?考向一 二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)
1．（2024·廣東·中考真題）若點(diǎn)都在二次函數(shù)的圖象上，則（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·西藏·中考真題）如圖，已知二次函數(shù)的圖象與x軸相交于點(diǎn)，，則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（ ）
①
②
③對任意實(shí)數(shù)m，均成立
④若點(diǎn)，在拋物線上，則
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
3．（2024·四川·中考真題）二次函數(shù)的圖象如圖所示，給出下列結(jié)論：①；②；③當(dāng)時(shí)，．其中所有正確結(jié)論的序號是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
4．（2024·福建·中考真題）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過，兩點(diǎn)，則下列判斷正確的是（ ）
A．可以找到一個(gè)實(shí)數(shù)，使得B．無論實(shí)數(shù)取什么值，都有
C．可以找到一個(gè)實(shí)數(shù)，使得D．無論實(shí)數(shù)取什么值，都有
5．（2024·新疆·中考真題）如圖，拋物線與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)B，線段CD在拋物線的對稱軸上移動(dòng)（點(diǎn)C在點(diǎn)D下方），且．當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為 ．

6．（2024·上海·中考真題）對于一個(gè)二次函數(shù)（）中存在一點(diǎn)，使得，則稱為該拋物線的“開口大小”，那么拋物線“開口大小”為 ．
7．（2024·安徽·中考真題）已知拋物線（b為常數(shù)）的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)比拋物線的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)大1．
(1)求b的值；
(2)點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)在拋物線上．
（?。┤?，且，，求h的值；
（ⅱ）若，求h的最大值．
?考向二 二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系
8．（2024·湖北·中考真題）拋物線的頂點(diǎn)為，拋物線與軸的交點(diǎn)位于軸上方．以下結(jié)論正確的是（ ）
A．B．C．D．
9．（2024·陜西·中考真題）已知一個(gè)二次函數(shù)的自變量x與函數(shù)y的幾組對應(yīng)值如下表，
則下列關(guān)于這個(gè)二次函數(shù)的結(jié)論正確的是（ ）
A．圖象的開口向上B．當(dāng)時(shí)，y的值隨x的值增大而增大
C．圖象經(jīng)過第二、三、四象限D(zhuǎn)．圖象的對稱軸是直線
10．（2024·四川廣元·中考真題）如圖，已知拋物線過點(diǎn)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，，且，，則下列結(jié)論：
①；
②方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
③；
④；
⑤．其中正確的結(jié)論有（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
?考向三 二次函數(shù)的最值
11．（2024·山東日照·中考真題）已知二次函數(shù)圖象的一部分如圖所示，該函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)，對稱軸為直線．對于下列結(jié)論：①；②；③多項(xiàng)式可因式分解為；④當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程無實(shí)數(shù)根．其中正確的個(gè)數(shù)有（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
12．（2024·四川眉山·中考真題）定義運(yùn)算：，例如，則函數(shù)的最小值為（ ）
A．B．C．D．
13．（2024·四川樂山·中考真題）已知二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，則t的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
14．（2024·四川·中考真題）在完成勞動(dòng)課布置的“青稞生長狀態(tài)觀察”的實(shí)踐作業(yè)時(shí)，需要測量青稞穗長．同學(xué)們查閱資料得知：由于受儀器精度和觀察誤差影響，n次測量會(huì)得到n個(gè)數(shù)據(jù)，，…，，如果a與各個(gè)測量數(shù)據(jù)的差的平方和最小，就將a作為測量結(jié)果的最佳近似值．若5名同學(xué)對某株青稞的穗長測量得到的數(shù)據(jù)分別是：5.9，6.0，6.0，6.3，6.3（單位：），則這株青稞穗長的最佳近似值為 ．
