shù)的關(guān)系式為的圖象上，
，
故答案為：3．
【點評】本題考查反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，把點的坐標(biāo)代入函數(shù)關(guān)系式是常用的方法．
24．（2023?攀枝花）如圖，在直角中，，，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)至△的位置，點是的中點，且點在反比例函數(shù)的圖象上，則的值為．
【分析】依據(jù)題意，在中，，，從而，可得，又結(jié)合題意，，進而，故可得點坐標(biāo)，代入解析式可以得解．
【解答】解：如圖，作軸，垂足為．
由題意，在中，，，
．
．
．
又繞點順時針旋轉(zhuǎn)至△的位置，
．
．
又點是的中點，
．
在中，
，
．
，．
又在上，
．
故答案為：．
【點評】本題主要考查了反比例函數(shù)圖象上的點的坐標(biāo)特征，解題時需要熟練掌握并靈活運用是關(guān)鍵．
25．（2023?河北）如圖，已知點，，反比例函數(shù) 圖象的一支與線段有交點，寫出一個符合條件的的整數(shù)值：（答案不唯一）．
【分析】把點，代入即可得到的值，從而得結(jié)論．
【解答】解：由圖可知：，
反比例函數(shù)的圖象與線段有交點，且點，，
把代入得，，
把代入得，，
滿足條件的值的范圍是的整數(shù)，
故（答案不唯一），
故答案為：（答案不唯一）．
【點評】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，反比例函數(shù)的性質(zhì)，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．
26．（2023?威海）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點，在反比例函數(shù)的圖象上．點的坐標(biāo)為．連接，，．若，，則的值為．
【分析】構(gòu)造全等三角形推出點的含有的坐標(biāo)，利用同一反比例函數(shù)上點的坐標(biāo)之積相等列出關(guān)于的方程，解出即可求出的坐標(biāo)，
【解答】解：過點作軸的平行線交軸于點，過點作軸的平行線交的延長線于點．
，，
，
，．
，
，．
，，
點、都在反比例函數(shù)上，
，
解得：，（舍去），
點的坐標(biāo)為，，
．
【點評】本題考查了反比例函數(shù)上點的坐標(biāo)特征，構(gòu)造一線三垂直出現(xiàn)全等三角形是本題的突破口．
27．（2023?襄陽）點，都在反比例函數(shù)的圖象上，則．（填“”或“”
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的第一象限圖象上，隨的增大而減小判斷即可．
【解答】解：點，在反比例函數(shù)的第一象限圖象上，隨的增大而減小，
．
故答案為：．
【點評】本題主要考查了反比例函數(shù)的第一象限圖象上，隨的增大而減小，準(zhǔn)確判斷是關(guān)鍵．
28．（2023?鞍山）如圖，在中，，頂點，分別在軸的正、負(fù)半軸上，點在第一象限，經(jīng)過點的反比例函數(shù)的圖象交于點，過點作軸，垂足為點，若點為的中點，，，則的值為 4 ．
【分析】過點作軸于，先證為的中位線得，，再根據(jù)得出，然后根據(jù)軸，得，進而可求出，，，設(shè)，，則，，點，點，進而可得，由此可得，則，，最后在中由勾股定理得，由此得點，進而可求出的值．
【解答】解：過點作軸于，如圖：
軸，
，
又點為的中點，
為的中位線，
，，
，
，即：，
軸，
，
，
，
，
，
，，，
設(shè)，，則，，
點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，
點，在反比例函數(shù)的圖象上，
，
解得：，
，
，
在中，，，
由勾股定理得：，
點的坐標(biāo)為，
．
故答案為：4．
【點評】此題主要考查了反比例函數(shù)的圖象，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的中位線定理，勾股定理等，解答此題的關(guān)鍵是熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)和三角形的中位線定理，理解函數(shù)圖象上的點滿足函數(shù)的解析式，滿足函數(shù)解析式的點都在函數(shù)的圖象上．
六．待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式（共1小題）
