【知識梳理】2
【真題自測】3
【考點突破】12
【考點1】函數(shù)的奇偶性12
【考點2】函數(shù)的周期性及應(yīng)用16
【考點3】函數(shù)的對稱性22
【考點4】函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用28
【分層檢測】33
【基礎(chǔ)篇】33
【能力篇】40
【培優(yōu)篇】42
考試要求：
1.理解函數(shù)奇偶性的含義.
2.了解函數(shù)的最小正周期的含義.
3.會利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、對稱性、周期性解決函數(shù)性質(zhì)的綜合問題.
知識梳理
1.函數(shù)的奇偶性
2.函數(shù)的周期性
(1)周期函數(shù)：對于函數(shù)y＝f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期.
(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期.
1.函數(shù)周期性的常用結(jié)論
對f(x)定義域內(nèi)任一自變量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，則T＝2a(a>0).
(2)若f(x＋a)＝eq \f(1,f（x）)，則T＝2a(a>0).
(3)若f(x＋a)＝－eq \f(1,f（x）)，則T＝2a(a>0).
2.對稱性的四個常用結(jié)論
(1)若函數(shù)y＝f(x＋a)是偶函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱.
(2)若函數(shù)y＝f(x＋b)是奇函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(b，0)中心對稱.
(3)若函數(shù)y＝f(x)滿足f(a＋x)＝f(b－x)，則y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq \f(a＋b,2)對稱；特別地，當(dāng)a＝b時，即f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)時，則y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱.
(4)若函數(shù)y＝f(x)滿足f(x)＋f(2a－x)＝2b，則y＝f(x)的圖象關(guān)于點(a，b)對稱.特別地，當(dāng)b＝0時，即f(a＋x)＋f(a－x)＝0或f(x)＋f(2a－x)＝0時，則y＝f(x)的圖象關(guān)于點(a，0)對稱.
真題自測
一、單選題
1．（2023·全國·高考真題）已知是偶函數(shù)，則（ ）
A．B．C．1D．2
2．（2023·全國·高考真題）若為偶函數(shù)，則（ ）．
A．B．0C．D．1
3．（2022·全國·高考真題）已知函數(shù)的定義域為R，且，則（ ）
A．B．C．0D．1
4．（2022·全國·高考真題）已知函數(shù)的定義域均為R，且．若的圖像關(guān)于直線對稱，，則（ ）
A．B．C．D．
5．（2021·全國·高考真題）已知函數(shù)的定義域為，為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則（ ）
A．B．C．D．
6．（2021·全國·高考真題）設(shè)函數(shù)的定義域為R，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時，．若，則（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
7．（2023·全國·高考真題）已知函數(shù)的定義域為，，則（ ）．
A．B．
C．是偶函數(shù)D．為的極小值點
8．（2022·全國·高考真題）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記，若，均為偶函數(shù)，則（ ）
A．B．C．D．
三、填空題
9．（2023·全國·高考真題）若為偶函數(shù)，則 ．
10．（2021·全國·高考真題）寫出一個同時具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù) ．
①；②當(dāng)時，；③是奇函數(shù)．
11．（2021·全國·高考真題）已知函數(shù)是偶函數(shù)，則 .
考點突破
【考點1】函數(shù)的奇偶性
一、單選題
1．（2024·重慶·三模）設(shè)函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024·廣東佛山·一模）已知為奇函數(shù)，則在處的切線方程為（ ）
A．B．
C．D．
二、多選題
3．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記，若均為奇函數(shù)，則下列說法中正確的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2024·湖南邵陽·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的定義域為，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且對任意的，，都有，則（ ）
A．是奇函數(shù)B．
C．的圖象關(guān)于對稱D．
三、填空題
5．（2024·河南三門峽·模擬預(yù)測）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則的值為 .
6．（2024·廣東佛山·二模）已知定義在上的偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，則滿足的實數(shù)x的取值范圍為 .
反思提升：
1.判斷函數(shù)的奇偶性，其中包括兩個必備條件：
(1)定義域關(guān)于原點對稱，這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域；
(2)判斷f(x)與f(－x)是否具有等量關(guān)系，在判斷奇偶性的運算中，可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價等量關(guān)系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函數(shù))或f(x)－f(－x)＝0(偶函數(shù)))是否成立.