15．（2024·廣西·中考真題）課堂上，數(shù)學(xué)老師組織同學(xué)們圍繞關(guān)于x的二次函數(shù)的最值問題展開探究．
【經(jīng)典回顧】二次函數(shù)求最值的方法．
（1）老師給出，求二次函數(shù)的最小值．
①請你寫出對應(yīng)的函數(shù)解析式；
②求當(dāng)x取何值時(shí)，函數(shù)y有最小值，并寫出此時(shí)的y值；
【舉一反三】老師給出更多a的值，同學(xué)們即求出對應(yīng)的函數(shù)在x取何值時(shí)，y的最小值．記錄結(jié)果，并整理成下表：
注：*為②的計(jì)算結(jié)果．
【探究發(fā)現(xiàn)】老師：“請同學(xué)們結(jié)合學(xué)過的函數(shù)知識，觀察表格，談?wù)勀愕陌l(fā)現(xiàn)．”
甲同學(xué)：“我發(fā)現(xiàn)，老師給了a值后，我們只要取，就能得到y(tǒng)的最小值．”
乙同學(xué)：“我發(fā)現(xiàn)，y的最小值隨a值的變化而變化，當(dāng)a由小變大時(shí)，y的最小值先增大后減小，所以我猜想y的最小值中存在最大值．”
（2）請結(jié)合函數(shù)解析式，解釋甲同學(xué)的說法是否合理？
（3）你認(rèn)為乙同學(xué)的猜想是否正確？若正確，請求出此最大值；若不正確，說明理由．
?考向四 待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式
16．（2024·貴州·中考真題）如圖，二次函數(shù)的部分圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，則下列說法正確的是（ ）

A．二次函數(shù)圖象的對稱軸是直線
B．二次函數(shù)圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是2
C．當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小
D．二次函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是3
17．（2024·遼寧·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與與相交于點(diǎn)，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，若點(diǎn)在拋物線上，則的長為 ．

18．（2024·西藏·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，設(shè)拋物線的對稱軸為直線l．
(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖（甲），設(shè)點(diǎn)C關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)為點(diǎn)D，在直線l上是否存在一點(diǎn)P，使有最大值？若存在，求出的最大值；若不存在，請說明理由；
(3)如圖（乙），設(shè)點(diǎn)M為拋物線上一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)M作交直線l于點(diǎn)N．若，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．
19．（2024·湖北·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C．
(1)求b的值；
(2)如圖，M是第一象限拋物線上的點(diǎn)，，求點(diǎn)M的橫坐標(biāo)；
(3)將此拋物線沿水平方向平移，得到的新拋物線記為L，L與y軸交于點(diǎn)N．設(shè)L的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為n，的長為d．
①求d關(guān)于n的函數(shù)解析式；
②L與x軸圍成的區(qū)域記為U，U與內(nèi)部重合的區(qū)域（不含邊界）記為W．當(dāng)d隨n的增大而增大，且W內(nèi)恰好有兩個(gè)橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)時(shí)，直接寫出n的取值范圍．
20．（2024·吉林·中考真題）小明利用一次函數(shù)和二次函數(shù)知識，設(shè)計(jì)了一個(gè)計(jì)算程序，其程序框圖如圖（1）所示，輸入x的值為時(shí)，輸出y的值為1；輸入x的值為2時(shí)，輸出y的值為3；輸入x的值為3時(shí)，輸出y的值為6．
(1)直接寫出k，a，b的值．
(2)小明在平面直角坐標(biāo)系中畫出了關(guān)于x的函數(shù)圖像，如圖（2）．
Ⅰ．當(dāng)y隨x的增大而增大時(shí)，求x的取值范圍．
Ⅱ．若關(guān)于x的方程（t為實(shí)數(shù)），在時(shí)無解，求t的取值范圍．
Ⅲ．若在函數(shù)圖像上有點(diǎn)P，Q（P與Q不重合）．P的橫坐標(biāo)為m，Q的橫坐標(biāo)為．小明對P，Q之間（含P，Q兩點(diǎn)）的圖像進(jìn)行研究，當(dāng)圖像對應(yīng)函數(shù)的最大值與最小值均不隨m的變化而變化，直接寫出m的取值范圍．
