?考向一 二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)
1．（2024·廣東·中考真題）若點都在二次函數(shù)的圖象上，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征等知識點，根據(jù)二次函數(shù)的解析式得出函數(shù)圖象的對稱軸是y軸（直線），圖象的開口向上，在對稱軸的右側(cè)，y隨x的增大而增大，再比較即可．
【詳解】解∶ 二次函數(shù)的對稱軸為y軸，開口向上，
∴當(dāng)時， y隨x的增大而增大，
∵點都在二次函數(shù)的圖象上，且，
∴，
故選∶A．
2．（2024·西藏·中考真題）如圖，已知二次函數(shù)的圖象與x軸相交于點，，則下列結(jié)論正確的個數(shù)是（ ）
①
②
③對任意實數(shù)m，均成立
④若點，在拋物線上，則
A．1個B．2個C．3個D．4個
【答案】B
【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、根據(jù)二次函數(shù)的圖象判斷式子的符號，由圖象可得：拋物線開口向上，對稱軸在軸左側(cè)，交軸于負(fù)半軸，即可得出，，，從而求出，即可判斷①；根據(jù)二次函數(shù)與軸的交點得出二次函數(shù)的對稱軸為直線，，，計算即可判斷②；根據(jù)當(dāng)時，二次函數(shù)有最小值，即可判斷③；根據(jù)即可判斷④；熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，采用數(shù)形結(jié)合的思想是解此題的關(guān)鍵．
【詳解】解：由圖象可得：拋物線開口向上，對稱軸在軸左側(cè)，交軸于負(fù)半軸，
∴，，，
∴，
∴，故①正確；
∵二次函數(shù)的圖象與x軸相交于點，，
∴二次函數(shù)的對稱軸為直線，，，
由得：，
∵，
∴，
∴，即，故②錯誤；
當(dāng)時，二次函數(shù)有最小值，
由圖象可得，對任意實數(shù)m，，
∴對任意實數(shù)m，均成立，故③正確；
∵點，在拋物線上，且，
∴，故④錯誤；
綜上所述，正確的有①③，共個，
故選：B．
3．（2024·四川·中考真題）二次函數(shù)的圖象如圖所示，給出下列結(jié)論：①；②；③當(dāng)時，．其中所有正確結(jié)論的序號是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【答案】D
【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，圖象與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握二次函數(shù)圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)圖象與軸交點在軸負(fù)半軸，可得，故①正確；根據(jù)圖象可得二次函數(shù)的對稱軸為，由于對稱軸為，可得，故②正確；當(dāng)時，二次函數(shù)圖象位于軸下方，即當(dāng)，所對應(yīng)的，故③正確．
【詳解】解：① 當(dāng)時，，根據(jù)圖象可知，二次函數(shù)的圖象與軸交點在軸負(fù)半軸，即，故①正確，符合題意；
②根據(jù)圖象可知，二次函數(shù)的對稱軸是直線，即，故②正確，符合題意；
③根據(jù)圖象可知，當(dāng)時，圖象位于軸下方，即當(dāng)，所對應(yīng)的，故③正確，符合題意；
綜上所述，①②③結(jié)論正確，符合題意．
故選：D．
4．（2024·福建·中考真題）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過，兩點，則下列判斷正確的是（ ）
A．可以找到一個實數(shù)，使得B．無論實數(shù)取什么值，都有
C．可以找到一個實數(shù)，使得D．無論實數(shù)取什么值，都有
【答案】C
【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)題意得到二次函數(shù)開口向上，且對稱軸為，頂點坐標(biāo)為，再分情況討論，當(dāng)時，當(dāng)時，， 的大小情況，即可解題．
【詳解】解：二次函數(shù)解析式為，
二次函數(shù)開口向上，且對稱軸為，頂點坐標(biāo)為，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
，
當(dāng)時，，
，
故A、B錯誤，不符合題意；
當(dāng)時，，
由二次函數(shù)對稱性可知，，
當(dāng)時，，由二次函數(shù)對稱性可知，，不一定大于，
故C正確符合題意；D錯誤，不符合題意；
故選：C．
5．（2024·新疆·中考真題）如圖，拋物線與y軸交于點A，與x軸交于點B，線段CD在拋物線的對稱軸上移動（點C在點D下方），且．當(dāng)?shù)闹底钚r，點C的坐標(biāo)為 ．

【答案】
【分析】在y軸上取點，證明四邊形是平行四邊形，得出，利用拋物線的對稱性得出，則，當(dāng)E、C、F三點共線時，最小，利用待定系數(shù)法求出直線解析式，然后把代入，即可求出C的坐標(biāo)．
【詳解】解：，
∴對稱軸為，
如圖，設(shè)拋物線與x軸另一個交點為F，

當(dāng)時，，
∴，
當(dāng)時，，
解得，，
∴，，
在y軸上取點，連接，，，
∴，
∵，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
∵拋物線對稱軸為，
∴，
∴，
當(dāng)E、C、F三點共線時，最小，
設(shè)直線解析式為，
∴，
解得，
∴，
當(dāng)時，，
∴當(dāng)最小時，C的坐標(biāo)為，
故答案為：．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，兩點之間線段最短等知識，明確題意，添加合適輔助線，構(gòu)造平行四邊形是解題的關(guān)鍵．
6．（2024·上?！ぶ锌颊骖}）對于一個二次函數(shù)（）中存在一點，使得，則稱為該拋物線的“開口大小”，那么拋物線“開口大小”為 ．
【答案】4
【分析】本題考查新定義運算與二次函數(shù)綜合，涉及二次函數(shù)性質(zhì)、分式化簡求值等知識，讀懂題意，理解新定義拋物線的“開口大小”，利用二次函數(shù)圖象與性質(zhì)將一般式化為頂點式得到，按照定義求解即可得到答案，熟記二次函數(shù)圖象與性質(zhì)、理解新定義是解決問題的關(guān)鍵．
【詳解】解：根據(jù)拋物線的“開口大小”的定義可知中存在一點，使得，則，
，
中存在一點，有，解得，則，
拋物線“開口大小”為，
故答案為：．
7．（2024·安徽·中考真題）已知拋物線（b為常數(shù)）的頂點橫坐標(biāo)比拋物線的頂點橫坐標(biāo)大1．
(1)求b的值；
(2)點在拋物線上，點在拋物線上．
（ⅰ）若，且，，求h的值；
（ⅱ）若，求h的最大值．
【答案】(1)b=4
(2)（ⅰ）3；（ⅱ）
【分析】題目主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)及化為頂點式，解一元二次方程，理解題意，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
（1）根據(jù)題意求出的頂點為，確定拋物線（b為常數(shù)）的頂點橫坐標(biāo)為2，即可求解；
（2）根據(jù)題意得出， ，然后整理化簡；（?。⒋肭蠼饧纯?；（ⅱ）將代入整理為頂點式，即可得出結(jié)果．
【詳解】（1）解：，
∴的頂點為，
∵拋物線（b為常數(shù)）的頂點橫坐標(biāo)比拋物線的頂點橫坐標(biāo)大1，
∴拋物線（b為常數(shù)）的頂點橫坐標(biāo)為2，
∴，
∴b=4；
（2）由（1）得
∵點Ax1,y1在拋物線上，點在拋物線上．
∴， ，
整理得：
（?。?，
∴，
整理得：，
∵，，
∴，
∴；
（ⅱ）將代入，
整理得，
∵，
∴當(dāng)，即時，h取得最大值為．
?考向二 二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系
8．（2024·湖北·中考真題）拋物線的頂點為，拋物線與軸的交點位于軸上方．以下結(jié)論正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)圖像與系數(shù)的關(guān)系．根據(jù)二次函數(shù)的解析式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，畫出草圖，逐一分析即可得出結(jié)論．
【詳解】解：根據(jù)題意畫出函數(shù)的圖像，如圖所示：
∵開口向上，與軸的交點位于軸上方，
∴，，
∵拋物線與軸有兩個交點，
∴，
∵拋物線的頂點為，
∴，
觀察四個選項，選項C符合題意，
故選：C．
9．（2024·陜西·中考真題）已知一個二次函數(shù)的自變量x與函數(shù)y的幾組對應(yīng)值如下表，
則下列關(guān)于這個二次函數(shù)的結(jié)論正確的是（ ）
A．圖象的開口向上B．當(dāng)時，y的值隨x的值增大而增大
C．圖象經(jīng)過第二、三、四象限D(zhuǎn)．圖象的對稱軸是直線
【答案】D
【分析】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)．先利用待定系數(shù)法求得二次函數(shù)解析式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可．
【詳解】解：由題意得，解得，
∴二次函數(shù)的解析式為，
∵，
∴圖象的開口向下，故選項A不符合題意；
圖象的對稱軸是直線，故選項D符合題意；
當(dāng)時，y的值隨x的值增大而增大，當(dāng)x>1時，y的值隨x的值增大而減小，故選項B不符合題意；
∵頂點坐標(biāo)為且經(jīng)過原點，圖象的開口向下，
∴圖象經(jīng)過第一、三、四象限，故選項C不符合題意；
故選：D．
10．（2024·四川廣元·中考真題）如圖，已知拋物線過點與x軸交點的橫坐標(biāo)分別為，，且，，則下列結(jié)論：
①；
②方程有兩個不相等的實數(shù)根；
③；
④；
⑤．其中正確的結(jié)論有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【答案】C
【分析】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練的利用數(shù)形結(jié)合的方法解題是關(guān)鍵；由當(dāng)時，，可判斷①，由函數(shù)的最小值，可判斷②，由拋物線的對稱軸為直線，且，可判斷③，由時，，當(dāng)時，，可判斷④，由根與系數(shù)的關(guān)系可判斷⑤；
【詳解】解：①拋物線開口向上，，，
∴當(dāng)時，，故①不符合題意；
②∵拋物線過點，
∴函數(shù)的最小值，
∴有兩個不相等的實數(shù)根；
∴方程有兩個不相等的實數(shù)根；故②符合題意；
③∵，，
∴拋物線的對稱軸為直線，且，
∴，而，
∴，
∴，故③不符合題意；
④∵拋物線過點，
∴，
∵x=?1時，，
即，
當(dāng)時，，
∴，
∴，
∴，故④符合題意；
⑤∵，，
∴，
由根與系數(shù)的關(guān)系可得：，，
∴
∴，
∴，故⑤符合題意；
故選：C．
?考向三 二次函數(shù)的最值
11．（2024·山東日照·中考真題）已知二次函數(shù)圖象的一部分如圖所示，該函數(shù)圖象經(jīng)過點，對稱軸為直線．對于下列結(jié)論：①；②；③多項式可因式分解為；④當(dāng)時，關(guān)于的方程無實數(shù)根．其中正確的個數(shù)有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【答案】C
【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值問題，熟練掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．①根據(jù)圖像分別判斷，，的符號即可；②將點代入函數(shù)即可得到答案；③根據(jù)題意可得該函數(shù)與軸的另一個交點的橫坐標(biāo)為5，即可得到；④由，得到，，將代入函數(shù)得，從而推出當(dāng)時，該拋物線與直線的圖象無交點，即可判斷．
【詳解】解：由題圖可知，，
，故①正確；
當(dāng)時，，即，故②正確；
二次函數(shù)與軸的一個交點的橫坐標(biāo)為，對稱軸為直線，
