一、分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理
1.分類加法計(jì)數(shù)原理
完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法.那么完成這件事共有N＝m＋n種不同的方法.
2.分步乘法計(jì)數(shù)原理
完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m×n種不同的方法.
3.分類加法和分步乘法計(jì)數(shù)原理，區(qū)別在于：分類加法計(jì)數(shù)原理針對“分類”問題，其中各種方法相互獨(dú)立，用其中任何一種方法都可以做完這件事；分步乘法計(jì)數(shù)原理針對“分步”問題，各個(gè)步驟中的方法相互依存，只有各個(gè)步驟都完成了才算完成這件事.
常用結(jié)論：
分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理是解決排列組合問題的基礎(chǔ)，并貫穿其始終.
(1)分類加法計(jì)數(shù)原理中，完成一件事的方法屬于其中一類，并且只屬于其中一類.
(2)分步乘法計(jì)數(shù)原理中，各個(gè)步驟中的方法相互依存，步與步之間“相互獨(dú)立，分步完成”.
二、排列與組合
1.排列與組合的概念
2.排列數(shù)與組合數(shù)
(1)從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用符號Peq \\al(m,n)表示.
(2)從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)，用符號Ceq \\al(m,n)表示.
3.排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)
1.解受條件限制的排列、組合題，通常有直接法(合理分類)和間接法(排除法).分類時(shí)標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)統(tǒng)一，避免出現(xiàn)重復(fù)或遺漏.
2.對于分配問題，一般先分組、再分配，注意平均分組與不平均分組的區(qū)別，避免重復(fù)或遺漏.
三、二項(xiàng)式定理
1.二項(xiàng)式定理
(1)二項(xiàng)式定理：(a＋b)n＝Ceq \\al(0,n)an＋Ceq \\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq \\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq \\al(n,n)bn(n∈N*)；
(2)通項(xiàng)公式：Tk＋1＝Ceq \\al(k,n)an－kbk，它表示第k＋1項(xiàng)；
(3)二項(xiàng)式系數(shù)：二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)的系數(shù)Ceq \\al(0,n)，Ceq \\al(1,n)，…，Ceq \\al(n,n).
2.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)
3.各二項(xiàng)式系數(shù)和
(1)(a＋b)n展開式的各二項(xiàng)式系數(shù)和：Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(2,n)＋…＋Ceq \\al(n,n)＝2n.
(2)奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和，即Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(2,n)＋Ceq \\al(4,n)＋…＝Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(3,n)＋Ceq \\al(5,n)＋…＝2n－1.
常用結(jié)論：
(a＋b)n的展開式形式上的特點(diǎn)
(1)項(xiàng)數(shù)為n＋1.
(2)各項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的冪指數(shù)n，即a與b的指數(shù)的和為n.
(3)字母a按降冪排列，從第一項(xiàng)開始，次數(shù)由n逐項(xiàng)減1直到零；字母b按升冪排列，從第一項(xiàng)起，次數(shù)由零逐項(xiàng)增1直到n.
(4)二項(xiàng)式系數(shù)從Ceq \\al(0,n)，Ceq \\al(1,n)，一直到Ceq \\al(n－1,n)，Ceq \\al(n,n).
一、填空題
1．甲乙丙丁戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰的不同排列方式有______種.
2．在10件產(chǎn)品中有8件一等品，2件二等品，從中隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品，求取到的產(chǎn)品中至多有一件二等品的概率為______.
3．直線方程，若從1，2，3，4這四個(gè)數(shù)字中每次取兩個(gè)不同的數(shù)作為系數(shù)，的值，則方程表示不同直線的條數(shù)是_________.
4．如圖所示，玩具計(jì)數(shù)算盤的三檔上各有7個(gè)算珠，現(xiàn)將每檔算珠分為左右兩部分，左側(cè)的每個(gè)算珠表示數(shù)2，右側(cè)的每個(gè)算珠表示數(shù)1（允許一側(cè)無珠），記上、中、下三檔的數(shù)字和分別為.若成等差數(shù)列，則不同的分珠計(jì)數(shù)法有________種.