29．（2023?宜賓）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰直角三角形的直角頂點，頂點、恰好落在反比例函數(shù)第一象限的圖象上．
（1）分別求反比例函數(shù)的表達式和直線所對應(yīng)的一次函數(shù)的表達式；
（2）在軸上是否存在一點，使周長的值最?。舸嬖?，求出最小值；若不存在，請說明理由．
【分析】（1）過作軸于，過作軸于，證明，由，，可得，即有，解得，，故反比例函數(shù)的表達式為，，，再用待定系數(shù)法可得直線所對應(yīng)的一次函數(shù)的表達式為；（2）作關(guān)于軸的對稱點，連接交軸于，由，，得，故當(dāng)最小時，周長最小，由，，得，從而可知周長的最小值為．
【解答】解：（1）過作軸于，過作軸于，如圖：
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
，，
，，
，
，
，恰好落在反比例函數(shù)第一象限的圖象上，
，
，，
反比例函數(shù)的表達式為，，，
設(shè)直線所對應(yīng)的一次函數(shù)的表達式為，把，代入得：
，
解得，
直線所對應(yīng)的一次函數(shù)的表達式為；
（2）在軸上存在一點，使周長的值最小，理由如下：
作關(guān)于軸的對稱點，連接交軸于，如圖：
，，
，
當(dāng)最小時，周長最小，
，關(guān)于軸對稱，
，
當(dāng)，，共線時，最小，周長也最小，
，，
，
，
周長的最小值為．
【點評】本題考查反比例函數(shù)，一次函數(shù)的交點問題，涉及等腰直角三角形性質(zhì)及應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是證明，從而求出的值．
七．反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題（共13小題）
30．（2023?內(nèi)蒙古）如圖，直線與雙曲線交于點和點，則不等式的解集是
A．B．C．或D．或
【分析】求出一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式，根據(jù)圖示直接得出不等式的解集．
【解答】解：在反比例函數(shù)圖象上，
，
反比例函數(shù)解析式為：，
又在圖象上，
，
，
點、在一次函數(shù)的圖象上，
，解得，
一次函數(shù)解析式為：．
由圖象可知，不等式的解集．
故選：．
【點評】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，反比例函數(shù)與一次函數(shù)交點的坐標(biāo)滿足兩個函數(shù)關(guān)系式．
31．（2023?宿遷）如圖，直線、與雙曲線分別相交于點、、、．若四邊形的面積為4，則的值是
A．B．C．D．1
【分析】根據(jù)已知可得四邊形為矩形，為中心，根據(jù)直線、與雙曲線的性質(zhì)得，再根據(jù)四邊形的面積為4，可得，所以，設(shè)，則，所以．
【解答】解：如圖，連接，設(shè)直線與軸和軸分別交于點，，作于點，
則，，
，
，
，，
，
同理直線也與軸正半軸的夾角為，
四邊形為矩形，為中心，
，
四邊形的面積為4，
，
，
，
設(shè)，
，
，
，
點在雙曲線上，
．
故選：．
【點評】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，熟練掌握矩形的性質(zhì)以及一次函數(shù)和反比例函數(shù)的性質(zhì)是關(guān)鍵．
32．（2023?寧波）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于，兩點，點的橫坐標(biāo)為1，點的橫坐標(biāo)為，當(dāng)時，的取值范圍是
A．或B．或
C．或D．或
【分析】根據(jù)圖象即可．
【解答】解：由圖象可知，當(dāng)時，的取值范圍是或，
故選：．
【點評】本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，不等式的解集就是其所對應(yīng)的函數(shù)圖象上滿足條件的所有點的橫坐標(biāo)的集合．
33．（2023?徐州）如圖，點在反比例函數(shù)的圖象上，軸于點，軸于點，．一次函數(shù)的圖象與交于點，若為的中點，則的值為 4 ．
【分析】設(shè)一次函數(shù)圖象與軸的交點為，與軸的交點為，則，，易證得四邊形是正方形，則軸，，即可證得，求得，由為的中點，可知為的中點，得出，從而得出，利用待定系數(shù)法即可求得．
【解答】解：設(shè)一次函數(shù)圖象與軸的交點為，與軸的交點為，則，，
，
軸于點，軸于點，，
四邊形是正方形，
軸，，
，
，
，
為的中點，
為的中點，
，
，
，
