備戰(zhàn)2025年中考數(shù)學(xué)真題題源解密（全國(guó)通用）專題12 二次函數(shù)（解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?考向一二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)
1．（2024·廣東·中考真題）若點(diǎn)都在二次函數(shù)的圖象上，則（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)二次函數(shù)的解析式得出函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是y軸（直線），圖象的開口向上，在對(duì)稱軸的右側(cè)，y隨x的增大而增大，再比較即可．
【詳解】解∶ 二次函數(shù)的對(duì)稱軸為y軸，開口向上，
∴當(dāng)時(shí)， y隨x的增大而增大，
∵點(diǎn)都在二次函數(shù)的圖象上，且，
∴，
故選∶A．
2．（2024·西藏·中考真題）如圖，已知二次函數(shù)的圖象與x軸相交于點(diǎn)，，則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（）
①
②
③對(duì)任意實(shí)數(shù)m，均成立
④若點(diǎn)，在拋物線上，則
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【答案】B
【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、根據(jù)二次函數(shù)的圖象判斷式子的符號(hào)，由圖象可得：拋物線開口向上，對(duì)稱軸在軸左側(cè)，交軸于負(fù)半軸，即可得出，，，從而求出，即可判斷①；根據(jù)二次函數(shù)與軸的交點(diǎn)得出二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，，，計(jì)算即可判斷②；根據(jù)當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)有最小值，即可判斷③；根據(jù)即可判斷④；熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，采用數(shù)形結(jié)合的思想是解此題的關(guān)鍵．
【詳解】解：由圖象可得：拋物線開口向上，對(duì)稱軸在軸左側(cè)，交軸于負(fù)半軸，
∴，，，
∴，
∴，故①正確；
∵二次函數(shù)的圖象與x軸相交于點(diǎn)，，
∴二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，，，
由得：，
∵，
∴，
∴，即，故②錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)有最小值，
由圖象可得，對(duì)任意實(shí)數(shù)m，，
∴對(duì)任意實(shí)數(shù)m，均成立，故③正確；
∵點(diǎn)，在拋物線上，且，
∴，故④錯(cuò)誤；
綜上所述，正確的有①③，共個(gè)，
故選：B．
3．（2024·四川·中考真題）二次函數(shù)的圖象如圖所示，給出下列結(jié)論：①；②；③當(dāng)時(shí)，．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【答案】D
【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，圖象與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握二次函數(shù)圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)圖象與軸交點(diǎn)在軸負(fù)半軸，可得，故①正確；根據(jù)圖象可得二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，由于對(duì)稱軸為，可得，故②正確；當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)圖象位于軸下方，即當(dāng)，所對(duì)應(yīng)的，故③正確．
【詳解】解：① 當(dāng)時(shí)，，根據(jù)圖象可知，二次函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)在軸負(fù)半軸，即，故①正確，符合題意；
②根據(jù)圖象可知，二次函數(shù)的對(duì)稱軸是直線，即，故②正確，符合題意；
③根據(jù)圖象可知，當(dāng)時(shí)，圖象位于軸下方，即當(dāng)，所對(duì)應(yīng)的，故③正確，符合題意；
綜上所述，①②③結(jié)論正確，符合題意．
故選：D．
4．（2024·福建·中考真題）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過，兩點(diǎn)，則下列判斷正確的是（）
A．可以找到一個(gè)實(shí)數(shù)，使得B．無(wú)論實(shí)數(shù)取什么值，都有
C．可以找到一個(gè)實(shí)數(shù)，使得D．無(wú)論實(shí)數(shù)取什么值，都有
【答案】C
【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)題意得到二次函數(shù)開口向上，且對(duì)稱軸為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，再分情況討論，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，的大小情況，即可解題．
【詳解】解：二次函數(shù)解析式為，
二次函數(shù)開口向上，且對(duì)稱軸為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
，
當(dāng)時(shí)，，
，
故A、B錯(cuò)誤，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，，
由二次函數(shù)對(duì)稱性可知，，
當(dāng)時(shí)，，由二次函數(shù)對(duì)稱性可知，，不一定大于，
故C正確符合題意；D錯(cuò)誤，不符合題意；
故選：C．
5．（2024·新疆·中考真題）如圖，拋物線與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)B，線段CD在拋物線的對(duì)稱軸上移動(dòng)（點(diǎn)C在點(diǎn)D下方），且．當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為．

【答案】
【分析】在y軸上取點(diǎn)，證明四邊形是平行四邊形，得出，利用拋物線的對(duì)稱性得出，則，當(dāng)E、C、F三點(diǎn)共線時(shí)，最小，利用待定系數(shù)法求出直線解析式，然后把代入，即可求出C的坐標(biāo)．
【詳解】解：，
∴對(duì)稱軸為，
如圖，設(shè)拋物線與x軸另一個(gè)交點(diǎn)為F，

當(dāng)時(shí)，，
∴，
當(dāng)時(shí)，，
解得，，
∴，，
在y軸上取點(diǎn)，連接，，，
∴，
∵，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
∵拋物線對(duì)稱軸為，
∴，
∴，
當(dāng)E、C、F三點(diǎn)共線時(shí)，最小，
設(shè)直線解析式為，
∴，
解得，
∴，
當(dāng)時(shí)，，
∴當(dāng)最小時(shí)，C的坐標(biāo)為，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)，明確題意，添加合適輔助線，構(gòu)造平行四邊形是解題的關(guān)鍵．
6．（2024·上?！ぶ锌颊骖}）對(duì)于一個(gè)二次函數(shù)（）中存在一點(diǎn)，使得，則稱為該拋物線的“開口大小”，那么拋物線“開口大小”為．
【答案】4
【分析】本題考查新定義運(yùn)算與二次函數(shù)綜合，涉及二次函數(shù)性質(zhì)、分式化簡(jiǎn)求值等知識(shí)，讀懂題意，理解新定義拋物線的“開口大小”，利用二次函數(shù)圖象與性質(zhì)將一般式化為頂點(diǎn)式得到，按照定義求解即可得到答案，熟記二次函數(shù)圖象與性質(zhì)、理解新定義是解決問題的關(guān)鍵．
【詳解】解：根據(jù)拋物線的“開口大小”的定義可知中存在一點(diǎn)，使得，則，
，
中存在一點(diǎn)，有，解得，則，
拋物線“開口大小”為，
故答案為：．
7．（2024·安徽·中考真題）已知拋物線（b為常數(shù)）的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)比拋物線的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)大1．
(1)求b的值；
(2)點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)在拋物線上．
（?。┤?，且，，求h的值；
（ⅱ）若，求h的最大值．
【答案】(1)b=4
(2)（?。?；（ⅱ）
【分析】題目主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)及化為頂點(diǎn)式，解一元二次方程，理解題意，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
（1）根據(jù)題意求出的頂點(diǎn)為，確定拋物線（b為常數(shù)）的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為2，即可求解；
（2）根據(jù)題意得出，，然后整理化簡(jiǎn)；（?。⒋肭蠼饧纯?；（ⅱ）將代入整理為頂點(diǎn)式，即可得出結(jié)果．
【詳解】（1）解：，
∴的頂點(diǎn)為，
∵拋物線（b為常數(shù)）的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)比拋物線的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)大1，
∴拋物線（b為常數(shù)）的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為2，
∴，
∴b=4；
（2）由（1）得
∵點(diǎn)Ax1,y1在拋物線上，點(diǎn)在拋物線上．
∴，，
整理得：
（?。?，
∴，
整理得：，
∵，，
∴，
∴；
（ⅱ）將代入，
整理得，
∵，
∴當(dāng)，即時(shí)，h取得最大值為．
?考向二二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系
8．（2024·湖北·中考真題）拋物線的頂點(diǎn)為，拋物線與軸的交點(diǎn)位于軸上方．以下結(jié)論正確的是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)圖像與系數(shù)的關(guān)系．根據(jù)二次函數(shù)的解析式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，畫出草圖，逐一分析即可得出結(jié)論．
【詳解】解：根據(jù)題意畫出函數(shù)的圖像，如圖所示：
∵開口向上，與軸的交點(diǎn)位于軸上方，
∴，，
∵拋物線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴，
∵拋物線的頂點(diǎn)為，
∴，
觀察四個(gè)選項(xiàng)，選項(xiàng)C符合題意，
故選：C．
9．（2024·陜西·中考真題）已知一個(gè)二次函數(shù)的自變量x與函數(shù)y的幾組對(duì)應(yīng)值如下表，
則下列關(guān)于這個(gè)二次函數(shù)的結(jié)論正確的是（）
A．圖象的開口向上B．當(dāng)時(shí)，y的值隨x的值增大而增大
C．圖象經(jīng)過第二、三、四象限D(zhuǎn)．圖象的對(duì)稱軸是直線
【答案】D
【分析】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)．先利用待定系數(shù)法求得二次函數(shù)解析式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可．
【詳解】解：由題意得，解得，
∴二次函數(shù)的解析式為，
∵，
∴圖象的開口向下，故選項(xiàng)A不符合題意；
圖象的對(duì)稱軸是直線，故選項(xiàng)D符合題意；
當(dāng)時(shí)，y的值隨x的值增大而增大，當(dāng)x>1時(shí)，y的值隨x的值增大而減小，故選項(xiàng)B不符合題意；
∵頂點(diǎn)坐標(biāo)為且經(jīng)過原點(diǎn)，圖象的開口向下，
∴圖象經(jīng)過第一、三、四象限，故選項(xiàng)C不符合題意；
故選：D．
10．（2024·四川廣元·中考真題）如圖，已知拋物線過點(diǎn)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，，且，，則下列結(jié)論：
①；
②方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
③；
④；
⑤．其中正確的結(jié)論有（）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【答案】C
【分析】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練的利用數(shù)形結(jié)合的方法解題是關(guān)鍵；由當(dāng)時(shí)，，可判斷①，由函數(shù)的最小值，可判斷②，由拋物線的對(duì)稱軸為直線，且，可判斷③，由時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，可判斷④，由根與系數(shù)的關(guān)系可判斷⑤；
【詳解】解：①拋物線開口向上，，，
∴當(dāng)時(shí)，，故①不符合題意；
②∵拋物線過點(diǎn)，
∴函數(shù)的最小值，
∴有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；故②符合題意；
③∵，，
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線，且，
∴，而，
∴，
∴，故③不符合題意；
④∵拋物線過點(diǎn)，
∴，
∵x=?1時(shí)，，
即，
當(dāng)時(shí)，，
∴，
∴，
∴，故④符合題意；
⑤∵，，
∴，
由根與系數(shù)的關(guān)系可得：，，
∴
∴，
∴，故⑤符合題意；
故選：C．
?考向三二次函數(shù)的最值
11．（2024·山東日照·中考真題）已知二次函數(shù)圖象的一部分如圖所示，該函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線．對(duì)于下列結(jié)論：①；②；③多項(xiàng)式可因式分解為；④當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程無(wú)實(shí)數(shù)根．其中正確的個(gè)數(shù)有（）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【答案】C
【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值問題，熟練掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．①根據(jù)圖像分別判斷，，的符號(hào)即可；②將點(diǎn)代入函數(shù)即可得到答案；③根據(jù)題意可得該函數(shù)與軸的另一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為5，即可得到；④由，得到，，將代入函數(shù)得，從而推出當(dāng)時(shí)，該拋物線與直線的圖象無(wú)交點(diǎn)，即可判斷．
【詳解】解：由題圖可知，，
，故①正確；
當(dāng)時(shí)，，即，故②正確；
