【知識(shí)梳理】2
【真題自測】3
【考點(diǎn)突破】5
【考點(diǎn)1】函數(shù)的概念5
【考點(diǎn)2】求函數(shù)的定義域9
【考點(diǎn)3】求函數(shù)的解析式12
【考點(diǎn)4】分段函數(shù)16
【分層檢測】20
【基礎(chǔ)篇】20
【能力篇】25
【培優(yōu)篇】29
考試要求：
1.了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會(huì)求簡單函數(shù)的定義域和值域.
2.在實(shí)際情景中，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù).
3.了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應(yīng)用.
知識(shí)梳理
1.函數(shù)的概念
2.同一個(gè)函數(shù)
(1)前提條件：①定義域相同；②對(duì)應(yīng)關(guān)系相同.
(2)結(jié)論：這兩個(gè)函數(shù)為同一個(gè)函數(shù).
3.函數(shù)的表示法
表示函數(shù)的常用方法有解析法、圖象法和列表法.
4.分段函數(shù)
(1)若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個(gè)不同的式子來表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù).分段函數(shù)表示的是一個(gè)函數(shù).
(2)分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，其值域等于各段函數(shù)的值域的并集.
1.直線x＝a(a是常數(shù))與函數(shù)y＝f(x)的圖象至多有1個(gè)交點(diǎn).
2.注意以下幾個(gè)特殊函數(shù)的定義域：
(1)分式型函數(shù)，分母不為零的實(shí)數(shù)集合.
(2)偶次方根型函數(shù)，被開方式非負(fù)的實(shí)數(shù)集合.
(3)f(x)為對(duì)數(shù)式時(shí)，函數(shù)的定義域是真數(shù)為正數(shù)、底數(shù)為正且不為1的實(shí)數(shù)集合.
(4)若f(x)＝x0，則定義域?yàn)閧x|x≠0}.
(5)正切函數(shù)y＝tan x的定義域?yàn)閑q \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).
真題自測
一、填空題
1．（2023·北京·高考真題）已知函數(shù)，則 ．
2．（2022·北京·高考真題）函數(shù)的定義域是 ．
3．（2022·浙江·高考真題）已知函數(shù)則 ；若當(dāng)時(shí)，，則的最大值是 ．
4．（2022·北京·高考真題）設(shè)函數(shù)若存在最小值，則a的一個(gè)取值為 ；a的最大值為 ．
5．（2021·浙江·高考真題）已知，函數(shù)若，則 .
參考答案：
1．1
【分析】根據(jù)給定條件，把代入，利用指數(shù)、對(duì)數(shù)運(yùn)算計(jì)算作答.
【詳解】函數(shù)，所以.
故答案為：1
2．
【分析】根據(jù)偶次方根的被開方數(shù)非負(fù)、分母不為零得到方程組，解得即可；
【詳解】解：因?yàn)椋?，解得且?br>故函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>故答案為：
3． /
【分析】結(jié)合分段函數(shù)的解析式求函數(shù)值，由條件求出的最小值,的最大值即可.
【詳解】由已知，，
所以，
當(dāng)時(shí)，由可得，所以，
當(dāng)時(shí)，由可得，所以，
等價(jià)于，所以，
所以的最大值為.
故答案為：，.
4． 0（答案不唯一） 1
【分析】根據(jù)分段函數(shù)中的函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行分類討論，可知，符合條件，不符合條件，時(shí)函數(shù)沒有最小值，故的最小值只能取的最小值，根據(jù)定義域討論可知或， 解得 .
【詳解】解：若時(shí)，，∴；
若時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，故沒有最小值，不符合題目要求；
若時(shí)，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，，
當(dāng)時(shí)，
∴或，
解得，
綜上可得；
故答案為：0（答案不唯一），1
5．2
【分析】由題意結(jié)合函數(shù)的解析式得到關(guān)于的方程，解方程可得的值.
【詳解】，故，
故答案為：2.