?考向五 二次函數(shù)圖象的平移
21．（2024·江蘇南通·中考真題）將拋物線向右平移3個(gè)單位后得到新拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．D．
22．（2024·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）將拋物線向下平移2個(gè)單位后，所得新拋物線的頂點(diǎn)式為（ ）
A．B．C．D．
23．（2024·江蘇連云港·中考真題）已知拋物線（a、b、c是常數(shù)，）的頂點(diǎn)為．小燁同學(xué)得出以下結(jié)論：①；②當(dāng)時(shí)，隨的增大而減??；③若的一個(gè)根為3，則；④拋物線是由拋物線向左平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位得到的．其中一定正確的是（ ）
A．①②B．②③C．③④D．②④
24．（2024·內(nèi)蒙古·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)．
(1)若，則_________，通過配方可以將其化成頂點(diǎn)式為_________；
(2)已知點(diǎn)在拋物線上，其中．若且，比較與的大小關(guān)系，并說明理由；
(3)若，將拋物線向上平移4個(gè)單位得到的新拋物線與直線交于A，B兩點(diǎn)，直線與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)E為中點(diǎn)，過點(diǎn)E作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)F，連接，．求證：．
25．（2024·上?！ぶ锌颊骖}）在平面直角坐標(biāo)系中，已知平移拋物線后得到的新拋物線經(jīng)過和．
(1)求平移后新拋物線的表達(dá)式；
(2)直線（）與新拋物線交于點(diǎn)P，與原拋物線交于點(diǎn)Q．
①如果小于3，求m的取值范圍；
②記點(diǎn)P在原拋物線上的對應(yīng)點(diǎn)為，如果四邊形有一組對邊平行，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
26．（2024·山東·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在二次函數(shù)的圖像上，記該二次函數(shù)圖像的對稱軸為直線．
(1)求的值；
(2)若點(diǎn)在的圖像上，將該二次函數(shù)的圖像向上平移5個(gè)單位長度，得到新的二次函數(shù)的圖像．當(dāng)時(shí)，求新的二次函數(shù)的最大值與最小值的和；
(3)設(shè)的圖像與軸交點(diǎn)為，．若，求的取值范圍．
?考向一 二次函數(shù)與一元二次方程
27．（2024·內(nèi)蒙古·中考真題）下列說法中，正確的個(gè)數(shù)有（ ）
①二次函數(shù)的圖象經(jīng)過兩點(diǎn)，m，n是關(guān)于x的元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，則恒成立．
②在半徑為r的中，弦互相垂直于點(diǎn)P，當(dāng)時(shí)，則．
③為平面直角坐標(biāo)系中的等腰直角三角形且，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)C是反比例函數(shù)的圖象上一點(diǎn)，則．
④已知矩形的一組鄰邊長是關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且矩形的周長值與面積值相等，則矩形的對角線長是．
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
28．（2024·山東泰安·中考真題）如圖所示是二次函數(shù)的部分圖象，該函數(shù)圖象的對稱軸是直線，圖象與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是2，則下列結(jié)論：①；②方程一定有一個(gè)根在和之間；③方程一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；④．其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
29．（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，，與y軸交點(diǎn)C的縱坐標(biāo)在～之間，根據(jù)圖象判斷以下結(jié)論：①；②；③若且，則；④直線與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)，則．其中正確的結(jié)論是（ ）
A．①②④B．①③④C．①②③D．①②③④
30．（2024·吉林長春·中考真題）若拋物線（是常數(shù)）與軸沒有交點(diǎn)，則的取值范圍是 ．
?考向二 二次函數(shù)與不等式
31．（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于，，其中．結(jié)合圖象給出下列結(jié)論：

