(上海專用)新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(cè)專題17 數(shù)列(講義)（2份，原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、數(shù)列的概念
1.數(shù)列的定義
按照確定的順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng).
2.數(shù)列的分類
3.數(shù)列的表示法
數(shù)列有三種表示法，它們分別是表格法、圖象法和解析式法.
4.數(shù)列的通項(xiàng)公式
如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an與它的序號(hào)n之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.
5.數(shù)列的遞推公式
如果一個(gè)數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)或多項(xiàng)之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式.
常用結(jié)論：
1.若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，通項(xiàng)公式為an，則an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))
2.在數(shù)列{an}中，若an最大，則eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(an≥an－1，,an≥an＋1.))若an最小，則eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(an≤an－1，,an≤an＋1.))
二、等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和
1.等差數(shù)列的概念
(1)定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列.
數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)式：an＋1－an＝d(n∈N*，d為常數(shù)).
(2)等差中項(xiàng)：由三個(gè)數(shù)a，A，b組成的等差數(shù)列可以看成是最簡(jiǎn)單的等差數(shù)列，這時(shí)A叫做a與b的等差中項(xiàng)，根據(jù)等差數(shù)列的定義可以知道，2A＝a＋b.
2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式
(1)若等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)是a1，公差是d，則其通項(xiàng)公式為an＝a1＋(n－1)d.
(2)前n項(xiàng)和公式：Sn＝na1＋eq \f(n（n－1）d,2)＝eq \f(n（a1＋an）,2).
3.等差數(shù)列的性質(zhì)
(1)通項(xiàng)公式的推廣：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*).
(2)若{an}為等差數(shù)列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則ak＋al＝am＋an.
(3)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差為md的等差數(shù)列.
(4)若Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差數(shù)列.
(5)若Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則數(shù)列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))也為等差數(shù)列.
常用結(jié)論：
1.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝pn＋q(其中p，q為常數(shù))，則數(shù)列{an}一定是等差數(shù)列，且公差為p.
2.在等差數(shù)列{an}中，a1＞0，d＜0，則Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，則Sn存在最小值.
3.等差數(shù)列{an}的單調(diào)性：當(dāng)d＞0時(shí)，{an}是遞增數(shù)列；當(dāng)d＜0時(shí)，{an}是遞減數(shù)列；當(dāng)d＝0時(shí)，{an}是常數(shù)列.
4.數(shù)列{an}是等差數(shù)列?Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù)).
三、等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和
1.等比數(shù)列的概念
(1)定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示(顯然q≠0).
數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)式：eq \f(an,an－1)＝q(n≥2，q為非零常數(shù)).
(2)等比中項(xiàng)：如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng).此時(shí)G2＝ab.
2.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式
(1)若等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比是q，則其通項(xiàng)公式為an＝a1qn－1；
通項(xiàng)公式的推廣：an＝amqn－m.
(2)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝na1；當(dāng)q≠1時(shí)，Sn＝eq \f(a1（1－qn）, 1－q )＝eq \f(a1－anq,1－q).
3.等比數(shù)列的性質(zhì)
已知{an}是等比數(shù)列，Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.
(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則有ak·al＝am·an.
(2)相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比數(shù)列，公比為qm.
(3)當(dāng)q≠－1，或q＝－1且n為奇數(shù)時(shí)，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比數(shù)列，其公比為qn.
常用結(jié)論：
1.若數(shù)列{an}，{bn}(項(xiàng)數(shù)相同)是等比數(shù)列，則數(shù)列{c·an}(c≠0)，{|an|}，{aeq \\al(2,n)}，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))，{an·bn}，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(an,bn)))也是等比數(shù)列.
2.由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即斷言{an}為等比數(shù)列，還要驗(yàn)證a1≠0.
3.在運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)，必須注意對(duì)q＝1與q≠1分類討論，防止因忽略q＝1這一特殊情形而導(dǎo)致解題失誤.
4.三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，通常設(shè)為eq \f(x,q)，x，xq；四個(gè)符號(hào)相同的數(shù)成等比數(shù)列，通常設(shè)為eq \f(x,q3)，eq \f(x,q)，xq，xq3.