考點(diǎn)突破
【考點(diǎn)1】函數(shù)的概念
一、單選題
1．（2023·山東濰坊·一模）存在函數(shù)滿足：對(duì)任意都有（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·山東濟(jì)南·二模）已知函數(shù)若，則m的值為（ ）
A．B．2C．9D．2或9
二、多選題
3．（21-22高一·全國·單元測試）下列函數(shù)中，與函數(shù)不是同一個(gè)函數(shù)的是（ ）
A．B．C．D．
4．（22-23高一上·陜西西安·期末）設(shè)集合，則下列圖象能表示集合到集合Q的函數(shù)關(guān)系的有（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
5．（2023·上海青浦·二模）已知函數(shù)的圖像繞著原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)弧度，若得到的圖像仍是函數(shù)圖像，則可取值的集合為 .
6．（2023·遼寧大連·一模）已知可導(dǎo)函數(shù)，定義域均為，對(duì)任意滿足，且，求 .
參考答案：
1．D
【分析】根據(jù)函數(shù)的定義一一判斷各選項(xiàng)中函數(shù)是否符合，即可判斷出答案.
【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
不符合函數(shù)定義，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B,令，則，令，則，
不符合函數(shù)定義，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C, 令，則，令，則，
不符合函數(shù)定義，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D, ,,則，則存在時(shí)，，
符合函數(shù)定義，即存在函數(shù)滿足：對(duì)任意都有，D正確，
故選：D
2．C
【分析】由題可得或，即求.
【詳解】∵函數(shù)，，
∴或，
解得.
故選：C.
3．ACD
【分析】根據(jù)兩函數(shù)定義域相同且解析式一致即為相等函數(shù)，一一判斷即可.
【詳解】解：的定義域?yàn)椋?br>對(duì)于A，的定義域?yàn)?，與的定義域不同，不是同一函數(shù)；
對(duì)于B，定義域?yàn)椋c定義域相同，對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，是同一函數(shù)；
對(duì)于C，的定義域?yàn)?，與定義域不同，不是同一函數(shù)；
對(duì)于D，，與的對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，不是同一函數(shù)．
故選：ACD．
4．BD
【分析】根據(jù)函數(shù)的定義分別檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷．
【詳解】對(duì)于A：由圖象可知定義域不是，不滿足；
對(duì)于B：定義域?yàn)?，值域?yàn)榈淖蛹?，故符合函?shù)的定義，滿足；
對(duì)于C：集合中有的元素在集合中對(duì)應(yīng)兩個(gè)值，不符合函數(shù)定義，不滿足；
對(duì)于D： 由函數(shù)定義可知D滿足．
故選：BD．
5．
【分析】題中函數(shù)為圓的一段劣弧，在旋轉(zhuǎn)過程中，只需根據(jù)函數(shù)的定義考慮一個(gè)只有唯一確定的與之對(duì)應(yīng)，即圖形與只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)旋轉(zhuǎn)的角度符合題意.
【詳解】畫出函數(shù)的圖象，如圖1所示：
圓弧所在的圓方程為，，，在圖象繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)從圖1的位置旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)時(shí)，根據(jù)函數(shù)的定義知這個(gè)旋轉(zhuǎn)過程所得的圖形均為函數(shù)的圖象，如圖2所示：
此時(shí)繞著原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)弧度為；
若函數(shù)圖象在圖2位置繞著原點(diǎn)繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)在軸上方，點(diǎn)在軸下方時(shí)，根據(jù)函數(shù)的定義知，所得圖形不是函數(shù)的圖象，如圖3所示：
此時(shí)轉(zhuǎn)過的角度為，不滿足題意；
若函數(shù)的圖象在圖3位置繞著原點(diǎn)繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)整個(gè)圖象都在軸下方時(shí)，根據(jù)函數(shù)的定義知，所得圖形是函數(shù)的圖象，如圖4所示：
此時(shí)轉(zhuǎn)過的角度為；
故答案為：.
6．
【分析】利用函數(shù)值的定義及函數(shù)的求導(dǎo)法則，結(jié)合導(dǎo)數(shù)值的定義即可求解.
