平行線分線段成比例定理
一、比例線段的相關(guān)概念及性質(zhì)
線段的比：在同一長(zhǎng)度單位下，量得的兩條線段長(zhǎng)度的比叫作這兩條線段的比.
【注意】?jī)蓷l線段的比，與所選的長(zhǎng)度單位無(wú)關(guān)，但所選的長(zhǎng)度單位必須一致，其值是一個(gè)沒(méi)有單位的正數(shù).
四條線段成比例：對(duì)于四條線段，如果其中兩條線段的比（即它們長(zhǎng)度的比）與另兩條線段的比相等，如（即），我們就說(shuō)這四條線段成比例.
【注意】
（1）成比例線段是有順序的，即若是成比例線段，則（或），不能寫成.
（2）在運(yùn)用計(jì)算時(shí)，通常情況下，四條線段的長(zhǎng)度單位要一致，但有時(shí)為了計(jì)算方便，的長(zhǎng)度單位一致，的長(zhǎng)度單位一致也可以.
比例的相關(guān)性質(zhì)：
（1）基本性質(zhì)：若，則.
（2）合比性質(zhì)：若，則.
（3）分比性質(zhì)：若，則.
（4）等比性質(zhì)：若，則.
黃金分割線
在線段上，點(diǎn)把線段分成兩條線段和（），如果，那么稱線段被點(diǎn)黃金分割，點(diǎn)叫作線段的黃金分割點(diǎn)，與的比叫作黃金比，黃金比為，線段有兩個(gè)黃金分割點(diǎn)和.
二、平行線分線段成比例
平行線分線段成比例的基本事實(shí)：兩條直線被一組平行線所截。所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.
幾何語(yǔ)言：如圖，直線，直線被直線，，所截，那么
，可簡(jiǎn)記為：.
【注意】（1）對(duì)應(yīng)線段成比例是指同一條直線上的兩條線段的比，等于另一條直線上與它們對(duì)應(yīng)的線段的比，書寫時(shí)，要把對(duì)應(yīng)線段寫在對(duì)應(yīng)的位置上.
（2）基本事實(shí)中的“所得的對(duì)應(yīng)線段”是指被截直線上的線段，與這組平行線上的線段無(wú)關(guān).
平行線分線段成比例的基本事實(shí)應(yīng)用在三角形中的結(jié)論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線），所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.
幾何語(yǔ)言：如圖，，或或.
三角形相似的判定與性質(zhì)
一、相似圖形
相似圖形：我們把形狀相同的圖形叫作相似圖形.
【注意】
（1）兩個(gè)圖形是否相似與圖形的大小、位置無(wú)關(guān).
（2）兩個(gè)圖形相似，其中一個(gè)圖形可以看作由另一個(gè)圖形放大或縮小得到.
（3）全等圖形是特殊的相似圖形，也就是說(shuō)全等圖形一定是相似圖形，但相似圖形不一定是全等圖形.
二、相似多邊形
相似多邊形：兩個(gè)邊數(shù)相同的多邊形，如果它們的角分別相等，邊成比例，那么這兩個(gè)多邊形叫作相似多邊形.
【注意】?jī)蓚€(gè)多邊形相似，必須同時(shí)具備三個(gè)條件：（1）邊數(shù)相同；（2）角分別相等；（3）邊成比例.
相似比：相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比叫作相似比.
【注意】相似比的值與兩個(gè)多邊形的順序有關(guān).例如，若四邊形與四邊形的相似比為3，則四邊形與四邊形的相似比為.
相似多邊形的性質(zhì)：相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例.
【注意】
（1）相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，但相等的兩個(gè)角未必是對(duì)應(yīng)角，要結(jié)合圖形去觀察它們之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.
（2）相似多邊形的定義可用來(lái)判斷兩個(gè)多邊是否相似.
（3）相似多邊形的性質(zhì)常用來(lái)求相似多邊形未知邊的長(zhǎng)度或未知角的度數(shù).