5．甲乙丙丁戊5名同學(xué)排成一列，若甲不站在排頭，乙和丙相鄰，則不同的排列方法有______種．
6．如圖，將鋼琴上的12個(gè)鍵依次記為設(shè)．若且，則稱為原位大三和弦；若且，則稱為原位小三和弦．用這12個(gè)鍵可以構(gòu)成的原位大三和弦與原位小三和弦的個(gè)數(shù)之和為__________．
7．的展開式中,含項(xiàng)的系數(shù)為___________．
8．把5、6、7、8四個(gè)數(shù)填入中的空白處以構(gòu)成三行三列方陣，若要求每一行從左到右、每一列從上到下依次增大，則滿足要求的填法共有______種．
9．現(xiàn)有4件不同款式的上衣和3條不同顏色的長褲，如果一條長褲與一件上衣配成一套，則不同的配法種數(shù)為______種．
10．展開式中不含y的項(xiàng)的系數(shù)和為64，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為___________.
11．多項(xiàng)式展開式的各項(xiàng)系數(shù)和為______.
12．我們常常運(yùn)用對同一個(gè)量算兩次的方法來證明組合恒等式，如：從裝有編號為的個(gè)球的口袋中取出個(gè)球，共有種取法.在種取法中，不取號球有種取法；取號球有種取法.所以.試運(yùn)用此方法，寫出如下等式的結(jié)果：___________.
二、單選題
13．僅有甲、乙、丙三人參加四項(xiàng)比賽，所有比賽均無并列名次，則不同的奪冠情況共有（ ）種.
A．B．C．D．
14．將3名醫(yī)護(hù)人員，6名志愿者分成3個(gè)小組，分別安排到甲、乙、丙三個(gè)新增便民核酸采樣點(diǎn)參加核酸檢測相關(guān)工作，每個(gè)小組由1名醫(yī)護(hù)人員和2名志愿者組成，則不同的安排方案共有（ ）
A．90種B．540種C．1620種D．3240種
15．高中畢業(yè)時(shí)，五名同學(xué)排成一排在學(xué)校門口照相留念，若甲、乙二人不相鄰，則不同的排法共有（ ）．
A．36種B．48種C．72種D．120種
16．從0，2中選一個(gè)數(shù)字，從1，3，5中選兩個(gè)數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)的個(gè)數(shù)為（ ）
A．24B．18C．12D．6
17．將甲、乙、丙、丁四名大學(xué)生分到三個(gè)不同單位實(shí)習(xí)，每個(gè)單位至少分到一名實(shí)習(xí)生，則甲、乙兩名大學(xué)生不被分到同一個(gè)單位實(shí)習(xí)的概率為（ ）
A．B．C．D．
18．“杭幫菜”山膚水豢，回味無窮.今有人欲以“糟燴鞭筍”、“冰糖甲魚”、“荷葉粉蒸肉”、“宋嫂魚羹”、“龍井蝦仁”、“叫化童雞”共六道杭幫菜宴請遠(yuǎn)方來客.這六道菜要求依次而上，其中“冰糖甲魚”和“叫化章雞”不能接連相鄰上菜，請問不同的上菜順序種數(shù)為（ ）
A．480B．240C．384D．1440
19．在的展開式中常數(shù)項(xiàng)為（ ）
A．14B．－14C．6D．－6
20．2022年遂寧主城區(qū)突發(fā)“920疫情”，23日凌晨2時(shí)，射洪組織五支“最美逆行醫(yī)療隊(duì)”去支援遂寧主城區(qū)，將分派到遂寧船山區(qū)、遂寧經(jīng)開區(qū)、遂寧高新區(qū)進(jìn)行核酸采樣服務(wù)，每支醫(yī)療隊(duì)只能去一個(gè)區(qū)，每區(qū)至少有一支醫(yī)療隊(duì)，若恰有兩支醫(yī)療隊(duì)者被分派到高新區(qū)，則不同的安排方法共有（ ）
