【知識(shí)梳理】2
【真題自測(cè)】3
【考點(diǎn)突破】10
【考點(diǎn)1】充分、必要條件的判定10
【考點(diǎn)2】充分、必要條件的應(yīng)用13
【考點(diǎn)3】全稱(chēng)量詞與存在量詞17
【分層檢測(cè)】20
【基礎(chǔ)篇】21
【能力篇】26
【培優(yōu)篇】29
考試要求：
1.理解充分條件、必要條件、充要條件的含義.
2.理解判定定理與充分條件的關(guān)系、性質(zhì)定理與必要條件的關(guān)系.
3.理解全稱(chēng)量詞命題與存在量詞命題的含義，能正確對(duì)兩種命題進(jìn)行否定.
知識(shí)梳理
1.充分條件、必要條件與充要條件的概念
2.全稱(chēng)量詞與存在量詞
(1)全稱(chēng)量詞：短語(yǔ)“所有的”、“任意一個(gè)”在邏輯中通常叫做全稱(chēng)量詞，并用符號(hào)“?”表示.
(2)存在量詞：短語(yǔ)“存在一個(gè)”、“至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號(hào)“?”表示.
3.全稱(chēng)量詞命題和存在量詞命題
1.區(qū)別A是B的充分不必要條件(A?B且B? A)，與A的充分不必要條件是B(B?A且A?B)兩者的不同.
2.充要關(guān)系與集合的子集之間的關(guān)系，設(shè)A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，
(1)若A?B，則p是q的充分條件，q是p的必要條件.
(2)若A是B真子集，則p是q的充分不必要條件，q是p的必要不充分條件.
(3)若A＝B，則p是q的充要條件.
3.p是q的充分不必要條件，等價(jià)于?q是?p的充分不必要條件.
4.含有一個(gè)量詞的命題的否定規(guī)律是“改量詞，否結(jié)論”.
5.對(duì)省略了全稱(chēng)量詞的命題否定時(shí)，要對(duì)原命題先加上全稱(chēng)量詞再對(duì)其否定.
6.命題p和?p的真假性相反，若判斷一個(gè)命題的真假有困難時(shí)，可判斷此命題的否定的真假.真題自測(cè)
一、單選題
1．（2023·全國(guó)·高考真題）設(shè)甲：，乙：，則（ ）
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件
B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件
D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
2．（2023·全國(guó)·高考真題）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，設(shè)甲：為等差數(shù)列；乙：為等差數(shù)列，則（ ）
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件
B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件
D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
3．（2023·北京·高考真題）若，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
4．（2023·天津·高考真題）已知，“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分又不必要條件
5．（2022·浙江·高考真題）設(shè)，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
6．（2022·北京·高考真題）設(shè)是公差不為0的無(wú)窮等差數(shù)列，則“為遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，”的（ ）
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
7．（2021·全國(guó)·高考真題）等比數(shù)列的公比為q，前n項(xiàng)和為，設(shè)甲：，乙：是遞增數(shù)列，則（ ）
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件
B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件
D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
8．（2021·浙江·高考真題）已知非零向量，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分又不必要條件
9．（2021·北京·高考真題）已知是定義在上的函數(shù)，那么“函數(shù)在上單調(diào)遞增”是“函數(shù)在上的最大值為”的（ ）
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
10．（2021·天津·高考真題）已知，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
參考答案：
1．B
【分析】
根據(jù)充分條件、必要條件的概念及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系得解.
【詳解】
當(dāng)時(shí)，例如但，
即推不出；
當(dāng)時(shí)，，
即能推出.
綜上可知，甲是乙的必要不充分條件.
故選：B
2．C
【分析】利用充分條件、必要條件的定義及等差數(shù)列的定義，再結(jié)合數(shù)列前n項(xiàng)和與第n項(xiàng)的關(guān)系推理判斷作答.，
【詳解】方法1，甲：為等差數(shù)列，設(shè)其首項(xiàng)為，公差為，
則，
因此為等差數(shù)列，則甲是乙的充分條件；
反之，乙：為等差數(shù)列，即為常數(shù)，設(shè)為，
即，則，有，
兩式相減得：，即，對(duì)也成立，
因此為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，
所以甲是乙的充要條件，C正確.
方法2，甲：為等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)，公差為，即，
則，因此為等差數(shù)列，即甲是乙的充分條件；
反之，乙：為等差數(shù)列，即，
即，，
當(dāng)時(shí)，上兩式相減得：，當(dāng)時(shí)，上式成立，
于是，又為常數(shù)，
因此為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，
所以甲是乙的充要條件.
故選：C
3．C
【分析】
解法一：由化簡(jiǎn)得到即可判斷；解法二：證明充分性可由得到，代入化簡(jiǎn)即可，證明必要性可由去分母，再用完全平方公式即可；解法三：證明充分性可由通分后用配湊法得到完全平方公式，再把代入即可，證明必要性可由通分后用配湊法得到完全平方公式，再把代入，解方程即可.
【詳解】
解法一：
因?yàn)椋遥?br>所以，即，即，所以.
所以“”是“”的充要條件.
解法二：
充分性：因?yàn)?，且，所以?br>所以，
所以充分性成立；
必要性：因?yàn)?，且?br>所以，即，即，所以.