①；②；
③當(dāng)x>1時(shí)，隨的增大而減小；
④關(guān)于的一元二次方程的另一個(gè)根是；
⑤的取值范圍為．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
?考向三 實(shí)際問題與二次函數(shù)
32．（2024·山東濟(jì)南·中考真題）如圖1，是等邊三角形，點(diǎn)在邊上，，動(dòng)點(diǎn)以每秒1個(gè)單位長度的速度從點(diǎn)出發(fā)，沿折線勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)后停止，連接．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，為．當(dāng)動(dòng)點(diǎn)沿勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，與的函數(shù)圖象如圖2所示．有以下四個(gè)結(jié)論：
①；
②當(dāng)時(shí)，；
③當(dāng)時(shí)，；
④動(dòng)點(diǎn)沿勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，兩個(gè)時(shí)刻，分別對應(yīng)和，若，則．其中正確結(jié)論的序號是（ ）
A．①②③ B．①② C．③④ D．①②④

33．（2024·天津·中考真題）從地面豎直向上拋出一小球，小球的高度（單位：）與小球的運(yùn)動(dòng)時(shí)間（單位：）之間的關(guān)系式是．有下列結(jié)論：
①小球從拋出到落地需要；
②小球運(yùn)動(dòng)中的高度可以是；
③小球運(yùn)動(dòng)時(shí)的高度小于運(yùn)動(dòng)時(shí)的高度．
其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）
A．0B．1C．2D．3
34．（2024·廣西·中考真題）如圖，壯壯同學(xué)投擲實(shí)心球，出手（點(diǎn)P處）的高度是，出手后實(shí)心球沿一段拋物線運(yùn)行，到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，水平距離是，高度是．若實(shí)心球落地點(diǎn)為M，則 ．
35．（2024·甘肅·中考真題）如圖1為一汽車停車棚，其棚頂?shù)臋M截面可以看作是拋物線的一部分，如圖2是棚頂?shù)呢Q直高度y（單位：）與距離停車棚支柱的水平距離x（單位：）近似滿足函數(shù)關(guān)系的圖象，點(diǎn)在圖象上．若一輛箱式貨車需在停車棚下避雨，貨車截面看作長，高的矩形，則可判定貨車 完全停到車棚內(nèi)（填“能”或“不能”）．
36．（2024·湖北·中考真題）如圖，某校勞動(dòng)實(shí)踐基地用總長為80m的柵欄，圍成一塊一邊靠墻的矩形實(shí)驗(yàn)田，墻長為42m．柵欄在安裝過程中不重疊、無損耗，設(shè)矩形實(shí)驗(yàn)田與墻垂直的一邊長為x(單位：m)，與墻平行的一邊長為y(單位：m)，面積為S(單位：)．
(1)直接寫出y與x，S與x之間的函數(shù)解析式(不要求寫x的取值范圍)；
(2)矩形實(shí)驗(yàn)田的面積S能達(dá)到嗎？如果能，求x的值；如果不能，請說明理由．
(3)當(dāng)x的值是多少時(shí)，矩形實(shí)驗(yàn)田的面積S最大？最大面積是多少？
37．（2024·青?！ぶ锌颊骖}）在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，有一斜坡，從點(diǎn)O處拋出一個(gè)小球，落到點(diǎn)處．小球在空中所經(jīng)過的路線是拋物線的一部分．
(1)求拋物線的解析式；
(2)求拋物線最高點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)斜坡上點(diǎn)B處有一棵樹，點(diǎn)B是的三等分點(diǎn)，小球恰好越過樹的頂端C，求這棵樹的高度．
38．（2024·廣東·中考真題）廣東省全力實(shí)施“百縣千鎮(zhèn)萬村高質(zhì)量發(fā)展工程”，2023年農(nóng)產(chǎn)品進(jìn)出口總額居全國首位，其中荔枝鮮果遠(yuǎn)銷歐美．某果商以每噸2萬元的價(jià)格收購早熟荔枝，銷往國外．若按每噸5萬元出售，平均每天可售出100噸．市場調(diào)查反映：如果每噸降價(jià)1萬元，每天銷售量相應(yīng)增加50噸．該果商如何定價(jià)才能使每天的“利潤”或“銷售收入”最大？并求出其最大值．（題中“元”為人民幣）
39．（2024·天津·中考真題）將一個(gè)平行四邊形紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O0,0，點(diǎn)，點(diǎn)在第一象限，且．
(1)填空：如圖①，點(diǎn)的坐標(biāo)為______，點(diǎn)的坐標(biāo)為______；
(2)若為軸的正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作直線軸，沿直線折疊該紙片，折疊后點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)落在軸的正半軸上，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為．設(shè)．