【詳解】由題意可知，令，則，解得，
由，得，即，
令，得，即，
解得.
故答案為：.
反思提升：
（1）函數(shù)的定義要求非空數(shù)集A中的任何一個(gè)元素在非空數(shù)集B中有且只有一個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)，即可以“多對(duì)一”，不能“一對(duì)多”，而B中有可能存在與A中元素不對(duì)應(yīng)的元素.
（2）構(gòu)成函數(shù)的三要素中，定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，則值域一定相同
【考點(diǎn)2】求函數(shù)的定義域
一、單選題
1．（2023·湖北·三模）函數(shù)的定義域是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·模擬預(yù)測）若函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t的定義域?yàn)椋? ）
A．B．
C．D．
二、多選題
3．（2023·河南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)在R上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則（ ）
A．函數(shù)在R上單調(diào)遞增
B．函數(shù)在上單調(diào)遞增
C．函數(shù)在上單調(diào)遞減
D．函數(shù)在上單調(diào)遞減
4．（2022·海南·模擬預(yù)測）下面關(guān)于函數(shù)的性質(zhì)，說法正確的是（ ）
A．的定義域?yàn)锽．的值域?yàn)?br>C．在定義域上單調(diào)遞減D．點(diǎn)是圖象的對(duì)稱中心
三、填空題
5．（23-24高一上·新疆·期中）已知函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是 .
6．（2023·山東棗莊·模擬預(yù)測）已知函數(shù)是定義在上的減函數(shù)，且，則的取值范圍是 ．
參考答案：
1．D
【分析】利用根式及對(duì)數(shù)函數(shù)的定義建立不等式組，解不等式組得到定義域即可.
【詳解】由，得，解得，
所以函數(shù)的定義域?yàn)?
故選：D．
2．C
【分析】利用抽象函數(shù)定義域的求解原則可求出函數(shù)的定義域，對(duì)于函數(shù)，可列出關(guān)于的不等式組，由此可得出函數(shù)的定義域.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋瑒t，可得，
所以，函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>對(duì)于函數(shù)，則有，解得，
因此，函數(shù)的定義域?yàn)?
故選：C.
3．AB
【分析】由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷方法逐一判斷即可.
【詳解】因?yàn)樵赗上單調(diào)遞增，所以在R上單調(diào)遞增，故A正確；
因?yàn)樵赗上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，故B正確；
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，因?yàn)榈闹涤蚴欠裨谏蠠o法判斷，
所以在上的單調(diào)性無法判斷，故C錯(cuò)誤；
因?yàn)樵赗上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，因的值域是否在上無法判斷，所以在上的單調(diào)性無法判斷，故D錯(cuò)誤.
故選：AB.
4．AD
【分析】由，可知由向右平移個(gè)單位，再向上平移個(gè)單位得到，根據(jù)的性質(zhì)得到的性質(zhì)，即可判斷；
【詳解】解：
由向右平移個(gè)單位，再向上平移個(gè)單位得到，
因?yàn)殛P(guān)于對(duì)稱，所以關(guān)于對(duì)稱，故D正確；
函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?，故A正確，B錯(cuò)誤；
函數(shù)在和上單調(diào)遞減，故C錯(cuò)誤；
故選：AD
5．
【分析】根據(jù)抽象函數(shù)定義域求法和分式、根式有意義的要求可構(gòu)造方程組求得結(jié)果.
【詳解】由題意知：，解得：，的定義域?yàn)?
故答案為：.
6．
【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求解即可.
【詳解】函數(shù)是定義在上的減函數(shù)，且，
∴，解得．
故答案為：
反思提升：
1.求給定解析式的函數(shù)定義域的方法
求給定解析式的函數(shù)的定義域，其實(shí)質(zhì)就是以函數(shù)解析式中所含式子(運(yùn)算)有意義為準(zhǔn)則，列出不等式或不等式組求解；對(duì)于實(shí)際問題，定義域應(yīng)使實(shí)際問題有意義.
2.求抽象函數(shù)定義域的方法
(1)若已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇a，b]，則復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的定義域可由不等式a≤g(x)≤b求出.