三、相似三角形的判定
1.利用平行線判定兩個(gè)三角形相似的定理
定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.
幾何語(yǔ)言：如圖所示，，.
【注意】
（1）定理中“和其他兩邊相交”是指和其他兩邊所在的直線相交.
（2）如圖，利用此定理判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，只需這一條件就能確定，其推理形式為：，.
2.利用兩邊和夾角判定兩個(gè)三角形相似的定理
定理：兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似.
幾何語(yǔ)言：如圖所示，在和中，,且，.
【注意】應(yīng)用該定理判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，相等的角必須是成比例的兩邊的夾角.
3.應(yīng)用三邊判定兩個(gè)三角形相似的定理
定理：三邊成比例的兩個(gè)三角形相似.
幾何語(yǔ)言：如圖所示，在和中，，.
【注意】利用三邊成比例判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，一定要注意邊與邊之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，主要根據(jù)最長(zhǎng)邊與最長(zhǎng)邊對(duì)應(yīng)，最短邊與最短邊對(duì)應(yīng)的思路找對(duì)應(yīng)邊.
4.利用兩角判定兩個(gè)三角形相似的定理
定理：兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似.
幾何語(yǔ)言：如圖所示，在和中，,.
【注意】利用此定理證明兩個(gè)三角形相似的關(guān)鍵是找相等的角.如公共角、對(duì)頂角、同角（等角）的余角（補(bǔ)角）、同弧所對(duì)的圓周角等都是相等的角，解題時(shí)要注意挖掘題目中的隱含條件.
5.直角三角形相似的判定方法
①一個(gè)銳角相等的兩個(gè)直角三角形相似；
②兩組直角邊成比例的兩個(gè)直角三角形相似；
③斜邊和一條直角邊成比例的兩個(gè)直角三角形相似.
四、相似三角形的性質(zhì)
1.根據(jù)三角形相似的定義可知，相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例.
2.相似三角形對(duì)應(yīng)線段的性質(zhì)：相似三角形對(duì)應(yīng)高的比，對(duì)應(yīng)中線的比與對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比.即相似三角形對(duì)應(yīng)線段的比等于相似比.
已知，且相似比為，由相似三角形的判定定理和相似三角形的定義可以證明對(duì)應(yīng)線段的比等于相似比，具體如下表：
【注意】在應(yīng)用相似三角形對(duì)應(yīng)線段的性質(zhì)解題時(shí)，要注意并不是相似三角形中任意高的比、中線的比、角平分線的比都等于相似比，而是相似三角形中對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比、對(duì)應(yīng)角平分線的比等于相似比.
3.相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比.
4.相似三角形面積的比等于相似比的平方.
5.應(yīng)用
位似
方法點(diǎn)撥
1.成比例線段問(wèn)題
對(duì)于四條線段，如果其中兩條線段的比（即它們長(zhǎng)度的比）與另兩條線段的比相等，如（即），我們就說(shuō)這四條線段成比例.
其主要性質(zhì)有：
（1）基本性質(zhì)：如果，那么.（如果，那么）
（2）合分比性質(zhì)：如果，那么.
（3）等比性質(zhì)：如果，那么.
解決成比例線段問(wèn)題的主要依據(jù)是比例的相關(guān)性質(zhì).
【方法總結(jié)】利用比例的性質(zhì)求代數(shù)式的值的方法
利用比例的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算時(shí)，有兩種常用方法：（1）用含有一個(gè)字母的代數(shù)式表示其他字母，然后代入求值；（2）參數(shù)法，即先根據(jù)比例式設(shè)出合適的參數(shù)，然后用含此參數(shù)的代數(shù)式表示出相應(yīng)的字母，再代入求值.
2.與黃金分割有關(guān)的問(wèn)題
如圖所示，點(diǎn)把線段分成兩條線段和，如果，那么稱線段被點(diǎn)黃金分割，點(diǎn)叫作線段的黃金分割點(diǎn)，黃金比.