2.利用函數(shù)的奇偶性可求函數(shù)值或求參數(shù)的取值，求解的關(guān)鍵在于借助奇偶性轉(zhuǎn)化為求已知區(qū)間上的函數(shù)或得到參數(shù)的恒等式，利用方程思想求參數(shù)的值.
3.畫函數(shù)圖象：利用函數(shù)的奇偶性可畫出函數(shù)在其對稱區(qū)間上的圖象，結(jié)合幾何直觀求解相關(guān)問題.
【考點2】函數(shù)的周期性及應(yīng)用
一、單選題
1．（2024·陜西渭南·模擬預(yù)測）已知定義在R上的函數(shù)滿足，為奇函數(shù)，則（ ）
A．B．0C．1D．2
2．（21-22高三上·四川攀枝花·階段練習(xí)）定義在R上的函數(shù)滿足，且，則下列說法正確的是（ ）
A．的值域為
B．圖象的對稱軸為直線
C．當(dāng)時，
D．方程恰有5個實數(shù)解
二、多選題
3．（2024·黑龍江大慶·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，及其導(dǎo)函數(shù)，的定義域均為，若的圖象關(guān)于直線對稱，，，且，則（ ）
A．為偶函數(shù)B．的圖象關(guān)于點對稱
C．D．
4．（2024·廣西·二模）已知定義在上的函數(shù)滿足.若的圖象關(guān)于點對稱，且，則（ ）
A．的圖象關(guān)于點對稱
B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱
C．函數(shù)的周期為2
D．
三、填空題
5．（2024·山東棗莊·一模）已知為偶函數(shù)，且，則 ．
6．（2024·寧夏銀川·一模）若定義在上的函數(shù)滿足是奇函數(shù)，，，則 ．
反思提升：
1.若f(x＋a)＝－f(x)(a是常數(shù)，且a≠0)，則2a為函數(shù)f(x)的一個周期.
2.利用函數(shù)的周期性，可將其他區(qū)間上的求值、求零點個數(shù)、求解析式等問題，轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，進而解決問題.
【考點3】函數(shù)的對稱性
一、單選題
1．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·二模）已知定義在R上的函數(shù)滿足．若的圖象關(guān)于點對稱，且，則（ ）
A．0B．50C．2509D．2499
2．（22-23高三上·遼寧營口·期末）設(shè)函數(shù)的定義域為R，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時，．若，則（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
3．（2020·山東淄博·一模）已知函數(shù)是R上的奇函數(shù)，對于任意，都有成立，當(dāng)時，，給出下列結(jié)論，其中正確的是（ ）
A．
B．點是函數(shù)的圖象的一個對稱中心
C．函數(shù)在上單調(diào)遞增
D．函數(shù)在上有3個零點
4．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．若，則是的極值點
B．，使得
C．若是的極小值點，則在區(qū)間上單調(diào)遞減
D．函數(shù)的圖象是中心對稱圖形
三、填空題
5．（23-24高三下·河南濮陽·開學(xué)考試）已知函數(shù)的定義域為，且的圖象關(guān)于點中心對稱，若，則 .
6．（2024·寧夏固原·一模）已知定義在R上的函數(shù)滿足對任意實數(shù)都有，成立，若，則 ．
反思提升：
對稱性的三個常用結(jié)論
(1)若函數(shù)f(x)滿足f(a＋x)＝f(b－x)，則y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq \f(a＋b,2)對稱.
(2)若函數(shù)f(x)滿足f(a＋x)＝－f(b－x)，則y＝f(x)的圖象關(guān)于點eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)，0))對稱.
(3)若函數(shù)f(x)滿足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)，\f(c,2)))對稱.
【考點4】函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用
一、單選題
1．（2024·遼寧撫順·一模）函數(shù)滿足：當(dāng)時，，是奇函數(shù)．記關(guān)于的方程的根為，若，則的值可以為（ ）
A．B．C．D．1
2．（2024·安徽合肥·一模）已知函數(shù)的定義域為，且，記，則（ ）
A．B．
C．D．
二、多選題
3．（2024·河南開封·三模）已知函數(shù)的定義域為，且，，則（ ）
A．B．
C．是周期函數(shù)D．的解析式可能為
4．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知，，則（ ）
A．B．恒成立
C．D．滿足條件的不止一個
三、填空題
5．（2024·陜西西安·二模）已知函數(shù)滿足，.則 .