所以必要性成立.
所以“”是“”的充要條件.
解法三：
充分性：因?yàn)椋遥?br>所以，
所以充分性成立；
必要性：因?yàn)?，且?br>所以，
所以，所以，所以，
所以必要性成立.
所以“”是“”的充要條件.
故選：C
4．B
【分析】
根據(jù)充分、必要性定義判斷條件的推出關(guān)系，即可得答案.
【詳解】
由，則，當(dāng)時(shí)不成立，充分性不成立；
由，則，即，顯然成立，必要性成立；
所以是的必要不充分條件.
故選：B
5．A
【分析】由三角函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合充分條件、必要條件的定義即可得解.
【詳解】因?yàn)榭傻茫?br>當(dāng)時(shí)，，充分性成立；
當(dāng)時(shí)，，必要性不成立；
所以當(dāng)，是的充分不必要條件.
故選：A.
6．C
【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，記為不超過(guò)的最大整數(shù).
若為單調(diào)遞增數(shù)列，則，
若，則當(dāng)時(shí)，；若，則，
由可得，取，則當(dāng)時(shí)，，
所以，“是遞增數(shù)列”“存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，”；
若存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，，取且，，
假設(shè)，令可得，且，
當(dāng)時(shí)，，與題設(shè)矛盾，假設(shè)不成立，則，即數(shù)列是遞增數(shù)列.
所以，“是遞增數(shù)列”“存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，”.
所以，“是遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，”的充分必要條件.
故選：C.
7．B
【分析】當(dāng)時(shí)，通過(guò)舉反例說(shuō)明甲不是乙的充分條件；當(dāng)是遞增數(shù)列時(shí)，必有成立即可說(shuō)明成立，則甲是乙的必要條件，即可選出答案．
【詳解】由題，當(dāng)數(shù)列為時(shí)，滿(mǎn)足，
但是不是遞增數(shù)列，所以甲不是乙的充分條件．
若是遞增數(shù)列，則必有成立，若不成立，則會(huì)出現(xiàn)一正一負(fù)的情況，是矛盾的，則成立，所以甲是乙的必要條件．
故選：B．
【點(diǎn)睛】在不成立的情況下，我們可以通過(guò)舉反例說(shuō)明，但是在成立的情況下，我們必須要給予其證明過(guò)程．
8．B
【分析】考慮兩者之間的推出關(guān)系后可得兩者之間的條件關(guān)系.
【詳解】
如圖所示，,當(dāng)時(shí)，與垂直，，所以成立，此時(shí)，
∴不是的充分條件，
當(dāng)時(shí)，，∴,∴成立，
∴是的必要條件，
綜上，“”是“”的必要不充分條件

故選：B.
9．A
【分析】利用兩者之間的推出關(guān)系可判斷兩者之間的條件關(guān)系.
【詳解】若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則在上的最大值為，
若在上的最大值為，
比如，
但在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，
故在上的最大值為推不出在上單調(diào)遞增，
故“函數(shù)在上單調(diào)遞增”是“在上的最大值為”的充分不必要條件，
故選：A.
10．A
【分析】由充分條件、必要條件的定義判斷即可得解.
【詳解】由題意，若，則，故充分性成立；
若，則或，推不出，故必要性不成立；
所以“”是“”的充分不必要條件.
故選：A.
考點(diǎn)突破
【考點(diǎn)1】充分、必要條件的判定
一、單選題
1．（2024·北京海淀·一模）設(shè)是兩個(gè)不同的平面，是兩條直線，且.則“”是“”的（ ）
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
2．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
二、多選題
3．（23-24高三上·廣東廣州·階段練習(xí)）已知中角，的對(duì)邊分別為，，則可作為“”的充要條件的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，設(shè)，則成立的一個(gè)充分條件是（ ）
A．B．C．D．
三、填空題
5．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）“函數(shù)的圖象關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)”是“”的 條件．
6．（2021·陜西渭南·二模）下列四個(gè)命題是真命題的序號(hào)為 .
①命題“”的否定是“”.
②曲線在處的切線方程是.
③函數(shù)為增函數(shù)的充要條件是.
④根據(jù)最小二乘法，由一組樣本點(diǎn)()(其中)求得的線性回歸方程是，則至少有一個(gè)樣本點(diǎn)落在回歸直線上.
參考答案：
1．A
【分析】通過(guò)面面平行的性質(zhì)判斷充分性，通過(guò)列舉例子判斷必要性.
【詳解】，且，所以，又，所以，充分性滿(mǎn)足，
如圖：滿(mǎn)足，，但不成立，故必要性不滿(mǎn)足，
所以“”是“”的充分而不必要條件.
故選：A.

2．B
【分析】由建立的等量關(guān)系，求解，從而判斷選項(xiàng).
【詳解】因?yàn)椋?jiǎn)得，解得或，故“”是“”的必要不充分條件.