用黃金分割解決實(shí)際問(wèn)題常用到黃金比，即較長(zhǎng)線段：全線段.
【注意】
一條線段的黃金分割點(diǎn)有兩個(gè)，這兩個(gè)黃金分割點(diǎn)關(guān)于線段中點(diǎn)對(duì)稱.
3.解相似三角形的判定問(wèn)題
相似三角形的判定方法：
（1）平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或其延長(zhǎng)線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.這是判定兩個(gè)三角形相似的最基本的一個(gè)定理.（2）兩個(gè)三角形相似的判定定理：①三邊成比例的兩個(gè)三角形相似；②兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似；③兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似.
判定兩個(gè)三角形相似需要根據(jù)條件選擇方法.有時(shí)條件不具備，需從以下幾個(gè)方面探求：
（1）條件中若有平行線，可考慮用平行線直接推出相似三角形；
（2）兩個(gè)三角形中若有一組等角，可再找一組等角，或再找夾這組等角的兩邊成比例；
（3）兩個(gè)三角形中若有兩邊成比例，可找這兩邊的夾角相等，或再找第三邊成比例；
（4）條件中若有一組直角，可再找一組等角或兩邊成比例.
解決相似三角形的判定問(wèn)題時(shí)，要根據(jù)題目中的已知條件或隱含條件選擇合適的判定方法.
【注意】
兩組對(duì)應(yīng)邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似，但是兩組對(duì)應(yīng)邊成比例且除夾角之外的任一組角相等時(shí)，這兩個(gè)三角形不一定相似.
4.利用相似三角形證明等積式的步驟
（1）將等積式轉(zhuǎn)化為比例式.
（2）觀察比例式中的線段是否分別在兩個(gè)形狀相同的三角形中（可采用三點(diǎn)定形法；也可在圖中標(biāo)出這些線段，通過(guò)觀察確定），若在兩個(gè)形狀相同的三角形中，可證明這兩個(gè)三角形相似，若不在兩個(gè)形狀相同的三角形中，可利用如下方法轉(zhuǎn)化：①等線段轉(zhuǎn)化；②中間比轉(zhuǎn)化；③添加輔助線構(gòu)造相似三角形轉(zhuǎn)化.
（3）根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例或中間的轉(zhuǎn)化得到比例式，再化為等積式.
5.解運(yùn)用相似三角形性質(zhì)的問(wèn)題
解與三角形相似有關(guān)的問(wèn)題時(shí)常用到以下性質(zhì)：
（1）相似三角形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例.
（2）相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比、對(duì)應(yīng)角平分線的比都等比相似比.
（3）相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比，相似多邊形周長(zhǎng)的比等于相似比.
（4）相似三角形面積的比等于相似比的平方，相似多邊形面積的比等于相似比的平方.
在三角形中求邊長(zhǎng)或面積時(shí)，常常運(yùn)用相似三角形的這些性質(zhì)解決問(wèn)題.
【方法總結(jié)】
遇到面積關(guān)系問(wèn)題時(shí)，若兩個(gè)三角形相似，則面積比等于相似比的平方；若兩個(gè)三角形不相似但等底（或等高），則等底（或等高）的兩個(gè)三角形的面積比等于對(duì)應(yīng)高（或底）的比.
6.解位似圖形問(wèn)題
如果兩個(gè)平面圖形不僅相似，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線或延長(zhǎng)線相交于一點(diǎn)，那么這樣的兩個(gè)圖形叫作位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫作位似中心，這時(shí)的相似比又叫作位似比.
位似圖形具有下列性質(zhì)：
（1）位似圖形上的任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于位似比.
（2）位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線或延長(zhǎng)線相交于一點(diǎn).
（3）位似圖形對(duì)應(yīng)線段平行或在同一條直線上且成比例.
（4）位似圖形的對(duì)應(yīng)角相等.