二次函數(shù)與軸的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為直線，
二次函數(shù)與軸的另一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為5，
多項(xiàng)式，故③錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，有最大值，即，
當(dāng)時(shí)，拋物線與直線的圖象無(wú)交點(diǎn)，
即關(guān)于x的方程無(wú)實(shí)數(shù)根，故④正確．
綜上，①②④正確．
故選：C．
12．（2024·四川眉山·中考真題）定義運(yùn)算：，例如，則函數(shù)的最小值為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本題考查二次函數(shù)求最值，根據(jù)新定義，得到二次函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求最值即可．
【詳解】解：由題意得，，
即，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為．
故選：B．
13．（2024·四川樂山·中考真題）已知二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，則t的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)的最值等知識(shí)．熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
由，可知圖象開口向上，對(duì)稱軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，，即關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)為，由當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，可得，計(jì)算求解，然后作答即可．
【詳解】解：∵，
∴圖象開口向上，對(duì)稱軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
當(dāng)時(shí)，，
∴關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)為，
∵當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，
∴，
解得，，
故選：C．
14．（2024·四川·中考真題）在完成勞動(dòng)課布置的“青稞生長(zhǎng)狀態(tài)觀察”的實(shí)踐作業(yè)時(shí)，需要測(cè)量青稞穗長(zhǎng)．同學(xué)們查閱資料得知：由于受儀器精度和觀察誤差影響，n次測(cè)量會(huì)得到n個(gè)數(shù)據(jù)，，…，，如果a與各個(gè)測(cè)量數(shù)據(jù)的差的平方和最小，就將a作為測(cè)量結(jié)果的最佳近似值．若5名同學(xué)對(duì)某株青稞的穗長(zhǎng)測(cè)量得到的數(shù)據(jù)分別是：5.9，6.0，6.0，6.3，6.3（單位：），則這株青稞穗長(zhǎng)的最佳近似值為．
【答案】
【分析】根據(jù)題意，這些青稞穗的最佳近似長(zhǎng)度可以取使函數(shù)為最小值的的值，整理上式，并求出青稞穗長(zhǎng)的最佳近似長(zhǎng)度．
【詳解】解：由題意，a與各個(gè)測(cè)量數(shù)據(jù)的差的平方和
，
時(shí)，有最小值，
青稞穗長(zhǎng)的最佳近似長(zhǎng)度為．
故答案為：．
15．（2024·廣西·中考真題）課堂上，數(shù)學(xué)老師組織同學(xué)們圍繞關(guān)于x的二次函數(shù)的最值問題展開探究．
【經(jīng)典回顧】二次函數(shù)求最值的方法．
（1）老師給出，求二次函數(shù)的最小值．
①請(qǐng)你寫出對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式；
②求當(dāng)x取何值時(shí)，函數(shù)y有最小值，并寫出此時(shí)的y值；
【舉一反三】老師給出更多a的值，同學(xué)們即求出對(duì)應(yīng)的函數(shù)在x取何值時(shí)，y的最小值．記錄結(jié)果，并整理成下表：
注：*為②的計(jì)算結(jié)果．
【探究發(fā)現(xiàn)】老師：“請(qǐng)同學(xué)們結(jié)合學(xué)過的函數(shù)知識(shí)，觀察表格，談?wù)勀愕陌l(fā)現(xiàn)．”
甲同學(xué)：“我發(fā)現(xiàn)，老師給了a值后，我們只要取，就能得到y(tǒng)的最小值．”
乙同學(xué)：“我發(fā)現(xiàn)，y的最小值隨a值的變化而變化，當(dāng)a由小變大時(shí)，y的最小值先增大后減小，所以我猜想y的最小值中存在最大值．”
（2）請(qǐng)結(jié)合函數(shù)解析式，解釋甲同學(xué)的說法是否合理？
（3）你認(rèn)為乙同學(xué)的猜想是否正確？若正確，請(qǐng)求出此最大值；若不正確，說明理由．
【答案】（1）①；②當(dāng)時(shí)，有最小值為（2）見解析（3）正確，
【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵：
（1）①把代入解析式，寫出函數(shù)解析式即可；②將一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，進(jìn)行求解即可；
（2）將一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解釋即可；
（3）將一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，表示出的最大值，再利用二次函數(shù)求最值即可．
【詳解】解：（1）①把代入，得：
；
∴；
②∵，
∴當(dāng)時(shí)，有最小值為；
（2）∵，
∵拋物線的開口向上，
∴當(dāng)時(shí)，有最小值；
∴甲的說法合理；
（3）正確；
∵，
∴當(dāng)時(shí)，有最小值為，
即：，
∴當(dāng)時(shí)，有最大值，為．
?考向四待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式
16．（2024·貴州·中考真題）如圖，二次函數(shù)的部分圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，則下列說法正確的是（）

A．二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是直線
B．二次函數(shù)圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是2
C．當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小
D．二次函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是3
【答案】D
【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)稱性，增減性判斷選項(xiàng)A、B、C，利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式，再求出與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即可判定選項(xiàng)D．
【詳解】解∶ ∵二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
∴二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是直線，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
∵二次函數(shù)的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，對(duì)稱軸是直線，
∴二次函數(shù)圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是1，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
∵拋物線開口向下，對(duì)稱軸是直線，
∴當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
設(shè)二次函數(shù)解析式為，
把代入，得，
解得，
∴，
當(dāng)時(shí)，，
∴二次函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是3，故選項(xiàng)D正確，
故選D．
17．（2024·遼寧·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與與相交于點(diǎn)，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，若點(diǎn)在拋物線上，則的長(zhǎng)為．

【答案】
【分析】本題主要考查了待定系數(shù)求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練求解二次函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．先利用待定系數(shù)法求得拋物線，再令，得，解得x=?1或，從而即可得解．
【詳解】解：把點(diǎn)，點(diǎn)代入拋物線得，
，
解得，
∴拋物線，
令，得，
解得x=?1或，
∴，
∴；
故答案為：．
18．（2024·西藏·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，設(shè)拋物線的對(duì)稱軸為直線l．
(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖（甲），設(shè)點(diǎn)C關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)D，在直線l上是否存在一點(diǎn)P，使有最大值？若存在，求出的最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由；
(3)如圖（乙），設(shè)點(diǎn)M為拋物線上一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)M作交直線l于點(diǎn)N．若，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)存在最大值；最大值為
(3)點(diǎn)M的坐標(biāo)為或或或
【分析】（1）把，代入拋物線求出a、b的值，即可得出拋物線的解析式；
（2）先求出點(diǎn)C的坐標(biāo)為0,3，連接、、，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得出，，得出當(dāng)最大時(shí)，最大，根據(jù)當(dāng)點(diǎn)A、C、P三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，最大，即當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)時(shí)，最大，求出最大值即可；
（3）過點(diǎn)M作軸，過點(diǎn)C作于點(diǎn)D，過點(diǎn)N作于點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為：，得出，，證明，得出，從而得出，分四種情況：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，分別求出點(diǎn)M的坐標(biāo)即可．
【詳解】（1）解：把，代入得：
，
解得：，
∴拋物線的解析式為：；
（2）解：存在最大值；
把代入得：，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為0,3，
∵，
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線，
連接、、，如圖所示：
∵點(diǎn)C關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)D，點(diǎn)P在直線l上，
∴，
∴，
∴當(dāng)最大時(shí)，最大，
∴當(dāng)點(diǎn)A、C、P三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，最大，即當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)時(shí)，最大，
∴最大值為：．
（3）解：過點(diǎn)M作軸，過點(diǎn)C作于點(diǎn)D，過點(diǎn)N作于點(diǎn)E，如圖所示：
∵，
∴，
∴，
設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為：，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
當(dāng)時(shí)，，，則：
，
解得：，（舍去），
此時(shí)點(diǎn)M坐標(biāo)為：；
當(dāng)時(shí)，，，則：
，
解得：（舍去），
此時(shí)點(diǎn)M坐標(biāo)為：；
當(dāng)時(shí)，，，則：
，
解得：，（舍去），
此時(shí)點(diǎn)M坐標(biāo)為：；
當(dāng)時(shí)，，，則：
，
解得：，（舍去），
此時(shí)點(diǎn)M坐標(biāo)為：；
綜上分析可知：點(diǎn)M坐標(biāo)為：或或或．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，求二次函數(shù)解析式，軸對(duì)稱的性質(zhì)，兩點(diǎn)間距離公式，解直角三角形的相關(guān)計(jì)算，解一元二次方程，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，熟練掌握相關(guān)的判定和性質(zhì)，注意進(jìn)行分類討論．
19．（2024·湖北·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C．
(1)求b的值；
(2)如圖，M是第一象限拋物線上的點(diǎn)，，求點(diǎn)M的橫坐標(biāo)；
(3)將此拋物線沿水平方向平移，得到的新拋物線記為L(zhǎng)，L與y軸交于點(diǎn)N．設(shè)L的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為n，的長(zhǎng)為d．
①求d關(guān)于n的函數(shù)解析式；
②L與x軸圍成的區(qū)域記為U，U與內(nèi)部重合的區(qū)域（不含邊界）記為W．當(dāng)d隨n的增大而增大，且W內(nèi)恰好有兩個(gè)橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)時(shí)，直接寫出n的取值范圍．
【答案】(1)
(2)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為
(3)①；②或
【分析】（1）用待定系數(shù)法求解即可；
（2）設(shè)，作軸于點(diǎn)，構(gòu)造直角三角形，利用銳角三角函數(shù)或者相似建立關(guān)于的方程求解即可；
（3）①由二次函數(shù)平移可得出圖象的解析式為，從而得到，再分類討論去絕對(duì)值即可；
②根據(jù)題干條件得出整數(shù)點(diǎn)，，，再分別兩兩進(jìn)行分類討論，建立二次函數(shù)不等式即可解決．
【詳解】（1）解：二次函數(shù)與軸交于，
，
解得：；
（2），
二次函數(shù)表達(dá)式為：，
令，解得或，令得，
，，，
設(shè)，
作軸于點(diǎn)，如圖，
，
，即，
解得或（舍去），
的橫坐標(biāo)為；
（3）①將二次函數(shù)沿水平方向平移，