四、數(shù)列求和
1.特殊數(shù)列的求和公式
(1)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：
Sn＝eq \f(n（a1＋an）,2)＝na1＋eq \f(n（n－1）,2)d.
(2)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：
Sn＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(na1，q＝1，,\f(a1－anq,1－q)＝\f(a1（1－qn）,1－q)，q≠1.))
2.數(shù)列求和的幾種常用方法
(1)分組轉(zhuǎn)化法
把數(shù)列的每一項(xiàng)分成兩項(xiàng)或幾項(xiàng)，使其轉(zhuǎn)化為幾個(gè)等差、等比數(shù)列，再求解.
(2)裂項(xiàng)相消法
把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得其和.
(3)錯(cuò)位相減法
如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和可用錯(cuò)位相減法求解.
(4)倒序相加法
如果一個(gè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)中與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用倒序相加法求解.
常用結(jié)論：
1.1＋2＋3＋4＋…＋n＝eq \f(n（n＋1）,2).
2.12＋22＋…＋n2＝eq \f(n（n＋1）（2n＋1）,6).
3.裂項(xiàng)求和常用的三種變形
(1)eq \f(1,n（n＋1）)＝eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋1).
(2)eq \f(1,（2n－1）（2n＋1）)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1))).
(3)eq \f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq \r(n＋1)－eq \r(n).
4.在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解.
一、填空題
1．在數(shù)列中，，，則______．
2．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則數(shù)列的前2017項(xiàng)和___________.
3．記為正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則的值為__________．
4．已知數(shù)列都是等差數(shù)列，分別是它們的前項(xiàng)和，并且，則___________.
5．已知數(shù)列{an}中，a3＝2，a1＝1，且數(shù)列是等差數(shù)列，則a11＝____．
6．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，則的取值范圍為_______．
7．已知數(shù)列的各項(xiàng)為正，記為的前項(xiàng)和，若，，則__________.
8．在數(shù)列中，若，，，則該數(shù)列的通項(xiàng)為__________．
9．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則_____________．
10．已知數(shù)列滿足奇數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，公差為，偶數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列，公比為，且數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，，．若，則正整數(shù)m=__________．
11．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且.數(shù)列滿足，若存在常數(shù)，使不等式恒成立，則的最小值為___________.
12．已知數(shù)列滿足，若對(duì)于任意都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________．
13．給出下列命題：
①已知數(shù)列，，則是這個(gè)數(shù)列的第10項(xiàng)，且最大項(xiàng)為第1項(xiàng)；
②數(shù)列，…的一個(gè)通項(xiàng)公式是；
③已知數(shù)列，，且，則；
④已知，則數(shù)列為遞增數(shù)列．
其中正確命題的個(gè)數(shù)為______．
14．公差不為0的等差數(shù)列中，前n項(xiàng)和為，若，且，，成等比數(shù)列，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若對(duì)任意，均成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是______．
15．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且對(duì)于任意的，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______．
16．若項(xiàng)數(shù)為的數(shù)列滿足：我們稱其為項(xiàng)的“對(duì)稱數(shù)列”．例如：數(shù)列，，，為4項(xiàng)的“對(duì)稱數(shù)列”；數(shù)列，，，，為項(xiàng)的“對(duì)稱數(shù)列”．設(shè)數(shù)列為項(xiàng)的“對(duì)稱數(shù)列”，其中，，，，是公差為的等差數(shù)列，數(shù)列的最大項(xiàng)等于．記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則___________．
二、單選題
17．已知等比數(shù)列{}為遞增數(shù)列，是它的前項(xiàng)和，若＝，且與的等差中項(xiàng)為，則＝（）
A．B．
C．D．
18．己知在等比數(shù)列中，，則等于（）
A．B．C．2D．
19．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，若，則數(shù)列的前10項(xiàng)和（）
A．B．C．D．
20．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最大值，若，則公差d的取值范圍為（）
A．B．
C．D．
21．在等差數(shù)列中，，，其前n項(xiàng)和為，則的值為（）
A．B．C．D．
22．已知為等差數(shù)列，公差為黃金分割比（約等于0.618），前項(xiàng)和為，則（）
A．B．C．16D．4
23．在數(shù)列中，，，則數(shù)列的前項(xiàng)和（）
A．B．C．D．
24．已知數(shù)列滿足，則下列有可能成立的是（）
A．若為等比數(shù)列，則
B．若為遞增的等差數(shù)列，則
C．若為等比數(shù)列，則
D．若為遞增的等差數(shù)列，則
三、解答題
25．已知是以1為首項(xiàng)的等差數(shù)列，是以2為首項(xiàng)的正項(xiàng)等比數(shù)列，且滿足.
