空間幾何體的結構特征
(1)多面體的結構特征
(2)旋轉體的結構特征
一 、簡單幾何體
㈠ 空間幾何體的類型
1 多面體：由若干個平面多邊形圍成的幾何體。圍成多面體的各個多邊形叫做多面體的面，相鄰兩個面的公共邊叫做多面體的棱，棱與棱的公共點叫做多面體的頂點。
2 旋轉體：把一個平面圖形繞它所在的平面內的一條定直線旋轉形成了封閉幾何體。其中，這條直線稱為旋轉體的軸。
㈡ 幾種空間幾何體的結構特征
1 棱柱的結構特征
棱柱的定義：有兩個面互相平行，其余各面都是
四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱。
棱柱的分類
棱柱的性質

⑴ 側棱都相等，側面是平行四邊形；
⑵ 兩個底面與平行于底面的截面是全等的多邊形；
⑶ 過不相鄰的兩條側棱的截面是平行四邊形；
⑷ 直棱柱的側棱長與高相等，側面的對角面是矩形。
長方體的性質
圖1-1 棱柱
⑴ 長方體的一條對角線的長的平方等于一個頂點上三 條棱的平方和：AC12 = AB2 + AC2 + AA12
⑵ 長方體的一條對角線AC1與過定點A的三條棱所成的角分別是α、β、γ，那么：
cs2α + cs2β + cs2γ = 1 sin2α + sin2β + sin2γ = 2
⑶ 長方體的一條對角線AC1與過定點A的相鄰三個面所組成的角分別為α、β、γ，則：
cs2α + cs2β + cs2γ = 2 sin2α + sin2β + sin2γ = 1

圖1-2 長方體
棱柱的側面展開圖：正n棱柱的側面展開圖是由n個全等矩形組成的以底面周長和側棱為鄰邊的矩形。
棱柱的面積和體積公式
S直棱柱側面 = c·h (c為底面周長，h為棱柱的高)
S直棱柱全 = c·h+ 2S底
V棱柱 = S底 ·h
2 圓柱的結構特征
2-1 圓柱的定義：以矩形的一邊所在的直線為旋轉軸，其余各邊旋轉而形成的曲面所圍成的幾何體叫圓柱。
圖1-3 圓柱
2-2 圓柱的性質
⑴ 上、下底及平行于底面的截面都是等圓；
⑵ 過軸的截面(軸截面)是全等的矩形。
2-3 圓柱的側面展開圖：圓柱的側面展開圖是以底面周長和母線長為鄰邊的矩形。
2-4 圓柱的面積和體積公式
S圓柱側面 = 2π·r·h (r為底面半徑，h為圓柱的高)
S圓柱全 = 2π r h + 2π r2
V圓柱 = S底h = πr2h
3 棱錐的結構特征
3-1 棱錐的定義
⑴ 棱錐：有一個面是多邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫做棱錐。
⑵ 正棱錐：如果有一個棱錐的底面是正多邊形，并且頂點在底面的投影是底面的中心，
這樣的棱錐叫做正棱錐。
3-2 正棱錐的結構特征
⑴ 平行于底面的截面是與底面相似的正多邊形，相似比等于頂點到截面的距離與頂點到底面的距離之比；
⑵ 正棱錐的各側棱相等，各側面是全等的等腰三角形；
⑶ 正棱錐中的六個元素，即側棱(SB)、高(SO)、斜高(SH)、側棱在底面上的射影(OB)、斜高在底面上的射影(OH)、底面邊長的一半(BH)，構成四個直角三角形(三角形SOB、SOH、SBH、OBH均為直角三角形)。
3-3 正棱錐的側面展開圖：正n棱錐的側面展開圖是由n個全等的等腰三角形組成。
3-4 正棱錐的面積和體積公式
S正棱錐側 = c h’ (c為底面周長，h’為側面斜高)
S正棱錐全 = c h’ + S底面
V棱錐 = 1/3 S底面·h (h為棱錐的高)
圖1-4 棱錐
4 圓錐的結構特征
4-1 圓錐的定義：以直角三角形的一直角邊所在的直線為旋轉軸，其余各邊旋轉而形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓錐。
4-2 圓錐的結構特征
⑴ 平行于底面的截面都是圓，截面直徑與底面直徑之比等于頂點到截面的距離與頂點到底面的距離之比；
⑵ 軸截面是等腰三角形；
⑶ 母線的平方等于底面半徑與高的平方和：
l2 = r2 + h2
圖1-5 圓錐
4-3 圓錐的側面展開圖：圓錐的側面展開圖是以頂點為圓心，以母線長為半徑的扇形。