縱坐標(biāo)不變?yōu)?，
圖象的解析式為，
，
，
；
②由①得，畫出大致圖象如下，
隨著增加而增加，
或，
中含，，三個(gè)整點(diǎn)（不含邊界），
當(dāng)內(nèi)恰有2個(gè)整數(shù)點(diǎn)，時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
，
，或，
，
或，
；
當(dāng)內(nèi)恰有2個(gè)整數(shù)點(diǎn)，時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
，
或，，
，
或，
；
當(dāng)內(nèi)恰有2個(gè)整數(shù)點(diǎn)，時(shí)，此種情況不存在，舍去．
綜上所述，的取值范圍為或．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，包括用待定系數(shù)法求二次函數(shù)表達(dá)式及二次函數(shù)與線段交點(diǎn)的問題，也考查了二次函數(shù)與不等式，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及數(shù)形結(jié)合法是解題關(guān)鍵．
20．（2024·吉林·中考真題）小明利用一次函數(shù)和二次函數(shù)知識(shí)，設(shè)計(jì)了一個(gè)計(jì)算程序，其程序框圖如圖（1）所示，輸入x的值為時(shí)，輸出y的值為1；輸入x的值為2時(shí)，輸出y的值為3；輸入x的值為3時(shí)，輸出y的值為6．
(1)直接寫出k，a，b的值．
(2)小明在平面直角坐標(biāo)系中畫出了關(guān)于x的函數(shù)圖像，如圖（2）．
Ⅰ．當(dāng)y隨x的增大而增大時(shí)，求x的取值范圍．
Ⅱ．若關(guān)于x的方程（t為實(shí)數(shù)），在時(shí)無(wú)解，求t的取值范圍．
Ⅲ．若在函數(shù)圖像上有點(diǎn)P，Q（P與Q不重合）．P的橫坐標(biāo)為m，Q的橫坐標(biāo)為．小明對(duì)P，Q之間（含P，Q兩點(diǎn)）的圖像進(jìn)行研究，當(dāng)圖像對(duì)應(yīng)函數(shù)的最大值與最小值均不隨m的變化而變化，直接寫出m的取值范圍．
【答案】(1)
(2)Ⅰ：或；Ⅱ：或；Ⅲ：或
【分析】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，一元二次方程的解，正確理解題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想是解決本題的額關(guān)鍵．
（1）先確定輸入x值的范圍，確定好之后將x，y的值代入所給的y關(guān)于x的函數(shù)解析式種解方程或方程組即可；
（2）Ⅰ：可知一次函數(shù)解析式為：，二次函數(shù)解析式為：，當(dāng)時(shí)，，對(duì)稱為直線，開口向上，故時(shí)，y隨著x的增大而增大；當(dāng)時(shí)，，，故時(shí)，y隨著x的增大而增大；
Ⅱ：?jiǎn)栴}轉(zhuǎn)化為拋物線與直線在時(shí)無(wú)交點(diǎn)，考慮兩個(gè)臨界狀態(tài)，當(dāng)時(shí)，拋物線與直線在時(shí)正好一個(gè)交點(diǎn)，因此當(dāng)時(shí)，拋物線與直線在時(shí)沒有交點(diǎn)；當(dāng)，，故當(dāng)時(shí)，拋物線與直線在時(shí)正好一個(gè)交點(diǎn)，因此當(dāng)時(shí)，拋物線與直線在時(shí)沒有交點(diǎn)，當(dāng)或時(shí)，拋物線與直線在時(shí)沒有交點(diǎn)，即方程無(wú)解；
Ⅲ：可求點(diǎn)P、Q關(guān)于直線對(duì)稱，當(dāng)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)圖像對(duì)應(yīng)函數(shù)的最大值與最小值均不隨m的變化而變化，而當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，故①當(dāng)，由題意得：，則；②當(dāng)，由題意得：，則，綜上：或．
【詳解】（1）解：∵，
∴將，代入，
得：，
解得：，
∵，
∴將，代入
得：，
解得：；
（2）解：Ⅰ，∵，
∴一次函數(shù)解析式為：，二次函數(shù)解析式為：
當(dāng)時(shí)，，對(duì)稱為直線，開口向上，
∴時(shí)，y隨著x的增大而增大；
當(dāng)時(shí)，，，
∴時(shí)，y隨著x的增大而增大，
綜上，x的取值范圍：或；
Ⅱ，∵，
∴，在時(shí)無(wú)解，
∴問題轉(zhuǎn)化為拋物線與直線在時(shí)無(wú)交點(diǎn)，
∵對(duì)于，當(dāng)時(shí)，
∴頂點(diǎn)為，如圖：
∴當(dāng)時(shí)，拋物線與直線在時(shí)正好一個(gè)交點(diǎn)，
∴當(dāng)時(shí)，拋物線與直線在時(shí)沒有交點(diǎn)；
當(dāng)，，
∴當(dāng)時(shí)，拋物線與直線在時(shí)正好一個(gè)交點(diǎn)，
∴當(dāng)時(shí)，拋物線與直線在時(shí)沒有交點(diǎn)，
∴當(dāng)或時(shí)，拋物線與直線在時(shí)沒有交點(diǎn)，
即：當(dāng)或時(shí)，關(guān)于x的方程（t為實(shí)數(shù)），在時(shí)無(wú)解；
Ⅲ：∵，
∴，
∴點(diǎn)P、Q關(guān)于直線對(duì)稱，
當(dāng)，，當(dāng)時(shí)，，
∵當(dāng)圖像對(duì)應(yīng)函數(shù)的最大值與最小值均不隨m的變化而變化，而當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，
∴①當(dāng)，如圖：
由題意得：，
∴；
②當(dāng)，如圖：
由題意得：，
∴，
綜上：或．
?考向五二次函數(shù)圖象的平移
21．（2024·江蘇南通·中考真題）將拋物線向右平移3個(gè)單位后得到新拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象的平移，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．根據(jù)平移規(guī)律，上加下減，左加右減，可得頂點(diǎn)式解析式．
【詳解】解∶ 拋物線向右平移3個(gè)單位后得到新拋物為，
∴新拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
故選∶D．
22．（2024·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）將拋物線向下平移2個(gè)單位后，所得新拋物線的頂點(diǎn)式為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的平移以及頂點(diǎn)式，根據(jù)平移的規(guī)律“上加下減．左加右減”可得出平移后的拋物線為，再把化為頂點(diǎn)式即可．
【詳解】解：拋物線向下平移2個(gè)單位后，
則拋物線變?yōu)椋?br>∴化成頂點(diǎn)式則為，
故選：A．
23．（2024·江蘇連云港·中考真題）已知拋物線（a、b、c是常數(shù)，）的頂點(diǎn)為．小燁同學(xué)得出以下結(jié)論：①；②當(dāng)時(shí)，隨的增大而減??；③若的一個(gè)根為3，則；④拋物線是由拋物線向左平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位得到的．其中一定正確的是（）
A．①②B．②③C．③④D．②④
【答案】B
【分析】根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)公式可得，結(jié)合，，由此可判斷①；由二次函數(shù)的增減性可判斷②；用a表示b、c的值，再解方程即可判斷③，由平移法則即可判斷④．
【詳解】解：根據(jù)題意可得：，
，
，
即，
，
，
的值可正也可負(fù)，
不能確定的正負(fù)；故①錯(cuò)誤；
，
拋物線開口向下，且關(guān)于直線對(duì)稱，
當(dāng)時(shí)，隨的增大而減??；故②正確；
，
拋物線為，
，
，故③正確；
拋物線，
將向左平移1個(gè)單位得：，
拋物線是由拋物線向左平移1個(gè)單位得到的，故④錯(cuò)誤；
正確的有②③，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的平移，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)與一元二次方程，一元二次方程的解的定義，用a表示b、c的值是本題的關(guān)鍵．
24．（2024·內(nèi)蒙古·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)．
(1)若，則_________，通過配方可以將其化成頂點(diǎn)式為_________；
(2)已知點(diǎn)在拋物線上，其中．若且，比較與的大小關(guān)系，并說明理由；
(3)若，將拋物線向上平移4個(gè)單位得到的新拋物線與直線交于A，B兩點(diǎn)，直線與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)E為中點(diǎn)，過點(diǎn)E作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)F，連接，．求證：．
【答案】(1)2，
(2)，理由見解析
(3)證明見解析
【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、二次函數(shù)圖象的平移、兩點(diǎn)之間的距離公式等知識(shí)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
（1）將點(diǎn)代入二次函數(shù)的解析式即可得的值，再利用完全平方公式進(jìn)行配方，化成頂點(diǎn)式即可得；
（2）先求出，從而可得拋物線的對(duì)稱軸，再求出，得出點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離大于到對(duì)稱軸的距離，然后根據(jù)拋物線的開口向上即可得；
（3）先分別求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)之間的距離公式即可得證．
【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)，且，
∴將點(diǎn)代入得：，
解得，
則化成頂點(diǎn)式為，
故答案為：2，．
（2）解：，理由如下：
∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)，
∴，
∵，
∴，即，
二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，
，
∴，
∴，
又∵，
∴點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離大于到對(duì)稱軸的距離，
又∵拋物線的開口向上，
∴．
（3）證明：若，則，
將向上平移4個(gè)單位得到新拋物線，
∵拋物線與直線交于點(diǎn)，
∴設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
將代入得：，
∴，
∵點(diǎn)為中點(diǎn)，
∴，
軸于點(diǎn)，
，
∴，
，
∴．
25．（2024·上?！ぶ锌颊骖}）在平面直角坐標(biāo)系中，已知平移拋物線后得到的新拋物線經(jīng)過和．
(1)求平移后新拋物線的表達(dá)式；
(2)直線（）與新拋物線交于點(diǎn)P，與原拋物線交于點(diǎn)Q．
①如果小于3，求m的取值范圍；
②記點(diǎn)P在原拋物線上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，如果四邊形有一組對(duì)邊平行，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【答案】(1)或；
(2)①；②．
【分析】（1）設(shè)平移拋物線后得到的新拋物線為，把和代入可得答案；
（2）①如圖，設(shè)，則，，結(jié)合小于3，可得，結(jié)合，從而可得答案；②先確定平移方式為，向右平移2個(gè)單位，向下平移3個(gè)單位，由題意可得：在的右邊，當(dāng)時(shí)，可得，結(jié)合平移的性質(zhì)可得答案如圖，當(dāng)時(shí)，則，過作于，證明，可得，設(shè)，則，，，再建立方程求解即可.
【詳解】（1）解：設(shè)平移拋物線后得到的新拋物線為，
把和代入可得：
，
解得：，
∴新拋物線為；
（2）解：①如圖，設(shè)，則，
∴，
∵小于3，
∴，
∴，
∵，
∴；
②∵，
∴平移方式為，向右平移2個(gè)單位，向下平移3個(gè)單位，
由題意可得：在的右邊，當(dāng)時(shí)，
∴軸，
∴，
∴，
由平移的性質(zhì)可得：，即；
如圖，當(dāng)時(shí)，則，
過作于，
∴，
∴，
∴，
設(shè)，則，，，
∴，
解得：（不符合題意舍去）；
綜上：；
【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)的綜合題，拋物線的平移，利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì) ，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練的利用數(shù)形結(jié)合的方法解題是關(guān)鍵.
26．（2024·山東·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在二次函數(shù)的圖像上，記該二次函數(shù)圖像的對(duì)稱軸為直線．
(1)求的值；
(2)若點(diǎn)在的圖像上，將該二次函數(shù)的圖像向上平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，得到新的二次函數(shù)的圖像．當(dāng)時(shí)，求新的二次函數(shù)的最大值與最小值的和；
(3)設(shè)的圖像與軸交點(diǎn)為，．若，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)新的二次函數(shù)的最大值與最小值的和為；
(3)
【分析】（1）把點(diǎn)代入可得，再利用拋物線的對(duì)稱軸公式可得答案；
（2）把點(diǎn)代入，可得：，可得拋物線為，將該二次函數(shù)的圖像向上平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，得到新的二次函數(shù)為：，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案；
（3）由根與系數(shù)的關(guān)系可得，，結(jié)合，，再建立不等式組求解即可.
【詳解】（1）解：∵點(diǎn)在二次函數(shù)的圖像上，
∴，
解得：，
∴拋物線為：，
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線，
∴；
（2）解：∵點(diǎn)在的圖像上，
∴，
解得：，
∴拋物線為，
將該二次函數(shù)的圖像向上平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，得到新的二次函數(shù)為：
，
∵，
∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值為，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值為
∴新的二次函數(shù)的最大值與最小值的和為；
（3）∵的圖像與軸交點(diǎn)為，．
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴即，
解得：.
【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)的綜合題，利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟練的利用各知識(shí)點(diǎn)建立方程或不等式組解題是關(guān)鍵.
