2020-2021學(xué)年江蘇省徐州市邳州市運(yùn)河中學(xué)實(shí)驗(yàn)班高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

2020-2021學(xué)年江蘇省徐州市邳州市運(yùn)河中學(xué)實(shí)驗(yàn)班高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.1．（5分）設(shè)點(diǎn)，，不共線，則“與的夾角為銳角”是“”的　　A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件2．（5分）若復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)的虛部是　　A． B． C． D．3．（5分）若平面內(nèi)兩條平行線，間的距離為，則實(shí)數(shù)　　A． B．或1 C． D．或24．（5分）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯（約公元前公元前190年）的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，著作中有這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)且的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓．已知，，圓上有且僅有一個(gè)點(diǎn)滿足，則的取值可以為　　A．1 B．2 C．3 D．55．（5分）已知點(diǎn)，在拋物線上，過作圓的兩條切線，分別交拋物線于點(diǎn)，，若直線的斜率為，則拋物線的方程為　　A． B． C． D．6．（5分）北宋時(shí)期的科學(xué)家沈括在他的著作《夢(mèng)溪筆談》一書中提出一個(gè)有趣的問題，大意是：酒店把酒壇層層堆積，底層擺成長方形，以后每上一層，長和寬兩邊的壇子各少一個(gè)，堆成一個(gè)棱臺(tái)的形狀（如圖，那么總共堆放了多少個(gè)酒壇？沈括給出了一個(gè)計(jì)算酒壇數(shù)量的方法隙積術(shù)，設(shè)底層長和寬兩邊分別擺放，個(gè)壇子，一共堆了層，則酒壇的總數(shù)．現(xiàn)在將長方形垛改為三角形垛，即底層擺成一個(gè)等邊三角形，向上逐層等邊三角形的每邊少1個(gè)酒壇（如圖，若底層等邊三角形的邊上擺放10個(gè)酒壇，頂層擺放1個(gè)酒壇，那么酒壇的總數(shù)為　　A．55 B．165 C．220 D．2867．（5分）關(guān)于函數(shù)有下述四個(gè)結(jié)論：①是偶函數(shù)②在區(qū)間，單調(diào)遞增③在，有4個(gè)零點(diǎn)④的最大值為2其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是　　A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③8．（5分）圣索菲亞教堂（英語：坐落于中國黑龍江省，是一座始建于1907年拜占庭風(fēng)格的東正教教堂，距今已有114年的歷史，為哈爾濱的標(biāo)志性建筑年經(jīng)國務(wù)院批準(zhǔn)，被列為第四批全國重點(diǎn)文物保護(hù)單位，是每一位到哈爾濱旅游的游客拍照打卡的必到景點(diǎn)．其中央主體建筑集球，圓柱，棱柱于一體，極具對(duì)稱之美，可以讓游客從任何角度都能領(lǐng)略它的美．小明同學(xué)為了估算索菲亞教堂的高度，在索菲亞教堂的正東方向找到一座建筑物，高為，在它們之間的地面上的點(diǎn)，，三點(diǎn)共線）處測(cè)得樓頂，教堂頂的仰角分別是和，在樓頂處測(cè)得塔頂的仰角為，則小明估算索菲亞教堂的高度為　　A． B． C． D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有項(xiàng)選錯(cuò)得0分.9．（5分）對(duì)于復(fù)數(shù)，，，下列命題都成立　　A． B．，則 C． D．若非零復(fù)數(shù)，，，滿足，則10．（5分）某人朝正東方向走后，向右轉(zhuǎn)，然后朝新方向走，結(jié)果他離出發(fā)點(diǎn)恰好，那么的值為　　A．2 B． C． D．311．（5分）在數(shù)學(xué)課堂上，教師引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造新數(shù)列：在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入此兩項(xiàng)的和，形成新的數(shù)列，再把所得數(shù)列按照同樣的方法不斷構(gòu)造出新的數(shù)列，將數(shù)列1，2進(jìn)行構(gòu)造，第1次得到數(shù)列1，3，2；第2次得到數(shù)列1，4，3，5，2，；第次得到數(shù)列1，，，，，，2；．記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則　　A． B． C． D．12．（5分）已知圓，直線，．則下列四個(gè)命題正確的是　　A．直線恒過定點(diǎn) B．當(dāng)時(shí)，圓上有且僅有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離都等于1 C．圓與曲線：恰有三條公切線，則 D．當(dāng)時(shí)，直線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)向圓引兩條切線、其中、為切點(diǎn)，則直線經(jīng)過點(diǎn)三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.