點在反比例函數(shù)的圖象上，
，
故答案為：4．
【點評】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，正方形的判定和性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，求得點的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．
34．（2023?日照）已知反比例函數(shù)且的圖象與一次函數(shù)的圖象共有兩個交點，且兩交點橫坐標(biāo)的乘積，請寫出一個滿足條件的值 1.5（答案不唯一）．
【分析】令，根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系、由根與系數(shù)的關(guān)系得到，由，得到，即可．
【解答】解：令，
整理得，
反比例函數(shù)且的圖象與一次函數(shù)的圖象兩個交點橫坐標(biāo)為、，
，
，
，
，
滿足條件的值為1.5（答案不唯一），
故答案為：1.5（答案不唯一）．
【點評】本題是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，考查了函數(shù)與方程的關(guān)系，根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握函數(shù)與方程的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
35．（2023?鄂州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與雙曲線（其中相交于，兩點，過點作軸，交軸于點，則的面積是．
【分析】把，代入雙曲線函數(shù)的表達式中，可求得的值，然后利用三角形的面積公式進行求解即可．
【解答】解：直線與雙曲線（其中相交于，兩點，
，
，
軸，
，
．
故答案為：．
【點評】本題是一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，考查了一次函數(shù)的解析式，反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，三角形的面積，數(shù)形結(jié)合是解答此題的關(guān)鍵．
36．（2023?江西）如圖，已知直線與反比例函數(shù)的圖象交于點，與軸交于點，過點作軸的平行線交反比例函數(shù)的圖象于點．
（1）求直線和反比例函數(shù)圖象的表達式；
（2）求的面積．
【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求得；
（2）通過直線解析式求得點的坐標(biāo)，由反比例函數(shù)的解析式求得點的坐標(biāo)，然后利用三角形面積公式即可求得的面積．
【解答】解：（1）直線與反比例函數(shù)的圖象交于點，
，，
，，
直線為，反比例函數(shù)為；
（2）令，則，
，
把代入，解得，
，
，
的面積．
【點評】本題是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，三角形的面積，熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．
37．（2023?蘭州）如圖，反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象交于點，軸于點，分別交反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象于點，．
（1）求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的表達式；
（2）當(dāng)時，求線段的長．
【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求解；
（2）由題意可知、的縱坐標(biāo)為1，即可求得，，，從而求得．
【解答】解：（1）反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象交于點，
，，
，，
反比例函數(shù)為，一次函數(shù)為；
（2）軸于點，
軸，
，
、的縱坐標(biāo)為1，
，，，
．
【點評】本題是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．
38．（2023?樂山）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點，與軸交于點，與軸交于點．
（1）求的值和一次函數(shù)的表達式；
（2）已知為反比例函數(shù)圖象上的一點，，求點的坐標(biāo)．