二次函數(shù)與軸的另一個交點的橫坐標(biāo)為5，
多項式，故③錯誤；
當(dāng)時，有最大值，即，
當(dāng)時，拋物線與直線的圖象無交點，
即關(guān)于x的方程無實數(shù)根，故④正確．
綜上，①②④正確．
故選：C．
12．（2024·四川眉山·中考真題）定義運算：，例如，則函數(shù)的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本題考查二次函數(shù)求最值，根據(jù)新定義，得到二次函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求最值即可．
【詳解】解：由題意得，，
即，
當(dāng)時，函數(shù)的最小值為．
故選：B．
13．（2024·四川樂山·中考真題）已知二次函數(shù)，當(dāng)時，函數(shù)取得最大值；當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，則t的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)的最值等知識．熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
由，可知圖象開口向上，對稱軸為直線，頂點坐標(biāo)為，當(dāng)時，，即關(guān)于對稱軸對稱的點坐標(biāo)為，由當(dāng)時，函數(shù)取得最大值；當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，可得，計算求解，然后作答即可．
【詳解】解：∵，
∴圖象開口向上，對稱軸為直線，頂點坐標(biāo)為，
當(dāng)時，，
∴關(guān)于對稱軸對稱的點坐標(biāo)為，
∵當(dāng)時，函數(shù)取得最大值；當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，
∴，
解得，，
故選：C．
14．（2024·四川·中考真題）在完成勞動課布置的“青稞生長狀態(tài)觀察”的實踐作業(yè)時，需要測量青稞穗長．同學(xué)們查閱資料得知：由于受儀器精度和觀察誤差影響，n次測量會得到n個數(shù)據(jù)，，…，，如果a與各個測量數(shù)據(jù)的差的平方和最小，就將a作為測量結(jié)果的最佳近似值．若5名同學(xué)對某株青稞的穗長測量得到的數(shù)據(jù)分別是：5.9，6.0，6.0，6.3，6.3（單位：），則這株青稞穗長的最佳近似值為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)題意，這些青稞穗的最佳近似長度可以取使函數(shù)為最小值的的值，整理上式，并求出青稞穗長的最佳近似長度．
【詳解】解：由題意，a與各個測量數(shù)據(jù)的差的平方和
，
時，有最小值，
青稞穗長的最佳近似長度為．
故答案為：．
15．（2024·廣西·中考真題）課堂上，數(shù)學(xué)老師組織同學(xué)們圍繞關(guān)于x的二次函數(shù)的最值問題展開探究．
【經(jīng)典回顧】二次函數(shù)求最值的方法．
（1）老師給出，求二次函數(shù)的最小值．
①請你寫出對應(yīng)的函數(shù)解析式；
②求當(dāng)x取何值時，函數(shù)y有最小值，并寫出此時的y值；
【舉一反三】老師給出更多a的值，同學(xué)們即求出對應(yīng)的函數(shù)在x取何值時，y的最小值．記錄結(jié)果，并整理成下表：
注：*為②的計算結(jié)果．
【探究發(fā)現(xiàn)】老師：“請同學(xué)們結(jié)合學(xué)過的函數(shù)知識，觀察表格，談?wù)勀愕陌l(fā)現(xiàn)．”
甲同學(xué)：“我發(fā)現(xiàn)，老師給了a值后，我們只要取，就能得到y(tǒng)的最小值．”
乙同學(xué)：“我發(fā)現(xiàn)，y的最小值隨a值的變化而變化，當(dāng)a由小變大時，y的最小值先增大后減小，所以我猜想y的最小值中存在最大值．”
（2）請結(jié)合函數(shù)解析式，解釋甲同學(xué)的說法是否合理？
（3）你認(rèn)為乙同學(xué)的猜想是否正確？若正確，請求出此最大值；若不正確，說明理由．
【答案】（1）①；②當(dāng)時，有最小值為（2）見解析（3）正確，
【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵：
（1）①把代入解析式，寫出函數(shù)解析式即可；②將一般式轉(zhuǎn)化為頂點式，進(jìn)行求解即可；
（2）將一般式轉(zhuǎn)化為頂點式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解釋即可；
（3）將一般式轉(zhuǎn)化為頂點式，表示出的最大值，再利用二次函數(shù)求最值即可．
【詳解】解：（1）①把代入，得：
；
∴；
②∵，
∴當(dāng)時，有最小值為；
（2）∵，
∵拋物線的開口向上，
∴當(dāng)時，有最小值；
∴甲的說法合理；
（3）正確；
∵，
∴當(dāng)時，有最小值為，
即：，
∴當(dāng)時，有最大值，為．
?考向四 待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式
16．（2024·貴州·中考真題）如圖，二次函數(shù)的部分圖象與x軸的一個交點的橫坐標(biāo)是，頂點坐標(biāo)為，則下列說法正確的是（ ）

A．二次函數(shù)圖象的對稱軸是直線
B．二次函數(shù)圖象與x軸的另一個交點的橫坐標(biāo)是2
C．當(dāng)時，y隨x的增大而減小
D．二次函數(shù)圖象與y軸的交點的縱坐標(biāo)是3
【答案】D
【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，對稱性，增減性判斷選項A、B、C，利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式，再求出與y軸的交點坐標(biāo)即可判定選項D．
【詳解】解∶ ∵二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)為，
∴二次函數(shù)圖象的對稱軸是直線，故選項A錯誤；
∵二次函數(shù)的圖象與x軸的一個交點的橫坐標(biāo)是，對稱軸是直線，
∴二次函數(shù)圖象與x軸的另一個交點的橫坐標(biāo)是1，故選項B錯誤；
∵拋物線開口向下， 對稱軸是直線，
∴當(dāng)時，y隨x的增大而增大，故選項C錯誤；
設(shè)二次函數(shù)解析式為，
把代入，得，
解得，
∴，
當(dāng)時，，
∴二次函數(shù)圖象與y軸的交點的縱坐標(biāo)是3，故選項D正確，
故選D．
17．（2024·遼寧·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與與相交于點，，點的坐標(biāo)為，若點在拋物線上，則的長為 ．

【答案】
【分析】本題主要考查了待定系數(shù)求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練求解二次函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．先利用待定系數(shù)法求得拋物線，再令，得，解得x=?1或，從而即可得解．
【詳解】解：把點，點代入拋物線得，
，
解得，
∴拋物線，
令，得，
解得x=?1或，
∴，
∴；
故答案為：．
18．（2024·西藏·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于，兩點，與y軸交于C點，設(shè)拋物線的對稱軸為直線l．
(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖（甲），設(shè)點C關(guān)于直線l的對稱點為點D，在直線l上是否存在一點P，使有最大值？若存在，求出的最大值；若不存在，請說明理由；
(3)如圖（乙），設(shè)點M為拋物線上一點，連接，過點M作交直線l于點N．若，求點M的坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)存在最大值；最大值為
(3)點M的坐標(biāo)為或或或
【分析】（1）把，代入拋物線求出a、b的值，即可得出拋物線的解析式；
（2）先求出點C的坐標(biāo)為0,3，連接、、，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得出，，得出當(dāng)最大時，最大，根據(jù)當(dāng)點A、C、P三點在同一直線上時，最大，即當(dāng)點P在點時，最大，求出最大值即可；
（3）過點M作軸，過點C作于點D，過點N作于點E，設(shè)點M的坐標(biāo)為：，得出，，證明，得出，從而得出，分四種情況：當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，分別求出點M的坐標(biāo)即可．
【詳解】（1）解：把，代入得：
，
解得：，
∴拋物線的解析式為：；
（2）解：存在最大值；
把代入得：，
∴點C的坐標(biāo)為0,3，
∵，
∴拋物線的對稱軸為直線，
連接、、，如圖所示：
∵點C關(guān)于直線l的對稱點為點D，點P在直線l上，
∴，
∴，
∴當(dāng)最大時，最大，
∴當(dāng)點A、C、P三點在同一直線上時，最大，即當(dāng)點P在點時，最大，
∴最大值為：．
（3）解：過點M作軸，過點C作于點D，過點N作于點E，如圖所示：
∵，
∴，
∴，
設(shè)點M的坐標(biāo)為：，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
當(dāng)時，，，則：
，
解得：，（舍去），
此時點M坐標(biāo)為：；
當(dāng)時，，，則：
，
解得：（舍去），
此時點M坐標(biāo)為：；
當(dāng)時，，，則：
，
解得：，（舍去），
此時點M坐標(biāo)為：；
當(dāng)時，，，則：
，
解得：，（舍去），
此時點M坐標(biāo)為：；
綜上分析可知：點M坐標(biāo)為：或或或．
【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，求二次函數(shù)解析式，軸對稱的性質(zhì)，兩點間距離公式，解直角三角形的相關(guān)計算，解一元二次方程，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，熟練掌握相關(guān)的判定和性質(zhì)，注意進(jìn)行分類討論．
19．（2024·湖北·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于點和點B，與y軸交于點C．
(1)求b的值；
(2)如圖，M是第一象限拋物線上的點，，求點M的橫坐標(biāo)；
(3)將此拋物線沿水平方向平移，得到的新拋物線記為L，L與y軸交于點N．設(shè)L的頂點橫坐標(biāo)為n，的長為d．
①求d關(guān)于n的函數(shù)解析式；
②L與x軸圍成的區(qū)域記為U，U與內(nèi)部重合的區(qū)域（不含邊界）記為W．當(dāng)d隨n的增大而增大，且W內(nèi)恰好有兩個橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點時，直接寫出n的取值范圍．
【答案】(1)
(2)點M的橫坐標(biāo)為
(3)①；②或
【分析】（1）用待定系數(shù)法求解即可；
（2）設(shè)，作軸于點，構(gòu)造直角三角形，利用銳角三角函數(shù)或者相似建立關(guān)于的方程求解即可；
（3）①由二次函數(shù)平移可得出圖象的解析式為，從而得到，再分類討論去絕對值即可；
②根據(jù)題干條件得出整數(shù)點，，，再分別兩兩進(jìn)行分類討論，建立二次函數(shù)不等式即可解決．
【詳解】（1）解：二次函數(shù)與軸交于，
，
解得：；
（2），
二次函數(shù)表達(dá)式為：，
令，解得或，令得，
，，，
設(shè)，
作軸于點，如圖，
，
，即，
解得或（舍去），
的橫坐標(biāo)為；
（3）①將二次函數(shù)沿水平方向平移，
縱坐標(biāo)不變?yōu)?，
圖象的解析式為，
，
，
；
②由①得，畫出大致圖象如下，
隨著增加而增加，
或，
中含，，三個整點（不含邊界），