請(qǐng)把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上.13．（5分）已知兩圓和相交于，兩點(diǎn)，則直線的方程是　　．14．（5分）如圖，在中，是的中點(diǎn)，在邊上，，與交于點(diǎn)．若，則的值是　　．15．（5分）已知，則的值是　　．16．（5分）如圖，一種電影放映燈的反射鏡面是旋轉(zhuǎn)橢圓面（橢圓繞其對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面）的一部分，過對(duì)稱軸的截口是橢圓的一部分，燈絲位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上，片門位于另一個(gè)焦點(diǎn)上．由橢圓一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過旋轉(zhuǎn)橢圓面反射后集中到另一個(gè)焦點(diǎn)已知，，，則截口所在橢圓的離心率為　　．四、解答題：本題共6小題，共70分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（10分）已知向量，，（1）當(dāng)時(shí)，求的值；（2）求在，上的最大值與最小值．18．（12分）已知等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足，，，．（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列中不在數(shù)列中的項(xiàng)按從小到大的順序構(gòu)成數(shù)列，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求．19．（12分）已知設(shè)復(fù)數(shù)滿足使得關(guān)于的方程有實(shí)根，其中為的共軛復(fù)數(shù)，求滿足條件的構(gòu)成的集合．20．（12分）外形是雙曲面的冷卻塔具有眾多優(yōu)點(diǎn)，如自然通風(fēng)和散熱效果好，結(jié)構(gòu)強(qiáng)度和抗變形能力強(qiáng)等，其設(shè)計(jì)原理涉及到物理學(xué)、建筑學(xué)等學(xué)科知識(shí)．如圖1是中國華電集團(tuán)的某個(gè)火力發(fā)電廠的一座冷卻塔，它的外形可以看成是由一條雙曲線的一部分繞著它的虛軸所在直線旋轉(zhuǎn)而成，其軸截面如圖2所示．已知下口圓面的直徑為80米，上口圓面的直徑為40米，高為90米，下口到最小直徑圓面的距離為80米．（1）求最小直徑圓面的面積；（2）雙曲面也是直紋曲面，即可以看成是由一條直線繞另一條直線旋轉(zhuǎn)而成，該直線叫做雙曲面的直母線．過雙曲面上的任意一點(diǎn)有且只有兩條相交的直母線（如圖，對(duì)于任意一條直母線，均存在一個(gè)軸截面和它平行，此軸截面截雙曲面所得的雙曲線有兩條漸近線，且直母線與其中一條平行．廣州電視塔（昵稱“小蠻腰”，如圖就是根據(jù)這一理論設(shè)計(jì)的，極大地方便了建造、節(jié)約了成本（主鋼梁在直母線上，鋼筋不需要彎曲）．若圖1中的冷卻塔也采用直母線主鋼梁，求主鋼梁的長度（精確到0.01米，參考數(shù)據(jù)：．21．（12分）某市規(guī)劃一個(gè)平面示意圖為如圖的五邊形的一條自行車賽道，，，，，為賽道（不考慮寬度），，為賽道內(nèi)的兩條服務(wù)通道，，，．（1）從以下兩個(gè)條件中選一個(gè)條件，求服務(wù)通道的長度；①；②．（2）在（1）條件下，當(dāng)賽道長度為多少時(shí)，才能使整個(gè)自行車賽道最長（即最大）．22．（12分）已知橢圓的左焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，過的直線與交于，兩點(diǎn)．（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）當(dāng)時(shí)，求直線的方程；（3）已知點(diǎn)，證明：以點(diǎn)為圓心且與直線相切的圓必與直線相切．
2020-2021學(xué)年江蘇省徐州市邳州市運(yùn)河中學(xué)實(shí)驗(yàn)班高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.1．【分析】“與的夾角為銳角” “”，“ ” “與的夾角為銳角”，由此能求出結(jié)果．【解答】解：點(diǎn)，，不共線，，，當(dāng)與的夾角為銳角時(shí)，， “與的夾角為銳角” “”，“” “與的夾角為銳角”，設(shè)點(diǎn)，，不共線，則“與的夾角為銳角”是“”的充分必要條件．故選：．2．【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、虛部的定義即可得出．【解答】解：復(fù)數(shù)滿足，，，則復(fù)數(shù)的虛部是，故選：．3．【分析】由題意利用兩條直線平行的性質(zhì)，兩條平行直線間的距離公式，【解答】解：平面內(nèi)兩條平行線，，，或．當(dāng)時(shí)，兩條平行直線即，，它們之間的距離為，不滿足條件．當(dāng)時(shí)，兩條平行直線即，，即，它們之間的距離為，滿足條件，故實(shí)數(shù)，故選：．4．【分析】設(shè)出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用已知條件列出方程，化簡可得點(diǎn)的軌跡方程，由點(diǎn)是圓上有且僅有的一點(diǎn)，可得兩圓相切，進(jìn)而可求得的值．