專題03 不等關系與不等式性質-2025年高考數學一輪復習講義（知識梳理+真題自測+考點突破+分層檢測）（新高考專用）原卷版-試卷下載-教習網

【知識梳理】2
【真題自測】3
【考點突破】3
【考點1】比較數(式)的大小3
【考點2】不等式的基本性質4
【考點3】不等式性質的綜合應用5
【分層檢測】6
【基礎篇】6
【能力篇】8
【培優(yōu)篇】8
考試要求：
1.理解用作差法比較兩個實數大小的理論依據.
2.理解不等式的概念.
3.理解不等式的性質，掌握不等式性質的簡單應用.
知識梳理
1.兩個實數比較大小的方法
(1)作差法eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a－b>0?a>b，,a－b＝0?a＝b，,a－b0）?a>b（a∈R，b>0），,\f(a,b)＝1?a＝b（a，b≠0），,\f(a,b)0）?a0）.))
2.不等式的性質
(1)對稱性：a＞b?b＜a；
(2)傳遞性：a＞b，b＞c?a＞c；
(3)同向可加性：a＞b?a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d?a＋c＞b＋d；
(4)可乘性：a＞b，c＞0?ac＞bc；a＞b，c＜0?ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd；
(5)可乘方性：a＞b＞0?an＞bn(n∈N，n≥1)；
(6)可開方性：a＞b＞0?eq \r(n,a)＞eq \r(n,b)(n∈N，n≥2).
1.證明不等式的常用方法有：作差法、作商法、綜合法、分析法、反證法、放縮法.
2.有關分式的性質
(1)若a>b>0，m>0，則eq \f(b,a)eq \f(b－m,a－m)(b－m>0).
(2)若ab>0，且a>b?eq \f(1,a)b，則
A．ln(a?b)>0B．3a0D．│a│>│b│
2．（2018·全國·高考真題）設，，則
A．B．
C．D．
3．（2024·上海楊浦·二模）已知實數，，，滿足：，則下列不等式一定正確的是（）
A．B．C．D．
二、多選題
4．（2022·全國·高考真題）若x，y滿足，則（）
A．B．
C．D．
5．（2024·遼寧·模擬預測）已知，下列不等式正確的是（）
A．B．
C．D．
三、填空題
6．（2024·河北石家莊·二模）若實數，且，則的取值范圍是 .
考點突破
【考點1】比較數(式)的大小
一、單選題
1．（21-22高二下·江西九江·期末）已知，，，則，，的大小關系為（）
A．B．C．D．
2．（2022·廣東廣州·一模）若正實數a，b滿足，且，則下列不等式一定成立的是（）
A．B．C．D．
二、多選題
3．（2023·全國·模擬預測）已知,,則（）
A．B．
C．D．
4．（2023·廣東肇慶·二模）已知正數滿足等式，則下列不等式中可能成立的有（）
A．B．
C．D．
三、填空題
5．（2023·內蒙古赤峰·一模）已知，，，則的大小關系是 .
6．（2024·吉林·模擬預測）請寫出一個冪函數滿足以下條件：①定義域為；②為增函數；③對任意的，，都有，則．
反思提升：
1.作差法一般步驟：(1)作差；(2)變形；(3)定號；(4)結論.其中關鍵是變形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式變成積式或者完全平方式.當兩個式子都為正數時，有時也可以先平方再作差.
2.作商法一般步驟：(1)作商；(2)變形；(3)判斷商與1的大小；(4)結論.
3.函數的單調性法：將要比較的兩個數作為一個函數的兩個函數值，根據函數單調性得出大小關系.
4.特殊值法：對于選擇、填空題，可以選取符合條件的特殊值比較大小.
【考點2】不等式的基本性質
一、單選題
1．（22-23高一下·云南玉溪·期中）若，則“”是“”的（）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
2．（2024·遼寧·一模）設則（）
A．B．
C．D．
二、多選題
3．（2021·江蘇揚州·模擬預測）已知兩個不為零的實數，滿足，則下列說法中正確的有（）
A．B．C．D．
4．（2023·湖北襄陽·模擬預測）我們可以利用曲線和直線寫出很多不等關系，如由在點處的切線寫出不等式，進而用替換得到一系列不等式，疊加后有這些不等式體現了數學之美.運用類似方法推導，下面的不等式正確的有（）
A．
B．
C．
D．
三、填空題
5．（2023·山西大同·模擬預測）已知，，，，則的最小值為．
6．（2024·河北承德·二模）已知等差數列（公差不為0）和等差數列的前項和分別為，如果關于的實系數方程有實數解，則以下1003個方程中，有實數解的方程至少有個.