當(dāng)內(nèi)恰有2個整數(shù)點，時，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
，
，或，
，
或，
；
當(dāng)內(nèi)恰有2個整數(shù)點，時，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
，
或，，
，
或，
；
當(dāng)內(nèi)恰有2個整數(shù)點，時，此種情況不存在，舍去．
綜上所述，的取值范圍為或．
【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，包括用待定系數(shù)法求二次函數(shù)表達(dá)式及二次函數(shù)與線段交點的問題，也考查了二次函數(shù)與不等式，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及數(shù)形結(jié)合法是解題關(guān)鍵．
20．（2024·吉林·中考真題）小明利用一次函數(shù)和二次函數(shù)知識，設(shè)計了一個計算程序，其程序框圖如圖（1）所示，輸入x的值為時，輸出y的值為1；輸入x的值為2時，輸出y的值為3；輸入x的值為3時，輸出y的值為6．
(1)直接寫出k，a，b的值．
(2)小明在平面直角坐標(biāo)系中畫出了關(guān)于x的函數(shù)圖像，如圖（2）．
Ⅰ．當(dāng)y隨x的增大而增大時，求x的取值范圍．
Ⅱ．若關(guān)于x的方程（t為實數(shù)），在時無解，求t的取值范圍．
Ⅲ．若在函數(shù)圖像上有點P，Q（P與Q不重合）．P的橫坐標(biāo)為m，Q的橫坐標(biāo)為．小明對P，Q之間（含P，Q兩點）的圖像進(jìn)行研究，當(dāng)圖像對應(yīng)函數(shù)的最大值與最小值均不隨m的變化而變化，直接寫出m的取值范圍．
【答案】(1)
(2)Ⅰ：或；Ⅱ：或；Ⅲ：或
【分析】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，一元二次方程的解，正確理解題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想是解決本題的額關(guān)鍵．
（1）先確定輸入x值的范圍，確定好之后將x，y的值代入所給的y關(guān)于x的函數(shù)解析式種解方程或方程組即可；
（2）Ⅰ：可知一次函數(shù)解析式為：，二次函數(shù)解析式為：，當(dāng)時，，對稱為直線，開口向上，故時，y隨著x的增大而增大；當(dāng)時，，，故時，y隨著x的增大而增大；
Ⅱ：問題轉(zhuǎn)化為拋物線與直線在時無交點，考慮兩個臨界狀態(tài)，當(dāng)時，拋物線與直線在時正好一個交點，因此當(dāng)時，拋物線與直線在時沒有交點；當(dāng)，，故當(dāng)時，拋物線與直線在時正好一個交點，因此當(dāng)時，拋物線與直線在時沒有交點，當(dāng)或時，拋物線與直線在時沒有交點，即方程無解；
Ⅲ： 可求點P、Q關(guān)于直線對稱，當(dāng)，，當(dāng)時，，當(dāng)圖像對應(yīng)函數(shù)的最大值與最小值均不隨m的變化而變化，而當(dāng)時，，時，，故①當(dāng)，由題意得：，則；②當(dāng)，由題意得：，則，綜上：或．
【詳解】（1）解：∵，
∴將，代入，
得：，
解得：，
∵，
∴將，代入
得：，
解得：；
（2）解：Ⅰ，∵，
∴一次函數(shù)解析式為：，二次函數(shù)解析式為：
當(dāng)時，，對稱為直線，開口向上，
∴時，y隨著x的增大而增大；
當(dāng)時，，，
∴時，y隨著x的增大而增大，
綜上，x的取值范圍：或；
Ⅱ，∵，
∴，在時無解，
∴問題轉(zhuǎn)化為拋物線與直線在時無交點，
∵對于，當(dāng)時，
∴頂點為，如圖：
∴當(dāng)時，拋物線與直線在時正好一個交點，
∴當(dāng)時，拋物線與直線在時沒有交點；
當(dāng)，，
∴當(dāng)時，拋物線與直線在時正好一個交點，
∴當(dāng)時，拋物線與直線在時沒有交點，
∴當(dāng)或時，拋物線與直線在時沒有交點，
即：當(dāng)或時，關(guān)于x的方程（t為實數(shù)），在時無解；
Ⅲ：∵，
∴，
∴點P、Q關(guān)于直線對稱，
當(dāng)，，當(dāng)時，，
∵當(dāng)圖像對應(yīng)函數(shù)的最大值與最小值均不隨m的變化而變化，而當(dāng)時，，時，，
∴①當(dāng)，如圖：
由題意得：，
∴；
②當(dāng)，如圖：
由題意得：，
∴，
綜上：或．
?考向五 二次函數(shù)圖象的平移
21．（2024·江蘇南通·中考真題）將拋物線向右平移3個單位后得到新拋物線的頂點坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象的平移，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．根據(jù)平移規(guī)律，上加下減，左加右減，可得頂點式解析式．
【詳解】解∶ 拋物線向右平移3個單位后得到新拋物為，
∴新拋物線的頂點坐標(biāo)為，
故選∶D．
22．（2024·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）將拋物線向下平移2個單位后，所得新拋物線的頂點式為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的平移以及頂點式，根據(jù)平移的規(guī)律“上加下減．左加右減”可得出平移后的拋物線為，再把化為頂點式即可．
【詳解】解：拋物線向下平移2個單位后，
則拋物線變?yōu)椋?br>∴化成頂點式則為 ，
故選：A．
23．（2024·江蘇連云港·中考真題）已知拋物線（a、b、c是常數(shù)，）的頂點為．小燁同學(xué)得出以下結(jié)論：①；②當(dāng)時，隨的增大而減??；③若的一個根為3，則；④拋物線是由拋物線向左平移1個單位，再向下平移2個單位得到的．其中一定正確的是（ ）
A．①②B．②③C．③④D．②④
【答案】B
【分析】根據(jù)拋物線的頂點公式可得，結(jié)合，，由此可判斷①；由二次函數(shù)的增減性可判斷②；用a表示b、c的值，再解方程即可判斷③，由平移法則即可判斷④．
【詳解】解：根據(jù)題意可得：，
，
，
即，
，
，
的值可正也可負(fù)，
不能確定的正負(fù)；故①錯誤；
，
拋物線開口向下，且關(guān)于直線對稱，
當(dāng)時，隨的增大而減??；故②正確；
，
拋物線為，
，
，故③正確；
拋物線，
將向左平移1個單位得：，
拋物線是由拋物線向左平移1個單位得到的，故④錯誤；
正確的有②③，
故選：B．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的平移，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)與一元二次方程，一元二次方程的解的定義，用a表示b、c的值是本題的關(guān)鍵．
24．（2024·內(nèi)蒙古·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點．
(1)若，則_________，通過配方可以將其化成頂點式為_________；
(2)已知點在拋物線上，其中．若且，比較與的大小關(guān)系，并說明理由；
(3)若，將拋物線向上平移4個單位得到的新拋物線與直線交于A，B兩點，直線與y軸交于點C，點E為中點，過點E作x軸的垂線，垂足為點F，連接，．求證：．
【答案】(1)2，
(2)，理由見解析
(3)證明見解析
【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、二次函數(shù)圖象的平移、兩點之間的距離公式等知識，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
（1）將點代入二次函數(shù)的解析式即可得的值，再利用完全平方公式進(jìn)行配方，化成頂點式即可得；
（2）先求出，從而可得拋物線的對稱軸，再求出，得出點到對稱軸的距離大于到對稱軸的距離，然后根據(jù)拋物線的開口向上即可得；
（3）先分別求出點的坐標(biāo)，再利用兩點之間的距離公式即可得證．
【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過點，且，
∴將點代入得：，
解得，
則化成頂點式為，
故答案為：2，．
（2）解：，理由如下：
∵拋物線經(jīng)過點，
∴，
∵，
∴，即，
二次函數(shù)的對稱軸為直線，
，
∴，
∴，
又∵，
∴點到對稱軸的距離大于到對稱軸的距離，
又∵拋物線的開口向上，
∴．
（3）證明：若，則，
將向上平移4個單位得到新拋物線，
∵拋物線與直線交于點，
∴設(shè)點的坐標(biāo)為，
將代入得：，
∴，
∵點為中點，
∴，
軸于點，
，
∴，
，
∴．
25．（2024·上?！ぶ锌颊骖}）在平面直角坐標(biāo)系中，已知平移拋物線后得到的新拋物線經(jīng)過和．
(1)求平移后新拋物線的表達(dá)式；
(2)直線（）與新拋物線交于點P，與原拋物線交于點Q．
①如果小于3，求m的取值范圍；
②記點P在原拋物線上的對應(yīng)點為，如果四邊形有一組對邊平行，求點P的坐標(biāo)．
【答案】(1)或；
(2)①；②．
【分析】（1）設(shè)平移拋物線后得到的新拋物線為，把和代入可得答案；
（2）①如圖，設(shè)，則，，結(jié)合小于3，可得，結(jié)合，從而可得答案；②先確定平移方式為，向右平移2個單位，向下平移3個單位，由題意可得：在的右邊，當(dāng)時，可得，結(jié)合平移的性質(zhì)可得答案如圖，當(dāng)時，則，過作于，證明，可得，設(shè)，則，，，再建立方程求解即可.
【詳解】（1）解：設(shè)平移拋物線后得到的新拋物線為，
把和代入可得：
，
解得：，
∴新拋物線為；
（2）解：①如圖，設(shè)，則，
∴，
∵小于3，
∴，
∴，
∵，
∴；
②∵，
∴平移方式為，向右平移2個單位，向下平移3個單位，
由題意可得：在的右邊，當(dāng)時，
∴軸，
∴，
∴，
由平移的性質(zhì)可得：，即；
如圖，當(dāng)時，則，
過作于，
∴，
∴，
∴，
設(shè)，則，，，
∴，
解得：（不符合題意舍去）；
綜上：；
【點睛】本題屬于二次函數(shù)的綜合題，拋物線的平移，利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì) ，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練的利用數(shù)形結(jié)合的方法解題是關(guān)鍵.
26．（2024·山東·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，點在二次函數(shù)的圖像上，記該二次函數(shù)圖像的對稱軸為直線．
(1)求的值；
(2)若點在的圖像上，將該二次函數(shù)的圖像向上平移5個單位長度，得到新的二次函數(shù)的圖像．當(dāng)時，求新的二次函數(shù)的最大值與最小值的和；
(3)設(shè)的圖像與軸交點為，．若，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)新的二次函數(shù)的最大值與最小值的和為；
(3)
【分析】（1）把點代入可得，再利用拋物線的對稱軸公式可得答案；
（2）把點代入，可得：，可得拋物線為，將該二次函數(shù)的圖像向上平移5個單位長度，得到新的二次函數(shù)為：，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案；
（3）由根與系數(shù)的關(guān)系可得，，結(jié)合，，再建立不等式組求解即可.
【詳解】（1）解：∵點在二次函數(shù)的圖像上，
∴，
解得：，
∴拋物線為：，
∴拋物線的對稱軸為直線，
∴；
（2）解：∵點在的圖像上，
∴，
解得：，
∴拋物線為，
將該二次函數(shù)的圖像向上平移5個單位長度，得到新的二次函數(shù)為：
，
∵，
∴當(dāng)時，函數(shù)有最小值為，
當(dāng)時，函數(shù)有最大值為
∴新的二次函數(shù)的最大值與最小值的和為；
（3）∵的圖像與軸交點為，．
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴即，
解得：.
【點睛】本題屬于二次函數(shù)的綜合題，利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟練的利用各知識點建立方程或不等式組解題是關(guān)鍵.