(2)若已知函數(shù)f[g(x)]的定義域?yàn)閇a，b]，則f(x)的定義域?yàn)間(x)在x∈[a，b]上的值域.
【考點(diǎn)3】求函數(shù)的解析式
一、單選題
1．（2023·河南鄭州·二模）若函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·河北保定·二模）若函數(shù)，則函數(shù)的最小值為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
3．（2024·全國·一模）設(shè)a為常數(shù)，，則（ ）．
A．
B．成立
C．
D．滿足條件的不止一個(gè)
4．（2023·江西·模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，為奇函?shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空題
5．（2022·全國·模擬預(yù)測）若函數(shù)滿足關(guān)系式，則 .
6．（22-23高一下·上海浦東新·階段練習(xí)）已知對(duì)任意的實(shí)數(shù)a均有成立，則函數(shù)的解析式為 ．
參考答案：
1．A
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，即可得解.
【詳解】由圖象知，的兩根為2，4，且過點(diǎn)，
所以，解得，
所以，
所以，
故選：A
2．D
【分析】先利用配湊法求出的解析式，則可求出的解析式，從而可求出函數(shù)的最小值
【詳解】因?yàn)椋?br>所以.
從而，
當(dāng)時(shí)，取得最小值，且最小值為.
故選：D
3．ABC
【分析】
對(duì)已知條件進(jìn)行多次賦值，結(jié)合已知數(shù)據(jù)，再對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷即可.
【詳解】
對(duì)A：對(duì)原式令，則，即，故A正確；
對(duì)B： 對(duì)原式令，則，故，
對(duì)原式令，則，故非負(fù)；
對(duì)原式令，則，解得，
又非負(fù)，故可得，故B正確；
對(duì)C：由B分析可得：，故C正確；
對(duì)D：由B分析可得：滿足條件的只有一個(gè)，故D錯(cuò)誤.
故選：ABC.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考察抽象函數(shù)的性質(zhì)，處理問題的關(guān)鍵是對(duì)已知條件合理的賦值，屬中檔題.
4．CD
【分析】由為奇函數(shù)與為偶函數(shù)，得到函數(shù)的對(duì)稱性與周期性，先由特值待定，再根據(jù)性質(zhì)求值即可， CD選項(xiàng)結(jié)合周期特點(diǎn)進(jìn)行數(shù)列求和，使用并項(xiàng)求和法.
【詳解】由為奇函數(shù)，
得關(guān)于對(duì)稱，且滿足；
由為偶函數(shù)，
得關(guān)于直線對(duì)稱，且滿足.
故，
所以是周期函數(shù)，且周期.
對(duì)選項(xiàng)A，由，
令，解得，故A錯(cuò)誤；
對(duì)選項(xiàng)B，已知當(dāng)時(shí)，，
則，
故當(dāng)時(shí)，.
則，故B錯(cuò)誤；
對(duì)選項(xiàng)C，，，
，，且周期.
則，故C正確．
對(duì)選項(xiàng)D，
，故D正確．
故選：CD．
5．6
【分析】用方程組法求得，代入求值即可解答.
【詳解】因?yàn)椋裕?br>解得，所以.
故選：6
6．
【分析】先利用方程組思想結(jié)合誘導(dǎo)公式求出或，再利用換元法即可得解，注意函數(shù)的定義域.
【詳解】由，①
得，
即，②
得：，
所以，
令，則，
所以.
故答案為：.
反思提升：
函數(shù)解析式的求法
(1)配湊法：由已知條件f(g(x))＝F(x)，可將F(x)改寫成關(guān)于g(x)的表達(dá)式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表達(dá)式.
(2)待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù))可用待定系數(shù)法.
(3)換元法：已知復(fù)合函數(shù)f(g(x))的解析式，可用換元法，此時(shí)要注意新元的取值范圍.
(4)方程思想：已知關(guān)于f(x)與feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))或f(－x)等的表達(dá)式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個(gè)等式組成方程組，通過解方程組求出f(x).