【分析】（1）把代入反比例函數(shù)解析式求得的值，然后利用待定系數(shù)法即可求得一次函數(shù)的解析式；
（2）過點作軸于點，過點作軸于點，由得到，即，解得，即可求得點的縱坐標(biāo)為2或，進一步求得點的坐標(biāo)．
【解答】解：（1）點在反比例函數(shù) 的圖象上，
，
，
，
又點、都在一次函數(shù)的圖象上，
，
解得，
一次函數(shù)的解析式為；
（2）對于，當(dāng)時，，
，
，
，
過點作軸于點，過點作軸于點，
，
，即，
解得，
點的縱坐標(biāo)為2或，
將或代入得或，
點或．
【點評】本題是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，三角形的面積，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
39．（2023?金昌）如圖，一次函數(shù)的圖象與軸交于點，與反比例函數(shù)的圖象交于點．
（1）求點的坐標(biāo)；
（2）用含的代數(shù)式表示；
（3）當(dāng)?shù)拿娣e為9時，求一次函數(shù)的表達式．
【分析】（1）由反比例函數(shù)的解析式即可求得的的坐標(biāo)；
（2）把代入即可求得用的代數(shù)式表示的式子；
（3）利用三角形面積求得的值，進一步求得的值．
【解答】解：（1）反比例函數(shù)的圖象過點，
，
點的坐標(biāo)為；
（2）一次函數(shù)的圖象過點，
，
；
（3）的面積為9，
，
，
，
，
，
一次函數(shù)的表達式是．
【點評】本題是一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，三角形的面積，熟知函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征滿足解析式是解題的關(guān)鍵．
40．（2023?攀枝花）如圖，點和是一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象的兩個交點．
（1）求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的表達式；
（2）當(dāng)為何值時，？
【分析】（1）用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；
（2）根據(jù)函數(shù)圖象進行觀察，寫出一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象上方時所有點的橫坐標(biāo)的集合即可．
【解答】解：（1）將點代入，
，
，
將代入，
，
，
將和代入，
，解得：，
；
（2）根據(jù)圖象可得，當(dāng)時，的取值范圍為：．
【點評】本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，解題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式．求的取值范圍，從函數(shù)圖象的角度看，是確定直線在雙曲線上方（或下方）部分所有的點的橫坐標(biāo)所構(gòu)成的集合．
41．（2023?常州）在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于點、．是軸上的一點，連接、．
（1）求一次函數(shù)、反比例函數(shù)的表達式；
（2）若的面積是6，求點的坐標(biāo)．
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求得即可；
（2）先求得，再根據(jù)得，進而得出，據(jù)此可得點的坐標(biāo)．
【解答】解：（1）點在反比例函數(shù)的圖象上，
，
反比例函數(shù)解析式為；
又點在上，
，
點的坐標(biāo)為，
把和兩點的坐標(biāo)代入一次函數(shù)得，
解得，
一次函數(shù)的解析為．
（2）對于一次函數(shù)，令，則，
即，
根據(jù)題意得：，
解得：，
或12，
或．
【點評】本題主要考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)交點問題，解題時注意：一次函數(shù)與反比例函數(shù)交點坐標(biāo)同時滿足一次函數(shù)與反比例函數(shù)解析式．
42．（2023?德陽）如圖，點在反比例函數(shù)的圖象上，點是點關(guān)于軸的對稱點，的面積是8．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）當(dāng)點的橫坐標(biāo)為2時，過點的直線與反比例函數(shù)的圖象相交于點，求交點的坐標(biāo)．