?考向一 二次函數(shù)與一元二次方程
27．（2024·內(nèi)蒙古·中考真題）下列說法中，正確的個數(shù)有（ ）
①二次函數(shù)的圖象經(jīng)過兩點，m，n是關(guān)于x的元二次方程的兩個實數(shù)根，且，則恒成立．
②在半徑為r的中，弦互相垂直于點P，當(dāng)時，則．
③為平面直角坐標(biāo)系中的等腰直角三角形且，點A的坐標(biāo)為，點B的坐標(biāo)為，點C是反比例函數(shù)的圖象上一點，則．
④已知矩形的一組鄰邊長是關(guān)于x的一元二次方程的兩個實數(shù)根，且矩形的周長值與面積值相等，則矩形的對角線長是．
A．1個B．2個C．3個D．4個
【答案】C
【分析】利用二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系及二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可判斷①；過點O作，垂足分別為M，N，連接，先證明四邊形是矩形，再利用勾股定理，垂徑定理求解即可判斷②；先證明，進(jìn)而得出點C的坐標(biāo)，即可求解，進(jìn)而判斷③；先由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得出的值，再根據(jù)題意得出一元二次方程，求出a的值，進(jìn)而求解即可判斷④．
【詳解】∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過兩點，
∴當(dāng)時，，
∵m，n是關(guān)于x的元二次方程的兩個實數(shù)根，且，
∴，故①正確；
如圖，過點O作，垂足分別為M，N，連接，
∴M、N分別為的中點，，
∵弦互相垂直，
∴四邊形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴，故②正確；
當(dāng)點C在第一象限時，過點C作于點D，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵點A的坐標(biāo)為1,0，點B的坐標(biāo)為，
∴，
∴，
∴
∵點C是反比例函數(shù)的圖象上一點，
∴；
當(dāng)點C在第二象限時，同理可得
∴；
綜上，或，故③錯誤；
設(shè)矩形兩邊分別為m，n，
∵矩形的一組鄰邊長是關(guān)于x的一元二次方程的兩個實數(shù)根，且矩形的周長值與面積值相等，
∴，
∴，
解得（負(fù)舍），
∴，
∵矩形對角線，故④正確；
綜上，正確的個數(shù)有3個，
故選：C．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，勾股定理，垂徑定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，反比例函數(shù)的解析式，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系等，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．
28．（2024·山東泰安·中考真題）如圖所示是二次函數(shù)的部分圖象，該函數(shù)圖象的對稱軸是直線，圖象與軸交點的縱坐標(biāo)是2，則下列結(jié)論：①；②方程一定有一個根在和之間；③方程一定有兩個不相等的實數(shù)根；④．其中，正確結(jié)論的個數(shù)有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【答案】B
【分析】本題主要考查的是圖象法求一元二次方程的近似值、拋物線與x軸的交點、二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系、二次函數(shù)與方程的關(guān)系等知識點，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)拋物線與坐標(biāo)軸的交點情況、二次函數(shù)與方程的關(guān)系、二次函數(shù)的性質(zhì)逐個判斷即可．
【詳解】解：∵拋物線的對稱軸為直線，
∴，
∴,
∴，故①正確；
∵拋物線的對稱軸為直線，與x軸的一個交點在2、3之間，
∴與x軸的另一個交點在、0之間，
∴方程一定有一個根在和0之間，故②錯誤；
∵拋物線與直線有兩個交點，
∴方程一定有兩個不相等的實數(shù)根，故③正確；
∵拋物線與x軸的另一個交點在，0之間，
∴，
∵圖象與y軸交點的縱坐標(biāo)是2，
∴，
∴，
∴．故④錯誤．
綜上，①③正確，共2個．
故選：B．
29．（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于A、B兩點，，與y軸交點C的縱坐標(biāo)在～之間，根據(jù)圖象判斷以下結(jié)論：①；②；③若且，則；④直線與拋物線的一個交點，則．其中正確的結(jié)論是（ ）
A．①②④B．①③④C．①②③D．①②③④
【答案】A
【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)和一元二次方程的關(guān)系，掌握二次函數(shù)和一元二次方程的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，
根據(jù)題意得到拋物線的解析式為，即可得到，，代入即可判斷①；根據(jù)判斷②；把代入，然后利用因式分解法解方程即可判斷③；然后把，代入解方程求出m的值判斷④．
【詳解】解：設(shè)拋物線的解析式為：，
∴，，
∴，故①正確；
∵點C的縱坐標(biāo)在～之間，
∴，即，
∴，故②正確；
∵，
∴，即，
∴，
又∵，
∴，故③錯誤；
∵令相等，則
∴，解得（舍），，
∴，故④正確；
故選A．
30．（2024·吉林長春·中考真題）若拋物線（是常數(shù)）與軸沒有交點，則的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了拋物線與x軸的交點問題，掌握拋物線與x軸沒有交點與沒有實數(shù)根是解題的關(guān)鍵．
由拋物線與x軸沒有交點，運用根的判別式列出關(guān)于c的一元一次不等式求解即可．
【詳解】解：∵拋物線與x軸沒有交點，
∴沒有實數(shù)根，
∴，．
故答案為：．
?考向二 二次函數(shù)與不等式
31．（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于，，其中．結(jié)合圖象給出下列結(jié)論：

①；②；
③當(dāng)x>1時，隨的增大而減??；
④關(guān)于的一元二次方程的另一個根是；
⑤的取值范圍為．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)判斷結(jié)論①②③正誤；由二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系判斷結(jié)論④；利用結(jié)論④及題中條件可求得的取值范圍，再由結(jié)論②可得取值范圍，判斷⑤是否正確．
【詳解】解：由圖可得：，對稱軸，
，
，①錯誤；
由圖得，圖象經(jīng)過點，將代入y=ax2+bx+c可得，
，②正確；
該函數(shù)圖象與軸的另一個交點為，且，
對稱軸，
該圖象中，當(dāng)時，隨著的增大而減小，當(dāng)時，隨著的增大而增大，
當(dāng)x>1時，隨著的增大而減小，
③正確；
，，
關(guān)于的一元二次方程的根為，
，
，，
④正確；
，即，
解得，
即，
，
，
⑤正確．
綜上，②③④⑤正確，共個．
故選：．
【點睛】本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、拋物線與軸的交點問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、二次函數(shù)與不等式的關(guān)系等知識，解題關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)．
?考向三 實際問題與二次函數(shù)
32．（2024·山東濟(jì)南·中考真題）如圖1，是等邊三角形，點在邊上，，動點以每秒1個單位長度的速度從點出發(fā)，沿折線勻速運動，到達(dá)點后停止，連接．設(shè)點的運動時間為，為．當(dāng)動點沿勻速運動到點時，與的函數(shù)圖象如圖2所示．有以下四個結(jié)論：
①；
②當(dāng)時，；
③當(dāng)時，；
④動點沿勻速運動時，兩個時刻，分別對應(yīng)和，若，則．其中正確結(jié)論的序號是（ ）
A．①②③ B．①② C．③④ D．①②④

【答案】D
【分析】由圖知當(dāng)動點沿勻速運動到點時，，作于點，利用解直角三角形和勾股定理，即可得到，即可判斷①，當(dāng)時，證明是等邊三角形，即可判斷②，當(dāng)時，且時，最小，求出最小值即可判斷③，利用勾股定理分別表示出和進(jìn)行比較，即可判斷④．
【詳解】解：由圖知當(dāng)動點沿勻速運動到點時，，
作于點，
是等邊三角形，點在邊上，，
，，
，，
，
，
故①正確；
當(dāng)時，，，
，
是等邊三角形，
，
，
故②正確；
當(dāng)時，且時，最小，
，，
，
最小為，即能取到，
故③錯誤；
動點沿勻速運動時，
，，
，，，
；
當(dāng)時，，，
；
，
；
故④正確；
綜上所述，正確的有①②④，
故選：D．
【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合，等邊三角形性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，涉及到動點問題、讀懂函數(shù)圖象、正確理解題意，利用數(shù)形結(jié)合求解是解本題的關(guān)鍵．
33．（2024·天津·中考真題）從地面豎直向上拋出一小球，小球的高度（單位：）與小球的運動時間（單位：）之間的關(guān)系式是．有下列結(jié)論：
①小球從拋出到落地需要；
②小球運動中的高度可以是；
③小球運動時的高度小于運動時的高度．
其中，正確結(jié)論的個數(shù)是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】本題考查二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，令解方程即可判斷①；配方成頂點式即可判斷②；把和代入計算即可判斷③．
【詳解】解：令，則，解得：，，
∴小球從拋出到落地需要，故①正確；
∵，
∴最大高度為，
∴小球運動中的高度可以是，故②正確；
當(dāng)時，；當(dāng)時，；
∴小球運動時的高度大于運動時的高度，故③錯誤；
故選C．
34．（2024·廣西·中考真題）如圖，壯壯同學(xué)投擲實心球，出手（點P處）的高度是，出手后實心球沿一段拋物線運行，到達(dá)最高點時，水平距離是，高度是．若實心球落地點為M，則 ．
【答案】
【分析】本題考查的是二次函數(shù)的實際應(yīng)用，設(shè)拋物線為，把點，代入即可求出解析式；當(dāng)時，求得x的值，即為實心球被推出的水平距離．
【詳解】解：以點O為坐標(biāo)原點，射線方向為x軸正半軸，射線方向為y軸正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，
∵出手后實心球沿一段拋物線運行，到達(dá)最高點時，水平距離是，高度是．
設(shè)拋物線解析式為：，
把點代入得：，
解得：，
∴拋物線解析式為：；
當(dāng)時，，
解得，（舍去），，
即此次實心球被推出的水平距離為．
故答案為：
35．（2024·甘肅·中考真題）如圖1為一汽車停車棚，其棚頂?shù)臋M截面可以看作是拋物線的一部分，如圖2是棚頂?shù)呢Q直高度y（單位：）與距離停車棚支柱的水平距離x（單位：）近似滿足函數(shù)關(guān)系的圖象，點在圖象上．若一輛箱式貨車需在停車棚下避雨，貨車截面看作長，高的矩形，則可判定貨車 完全停到車棚內(nèi)（填“能”或“不能”）．
【答案】能
【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的實際應(yīng)用，根據(jù)題意求出當(dāng)時，y的值，若此時y的值大于，則貨車能完全停到車棚內(nèi)，反之，不能，據(jù)此求解即可．
【詳解】解：∵，，
∴，
在中，當(dāng)時，，
∵，
∴可判定貨車能完全停到車棚內(nèi)，
故答案為：能．
36．（2024·湖北·中考真題）如圖，某校勞動實踐基地用總長為80m的柵欄，圍成一塊一邊靠墻的矩形實驗田，墻長為42m．柵欄在安裝過程中不重疊、無損耗，設(shè)矩形實驗田與墻垂直的一邊長為x(單位：m)，與墻平行的一邊長為y(單位：m)，面積為S(單位：)．
(1)直接寫出y與x，S與x之間的函數(shù)解析式(不要求寫x的取值范圍)；
(2)矩形實驗田的面積S能達(dá)到嗎？如果能，求x的值；如果不能，請說明理由．
(3)當(dāng)x的值是多少時，矩形實驗田的面積S最大？最大面積是多少？
【答案】(1)，
(2)
(3)當(dāng)時，實驗田的面積S最大，最大面積是
【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，二次函數(shù)的實際應(yīng)用，計算的取值范圍是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)，求出與的函數(shù)解析式，根據(jù)矩形面積公式求出與的函數(shù)解析式；
（2）先求出的取值范圍，再將代入函數(shù)中，求出的值；
（3）將與的函數(shù)配成頂點式，求出的最大值．
【詳解】（1）解：，
，
，
；
（2），
，
，
，
當(dāng)時，，
，
，
，
當(dāng)時，矩形實驗田的面積能達(dá)到；
（3），