故選：B．
3．AB
【分析】
由三角形中的大邊對(duì)大角，利用正弦定理和三角函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合充要條件的定義，判斷各選項(xiàng)的正誤
【詳解】中，由正弦定理可知，時(shí)有，時(shí)有，A選項(xiàng)正確；
余弦函數(shù)在上單調(diào)遞減，中，當(dāng)時(shí)有，則有；當(dāng)時(shí)有，則有，B選項(xiàng)正確；
中，當(dāng)時(shí)有，當(dāng)為鈍角，為銳角時(shí)，，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
中，當(dāng)時(shí)有，當(dāng)為鈍角，為銳角時(shí)，，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：AB
4．CD
【分析】根據(jù)給定函數(shù)，探討函數(shù)的奇偶性，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性，再利用性質(zhì)即可判斷作答.
【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，?br>即函數(shù)是上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，
求導(dǎo)得，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，
對(duì)于A，取，滿(mǎn)足，而，A不是；
對(duì)于B，取，滿(mǎn)足，而，B不是；
對(duì)于CD，，于是，由函數(shù)是偶函數(shù)得，CD是.
故選：CD
5．充分必要
【分析】先由函數(shù)的圖象關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)求得的值，再解方程求得的值，進(jìn)而得到二者間的邏輯關(guān)系.
【詳解】函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)中心為，
所以由“函數(shù)y=tanx的圖象關(guān)于(x0,0)中心對(duì)稱(chēng)”等價(jià)于“”．
因?yàn)榈葍r(jià)于，即．
所以“函數(shù)的圖象關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)”是“”的是充分必要條件．
故答案為：充分必要
6．①②
【分析】①由含有一個(gè)量詞的命題的否定的定義判斷；②利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷；③利用分段函數(shù)的單調(diào)性求解判斷；④根據(jù)回歸直線恒過(guò)樣本中心，但樣本點(diǎn)不一定在回歸直線上判斷；
【詳解】①由含有一個(gè)量詞的命題的否定知：命題“”的否定是“”，故正確.
②因?yàn)?，所以，所以曲線在處的切線方程是，故正確；
③若函數(shù)為增函數(shù)，則，解得，所以函數(shù)為增函數(shù)的充要條件是，故錯(cuò)誤；
④回歸方程恒過(guò)樣本點(diǎn)的中心，但樣本點(diǎn)不一定落在回歸直線上，故錯(cuò)誤；
故答案為：①②
反思提升：
充分條件、必要條件的兩種判定方法：
(1)定義法：根據(jù)p?q，q?p進(jìn)行判斷，適用于定義、定理判斷性問(wèn)題.
(2)集合法：根據(jù)p，q對(duì)應(yīng)的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷，多適用于條件中涉及參數(shù)范圍的推斷問(wèn)題.
【考點(diǎn)2】充分、必要條件的應(yīng)用
一、單選題
1．（23-24高三上·浙江寧波·期末）命題“，”為假命題的一個(gè)充分不必要條件是（ ）
A．B．C．D．
2．（22-23高二下·湖南·階段練習(xí)）已知集合，，若“”是“”的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
3．（2021·福建寧德·模擬預(yù)測(cè)）已知命題：關(guān)于的不等式的解集為R，那么命題的一個(gè)必要不充分條件是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·廣東·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則過(guò)點(diǎn)恰能作曲線的兩條切線的充分條件可以是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空題
5．（2022·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)命題，命題．若q是p的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 ．
6．（2024·上海普陀·二模）設(shè)等比數(shù)列的公比為，則“，，成等差數(shù)列”的一個(gè)充分非必要條件是 .
參考答案：
1．D
【分析】首先轉(zhuǎn)化為存在量詞命題的否定，求參數(shù)的取值范圍，再求其真子集，即可判斷選項(xiàng).
【詳解】若命題“，”為假命題，
則命題的否定“，”為真命題，
即，恒成立，
，，當(dāng)，取得最大值，
所以，選項(xiàng)中只有是的真子集，
所以命題“，”為假命題的一個(gè)充分不必要條件為.
故選：D
2．C
【分析】解不等式，確定集合A，討論m的范圍，確定B，根據(jù)題意推出?，由此列出不等式組，即可求得答案.
【詳解】由題意集合，
，
若，則，此時(shí)，
因?yàn)椤啊笔恰啊钡谋匾怀浞謼l件，故?,
故；
若，則，此時(shí)，
因?yàn)椤啊笔恰啊钡谋匾怀浞謼l件，故?,
故；
若，則，此時(shí)，滿(mǎn)足?,
綜合以上可得，
故選：C
3．CD
【分析】求出命題p成立時(shí)a的取值范圍，再根據(jù)必要不充分條件的定義判斷即可．
【詳解】命題p：關(guān)于x的不等式的解集為R，
則，解得
又?，?，
故選：CD．
4．AB
【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則有，所以問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程恰有兩個(gè)解，令，然后利用導(dǎo)數(shù)求解其零點(diǎn)即可.
【詳解】由，得，
設(shè)切點(diǎn)為，則切線的斜率為，
所以有，
整理可得：，
由題意可知：此方程有且恰有兩個(gè)解，令，
，
，
令，則，
所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋?br>所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
①當(dāng)，即時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)單調(diào)遞增，
所以只要或，即或；
②當(dāng)，即時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，
所以只要或，由可得：，
由得；
③當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)至多有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；
綜上：當(dāng)時(shí)，或；
當(dāng)時(shí)，或，
所以選項(xiàng)A正確，B正確，C錯(cuò)誤，D錯(cuò)誤，
故選：AB
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程恰有兩個(gè)解，構(gòu)造函數(shù)，再次將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為此函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，然后利用導(dǎo)數(shù)通過(guò)分析其單調(diào)性可求得結(jié)果.