【考點(diǎn)4】分段函數(shù)
一、單選題
1．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則 （ ）
A．-6B．0C．4D．6
2．（2023·山西·模擬預(yù)測）十九世紀(jì)德國數(shù)學(xué)家狄利克雷提出了“狄利克雷函數(shù)”它在現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展過程中有著重要意義，若函數(shù)，則下列實(shí)數(shù)不屬于函數(shù)值域的是（ ）
A．3B．2C．1D．0
二、多選題
3．（2021·重慶沙坪壩·模擬預(yù)測）已知是定義在上的函數(shù)，則（ ）
A．若為增函數(shù)，則的取值范圍為
B．若為增函數(shù)，則的取值范圍為
C．若為減函數(shù)，則的取值范圍為
D．若為減函數(shù)，則的取值范圍為
4．（21-22高三上·江蘇常州·開學(xué)考試）已知函數(shù)，若函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的可能取值是（ ）
A．B．C．D．
三、填空題
5．（2023·貴州遵義·模擬預(yù)測）若函數(shù)，則不等式的解集為 .
6．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知，若存在，使得，則的取值范圍為 .
參考答案：
1．A
【分析】
由分段函數(shù)解析式，利用周期性求得，進(jìn)而求目標(biāo)函數(shù)值.
【詳解】
由分段函數(shù)知：當(dāng)時(shí)，周期，
所以，
所以．
故選：A
2．C
【分析】
根據(jù)已知條件求出，利用分段函數(shù)分段處理及函數(shù)值域的定義即可求解.
【詳解】由題意可知
所以，，，而無解.
故選：C.
3．BD
【分析】根據(jù)分段函數(shù)單調(diào)增和單調(diào)減的條件分別列出不等式組，即可求得相應(yīng)的實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【詳解】解：此函數(shù)為增函數(shù)的條件是：，解得,
此函數(shù)為減函數(shù)的條件是：，解得,
故選：BD.
【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的單調(diào)性，涉及指數(shù)函數(shù)，分式函數(shù)的單調(diào)性，屬基礎(chǔ)題，分段函數(shù)單調(diào)增(減),需要各段上單調(diào)增(減),而且銜接點(diǎn)處是非減(增)的.
4．BD
【分析】由分段函數(shù)解析式判斷函數(shù)性質(zhì)并畫出函數(shù)圖象，討論參數(shù)判斷不同a對(duì)應(yīng)值域的的范圍，結(jié)合函數(shù)圖象判斷解的情況，即可確定有個(gè)零點(diǎn)時(shí)的范圍.
【詳解】在上單調(diào)遞增且值域?yàn)椋?br>在上單調(diào)遞減且值域?yàn)椋?br>在上單調(diào)遞增且值域?yàn)椋?br>故的圖象如下：
由題設(shè)，有個(gè)零點(diǎn)，即有7個(gè)不同解，
當(dāng)時(shí)有，即，此時(shí)有1個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)有，即，
∴有1個(gè)零點(diǎn)，有3個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)共有4個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)有或或，
∴有1個(gè)零點(diǎn)，有3個(gè)零點(diǎn)，有3個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)共有7個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)有或或，
∴有1個(gè)零點(diǎn)，有3個(gè)零點(diǎn)，有2個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)共有6個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)有或，
∴有3個(gè)零點(diǎn)，有2個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)共有5個(gè)零點(diǎn)；
綜上，要使有7個(gè)零點(diǎn)時(shí)，則，()
故選：BD
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由解析式確定分段函數(shù)的性質(zhì)并畫出草圖，進(jìn)而討論參數(shù)確定對(duì)應(yīng)的取值范圍，結(jié)合函數(shù)圖象判斷零點(diǎn)情況.
5．
【分析】分和兩種情況，結(jié)合指、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性運(yùn)算求解.
【詳解】因?yàn)?，則有：
當(dāng)時(shí)，可得，解得；
當(dāng)時(shí)，可得，則，解得；
綜上所述：不等式的解集為.
故答案為：.
6．
【分析】先討論、與1的大小關(guān)系確定、，進(jìn)而確定的取值范圍，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解.