4-4 圓錐的面積和體積的公式
S圓錐側 = π r·l (r為底面半徑，l為母線長)
S圓錐全 = πr·(r + l)
V圓錐 = 1/3 πr2·h (h為圓錐高)
5 棱臺的結構特征
棱臺的定義：用一個平行于底面的平面去截棱錐，我們把截面和底面之間的部分稱為棱臺。
正棱臺的結構特征
⑴ 各側棱相等，各側面都是全等的等腰梯形；
⑵ 正棱臺的兩個底面和平行于底面的截面都是正多邊形；
⑶ 正棱臺的對角面也是等腰梯形；
⑷ 棱臺經常被補成棱錐，然后利用形似三角形進行研究。
5-3 正棱臺的面積和體積公式
圖1-6 棱臺
S棱臺側= n/2 (a + b)·h’ (a為上底邊長，b為下底邊長，h’為棱臺的斜高，n為邊數(shù))
S棱臺全 = S上底 + S下底 + S側
V棱臺 =

6 圓臺的結構特征
6-1 圓臺的定義：用一個平行于底面的平面去截圓錐，我們把截面和底面之間的部分稱為圓臺。
6-2 圓臺的結構特征
⑴ 圓臺的上下底面和平行于底面的截面都是圓；
⑵ 圓臺的截面是等腰梯形；
⑶ 圓臺經常補成圓錐，然后利用相似三角形進行研究。
6-3 圓臺的面積和體積公式
圖1-7 圓臺
S圓臺側 = π·(R + r)·l (r、R為上下底面半徑)
S圓臺全 = π·r2 + π·R2 + π·(R + r)·l
V圓臺 = 1/3 (π r2 + π R2 + π r R) h (h為圓臺的高)
7 球的結構特征
7-1 球的定義：以半圓的直徑所在的直線為旋轉軸，半圓旋轉一周形成的旋轉體叫做球體?？臻g中，與定點距離等于定長的點的集合叫做球面，球面所圍成的幾何體稱為球體。
7-2 球的結構特征
⑴ 球心與截面圓心的連線垂直于截面；
⑵ 截面半徑等于球半徑與截面和球心的距離的平方差：r2 = R2 – d2
圖1-8 球
★7-3 球與其他多面體的組合體的問題
球體與其他多面體組合，包括內接和外切兩種類型，解決此類問題的基本思路是：
⑴ 根據(jù)題意，確定是內接還是外切，畫出立體圖形；
⑵ 找出多面體與球體連接的地方，找出對球的合適的切割面，然后做出剖面圖；
⑶ 將立體問題轉化為平面幾何中圓與多邊形的問題；
⑷ 注意圓與正方體的兩個關系：球內接正方體，球直徑等于正方體對角線；
球外切正方體，球直徑等于正方體的邊長。
7-4 球的面積和體積公式
S球面 = 4 π R2 (R為球半徑)
V球 = 4/3 π R3
㈢ 空間幾何體的視圖
1 三視圖：觀察者從三個不同的位置觀察同一個空間幾何體而畫出的圖形。
正視圖：光線從幾何體的前面向后面正投影，得到的投影圖。
側視圖：光線從幾何體的左邊向右邊正投影，得到的投影圖。
俯視圖：光線從幾何體的上面向右邊正投影，得到的投影圖。
注意：⑴ 俯視圖畫在正視圖的下方，“長度”與正視圖相等；側視圖畫在正視圖的右方，“高度”與正視圖相等，“寬度”與俯視圖相等。(正側一樣高，正俯一樣長，俯側一樣寬)
⑵ 正視圖、側視圖、俯視圖都是平面圖形，而不是直觀圖。
2 直觀圖
2-1 直觀圖的定義：是觀察者站在某一點觀察一個空間幾何體而畫出的圖形，直觀圖通常是在平行投影下畫出的空間圖形。
2-2 斜二測法做空間幾何體的直觀圖
⑴ 在已知圖形中取互相垂直的軸Ox、Oy，即取∠xOy = 90°；
⑵ 畫直觀圖時，把它畫成對應的軸O’x’、O’y，取∠x’O’y’ = 45°或135°，它們確定的平面表示水平平面；
⑶ 在坐標系x’’y’中畫直觀圖時，已知圖形中平行于數(shù)軸的線段保持平行性不變；平行于x軸的線段保持長度不變；平行于y軸的線段長度減半。
結論：采用斜二測法作出的直觀圖的面積是原平面圖形的
2-3 解決關于直觀圖問題的注意事項
⑴ 由幾何體的三視圖畫直觀圖時，一般先考慮“俯視圖”；
⑵ 由幾何體的直觀圖畫三視圖時，能看見的輪廓線和棱畫成實線，不能看見的輪廓線和棱畫成虛線。
二、 點、直線、平面之間的關系
㈠ 平面的基本性質
1 立體幾何中圖形語言、文字語言和符號語言的轉化
★2 平面的基本性質
公理一：如果一條直線上有兩點在一個平面內，那么直線在平面內。
公理二：不共線的三點確定一個平面。