①如圖②，若直線與邊相交于點(diǎn)，當(dāng)折疊后四邊形與重疊部分為五邊形時(shí)，與相交于點(diǎn)．試用含有的式子表示線段的長，并直接寫出的取值范圍；
②設(shè)折疊后重疊部分的面積為，當(dāng)時(shí)，求的取值范圍（直接寫出結(jié)果即可）．
40．（2024·貴州·中考真題）某超市購入一批進(jìn)價(jià)為10元/盒的糖果進(jìn)行銷售，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：銷售單價(jià)不低于進(jìn)價(jià)時(shí)，日銷售量y（盒）與銷售單價(jià)x（元）是一次函數(shù)關(guān)系，下表是y與x的幾組對應(yīng)值．
(1)求y與x的函數(shù)表達(dá)式；
(2)糖果銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，所獲日銷售利潤最大，最大利潤是多少？
(3)若超市決定每銷售一盒糖果向兒童福利院贈(zèng)送一件價(jià)值為m元的禮品，贈(zèng)送禮品后，為確保該種糖果日銷售獲得的最大利潤為392元，求m的值．
41．（2024·河南·中考真題）從地面豎直向上發(fā)射的物體離地面的高度滿足關(guān)系式，其中是物體運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，是物體被發(fā)射時(shí)的速度．社團(tuán)活動(dòng)時(shí)，科學(xué)小組在實(shí)驗(yàn)樓前從地面豎直向上發(fā)射小球．
(1)小球被發(fā)射后_________時(shí)離地面的高度最大（用含的式子表示）．
(2)若小球離地面的最大高度為，求小球被發(fā)射時(shí)的速度．
(3)按（2）中的速度發(fā)射小球，小球離地面的高度有兩次與實(shí)驗(yàn)樓的高度相同．小明說：“這兩次間隔的時(shí)間為．”已知實(shí)驗(yàn)樓高，請判斷他的說法是否正確，并說明理由．
42．（2024·新疆·中考真題）某公司銷售一批產(chǎn)品，經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，當(dāng)銷售量在0.4噸至3.5噸之間時(shí)，銷售額（萬元）與銷售量x（噸）的函數(shù)解析式為；成本（萬元）與銷售量x（噸）的函數(shù)圖象是如圖所示的拋物線的一部分，其中是其頂點(diǎn)．
(1)求出成本關(guān)于銷售量x的函數(shù)解析式；
(2)當(dāng)成本最低時(shí)，銷售產(chǎn)品所獲利潤是多少？
(3)當(dāng)銷售量是多少噸時(shí)，可獲得最大利潤？最大利潤是多少？（注：利潤=銷售額成本）
43．（2024·陜西·中考真題）一條河上橫跨著一座宏偉壯觀的懸索橋．橋梁的纜索與纜索均呈拋物線型，橋塔與橋塔均垂直于橋面，如圖所示，以O(shè)為原點(diǎn)，以直線為x軸，以橋塔所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．

已知：纜索所在拋物線與纜索所在拋物線關(guān)于y軸對稱，橋塔與橋塔之間的距離，，纜索的最低點(diǎn)P到的距離（橋塔的粗細(xì)忽略不計(jì)）
(1)求纜索所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)點(diǎn)E在纜索上，，且，，求的長．
44．（2024·山西·中考真題）大棚經(jīng)濟(jì)“金鑰匙”，激活鄉(xiāng)村產(chǎn)業(yè)振興新引擎．劉叔叔計(jì)劃在自家菜地修建一個(gè)蔬菜大棚，圖是其橫截面的示意圖，其中，為兩段垂直于地面的墻體，兩段墻體之間的水平距離為米，大棚的頂部用拋物線形鋁合金骨架作支撐．已知骨架的一端固定在離地面米的墻體處，另一端固定在墻體處，骨架最高點(diǎn)到墻體的水平距離為米，且點(diǎn)離地面的高度為米．

數(shù)學(xué)建模
（1）在圖中，以為原點(diǎn)，水平直線為軸，所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系．設(shè)大棚頂部骨架上某處離地面的高度為（米），該處離墻體的水平距離為（米），求與之間的函數(shù)關(guān)系式；
問題解決
（2）為了大棚頂部更加穩(wěn)固，劉叔叔計(jì)劃在棚頂安裝“丁”字形鋁合金支架，如圖2所示，支架可以看成是由線段，組成，其中點(diǎn)，在頂棚拋物線形骨架上，于點(diǎn)．為不影響耕作，將點(diǎn)E到地面的距離定為米．
點(diǎn)的坐標(biāo)為______，的長為______；
請你計(jì)算做一個(gè)“丁”字形支架所需鋁合金材料的最大長度．（結(jié)果精確到米．參考數(shù)據(jù)：）
45．（2024·江西·中考真題）如圖，一小球從斜坡O點(diǎn)以一定的方向彈出球的飛行路線可以用二次函數(shù)刻畫，斜坡可以用一次函數(shù)刻畫，小球飛行的水平距離x（米）與小球飛行的高度y（米）的變化規(guī)律如下表：
(1)①______，______；
②小球的落點(diǎn)是A，求點(diǎn)A的坐標(biāo)．
(2)小球飛行高度y（米）與飛行時(shí)間t（秒）滿足關(guān)系．
①小球飛行的最大高度為______米；
②求v的值．
一、單選題