【詳解】①當(dāng)時(shí)，則，，
又由，得，
所以，則；
②當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，?br>所以不存在，使得；
③當(dāng)時(shí)，則，，
又由，得，
則，，
令，則在上單調(diào)遞增，
所以，則；
綜上所述，的取值范圍為.
故答案為：.
反思提升：
1.根據(jù)分段函數(shù)解析式求函數(shù)值，首先確定自變量的值屬于哪個(gè)區(qū)間，其次選定相應(yīng)的解析式代入求解.
2.已知函數(shù)值或函數(shù)的取值范圍求自變量的值或范圍時(shí)，應(yīng)根據(jù)每一段的解析式分別求解，但要注意檢驗(yàn)所求自變量的值或范圍是否符合相應(yīng)段的自變量的取值范圍.
分層檢測
【基礎(chǔ)篇】
一、單選題
1．（2023·陜西西安·模擬預(yù)測）已知函數(shù)滿足，，則下列說法正確的是（ ）．
A．B．
C．D．
2．（2023·江西九江·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)椋? ）
A．B．C．D．
3．（2022·全國·模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)椋? ）
A．B．C．D．
4．（2023·吉林長春·模擬預(yù)測）已知函數(shù)滿足，則（ ）
A．的最小值為2B．
C．的最大值為2D．
二、多選題
5．（2023·云南昆明·模擬預(yù)測）函數(shù)分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且，則（ ）
A．B．
C．D．
6．（22-23高一上·云南昆明·期末）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．在上為增函數(shù)
B．
C．若在上單調(diào)遞增，則或
D．當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?br>7．（2024·廣東·模擬預(yù)測）給定數(shù)集，，滿足方程，下列對(duì)應(yīng)關(guān)系為函數(shù)的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
三、填空題
8．（23-24高一上·江蘇揚(yáng)州·期末）已知的定義域?yàn)锳，集合，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .
9．（2022·山東濟(jì)南·二模）已知函數(shù)，則 ．
10．（2021·廣東·模擬預(yù)測）若a＞0且a≠1，且函數(shù)在R上單調(diào)遞增，那么a的取值范圍是 ．
四、解答題
11．（20-21高二上·山東臨沂·期末）已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程．
（2） 時(shí)，若，求的定義域，并分析其單調(diào)性．
12．（2020·山東·高考真題）已知函數(shù).
（1）求的值；
（2）求，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
參考答案：
1．D
【分析】用換元法求出，再用代入法即可解出答案．
【詳解】設(shè)，則，∴，．
由，有，即，∴．
故選：D
2．C
【分析】由題可知解即可得答案.
【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋?br>所以，，即，解得，
所以，函數(shù)的定義域?yàn)?br>故選：C
3．A
【分析】先求的定義域，再利用復(fù)合函數(shù)求的定義域.
【詳解】由題意得，，解得函數(shù)滿足，解得，
即函數(shù)的定義域?yàn)?
故選:A
4．B
【分析】首先根據(jù)題意得到，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)依次判斷選項(xiàng)即可.
【詳解】因?yàn)?，?br>所以.
所以，所以的最小值，無最大值，為故A，C錯(cuò)誤.
對(duì)選項(xiàng)B，，
因?yàn)?，所以，即?br>故B正確.
對(duì)選項(xiàng)D，，
因?yàn)椋?，即?br>故D錯(cuò)誤.
故選：B
5．AC
【分析】根據(jù)奇函數(shù)和偶函數(shù)定義可構(gòu)造方程組求得，由此依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.
【詳解】由得：，
又分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，；
由得：，；
對(duì)于A，，A正確；
對(duì)于B，，B錯(cuò)誤；
對(duì)于CD，，C正確，D錯(cuò)誤.
故選：AC.
6．BC
【分析】結(jié)合分段函數(shù)的單調(diào)性對(duì)選項(xiàng)逐一辨析即可.