(1)求與的通項(xiàng)公式；
(2)求的前項(xiàng)和.
26．已知數(shù)列和滿足：，，，，且是以為公比的等比數(shù)列.
(1)證明：；
(2)若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前項(xiàng)和.
27．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，．
(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
28．已知為數(shù)列的前n項(xiàng)和，是公差為1的等差數(shù)列．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)證明：．
29．已知等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足，，，．
(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式：
(2)設(shè)數(shù)列中不在數(shù)列中的項(xiàng)按從小到大的順序構(gòu)成數(shù)列，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求．
30．已知數(shù)列為等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，且，．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列是公比為q的等比數(shù)列，，，，求的前2022項(xiàng)和T．
31．已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，前n項(xiàng)和為，且.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求；
(3)設(shè)（為非零整數(shù)，），是否存在確定的值，使得對(duì)任意，有恒成立.若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.
32．?dāng)?shù)列中，，，數(shù)列滿足，：
(1)若數(shù)列是等差數(shù)列，求數(shù)列的前6項(xiàng)和；
(2)若數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(3)若，，求數(shù)列的前項(xiàng)的和．
33．若數(shù)列的子列均為等差數(shù)列，則稱為k階等差數(shù)列．
(1)若，數(shù)列的前15項(xiàng)與的前15項(xiàng)中相同的項(xiàng)構(gòu)成數(shù)列，寫出的各項(xiàng)，并求的各項(xiàng)和；
(2)若數(shù)列既是3階也是4階等差數(shù)列，設(shè)的公差分別為．
（?。┡袛嗟拇笮￡P(guān)系并證明；
（ⅱ）求證：數(shù)列是等差數(shù)列．
34．若存在常數(shù)、、，使得無窮數(shù)列滿足則稱數(shù)列為“段比差數(shù)列”，其中常數(shù)、、分別叫做段長(zhǎng)、段比、段差. 設(shè)數(shù)列為“段比差數(shù)列”.
(1)若的首項(xiàng)、段長(zhǎng)、段比、段差分別為1、3、、3.
①當(dāng)時(shí)，求；
②當(dāng)時(shí)，設(shè)的前項(xiàng)和為，若不等式對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)設(shè)為等比數(shù)列，且首項(xiàng)為，試寫出所有滿足條件的，并說明理由.
35．已知有窮數(shù)列，，，，，若數(shù)列中各項(xiàng)都是集合的元素，則稱該數(shù)列為數(shù)列．
對(duì)于數(shù)列，定義如下操作過程從中任取兩項(xiàng)，，將的值添在的最后，然后刪除，，這樣得到一個(gè)項(xiàng)的新數(shù)列，記作（約定：一個(gè)數(shù)也視作數(shù)列）．若還是數(shù)列，可繼續(xù)實(shí)施操作過程．得到的新數(shù)列記作，，如此經(jīng)過次操作后得到的新數(shù)列記作．
(1)設(shè)，，，，請(qǐng)寫出的所有可能的結(jié)果．
(2)求證：對(duì)數(shù)列實(shí)施操作過程后得到的數(shù)列仍是數(shù)列．
(3)設(shè)，，，，，，，，，，，求的所有可能的結(jié)果，并說明理由．
分類標(biāo)準(zhǔn)
類型
滿足條件
項(xiàng)數(shù)
有窮數(shù)列
項(xiàng)數(shù)有限
無窮數(shù)列
項(xiàng)數(shù)無限
項(xiàng)與項(xiàng)
間的大
小關(guān)系
遞增數(shù)列
an＋1＞an
其中
n∈N*
遞減數(shù)列
an＋1＜an
常數(shù)列
an＋1＝an
擺動(dòng)數(shù)列
從第二項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷更多

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷 更多

相關(guān)試卷更多