【知識梳理】2
【真題自測】2
【考點突破】10
【考點1】利用基本不等式求最值10
【考點2】基本不等式的綜合應(yīng)用13
【考點3】基本不等式的實際應(yīng)用20
【分層檢測】27
【基礎(chǔ)篇】27
【能力篇】33
【培優(yōu)篇】36
考試要求：
1.了解基本不等式的證明過程.
2.能用基本不等式解決簡單的最值問題.
3.掌握基本不等式在生活實際中的應(yīng)用.
知識梳理
1.基本不等式：eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)
(1)基本不等式成立的條件：a>0，b>0.
(2)等號成立的條件：當且僅當a＝b時取等號.
(3)其中eq \f(a＋b,2)叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，eq \r(ab)叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù).
2.兩個重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，當且僅當a＝b時取等號.
(2)ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))eq \s\up12(2)(a，b∈R)，當且僅當a＝b時取等號.
3.利用基本不等式求最值
(1)已知x，y都是正數(shù)，如果積xy等于定值P，那么當x＝y(tǒng)時，和x＋y有最小值2eq \r(P).
(2)已知x，y都是正數(shù)，如果和x＋y等于定值S，那么當x＝y(tǒng)時，積xy有最大值eq \f(1,4)S2.
1.eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2(a，b同號)，當且僅當a＝b時取等號.
2.ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))eq \s\up12(2)≤eq \f(a2＋b2,2).
3.應(yīng)用基本不等式求最值要注意：“一正，二定，三相等”，忽略某個條件，就會出錯.
4.在利用不等式求最值時，一定要盡量避免多次使用基本不等式.若必須多次使用，則一定要保證它們等號成立的條件一致.
真題自測
一、單選題
1．（2022·全國·高考真題）已知，則（ ）
A．B．C．D．
2．（2021·全國·高考真題）下列函數(shù)中最小值為4的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2021·全國·高考真題）已知，是橢圓：的兩個焦點，點在上，則的最大值為（ ）
A．13B．12C．9D．6
4．（2021·浙江·高考真題）已知是互不相同的銳角，則在三個值中，大于的個數(shù)的最大值是（ ）
A．0B．1C．2D．3
二、多選題
5．（2022·全國·高考真題）若x，y滿足，則（ ）
A．B．
C．D．
三、填空題
6．（2022·全國·高考真題）已知中，點D在邊BC上，．當取得最小值時， ．
7．（2023·天津·高考真題）在中，，，記，用表示 ；若，則的最大值為 ．
8．（2021·天津·高考真題）若，則的最小值為 ．
考點突破
【考點1】利用基本不等式求最值
一、單選題
1．（2023·安徽蚌埠·模擬預測）已知實數(shù)滿足且，則下列不等關(guān)系一定正確的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·遼寧葫蘆島·二模）若，則的最小值是 （ ）
A．B．1
C．2D．
二、多選題
3．（2023·江蘇·一模）已知正數(shù)a，b滿足，則（ ）
A．的最小值為B．的最小值為
C．的最小值為D．的最小值為
4．（2023·山東煙臺·三模）已知且，則（ ）
A．的最大值為B．的最大值為2
C．的最小值為6D．的最小值為4
三、填空題
5．（2023·遼寧大連·三模）已知，且，則的最小值為 .
6．（2020·天津濱海新·模擬預測）已知，則的最大值是 .
反思提升：
1.利用配湊法求最值，主要是配湊成“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”的形式.
2.常數(shù)代換法，主要解決形如“已知x＋y＝t(t為常數(shù))，求eq \f(a,x)＋eq \f(b,y)的最值”的問題，先將eq \f(a,x)＋eq \f(b,y)轉(zhuǎn)化為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,x)＋\f(b,y)))·eq \f(x＋y,t)，再用基本不等式求最值.
3.當所求最值的代數(shù)式中的變量比較多時，通?？紤]利用已知條件消去部分變量后，湊出“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”的形式，最后利用基本不等式求最值.
4.構(gòu)建目標式的不等式求最值，在既含有和式又含有積式的等式中，對和式或積式利用基本不等式，構(gòu)造目標式的不等式求解.