反思提升：
解決此類題目常用的三種方法：
(1)直接利用不等式的性質逐個驗證，利用不等式的性質判斷不等式是否成立時要特別注意前提條件；
(2)利用特殊值法排除錯誤答案；
(3)利用函數的單調性，當直接利用不等式的性質不能比較大小時，可以利用指數、對數、冪函數等函數的單調性進行判斷.
【考點3】不等式性質的綜合應用
一、單選題
1．（2023·江蘇南通·模擬預測）已知，則的取值范圍是（）
A．B．C．D．
2．（2022·浙江杭州·模擬預測）已知且，則的取值范圍是（）
A．B．C．D．
二、多選題
3．（20-21高三上·江蘇·階段練習）已知實數x，y滿足則（）
A．的取值范圍為B．的取值范圍為
C．的取值范圍為D．的取值范圍為
4．（2023·河南洛陽·模擬預測）設實數滿足，則（）
A．B．C．D．
三、填空題
5．（21-22高三·云南昆明·階段練習）已知實數，，滿足則的取值范圍是．（用區(qū)間表示）
6．（2022·上海普陀·一模）設二次函數，若函數的值域為，且，則的取值范圍為 .
反思提升：
利用不等式性質可以求某些代數式的取值范圍，但應注意兩點：一是必須嚴格運用不等式的性質；二是在多次運用不等式的性質時有可能擴大了變量的取值范圍.解決的途徑是先建立所求范圍的整體與已知范圍的整體的等量關系，最后通過“一次性”不等關系的運算求解范圍.
分層檢測
【基礎篇】
一、單選題
1．（2023·上海金山·二模）若實數、滿足，則下列不等式中成立的是（）
A．B．
C．D．
2．（2022·湖南長沙·模擬預測）小李從甲地到乙地的平均速度為，從乙地到甲地的平均速度為，他往返甲乙兩地的平均速度為，則（）
A．B．
C．D．
3．（2024·云南貴州·二模）已知，則的大關系為（）
A．B．
C．D．
4．（2024·陜西西安·模擬預測）若，則有（）
A．B．
C．D．
二、多選題
5．（21-22高三上·湖北·階段練習）下列命題成立的是（）
A．若，，則
B．若不等式的解集是，則
C．若，，則
D．若a，b滿足，則的取值范圍是
6．（2023·山東·二模）已知實數滿足，且，則下列說法正確的是（）
A．B．C．D．
7．（2023·湖南長沙·二模）已知實數滿足，則下列說法正確的是（）
A．B．
C．D．
三、填空題
8．（20-21高一上·湖北武漢·期中）購買同一種物品可以用兩種不同的策略，不考慮物品價格的升降，甲策略是每次購買這種物品的數量一定，乙策略是每次購買這種物品所花的錢數一定，則種購物策略比較經濟.
9．（2022·全國·模擬預測）已知實數、滿足，，則的取值范圍為．
10．（2022·四川瀘州·三模）已知x，，滿足，給出下列四個結論：①；②；③；④．其中一定成立的結論是（寫出所有成立結論的編號）．
四、解答題
11．（23-24高一上·江蘇連云港·階段練習）（1）已知，求的取值范圍.
（2）比較與的大小，其中.
12．（21-22高三·貴州貴陽·階段練習）已知實數，，滿足．
(1)若，求證：；
(2)若，，求的最小值．
【能力篇】
一、單選題
1．（2023·江西·模擬預測）已知，，，則（）
A．B．
C．D．
二、多選題
2．（21-22高一上·重慶·期末）下列說法正確的是（）
A．若，則B．若，，則
C．，則D．若，則
三、填空題
3．（2024·湖南邵陽·二模）已知，若恒成立，則實數的取值范圍是 .
四、解答題
4．（2023·陜西寶雞·一模）已知，求證：
(1)；
(2).
【培優(yōu)篇】
一、單選題
1．（2023·吉林·二模）已知a，b，c滿足，，則（）
A．，B．，
C．，D．，
二、多選題
2．（2023·江蘇南通·二模）已知，則（）
A．B．
C．D．
三、填空題
3．（2024·河南·模擬預測）以表示數集中最大的數．設，已知或，則的最小值為
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