?考向一二次函數(shù)與一元二次方程
27．（2024·內(nèi)蒙古·中考真題）下列說法中，正確的個(gè)數(shù)有（）
①二次函數(shù)的圖象經(jīng)過兩點(diǎn)，m，n是關(guān)于x的元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，則恒成立．
②在半徑為r的中，弦互相垂直于點(diǎn)P，當(dāng)時(shí)，則．
③為平面直角坐標(biāo)系中的等腰直角三角形且，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)C是反比例函數(shù)的圖象上一點(diǎn)，則．
④已知矩形的一組鄰邊長(zhǎng)是關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且矩形的周長(zhǎng)值與面積值相等，則矩形的對(duì)角線長(zhǎng)是．
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【答案】C
【分析】利用二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系及二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可判斷①；過點(diǎn)O作，垂足分別為M，N，連接，先證明四邊形是矩形，再利用勾股定理，垂徑定理求解即可判斷②；先證明，進(jìn)而得出點(diǎn)C的坐標(biāo)，即可求解，進(jìn)而判斷③；先由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得出的值，再根據(jù)題意得出一元二次方程，求出a的值，進(jìn)而求解即可判斷④．
【詳解】∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過兩點(diǎn)，
∴當(dāng)時(shí)，，
∵m，n是關(guān)于x的元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，
∴，故①正確；
如圖，過點(diǎn)O作，垂足分別為M，N，連接，
∴M、N分別為的中點(diǎn)，，
∵弦互相垂直，
∴四邊形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴，故②正確；
當(dāng)點(diǎn)C在第一象限時(shí)，過點(diǎn)C作于點(diǎn)D，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為1,0，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，
∴，
∴，
∴
∵點(diǎn)C是反比例函數(shù)的圖象上一點(diǎn)，
∴；
當(dāng)點(diǎn)C在第二象限時(shí)，同理可得
∴；
綜上，或，故③錯(cuò)誤；
設(shè)矩形兩邊分別為m，n，
∵矩形的一組鄰邊長(zhǎng)是關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且矩形的周長(zhǎng)值與面積值相等，
∴，
∴，
解得（負(fù)舍），
∴，
∵矩形對(duì)角線，故④正確；
綜上，正確的個(gè)數(shù)有3個(gè)，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，勾股定理，垂徑定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，反比例函數(shù)的解析式，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系等，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
28．（2024·山東泰安·中考真題）如圖所示是二次函數(shù)的部分圖象，該函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是直線，圖象與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是2，則下列結(jié)論：①；②方程一定有一個(gè)根在和之間；③方程一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；④．其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【答案】B
【分析】本題主要考查的是圖象法求一元二次方程的近似值、拋物線與x軸的交點(diǎn)、二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系、二次函數(shù)與方程的關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)情況、二次函數(shù)與方程的關(guān)系、二次函數(shù)的性質(zhì)逐個(gè)判斷即可．
【詳解】解：∵拋物線的對(duì)稱軸為直線，
∴，
∴,
∴，故①正確；
∵拋物線的對(duì)稱軸為直線，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)在2、3之間，
∴與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)在、0之間，
∴方程一定有一個(gè)根在和0之間，故②錯(cuò)誤；
∵拋物線與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴方程一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故③正確；
∵拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)在，0之間，
∴，
∵圖象與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是2，
∴，
∴，
∴．故④錯(cuò)誤．
綜上，①③正確，共2個(gè)．
故選：B．
29．（2024·黑龍江牡丹江·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，，與y軸交點(diǎn)C的縱坐標(biāo)在～之間，根據(jù)圖象判斷以下結(jié)論：①；②；③若且，則；④直線與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)，則．其中正確的結(jié)論是（）
A．①②④B．①③④C．①②③D．①②③④
【答案】A
【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)和一元二次方程的關(guān)系，掌握二次函數(shù)和一元二次方程的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，
根據(jù)題意得到拋物線的解析式為，即可得到，，代入即可判斷①；根據(jù)判斷②；把代入，然后利用因式分解法解方程即可判斷③；然后把，代入解方程求出m的值判斷④．
【詳解】解：設(shè)拋物線的解析式為：，
∴，，
∴，故①正確；
∵點(diǎn)C的縱坐標(biāo)在～之間，
∴，即，
∴，故②正確；
∵，
∴，即，
∴，
又∵，
∴，故③錯(cuò)誤；
∵令相等，則
∴，解得（舍），，
∴，故④正確；
故選A．
30．（2024·吉林長(zhǎng)春·中考真題）若拋物線（是常數(shù)）與軸沒有交點(diǎn)，則的取值范圍是．
【答案】
【分析】本題主要考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)問題，掌握拋物線與x軸沒有交點(diǎn)與沒有實(shí)數(shù)根是解題的關(guān)鍵．
由拋物線與x軸沒有交點(diǎn)，運(yùn)用根的判別式列出關(guān)于c的一元一次不等式求解即可．
【詳解】解：∵拋物線與x軸沒有交點(diǎn)，
∴沒有實(shí)數(shù)根，
∴，．
故答案為：．
?考向二二次函數(shù)與不等式
31．（2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于，，其中．結(jié)合圖象給出下列結(jié)論：

①；②；
③當(dāng)x>1時(shí)，隨的增大而減??；
④關(guān)于的一元二次方程的另一個(gè)根是；
⑤的取值范圍為．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)判斷結(jié)論①②③正誤；由二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系判斷結(jié)論④；利用結(jié)論④及題中條件可求得的取值范圍，再由結(jié)論②可得取值范圍，判斷⑤是否正確．
【詳解】解：由圖可得：，對(duì)稱軸，
，
，①錯(cuò)誤；
由圖得，圖象經(jīng)過點(diǎn)，將代入y=ax2+bx+c可得，
，②正確；
該函數(shù)圖象與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，且，
對(duì)稱軸，
該圖象中，當(dāng)時(shí)，隨著的增大而減小，當(dāng)時(shí)，隨著的增大而增大，
當(dāng)x>1時(shí)，隨著的增大而減小，
③正確；
，，
關(guān)于的一元二次方程的根為，
，
，，
④正確；
，即，
解得，
即，
，
，
⑤正確．
綜上，②③④⑤正確，共個(gè)．
故選：．
【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、拋物線與軸的交點(diǎn)問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、二次函數(shù)與不等式的關(guān)系等知識(shí)，解題關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)．
?考向三實(shí)際問題與二次函數(shù)
32．（2024·山東濟(jì)南·中考真題）如圖1，是等邊三角形，點(diǎn)在邊上，，動(dòng)點(diǎn)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)出發(fā)，沿折線勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)后停止，連接．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，為．當(dāng)動(dòng)點(diǎn)沿勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，與的函數(shù)圖象如圖2所示．有以下四個(gè)結(jié)論：
①；
②當(dāng)時(shí)，；
③當(dāng)時(shí)，；
④動(dòng)點(diǎn)沿勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，兩個(gè)時(shí)刻，分別對(duì)應(yīng)和，若，則．其中正確結(jié)論的序號(hào)是（）
A．①②③ B．①② C．③④ D．①②④

【答案】D
【分析】由圖知當(dāng)動(dòng)點(diǎn)沿勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，，作于點(diǎn)，利用解直角三角形和勾股定理，即可得到，即可判斷①，當(dāng)時(shí)，證明是等邊三角形，即可判斷②，當(dāng)時(shí)，且時(shí)，最小，求出最小值即可判斷③，利用勾股定理分別表示出和進(jìn)行比較，即可判斷④．
【詳解】解：由圖知當(dāng)動(dòng)點(diǎn)沿勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，，
作于點(diǎn)，
是等邊三角形，點(diǎn)在邊上，，
，，
，，
，
，
故①正確；
當(dāng)時(shí)，，，
，
是等邊三角形，
，
，
故②正確；
當(dāng)時(shí)，且時(shí)，最小，
，，
，
最小為，即能取到，
故③錯(cuò)誤；
動(dòng)點(diǎn)沿勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，
，，
，，，
；
當(dāng)時(shí)，，，
；
，
；
故④正確；
綜上所述，正確的有①②④，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合，等邊三角形性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，涉及到動(dòng)點(diǎn)問題、讀懂函數(shù)圖象、正確理解題意，利用數(shù)形結(jié)合求解是解本題的關(guān)鍵．
33．（2024·天津·中考真題）從地面豎直向上拋出一小球，小球的高度（單位：）與小球的運(yùn)動(dòng)時(shí)間（單位：）之間的關(guān)系式是．有下列結(jié)論：
①小球從拋出到落地需要；
②小球運(yùn)動(dòng)中的高度可以是；
③小球運(yùn)動(dòng)時(shí)的高度小于運(yùn)動(dòng)時(shí)的高度．
其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】本題考查二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，令解方程即可判斷①；配方成頂點(diǎn)式即可判斷②；把和代入計(jì)算即可判斷③．
【詳解】解：令，則，解得：，，
∴小球從拋出到落地需要，故①正確；
∵，
∴最大高度為，
∴小球運(yùn)動(dòng)中的高度可以是，故②正確；
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
∴小球運(yùn)動(dòng)時(shí)的高度大于運(yùn)動(dòng)時(shí)的高度，故③錯(cuò)誤；
故選C．
34．（2024·廣西·中考真題）如圖，壯壯同學(xué)投擲實(shí)心球，出手（點(diǎn)P處）的高度是，出手后實(shí)心球沿一段拋物線運(yùn)行，到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，水平距離是，高度是．若實(shí)心球落地點(diǎn)為M，則．
【答案】
【分析】本題考查的是二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，設(shè)拋物線為，把點(diǎn)，代入即可求出解析式；當(dāng)時(shí)，求得x的值，即為實(shí)心球被推出的水平距離．
【詳解】解：以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線方向?yàn)閤軸正半軸，射線方向?yàn)閥軸正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，
∵出手后實(shí)心球沿一段拋物線運(yùn)行，到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，水平距離是，高度是．
設(shè)拋物線解析式為：，
把點(diǎn)代入得：，
解得：，
∴拋物線解析式為：；
當(dāng)時(shí)，，
解得，（舍去），，
即此次實(shí)心球被推出的水平距離為．
故答案為：
35．（2024·甘肅·中考真題）如圖1為一汽車停車棚，其棚頂?shù)臋M截面可以看作是拋物線的一部分，如圖2是棚頂?shù)呢Q直高度y（單位：）與距離停車棚支柱的水平距離x（單位：）近似滿足函數(shù)關(guān)系的圖象，點(diǎn)在圖象上．若一輛箱式貨車需在停車棚下避雨，貨車截面看作長(zhǎng)，高的矩形，則可判定貨車完全停到車棚內(nèi)（填“能”或“不能”）．
【答案】能
【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)題意求出當(dāng)時(shí)，y的值，若此時(shí)y的值大于，則貨車能完全停到車棚內(nèi)，反之，不能，據(jù)此求解即可．
【詳解】解：∵，，
∴，
在中，當(dāng)時(shí)，，
∵，
∴可判定貨車能完全停到車棚內(nèi)，
故答案為：能．
36．（2024·湖北·中考真題）如圖，某校勞動(dòng)實(shí)踐基地用總長(zhǎng)為80m的柵欄，圍成一塊一邊靠墻的矩形實(shí)驗(yàn)田，墻長(zhǎng)為42m．柵欄在安裝過程中不重疊、無(wú)損耗，設(shè)矩形實(shí)驗(yàn)田與墻垂直的一邊長(zhǎng)為x(單位：m)，與墻平行的一邊長(zhǎng)為y(單位：m)，面積為S(單位：)．
(1)直接寫出y與x，S與x之間的函數(shù)解析式(不要求寫x的取值范圍)；
(2)矩形實(shí)驗(yàn)田的面積S能達(dá)到嗎？如果能，求x的值；如果不能，請(qǐng)說明理由．
(3)當(dāng)x的值是多少時(shí)，矩形實(shí)驗(yàn)田的面積S最大？最大面積是多少？
【答案】(1)，
(2)
(3)當(dāng)時(shí)，實(shí)驗(yàn)田的面積S最大，最大面積是