推論一：直線與直線外一點確定一個平面。
推論二：兩條相交直線確定一個平面。
推論三：兩條平行直線確定一個平面。
公理三：如果兩個平面有一個公共點，那么它們還有公共點，這些公共點的集合是一條直線(兩個平面的交線)。
㈡ 空間圖形的位置關系
1 空間直線的位置關系(相交、平行、異面)
平行線的傳遞公理：平行于同一直線的兩條直線相互平行。
即：a∥b，b∥c a∥c
等角定理：如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補。
異面直線
⑴ 定義：不在任何一個平面內的兩條直線稱為異面直線。
⑵ 判定定理：連平面內的一點與平面外一點的直線與這個平面內不過此點的直線為異面直線。
圖2-1 異面直線
即：
異面直線所成的角
⑴ 異面直線成角的范圍：(0°，90°].
⑵ 作異面直線成角的方法：平移法。

注意：找異面直線所成角時，經常把一條異面直線平移到另一條異面直線的特殊點(如中點、端點等)，形成異面直線所成的角。
2 直線與平面的位置關系(直線在平面內、相交、平行)
圖2-2 直線與平面的位置關系
3 平面與平面的位置關系(平行、斜交、垂直)
㈢ 平行關系(包括線面平行和面面平行)
1 線面平行
線面平行的定義：平面外的直線與平面無公共點，則稱為直線和平面平行。
判定定理：
性質定理：
判斷或證明線面平行的方法
⑴ 利用定義(反證法)：l ∩ α = ф ，l∥α (用于判斷)；
⑵ 利用判定定理：線線平行線面平行 (用于證明)；
⑶ 利用平面的平行：面面平行線面平行 (用于證明)；
圖2-3 線面角
⑷ 利用垂直于同一條直線的直線和平面平行(用于判斷)。
2 線面斜交和線面角：l ∩ α = A
直線與平面所成的角(簡稱線面角)：若直線與平面斜交，則平面的斜線與該斜線在平面內射影的夾角θ。
線面角的范圍：θ∈[0°，90°]
注意：當直線在平面內或者直線平行于平面時，θ=0°；
當直線垂直于平面時，θ=90°
3 面面平行
面面平行的定義：空間兩個平面沒有公共點，則稱為兩平面平行。
面面平行的判定定理：
圖2-4 面面平行
⑴ 判定定理1：如果一個平面內的兩條相交直線都平行于另一個平面，那么兩個平面相互平行。 即：
推論：一個平面內的兩條相交直線分別平行于另一個平面的兩條線段，那么這兩個平面平行。即：

⑵ 判定定理2：垂直于同一條直線的兩平面互相平行。即：
面面平行的性質定理
⑴ (面面平行線面平行)
⑵
⑶ 夾在兩個平行平面間的平行線段相等。
圖2-5 判定2
㈣ 垂直關系(包括線面垂直和面面垂直)
1 線面垂直
線面垂直的定義：若一條直線垂直于平面內的任意一條直線，則這條直線垂直于平面。
線面垂直的判定定理：
線面垂直的性質定理：

⑴ 若直線垂直于平面，則它垂直于平面內任意一條直線。
即：
⑵ 垂直于同一平面的兩直線平行。
即：
常用的判定或證明線面垂直的依據(jù)
⑴ 利用定義，用反證法證明。
⑵ 利用判定定理證明。
⑶ 一條直線垂直于平面而平行于另一條直線，則另一條直線也垂直與平面。
⑷ 一條直線垂直于兩平行平面中的一個，則也垂直于另一個。
⑸ 如果兩平面垂直，在一平面內有一直線垂直于兩平面交線，則該直線垂直于另一平面。
★ 三垂線定理及其逆定理
⑴ 斜線定理：從平面外一點向這個平面所引的所有線段中，斜線相等則射影相等，斜線越長則射影越長，垂線段最短。
圖2-6 斜線定理
如圖：
⑵ 三垂線定理及其逆定理

已知PO⊥α，斜線PA在平面α內的射影為OA，a是平面α內的一條直線。
① 三垂線定理：若a⊥OA，則a⊥PA。即垂直射影則垂直斜線。
② 三垂線定理逆定理：若a⊥PA，則a⊥OA。即垂直斜線則垂直射影。
⑶ 三垂線定理及其逆定理的主要應用
圖2-7 三垂線定理
① 證明異面直線垂直；
② 作出和證明二面角的平面角；
③ 作點到線的垂線段。
2 面面斜交和二面角
二面角的定義：兩平面α、β相交于直線l，直線a是α內的一條直線，它過l上的一點O且垂直于l，直線b是β內的一條直線，它也過O點，也垂直于l，則直線a、b所形成的角稱為α、β的二面角的平面角，記作∠α-l-β。