5．
【分析】化簡(jiǎn)命題和，利用真子集關(guān)系列式可求出結(jié)果.
【詳解】由，得，即；
由，得，
因?yàn)閝是p的必要不充分條件，所以是的真子集，
所以且兩個(gè)等號(hào)不同時(shí)取，解得.
故答案為：
6．（或,答案不唯一）
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)，即可求解．
【詳解】，，成等差數(shù)列，
則，即，解得或，
故“，，成等差數(shù)列”的一個(gè)充分非必要條件是（或．
故答案為：（或,答案不唯一）
反思提升：
充分條件、必要條件的應(yīng)用，一般表現(xiàn)在參數(shù)問(wèn)題的求解上.解題時(shí)需注意
(1)把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(或不等式組)求解.
(2)要注意區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn).
【考點(diǎn)3】全稱(chēng)量詞與存在量詞
一、單選題
1．（2024·陜西咸陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）下列命題中，真命題是（ ）
A．“”是“”的必要條件
B．
C．
D．的充要條件是
2．（23-24高一下·湖南郴州·階段練習(xí)）已知，，則是方程的解的充要條件是（ ）
A．B．
C．D．
二、多選題
3．（2023·海南·模擬預(yù)測(cè)）已知命題:“”，"”，則下列正確的是（ ）
A．的否定是“”
B．的否定是“”
C．若為假命題，則的取值范圍是
D．若為真命題，則的取值范圍是
4．（2023·山西·模擬預(yù)測(cè)）下列結(jié)論正確的是（ ）
A．是偶函數(shù)
B．若命題“，”是假命題，則
C．設(shè)，，則“，且”是“”的必要不充分條件
D．，
三、填空題
5．（2024·陜西寶雞·一模）命題“任意，”為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ．
6．（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）命題：存在，使得函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)，若的否定為真命題，則的取值范圍是 .
參考答案：
1．B
【分析】舉反例來(lái)判斷ACD，利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷B.
【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，滿(mǎn)足，但不滿(mǎn)足，故“”不是“”的必要條件，故錯(cuò)誤；
對(duì)于B，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，對(duì)于，即，故正確；
對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，故錯(cuò)誤；
對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，滿(mǎn)足，但不成立，故錯(cuò)誤.
故選：B.
2．C
【分析】利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，理解全稱(chēng)量詞命題和存在量詞命題的真假以及充要條件的意義即可.
【詳解】因?yàn)椋院瘮?shù)的圖象是開(kāi)口向上的拋物線，且對(duì)稱(chēng)軸為：，函數(shù)的最小值為.
若“是方程的解”，則，那么就是函數(shù)的最小值，
所以“，”，即“是方程的解”是“，”的充分條件；
若“，”，則為函數(shù)的最小值，所以，即，
所以“是方程的解”，故“是方程的解”是“，”的必要條件.
綜上可知：“是方程的解”的充要條件是“，”.
故選：C
3．AD
【分析】根據(jù)含有一個(gè)量詞的命題的否定判斷A、B；C選項(xiàng)轉(zhuǎn)化為一元二次方程無(wú)實(shí)數(shù)解，用判別式計(jì)算的取值范圍；D選項(xiàng)轉(zhuǎn)化為二次不等式恒成立，計(jì)算參數(shù)的范圍.
【詳解】含有一個(gè)量詞的命題的否定，是把量詞改寫(xiě)，再把結(jié)論否定，所以A正確，B不正確；
C選項(xiàng)，若為假命題，則的否定“”是真命題，即方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無(wú)解，，得，C不正確；
D選項(xiàng)，，等價(jià)于，解得，D正確；
故選：AD.
4．ABD
【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可判斷選項(xiàng)；根據(jù)特稱(chēng)命題的的真假判斷選項(xiàng)；根據(jù)必要不充分條件的判斷即可判斷選項(xiàng)；根據(jù)等式的性質(zhì)判斷選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于，函數(shù)的定義域?yàn)?，且，所以函?shù)為偶函數(shù)，故選項(xiàng)正確；
對(duì)于，若命題“，”是假命題，則恒成立，
所以，解得，故選項(xiàng)正確；
對(duì)于，若，且，則成立，反之不一定成立，例如：滿(mǎn)足，但是，故“，且”是“”充分不必要條件，故選錯(cuò)誤；
對(duì)于，若，則，當(dāng)時(shí)方程有解，所以，，故選項(xiàng)正確；
故選：.
5．
【分析】首先求命題為真命題時(shí)的取值范圍，再求其補(bǔ)集，即可求解.
【詳解】若命題“任意，”為真命題，則，
設(shè)，，，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)單調(diào)遞增，
，，所以，
即，
所以命題“任意，”為假命題，則的取值范圍為.
故答案為：
6．
【分析】先給出命題p的否定，由函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解.
【詳解】命題p的否定為：任意，使得函數(shù)在區(qū)間內(nèi)不單調(diào)，
由函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
則，而，
得，
故答案為：
反思提升：
(1)含量詞命題的否定，一是要改寫(xiě)量詞，二是要否定結(jié)論.