【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，計(jì)算的取值范圍是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)，求出與的函數(shù)解析式，根據(jù)矩形面積公式求出與的函數(shù)解析式；
（2）先求出的取值范圍，再將代入函數(shù)中，求出的值；
（3）將與的函數(shù)配成頂點(diǎn)式，求出的最大值．
【詳解】（1）解：，
，
，
；
（2），
，
，
，
當(dāng)時(shí)，，
，
，
，
當(dāng)時(shí)，矩形實(shí)驗(yàn)田的面積能達(dá)到；
（3），
當(dāng)時(shí)，有最大值．
37．（2024·青海·中考真題）在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，有一斜坡，從點(diǎn)O處拋出一個(gè)小球，落到點(diǎn)處．小球在空中所經(jīng)過的路線是拋物線的一部分．
(1)求拋物線的解析式；
(2)求拋物線最高點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)斜坡上點(diǎn)B處有一棵樹，點(diǎn)B是的三等分點(diǎn)，小球恰好越過樹的頂端C，求這棵樹的高度．
【答案】(1)
(2)
(3)這棵樹的高為2
【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，其中涉及到待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)的求解方法，相似三角形的判定和性質(zhì)，難度適中利用數(shù)形結(jié)合與方程思想是解題的關(guān)鍵．
（1）利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）配成頂點(diǎn)式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；
（3）過點(diǎn)A、B分別作x軸的垂線，證明，利用相似三角形的性質(zhì)求得，，據(jù)此求解即可．
【詳解】（1）解：∵點(diǎn)是拋物線上的一點(diǎn)，
把點(diǎn)代入中，得：，
解得，
∴拋物線的解析式為；
（2）解：由（1）得：，
∴拋物線最高點(diǎn)對(duì)坐標(biāo)為；
（3）解：過點(diǎn)A、B分別作x軸的垂線，垂足分別是點(diǎn)E、D，
∵，，
∴，
∴，
又∵點(diǎn)B是的三等分點(diǎn)，
∴，
∵，
∴，，
∴，
解得，
∴，
解得，
∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為1，
將代入中，，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為，
∴，
∴，
答：這棵樹的高為2．
38．（2024·廣東·中考真題）廣東省全力實(shí)施“百縣千鎮(zhèn)萬(wàn)村高質(zhì)量發(fā)展工程”，2023年農(nóng)產(chǎn)品進(jìn)出口總額居全國(guó)首位，其中荔枝鮮果遠(yuǎn)銷歐美．某果商以每噸2萬(wàn)元的價(jià)格收購(gòu)早熟荔枝，銷往國(guó)外．若按每噸5萬(wàn)元出售，平均每天可售出100噸．市場(chǎng)調(diào)查反映：如果每噸降價(jià)1萬(wàn)元，每天銷售量相應(yīng)增加50噸．該果商如何定價(jià)才能使每天的“利潤(rùn)”或“銷售收入”最大？并求出其最大值．（題中“元”為人民幣）
【答案】當(dāng)定價(jià)為4.5萬(wàn)元每噸時(shí)，利潤(rùn)最大，最大值為312.5萬(wàn)元
【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，設(shè)每噸降價(jià)x萬(wàn)元，每天的利潤(rùn)為w萬(wàn)元，根據(jù)利潤(rùn)每噸的利潤(rùn)銷售量列出w關(guān)于x的二次函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．
【詳解】解：設(shè)每噸降價(jià)x萬(wàn)元，每天的利潤(rùn)為w萬(wàn)元，
由題意得，
，
∵，
∴當(dāng)時(shí)，w有最大值，最大值為，
∴，
答：當(dāng)定價(jià)為萬(wàn)元每噸時(shí)，利潤(rùn)最大，最大值為萬(wàn)元．
39．（2024·天津·中考真題）將一個(gè)平行四邊形紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O0,0，點(diǎn)，點(diǎn)在第一象限，且．
(1)填空：如圖①，點(diǎn)的坐標(biāo)為______，點(diǎn)的坐標(biāo)為______；
(2)若為軸的正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作直線軸，沿直線折疊該紙片，折疊后點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在軸的正半軸上，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為．設(shè)．
①如圖②，若直線與邊相交于點(diǎn)，當(dāng)折疊后四邊形與重疊部分為五邊形時(shí)，與相交于點(diǎn)．試用含有的式子表示線段的長(zhǎng)，并直接寫出的取值范圍；
②設(shè)折疊后重疊部分的面積為，當(dāng)時(shí)，求的取值范圍（直接寫出結(jié)果即可）．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得出結(jié)合勾股定理，即可作答．
（2）①由折疊得，，再證明是等邊三角形，運(yùn)用線段的和差關(guān)系列式化簡(jiǎn)，，考慮當(dāng)與點(diǎn)重合時(shí)，和當(dāng)與點(diǎn)B重合時(shí)，分別作圖，得出的取值范圍，即可作答．
②根據(jù)①的結(jié)論，根據(jù)解直角三角形的性質(zhì)得出，再分別以時(shí)，時(shí)，，分別作圖，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思路列式計(jì)算，即可作答．
【詳解】（1）解：如圖：過點(diǎn)C作
∵四邊形是平行四邊形，，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
故答案為：，
（2）解：①∵過點(diǎn)作直線軸，沿直線折疊該紙片，折疊后點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在軸的正半軸上，
∴，，
∴
∵
∴
∴
∵四邊形為平行四邊形，
∴，，
∴是等邊三角形
∴
∵
∴
∴；
當(dāng)與點(diǎn)重合時(shí)，
此時(shí)與的交點(diǎn)為E與A重合，
如圖：當(dāng)與點(diǎn)B重合時(shí)，
此時(shí)與的交點(diǎn)為E與B重合，
∴的取值范圍為；
②如圖：過點(diǎn)C作
由（1）得出，
∴，
∴
當(dāng)時(shí)，
∴，開口向上，對(duì)稱軸直線
∴在時(shí)，隨著的增大而增大
∴；
當(dāng)時(shí)，如圖：
∴，隨著的增大而增大
∴在時(shí)；在時(shí)；
∴當(dāng)時(shí)，
∵當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)E作，如圖：
∵由①得出是等邊三角形，
∴，
∴，
∴
∵
∴開口向下，在時(shí)，有最大值
∴
∴在時(shí)，
∴
則在時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，如圖，
∴，隨著的增大而減小
∴在時(shí)，則把分別代入
得出，
∴在時(shí)，
綜上：
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，解直角三角形的性質(zhì)，折疊性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．
40．（2024·貴州·中考真題）某超市購(gòu)入一批進(jìn)價(jià)為10元/盒的糖果進(jìn)行銷售，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：銷售單價(jià)不低于進(jìn)價(jià)時(shí)，日銷售量y（盒）與銷售單價(jià)x（元）是一次函數(shù)關(guān)系，下表是y與x的幾組對(duì)應(yīng)值．
(1)求y與x的函數(shù)表達(dá)式；
(2)糖果銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，所獲日銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少？
(3)若超市決定每銷售一盒糖果向兒童福利院贈(zèng)送一件價(jià)值為m元的禮品，贈(zèng)送禮品后，為確保該種糖果日銷售獲得的最大利潤(rùn)為392元，求m的值．
【答案】(1)
(2)糖果銷售單價(jià)定為25元時(shí)，所獲日銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是450元
(3)2
【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：
（1）利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）設(shè)日銷售利潤(rùn)為w元，根據(jù)利潤(rùn)=單件利潤(rùn)×銷售量求出w關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；
（3）設(shè)日銷售利潤(rùn)為w元，根據(jù)利潤(rùn)=單件利潤(rùn)×銷售量-m×銷售量求出w關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．
【詳解】（1）解∶設(shè)y與x的函數(shù)表達(dá)式為，
把，；，代入，得，
解得，
∴y與x的函數(shù)表達(dá)式為；
（2）解：設(shè)日銷售利潤(rùn)為w元，
根據(jù)題意，得
，
∴當(dāng)時(shí)，有最大值為450，
∴糖果銷售單價(jià)定為25元時(shí)，所獲日銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是450元；
（3）解：設(shè)日銷售利潤(rùn)為w元，
根據(jù)題意，得
，
∴當(dāng)時(shí)，有最大值為，
∵糖果日銷售獲得的最大利潤(rùn)為392元，
∴，
化簡(jiǎn)得
解得，
當(dāng)時(shí)，,
則每盒的利潤(rùn)為：,舍去，
∴m的值為2．
41．（2024·河南·中考真題）從地面豎直向上發(fā)射的物體離地面的高度滿足關(guān)系式，其中是物體運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，是物體被發(fā)射時(shí)的速度．社團(tuán)活動(dòng)時(shí)，科學(xué)小組在實(shí)驗(yàn)樓前從地面豎直向上發(fā)射小球．
(1)小球被發(fā)射后_________時(shí)離地面的高度最大（用含的式子表示）．
(2)若小球離地面的最大高度為，求小球被發(fā)射時(shí)的速度．
(3)按（2）中的速度發(fā)射小球，小球離地面的高度有兩次與實(shí)驗(yàn)樓的高度相同．小明說：“這兩次間隔的時(shí)間為．”已知實(shí)驗(yàn)樓高，請(qǐng)判斷他的說法是否正確，并說明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)小明的說法不正確，理由見解析
【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：
（1）把函數(shù)解析式化成頂點(diǎn)式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；
（2）把，代入求解即可；
（3）由（2），得，把代入，求出t的值，即可作出判斷.
【詳解】（1）解：
，
∴當(dāng)時(shí)，h最大，
故答案為：；
（2）解：根據(jù)題意，得
當(dāng)時(shí)，，
∴，
∴（負(fù)值舍去）；
（3）解：小明的說法不正確．
理由如下：
由（2），得，
當(dāng)時(shí)，，
解方程，得，，
∴兩次間隔的時(shí)間為，
∴小明的說法不正確．
42．（2024·新疆·中考真題）某公司銷售一批產(chǎn)品，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，當(dāng)銷售量在0.4噸至3.5噸之間時(shí)，銷售額（萬(wàn)元）與銷售量x（噸）的函數(shù)解析式為；成本（萬(wàn)元）與銷售量x（噸）的函數(shù)圖象是如圖所示的拋物線的一部分，其中是其頂點(diǎn)．
(1)求出成本關(guān)于銷售量x的函數(shù)解析式；
(2)當(dāng)成本最低時(shí)，銷售產(chǎn)品所獲利潤(rùn)是多少？
(3)當(dāng)銷售量是多少噸時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)是多少？（注：利潤(rùn)=銷售額成本）
【答案】(1)
(2)銷售產(chǎn)品所獲利潤(rùn)是萬(wàn)元；
(3)當(dāng)銷售量噸時(shí)，獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)為：萬(wàn)元；
【分析】（1）設(shè)拋物線為：，再利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）先求解當(dāng)時(shí)，成本的最小值為，再計(jì)算銷售額，從而可得答案；
（3）設(shè)銷售利潤(rùn)為萬(wàn)元，可得，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)解題即可；
【詳解】（1）解：∵成本（萬(wàn)元）與銷售量x（噸）的函數(shù)圖象是如圖所示的拋物線的一部分，其中是其頂點(diǎn)．
∴設(shè)拋物線為：，
把代入可得：，
解得：，
∴拋物線為；
（2）解：∵，
∴當(dāng)時(shí)，成本最小值為，
∴，
∴銷售產(chǎn)品所獲利潤(rùn)是（萬(wàn)元）；
（3）解：設(shè)銷售利潤(rùn)為萬(wàn)元，
∴
，
當(dāng)時(shí)，獲得最大利潤(rùn)，
最大利潤(rùn)為：（萬(wàn)元）；
【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法的含義，熟練的建立二次函數(shù)的關(guān)系式是解本題的關(guān)鍵．
43．（2024·陜西·中考真題）一條河上橫跨著一座宏偉壯觀的懸索橋．橋梁的纜索與纜索均呈拋物線型，橋塔與橋塔均垂直于橋面，如圖所示，以O(shè)為原點(diǎn)，以直線為x軸，以橋塔所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．

已知：纜索所在拋物線與纜索所在拋物線關(guān)于y軸對(duì)稱，橋塔與橋塔之間的距離，，纜索的最低點(diǎn)P到的距離（橋塔的粗細(xì)忽略不計(jì)）
(1)求纜索所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)點(diǎn)E在纜索上，，且，，求的長(zhǎng)．
【答案】(1)；
(2)的長(zhǎng)為．
【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，根據(jù)題意求得函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)題意設(shè)纜索所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，把代入求解即可；
（2）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得到纜索所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，由，把代入求得，，據(jù)此求解即可．
【詳解】（1）解：由題意得頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，
設(shè)纜索所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，
把代入得，
解得，
∴纜索所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式為；
（2）解：∵纜索所在拋物線與纜索所在拋物線關(guān)于y軸對(duì)稱，
∴纜索所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，
∵，
∴把代入得，，
解得，，
∴或，
∵，
∴的長(zhǎng)為．