【分析】（1）根據(jù)點是點關(guān)于軸的對稱點，的面積是8，得出，的面積是4，根據(jù)反比例函數(shù)的幾何意義得出，即可得答案；
（2）由點的橫坐標(biāo)為2，得出坐標(biāo)，繼而得出的坐標(biāo)，求出直線，聯(lián)立兩個函數(shù)解析式即可得答案．
【解答】解：（1）如圖：與軸交于點，
是點關(guān)于軸的對稱點，的面積是8，
，
，
，
，
反比例函數(shù)的解析式：；
（2）點的橫坐標(biāo)為2，
時，，
，
，
直線過點，
，
，
直線，
聯(lián)立，
或，
，或，．
【點評】本題是反比例函數(shù)和一次函數(shù)的交點問題，考查了反比例函數(shù)的幾何意義，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
八．反比例函數(shù)的應(yīng)用（共5小題）
43．（2023?德州）壓力、壓強、受力面積之間的關(guān)系為：，當(dāng)壓力一定時，另外兩個變量的函數(shù)圖象可能是
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)題意，可以得到與符合反比例函數(shù)關(guān)系，且第一象限內(nèi)，隨的增大而減小，然后即可判斷哪個選項符合題意．
【解答】解：，
當(dāng)壓力一定時，，此時與符合反比例函數(shù)關(guān)系，且第一象限內(nèi)，隨的增大而減小，
故選：．
【點評】本題考查反比例函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
44．（2023?大連）某種蓄電池的電壓（單位：為定值，使用蓄電池時，電流（單位：與電阻（單位：是反比例函數(shù)關(guān)系．當(dāng)時，，則當(dāng)時，的值是
A．4B．5C．10D．0
【分析】設(shè)出反比例函數(shù)關(guān)系式，用待定系數(shù)法求出解析式，然后得出結(jié)論即可．
【解答】解：由題意知，，
，
當(dāng)時，（A），
故選：．
【點評】本題主要考查反比例函數(shù)的知識，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
45．（2023?麗水）如果的壓力作用于物體上，產(chǎn)生的壓強要大于，則下列關(guān)于物體受力面積的說法正確的是
A．小于B．大于C．小于D．大于
【分析】根據(jù)已知條件利用壓強公式推導(dǎo)即可得到答案．
【解答】解：，，
，
產(chǎn)生的壓強要大于，
，
，
故選：．
【點評】本題考查了反比例的應(yīng)用等知識點，熟練掌握其性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵．
46．（2023?南充）小偉用撬棍撬動一塊大石頭，已知阻力和阻力臂分別為和，當(dāng)動力臂由增加到時，撬動這塊石頭可以節(jié)省 100 的力．
（杠桿原理：阻力阻力臂動力動力臂）
【分析】根據(jù)杠桿定律求得函數(shù)的解析式后代入和求得力的大小即可．
【解答】解：根據(jù)“杠桿定律”有，
函數(shù)的解析式為，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
因此，撬動這塊石頭可以節(jié)省，
故答案為：100．
【點評】本題考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是從實際問題中抽象出反比例函數(shù)模型，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模的數(shù)學(xué)思想，難度不大．
47．（2023?常州）若矩形的面積是10，相鄰兩邊的長分別為、，則與的函數(shù)表達式為．
【分析】根據(jù)長方形的面積公式：面積長寬，即可求解．
【解答】解：根據(jù)長方形的面積公式：面積長寬，可得，
即，
故答案為：．
【點評】此題主要考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，利用長方形面積公式列出函數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
九．反比例函數(shù)綜合題（共8小題）
48．（2023?泰安）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象分別交于點，點，與軸，軸分別交于點，點，作軸，垂足為點，．
（1）求反比例函數(shù)的表達式；
（2）在第二象限內(nèi)，當(dāng)時，直接寫出的取值范圍；