當(dāng)時，有最大值．
37．（2024·青?！ぶ锌颊骖}）在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，有一斜坡，從點O處拋出一個小球，落到點處．小球在空中所經(jīng)過的路線是拋物線的一部分．
(1)求拋物線的解析式；
(2)求拋物線最高點的坐標(biāo)；
(3)斜坡上點B處有一棵樹，點B是的三等分點，小球恰好越過樹的頂端C，求這棵樹的高度．
【答案】(1)
(2)
(3)這棵樹的高為2
【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，其中涉及到待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)頂點坐標(biāo)的求解方法，相似三角形的判定和性質(zhì)，難度適中利用數(shù)形結(jié)合與方程思想是解題的關(guān)鍵．
（1）利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）配成頂點式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；
（3）過點A、B分別作x軸的垂線，證明，利用相似三角形的性質(zhì)求得，，據(jù)此求解即可．
【詳解】（1）解：∵點是拋物線上的一點，
把點代入中，得：，
解得，
∴拋物線的解析式為；
（2）解：由（1）得：，
∴拋物線最高點對坐標(biāo)為；
（3）解：過點A、B分別作x軸的垂線，垂足分別是點E、D，
∵，，
∴，
∴，
又∵點B是的三等分點，
∴，
∵，
∴，，
∴，
解得，
∴，
解得，
∴點C的橫坐標(biāo)為1，
將代入中，，
∴點C的坐標(biāo)為，
∴，
∴，
答：這棵樹的高為2．
38．（2024·廣東·中考真題）廣東省全力實施“百縣千鎮(zhèn)萬村高質(zhì)量發(fā)展工程”，2023年農(nóng)產(chǎn)品進(jìn)出口總額居全國首位，其中荔枝鮮果遠(yuǎn)銷歐美．某果商以每噸2萬元的價格收購早熟荔枝，銷往國外．若按每噸5萬元出售，平均每天可售出100噸．市場調(diào)查反映：如果每噸降價1萬元，每天銷售量相應(yīng)增加50噸．該果商如何定價才能使每天的“利潤”或“銷售收入”最大？并求出其最大值．（題中“元”為人民幣）
【答案】當(dāng)定價為4.5萬元每噸時，利潤最大，最大值為312.5萬元
【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的實際應(yīng)用，設(shè)每噸降價x萬元，每天的利潤為w萬元，根據(jù)利潤每噸的利潤銷售量列出w關(guān)于x的二次函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．
【詳解】解：設(shè)每噸降價x萬元，每天的利潤為w萬元，
由題意得，
，
∵，
∴當(dāng)時，w有最大值，最大值為，
∴，
答：當(dāng)定價為萬元每噸時，利潤最大，最大值為萬元．
39．（2024·天津·中考真題）將一個平行四邊形紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，點O0,0，點，點在第一象限，且．
(1)填空：如圖①，點的坐標(biāo)為______，點的坐標(biāo)為______；
(2)若為軸的正半軸上一動點，過點作直線軸，沿直線折疊該紙片，折疊后點的對應(yīng)點落在軸的正半軸上，點的對應(yīng)點為．設(shè)．
①如圖②，若直線與邊相交于點，當(dāng)折疊后四邊形與重疊部分為五邊形時，與相交于點．試用含有的式子表示線段的長，并直接寫出的取值范圍；
②設(shè)折疊后重疊部分的面積為，當(dāng)時，求的取值范圍（直接寫出結(jié)果即可）．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得出結(jié)合勾股定理，即可作答．
（2）①由折疊得，，再證明是等邊三角形，運用線段的和差關(guān)系列式化簡，，考慮當(dāng)與點重合時，和當(dāng)與點B重合時，分別作圖，得出的取值范圍，即可作答．
②根據(jù)①的結(jié)論，根據(jù)解直角三角形的性質(zhì)得出，再分別以時，時，，分別作圖，運用數(shù)形結(jié)合思路列式計算，即可作答．
【詳解】（1）解：如圖：過點C作
∵四邊形是平行四邊形，，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
故答案為：，
（2）解：①∵過點作直線軸，沿直線折疊該紙片，折疊后點的對應(yīng)點落在軸的正半軸上，
∴，，
∴
∵
∴
∴
∵四邊形為平行四邊形，
∴，，
∴是等邊三角形
∴
∵
∴
∴；
當(dāng)與點重合時，
此時與的交點為E與A重合，
如圖：當(dāng)與點B重合時，
此時與的交點為E與B重合，
∴的取值范圍為；
②如圖：過點C作
由（1）得出，
∴，
∴
當(dāng)時，
∴，開口向上，對稱軸直線
∴在時，隨著的增大而增大
∴；
當(dāng)時，如圖：
∴，隨著的增大而增大
∴在時；在時；
∴當(dāng)時，
∵當(dāng)時，過點E作，如圖：
∵由①得出是等邊三角形，
∴，
∴，
∴
∵
∴開口向下，在時，有最大值
∴
∴在時，
∴
則在時，；
當(dāng)時，如圖，
∴，隨著的增大而減小
∴在時，則把分別代入
得出，
∴在時，
綜上：
【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，解直角三角形的性質(zhì)，折疊性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．
40．（2024·貴州·中考真題）某超市購入一批進(jìn)價為10元/盒的糖果進(jìn)行銷售，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：銷售單價不低于進(jìn)價時，日銷售量y（盒）與銷售單價x（元）是一次函數(shù)關(guān)系，下表是y與x的幾組對應(yīng)值．
(1)求y與x的函數(shù)表達(dá)式；
(2)糖果銷售單價定為多少元時，所獲日銷售利潤最大，最大利潤是多少？
(3)若超市決定每銷售一盒糖果向兒童福利院贈送一件價值為m元的禮品，贈送禮品后，為確保該種糖果日銷售獲得的最大利潤為392元，求m的值．
【答案】(1)
(2)糖果銷售單價定為25元時，所獲日銷售利潤最大，最大利潤是450元
(3)2
【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：
（1）利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）設(shè)日銷售利潤為w元，根據(jù)利潤=單件利潤×銷售量求出w關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；
（3）設(shè)日銷售利潤為w元，根據(jù)利潤=單件利潤×銷售量-m×銷售量求出w關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．
【詳解】（1）解∶設(shè)y與x的函數(shù)表達(dá)式為，
把，；，代入，得，
解得，
∴y與x的函數(shù)表達(dá)式為；
（2）解：設(shè)日銷售利潤為w元，
根據(jù)題意，得
，
∴當(dāng)時，有最大值為450，
∴糖果銷售單價定為25元時，所獲日銷售利潤最大，最大利潤是450元；
（3）解：設(shè)日銷售利潤為w元，
根據(jù)題意，得
，
∴當(dāng)時，有最大值為，
∵糖果日銷售獲得的最大利潤為392元，
∴，
化簡得
解得，
當(dāng)時，,
則每盒的利潤為：,舍去，
∴m的值為2．
41．（2024·河南·中考真題）從地面豎直向上發(fā)射的物體離地面的高度滿足關(guān)系式，其中是物體運動的時間，是物體被發(fā)射時的速度．社團(tuán)活動時，科學(xué)小組在實驗樓前從地面豎直向上發(fā)射小球．
(1)小球被發(fā)射后_________時離地面的高度最大（用含的式子表示）．
(2)若小球離地面的最大高度為，求小球被發(fā)射時的速度．
(3)按（2）中的速度發(fā)射小球，小球離地面的高度有兩次與實驗樓的高度相同．小明說：“這兩次間隔的時間為．”已知實驗樓高，請判斷他的說法是否正確，并說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)小明的說法不正確，理由見解析
【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：
（1）把函數(shù)解析式化成頂點式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；
（2）把，代入求解即可；
（3）由（2），得，把代入，求出t的值，即可作出判斷.
【詳解】（1）解：
，
∴當(dāng)時，h最大，
故答案為：；
（2）解：根據(jù)題意，得
當(dāng)時，，
∴，
∴（負(fù)值舍去）；
（3）解：小明的說法不正確．
理由如下：
由（2），得，
當(dāng)時，，
解方程，得，，
∴兩次間隔的時間為，
∴小明的說法不正確．
42．（2024·新疆·中考真題）某公司銷售一批產(chǎn)品，經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，當(dāng)銷售量在0.4噸至3.5噸之間時，銷售額（萬元）與銷售量x（噸）的函數(shù)解析式為；成本（萬元）與銷售量x（噸）的函數(shù)圖象是如圖所示的拋物線的一部分，其中是其頂點．
(1)求出成本關(guān)于銷售量x的函數(shù)解析式；
(2)當(dāng)成本最低時，銷售產(chǎn)品所獲利潤是多少？
(3)當(dāng)銷售量是多少噸時，可獲得最大利潤？最大利潤是多少？（注：利潤=銷售額成本）
【答案】(1)
(2)銷售產(chǎn)品所獲利潤是萬元；
(3)當(dāng)銷售量噸時，獲得最大利潤，最大利潤為：萬元；
【分析】（1）設(shè)拋物線為：，再利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）先求解當(dāng)時，成本的最小值為，再計算銷售額，從而可得答案；
（3）設(shè)銷售利潤為萬元，可得，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)解題即可；
【詳解】（1）解：∵成本（萬元）與銷售量x（噸）的函數(shù)圖象是如圖所示的拋物線的一部分，其中是其頂點．
∴設(shè)拋物線為：，
把代入可得：，
解得：，
∴拋物線為；
（2）解：∵，
∴當(dāng)時，成本最小值為，
∴，
∴銷售產(chǎn)品所獲利潤是（萬元）；
（3）解：設(shè)銷售利潤為萬元，
∴
，
當(dāng)時，獲得最大利潤，
最大利潤為：（萬元）；
【點睛】本題考查的是二次函數(shù)的實際應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法的含義，熟練的建立二次函數(shù)的關(guān)系式是解本題的關(guān)鍵．
43．（2024·陜西·中考真題）一條河上橫跨著一座宏偉壯觀的懸索橋．橋梁的纜索與纜索均呈拋物線型，橋塔與橋塔均垂直于橋面，如圖所示，以O(shè)為原點，以直線為x軸，以橋塔所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．

已知：纜索所在拋物線與纜索所在拋物線關(guān)于y軸對稱，橋塔與橋塔之間的距離，，纜索的最低點P到的距離（橋塔的粗細(xì)忽略不計）
(1)求纜索所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)點E在纜索上，，且，，求的長．
【答案】(1)；
(2)的長為．
【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，根據(jù)題意求得函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)題意設(shè)纜索所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，把代入求解即可；
（2）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得到纜索所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，由，把代入求得，，據(jù)此求解即可．
【詳解】（1）解：由題意得頂點P的坐標(biāo)為，點A的坐標(biāo)為，
設(shè)纜索所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，
把代入得，
解得，
∴纜索所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式為；
（2）解：∵纜索所在拋物線與纜索所在拋物線關(guān)于y軸對稱，
∴纜索所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，
∵，
∴把代入得，，
解得，，
∴或，
∵，
∴的長為．
44．（2024·山西·中考真題）大棚經(jīng)濟(jì)“金鑰匙”，激活鄉(xiāng)村產(chǎn)業(yè)振興新引擎．劉叔叔計劃在自家菜地修建一個蔬菜大棚，圖是其橫截面的示意圖，其中，為兩段垂直于地面的墻體，兩段墻體之間的水平距離為米，大棚的頂部用拋物線形鋁合金骨架作支撐．已知骨架的一端固定在離地面米的墻體處，另一端固定在墻體處，骨架最高點到墻體的水平距離為米，且點離地面的高度為米．

數(shù)學(xué)建模