44．（2024·山西·中考真題）大棚經(jīng)濟(jì)“金鑰匙”，激活鄉(xiāng)村產(chǎn)業(yè)振興新引擎．劉叔叔計(jì)劃在自家菜地修建一個(gè)蔬菜大棚，圖是其橫截面的示意圖，其中，為兩段垂直于地面的墻體，兩段墻體之間的水平距離為米，大棚的頂部用拋物線形鋁合金骨架作支撐．已知骨架的一端固定在離地面米的墻體處，另一端固定在墻體處，骨架最高點(diǎn)到墻體的水平距離為米，且點(diǎn)離地面的高度為米．

數(shù)學(xué)建模
（1）在圖中，以為原點(diǎn)，水平直線為軸，所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系．設(shè)大棚頂部骨架上某處離地面的高度為（米），該處離墻體的水平距離為（米），求與之間的函數(shù)關(guān)系式；
問題解決
（2）為了大棚頂部更加穩(wěn)固，劉叔叔計(jì)劃在棚頂安裝“丁”字形鋁合金支架，如圖2所示，支架可以看成是由線段，組成，其中點(diǎn)，在頂棚拋物線形骨架上，于點(diǎn)．為不影響耕作，將點(diǎn)E到地面的距離定為米．
點(diǎn)的坐標(biāo)為______，的長(zhǎng)為______；
請(qǐng)你計(jì)算做一個(gè)“丁”字形支架所需鋁合金材料的最大長(zhǎng)度．（結(jié)果精確到米．參考數(shù)據(jù)：）
【答案】（）；（），；米．
【分析】（）根據(jù)題意得，拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)與之間的函數(shù)關(guān)系式為，然后用待定系數(shù)法即可求解；
（）當(dāng)時(shí)，，解得：即可求出，再用兩點(diǎn)之間的距離公式求出；
②過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，求出所在直線的函數(shù)表達(dá)式，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則，當(dāng)時(shí)，最大，再根據(jù)，得出，最后根據(jù)線段和差即可求解；
本題考查了二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：（）根據(jù)題意得，拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，
設(shè)與之間的函數(shù)關(guān)系式為，
由題意得，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
將代入，
得，解，得，
，
即與之間的函數(shù)關(guān)系式為，
（）由（）得，
當(dāng)時(shí)，，解得：或（舍去），
∴，
∵，
∴，
故答案為：，；
②過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，

設(shè)所在直線的函數(shù)表達(dá)式為，
將分別代入，
得解，得，
∴所在直線的函數(shù)表達(dá)式為，
設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
點(diǎn)在拋物線的圖象上，
，，
，
，且，
有最大值，當(dāng)時(shí)，最大，
軸，
，
又，，，
，
，
當(dāng)時(shí)，有最大值，
當(dāng)時(shí)，有最大值，
此時(shí)，米．
∴需要鋁合金材料的最大長(zhǎng)度約為米．
45．（2024·江西·中考真題）如圖，一小球從斜坡O點(diǎn)以一定的方向彈出球的飛行路線可以用二次函數(shù)刻畫，斜坡可以用一次函數(shù)刻畫，小球飛行的水平距離x（米）與小球飛行的高度y（米）的變化規(guī)律如下表：
(1)①______，______；
②小球的落點(diǎn)是A，求點(diǎn)A的坐標(biāo)．
(2)小球飛行高度y（米）與飛行時(shí)間t（秒）滿足關(guān)系．
①小球飛行的最大高度為______米；
②求v的值．
【答案】(1)①3，6；②；
(2)①8，②
【分析】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用以及從圖象和表格中獲取數(shù)據(jù)，
（1）①由拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為可建立過于a，b的二元一次方程組，求出a，b的值即可；②聯(lián)立兩函數(shù)解析式求解，可求出交點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）①根據(jù)第一問可知最大高度為8米；
②將小球飛行高度與飛行時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式化簡(jiǎn)為頂點(diǎn)式即可求得v值．
【詳解】（1）解：①根據(jù)小球飛行的水平距離x（米）與小球飛行的高度y（米）的變化規(guī)律表可知：拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
∴，
解得：，
∴二次函數(shù)解析式為，
當(dāng)時(shí)，，
解得：或（舍去），
∴，
當(dāng)時(shí)，，
故答案為：3，6．
②聯(lián)立得：，
解得：或，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是，
（2）①由題干可知小球飛行最大高度為8米，
故答案為：8；
②，
則，
解得（負(fù)值舍去）．
一、單選題
1．（2024·上?！つM預(yù)測(cè)）下列關(guān)于函數(shù)的說法正確的是（）
A．任何函數(shù)都與x軸有交點(diǎn)B．一次函數(shù)，二次函數(shù)都與y軸有交點(diǎn)
C．反比例函數(shù)與y軸的交點(diǎn)為（0，0）D．原點(diǎn)不在坐標(biāo)軸上
【答案】B
【分析】本題考查了正比例函數(shù)與一次函數(shù)，二次函數(shù)，反比例函數(shù)的定義，正確把握它們的區(qū)別與聯(lián)系是解題的關(guān)鍵．
直接利用一次函數(shù)，二次函數(shù)，反比例函數(shù)的定義判斷即可．
【詳解】解：A、任何函數(shù)都不一定與x軸有交點(diǎn)，原說法不正確，故此選項(xiàng)不符合題意．
B、一次函數(shù)，二次函數(shù)都與y軸有交點(diǎn)，原說法正確，故此選項(xiàng)符合題意．
C、反比例函數(shù)與y軸不會(huì)有交點(diǎn)，原說法不正確，故此選項(xiàng)不符合題意．
D、原點(diǎn)是坐標(biāo)軸上的點(diǎn)，原說法不正確，故此選項(xiàng)不符合題意．
故選：B．
2．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）關(guān)于二次函數(shù) ，以下說法錯(cuò)誤的是（）
A．開口向上B．對(duì)稱軸為直線
C．有最小值D．與y軸交點(diǎn)為
【答案】B
【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)逐一進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：，
∴拋物線的開口向上，對(duì)稱軸為直線，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值最小為，當(dāng)時(shí)，，
∴拋物線與y軸交點(diǎn)為；
故只有選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
故選B．
3．（2024·河南·三模）如圖所示，在邊長(zhǎng)為1的正方形中，點(diǎn)P是邊上不與端點(diǎn)重合的一動(dòng)點(diǎn)，連接、過點(diǎn)P作交正方形外角的平分線于點(diǎn)Q，則有關(guān)面積的說法正確的為（）．
A．有最大值為B．有最小值為C．有最大值為D．有最小值為
【答案】C
【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、二次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，求出面積的解析式成為解題的關(guān)鍵．
如圖：連接，過P作交于G，過Q作于K，先證明可得，再證，進(jìn)而得到，設(shè)，則，進(jìn)而得到，最后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值即可解答．
【詳解】解：如圖：連接，過P作交于G，過Q作于K，
∵四邊形為正方形；
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵正方形外角的平分線，
∴，
∴，
∵
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
設(shè)，則，
∴，
∴當(dāng)時(shí)，即時(shí)，面積有最大值．
故選C．
4．（2024·上?！つM預(yù)測(cè)）新定義：與被稱為“同族二次函數(shù)”，若和是同族二次函數(shù)，則二次函數(shù)的開口方向和最值為（）
A．開口向上，最小值為2018B．開口向下，最大值為2018
C．開口向上，最小值為2019D．開口向下，最大值為2019
【答案】C
【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．根據(jù)“同族二次函數(shù)”的定義可求出a，b的值，即可求解．
【詳解】解：∵，
∴，
∵和是同族二次函數(shù)，
∴，
解得：，
∴二次函數(shù)，
∴二次函數(shù)的開口方向向上，有最小值2019．
故選：C
5．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知開口向下的拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線x=2．則下列結(jié)論正確的有（）
①；②；③方程的兩個(gè)根為；④拋物線上有兩點(diǎn)Px1,y1和Qx2,y2，若且，則
A．5個(gè)B．4個(gè)C．3個(gè)D．2個(gè)
【答案】D
【分析】根據(jù)拋物線開口方向，對(duì)稱軸位置，拋物線與軸交點(diǎn)位置判斷①；由拋物線的對(duì)稱性可判斷②；由二次函數(shù)與方程的關(guān)系，以及根與系數(shù)的關(guān)系可判斷③；由二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷④．本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)與方程的關(guān)系．
【詳解】解：拋物線開口向下，
，
拋物線交軸于正半軸，
，
，
，
，故①正確；
拋物線對(duì)稱軸為直線，時(shí)，，
時(shí)，，
，故②正確；
由可得方程的解，，
拋物線與軸交于點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線，
拋物線與軸另一個(gè)交點(diǎn)為，
方程的兩個(gè)根為，6，
，，
，
而若方程的兩個(gè)根為，，
則，，故③錯(cuò)誤；
拋物線開口向下，對(duì)稱軸為直線，
若且，
則點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離小于到直線的距離，
，故④錯(cuò)誤．
故選：D．
6．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）已知關(guān)于的二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，隨的增大而減?。耶?dāng)時(shí)，有最大值2．則的值為（）
A．B．1C．?1D．
【答案】B
【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，先求出對(duì)稱軸，根據(jù)增減性確定的符號(hào)，再根據(jù)最值求出的值即可．
【詳解】解：∵，
∴對(duì)稱軸為直線，
∵當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，
∴拋物線的開口向上，
∴，拋物線上的點(diǎn)離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越大，
∵，，
∴當(dāng)時(shí)，有最大值為，
解得：或（舍去）；
故選B．
7．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）如圖是拋物線的部分圖象，其頂點(diǎn)為M，與y軸交于點(diǎn)0,3，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A，連接，．以下結(jié)論：①拋物線經(jīng)過點(diǎn)?2,3；②；③；④當(dāng)時(shí)，．其中正確的是（）（填序號(hào)）
A．①④B．①③④C．①②④D．①②③
【答案】A
【分析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，根據(jù)題目找出拋物線的解析式是解題的關(guān)鍵，再利用其性質(zhì)求解．
根據(jù)拋物線與y軸交于點(diǎn)，可以求得m的值，從而可以判斷②是否正確；然后將代入求得的函數(shù)解析式，即可判斷①是否正確；然后令，求出x的值，即可得到點(diǎn)A的坐標(biāo)，再根據(jù)拋物線解析式可以得到點(diǎn)M的坐標(biāo)，從而可以求得的面積，從而可以判斷③是否正確；再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可判斷④是否正確．
【詳解】解：∵拋物線與y軸交于點(diǎn)，
∴，得，故②錯(cuò)誤；
∴拋物線，
當(dāng)時(shí)，，
即拋物線過點(diǎn)，故①正確；
當(dāng)時(shí)，，
解得，，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為，
∴，
∵拋物線，頂點(diǎn)為M，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為，
∴，故③錯(cuò)誤；
∵拋物線與x軸的交點(diǎn)為，
∴當(dāng)時(shí)，，
∴當(dāng)時(shí)，，故④正確；
綜上：正確的有①④，
故選：A．
8．（2024·天津·模擬預(yù)測(cè)）利用長(zhǎng)為的墻和長(zhǎng)的籬笆來(lái)圍成一個(gè)矩形苗圃園，若平行于墻的一邊長(zhǎng)不小于，有下列結(jié)論：
（1）垂直于墻的一邊長(zhǎng)可以為15；
（2）矩形苗圃園的最小面積是，最大面積是；
（3）垂直于墻的一邊長(zhǎng)有兩個(gè)不同的值滿足矩形苗圃園面積為．
其中正確的個(gè)數(shù)有（）個(gè)．
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，建立二次函數(shù)模型，并熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)．
設(shè)垂直于墻一邊的長(zhǎng)度為，則平行于墻的一邊長(zhǎng)度為，根據(jù)平行于墻的一邊長(zhǎng)不小于，得出x的取值范圍為，從而判斷（1）正確；令苗圃的面積為y，根據(jù)矩形的面積長(zhǎng)乘以寬列出函數(shù)解析式，由函數(shù)的性質(zhì)求出最值可以判斷（2）；令，解方程求出x，再根據(jù)x的取值范圍可以判斷（3）．
【詳解】解：設(shè)垂直于墻一邊的長(zhǎng)度為，則平行于墻的一邊長(zhǎng)度為，
由題意知，
解得，
∴垂直于墻的一邊長(zhǎng)可以為15，故（1）正確，符合題意；
令苗圃的面積為y，
則，
∵，
∴當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小，
當(dāng)時(shí)，y取得最大值，最大值為，
當(dāng)時(shí)，y取得最小值，最小值為，故（2）錯(cuò)誤，不符合題意；
當(dāng)苗圃的面積為128時(shí)，，
解得，
∵，
∴，
∴垂直于墻的一邊長(zhǎng)為時(shí)，滿足矩形苗圃園面積為，故（3）錯(cuò)誤，不符合題意；
故選：B．
9．（2024·山西·模擬預(yù)測(cè)）已知，若關(guān)于的方程的解為，關(guān)于的方程的解為，則下列結(jié)論正確的是（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本題考查了拋物線與一元二次方程的關(guān)系，把，看做是直線與拋物線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，把，看做是直線與拋物線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，畫出對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象即可得到答案，正確把一元二次方程的解轉(zhuǎn)換成直線與拋物線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：如圖所示，設(shè)直線與拋物線交于兩點(diǎn)，直線與拋物線交于兩點(diǎn)，