【考點2】基本不等式的綜合應(yīng)用
一、單選題
1．（2024·山東濟寧·一模）已知的內(nèi)角的對邊分別為，且，，則面積的最大值為（ ）
A．B．C．D．
2．（21-22高一上·河南商丘·期末）若對任意實數(shù)，不等式恒成立，則實數(shù)a的最小值為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
3．（2023·河北保定·二模）如圖，正方形的邊長為，、分別為邊、上的動點，若的周長為定值，則（ ）

A．的大小為B．面積的最小值為
C．長度的最小值為D．點到的距離可以是
4．（2021·全國·模擬預測）已知為橢圓：的左焦點，直線：與橢圓交于，兩點，軸，垂足為，與橢圓的另一個交點為，則（ ）
A．的最小值為2B．面積的最大值為
C．直線的斜率為D．為鈍角
三、填空題
5．（2024·廣東深圳·一模）已知函數(shù)，設(shè)曲線在點處切線的斜率為，若均不相等，且，則的最小值為 ．
6．（2021·湖北襄陽·一模）已知，，且，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍是 ．
反思提升：
(1)當基本不等式與其他知識相結(jié)合時，往往是提供一個應(yīng)用基本不等式的條件，然后利用常數(shù)代換法求最值.
(2)求參數(shù)的值或范圍時，要觀察題目的特點，利用基本不等式確定等號成立的條件，從而得到參數(shù)的值或范圍.
【考點3】基本不等式的實際應(yīng)用
一、單選題
1．（2023·湖南·一模）某農(nóng)機合作社于今年初用98萬元購進一臺大型聯(lián)合收割機，并立即投入生產(chǎn).預計該機第一年（今年）的維修保養(yǎng)費是12萬元，從第二年起，該機每年的維修保養(yǎng)費均比上一年增加4萬元.若當該機的年平均耗費最小時將這臺收割機報廢，則這臺收割機的使用年限是（ ）
A．6年B．7年C．8年D．9年
2．（22-23高一上·重慶沙坪壩·期末）2023年是農(nóng)歷癸卯兔年，在中國傳統(tǒng)文化中，兔被視為一種祥瑞之物，是活力和幸福的象征，寓意福壽安康.故宮博物院就收藏著這樣一副蘊含“吉祥團圓”美好愿景的名畫——《梧桐雙兔圖》，該絹本設(shè)色畫縱約176cm，橫約95cm，其掛在墻壁上的最低點離地面194cm.小南身高160cm（頭頂距眼睛的距離為10cm），為使觀賞視角最大，小南離墻距離應(yīng)為（ ）
A．B．76cmC．94cmD．
二、多選題
3．（2023·重慶沙坪壩·模擬預測）某單位為了激勵員工努力工作，決定提高員工待遇，給員工分兩次漲工資，現(xiàn)擬定了三種漲工資方案，甲：第一次漲幅，第二次漲幅；
乙：第一次漲幅，第二次漲幅；
丙：第一次漲幅，第二次漲幅.
其中，小明幫員工李華比較上述三種方案得到如下結(jié)論，其中正確的有（ ）
A．方案甲和方案乙工資漲得一樣多B．采用方案乙工資漲得比方案丙多
C．采用方案乙工資漲得比方案甲多D．采用方案丙工資漲得比方案甲多
4．（2023·河北唐山·三模）《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學名著，書中提到底面為長方形的屋狀的楔體（圖示的五面體．底面長方形中，，上棱長，且平面，高（即到平面的距離）為，是底面的中心，則（ ）
A．平面
B．五面體的體積為5
C．四邊形與四邊形的面積和為定值
D．與的面積和的最小值為
三、填空題
5．（2021·黑龍江大慶·三模）《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學最重要的著作，奠定了中國傳統(tǒng)數(shù)學的基本框架，其中卷第九勾股中記載：“今有邑，東西七里，南北九里，各中開門．出東門一十五里有木．問出南門幾何步而見木?”其算法為：東門南到城角的步數(shù)，乘南門東到城角的步數(shù)，乘積作被除數(shù)，以樹距離東門的步數(shù)作除數(shù)，被除數(shù)除以除數(shù)得結(jié)果，即出南門里見到樹，則．若一小城，如圖所示，出東門步有樹，出南門步能見到此樹，則該小城的周長的最小值為（注：里步） 里.
