一、橢圓
1.橢圓的定義
平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓.這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距，焦距的一半稱為半焦距.
其數(shù)學(xué)表達式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c為常數(shù)：
(1)若a＞c，則集合P為橢圓；
(2)若a＝c，則集合P為線段；
(3)若a＜c，則集合P為空集.
2.橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)
常用結(jié)論：
1.若點P在橢圓上，F(xiàn)為橢圓的一個焦點，則
(1)b≤|OP|≤a；
(2)a－c≤|PF|≤a＋c.
2.焦點三角形：橢圓上的點P(x0，y0)與兩焦點構(gòu)成的△PF1F2叫作焦點三角形，r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面積為S，則在橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)中：
(1)當r1＝r2時，即點P的位置為短軸端點時，θ最大；
(2)S＝b2tan eq \f(θ,2)＝c|y0|，當|y0|＝b時，即點P的位置為短軸端點時，S取最大值，最大值為bc.
3.焦點弦(過焦點的弦)：焦點弦中通徑(垂直于長軸的焦點弦)最短，弦長lmin＝eq \f(2b2,a).
4.AB為橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中點M(x0，y0)，則直線AB的斜率kAB＝－eq \f(b2x0,a2y0).
二、雙曲線
1.雙曲線的定義
平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離差的絕對值等于非零常數(shù)(小于|F1F2|)的點的軌跡叫雙曲線.這兩個定點叫雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距.其數(shù)學(xué)表達式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c為常數(shù)且a>0，c>0.
(1)若ac，則集合P為空集.
2.雙曲線的標準方程和幾何性質(zhì)
常用結(jié)論：
1.過雙曲線的一個焦點且與實軸垂直的弦的長為eq \f(2b2,a).
2.離心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(a2＋b2),a)＝eq \r(1＋\f(b2,a2)).
3.等軸雙曲線的漸近線互相垂直，離心率等于eq \r(2).
4.若漸近線方程為y＝±eq \f(b,a)x，則雙曲線方程可設(shè)為eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ≠0).
5.雙曲線的焦點到漸近線的距離為b.
6.若P是雙曲線右支上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點，則|PF1|min＝c＋a，|PF2|min＝c－a.
7.焦點三角形的面積：P為雙曲線上的點，F(xiàn)1，F(xiàn)2為雙曲線的兩個焦點，且∠F1PF2＝θ，則△F1PF2的面積為eq \f(b2,tan \f(θ,2)).
三、拋物線
1.拋物線的定義
(1)平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(l不經(jīng)過點F)的距離相等的點的軌跡叫做拋物線.點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線.
(2)其數(shù)學(xué)表達式：{M||MF|＝d}(d為點M到準線l的距離).
2.拋物線的標準方程與幾何性質(zhì)
常用結(jié)論：
1.通徑：過焦點且垂直于對稱軸的弦長等于2p，通徑是過焦點最短的弦.
2.拋物線y2＝2px(p>0)上一點P(x0，y0)到焦點Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))的距離|PF|＝x0＋eq \f(p,2)，也稱為拋物線的焦半徑.
一、填空題
1．已知橢圓的焦距是2，則離心率e的值是________.
【答案】或
【分析】分橢圓的焦點在，軸上，由橢圓的方程可得的值，再由焦距為2可得的值，求出橢圓的離心率．
【解析】由橢圓的方程可得，且，焦距為2，可得，即，
當焦點在軸上時，則，，可得，
由題意可得，所以，這時離心率；
當焦點在軸上時，則，即，這時離心率，
綜上，離心率為或，
故答案為：或
2．己知直線：，與雙曲線：的一條漸近線垂直，則__________.
【答案】4
【分析】求得雙曲線的漸近線方程，根據(jù)直線垂直列出等量關(guān)系，即可求得結(jié)果.
【解析】對雙曲線：，其漸近線方程為，
對直線：，且斜率為，
根據(jù)題意可得，解得.
故答案為：.
3．若圓與雙曲線的漸近線相切，則雙曲線的離心率為___________.
【答案】##
【分析】求得雙曲線的漸近線方程為，由于漸近與圓相切，所以圓心到漸近線的距離為1，列方程可求出，從而可求出雙曲線的離心率.