1．（2024·上?！つM預(yù)測）下列關(guān)于函數(shù)的說法正確的是（ ）
A．任何函數(shù)都與x軸有交點(diǎn)B．一次函數(shù)，二次函數(shù)都與y軸有交點(diǎn)
C．反比例函數(shù)與y軸的交點(diǎn)為（0，0）D．原點(diǎn)不在坐標(biāo)軸上
2．（2024·廣東·模擬預(yù)測）關(guān)于二次函數(shù) ，以下說法錯(cuò)誤的是（ ）
A．開口向上B．對稱軸為直線
C．有最小值D．與y軸交點(diǎn)為
3．（2024·河南·三模）如圖所示，在邊長為1的正方形中，點(diǎn)P是邊上不與端點(diǎn)重合的一動(dòng)點(diǎn)，連接、過點(diǎn)P作交正方形外角的平分線于點(diǎn)Q，則有關(guān)面積的說法正確的為（ ）．
A．有最大值為B．有最小值為C．有最大值為D．有最小值為
4．（2024·上?！つM預(yù)測）新定義：與被稱為“同族二次函數(shù)”，若和是同族二次函數(shù)，則二次函數(shù)的開口方向和最值為（ ）
A．開口向上，最小值為2018B．開口向下，最大值為2018
C．開口向上，最小值為2019D．開口向下，最大值為2019
5．（2024·湖北·模擬預(yù)測）如圖，已知開口向下的拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)，對稱軸為直線x=2．則下列結(jié)論正確的有（ ）
①；②；③方程的兩個(gè)根為；④拋物線上有兩點(diǎn)Px1,y1和Qx2,y2，若且，則
A．5個(gè)B．4個(gè)C．3個(gè)D．2個(gè)
6．（2024·湖北·模擬預(yù)測）已知關(guān)于的二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，隨的增大而減?。耶?dāng)時(shí)，有最大值2．則的值為（ ）
A．B．1C．?1D．
7．（2024·浙江·模擬預(yù)測）如圖是拋物線的部分圖象，其頂點(diǎn)為M，與y軸交于點(diǎn)0,3，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A，連接，．以下結(jié)論：①拋物線經(jīng)過點(diǎn)?2,3；②；③；④當(dāng)時(shí)，．其中正確的是（ ）（填序號）
A．①④B．①③④C．①②④D．①②③
8．（2024·天津·模擬預(yù)測）利用長為的墻和長的籬笆來圍成一個(gè)矩形苗圃園，若平行于墻的一邊長不小于，有下列結(jié)論：
（1）垂直于墻的一邊長可以為15；
（2）矩形苗圃園的最小面積是，最大面積是；
（3）垂直于墻的一邊長有兩個(gè)不同的值滿足矩形苗圃園面積為．
其中正確的個(gè)數(shù)有（ ）個(gè)．
A．0B．1C．2D．3
9．（2024·山西·模擬預(yù)測）已知，若關(guān)于的方程的解為，關(guān)于的方程的解為，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．
C．D．
10．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）如圖，根據(jù)坐標(biāo)系中所繪制的圖象及相關(guān)數(shù)據(jù)可知該拋物線的解析式為（ ）
A．B．
C．D．
二、填空題
11．（2024·上海·模擬預(yù)測）請寫出一個(gè)二次函數(shù)，符合頂點(diǎn)在第二象限，對稱軸左側(cè)上升，交y軸于正半軸
12．（2024·山西·模擬預(yù)測）實(shí)驗(yàn)中學(xué)某物理興趣小組的同學(xué)們設(shè)計(jì)了一個(gè)飲水機(jī)模型，其電路連接示意圖如圖甲所示，經(jīng)過對工作電路進(jìn)行研究：將變阻器R的滑片從一端滑到另一端，保持固定電阻不變，繪制出變阻器R消耗的電功率P隨電流I變化的關(guān)系圖象（如圖乙）．該圖象是經(jīng)過原點(diǎn)的一條拋物線的一部分，則變阻器R消耗的電功率P最大為 W．
13．（2024·廣東·模擬預(yù)測）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示．有下列結(jié)論．①；②；③；④；⑤．其中，正確結(jié)論的是 ．
14．（2024·廣東·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線 交軸于點(diǎn) ，，交軸于點(diǎn) ，作平行四邊形，邊交拋物線于點(diǎn)，連接，若的面積是，則的值為 ．
15．（2024·廣東·模擬預(yù)測）已知二次函數(shù) （）的圖象過 ，四個(gè)點(diǎn)， 則大小關(guān)系為 ．
16．（2024·湖北·模擬預(yù)測）拋物線，對稱軸為．下列說法：①一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；②對任意的實(shí)數(shù)m，不等式恒成立；③拋物線經(jīng)過點(diǎn)；④若，且，則．正確的有 （填序號）．
17．（2024·上?！つM預(yù)測）若是關(guān)于的方程的兩實(shí)數(shù)根，Aa,0，則之間距離的最小值為 ．