二面角的范圍：∠α-l-β ∈[0°,180°]
二面角平面角的作法：
⑴ 定義法：證明起來很麻煩，一般不用；
⑵ 三垂線法：常用方法；
圖2-8 面面垂直
⑶ 垂面法：常用于空間幾何體中的二面角。
3 面面垂直
面面垂直的定義：若二面角α-l-β的平面角為90°，則兩平面α⊥β。
判定定理：如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直。
即：

面面垂直的性質定理
⑴ 若兩面垂直，則這兩個平面的二面角的平面角為90°；
⑵
⑶
⑷
三、 立體幾何主要難點
1 三種角的對比
一、單選題
1．棱臺不具備的特點是（ ）
A．兩底面相似B．側面都是梯形
C．側棱長都相等D．側棱延長后都交于一點
2．設m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列說法正確的是（ ）
A．若mα，nα，則m//nB．若mn，n//α，則mα
C．若m//β，βα，則mαD．若m//n，m//β，則n//β
3．以下四個命題中，正確命題的個數(shù)是（ ）
①不共面的四點中，任意三點不共線；
②若點A，B，C，D共面，點A，B，C，E共面，則A，B，C，D，E共面；
③若直線a，b共面，直線a，c共面，則直線b，c共面；
④依次首尾相接的四條線段必共面．
A．0B．1C．2D．3
4．已知圓臺上?下底面的半徑分別為1和2，表面積為，則這個圓臺的體積為（ ）
A．B．C．D．
5．如圖，正方形的邊長為1，它是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，則原圖形的周長是（ ）
A．B．8C．6D．
6．已知m，n是兩條不同直線，是兩個不同平面，則下列命題錯誤的是（ ）
A．若垂直于同一平面，則與可能相交
B．若m，n平行于同一平面，則m與n可能異面
C．若m，n不平行，則m與n不可能垂直于同一平面
D．若不平行，則在內不存在與平行的直線
7．如圖，在四棱錐中，平面，四邊形為正方形，為的中點，則異面直線與所成的角的正弦值為（ ）
A．B．C．D．
8．已知三棱錐中，平面，，且，D，E分別為SA，BC的中點，則異面直線DE與AC所成角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
9．在三棱錐中，，，，分別為，，的中點，為的中點，若且，則下列結論中不一定正確的是（ ）
A．平面 B．平面
C．平面 D．平面
10．已知矩形ABCD中，，將沿BD折起至，當與AD所成角最大時，三棱錐的體積等于（ ）
A．B．C．D．
11．四面體中，，則二面角的平面角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
12．如圖，已知正三棱柱，E，F(xiàn)分別是棱上的點．記與所成的角為，與平面所成的角為，二面角的平面角為，則（ ）
A．B．C．D．
13．某圓錐的側面積為1，用一個平行于圓錐底面的平面截該圓錐得到一個圓臺，若圓臺上底面和下底面半徑之比為，則該圓臺的側面積為（ ）
A．B．C．D．
14．正三棱錐P﹣ABC的三條棱兩兩互相垂直，則該正三棱錐的內切球與外接球的半徑之比為（ ）
A．1：3B．1：C．D．
15．在邊長為2的菱形中，，垂足為點E，以所在的直線為軸，其余四邊旋轉半周形成的面圍成一個幾何體，則該幾何體的表面積為（ ）
A．B．C．D．
16．半徑為的球面上有四點，且直線兩兩垂直，若，，的面積之和為72，則此球體積的最小值為（ ）
A．B．C．D．
17．若空間中經過定點O的三個平面，，兩兩垂直，過另一定點A作直線l與這三個平面的夾角都相等，過定點A作平面和這三個平面所夾的銳二面角都相等.記所作直線l的條數(shù)為m，所作平面的個數(shù)為n，則（ ）
A．4B．8C．12D．16
18．如圖所示，在三棱柱中，側棱底面，，，D是棱的中點，P是AD的延長線與的延長線的交點，若點Q在線段上，則下列結論中正確的是（ ）.