（1）在圖中，以為原點，水平直線為軸，所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系．設(shè)大棚頂部骨架上某處離地面的高度為（米），該處離墻體的水平距離為（米），求與之間的函數(shù)關(guān)系式；
問題解決
（2）為了大棚頂部更加穩(wěn)固，劉叔叔計劃在棚頂安裝“丁”字形鋁合金支架，如圖2所示，支架可以看成是由線段，組成，其中點，在頂棚拋物線形骨架上，于點．為不影響耕作，將點E到地面的距離定為米．
點的坐標(biāo)為______，的長為______；
請你計算做一個“丁”字形支架所需鋁合金材料的最大長度．（結(jié)果精確到米．參考數(shù)據(jù)：）
【答案】（）；（），；米．
【分析】（）根據(jù)題意得，拋物線的頂點的坐標(biāo)為，設(shè)與之間的函數(shù)關(guān)系式為，然后用待定系數(shù)法即可求解；
（）當(dāng)時，，解得：即可求出，再用兩點之間的距離公式求出；
②過點作于點，過點作于點，交于點，求出所在直線的函數(shù)表達(dá)式，設(shè)點的橫坐標(biāo)為，則，當(dāng)時，最大，再根據(jù)，得出，最后根據(jù)線段和差即可求解；
本題考查了二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握知識點的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：（）根據(jù)題意得，拋物線的頂點的坐標(biāo)為，
設(shè)與之間的函數(shù)關(guān)系式為，
由題意得，點的坐標(biāo)為，
將代入，
得，解，得，
，
即與之間的函數(shù)關(guān)系式為，
（）由（）得，
當(dāng)時，，解得：或（舍去），
∴，
∵，
∴，
故答案為：，；
②過點作于點，過點作于點，交于點，

設(shè)所在直線的函數(shù)表達(dá)式為，
將分別代入，
得解，得，
∴所在直線的函數(shù)表達(dá)式為，
設(shè)點的橫坐標(biāo)為，
點在拋物線的圖象上，
，，
，
，且，
有最大值，當(dāng)時，最大，
軸，
，
又，，，
，
，
當(dāng)時，有最大值，
當(dāng)時，有最大值，
此時，米．
∴需要鋁合金材料的最大長度約為米．
45．（2024·江西·中考真題）如圖，一小球從斜坡O點以一定的方向彈出球的飛行路線可以用二次函數(shù)刻畫，斜坡可以用一次函數(shù)刻畫，小球飛行的水平距離x（米）與小球飛行的高度y（米）的變化規(guī)律如下表：
(1)①______，______；
②小球的落點是A，求點A的坐標(biāo)．
(2)小球飛行高度y（米）與飛行時間t（秒）滿足關(guān)系．
①小球飛行的最大高度為______米；
②求v的值．
【答案】(1)①3，6；②；
(2)①8，②
【分析】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用以及從圖象和表格中獲取數(shù)據(jù)，
（1）①由拋物線的頂點坐標(biāo)為可建立過于a，b的二元一次方程組，求出a，b的值即可；②聯(lián)立兩函數(shù)解析式求解，可求出交點A的坐標(biāo)；
（2）①根據(jù)第一問可知最大高度為8米；
②將小球飛行高度與飛行時間的函數(shù)關(guān)系式化簡為頂點式即可求得v值．
【詳解】（1）解：①根據(jù)小球飛行的水平距離x（米）與小球飛行的高度y（米）的變化規(guī)律表可知：拋物線頂點坐標(biāo)為，
∴，
解得：，
∴二次函數(shù)解析式為，
當(dāng)時，，
解得：或（舍去），
∴，
當(dāng)時，，
故答案為：3，6．
②聯(lián)立得：，
解得：或 ，
∴點A的坐標(biāo)是，
（2）①由題干可知小球飛行最大高度為8米，
故答案為：8；
②，
則，
解得（負(fù)值舍去）．
一、單選題
1．（2024·上?！つM預(yù)測）下列關(guān)于函數(shù)的說法正確的是（ ）
A．任何函數(shù)都與x軸有交點B．一次函數(shù)，二次函數(shù)都與y軸有交點
C．反比例函數(shù)與y軸的交點為（0，0）D．原點不在坐標(biāo)軸上
【答案】B
【分析】本題考查了正比例函數(shù)與一次函數(shù)，二次函數(shù)，反比例函數(shù)的定義，正確把握它們的區(qū)別與聯(lián)系是解題的關(guān)鍵．
直接利用一次函數(shù)，二次函數(shù)，反比例函數(shù)的定義判斷即可．
【詳解】解：A、任何函數(shù)都不一定與x軸有交點，原說法不正確，故此選項不符合題意．
B、一次函數(shù)，二次函數(shù)都與y軸有交點，原說法正確，故此選項符合題意．
C、反比例函數(shù)與y軸不會有交點，原說法不正確，故此選項不符合題意．
D、原點是坐標(biāo)軸上的點，原說法不正確，故此選項不符合題意．
故選：B．
2．（2024·廣東·模擬預(yù)測）關(guān)于二次函數(shù) ，以下說法錯誤的是（ ）
A．開口向上B．對稱軸為直線
C．有最小值D．與y軸交點為
【答案】B
【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)逐一進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：，
∴拋物線的開口向上，對稱軸為直線，當(dāng)時，函數(shù)值最小為，當(dāng)時，，
∴拋物線與y軸交點為；
故只有選項B錯誤；
故選B．
3．（2024·河南·三模）如圖所示，在邊長為1的正方形中，點P是邊上不與端點重合的一動點，連接、過點P作交正方形外角的平分線于點Q，則有關(guān)面積的說法正確的為（ ）．
A．有最大值為B．有最小值為C．有最大值為D．有最小值為
【答案】C
【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、二次函數(shù)的應(yīng)用等知識點，求出面積的解析式成為解題的關(guān)鍵．
如圖：連接，過P作交于G，過Q作于K，先證明可得，再證，進(jìn)而得到，設(shè)，則，進(jìn)而得到，最后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值即可解答．
【詳解】解：如圖：連接，過P作交于G，過Q作于K，
∵四邊形為正方形；
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵正方形外角的平分線，
∴，
∴，
∵
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
設(shè)，則，
∴，
∴當(dāng)時，即時，面積有最大值．
故選C．
4．（2024·上?！つM預(yù)測）新定義：與被稱為“同族二次函數(shù)”，若和是同族二次函數(shù)，則二次函數(shù)的開口方向和最值為（ ）
A．開口向上，最小值為2018B．開口向下，最大值為2018
C．開口向上，最小值為2019D．開口向下，最大值為2019
【答案】C
【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．根據(jù)“同族二次函數(shù)”的定義可求出a，b的值，即可求解．
【詳解】解：∵，
∴，
∵和是同族二次函數(shù)，
∴，
解得：，
∴二次函數(shù)，
∴二次函數(shù)的開口方向向上，有最小值2019．
故選：C
5．（2024·湖北·模擬預(yù)測）如圖，已知開口向下的拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點，對稱軸為直線x=2．則下列結(jié)論正確的有（ ）
①；②；③方程的兩個根為；④拋物線上有兩點Px1,y1和Qx2,y2，若且，則
A．5個B．4個C．3個D．2個
【答案】D
【分析】根據(jù)拋物線開口方向，對稱軸位置，拋物線與軸交點位置判斷①；由拋物線的對稱性可判斷②；由二次函數(shù)與方程的關(guān)系，以及根與系數(shù)的關(guān)系可判斷③；由二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷④．本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)與方程的關(guān)系．
【詳解】解：拋物線開口向下，
，
拋物線交軸于正半軸，
，
，
，
，故①正確；
拋物線對稱軸為直線，時，，
時，，
，故②正確；
由可得方程的解，，
拋物線與軸交于點，對稱軸為直線，
拋物線與軸另一個交點為，
方程的兩個根為，6，
，，
，
而若方程的兩個根為，，
則，，故③錯誤；
拋物線開口向下，對稱軸為直線，
若且，
則點到對稱軸的距離小于到直線的距離，
，故④錯誤．
故選：D．
6．（2024·湖北·模擬預(yù)測）已知關(guān)于的二次函數(shù)，當(dāng)時，隨的增大而減?。耶?dāng)時，有最大值2．則的值為（ ）
A．B．1C．?1D．
【答案】B
【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，先求出對稱軸，根據(jù)增減性確定的符號，再根據(jù)最值求出的值即可．
【詳解】解：∵，
∴對稱軸為直線，
∵當(dāng)時，隨的增大而減小，
∴拋物線的開口向上，
∴，拋物線上的點離對稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越大，
∵，，
∴當(dāng)時，有最大值為，
解得：或（舍去）；
故選B．
7．（2024·浙江·模擬預(yù)測）如圖是拋物線的部分圖象，其頂點為M，與y軸交于點0,3，與x軸的一個交點為A，連接，．以下結(jié)論：①拋物線經(jīng)過點?2,3；②；③；④當(dāng)時，．其中正確的是（ ）（填序號）
A．①④B．①③④C．①②④D．①②③
【答案】A
【分析】本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，根據(jù)題目找出拋物線的解析式是解題的關(guān)鍵，再利用其性質(zhì)求解．
根據(jù)拋物線與y軸交于點，可以求得m的值，從而可以判斷②是否正確；然后將代入求得的函數(shù)解析式，即可判斷①是否正確；然后令，求出x的值，即可得到點A的坐標(biāo)，再根據(jù)拋物線解析式可以得到點M的坐標(biāo)，從而可以求得的面積，從而可以判斷③是否正確；再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可判斷④是否正確．
【詳解】解：∵拋物線與y軸交于點，
∴，得，故②錯誤；
∴拋物線，
當(dāng)時，，
即拋物線過點，故①正確；
當(dāng)時，，
解得，，
∴點A的坐標(biāo)為，
∴，
∵拋物線，頂點為M，
∴點M的坐標(biāo)為，
∴，故③錯誤；
∵拋物線與x軸的交點為，
∴當(dāng)時，，
∴當(dāng)時，，故④正確；
綜上：正確的有①④，
故選：A．
8．（2024·天津·模擬預(yù)測）利用長為的墻和長的籬笆來圍成一個矩形苗圃園，若平行于墻的一邊長不小于，有下列結(jié)論：
（1）垂直于墻的一邊長可以為15；
（2）矩形苗圃園的最小面積是，最大面積是；
（3）垂直于墻的一邊長有兩個不同的值滿足矩形苗圃園面積為．
其中正確的個數(shù)有（ ）個．
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，建立二次函數(shù)模型，并熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)．
設(shè)垂直于墻一邊的長度為，則平行于墻的一邊長度為，根據(jù)平行于墻的一邊長不小于，得出x的取值范圍為，從而判斷（1）正確；令苗圃的面積為y，根據(jù)矩形的面積長乘以寬列出函數(shù)解析式，由函數(shù)的性質(zhì)求出最值可以判斷（2）；令，解方程求出x，再根據(jù)x的取值范圍可以判斷（3）．
【詳解】解：設(shè)垂直于墻一邊的長度為，則平行于墻的一邊長度為，
由題意知，
解得，
∴垂直于墻的一邊長可以為15，故（1）正確，符合題意；
令苗圃的面積為y，
則，
∵，
∴當(dāng)時，y隨x的增大而減小，
當(dāng)時，y取得最大值，最大值為，
當(dāng)時，y取得最小值，最小值為，故（2）錯誤，不符合題意；
當(dāng)苗圃的面積為128時，，
解得，
∵，
∴，
∴垂直于墻的一邊長為時，滿足矩形苗圃園面積為，故（3）錯誤，不符合題意；
故選：B．
9．（2024·山西·模擬預(yù)測）已知，若關(guān)于的方程的解為，關(guān)于的方程的解為，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本題考查了拋物線與一元二次方程的關(guān)系，把，看做是直線與拋物線交點的橫坐標(biāo)，把，看做是直線與拋物線交點的橫坐標(biāo)，畫出對應(yīng)的函數(shù)圖象即可得到答案，正確把一元二次方程的解轉(zhuǎn)換成直線與拋物線交點的橫坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：如圖所示，設(shè)直線與拋物線交于兩點，直線與拋物線交于兩點，
∵，若關(guān)于的方程的解為，關(guān)于的方程的解為，
∴，，，分別是的橫坐標(biāo)，
∴根據(jù)圖象可知：，
故選：．
10．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）如圖，根據(jù)坐標(biāo)系中所繪制的圖象及相關(guān)數(shù)據(jù)可知該拋物線的解析式為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本題考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，交點式：是常數(shù)，，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合．