【解析】雙曲線的漸近線方程為
圓的圓心為，半徑為1，由直線和圓相切，
可得，解得，
則離心率.，
故答案為：
4．若雙曲線的漸近線被圓所截的弦長為2，則的值為______．
【答案】
【分析】圓的半徑和弦長已知，可求圓心到直線的距離，由點到直線距離公式解得的值
【解析】雙曲線的漸近線方程為，即，
圓的圓心為，半徑為，漸近線被圓所截的弦長為2，有圓心到漸近線距離，解得，
故答案為：
5．設(shè)為坐標原點，直線與拋物線交于兩點，若，則的焦點坐標為___________.
【答案】##
【分析】由可求得坐標，由垂直關(guān)系可得，由此可得，進而確定焦點坐標.
【解析】由得：，不妨令，，
，，
，，解得：，拋物線，
的焦點坐標為.
故答案為：.
6．已知拋物線C：的焦點為F，準線為l，以F為圓心作圓與C交于A，B兩點，與l交于D、E兩點，若，則F到l的距離為________．
【答案】2
【分析】根據(jù)題意分析求出點A的坐標，代入拋物線的方程求，即可得出F到l的距離.
【解析】設(shè)與x軸的交點分別為，則，即點，
∴，解得或（舍去），
故F到l的距離為2.
故答案為：2.
7．已知拋物線的焦點為 ， 為拋物線上第一象限內(nèi)一點，直線與軸交于點，且，則直線的斜率為___________.
【答案】
【分析】由題意可設(shè)、、的坐標，運用可解出，利用拋物線解析式可得，由斜率公式解出即可.
【解析】由題意可設(shè) ，，，
，，

為拋物線上第一象限內(nèi)一點

直線的斜率為；
直線的斜率為：
故答案為：.
8．已知、是雙曲線C的兩個焦點，P為C上一點，且，，則C的離心率為____________．
【答案】
【分析】根據(jù)給定的條件，利用雙曲線定義結(jié)合余弦定理計算作答.
【解析】令雙曲線C的半焦距為c，即，又，，則，
中，，由余弦定理得，
即，整理得，
所以C的離心率．
故答案為：
9．已知雙曲線C：（，）的左、右焦點分別為，，離心率為．若過點的直線與C交于A，B兩點，且，則________．
【答案】##
【分析】由雙曲線離心率可得，用a表示雙曲線C和直線AB，聯(lián)立方程求交點A、B的坐標，進而可求相關(guān)長度和角度，在中，利用正弦定理運算求解.
【解析】∵雙曲線C的離心率為，則
∴雙曲線C：，
由題意可得：直線
聯(lián)立方程，解得或
即
∴，則
則，同理可得：
在中，由正弦定理，可得
故答案為：.
10．雙曲線的左右焦點分別是，以為圓心，為半徑的圓與雙曲線在第一象限交于點A，在第二象限交于點B，若，則雙曲線的離心率為_______________．
【答案】
【分析】首先根據(jù)題意在以為圓心，為半徑的圓上可得，再根據(jù)所在位置，利用雙曲線的定義可得，結(jié)合可得化簡即可得解.
【解析】根據(jù)題意可得：，
由以為半徑的圓與雙曲線在第一象限交于點A，在第二象限交于點B，
可得，
所以，
又，所以
即，所以，
故答案為：
11．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，以線段為直徑的圓與y軸的正半軸交于點B，連接，，分別交雙曲線的漸近線于點E，F(xiàn).若四邊形OFBE為平行四邊形，則該雙曲線的離心率為______.
【答案】
【分析】由題可得，進而可得，即得.
【解析】設(shè)雙曲線的焦距為，由題可得，則，
因為四邊形OFBE為平行四邊形，
所以，，
因為漸近線OF的方程為，所以，
所以離心率.
故答案為：.
12．已知雙曲線的左、右焦點分別為F1、F2，過F2且斜率為的直線與雙曲線C的左支交于點A．若，則雙曲線C的漸近線方程為 __．
【答案】
【分析】由已知可得，由過F2的直線斜率為，可得，進而由余弦定理可得c＝3a，可求雙曲線C的漸近線方程．
【解析】由，得，
所以，故
由雙曲線的定義知，，
因為直線的斜率為，所以，
即，結(jié)合，
因為，
可得，
由余弦定理得：，解得：c＝3a，
因為，所以，即，
可得，
∴雙曲線C的漸近線方程為．
故答案為：．
13．過拋物線）的焦點F的直線交拋物線于點A，B，交其準線于點C（點B在點F，C之間），且則直線AB的斜截式方程為__________
【答案】或
【分析】根據(jù)題意結(jié)合拋物線的定義運算求解.