A．當點Q為線段的中點時，平面
B．當點Q為線段的三等分點時，平面
C．在線段的延長線上，存在一點Q，使得平面
D．不存在DQ與平面垂直
二、填空題
19．用一個平面去截幾何體，如果截面是三角形，那么這個幾何體可能是下面哪幾種：________（填序號）．
①棱柱；②棱錐；③棱臺；④圓柱；⑤圓錐；⑥圓臺；⑦球．
20．在空間中，給出下面四個命題，其中假命題為________．(填序號)
①過平面α外的兩點，有且只有一個平面與平面α垂直；
②若平面β內有不共線三點到平面α的距離都相等，則α∥β；
③若直線l與平面α內的任意一條直線垂直，則l⊥α；
④兩條異面直線在同一平面內的射影一定是兩條相交直線．
21．已知平面、和直線、，則下列說法：
①若，，，則；
②若，，，則；
③若，，則；
④若，，，，則.
其中正確的說法序號為________．
22．用斜二測畫法畫出的某平面圖形的直觀圖如圖所示，邊平行于軸，，平行于軸，已知四邊形的面積為，則原四邊形的面積為___________.
23．在正四棱錐中，M為棱上的點，且，設平面與平面的交線為l，則異面直線 l 與所成角的正切值為___________．
24．3個不同的平面最多將空間分成部分，最少將空間分成部分，則__．
25．已知兩條異面直線a，b所成角為60°，在直線a上取點C，E．在直線b上取點D，F(xiàn)，使，且．已知，則線段EF的長為______．
26．在四面體中，平面.若直線與所成的角為，則直線與平面所成角的取值范圍是__________.
27．在正三棱柱中，，，分別為，，的中點，，為的中點，則下列說法正確的是______．
①，為異面直線；②平面；③若，則；④若，則直線與平面所成的角為45°．
28．已知正方體中，，點E為平面內的動點，設直線與平面所成的角為，若，則點E的軌跡所圍成的面積為___________．
29．如圖，四棱錐中，底面為平行四邊形，且，，，若二面角為，則與平面所成角的正弦值為__________．
30．設圓錐底面圓周上兩點、間的距離為，圓錐頂點到直線的距離為，和圓錐的軸的距離為，則該圓錐的側面積為___________.
31．一個棱長為2的正方體容器，將8個直徑均為1的球放入容器內，容器正中央能放入的最大的球的直徑為________．
32．如圖，在四棱錐中，底面為正方形，為正三角形，且，，則該四棱錐的外接球的半徑為___________.
33．正多面體被古希臘圣哲認為是構成宇宙的基本元素，加上它們的多種變體，一直是科學、藝術、哲學靈感的源泉之一.如圖，該幾何體是一個棱長為2的正八面體，則此正八面體的體積與表面積之比為___________.
34．在三棱錐中，底面，，，為的中點，球為三棱錐的外接球，是球上任一點，若三棱錐體積的最大值是，則球的體積為___________.
35．已知圓錐和的底面重合 （為底面圓圓心），點與不重合，且和底面圓周都在同一個半徑為2的球面上，設圓錐的體積為，圓錐的體積為，若的最大值為，則當 時，_____ . （用數(shù)值作答）
36．已知異面直線，的夾角為，若過空間中一點，作與兩異面直線夾角均為的直線可以作4條，則的取值范圍是______.