（3）點在軸負(fù)半軸上，連接，且，求點坐標(biāo)．
【分析】（1）根據(jù)一次函數(shù)的關(guān)系式可求出與軸，軸的交點、點的坐標(biāo)，再利用全等三角形的判斷和性質(zhì)得出，進而確定點的坐標(biāo)，再由反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征確定的值即可；
（2）求出兩個函數(shù)圖象的交點坐標(biāo)，再根據(jù)圖象直觀得出答案；
（3）求出直線的關(guān)系式，再根據(jù)關(guān)系式求出其與軸的交點坐標(biāo)即可．
【解答】解：（1）一次函數(shù)的圖象與軸，軸分別交于點，點，
點，點，
，
，
，，
，
，
點，
點在反比例函數(shù)的圖象上，
，
反比例函數(shù)的關(guān)系式為；
（2）方程組的解為，，
點，
點，
由于是在第二象限，當(dāng)時，的取值范圍為；
（3）由于直線，可設(shè)直線的關(guān)系式為，
把點代入得，，
解得，
直線的關(guān)系式為，
當(dāng)時，，
點的坐標(biāo)為．
【點評】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點坐標(biāo)，掌握反比例函數(shù)、一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是正確解答的前提，確定點的坐標(biāo)是解決問題的關(guān)鍵．
49．（2023?鎮(zhèn)江）如圖，正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于、兩點，點在軸負(fù)半軸上，．
（1），，點的坐標(biāo)為；
（2）點在軸上，若以、、為頂點的三角形與相似，求點的坐標(biāo)．
【分析】（1）由待定系數(shù)法求出函數(shù)表達式，在中，，，，用解直角三角形的方法求出，即可求解；
（2）證明點在軸的正半軸時，存在和，即可求解．
【解答】解：（1）當(dāng)時，，即點，
將點的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的表達式得：，
即反比例函數(shù)的表達式為：，
根據(jù)正比例函數(shù)的對稱性，點，
由點、的坐標(biāo)得，，過點作軸于點，
由直線的表達式知，，
而，
設(shè)，則，則，則，
則，，
則，
則點的坐標(biāo)為：，
故答案為：，，；
（2）當(dāng)點在軸的負(fù)半軸時，
，
又，，
和不可能相似；
當(dāng)點在軸的正半軸時，，
若，則，
則，
即點；
若，則，
即，
解得：，
即點，
綜上，點的坐標(biāo)為：或．
【點評】本題為反比例函數(shù)綜合題，涉及到解直角三角形、三角形相似等知識點，其中（2），分類求解是本題解題的關(guān)鍵．
50．（2023?涼山州）閱讀理解題：閱讀材料：
如圖1，四邊形是矩形，是等腰直角三角形，記為、為，若，則．
證明：設(shè)，
，
，
易證．
，，
，，
，
若時，當(dāng)，則．
同理：若時，當(dāng)，則．
根據(jù)上述材料，完成下列問題：
如圖2，直線與反比例函數(shù)的圖象交于點，與軸交于點．將直線繞點順時針旋轉(zhuǎn)后的直線與軸交于點，過點作軸于點，過點作軸于點，已知．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）直接寫出、的值；
（3）求直線的解析式．
【分析】（1）設(shè)，由，得，可解得，再用待定系數(shù)法得反比例函數(shù)的解析式為；
（2）求出，由，得，，即知，而，故，由閱讀材料得；
（3）由，，得，從而，再用待定系數(shù)法得直線解析式為．
【解答】解：（1）設(shè)，
，，
，
，
解得或，
或（此時在第四象限，不符合題意，舍去），
把代入得：
，
解得，
反比例函數(shù)的解析式為；
（2）在中，令得，
解得，
，
，
由（1）知，
，，
，
，
，
，
，
，
由若時，當(dāng)，則可得：
；
（3）由（2）知，
，
，
，，
，
，
，
，
設(shè)直線解析式為，
把，代入得：
，
解得，
直線解析式為．
【點評】本題考查反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，銳角三角函數(shù)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是讀懂閱讀材料，掌握待定系數(shù)法．
51．（2023?淄博）如圖，直線與雙曲線相交于點，．
（1）求雙曲線及直線對應(yīng)的函數(shù)表達式；
（2）將直線向下平移至處，其中點，點在軸上．連接，，求的面積；