A．30種B．40種C．50種D．60種
21．已知，則（ ）
A．6063B．1C．22021D．0
22．已知集合，，從集合中任取3個(gè)不同的元素，其中最小的元素用表示，從集合中任取3個(gè)不同的元素，其中最大的元素用表示，記，則為（ ）
A．B．C．D．
23．有三個(gè)盒子，每個(gè)盒子里有若干大小形狀都相同的卡片.第一個(gè)盒子中有三張分別標(biāo)號為的卡片；第二個(gè)盒子中有五張分別標(biāo)號為的卡片；第三個(gè)盒子中有七張分別標(biāo)號為的卡片.現(xiàn)從每個(gè)盒子中隨機(jī)抽取一張卡片，設(shè)從第個(gè)盒子中取出的卡片的號碼為，則為奇數(shù)的概率是（ ）
A．B．C．D．
24．“楊輝三角”是中國古代數(shù)學(xué)杰出的研究成果之一.如圖所示，由楊輝三角的左腰上的各數(shù)出發(fā)，引一組平行線，從上往下每條線上各數(shù)之和依次為1，1，2，3，5，8，13，，則下列選項(xiàng)不正確的是（ ）
A．在第9條斜線上，各數(shù)之和為55
B．在第條斜線上，各數(shù)自左往右先增大后減小
C．在第條斜線上，共有個(gè)數(shù)
D．在第11條斜線上，最大的數(shù)是
三、解答題
25．用0、1、2、3四個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)．
(1)把這些自然數(shù)從小到大排成一個(gè)數(shù)列，1230是這個(gè)數(shù)列的第幾項(xiàng)？
(2)其中的四位數(shù)中偶數(shù)有多少個(gè)？它們各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和是多少？它們的和是多少？
26．用種不同的顏色給圖中的，，，四個(gè)區(qū)域涂色，要求每個(gè)區(qū)域只能涂一種顏色.
(1)有多少種不同的涂法？
(2)若相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色，有多少種不同的涂法？
27．在班級活動(dòng)中，4名男生和3名女生站成一排表演節(jié)目．請回答下面的問題．（寫出必要的數(shù)學(xué)式，結(jié)果用數(shù)字作答）
(1)3名女生不能相鄰，有多少種不同的站法？
(2)女生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端，有多少種不同的排法？
(3)甲、乙、丙三人按身高從左到右有多少種不同的排法？（甲、乙、丙3名同學(xué)身高互不相等）
28．某旅游公司組織了一個(gè)有名游客的旅游團(tuán)到某省旅游，其中是省外游客，其余是省內(nèi)游客．在省外游客中有持金卡，在省內(nèi)游客中有持銀卡．
(1)在該團(tuán)中隨機(jī)采訪名游客，求恰有人持銀卡的概率；
(2)在該團(tuán)中隨機(jī)采訪名游客，求其中持金卡與持銀卡人數(shù)相等的概率．
29．現(xiàn)有8個(gè)人（5男3女）站成一排．
(1)其中甲必須站在排頭有多少種不同排法？
(2)女生必須排在一起，共有多少種不同的排法？
(3)其中甲、乙兩人不能排在兩端有多少種不同的排法？
(4)其中甲在乙的左邊有多少種不同的排法？
(5)甲、乙不能排在前3位，有多少種不同排法？
(6)女生兩旁必須有男生，有多少種不同排法？
30．（1）一場班級元旦晚會(huì)有2個(gè)唱歌節(jié)目和；2個(gè)相聲節(jié)目1和2.要求排出一個(gè)節(jié)目單，滿足第一個(gè)節(jié)目和最后一個(gè)節(jié)目都是唱歌節(jié)目.列出所有可能的排列.