【解答】解：設(shè)，由，得，整理得，又點(diǎn)是圓上有且僅有的一點(diǎn)，所以兩圓相切，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為2，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，兩圓的圓心距為3，當(dāng)兩圓外切時(shí)，，得，當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，，得．故選：．5．【分析】根據(jù)題意，設(shè)，，，，分析可得直線、關(guān)于直線對(duì)稱，則有，用、表示和，變形可得，又由直線的斜率為，即，變形可得，即的坐標(biāo)為，代入拋物線的方程，計(jì)算可得的值，即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)圓的圓心為，則的坐標(biāo)為，再設(shè)，，，，過點(diǎn)作圓的兩條切線，則、關(guān)于直線對(duì)稱，則有，又由，同理，則有，變形可得，則有，又由直線的斜率為，即，變形可得，即的坐標(biāo)為，則有，解可得，即拋物線的方程為，故選：．6．【分析】由已知條件得到每一層酒壇按照正三角形排列規(guī)律，即可求出結(jié)果．【解答】解：每一層酒壇按照正三角形排列，從上往下數(shù)，最上面一層的酒壇數(shù)為1，第二層的酒壇數(shù)為，第三層的酒壇數(shù)為，，由此規(guī)律，最下面一層的酒壇數(shù)為，酒壇總數(shù)為．故選：．7．【分析】根據(jù)絕對(duì)值的應(yīng)用，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)分別進(jìn)行判斷即可．【解答】解：則函數(shù)是偶函數(shù)，故①正確，當(dāng)，時(shí)，，，則為減函數(shù)，故②錯(cuò)誤，當(dāng)時(shí)，，由得得或，由是偶函數(shù)，得在，上還有一個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)在，有3個(gè)零點(diǎn)，故③錯(cuò)誤，當(dāng)，時(shí)，取得最大值2，故④正確，故正確的是①④，故選：．8．【分析】求得，再在三角形中，運(yùn)用正弦定理可得，再解直角三角形，計(jì)算可得所求值．【解答】解：在直角三角形中，．在中，，，故，由正弦定理，，故．在直角三角形中，．故選：．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有項(xiàng)選錯(cuò)得0分.9．【分析】由復(fù)數(shù)的幾何意義可知對(duì)；當(dāng)時(shí)可知錯(cuò)；由復(fù)數(shù)的代數(shù)表示代入計(jì)算可知對(duì)；由復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可知對(duì)．【解答】解：設(shè)、，由向量加法幾何意義可知：，故對(duì)；當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，都滿足中等式成立，故錯(cuò)；設(shè)，，則，故對(duì)；非零復(fù)數(shù)，，，滿足，，，又，，，故對(duì)．故選：．10．【分析】作出圖象，三點(diǎn)之間正好組成了一個(gè)知兩邊與一角的三角形，由余弦定理建立關(guān)于的方程即可求得的值．【解答】解：如圖，，，，．由余弦定理得．解得或故選：．11．【分析】寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)，推得，由等比數(shù)列的求和公式和通項(xiàng)公式，結(jié)合數(shù)列的分組求和，對(duì)選項(xiàng)一一分析，可得結(jié)論．【解答】解：由，，，，，，，由有3項(xiàng)，有5項(xiàng)，有9項(xiàng)，有17項(xiàng)，，故有項(xiàng)．故錯(cuò)誤；所以，即，故正確；由，可得，故正確；由，故正確．故選：．12．【分析】直接利用經(jīng)過定點(diǎn)的直線系建立方程組，進(jìn)一步求出直線經(jīng)過的定點(diǎn)，從而確定的結(jié)論，利用點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用確定的結(jié)論，利用兩圓的位置關(guān)系的應(yīng)用確定的結(jié)論．【解答】解：對(duì)于直線，．整理得：，故，整理得，即經(jīng)過定點(diǎn)，故正確；對(duì)于：當(dāng)時(shí)，直線轉(zhuǎn)換為，所以圓心到直線的距離，不能平分半徑，故應(yīng)該為四點(diǎn)，故錯(cuò)誤；對(duì)于：圓，圓：，當(dāng)時(shí)，：，整理得，所以圓心距為，故兩圓相外切，恰有三條公切線，故正確；對(duì)于：當(dāng)時(shí)，直線的方程轉(zhuǎn)換為，設(shè)點(diǎn)，圓，的圓心，半徑為，以線段為直徑的圓的方程為：，即，由于圓的方程為：，所以兩圓的公共弦的方程為，整理得，所以，解得，即直線經(jīng)過點(diǎn)，故正確；故選：．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.請(qǐng)把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上.13．【分析】把兩個(gè)圓的方程相減，即可求得公共弦所在的直線方程．【解答】解：把兩圓和的方程相減可得，此直線的方程既能滿足第一個(gè)圓的方程、又能滿足第二個(gè)圓的方程，故必是兩個(gè)圓的公共弦所在的直線方程，故答案為：．