（3）請直接寫出關(guān)于的不等式的解集．
【分析】（1）將代入雙曲線，求出的值，從而確定雙曲線的解析式，再將點代入，確定點坐標(biāo)，最后用待定系數(shù)法求直線的解析式即可；
（2）由平行求出直線的解析式為，過點作交于，設(shè)直線與軸的交點為，與軸的交點為，可推導(dǎo)出，再由，求出，則的面積；
（3）數(shù)形結(jié)合求出的范圍即可．
【解答】解：（1）將代入雙曲線，
，
雙曲線的解析式為，
將點代入，
，
，
將，代入，
，
解得，
直線解析式為；
（2）直線向下平移至，
，
設(shè)直線的解析式為，
將點代入，
，
解得，
直線的解析式為，
，
過點作交于，
設(shè)直線與軸的交點為，與軸的交點為，
，，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
的面積；
方法
；
（3）由圖可知或時，．
【點評】本題考查反比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)，直線平移是性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
52．（2023?廣安）如圖，一次函數(shù)為常數(shù)，的圖象與反比例函數(shù)為常數(shù)，的圖象在第一象限交于點，與軸交于點．
（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式．
（2）點在軸上，是以為腰的等腰三角形，請直接寫出點的坐標(biāo)．
【分析】（1）把點、的坐標(biāo)分別代入一次函數(shù)解析式，列出關(guān)于、的方程組，通過解方程組求得它們的值；然后將點的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式，求得的值即可；
（2）設(shè)，利用兩點間的距離公式和勾股定理以及列出方程，借助于方程求解即可．
【解答】解：（1）將、分別代入一次函數(shù)，得
．
解得．
故．
將其代入反比例函數(shù)，得
．
解得．
故一次函數(shù)的解析式為，反比例函數(shù)的解析式為；
（2）由（1）知，、，則．
設(shè)，
當(dāng)時，．
解得或（舍去）．
故；
當(dāng)時，．
解得或．
故或．
綜上所述，符合條件的點的坐標(biāo)為：或或．
【點評】本題屬于反比例函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求得一次函數(shù)和反比例函數(shù)解析式，勾股定理以及等腰三角形的性質(zhì)，此題難度稍大，綜合性比較強，注意對各個知識點的靈活應(yīng)用．
53．（2023?瀘州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與，軸分別相交于點，，與反比例函數(shù)的圖象相交于點，已知，點的橫坐標(biāo)為2．
（1）求，的值；
（2）平行于軸的動直線與和反比例函數(shù)的圖象分別交于點，，若以，，，為頂點的四邊形為平行四邊形，求點的坐標(biāo)．
【分析】（1）根據(jù)題意求出點的坐標(biāo)，進而求出，再求出點的坐標(biāo)，求出；
（2）分、兩種情況，計算即可．
【解答】解：（1），
點的坐標(biāo)為，
則，
解得：，
直線的解析式為，
點在直線上，點的橫坐標(biāo)為2，
點的縱坐標(biāo)為，
點的坐標(biāo)為，
；
（2）設(shè)點的坐標(biāo)為，則點的坐標(biāo)為，
，
，
當(dāng)時，以，，，為頂點的四邊形為平行四邊形，
直線與軸交于點，
，
，
當(dāng)時，，（舍去），
此時，點的坐標(biāo)為，，
當(dāng)時，，（舍去），
此時，點的坐標(biāo)為，，
綜上所述：以，，，為頂點的四邊形為平行四邊形時，點的坐標(biāo)為，或，．
【點評】本題考查的是反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)，靈活運用分情況討論思想是解題的關(guān)鍵．
54．（2023?營口）如圖，點在反比例函數(shù)的圖象上，軸于點，，．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）點在這個反比例函數(shù)圖象上，連接并延長交軸于點，且，求點的坐標(biāo)．
【分析】（1）根據(jù)銳角三角函數(shù)求出，進而求出點坐標(biāo)，最后用待定系數(shù)法即可求出；
（2）過作軸于，求出點坐標(biāo)，進而求出直線的解析式，最后聯(lián)立雙曲線解析式求解，求出點的坐標(biāo)，即可求出點的坐標(biāo)．