37．如圖，在正方形中，點是邊的中點，將沿翻折到，連接，在翻折到的過程中，下列說法正確的是_________．（將正確說法的序號都寫上）

①點的軌跡為圓??；
②存在某一翻折位置，使得；
③棱的中點為，則的長為定值；
三、解答題
38．四棱錐中，平面，四邊形為菱形，，為的中點.
(1)求證：平面平面；
(2)求與平面所成的角的正切值；
39．一塊三棱錐形木塊如圖所示，點是的重心，過點將木塊鋸開，使截面平行于側面.
(1)畫出截面與木塊表面的交線，并說明理由；
(2)若為等邊三角形，，求夾在截面與平面之間的幾何體的體積.
40．如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，，PA＝AB＝2，AC與BD交于點O.
(1)求證BD⊥平面PAC.
(2)求PB與平面ABCD所成角的大小.
(3)求二面角P—BD—A的正切值.
41．如圖， 在多面體中， 平面， 四邊形是平行四邊形.為的中點.
(1)證明: 平面.
(2)若是棱上一點， 且， 求點到平面的距離.
42．如圖，在四棱錐中，平面，底面是菱形，，是線段上的動點．
(1)若是線段中點時，證明：平面；
(2)若直線與底面所成角的正弦值為，且三棱錐的體積為，請確定點的位置，并說明理由．
43．如圖1，有一個邊長為4的正六邊形，將四邊形沿著翻折到四邊形的位置，連接，形成的多面體如圖2所示.
(1)證明：.
(2)設二面角的大小為，是線段上的一個動點（與不重合），四棱錐與四棱錐的體積之和為，試寫出關于的函數(shù)表達式，并探究為何值時，有最大值，求出最大值.
44．四面體ABCD的體積為1，O為其中心，正四面體與正四面體ABCD關于點O對稱.
(1)證明：平面GHF平面BCD：
(2)求三棱錐的體積：
(3)設棱AB與棱的交點為M，判斷M的位置（不需要證明），并求出兩個正四面體公共部分的體積.
45．如圖，在直角梯形中，，，，為的中點，沿將折起，使得點到點的位置，且，為的中點，是上的動點（與點，不重合）．
(1)證明：平面平面；
(2)是否存在點，使得二面角的正切值為？若存在，確定點位置；若不存在，請說明理由．
46．如圖在四面體中，是邊長為2的等邊三角形，為直角三角形，其中D為直角頂點，.E?F?G?H分別是線段???上的動點，且四邊形為平行四邊形.
(1)求證：平面；
(2)設二面角的平面角為，求在區(qū)間變化的過程中，線段在平面上的投影所掃過的平面區(qū)域的面積；
(3)設，且平面平面，則當為何值時，多面體的體積恰好為？
名稱
棱柱
棱錐
棱臺
圖形
底面
互相平行且全等
多邊形
互相平行且相似
側棱
平行且相等
相交于一點，但不一定相等
延長線交于一點
側面形狀
平行四邊形
三角形
梯形
名稱
圓柱
圓錐
圓臺
球
圖形
母線
互相平行且相等，垂直于底面
相交于一點
延長線交于一點
軸截面
矩形
等腰三角形
等腰梯形
圓面
側面展開圖
矩形
扇形
扇環(huán)
圖形語言
文字語言
符號語言
點A在直線a上
點B在直線a外
A∈a
Ba
點A在平面α內
點B在平面α外
A∈α
Bα
直線a在平面α內
直線b在平面α外
aα
bα
直線a與平面α相交于點A
a∩α=A
直線a與直線b相交于點A
a∩b=A
平面α與平面β交于直線a
α∩β=a
角的類型
范圍
解題步驟
異面直線
所成角
0°～90°
1找：利用平移法找出異面直線所成角；
⑴ 固定一條直線，平移另一條直線，
⑵ 將兩條直線都平移至一特殊位置。
2證：證明所作出的角就是異面直線所成角或其補角，常需證明線線平行；
3計算：通過解三角形，算出異面直線角的角度。
直線與平面
所成角
0°～90°
1找：作出斜線與其在平面內射影的夾角，一般用三垂線定理；
2證：證明所作出的角就是直線與平面所成角或其補角，常證明線面垂直；
3計算：通過解三角形，求出線面角的角度。
二面角的
平面角
0～π
1作：根據(jù)二面角平面角的定義，作出這個平面角；
2證：證明所作的角就是二面角的平面角，常用三垂線法和垂面法；
3計算：通過解三角形，求出二面角平面角的角度。

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