求出，設(shè)其解析式為交點式得到，代入求解即可判斷．
【詳解】解：由圖象可知拋物線開口向上，且與軸的交點為，
根據(jù)圖象夾角為，
∴，
∵對稱軸為，
∴，
∴設(shè)拋物線的解析式為，
將代入可得，
解得，
∴拋物線的解析式為，
故選：C．
二、填空題
11．（2024·上?！つM預(yù)測）請寫出一個二次函數(shù)，符合頂點在第二象限，對稱軸左側(cè)上升，交y軸于正半軸
【答案】（答案不唯一）
【分析】此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是會利用函數(shù)的性質(zhì)確定解析式的各項系數(shù)．
【詳解】解：二次函數(shù)為，
故答案為：．
12．（2024·山西·模擬預(yù)測）實驗中學(xué)某物理興趣小組的同學(xué)們設(shè)計了一個飲水機(jī)模型，其電路連接示意圖如圖甲所示，經(jīng)過對工作電路進(jìn)行研究：將變阻器R的滑片從一端滑到另一端，保持固定電阻不變，繪制出變阻器R消耗的電功率P隨電流I變化的關(guān)系圖象（如圖乙）．該圖象是經(jīng)過原點的一條拋物線的一部分，則變阻器R消耗的電功率P最大為 W．
【答案】220
【分析】本題考查二次函數(shù)的實際應(yīng)用，待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，進(jìn)而利用二次函數(shù)的的性質(zhì)求出最大值即可．
【詳解】解：∵該圖象是經(jīng)過原點的一條拋物線的一部分，過和點
∴拋物線的對稱軸為，
設(shè)拋物線的解析式為，
∴
解得
∴
∵，
∴拋物線有最大值為220，
即變阻器R消耗的電功率P最大為，
故答案為：220
13．（2024·廣東·模擬預(yù)測）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示．有下列結(jié)論．①；②；③；④；⑤．其中，正確結(jié)論的是 ．
【答案】①②③④
【分析】本題考查二次函數(shù)圖象和性質(zhì)．熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．
拋物線有兩個交點，，①正確；拋物線開口、對稱軸和y軸的交點可以判斷出，，，②正確；③利用對稱軸，即，替換掉，把代入函數(shù)，可得；③正確；④把代入后得到，其對應(yīng)的值小于0，故④正確；把代入后相乘可得到，所以⑤錯誤．
【詳解】解：拋物線與x軸有兩個不同的交點，因此，故①正確；
拋物線開口向上，因此，
對稱軸為，a、b異號，因此，
拋物線與y軸交在負(fù)半軸，因此，所以，故②正確；
由圖象可知，當(dāng)時，，又對稱軸，即：，所以，故③正確；
當(dāng)時，，因此④正確；
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以，即，也就是，故⑤錯誤，
綜上所述，正確結(jié)論有：①②③④．
故答案為：①②③④．
14．（2024·廣東·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線 交軸于點 ，，交軸于點 ，作平行四邊形，邊交拋物線于點，連接，若的面積是，則的值為 ．
【答案】
【分析】本題考查二次函數(shù)圖像上點的坐標(biāo)特征，平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；
根據(jù)題意求得對稱軸為的直線，令，則，求得點的坐標(biāo)，進(jìn)而求解點的坐標(biāo)，證明，求得點的坐標(biāo)，代入二次函數(shù)解析式即可求解；
【詳解】解：根據(jù)題意可知對稱軸為：；
令，則，
故，
將代入中，
，
解得：或，
故，
，
，
，
，
將代入，
，
解得：；
故答案為：
15．（2024·廣東·模擬預(yù)測）已知二次函數(shù) （）的圖象過 ，四個點， 則大小關(guān)系為 ．
【答案】
【分析】
本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征．先求函數(shù)對稱軸，則、、、的橫坐標(biāo)離對稱軸越近，則縱坐標(biāo)越小，由此判斷的大?。?br>【詳解】解∵二次函數(shù) ，
∴二次函數(shù)開口向上，對稱軸為直線，
∴各個點到對稱軸的距離越近越小，
∵，且，
∴，
故答案為：．
16．（2024·湖北·模擬預(yù)測）拋物線，對稱軸為．下列說法：①一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根；②對任意的實數(shù)m，不等式恒成立；③拋物線經(jīng)過點；④若，且，則．正確的有 （填序號）．
【答案】①③④
【分析】本題考查二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，二次函數(shù)圖象與x軸的交點等問題，掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．
①根據(jù)二次函數(shù)對稱軸是直線得出并結(jié)合條件得出，然后通過判斷一元二次方程的符號解答即可；②通過分解因式得出，利用 解答；③把代入解答即可；④通過對分解因式得出結(jié)合條件判斷即可．
【詳解】∵中，對稱軸為，
，
，
，
，
一元二次方程中，，
，
，
∴一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，故①正確；

，
，
，故②錯誤；
，
，
把代入 得，
∴拋物線經(jīng)過點，故③正確；
，
，

，
，
，
，故④正確；
∴正確的有①③④，
故答案為：①③④．
17．（2024·上?！つM預(yù)測）若是關(guān)于的方程的兩實數(shù)根，Aa,0，則之間距離的最小值為 ．
【答案】
【分析】本題考查了一元二次方程根和系數(shù)的關(guān)系，兩點間距離公式，根的判別式，完全平方公式，二次函數(shù)的性質(zhì)，利用根和系數(shù)的關(guān)系可得，，進(jìn)而得到，再利用根的判別式可得，得到，最后利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解，掌握一元二次方程根和系數(shù)的關(guān)系及根的判別式是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵是關(guān)于的方程的兩實數(shù)根，
∴，，
∴
∵，
∴，
∵，
∴當(dāng)時，取最小值，最小值為，
∴的最小值為，即之間距離的最小值為，
故答案為：．
18．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）如圖，，，繞點B順時針旋轉(zhuǎn)得到．，垂足為E，點M在線段上，垂足為N，O為中點，當(dāng)取得最大值時，面積的最大值為 ．
【答案】
【分析】由，可知在以為圓心，為直徑的圓上運動，如圖，作于，證明，則，可知當(dāng)取得最大值時，最大，此時重合，，，設(shè)，則，，，由，可知當(dāng)時，最大，計算求解即可．
【詳解】解：∵，
∴在以為圓心，為直徑的圓上運動，如圖，作于，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴當(dāng)取得最大值時，最大，此時重合，，
∴，
設(shè)，則，，
∴，
∵，
∴當(dāng)時，最大為，
故答案為：．
【點睛】本題考查了的圓周角所對的弦為直徑，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，正切，二次函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)的最值等知識．熟練掌握的圓周角所對的弦為直徑，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，正切，二次函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)的最值是解題的關(guān)鍵．
三、解答題
19．（2024·北京·模擬預(yù)測）已知均為正整數(shù)，交軸于，兩點，其中至原點的距離均小于1．
(1)比較： 0； 0
(2)求的最小值，并給出一組符合要求的
【答案】(1)，
(2)最小，分別取、、的值為5、5、1．
【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，與坐標(biāo)軸的交點問題，解題的關(guān)鍵是利用二次函數(shù)的對稱軸及與坐標(biāo)軸的交點的特點進(jìn)行求解；
（1）根據(jù)條件判斷出對稱軸在軸的左邊，再根據(jù)與軸的交點在非負(fù)半軸即可判斷；
（2）設(shè)，．利用根與系數(shù)的關(guān)系、根的判別式得到且①，則②，且．可得③，由③得，故，又因為，分別取、、的最小整數(shù)5、5、1．
【詳解】（1）解：的對稱軸，，
，
，
，
故答案為：，；
（2）解：設(shè)，．．
據(jù)題意得，方程有兩個相異根，都在中，
故當(dāng)時，，則，一元二次方程的兩根且①，
可見②，且．
所以，可得，③
由③得，故，
又因為，分別取、、的最小整數(shù)5、5、1．
經(jīng)檢驗，符合題意，
所以最?。?br>20．（2024·河北·模擬預(yù)測）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于A，B兩點（點A在點B左側(cè)），與軸交于點C，且．
(1)求二次函數(shù)的解析式．
(2)平移該二次函數(shù)的圖象，使平移后的二次函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)為，若當(dāng)時函數(shù)的最大值為7，求的值．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）解∶當(dāng)時，
即，解得，，
∴點A的坐標(biāo)為，點B的坐標(biāo)為．
當(dāng)時，．
∵，
∴，解得，
∴二次函數(shù)的解析式為．
（2）由題意可知， ，
∵將函數(shù)圖象平移后，頂點坐標(biāo)為，
∴平移后的函數(shù)解析式為，
∴平移后的函數(shù)的對稱軸為直線．
當(dāng)，時函數(shù)取得最大值，
即，解得或，均不符合題意，舍去；
當(dāng)，時函數(shù)取得最大值，
即，解得，符合題意．
綜上所述，的值為．
21．（2024·廣東·模擬預(yù)測）科學(xué)研究表明：一般情況下，在一節(jié)的課堂中，學(xué)生的注意力隨教師講課的時間變化而變化．經(jīng)過實驗分析，在時，學(xué)生的注意力呈直線上升，學(xué)生的注意力指數(shù)y與時間滿足關(guān)系；以后，學(xué)生的注意力指數(shù)y與時間的圖象呈拋物線形，到第時學(xué)生的注意力指數(shù)y達(dá)到最大值92，而后學(xué)生的注意力開始分散，直至下課結(jié)束．
(1)當(dāng)時，注意力指數(shù)y為 ，8min以后，學(xué)生的注意力指數(shù)y與時間x(min)的函數(shù)關(guān)系式是 ；
(2)若學(xué)生的注意力指數(shù)不低于80，稱為“理想聽課狀態(tài)”，則在一節(jié)的課中學(xué)生處于“理想聽課狀態(tài)”所持續(xù)的時間有多長（精確到）？
(3)現(xiàn)有一道數(shù)學(xué)壓軸題，教師必須持續(xù)講解，為了使效果更好，要求學(xué)生的注意力指數(shù)在這內(nèi)的最低值達(dá)到最大，則該教師上課后從第幾分鐘開始講解這道題(精確到；參考數(shù)據(jù))？
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)題意把代入，得到，即可解答．根據(jù)頂點式寫出拋物線表達(dá)式，將，代入即可得到解析式；
（2）根據(jù)對兩個函數(shù)列出不等式，求解即可；
（3）設(shè)出未知數(shù)，根據(jù)條件列出方程，解方程即可．
本題考查是二次函數(shù)的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是利用頂點式求出解析式，利用條件列出不等式，求出根據(jù)和當(dāng)時對應(yīng)的函數(shù)值相同求出t的值．
【詳解】（1）解：根據(jù)題意，把代入可得：，
∵以后，學(xué)生的注意力指數(shù)y與時間的圖象呈拋物線形，第時學(xué)生的注意力指數(shù)y達(dá)到最大值92，
∴可設(shè)拋物線的解析式為：，
把代入可得：，
解得：，
∴，
故答案為：84，；
（2）解：由學(xué)生的注意力指數(shù)不低于80，即，
當(dāng)時，由可得：；
當(dāng)時，則，即，
整理得：，解得：，
∴（分鐘），
答：在一節(jié)45分鐘的課中學(xué)生處于“理想聽課狀態(tài)”所持續(xù)的時間約有20分鐘；
（3）解：設(shè)教師上課后從第t分鐘開始講解這道題，
由于，
要使學(xué)生的注意力指數(shù)在這24分鐘內(nèi)的最低值達(dá)到最大，
則當(dāng)和當(dāng)時對應(yīng)的函數(shù)值相同，
即，
整理得：
解得：（不合題意，舍去）
∴
答：教師上課后從第4分鐘開始講解這道題，能使學(xué)生的注意力指數(shù)在這24分鐘內(nèi)的最低值達(dá)到最大．
22．（2024·浙江·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)二次函數(shù)．