（2）7個(gè)人排成一排拍照片，若要求甲、乙、丙3人必須相鄰，并且丁和戊不相鄰，有多少不同的種排法？（結(jié)果用數(shù)字表示）
（3）從4名男青年教師和5名女青年教師中選出4名教師參加新教材培訓(xùn)，要求至少有2名男教師和1名女教師參加，有多少種不同的選法？（結(jié)果用數(shù)字表示）
31．某班有一個(gè)5男4女組成的社會(huì)實(shí)踐調(diào)查小組，準(zhǔn)備在暑假進(jìn)行三項(xiàng)不同的社會(huì)實(shí)踐，若不同的組合調(diào)查不同的項(xiàng)目算作不同的調(diào)查方式，求按下列要求進(jìn)行組合時(shí)，有多少種不同的調(diào)查方式？
(1)將9人分成人數(shù)分別為2人、3人、4人的三個(gè)組去進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐；
(2)將9人平均分成3個(gè)組去進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐；
(3)將9人平均分成每組既有男生又有女生的三個(gè)組去進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐.
32．在的展開式中，求：
(1)二項(xiàng)式系數(shù)的和；
(2)各項(xiàng)系數(shù)的和；
(3)奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和；
(4)奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和；
(5)的奇次項(xiàng)系數(shù)和與的偶次項(xiàng)系數(shù)和．
33．若，其中.
(1)求m的值；
(2)求；
(3)求.
34．已知二項(xiàng)式.
（1）當(dāng)時(shí)，求二項(xiàng)式展開式中各系數(shù)的和；
（2）若二項(xiàng)式展開式中第9項(xiàng)，第10項(xiàng)，第11項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和成等差數(shù)列，且二項(xiàng)展開式中存在常數(shù)項(xiàng)，求的值.
35．在的展開式中，記含有的所有項(xiàng)的系數(shù)之和為.
(1)求；
(2)當(dāng)取得最大值時(shí)，求的值.
36．設(shè)(2－x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，求下列各式的值；
（1）a0；
（2）a1＋a3＋a5＋…＋a99；
（3）(a0＋a2＋a4＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2.
37．對任意，定義+，其中為正整數(shù).
（1）求的值；
（2）探究是否為定值，并證明你的結(jié)論；
（3）設(shè)，是否存在正整數(shù)，使得成等差數(shù)列，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.
38．在的展開式中，把叫做三項(xiàng)式系數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，寫出三項(xiàng)式系數(shù)的值；
（2）類比二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)，給出一個(gè)關(guān)于三項(xiàng)式系數(shù)的相似性質(zhì)，并予以證明；
（3）求的值．
名稱
定義
排列
從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素
并按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列
組合
作為一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合
公式
(1)Peq \\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq \f(n！,（n－m）！).
(2)Ceq \\al(m,n)＝eq \f(Aeq \\al(m,n),Aeq \\al(m,m))＝eq \f(n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）,m！)
＝eq \f(n！,m?。╪－m）！)(n，m∈N*，且m≤n).特別地Ceq \\al(0,n)＝1
性質(zhì)
(1)0?。?；Peq \\al(n,n)＝n！.
(2)Ceq \\al(m,n)＝Ceq \\al(n－m,n)；Ceq \\al(r,n)＝Ceq \\al(r－1,n－1)＋Ceq \\al(r,n－1)
性質(zhì)
性質(zhì)描述
對稱性
與首末等距離的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即Ceq \\al(m,n)＝Ceq \\al(n－m,n)
增減性
二項(xiàng)式系數(shù)Ceq \\al(k,n)
當(dāng)k＜eq \f(n＋1,2)(n∈N*)時(shí)，是遞增的
當(dāng)k＞eq \f(n＋1,2)(n∈N*)時(shí)，是遞減的
二項(xiàng)式
系數(shù)最大值
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，中間的一項(xiàng)取得最大值
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，中間的兩項(xiàng)與相等且取得最大值

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