(2)判定全稱(chēng)量詞命題“?x∈M，p(x)”是真命題，需要對(duì)集合M中的每一個(gè)元素x，證明p(x)成立；要判定存在量詞命題“?x∈M，p(x)”是真命題，只要在限定集合內(nèi)找到一個(gè)x，使p(x)成立即可.
(3)由命題真假求參數(shù)的范圍，一是直接由命題的含義，利用函數(shù)的最值求參數(shù)的范圍；二是利用等價(jià)命題，即p與?p的關(guān)系，轉(zhuǎn)化成?p的真假求參數(shù)的范圍.
分層檢測(cè)
【基礎(chǔ)篇】
一、單選題
1．（2024·四川成都·三模）已知圓：，直線：，則“”是“圓上恰存在三個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要
2．（2023·四川瀘州·一模）已知命題，，命題，，則下列命題是真命題的為（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，，則“”是“”的（ ）．
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
4．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)公差不為0的無(wú)窮等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則“為遞減數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
二、多選題
5．（2021·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）已知命題：，，若為真命題，則的值可以為（ ）
A．B．C．0D．3
6．（2021·江蘇·一模）下列選項(xiàng)中，關(guān)于x的不等式有實(shí)數(shù)解的充分不必要條件的有（ ）
A．B．C．D．
7．（23-24高三上·遼寧葫蘆島·期末）下列選項(xiàng)中，與“”互為充要條件的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空題
8．（22-23高二上·陜西咸陽(yáng)·階段練習(xí)）若命題“，”是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 ．
9．（2024·遼寧大連·一模）“函數(shù)是奇函數(shù)”的充要條件是實(shí)數(shù) ．
10．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知“”是“”成立的必要不充分條件，請(qǐng)寫(xiě)出符合條件的整數(shù)的一個(gè)值 .
四、解答題
11．（2023·河南南陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)p：實(shí)數(shù)x滿(mǎn)足，q：實(shí)數(shù)x滿(mǎn)足．
(1)若，且p和q均為真命題，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；
(2)若且是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
12．（2023·重慶酉陽(yáng)·一模）命題：任意，成立；命題：存在，+成立.
(1)若命題為假命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)若命題和有且只有一個(gè)為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
參考答案：
1．A
【分析】利用圓上恰存在三個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于，等價(jià)于到直線：的距離為，從而利用點(diǎn)線距離公式與充分必要條件即可得解.
【詳解】因?yàn)閳A：的圓心，半徑為，
當(dāng)圓上恰存在三個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于時(shí)，
則到直線：的距離為，
所以，解得，即必要性不成立；
當(dāng)時(shí)，由上可知到直線：的距離為，
此時(shí)圓上恰存在三個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于，即充分性成立；
所以“”是“圓上恰存在三個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于”的充分不必要條件.
故選：A.
2．A
【分析】判斷兩個(gè)命題的真假后逐項(xiàng)分析即可
【詳解】時(shí)，故假
時(shí)，故真
故為真
故選：A
3．B
【分析】利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，結(jié)合充分性和必要性的定義求解即可.
【詳解】由題意，得，，
若，則，
即，解得，
所以“”推得出“”，即必要性成立，
但“”推不出 “”，即充分性不成立，
所以“”是“”的必要不充分條件．
故選：B．
4．C
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)以及前項(xiàng)和的函數(shù)性質(zhì)，即可結(jié)合充要條件的定義求解.
【詳解】因?yàn)槭枪畈粸?的無(wú)窮等差數(shù)列，若“為遞減數(shù)列”，
可得的通項(xiàng)公式為一次函數(shù)且一次性系數(shù)小于0，一定存在正整數(shù)，
當(dāng)時(shí),有，故存在，當(dāng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于時(shí)， 時(shí)，此時(shí)，故充分性成立，
若存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，，故二次函數(shù)開(kāi)口向下，
因此，故為遞減數(shù)列，故必要性成立.
故選：C．
5．BCD
【分析】
將條件轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)方程有根問(wèn)題，分和兩種情況，進(jìn)行求解即可．
【詳解】
命題：，，為真命題，
即有根，
當(dāng)時(shí)，成立，
當(dāng)時(shí)，需滿(mǎn)足，解得且，
的取值范圍為，
故選：BCD．
6．AC
【分析】先找其充要條件，然后取它的子集.
【詳解】時(shí)必有解，當(dāng)時(shí)，或，
故AC符合題意.
故選：AC
7．BC
【分析】求解各不等式判斷即可.
【詳解】對(duì)A，則，即，，解得，故A錯(cuò)誤；
對(duì)B，則，故，解得，故B正確；
對(duì)C，則，解得，故C正確；
對(duì)D，，則，解得，故D錯(cuò)誤.
故選：BC
8．
【分析】將問(wèn)題轉(zhuǎn)化命題“，”是真命題求解.
【詳解】解：因?yàn)槊}“，”是假命題，
所以命題“，”是真命題，
又當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
所以，
所以，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為，
故答案為：.
9．0
【分析】結(jié)合三角函數(shù)奇偶性、冪函數(shù)奇偶性以及奇偶性的定義即可運(yùn)算求解.