【詳解】易知在(－∞，0]，(0，＋∞)上單調(diào)遞增，A錯(cuò)誤，
，，B正確；
若在(a，a＋1)上單調(diào)遞增，則或，即或，故C正確；
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故時(shí)，的值域?yàn)?，故D錯(cuò)誤.
故選：BC.
7．ABD
【分析】
根據(jù)給定條件，利用函數(shù)的定義，結(jié)合指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即得.
【詳解】對(duì)于A，，，均有唯一確定，符合函數(shù)定義，A正確；
對(duì)于B，，，均有唯一確定，符合函數(shù)定義，B正確；
對(duì)于C，，取，，不符合函數(shù)定義，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，，，均有唯一確定，符合函數(shù)定義，D正確.
故選：ABD
8．
【分析】先求出的定義域得到集合A，再根據(jù)子集的定義即可求得a的取值范圍.
【詳解】，則或，即或.
①當(dāng)時(shí)，，滿足，符合題意；
②當(dāng)時(shí)，，所以若，
則有或（舍），解得；
③當(dāng)時(shí)，，所以若，
則有或（舍），解得.
綜上所述，.
故答案為：
9．
【分析】代入函數(shù)解析式計(jì)算即可.
【詳解】解：因?yàn)?，所以?br>.
故答案為：.
10．
【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性，列出不等式組，然后求解即可．
【詳解】且，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
可得：，解得，
故答案為：.
11．（1）；（2）定義域?yàn)?，單調(diào)性見解析.
【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可得切線斜率為，再由根據(jù)點(diǎn)斜式即可得解；
（2）由可得，再通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性即可.
【詳解】（1） 當(dāng) 時(shí)，，
所以
又，
所以曲線 在 處的切線方程為 ．
（2）當(dāng)時(shí)， ，
∴函數(shù) 的定義域?yàn)?，
∴，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，
∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞減.
12．（1）；（2）.
【分析】（1）根據(jù)分段函數(shù)的解析式，代入計(jì)算即可；
（2）先判斷的取值范圍，再代入分段函數(shù)解析式，得到的具體不等式寫法，解不等式即可.
【詳解】解：（1）因?yàn)椋?br>所以，因?yàn)椋?br>所以.
（2）因?yàn)椋?br>則，
因?yàn)?，所以?br>即，解得.
【能力篇】
一、單選題
1．（2023·全國·三模）已知對(duì)于每一對(duì)正實(shí)數(shù)，，函數(shù)滿足：，若，則滿足的的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
二、多選題
2．（2023·重慶·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A．的定義域?yàn)?br>B．在上的值域?yàn)?br>C．若在上單調(diào)遞減，則
D．若，則在定義域上單調(diào)遞增
三、填空題
3．（2022·上海浦東新·模擬預(yù)測）函數(shù)的圖象是兩條線段（如圖），它的定義域?yàn)?，則不等式的解集為 ．
四、解答題
4．（2023·寧夏銀川·模擬預(yù)測）已知函數(shù).
(1)求不等式的解集；
(2)若且滿足，記是的最大值，證明：.
參考答案：
1．A
【分析】利用遞推式判斷在上的符號(hào)及單調(diào)性，并得到，即可判斷的個(gè)數(shù).
【詳解】令且均屬于，則，
所以，故，
又，故在上恒成立，且在上單調(diào)遞增，
所以，滿足僅有，即僅有1個(gè).
故選：A
2．AC
【分析】求得的定義域判斷選項(xiàng)A；求得在上的值域判斷選項(xiàng)B；求得a的取值范圍判斷選項(xiàng)C；求得時(shí)的單調(diào)性判斷選項(xiàng)D.
【詳解】選項(xiàng)A：由得，則的定義域?yàn)?判斷正確；
選項(xiàng)B：，
由，可得，則，
當(dāng)時(shí)，，則在上的值域?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，，，
即在上的值域?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，，，
即在上的值域?yàn)?
綜上，當(dāng)時(shí)，在上的值域?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，在上的值域?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，在上的值域?yàn)?判斷錯(cuò)誤；
選項(xiàng)C：，
若在上單調(diào)遞減，則，解之得.判斷正確；
選項(xiàng)D：，
則時(shí)，在和上單調(diào)遞增.判斷錯(cuò)誤.