6．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時，，則方程的所有解的和為 .
反思提升：
1.比較函數(shù)值的大小問題，可以利用奇偶性，把不在同一單調(diào)區(qū)間上的兩個或多個自變量的函數(shù)值轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上，再利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小；
2.對于抽象函數(shù)不等式的求解，應(yīng)變形為f(x1)>f(x2)的形式，再結(jié)合單調(diào)性，脫去“f”變成常規(guī)不等式，轉(zhuǎn)化為x1x2)求解.
3.周期性與奇偶性結(jié)合的問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進行轉(zhuǎn)換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解.
4.函數(shù)f(x)滿足的關(guān)系f(a＋x)＝f(b－x)表明的是函數(shù)圖象的對稱性，函數(shù)f(x)滿足的關(guān)系f(a＋x)＝f(b＋x)(a≠b)表明的是函數(shù)的周期性，在使用這兩個關(guān)系時不要混淆.
分層檢測
【基礎(chǔ)篇】
一、單選題
1．（2023·福建福州·模擬預(yù)測）函數(shù)的圖象大致為（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023高三上·江蘇徐州·學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，，則不等式的解集為（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024·廣東茂名·一模）函數(shù)和均為上的奇函數(shù)，若，則（ ）
A．B．C．0D．2
4．（2024·全國·模擬預(yù)測）函數(shù)，則（ ）
A．2024B．C．eD．
二、多選題
5．（2021·江蘇連云港·模擬預(yù)測）函數(shù)的定義域為，且與都為奇函數(shù)，則（ ）
A．為奇函數(shù)B．為周期函數(shù)
C．為奇函數(shù)D．為偶函數(shù)
6．（23-24高一上·云南昆明·期中）函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．的值域為
C．是偶函數(shù)D．，
7．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知，，則（ ）
A．將的圖象向左平移個單位長度可以得到的圖象
B．將的圖象向右平移個單位長度可以得到的圖象
C．的圖象與的圖象關(guān)于直線對稱
D．的圖象與的圖象關(guān)于直線對稱
三、填空題
8．（23-24高一下·內(nèi)蒙古·期中）已知，函數(shù)是奇函數(shù)，則 ， ．
9．（2024·陜西西安·二模）已知定義域為的函數(shù)滿足，且當(dāng)時，，則 .
10．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）函數(shù)，若，則 .
四、解答題
11．（2023·陜西西安·模擬預(yù)測）已知奇函數(shù)在處取得極大值2.
(1)求的解析式；
(2)求在上的最值.
12．（2020·廣東中山·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的定義域為，當(dāng)時，，且對任意滿足．
（1）求的值；
（2）判斷的單調(diào)性，并加以說明；
（3）當(dāng)時，試比較與的大小．
【能力篇】
一、單選題
1．（2024·山東濟南·二模）已知函數(shù)的定義域為R，若，則（ ）
A．0B．1C．2D．3
二、多選題
2．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的定義域為，且的圖象關(guān)于點對稱，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．是偶函數(shù)
B．的圖象關(guān)于直線對稱
C．的最小正周期為4
D．若，則
三、填空題
3．（2024·全國·模擬預(yù)測）寫出一個同時滿足下列三個條件的函數(shù)的解析式 ．
①；
②；
③的導(dǎo)數(shù)為且．
四、解答題
4．（2024·上海徐匯·二模）已知函數(shù)，其中.
(1)求證：是奇函數(shù)；
(2)若關(guān)于的方程在區(qū)間上有解，求實數(shù)的取值范圍.
【培優(yōu)篇】
一、單選題
1．（2024·河南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的定義域為R，對于任意實數(shù)x，y滿足，且 ，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A．B．為偶函數(shù)
C．是周期函數(shù)D．
二、多選題
2．（2024·河南信陽·模擬預(yù)測）已知函數(shù)和其導(dǎo)函數(shù)的定義域都是，若與均為偶函數(shù)，則（ ）
A．
B．關(guān)于點對稱
C．
D．
三、填空題
3．（2024·山西呂梁·二模）已知函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱，也關(guān)于點中心對稱，則的中位數(shù)為
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奇偶性
定義
圖象特點
偶函數(shù)
一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I，如果?x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)
關(guān)于y軸對稱
奇函數(shù)
一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I，如果?x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)
關(guān)于原點對稱

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