【詳解】若函數(shù)是奇函數(shù)，
則當(dāng)且僅當(dāng)，
也就是恒成立，從而只能.
故答案為：0.
10．
【分析】先解出的解集，然后根據(jù)必要不充分條件判斷兩集合的包含關(guān)系即可求解.
【詳解】由，得,
令，，
“”是“”成立的必要不充分條件，.
（等號(hào)不同時(shí)成立），解得，故整數(shù)的值可以為.
故答案為：中任何一個(gè)均可.
11．(1)；
(2).
【分析】（1）根據(jù)一元二次不等式求解p，q為真命題時(shí)的范圍，即可求解，
（2）根據(jù)充分不必要條件，即可列不等式求解.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，由，得，
解得，即p為真命題時(shí)，實(shí)數(shù)x的取值范圍是
由，解得，
即q為真命題時(shí)，實(shí)數(shù)x的取值范圍是．
所以若p，q均為真命題，則實(shí)數(shù)x的取值范圍為．
（2）由，得，
因?yàn)?，所以，故p：．
若是的充分不必要條件，則q是p的充分不必要條件，
所以，解可得．故實(shí)數(shù)a的取值范圍是
12．(1)
(2)或或
【分析】（1）由q真,由判別式求得m的取值范圍，進(jìn)而得到q假的條件；
（2）求得p真的條件，由和有且只有一個(gè)為真命題，得到真假，或假真，然后分別求的m的取值范圍，再取并集即得.
【詳解】（1）由q真：，得或，
所以q假：；
（2）p真：推出，
由和有且只有一個(gè)為真命題，
真假，或假真，
或，
或或.
【能力篇】
一、單選題
1．（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）已知命題“”為真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
2．（2024·廣東梅州·一模）已知直線，和平面，，且，則下列條件中，是的充分不必要條件的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
三、填空題
3．（23-24高一上·云南昭通·期末）下列命題中：
①若集合中只有一個(gè)元素，則；
②已知命題p：，，如果命題p是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是；
③已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>④函數(shù)在上單調(diào)遞增；
⑤方程的實(shí)根的個(gè)數(shù)是2.
所有正確命題的序號(hào)是 .
四、解答題
4．（2023·上海普陀·一模）設(shè)函數(shù)的表達(dá)式為.
(1)求證：“”是“函數(shù)為偶函數(shù)”的充要條件；
(2)若，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
參考答案：
1．A
【分析】分離參數(shù)，求函數(shù)的最小值即可求解.
【詳解】因?yàn)槊}“”為真命題，所以．
令與在上均為增函數(shù)，
故為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有最小值，即，
故選：A．
2．BCD
【分析】結(jié)合命題的充分不必要條件：由線面關(guān)系可得到A錯(cuò)誤；由線面垂直的性質(zhì)和判定可推出B正確；由線面平行的性質(zhì)和判定可推出C正確；由面面垂直的性質(zhì)和判定可推出D正確.
【詳解】A：若，，則直線，可能平行或異面，所以不能推出，故A錯(cuò)誤；
B：若，則直線m垂直于平面的每一條直線，又，所以成立，
但若成立，根據(jù)線面垂直的判定，還需在平面找一條與n相交的直線，且m不在平面內(nèi)，故q不能推出p，故B正確；
C：若，且，由面面平行的性質(zhì)可知，成立；反之，由線面平行的判定可知當(dāng)，不能推出，故C正確；
D：若，且，由面面垂直的判定定理可知成立；反之，若，且，則直線n與平面可能成任意角度，故D正確.
故選：BCD.
3．②③⑤
【分析】利用判別式可判斷①；利用特稱(chēng)命題的否定為全稱(chēng)命題可判斷②；求出的定義域可判斷③；分離常量后根據(jù)反比例函數(shù)的單調(diào)性可判斷④；在同一坐標(biāo)系中作出和的圖象可判斷⑤.
【詳解】對(duì)于①：時(shí)，；時(shí)，，則，故或1，
故錯(cuò)誤；
對(duì)于②：p：，為假命題，則，為真命題，
故即，故正確；
對(duì)于③：，則，即的定義域?yàn)?，故正確；
對(duì)于④：，其在上單調(diào)遞減，故錯(cuò)誤；
對(duì)于⑤：在同一坐標(biāo)系中作出和的圖象，觀察兩圖象有2個(gè)交點(diǎn)，
則方程的實(shí)根的個(gè)數(shù)是2，故正確.
故答案為：②③⑤.
4．(1)證明見(jiàn)解析；
(2)或.
【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用偶函數(shù)的定義、結(jié)合充要條件的意義推理即得.
（2）利用偶函數(shù)性質(zhì)及在的單調(diào)性求解不等式即可.
【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)镽，不恒為0，
函數(shù)為偶函數(shù)
，
所以“”是“函數(shù)為偶函數(shù)”的充要條件.
（2）當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)得，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在單調(diào)遞增，又是偶函數(shù)，
因此，
即，解得或，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是或.