故選：AC
3．
【分析】首先求得函數(shù)的解析式，然后利用函數(shù)的解析式分類討論即可求得最終結(jié)果．
【詳解】解：
當(dāng)x∈時(shí)，設(shè)線段所在直線的方程為，線段過點(diǎn)（﹣1，0），（0，1），
根據(jù)一次函數(shù)解析式的特點(diǎn)，可得出方程組 ，
解得 ．故當(dāng)x∈[﹣1，0）時(shí)，f（x）＝x+1；
同理當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，f（x）＝x1；
當(dāng)x∈[﹣1，0）時(shí)，不等式f（x）﹣f（﹣x）1可化為：
x+1﹣（x1）1，解得：x，∴﹣1≤x＜0．
當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，不等式f（x）﹣f（﹣x）﹣1可化為：
x1﹣（x+1）1，解得：，∴x≤1，
綜上所述，不等式f（x）﹣f（﹣x）﹣1的解集為 ．
故答案為：
4．(1)；
(2)證明見解析.
【分析】（1）根據(jù)給定條件，分段解含絕對(duì)值符號(hào)的不等式作答.
（2）利用（1）中信息，借助函數(shù)單調(diào)性求出c，再利用作差法結(jié)合均值不等式推理作答.
【詳解】（1）依題意，，于是不等式化為：
或或，解得，
所以不等式的解集.
（2）由（1）可知：函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，即，
由得，即，
于是
，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
所以.
【培優(yōu)篇】
一、單選題
1．（22-23高三上·山東濰坊·期末）已知定義在上的函數(shù)滿足，對(duì)，，有，則（ ）
A．B．C．D．
2．（2021·浙江·二模）已知定義在上的函數(shù)為減函數(shù)，對(duì)任意的，均有，則函數(shù)的最小值是（ ）
A．2B．5C．D．3
3．（2023·重慶沙坪壩·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則的解集是（ ）
A．B．
C．D．
參考答案：
1．A
【分析】由已知可推得，令，得出.設(shè)，則，由，可得.又，代入求和即可得出結(jié)果.
【詳解】令，由已知可得.
令，由已知可得，
設(shè)，則，整理可得.
又，所以，所以.
則，
所以.
故選：A.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于抽象函數(shù)的問題，常用賦值法：賦確定值求解函數(shù)值，賦確定值及可變值可得函數(shù)關(guān)系式.
2．D
【分析】根據(jù)題意由帶入，可得：整理化簡可得，解方程求得函數(shù)解析式，再結(jié)合基本不等式即可得解.
【詳解】由任意的，均有，
由帶入可得：
，
所以
所以，
由為減函數(shù)，所以
所以
即
由，
所以，
化簡整理可得，
所以或，
由為減函數(shù)所以，
故當(dāng)時(shí)，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.
故選：D.
【點(diǎn)睛】本題考查了求函數(shù)解析式，考查了單調(diào)性求解過程中的應(yīng)用，考查了較高的計(jì)算能力，屬于較難題.本題的關(guān)鍵點(diǎn)有：
（1）帶入化簡，把帶入在利用原式進(jìn)行化簡，是本題的關(guān)鍵；
（2）掌握利用基本不等式求最值.
3．C
【分析】
根據(jù)函數(shù)解析式，作出函數(shù)圖象，繼而作出的圖象，數(shù)形結(jié)合，求得不等式的解集.
【詳解】根據(jù)題意當(dāng)時(shí),，
當(dāng)時(shí), ,
作出函數(shù)的圖象如圖，
在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象，
由圖象可得不等式解集為，
故選：C
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是正確的作出函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合，求得不等式解集.
概念
一般地，設(shè)A，B是非空的實(shí)數(shù)集，如果對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)
三要素
對(duì)應(yīng)關(guān)系
y＝f(x)，x∈A
定義域
x的取值范圍
值域
與x對(duì)應(yīng)的y的值的集合{f(x)|x∈A}

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