(1)若a為整數(shù)，二次函數(shù)圖象過點（其中n是正整數(shù)），求拋物線的對稱軸．
(2)若，為拋物線上兩個不同的點．
①當(dāng)時，，求a的值．
②若對于，都有，求a的取值范圍．
【答案】(1)對稱軸為直線
(2)①；②
【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、二次函數(shù)與一元二次方程、二次函數(shù)的對稱軸公式，
（1）把代入，求得，，從而可得，再代入對稱軸公式求解即可；
（2）①根據(jù)對稱軸為直線，進(jìn)行求解即可；
②根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得，即可求解．
【詳解】（1）解：把代入，得，
解得，，．
∵n是正整數(shù)，a為整數(shù)，
（舍去），．則，
∴對稱軸為直線．
（2）解：①時，，
，Nx2,y2兩點關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，
則對稱軸為直線，
．
②由題意可知，對于任意的，y隨x的增大而增大，
可得，
解得．
23．（2024·河北·模擬預(yù)測）某同學(xué)將廣場上不斷變換的燈光秀抽象為線段和拋物線，并將其一部分描畫在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，已知點B的坐標(biāo)為，拋物線經(jīng)過點A．

(1)求拋物線的解析式及頂點坐標(biāo)，并判斷點B是否在該拋物線上；
(2)若線段以每秒2個單位長度的速度向下平移，設(shè)平移的時間為t秒．
當(dāng)線段平移到點B落在拋物線上時，求t的值；
若拋物線同時以每秒3個單位長度的速度向下平移，拋物線在y軸及其右側(cè)的部分與所在的直線總有兩個公共點，直接寫出t的取值范圍．
【答案】(1)，頂點坐標(biāo)，點B不在拋物線上
(2)；
【分析】本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì)與平移規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
（1）將A代入拋物線，求出k值，即可得到解析式及頂點坐標(biāo)，再將點B的橫坐標(biāo)代入解析式看結(jié)果與點B縱坐標(biāo)是否相等，即可判斷點B是否在拋物線上；
（2）根據(jù)平移的性質(zhì)得到平移后點B的坐標(biāo)為，將其代入拋物線，解方程即可；求出平移后點C的坐標(biāo)為，拋物線的頂點坐標(biāo)為，直線為，找到臨界點，即直線在拋物線頂點（不包含頂點）到過點C（包含點C）之間時，拋物線在y軸及其右側(cè)的部分與所在的直線總有兩個公共點，據(jù)此列方程求解即可．
【詳解】（1）解：將點代入中，得，
解得，
，
，
∴頂點坐標(biāo)為，
將代入，得，
∴點B不在拋物線上；
（2）解：①平移后點B的坐標(biāo)為，
當(dāng)拋物線經(jīng)過點B時，有，
解得；
② 平移后點C的坐標(biāo)為，拋物線的頂點坐標(biāo)為，
直線為，
當(dāng)點C落在直線上時，，
解得：，此時有2個公共點；
當(dāng)頂點落在直線上時，，
解得：，此時有1個公共點．
∴拋物線在y軸及其右側(cè)的部分與所在的直線總有兩個公共點時，t的取值范圍為．
24．（2024·山東·模擬預(yù)測）某服裝店購進(jìn)一批襯衣，成本價每件元，若售價為元，則每月能售出件．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，售價每增長一元，則銷量將減少件．
(1)求出月銷售利潤（元）與售價（元/件）之間的函數(shù)關(guān)系式．
(2)試問：當(dāng)每件襯衣售價為多少元時，服裝店所獲月利潤最大，并求最大利潤為多少？
【答案】(1)
(2)當(dāng)價格為元時，才服裝店所獲月利潤最大，并求最大利潤為元
【分析】本題考查二次函數(shù)在實際生活中的應(yīng)用，確定與之間的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．
（1）按照等量關(guān)系“每月獲得的利潤＝（銷售價格﹣進(jìn)價）×銷售件數(shù)”列出二次函數(shù)；
（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得最值
【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：
，
∴與的函數(shù)關(guān)系式為：；
（2）∵，
又∵，
∴當(dāng)時，有最大值，的最大值為，
答：當(dāng)每件襯衣售價為元時，服裝店所獲月利潤最大，最大利潤為元．
25．（2024·山西·模擬預(yù)測）綜合與探究
如圖1，拋物線的圖象是一條拋物線，圖象與x軸交于點A和點，與y軸交于點C0,?3．
(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖2，連接，點P為直線下方拋物線上的點，過點P作軸交于點M，求的最大值及此時點P的坐標(biāo)；
(3)如圖3，將拋物線先向右平移1個單位長度，再向下平移1個單位長度得到新的拋物線，在的對稱軸上有一點D，坐標(biāo)平面內(nèi)有一點E，使得以點B，C，D，E為頂點的四邊形是矩形，請直接寫出所有滿足條件的點E的坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)，
(3)存在點或或或
【分析】（1）把和C0,?3代入求解即可．
（2）先解得直線的解析式為，設(shè)，，得到的的值，當(dāng)時，最大即可解答．
（3）分情況討論，當(dāng)為矩形一邊時，且點D在x軸的下方；當(dāng)為矩形一邊時，且點D在x軸的上方；當(dāng)為矩形對角線時，分別求解即可．
【詳解】（1）解：把和C0,?3代入，得：
，解得：，
∴拋物線的解析式為；
（2）設(shè)直線的解析式為，把B，C點的坐標(biāo)代入得：
，解得：，
∴直線的解析式為
點P為直線下方拋物線上的點，
設(shè)，
，
，
當(dāng)時，，
；
（3）由題意可得：，
的對稱軸為.
∵，C0,?3，
∴，
如圖3.1：當(dāng)為矩形一邊時，且點D在x軸的下方，過D作軸于點F，
∵D在的對稱軸上，
，
∵，，
∴，
，，即點，
∴點C向右平移2個單位、向下平移2個單位可得到點D，則點B向右平移2個單位、向下平移2個單位可得到點；
如圖3.2：當(dāng)為矩形一邊時，且點D在x軸的上方，的對稱軸為與x軸交于點F，
∵D在的對稱軸上，
∴，
，
，即，
，即點，
∴點B向左平移1個單位、向上平移1個單位可得到點D，則點C向左平移1個單位、向上平移1個單位可得到點；
如圖3.3：當(dāng)為矩形對角線時，設(shè)，，的中點F的坐標(biāo)為，
依意得：，解得，
又，
，
解得：，
聯(lián)立，
解得：，
∴點E的坐標(biāo)為或.
綜上，存在點或或或，
使得以點B，C，D，E為頂點的四邊形是矩形．
【點睛】本題是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，矩形的性質(zhì)，利用平移的性質(zhì)解決問題是解本題的關(guān)鍵．
26．（2024·山西·模擬預(yù)測）項目式學(xué)習(xí)
項目主題：合理設(shè)計 智慧泉源
項目背景：灑水車是城市綠化的生力軍，清掃道路，美化市容，降溫除塵，方便出行．
如圖1，一輛灑水車正在沿著公路行駛（平行于綠化帶），為綠化帶澆水．?dāng)?shù)學(xué)小組成員想了解灑水車要如何把控行駛路線與綠化帶之間的距離，才能保證噴出的水能澆灌到整個綠化帶．圍繞這個問題，該小組開展了“合理設(shè)計 智慧泉源”為主題的項目式學(xué)習(xí)．
任務(wù)一 測量建模
建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，可以把灑水車噴出水的上、下邊緣抽象為兩條拋物線的部分圖象，噴水口H離地面豎直高度h為1.2米．上邊緣拋物線最高點A離噴水口的水平距離為2米，高出噴水口0.4米．
（1）求上邊緣拋物線的函數(shù)解析式；
任務(wù)二 推理分析
小組成員通過進(jìn)一步分析發(fā)現(xiàn)：當(dāng)噴頭豎直高度調(diào)整時，噴頭噴出的水柱拋物線形狀不發(fā)生改變，即下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到的，把綠化帶橫截面抽象為矩形，其水平寬度米，豎直高度米，灑水車到綠化帶的距離OD為d米．
（2）求下邊緣拋物線與x軸交點B的坐標(biāo)；
（3）若米，則灑水車行駛時噴出的水能否澆灌到整個綠化帶？請說明理由．
【答案】（1）；（2）2,0；（3）灑水車行駛時噴出的水能澆灌到整個綠化帶，理由見解析
【分析】本題考查了二次函數(shù)的實際應(yīng)用，矩形的性質(zhì)，求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．
（1）結(jié)合為上邊緣拋物線的頂點，設(shè)，再把代入計算，即可作答．
（2）結(jié)合二次函數(shù)的對稱性得出點的對稱點為，把代入，求出，因為下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移4米得到的，所以點B的坐標(biāo)為2,0；
（3）因為二次函數(shù)的性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)得點F的坐標(biāo)為，代入得，即可作答．
【詳解】解：（1）由題意得：為上邊緣拋物線的頂點，
設(shè)，
又∵拋物線過點，
，
解得：，
∴上邊緣拋物線的函數(shù)解析式為．
（2）∵對稱軸為直線，
∴點的對稱點為，
∴下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移4米得到的，
當(dāng)時，
解得，（舍去），
∴
∴點B的坐標(biāo)為2,0；
（3）∵矩形，其水平寬度米，豎直高度米，
∴米，
則（米）
∴點F的坐標(biāo)為，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，y隨x的增大而減小，
∴灑水車行駛時噴出的水能澆灌到整個綠化帶．
課標(biāo)要求
考點
考向
1. 會用描點法畫出二次函數(shù)的圖象，通過圖象了解二次函數(shù)的性質(zhì)；用配方法將數(shù)字系數(shù)的二次函數(shù)的表達(dá)式化為y＝a(x－h(huán))2＋k的形式，并能由此得到二次函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)，說出圖象的開口方向，畫出圖象的對稱軸，并能解決簡單實際問題；
2. 會利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似解．結(jié)合具體情況體會二次函數(shù)的意義，能根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)的表達(dá)式；會利用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的表達(dá)式．
3. 通過對實際問題的分析，體會二次函數(shù)的意義；會用配方法將數(shù)字系數(shù)的二次函數(shù)的表達(dá)式化為y＝a(x－h(huán))2＋k的形式，并能由此得到二次函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)，說出圖象的開口方向，畫出圖象的對稱軸，并能解決實際問題．
4.能運用二次函數(shù)的知識解決綜合型問題.
二次函數(shù)
考向一 二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)
考向二 二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系
考向三 二次函數(shù)的最值
考向四 待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式
考向五 二次函數(shù)圖象的平移
二次函數(shù)的應(yīng)用
考向一 二次函數(shù)與一元二次方程
考向二 二次函數(shù)與不等式
考向三 實際問題與二次函數(shù)
考點一 二次函數(shù)
解題技巧/易錯易混
1．二次函數(shù)的一般形式的結(jié)構(gòu)特征：①函數(shù)的關(guān)系式是整式；②自變量的最高次數(shù)是2；③二次項系數(shù)不等于零．
2．一般式，頂點式，交點式是二次函數(shù)常見的表達(dá)式，它們之間可以互相轉(zhuǎn)化．
3.二次函數(shù)的圖象是一條關(guān)于某條直線對稱的曲線，叫做拋物線，該直線叫做拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點叫做拋物線的頂點.
4.二次函數(shù)的圖象是一條關(guān)于某條直線對稱的曲線，叫做拋物線，該直線叫做拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點叫做拋物線的頂點.
解題技巧/易錯易混
二次函數(shù)圖象的特征與a，b，c的關(guān)系
字母的符號
圖象的特征
a
a>0
開口向上
a0（a與b同號）
對稱軸在y軸左側(cè)
ab0
與y軸正半軸相交
c0?方程有兩個不相等的實數(shù)根，拋物線與x軸有兩個交點；
（2）b2–4ac=0?方程有兩個相等的實數(shù)根，拋物線與x軸有且只有一個交點；
（3）b2–4ac

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