18．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）如圖，，，繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到．，垂足為E，點(diǎn)M在線段上，垂足為N，O為中點(diǎn)，當(dāng)取得最大值時(shí)，面積的最大值為 ．
三、解答題
19．（2024·北京·模擬預(yù)測）已知均為正整數(shù)，交軸于，兩點(diǎn)，其中至原點(diǎn)的距離均小于1．
(1)比較： 0； 0
(2)求的最小值，并給出一組符合要求的
20．（2024·河北·模擬預(yù)測）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與軸交于點(diǎn)C，且．
(1)求二次函數(shù)的解析式．
(2)平移該二次函數(shù)的圖象，使平移后的二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，若當(dāng)時(shí)函數(shù)的最大值為7，求的值．
21．（2024·廣東·模擬預(yù)測）科學(xué)研究表明：一般情況下，在一節(jié)的課堂中，學(xué)生的注意力隨教師講課的時(shí)間變化而變化．經(jīng)過實(shí)驗(yàn)分析，在時(shí)，學(xué)生的注意力呈直線上升，學(xué)生的注意力指數(shù)y與時(shí)間滿足關(guān)系；以后，學(xué)生的注意力指數(shù)y與時(shí)間的圖象呈拋物線形，到第時(shí)學(xué)生的注意力指數(shù)y達(dá)到最大值92，而后學(xué)生的注意力開始分散，直至下課結(jié)束．
(1)當(dāng)時(shí)，注意力指數(shù)y為 ，8min以后，學(xué)生的注意力指數(shù)y與時(shí)間x(min)的函數(shù)關(guān)系式是 ；
(2)若學(xué)生的注意力指數(shù)不低于80，稱為“理想聽課狀態(tài)”，則在一節(jié)的課中學(xué)生處于“理想聽課狀態(tài)”所持續(xù)的時(shí)間有多長（精確到）？
(3)現(xiàn)有一道數(shù)學(xué)壓軸題，教師必須持續(xù)講解，為了使效果更好，要求學(xué)生的注意力指數(shù)在這內(nèi)的最低值達(dá)到最大，則該教師上課后從第幾分鐘開始講解這道題(精確到；參考數(shù)據(jù))？
22．（2024·浙江·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)二次函數(shù)．
(1)若a為整數(shù)，二次函數(shù)圖象過點(diǎn)（其中n是正整數(shù)），求拋物線的對稱軸．
(2)若，為拋物線上兩個(gè)不同的點(diǎn)．
①當(dāng)時(shí)，，求a的值．
②若對于，都有，求a的取值范圍．
23．（2024·河北·模擬預(yù)測）某同學(xué)將廣場上不斷變換的燈光秀抽象為線段和拋物線，并將其一部分描畫在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)B的坐標(biāo)為，拋物線經(jīng)過點(diǎn)A．

(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)，并判斷點(diǎn)B是否在該拋物線上；
(2)若線段以每秒2個(gè)單位長度的速度向下平移，設(shè)平移的時(shí)間為t秒．
當(dāng)線段平移到點(diǎn)B落在拋物線上時(shí)，求t的值；
若拋物線同時(shí)以每秒3個(gè)單位長度的速度向下平移，拋物線在y軸及其右側(cè)的部分與所在的直線總有兩個(gè)公共點(diǎn)，直接寫出t的取值范圍．
24．（2024·山東·模擬預(yù)測）某服裝店購進(jìn)一批襯衣，成本價(jià)每件元，若售價(jià)為元，則每月能售出件．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，售價(jià)每增長一元，則銷量將減少件．
(1)求出月銷售利潤（元）與售價(jià)（元/件）之間的函數(shù)關(guān)系式．
(2)試問：當(dāng)每件襯衣售價(jià)為多少元時(shí)，服裝店所獲月利潤最大，并求最大利潤為多少？
25．（2024·山西·模擬預(yù)測）綜合與探究
如圖1，拋物線的圖象是一條拋物線，圖象與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C0,?3．
(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖2，連接，點(diǎn)P為直線下方拋物線上的點(diǎn)，過點(diǎn)P作軸交于點(diǎn)M，求的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)如圖3，將拋物線先向右平移1個(gè)單位長度，再向下平移1個(gè)單位長度得到新的拋物線，在的對稱軸上有一點(diǎn)D，坐標(biāo)平面內(nèi)有一點(diǎn)E，使得以點(diǎn)B，C，D，E為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，請直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)．
26．（2024·山西·模擬預(yù)測）項(xiàng)目式學(xué)習(xí)
項(xiàng)目主題：合理設(shè)計(jì) 智慧泉源