∵，若關(guān)于的方程的解為，關(guān)于的方程的解為，
∴，，，分別是的橫坐標(biāo)，
∴根據(jù)圖象可知：，
故選：．
10．（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）如圖，根據(jù)坐標(biāo)系中所繪制的圖象及相關(guān)數(shù)據(jù)可知該拋物線的解析式為（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本題考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，交點(diǎn)式：是常數(shù)，，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合．
求出，設(shè)其解析式為交點(diǎn)式得到，代入求解即可判斷．
【詳解】解：由圖象可知拋物線開口向上，且與軸的交點(diǎn)為，
根據(jù)圖象夾角為，
∴，
∵對(duì)稱軸為，
∴，
∴設(shè)拋物線的解析式為，
將代入可得，
解得，
∴拋物線的解析式為，
故選：C．
二、填空題
11．（2024·上?！つM預(yù)測(cè)）請(qǐng)寫出一個(gè)二次函數(shù)，符合頂點(diǎn)在第二象限，對(duì)稱軸左側(cè)上升，交y軸于正半軸
【答案】（答案不唯一）
【分析】此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是會(huì)利用函數(shù)的性質(zhì)確定解析式的各項(xiàng)系數(shù)．
【詳解】解：二次函數(shù)為，
故答案為：．
12．（2024·山西·模擬預(yù)測(cè)）實(shí)驗(yàn)中學(xué)某物理興趣小組的同學(xué)們?cè)O(shè)計(jì)了一個(gè)飲水機(jī)模型，其電路連接示意圖如圖甲所示，經(jīng)過對(duì)工作電路進(jìn)行研究：將變阻器R的滑片從一端滑到另一端，保持固定電阻不變，繪制出變阻器R消耗的電功率P隨電流I變化的關(guān)系圖象（如圖乙）．該圖象是經(jīng)過原點(diǎn)的一條拋物線的一部分，則變阻器R消耗的電功率P最大為 W．
【答案】220
【分析】本題考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，進(jìn)而利用二次函數(shù)的的性質(zhì)求出最大值即可．
【詳解】解：∵該圖象是經(jīng)過原點(diǎn)的一條拋物線的一部分，過和點(diǎn)
∴拋物線的對(duì)稱軸為，
設(shè)拋物線的解析式為，
∴
解得
∴
∵，
∴拋物線有最大值為220，
即變阻器R消耗的電功率P最大為，
故答案為：220
13．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示．有下列結(jié)論．①；②；③；④；⑤．其中，正確結(jié)論的是．
【答案】①②③④
【分析】本題考查二次函數(shù)圖象和性質(zhì)．熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．
拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，，①正確；拋物線開口、對(duì)稱軸和y軸的交點(diǎn)可以判斷出，，，②正確；③利用對(duì)稱軸，即，替換掉，把代入函數(shù)，可得；③正確；④把代入后得到，其對(duì)應(yīng)的值小于0，故④正確；把代入后相乘可得到，所以⑤錯(cuò)誤．
【詳解】解：拋物線與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，因此，故①正確；
拋物線開口向上，因此，
對(duì)稱軸為，a、b異號(hào)，因此，
拋物線與y軸交在負(fù)半軸，因此，所以，故②正確；
由圖象可知，當(dāng)時(shí)，，又對(duì)稱軸，即：，所以，故③正確；
當(dāng)時(shí)，，因此④正確；
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以，即，也就是，故⑤錯(cuò)誤，
綜上所述，正確結(jié)論有：①②③④．
故答案為：①②③④．
14．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線交軸于點(diǎn) ，，交軸于點(diǎn) ，作平行四邊形，邊交拋物線于點(diǎn)，連接，若的面積是，則的值為．
【答案】
【分析】本題考查二次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；
根據(jù)題意求得對(duì)稱軸為的直線，令，則，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求解點(diǎn)的坐標(biāo)，證明，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，代入二次函數(shù)解析式即可求解；
【詳解】解：根據(jù)題意可知對(duì)稱軸為：；
令，則，
故，
將代入中，
，
解得：或，
故，
，
，
，
，
將代入，
，
解得：；
故答案為：
15．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）已知二次函數(shù) （）的圖象過，四個(gè)點(diǎn)，則大小關(guān)系為．
【答案】
【分析】
本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．先求函數(shù)對(duì)稱軸，則、、、的橫坐標(biāo)離對(duì)稱軸越近，則縱坐標(biāo)越小，由此判斷的大小．
【詳解】解∵二次函數(shù) ，
∴二次函數(shù)開口向上，對(duì)稱軸為直線，
∴各個(gè)點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離越近越小，
∵，且，
∴，
故答案為：．
16．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）拋物線，對(duì)稱軸為．下列說法：①一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；②對(duì)任意的實(shí)數(shù)m，不等式恒成立；③拋物線經(jīng)過點(diǎn)；④若，且，則．正確的有（填序號(hào)）．
【答案】①③④
【分析】本題考查二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)等問題，掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
①根據(jù)二次函數(shù)對(duì)稱軸是直線得出并結(jié)合條件得出，然后通過判斷一元二次方程的符號(hào)解答即可；②通過分解因式得出，利用解答；③把代入解答即可；④通過對(duì)分解因式得出結(jié)合條件判斷即可．
【詳解】∵中，對(duì)稱軸為，
，
，
，
，
一元二次方程中，，
，
，
∴一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故①正確；

，
，
，故②錯(cuò)誤；
，
，
把代入得，
∴拋物線經(jīng)過點(diǎn)，故③正確；
，
，

，
，
，
，故④正確；
∴正確的有①③④，
故答案為：①③④．
17．（2024·上海·模擬預(yù)測(cè)）若是關(guān)于的方程的兩實(shí)數(shù)根，Aa,0，則之間距離的最小值為．
【答案】
【分析】本題考查了一元二次方程根和系數(shù)的關(guān)系，兩點(diǎn)間距離公式，根的判別式，完全平方公式，二次函數(shù)的性質(zhì)，利用根和系數(shù)的關(guān)系可得，，進(jìn)而得到，再利用根的判別式可得，得到，最后利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解，掌握一元二次方程根和系數(shù)的關(guān)系及根的判別式是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵是關(guān)于的方程的兩實(shí)數(shù)根，
∴，，
∴
∵，
∴，
∵，
∴當(dāng)時(shí)，取最小值，最小值為，
∴的最小值為，即之間距離的最小值為，
故答案為：．
18．（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）如圖，，，繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到．，垂足為E，點(diǎn)M在線段上，垂足為N，O為中點(diǎn)，當(dāng)取得最大值時(shí)，面積的最大值為．
【答案】
【分析】由，可知在以為圓心，為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，如圖，作于，證明，則，可知當(dāng)取得最大值時(shí)，最大，此時(shí)重合，，，設(shè)，則，，，由，可知當(dāng)時(shí)，最大，計(jì)算求解即可．
【詳解】解：∵，
∴在以為圓心，為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，如圖，作于，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴當(dāng)取得最大值時(shí)，最大，此時(shí)重合，，
∴，
設(shè)，則，，
∴，
∵，
∴當(dāng)時(shí)，最大為，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了的圓周角所對(duì)的弦為直徑，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，正切，二次函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)的最值等知識(shí)．熟練掌握的圓周角所對(duì)的弦為直徑，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，正切，二次函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)的最值是解題的關(guān)鍵．
三、解答題
19．（2024·北京·模擬預(yù)測(cè)）已知均為正整數(shù)，交軸于，兩點(diǎn)，其中至原點(diǎn)的距離均小于1．
(1)比較： 0； 0
(2)求的最小值，并給出一組符合要求的
【答案】(1)，
(2)最小，分別取、、的值為5、5、1．
【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題，解題的關(guān)鍵是利用二次函數(shù)的對(duì)稱軸及與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的特點(diǎn)進(jìn)行求解；
（1）根據(jù)條件判斷出對(duì)稱軸在軸的左邊，再根據(jù)與軸的交點(diǎn)在非負(fù)半軸即可判斷；
（2）設(shè)，．利用根與系數(shù)的關(guān)系、根的判別式得到且①，則②，且．可得③，由③得，故，又因?yàn)?，分別取、、的最小整數(shù)5、5、1．
【詳解】（1）解：的對(duì)稱軸，，
，
，
，
故答案為：，；
（2）解：設(shè)，．．
據(jù)題意得，方程有兩個(gè)相異根，都在中，
故當(dāng)時(shí)，，則，一元二次方程的兩根且①，
可見②，且．
所以，可得，③
由③得，故，
又因?yàn)?，分別取、、的最小整數(shù)5、5、1．
經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意，
所以最?。?br>20．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與軸交于點(diǎn)C，且．
(1)求二次函數(shù)的解析式．
(2)平移該二次函數(shù)的圖象，使平移后的二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，若當(dāng)時(shí)函數(shù)的最大值為7，求的值．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）解∶當(dāng)時(shí)，
即，解得，，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為．
當(dāng)時(shí)，．
∵，
∴，解得，
∴二次函數(shù)的解析式為．
（2）由題意可知，，
∵將函數(shù)圖象平移后，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
∴平移后的函數(shù)解析式為，
∴平移后的函數(shù)的對(duì)稱軸為直線．
當(dāng)，時(shí)函數(shù)取得最大值，
即，解得或，均不符合題意，舍去；
當(dāng)，時(shí)函數(shù)取得最大值，
即，解得，符合題意．
綜上所述，的值為．
21．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）科學(xué)研究表明：一般情況下，在一節(jié)的課堂中，學(xué)生的注意力隨教師講課的時(shí)間變化而變化．經(jīng)過實(shí)驗(yàn)分析，在時(shí)，學(xué)生的注意力呈直線上升，學(xué)生的注意力指數(shù)y與時(shí)間滿足關(guān)系；以后，學(xué)生的注意力指數(shù)y與時(shí)間的圖象呈拋物線形，到第時(shí)學(xué)生的注意力指數(shù)y達(dá)到最大值92，而后學(xué)生的注意力開始分散，直至下課結(jié)束．
(1)當(dāng)時(shí)，注意力指數(shù)y為，8min以后，學(xué)生的注意力指數(shù)y與時(shí)間x(min)的函數(shù)關(guān)系式是；
(2)若學(xué)生的注意力指數(shù)不低于80，稱為“理想聽課狀態(tài)”，則在一節(jié)的課中學(xué)生處于“理想聽課狀態(tài)”所持續(xù)的時(shí)間有多長(zhǎng)（精確到）？
(3)現(xiàn)有一道數(shù)學(xué)壓軸題，教師必須持續(xù)講解，為了使效果更好，要求學(xué)生的注意力指數(shù)在這內(nèi)的最低值達(dá)到最大，則該教師上課后從第幾分鐘開始講解這道題(精確到；參考數(shù)據(jù))？
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)題意把代入，得到，即可解答．根據(jù)頂點(diǎn)式寫出拋物線表達(dá)式，將，代入即可得到解析式；
（2）根據(jù)對(duì)兩個(gè)函數(shù)列出不等式，求解即可；
（3）設(shè)出未知數(shù)，根據(jù)條件列出方程，解方程即可．
本題考查是二次函數(shù)的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是利用頂點(diǎn)式求出解析式，利用條件列出不等式，求出根據(jù)和當(dāng)時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相同求出t的值．
【詳解】（1）解：根據(jù)題意，把代入可得：，
∵以后，學(xué)生的注意力指數(shù)y與時(shí)間的圖象呈拋物線形，第時(shí)學(xué)生的注意力指數(shù)y達(dá)到最大值92，
∴可設(shè)拋物線的解析式為：，
把代入可得：，
解得：，
∴，
故答案為：84，；
（2）解：由學(xué)生的注意力指數(shù)不低于80，即，
當(dāng)時(shí)，由可得：；
當(dāng)時(shí)，則，即，
整理得：，解得：，
∴（分鐘），
答：在一節(jié)45分鐘的課中學(xué)生處于“理想聽課狀態(tài)”所持續(xù)的時(shí)間約有20分鐘；
（3）解：設(shè)教師上課后從第t分鐘開始講解這道題，
由于，
要使學(xué)生的注意力指數(shù)在這24分鐘內(nèi)的最低值達(dá)到最大，
則當(dāng)和當(dāng)時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相同，
即，
整理得：
解得：（不合題意，舍去）
∴
答：教師上課后從第4分鐘開始講解這道題，能使學(xué)生的注意力指數(shù)在這24分鐘內(nèi)的最低值達(dá)到最大．
22．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)二次函數(shù)．
(1)若a為整數(shù)，二次函數(shù)圖象過點(diǎn)（其中n是正整數(shù)），求拋物線的對(duì)稱軸．
(2)若，為拋物線上兩個(gè)不同的點(diǎn)．
①當(dāng)時(shí)，，求a的值．
②若對(duì)于，都有，求a的取值范圍．
【答案】(1)對(duì)稱軸為直線
(2)①；②