【解答】解：（1）軸于點，
，
在中，，，
，
，
點在反比例函數(shù)的圖象上，
；
反比例函數(shù)的解析式為；
（2）如圖，過作軸于，
，
，
，
，
，
，
，
設(shè)直線的解析式為，
點，在直線上，
，
，
直線的解析式為①，
由（1）知，反比例函數(shù)的解析式為②，
聯(lián)立①②解得，或，
．
【點評】此題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了銳角三角函數(shù)，待定系數(shù)法，等腰直角三角形的性質(zhì)，解方程組，作出輔助線求出直線的解析式是解（2）的關(guān)鍵．
55．（2023?成都）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)圖象與軸交于點，與反比例函數(shù)的圖
象的一個交點為，過點作的垂線．
（1）求點的坐標(biāo)及反比例函數(shù)的表達式；
（2）若點在直線上，且的面積為5，求點的坐標(biāo)；
（3）是直線上一點，連接，以為位似中心畫，使它與位似，相似比為．若點，恰好都落在反比例函數(shù)圖象上，求點的坐標(biāo)及的值．
【分析】（1）解方程得到點的坐標(biāo)為，將代入得，，求得，將代入得，求得反比例函數(shù)的表達式為；
（2）設(shè)直線與軸交于，直線與軸交于，解方程得到，求得，根據(jù)兩點間的距離的結(jié)論公式得到，求得，待定系數(shù)法求得直線的解析式為，設(shè)點的坐標(biāo)為，根據(jù)三角形的面積公式列方程得到或，求得點的坐標(biāo)為或；
（3）解方程組求得，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)平行線的判定定理得到，求得直線的解析式為，解方程組得到，則直線的解析式為，于是得到，，根據(jù)兩點間的距離距離公式即可得到結(jié)論．
【解答】解：（1）令，則，
點的坐標(biāo)為，
將代入得，，
，
，
將代入得，，
解得，
反比例函數(shù)的表達式為；
（2）設(shè)直線與軸交于，直線與軸交于，
令得，，
，
，
，
，
，，
，
直線是的垂線，即，，
，
，
設(shè)直線的解析式為，
將，代入得，，
解得，
直線的解析式為，
設(shè)點的坐標(biāo)為，
，
解得或，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
點的坐標(biāo)為或；
（3）位似圖形的對應(yīng)點與位似中心三點共線，點的對應(yīng)點也在直線上，不妨設(shè)為點，則點的對應(yīng)點為，
將直線與雙曲線的解析式聯(lián)立方程組，
解得，或，
，
畫出圖形如圖所示，
，
，
，
直線與直線的一次項系數(shù)相等，
設(shè)直線的解析式為，
，
，
直線的解析式為，
點在直線與雙曲線的另一個交點，
解方程組得，或，
，
則直線的解析式為，
解方程組得，，
，，
，
，
．
【點評】本題考查了反比例函數(shù)的綜合題，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，反比例函數(shù)的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．
反比例函數(shù)的概念及其圖象、性質(zhì)
易錯分析與舉例
1.反比例函數(shù)的概念
（1）定義：形如y＝eq \f(k,x)(k≠0)的函數(shù)稱為反比例函數(shù)，k叫做比例系數(shù)，自變量的取值范圍是非零的一切實數(shù)．
（2）形式：反比例函數(shù)有以下三種基本形式：
①y＝eq \f(k,x)；②y=kx-1; ③xy=k.(其中k為常數(shù)，且k≠0)
例：函數(shù)y=3xm+1，當(dāng)m=－2時，則該函數(shù)是反比例函數(shù)．
2.反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)
k的符號
圖象
經(jīng)過象限
y隨x變化的情況
（1）判斷點是否在反比例函數(shù)圖象上的方法：①把點的橫、縱坐標(biāo)代入看是否滿足其解析式；②把點的橫、縱坐標(biāo)相乘，判斷其乘積是否等于k.
易錯分析
（2）反比例函數(shù)值大小的比較時，首先要判斷自變量的取值是否同號，即是否在同一個象限內(nèi)，若不在則不能運用性質(zhì)進行比較，可以畫出草圖，直觀地判斷.
k>0
圖象經(jīng)過第一、三象限
（x、y同號）
每個象限內(nèi)，函數(shù)y的值隨x的增大而減小.
k

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