項(xiàng)目背景：灑水車是城市綠化的生力軍，清掃道路，美化市容，降溫除塵，方便出行．
如圖1，一輛灑水車正在沿著公路行駛（平行于綠化帶），為綠化帶澆水．?dāng)?shù)學(xué)小組成員想了解灑水車要如何把控行駛路線與綠化帶之間的距離，才能保證噴出的水能澆灌到整個(gè)綠化帶．圍繞這個(gè)問題，該小組開展了“合理設(shè)計(jì) 智慧泉源”為主題的項(xiàng)目式學(xué)習(xí)．
任務(wù)一 測量建模
建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，可以把灑水車噴出水的上、下邊緣抽象為兩條拋物線的部分圖象，噴水口H離地面豎直高度h為1.2米．上邊緣拋物線最高點(diǎn)A離噴水口的水平距離為2米，高出噴水口0.4米．
（1）求上邊緣拋物線的函數(shù)解析式；
任務(wù)二 推理分析
小組成員通過進(jìn)一步分析發(fā)現(xiàn)：當(dāng)噴頭豎直高度調(diào)整時(shí)，噴頭噴出的水柱拋物線形狀不發(fā)生改變，即下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到的，把綠化帶橫截面抽象為矩形，其水平寬度米，豎直高度米，灑水車到綠化帶的距離OD為d米．
（2）求下邊緣拋物線與x軸交點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（3）若米，則灑水車行駛時(shí)噴出的水能否澆灌到整個(gè)綠化帶？請說明理由．
課標(biāo)要求
考點(diǎn)
考向
1. 會(huì)用描點(diǎn)法畫出二次函數(shù)的圖象，通過圖象了解二次函數(shù)的性質(zhì)；用配方法將數(shù)字系數(shù)的二次函數(shù)的表達(dá)式化為y＝a(x－h(huán))2＋k的形式，并能由此得到二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)，說出圖象的開口方向，畫出圖象的對稱軸，并能解決簡單實(shí)際問題；
2. 會(huì)利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似解．結(jié)合具體情況體會(huì)二次函數(shù)的意義，能根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)的表達(dá)式；會(huì)利用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的表達(dá)式．
3. 通過對實(shí)際問題的分析，體會(huì)二次函數(shù)的意義；會(huì)用配方法將數(shù)字系數(shù)的二次函數(shù)的表達(dá)式化為y＝a(x－h(huán))2＋k的形式，并能由此得到二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)，說出圖象的開口方向，畫出圖象的對稱軸，并能解決實(shí)際問題．
4.能運(yùn)用二次函數(shù)的知識解決綜合型問題.
二次函數(shù)
考向一 二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)
考向二 二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系
考向三 二次函數(shù)的最值
考向四 待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式
考向五 二次函數(shù)圖象的平移
二次函數(shù)的應(yīng)用
考向一 二次函數(shù)與一元二次方程
考向二 二次函數(shù)與不等式
考向三 實(shí)際問題與二次函數(shù)
考點(diǎn)一 二次函數(shù)
解題技巧/易錯(cuò)易混
1．二次函數(shù)的一般形式的結(jié)構(gòu)特征：①函數(shù)的關(guān)系式是整式；②自變量的最高次數(shù)是2；③二次項(xiàng)系數(shù)不等于零．
2．一般式，頂點(diǎn)式，交點(diǎn)式是二次函數(shù)常見的表達(dá)式，它們之間可以互相轉(zhuǎn)化．
3.二次函數(shù)的圖象是一條關(guān)于某條直線對稱的曲線，叫做拋物線，該直線叫做拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn).
4.二次函數(shù)的圖象是一條關(guān)于某條直線對稱的曲線，叫做拋物線，該直線叫做拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn).
解題技巧/易錯(cuò)易混
二次函數(shù)圖象的特征與a，b，c的關(guān)系
字母的符號
圖象的特征
a
a>0
開口向上
a0（a與b同號）
對稱軸在y軸左側(cè)
ab0
與y軸正半軸相交
c0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；
（2）b2–4ac=0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，拋物線與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)；
（3）b2–4ac

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