【培優(yōu)篇】
一、單選題
1．（2024·上海松江·二模）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，有以下兩個(gè)命題：①若是公差不為零的等差數(shù)列且，，則是的必要非充分條件；②若是等比數(shù)列且，，則的充要條件是.那么（ ）
A．①是真命題，②是假命題B．①是假命題，②是真命題
C．①、②都是真命題D．①、②都是假命題
二、多選題
2．（2023·江蘇南京·一模）同學(xué)們，你們是否注意到，自然下垂的鐵鏈；空曠的田野上，兩根電線桿之間的電線；峽谷的上空，橫跨深洞的觀光索道的鋼索.這些現(xiàn)象中都有相似的曲線形態(tài).事實(shí)上，這些曲線在數(shù)學(xué)上常常被稱(chēng)為懸鏈線.懸鏈線的相關(guān)理論在工程、航海、光學(xué)等方面有廣泛的應(yīng)用.在恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，這類(lèi)函數(shù)的表達(dá)式可以為（其中，是非零常數(shù)，無(wú)理數(shù)），對(duì)于函數(shù)以下結(jié)論正確的是（ ）
A．是函數(shù)為偶函數(shù)的充分不必要條件；
B．是函數(shù)為奇函數(shù)的充要條件；
C．如果，那么為單調(diào)函數(shù)；
D．如果，那么函數(shù)存在極值點(diǎn).
3．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則（ ）
A．有零點(diǎn)的充要條件是B．當(dāng)且僅當(dāng)，有最小值
C．存在實(shí)數(shù)，使得在R上單調(diào)遞增D．是有極值點(diǎn)的充要條件
參考答案：
1．C
【分析】根據(jù)題意，由等差數(shù)列和等差數(shù)列的前項(xiàng)和性質(zhì)分析①的真假，由等比數(shù)列和等比數(shù)列的前項(xiàng)和性質(zhì)分析②的真假，綜合可得答案.
【詳解】根據(jù)題意，對(duì)于命題①，是公差不為零的等差數(shù)列，
若，則在中，至少有一項(xiàng)為，
假設(shè)，則，
必有，
反之，在等差數(shù)列中，若，
則，有，則成立，
但不成立，
故是的必要非充分條件，故①正確；
對(duì)于命題②，若是等比數(shù)列，設(shè)其公比為，若，時(shí)，
有，則中，至少有一項(xiàng)為，則，
假設(shè)則有必有，
又由，必有為偶數(shù)且，故，
反之，若，則，必有，則有，，
則，
若是等比數(shù)列且，，則的充要條件是，
故②正確.
故選：C.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵點(diǎn)是，熟練掌握等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，從而分析得解.
2．BCD
【分析】根據(jù)奇偶函數(shù)的定義、充分條件和必要條件的定義即可判斷AB；利用導(dǎo)數(shù)，分類(lèi)討論函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合極值點(diǎn)的概念即可判斷CD.
【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)镽關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
，故函數(shù)為偶函數(shù)；
當(dāng)函數(shù)為偶函數(shù)時(shí)，，故，
即，又，故，
所以是函數(shù)為偶函數(shù)的充要條件，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)镽關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
，故函數(shù)為奇函數(shù)，
當(dāng)函數(shù)為奇函數(shù)時(shí)，，
因?yàn)椋?，?
所以是函數(shù)為奇函數(shù)的充要條件，故B正確；
對(duì)于C，，因?yàn)椋?br>若，則恒成立，則為單調(diào)遞增函數(shù)，
若則恒成立，則為單調(diào)遞減函數(shù)，
故，函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，故C正確；
對(duì)于D，，
令得，又，
若，
當(dāng)，，函數(shù)為單調(diào)遞減.
當(dāng)，，函數(shù)為單調(diào)遞增.函數(shù)存在唯一的極小值.
若，
當(dāng)，，函數(shù)為單調(diào)遞增.
當(dāng)，，函數(shù)為單調(diào)遞減.故函數(shù)存在唯一的極大值.
所以函數(shù)存在極值點(diǎn)，故D正確.
故答案為：BCD.
3．BCD
【分析】對(duì)于A，將函數(shù)有零點(diǎn)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程有根的問(wèn)題，根據(jù)一元二次方程有根的條件可判斷其正誤；對(duì)于B，分類(lèi)討論a的取值范圍，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的最值情況；對(duì)于C，可舉一具體實(shí)數(shù)，說(shuō)明在R上單調(diào)遞增，即可判斷其正誤；對(duì)于D，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值的關(guān)系判斷即可.
【詳解】對(duì)于A，函數(shù)有零點(diǎn)方程有解，
當(dāng)時(shí)，方程有一解；
當(dāng)時(shí)，方程有解，
綜上知有零點(diǎn)的充要條件是，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，由得，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
此時(shí)有最大值，無(wú)最小值；
當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不同實(shí)根，，
當(dāng)時(shí)，有最小值，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，有最小值0；
當(dāng)時(shí)，且當(dāng)時(shí)，，無(wú)最小值；
當(dāng)時(shí)，時(shí)，，無(wú)最小值,
綜上，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最小值，故B正確；
對(duì)于C，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，在R上恒成立，此時(shí)在R上單調(diào)遞增，故C正確；
對(duì)于D，由知，當(dāng)時(shí)，是的極值點(diǎn)，
當(dāng)，時(shí)，和都是的極值點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞增，無(wú)極值點(diǎn)，
所以是有極值點(diǎn)的充要條件，故D正確，
故選:BCD.