6．（21-22高三上·湖北·階段練習）拿破侖·波拿巴，十九世紀法國偉大的軍事家、政治家，對數(shù)學很有興趣，他發(fā)現(xiàn)并證明了著名的拿破侖定理：“以任意三角形的三條邊為邊向外構(gòu)造三個等邊三角形，則這三個三角形的中心恰為另一個等邊三角形的頂點”.如圖，在中，，以，，為邊向外作三個等邊三角形，其中心依次為，，，若，則 ，的最大值為 .
反思提升：
(1)根據(jù)實際問題抽象出函數(shù)的解析式，再利用基本不等式求得函數(shù)的最值.
(2)解應(yīng)用題時，一定要注意變量的實際意義及其取值范圍.
(3)在應(yīng)用基本不等式求函數(shù)的最值時，若等號取不到，則可利用函數(shù)的單調(diào)性求解.
分層檢測
【基礎(chǔ)篇】
一、單選題
1．（2023·北京西城·二模）設(shè)，，，則（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·山東濱州·二模）已知直線與圓相切，則的最大值為（ ）
A．B．C．1D．2
3．（2023·湖南長沙·一模）已知，則m，n不可能滿足的關(guān)系是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·湖北·模擬預測）已知，，直線與曲線相切，則的最小值是（ ）
A．16B．12C．8D．4
二、多選題
5．（2023·吉林白山·一模）若正數(shù)a，b滿足，則（ ）
A．B．C．D．
6．（22-23高一上·甘肅臨夏·階段練習）已知，且，若不等式恒成立，則的值可以為（ ）
A．10B．9C．8D．7
7．（2021·江蘇南通·一模）已知，，則（ ）
A．B．
C．D．
三、填空題
8．（2023·海南省直轄縣級單位·模擬預測）已知正數(shù)，滿足，若，則 ．
9．（2023·遼寧沈陽·二模）已知，則的最小值是 ．
10．（2022·上?！ざ＃┮阎獙Γ坏仁胶愠闪?，則實數(shù)的最大值是 .
四、解答題
11．（2023·廣西南寧·二模）已知a，b，c均為正數(shù)，且，證明：
(1)若，則；
(2).
12．（9-10高二下·江蘇·期末）首屆世界低碳經(jīng)濟大會在南昌召開，本屆大會以“節(jié)能減排，綠色生態(tài)”為主題.某單位在國家科研部門的支持下進行技術(shù)攻關(guān)，采取了新工藝，把二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品.已知該單位每月的處理量最少為400噸，最多為600噸，月處理成本 (元)與月處理量 (噸)之間的函數(shù)關(guān)系可近似的表示為 ，且處理每噸二氧化碳得到可利用的化工產(chǎn)品價值為100元.
(1)該單位每月處理量為多少噸時，才能使每噸的平均處理成本最低？
(2)該單位每月能否獲利？如果獲利，求出最大利潤；如果不獲利，則需要國家至少補貼多少元才能使單位不虧損？
【能力篇】
一、單選題
1．（2022·河北石家莊·二模）已知，則x?y?z的大小關(guān)系為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
2．（22-23高一下·安徽合肥·階段練習）直角三角形中，是斜邊上一點，且滿足，點在過點的直線上，若，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．為常數(shù)B．的值可以為：
C．的最小值為3D．的最小值為
三、填空題
3．（2023·河南·模擬預測）已知向量，，其中，，若，則的最小值為 ．
四、解答題
4．（2022·山西晉中·模擬預測）已知，，且.
(1)若恒成立，求的取值范圍；
(2)證明：.
【培優(yōu)篇】
一、單選題
1．（2023·上海長寧·二模）設(shè)各項均為實數(shù)的等差數(shù)列和的前n項和分別為和，對于方程①，②，③．下列判斷正確的是（ ）
A．若①有實根，②有實根，則③有實根
B．若①有實根，②無實根，則③有實根
C．若①無實根，②有實根，則③無實根
D．若①無實根，②無實根，則③無實根
二、多選題
2．（2022·浙江·模擬預測）已知a，b為正數(shù)，且，則（ ）
A．B．C．D．
三、填空題
3．（21-22高三上·天津南開·期中）已知正實數(shù)a，b滿足，則的最小值為 .

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