【易錯(cuò)警示】對(duì)位似圖形的定義掌握不牢致錯(cuò)
在判斷與是不是位似圖形時(shí)，容易出現(xiàn)只考慮兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于同一點(diǎn)，而沒(méi)有證明兩個(gè)三角形相似的情況.如圖所示，雖然與對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，但是兩個(gè)三角形不是相似三角形，顯然不是位似圖形.
【技巧點(diǎn)撥】找位似中心的方法
位似圖形中對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)所在的直線相交于位似中心.利用這一性質(zhì)，只要用直尺把位似圖形中的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)所在直線的交點(diǎn)找出來(lái)，即可找到位似中心.在此類題中，要注意相關(guān)線段的長(zhǎng)度與點(diǎn)的坐標(biāo)之間的相互轉(zhuǎn)化.
7.解位似圖形的畫圖問(wèn)題
作位似圖形就是將一個(gè)平面圖形進(jìn)行放大或縮小，其依據(jù)是位似圖形的性質(zhì)，即位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于相似比.因此，作位似圖形有兩個(gè)要點(diǎn)：一是位似中心（位似中心位于對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線所在的直線上）；二是相似比.
在平面直角坐標(biāo)系中，如果以原點(diǎn)為位似中心，新圖形與原圖形的相似比為，那么與原圖形上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的位似圖形上的點(diǎn)的坐標(biāo)為或.
【方法總結(jié)】
利用網(wǎng)格畫位似圖形時(shí)，要先根據(jù)位似中心確定關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，再畫出位似圖形，位似圖形面積之比等于相似比的平方.
8.解相似三角形的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題
運(yùn)用相似三角形解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，主要是運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的對(duì)應(yīng)線段之比等于相似比，相似三角形面積之比等于相似比的平方.
【利用相似測(cè)量寬度】
圖形
推理
結(jié)論
相似比
相似比為
對(duì)應(yīng)高的比
由兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似，得，再由相似三角形的定義，得
對(duì)應(yīng)高的比等于相似比
對(duì)應(yīng)中線的比
由兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似，得
，再由相似三角形的定義，得
對(duì)應(yīng)中線的比等于相似比
對(duì)應(yīng)角平分線的比

由兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似，得，再由相似三角形的定義，得
對(duì)應(yīng)角平分線的比等于相似比
幾何圖形的證明與計(jì)算
常見的類型是證明線段的數(shù)量關(guān)系，求線段的長(zhǎng)度及圖形的面積等.
解決實(shí)際問(wèn)題
常見類項(xiàng)是計(jì)算物體的高度和河的寬度等，基本思想是建立相似三角形模型
定義
兩個(gè)圖形不僅相似，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊互相平行（或在同一直線上），像這樣的兩個(gè)圖形叫作位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫作位似中心.
性質(zhì)
（1）位似圖形上的任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離的比等于相似比；
（2）位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線或延長(zhǎng)線相交于一點(diǎn)；
（3）位似圖形對(duì)應(yīng)邊平行（或在同一條直線上）；
（4）位似圖形對(duì)應(yīng)角相等；
（5）在平面直角坐標(biāo)系中，如果原點(diǎn)為位似中心，相似比為，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)比等于
作圖步驟
確定位似中心；確定原圖形中各頂點(diǎn)關(guān)于位似中心的對(duì)應(yīng)點(diǎn)；描出新圖形
基本圖形
問(wèn)題類型
測(cè)量不能直接到達(dá)的兩點(diǎn)間的距離（如河流寬度）.
測(cè)量原理
構(gòu)造相似三角形，利用“相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例”的性質(zhì)求解.
構(gòu)造相似圖形模型
測(cè)量數(shù)據(jù)
求的長(zhǎng)，可測(cè)量和的長(zhǎng)
求的長(zhǎng)，可測(cè)量的長(zhǎng)
求的長(zhǎng)，可測(cè)量的長(zhǎng)
相關(guān)算式
已知，
則，
所以.
已知，
則，
所以.
已知，
則，
所以.

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