【點(diǎn)睛】本題以函數(shù)為背景，考查二次函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性及最值，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)
成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專(zhuān)題盡在高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群552511468也可聯(lián)系微信fjshuxue加入百度網(wǎng)盤(pán)群1.5T一線老師必備資料一鍵轉(zhuǎn)存自動(dòng)更新永不過(guò)期
若p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件
p是q的充分不必要條件
p?q且q? p
p是q的必要不充分條件
p?q且q?p
p是q的充要條件
p?q
p是q的既不充分也不必要條件
p?q且q?p
名稱(chēng)
全稱(chēng)量詞命題
存在量詞命題
結(jié)構(gòu)
對(duì)M中的任意一個(gè)x，有p(x)成立
存在M中的元素x，p(x)成立
簡(jiǎn)記
?x∈M，p(x)
?x∈M，p(x)
否定
?x∈M，?p(x)
?x∈M，?p(x)

相關(guān)試卷

專(zhuān)題31 復(fù)數(shù)-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（知識(shí)梳理+真題自測(cè)+考點(diǎn)突破+分層檢測(cè)）（新高考專(zhuān)用）：

這是一份專(zhuān)題31 復(fù)數(shù)-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（知識(shí)梳理+真題自測(cè)+考點(diǎn)突破+分層檢測(cè)）（新高考專(zhuān)用），文件包含專(zhuān)題31復(fù)數(shù)-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義知識(shí)梳理+真題自測(cè)+考點(diǎn)突破+分層檢測(cè)新高考專(zhuān)用原卷版docx、專(zhuān)題31復(fù)數(shù)-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義知識(shí)梳理+真題自測(cè)+考點(diǎn)突破+分層檢測(cè)新高考專(zhuān)用解析版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共40頁(yè)， 歡迎下載使用。

專(zhuān)題02 常用邏輯用語(yǔ)-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（知識(shí)梳理+真題自測(cè)+考點(diǎn)突破+分層檢測(cè)）（新高考專(zhuān)用）：

這是一份專(zhuān)題02 常用邏輯用語(yǔ)-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（知識(shí)梳理+真題自測(cè)+考點(diǎn)突破+分層檢測(cè)）（新高考專(zhuān)用），文件包含專(zhuān)題02常用邏輯用語(yǔ)-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義知識(shí)梳理+真題自測(cè)+考點(diǎn)突破+分層檢測(cè)新高考專(zhuān)用原卷版docx、專(zhuān)題02常用邏輯用語(yǔ)-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義知識(shí)梳理+真題自測(cè)+考點(diǎn)突破+分層檢測(cè)新高考專(zhuān)用解析版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共43頁(yè)， 歡迎下載使用。

專(zhuān)題01 集合-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（知識(shí)梳理+真題自測(cè)+考點(diǎn)突破+分層檢測(cè)）（新高考專(zhuān)用）：

這是一份專(zhuān)題01 集合-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（知識(shí)梳理+真題自測(cè)+考點(diǎn)突破+分層檢測(cè)）（新高考專(zhuān)用），文件包含專(zhuān)題01集合-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義知識(shí)梳理+真題自測(cè)+考點(diǎn)突破+分層檢測(cè)新高考專(zhuān)用原卷版docx、專(zhuān)題01集合-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義知識(shí)梳理+真題自測(cè)+考點(diǎn)突破+分層檢測(cè)新高考專(zhuān)用解析版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共42頁(yè)， 歡迎下載使用。

英語(yǔ)朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義(知識(shí)梳理+真題自測(cè)+考點(diǎn)突破+分層檢測(cè))專(zhuān)題02常用邏輯用語(yǔ)(新高考專(zhuān)用)(原卷版+解析)

2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義(知識(shí)梳理+真題自測(cè)+考點(diǎn)突破+分層檢測(cè))專(zhuān)題02常用邏輯用語(yǔ)(新高考專(zhuān)用)(原卷版+解析)
第2講 常用邏輯用語(yǔ) 2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（知識(shí)梳理+真題自測(cè)+考點(diǎn)突破+分層檢測(cè)）（新高考專(zhuān)用）

第2講 常用邏輯用語(yǔ) 2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（知識(shí)梳理+真題自測(cè)+考點(diǎn)突破+分層檢測(cè)）（新高考專(zhuān)用）
專(zhuān)題02 常用邏輯用語(yǔ)-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（知識(shí)梳理+真題自測(cè)+考點(diǎn)突破+分層檢測(cè)）（新高考專(zhuān)用）

專(zhuān)題02 常用邏輯用語(yǔ)-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（知識(shí)梳理+真題自測(cè)+考點(diǎn)突破+分層檢測(cè)）（新高考專(zhuān)用）
專(zhuān)題01 集合-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（知識(shí)梳理+真題自測(cè)+考點(diǎn)突破+分層檢測(cè)）（新高考專(zhuān)用）

專(zhuān)題01 集合-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（知識(shí)梳理+真題自測(cè)+考點(diǎn)突破+分層檢測(cè)）（新高考專(zhuān)用）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專(zhuān)區(qū)
歡迎來(lái)到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬(wàn)優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬(wàn)優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬(wàn)教師選擇，專(zhuān)業(yè)更值得信賴(lài)
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過(guò)期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部