14．【分析】首先算出，然后用、表示出、，結(jié)合得，進(jìn)一步可得結(jié)果．【解答】解：設(shè)，，，，，，，，，．故答案為：15．【分析】直接利用三角函數(shù)的中和角的正切的應(yīng)用求出的值，進(jìn)一步利用萬能公式的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答】解：已知，整理得，解得，（1）當(dāng)時(shí)，則，，故．（2）當(dāng)時(shí)，則，，．故答案為：．16．【分析】由題意可得焦距及焦半徑的值，再由，，之間的關(guān)系求出，的值，進(jìn)而求出離心率．【解答】解：由題意可得，，，解得，所以離心率，故答案為：．四、解答題：本題共6小題，共70分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．【分析】（1）當(dāng)，可得，利用坐標(biāo)表示展開，即可求得的值；（2）先將用坐標(biāo)表示，得到三角函數(shù)，再化簡，利用三角函數(shù)的最值求出最值即得．【解答】解：（1），，，，即，整理得，所以，．解得，．（2），又，，可得，，所以，，所以，綜上，在，上的最大值與最小值分別為，．18．【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，由條件分別求得，，可得，，進(jìn)而得到所求通項(xiàng)公式；（2）推得在與之間有項(xiàng)，可得的第100項(xiàng)在與之間，結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式，計(jì)算可得所求和．【解答】解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，由，，，可得，，則，，，，；（2）由題意可得的前幾項(xiàng)為6，10，12，14，18，20，22，24，26，28，30，，即在與之間有項(xiàng)，可得的第100項(xiàng)在與之間，所以．19．【分析】設(shè)，，，代入，整理后利用實(shí)部與虛部為0可得且，然后對(duì)分類討論求解得，則答案可求．【解答】解：設(shè)，，．將原方程改為，分離實(shí)部與虛部后等價(jià)于：①，②，若，則，但當(dāng)時(shí)，①無實(shí)數(shù)解，從而，此時(shí)存在實(shí)數(shù)滿足①、②，故滿足條件；若，則由②知，，但顯然不滿足①，故只能是，代入①解得，進(jìn)而，相應(yīng)有．綜上，滿足條件的所有復(fù)數(shù)構(gòu)成的集合為．20．【分析】（1）由題中圖2的建系可設(shè)截面雙曲線的方程為，得到雙曲線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)，代入雙曲線方程求得，即可得到最小直徑圓面的面積；（2）由（1）可得雙曲線的漸近線的斜率，結(jié)合已知求得沿軸方向的長，再由勾股定理求主鋼梁的長度．【解答】解：（1）由圖2建系可設(shè)截面雙曲線的方程為，它過點(diǎn)及，，解得，最小直徑圓面的面積為；（2）由（1）可知，漸近線的斜率，由題意知，母線平行于漸近線且高為90，則沿軸方向的長為，主鋼梁的長度為．21．【分析】（1）在中，利用正弦定理，可求得．選①：先由三角形的內(nèi)角和可得，從而由余弦定理即可求解；選②：在中，由余弦定理可得關(guān)于的方程，解之即可．（2）在中，結(jié)合余弦定理和基本不等式，即可得解．【解答】解：（1），，，在中，由正弦定理知，，，解得．選①：，，，，在中，；選②：，在中，由余弦定理知，，化簡得，解得（負(fù)值舍去），故服務(wù)通道的長度為．（2）在中，又正弦定理可得，，解得，問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)賽道長度為多少時(shí)，最大，在中，由余弦定理知，，，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)，的最大值為，故當(dāng)時(shí)，才能使整個(gè)自行車賽道最長．22．【分析】（1）根據(jù)橢圓的左焦點(diǎn)求得．由點(diǎn)在上，轉(zhuǎn)化求解，，然后求解橢圓方程．（2）當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，驗(yàn)證是否滿足題意，直線的斜率不為0，設(shè)直線，把代入，設(shè)點(diǎn)，，，，利用韋達(dá)定理以及向量的關(guān)系，轉(zhuǎn)化求解直線方程即可．（3）記直線，的斜率分別為，，通過．轉(zhuǎn)化求解即可．【解答】解：（1）根據(jù)橢圓的左焦點(diǎn)，得．由點(diǎn)在上，得．又，所以，，故的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，易知或，不符合題意，故直線的斜率不為0，設(shè)直線，把代入，得，設(shè)點(diǎn)，，，，則，．因?yàn)?/span>，所以，即，所以，，所以，解得，所以直線的方程為，即．證明：（3）由題意得直線的斜率不為0．由（2）知，，，記直線，的斜率分別為，，則．由，，得．而，故，所以是的平分線，故點(diǎn)到直線，的距離相等，所以以點(diǎn)為圓心且與直線相切的圓必與直線相切．聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2022/3/11 19:09:53；用戶：高中數(shù)學(xué)6；郵箱：tdjyzx38@xyh.com；學(xué)號(hào)：42412367

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