【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、二次函數(shù)與一元二次方程、二次函數(shù)的對(duì)稱軸公式，
（1）把代入，求得，，從而可得，再代入對(duì)稱軸公式求解即可；
（2）①根據(jù)對(duì)稱軸為直線，進(jìn)行求解即可；
②根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得，即可求解．
【詳解】（1）解：把代入，得，
解得，，．
∵n是正整數(shù)，a為整數(shù)，
（舍去），．則，
∴對(duì)稱軸為直線．
（2）解：①時(shí)，，
，Nx2,y2兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，
則對(duì)稱軸為直線，
．
②由題意可知，對(duì)于任意的，y隨x的增大而增大，
可得，
解得．
23．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）某同學(xué)將廣場(chǎng)上不斷變換的燈光秀抽象為線段和拋物線，并將其一部分描畫在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)B的坐標(biāo)為，拋物線經(jīng)過點(diǎn)A．

(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)，并判斷點(diǎn)B是否在該拋物線上；
(2)若線段以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向下平移，設(shè)平移的時(shí)間為t秒．
當(dāng)線段平移到點(diǎn)B落在拋物線上時(shí)，求t的值；
若拋物線同時(shí)以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向下平移，拋物線在y軸及其右側(cè)的部分與所在的直線總有兩個(gè)公共點(diǎn)，直接寫出t的取值范圍．
【答案】(1)，頂點(diǎn)坐標(biāo)，點(diǎn)B不在拋物線上
(2)；
【分析】本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì)與平移規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
（1）將A代入拋物線，求出k值，即可得到解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)，再將點(diǎn)B的橫坐標(biāo)代入解析式看結(jié)果與點(diǎn)B縱坐標(biāo)是否相等，即可判斷點(diǎn)B是否在拋物線上；
（2）根據(jù)平移的性質(zhì)得到平移后點(diǎn)B的坐標(biāo)為，將其代入拋物線，解方程即可；求出平移后點(diǎn)C的坐標(biāo)為，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，直線為，找到臨界點(diǎn)，即直線在拋物線頂點(diǎn)（不包含頂點(diǎn)）到過點(diǎn)C（包含點(diǎn)C）之間時(shí)，拋物線在y軸及其右側(cè)的部分與所在的直線總有兩個(gè)公共點(diǎn)，據(jù)此列方程求解即可．
【詳解】（1）解：將點(diǎn)代入中，得，
解得，
，
，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
將代入，得，
∴點(diǎn)B不在拋物線上；
（2）解：①平移后點(diǎn)B的坐標(biāo)為，
當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，有，
解得；
② 平移后點(diǎn)C的坐標(biāo)為，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
直線為，
當(dāng)點(diǎn)C落在直線上時(shí)，，
解得：，此時(shí)有2個(gè)公共點(diǎn)；
當(dāng)頂點(diǎn)落在直線上時(shí)，，
解得：，此時(shí)有1個(gè)公共點(diǎn)．
∴拋物線在y軸及其右側(cè)的部分與所在的直線總有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，t的取值范圍為．
24．（2024·山東·模擬預(yù)測(cè)）某服裝店購(gòu)進(jìn)一批襯衣，成本價(jià)每件元，若售價(jià)為元，則每月能售出件．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，售價(jià)每增長(zhǎng)一元，則銷量將減少件．
(1)求出月銷售利潤(rùn)（元）與售價(jià)（元/件）之間的函數(shù)關(guān)系式．
(2)試問：當(dāng)每件襯衣售價(jià)為多少元時(shí)，服裝店所獲月利潤(rùn)最大，并求最大利潤(rùn)為多少？
【答案】(1)
(2)當(dāng)價(jià)格為元時(shí)，才服裝店所獲月利潤(rùn)最大，并求最大利潤(rùn)為元
【分析】本題考查二次函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，確定與之間的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．
（1）按照等量關(guān)系“每月獲得的利潤(rùn)＝（銷售價(jià)格﹣進(jìn)價(jià)）×銷售件數(shù)”列出二次函數(shù)；
（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得最值
【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：
，
∴與的函數(shù)關(guān)系式為：；
（2）∵，
又∵，
∴當(dāng)時(shí)，有最大值，的最大值為，
答：當(dāng)每件襯衣售價(jià)為元時(shí)，服裝店所獲月利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為元．
25．（2024·山西·模擬預(yù)測(cè)）綜合與探究
如圖1，拋物線的圖象是一條拋物線，圖象與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C0,?3．
(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖2，連接，點(diǎn)P為直線下方拋物線上的點(diǎn)，過點(diǎn)P作軸交于點(diǎn)M，求的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)如圖3，將拋物線先向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到新的拋物線，在的對(duì)稱軸上有一點(diǎn)D，坐標(biāo)平面內(nèi)有一點(diǎn)E，使得以點(diǎn)B，C，D，E為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)，
(3)存在點(diǎn)或或或
【分析】（1）把和C0,?3代入求解即可．
（2）先解得直線的解析式為，設(shè)，，得到的的值，當(dāng)時(shí)，最大即可解答．
（3）分情況討論，當(dāng)為矩形一邊時(shí)，且點(diǎn)D在x軸的下方；當(dāng)為矩形一邊時(shí)，且點(diǎn)D在x軸的上方；當(dāng)為矩形對(duì)角線時(shí)，分別求解即可．
【詳解】（1）解：把和C0,?3代入，得：
，解得：，
∴拋物線的解析式為；
（2）設(shè)直線的解析式為，把B，C點(diǎn)的坐標(biāo)代入得：
，解得：，
∴直線的解析式為
點(diǎn)P為直線下方拋物線上的點(diǎn)，
設(shè)，
，
，
當(dāng)時(shí)，，
；
（3）由題意可得：，
的對(duì)稱軸為.
∵，C0,?3，
∴，
如圖3.1：當(dāng)為矩形一邊時(shí)，且點(diǎn)D在x軸的下方，過D作軸于點(diǎn)F，
∵D在的對(duì)稱軸上，
，
∵，，
∴，
，，即點(diǎn)，
∴點(diǎn)C向右平移2個(gè)單位、向下平移2個(gè)單位可得到點(diǎn)D，則點(diǎn)B向右平移2個(gè)單位、向下平移2個(gè)單位可得到點(diǎn)；
如圖3.2：當(dāng)為矩形一邊時(shí)，且點(diǎn)D在x軸的上方，的對(duì)稱軸為與x軸交于點(diǎn)F，
∵D在的對(duì)稱軸上，
∴，
，
，即，
，即點(diǎn)，
∴點(diǎn)B向左平移1個(gè)單位、向上平移1個(gè)單位可得到點(diǎn)D，則點(diǎn)C向左平移1個(gè)單位、向上平移1個(gè)單位可得到點(diǎn)；
如圖3.3：當(dāng)為矩形對(duì)角線時(shí)，設(shè)，，的中點(diǎn)F的坐標(biāo)為，
依意得：，解得，
又，
，
解得：，
聯(lián)立，
解得：，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為或.
綜上，存在點(diǎn)或或或，
使得以點(diǎn)B，C，D，E為頂點(diǎn)的四邊形是矩形．
【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，矩形的性質(zhì)，利用平移的性質(zhì)解決問題是解本題的關(guān)鍵．
26．（2024·山西·模擬預(yù)測(cè)）項(xiàng)目式學(xué)習(xí)
項(xiàng)目主題：合理設(shè)計(jì) 智慧泉源
項(xiàng)目背景：灑水車是城市綠化的生力軍，清掃道路，美化市容，降溫除塵，方便出行．
如圖1，一輛灑水車正在沿著公路行駛（平行于綠化帶），為綠化帶澆水．?dāng)?shù)學(xué)小組成員想了解灑水車要如何把控行駛路線與綠化帶之間的距離，才能保證噴出的水能澆灌到整個(gè)綠化帶．圍繞這個(gè)問題，該小組開展了“合理設(shè)計(jì) 智慧泉源”為主題的項(xiàng)目式學(xué)習(xí)．
任務(wù)一測(cè)量建模
建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，可以把灑水車噴出水的上、下邊緣抽象為兩條拋物線的部分圖象，噴水口H離地面豎直高度h為1.2米．上邊緣拋物線最高點(diǎn)A離噴水口的水平距離為2米，高出噴水口0.4米．
（1）求上邊緣拋物線的函數(shù)解析式；
任務(wù)二推理分析
小組成員通過進(jìn)一步分析發(fā)現(xiàn)：當(dāng)噴頭豎直高度調(diào)整時(shí)，噴頭噴出的水柱拋物線形狀不發(fā)生改變，即下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到的，把綠化帶橫截面抽象為矩形，其水平寬度米，豎直高度米，灑水車到綠化帶的距離OD為d米．
（2）求下邊緣拋物線與x軸交點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（3）若米，則灑水車行駛時(shí)噴出的水能否澆灌到整個(gè)綠化帶？請(qǐng)說明理由．
【答案】（1）；（2）2,0；（3）灑水車行駛時(shí)噴出的水能澆灌到整個(gè)綠化帶，理由見解析
【分析】本題考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，矩形的性質(zhì)，求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．
（1）結(jié)合為上邊緣拋物線的頂點(diǎn)，設(shè)，再把代入計(jì)算，即可作答．
（2）結(jié)合二次函數(shù)的對(duì)稱性得出點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，把代入，求出，因?yàn)橄逻吘墥佄锞€是由上邊緣拋物線向左平移4米得到的，所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為2,0；
（3）因?yàn)槎魏瘮?shù)的性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)得點(diǎn)F的坐標(biāo)為，代入得，即可作答．
【詳解】解：（1）由題意得：為上邊緣拋物線的頂點(diǎn)，
設(shè)，
又∵拋物線過點(diǎn)，
，
解得：，
∴上邊緣拋物線的函數(shù)解析式為．
（2）∵對(duì)稱軸為直線，
∴點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，
∴下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移4米得到的，
當(dāng)時(shí)，
解得，（舍去），
∴
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為2,0；
（3）∵矩形，其水平寬度米，豎直高度米，
∴米，
則（米）
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小，
∴灑水車行駛時(shí)噴出的水能澆灌到整個(gè)綠化帶．
課標(biāo)要求
考點(diǎn)
考向
1. 會(huì)用描點(diǎn)法畫出二次函數(shù)的圖象，通過圖象了解二次函數(shù)的性質(zhì)；用配方法將數(shù)字系數(shù)的二次函數(shù)的表達(dá)式化為y＝a(x－h(huán))2＋k的形式，并能由此得到二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)，說出圖象的開口方向，畫出圖象的對(duì)稱軸，并能解決簡(jiǎn)單實(shí)際問題；
2. 會(huì)利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似解．結(jié)合具體情況體會(huì)二次函數(shù)的意義，能根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)的表達(dá)式；會(huì)利用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的表達(dá)式．
3. 通過對(duì)實(shí)際問題的分析，體會(huì)二次函數(shù)的意義；會(huì)用配方法將數(shù)字系數(shù)的二次函數(shù)的表達(dá)式化為y＝a(x－h(huán))2＋k的形式，并能由此得到二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)，說出圖象的開口方向，畫出圖象的對(duì)稱軸，并能解決實(shí)際問題．
4.能運(yùn)用二次函數(shù)的知識(shí)解決綜合型問題.
二次函數(shù)
考向一二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)
考向二二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系
考向三二次函數(shù)的最值
考向四待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式
考向五二次函數(shù)圖象的平移
二次函數(shù)的應(yīng)用
考向一二次函數(shù)與一元二次方程
考向二二次函數(shù)與不等式
考向三實(shí)際問題與二次函數(shù)
考點(diǎn)一二次函數(shù)
解題技巧/易錯(cuò)易混
1．二次函數(shù)的一般形式的結(jié)構(gòu)特征：①函數(shù)的關(guān)系式是整式；②自變量的最高次數(shù)是2；③二次項(xiàng)系數(shù)不等于零．
2．一般式，頂點(diǎn)式，交點(diǎn)式是二次函數(shù)常見的表達(dá)式，它們之間可以互相轉(zhuǎn)化．
3.二次函數(shù)的圖象是一條關(guān)于某條直線對(duì)稱的曲線，叫做拋物線，該直線叫做拋物線的對(duì)稱軸，對(duì)稱軸與拋物線的交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn).
4.二次函數(shù)的圖象是一條關(guān)于某條直線對(duì)稱的曲線，叫做拋物線，該直線叫做拋物線的對(duì)稱軸，對(duì)稱軸與拋物線的交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn).
解題技巧/易錯(cuò)易混
二次函數(shù)圖象的特征與a，b，c的關(guān)系
字母的符號(hào)
圖象的特征
a
a>0
開口向上
a0（a與b同號(hào)）
對(duì)稱軸在y軸左側(cè)
ab0
與y軸正半軸相交
c0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；
（2）b2–4ac=0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，拋物線與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)；
（3）b2–4ac

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