【解析】分別過點A，B作準線的垂線，分別交準線于點E，D，準線與軸的交點為G
設(shè)，則，，∴，即直線AB的斜率為
則可得，，
在ACE中可得：，則，即，
又，則，解得，即．
所以直線AB的斜截式方程為或
故答案為：或.
14．已知橢圓，A，B為其左右頂點，設(shè)直線上有一動點，連結(jié)AP，BP交橢圓于C，D，則直線BC的斜率與直線BD的斜率的乘積_________.
【答案】##
【分析】由斜率公式與橢圓性質(zhì)求解，
【解析】直線的斜率，直線的斜率，
設(shè)，則，
故答案為：
15．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，為雙曲線右支上的動點，過作兩漸近線的垂線，垂足分別為A，．若圓與雙曲線的漸近線相切，則下列命題正確的是________
（1）雙曲線的離心率
（2）當點異于頂點時，△的內(nèi)切圓的圓心總在直線上
（3）為定值
（4）的最小值為
【答案】（1）（3）（4）
【分析】先依據(jù)題給條件求得雙曲線的標準方程.求得雙曲線的離心率判斷（1）；求得△的內(nèi)切圓的圓心的橫坐標判斷（2）；對化簡整理，并求值判斷（3）；求得的最小值判斷（4）.
【解析】雙曲線的左、右焦點分別為，
雙曲線的漸近線為，由圓與雙曲線的漸近線相切，
可得，解之得或（舍），
則雙曲線，，，
（1）雙曲線的離心率.判斷正確；
（2）為雙曲線右支上（異于右頂點）一點，
設(shè)△的內(nèi)切圓與x軸相切于M點，
則，解之得，則切點
則△的內(nèi)切圓的圓心橫坐標為，則圓心總在直線上.判斷錯誤；
（3）設(shè)雙曲線右支上的動點坐標為，則
又雙曲線的漸近線為
則，即為定值.判斷正確；
（4）設(shè)雙曲線右支上的動點坐標為，則
由，可得
由，可得
不妨令，
則
由為雙曲線右支上的動點，可得，則
則，即的最小值為.判斷正確.
故答案為：（1）（3）（4）
16．已知曲線：，拋物線：，為曲線上一動點，為拋物線上一動點，與兩條曲線都相切的直線叫做這兩條曲線的公切線，則以下說法正確的有___________
①直線l：是曲線和的公切線：
②曲線和的公切線有且僅有一條；
③最小值為；
④當軸時，最小值為.
【答案】①③④
【分析】對于①利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解；對于②，分別設(shè)兩條曲線上的切線方程，然后根據(jù)公切線的定義建立方程，將方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)，研究函數(shù)的零點即可；對于③，利用拋物線的焦半徑公式轉(zhuǎn)化求的最小值，進而建立函數(shù)，然后再研究函數(shù)的單調(diào)性即可；對于④，先設(shè)動點的坐標，根據(jù)軸，進而建立目標函數(shù)，然后研究該函數(shù)單調(diào)性即可.
【解析】解：選項①，對于曲線，，當時，，，
故直線與曲線相切與點；
聯(lián)立，可得，故此時直線與切于點，
故直線l：是曲線和的公切線，故①正確；
對于②，設(shè)公切線分別與切于點，
則曲線的切線為：，曲線的切線為，
根據(jù)與表示同一條直線，則有，
解得，令，則有，
可得在區(qū)間上單調(diào)遞增；在區(qū)間上單調(diào)遞減，
則有，
根據(jù)零點存在性定理可知，在區(qū)間上存在一個零點，即存在一條公切線
故曲線和的公切線有且僅有2條，故②錯誤；
對于③，如圖所示，可得，根據(jù)拋物線的焦半徑公式可得，
故有：，
設(shè)點的坐標為：，則有：，
令，可得，
再次求導(dǎo)可得：，故在上單調(diào)遞增，
又，可得：當時，，即在上單調(diào)遞減；
當時，，即在上單調(diào)遞增；
故，則，故，故③正確；
對于④，當軸時，設(shè)，則，則有：，
記，則有，令，解得：，
故當時，，在區(qū)間上單調(diào)遞減；
當時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增；
故有，故，故選項④正確.
故答案為：①③④.
二、單選題
17．雙曲線的實軸長為4，則其漸近線方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】求出雙曲線的標準方程即得解.
【解析】解：由題意知，，所以雙曲線的標準方程為，
雙曲線的漸近線方程為，即.
故選：D．
18．已知O為坐標原點，拋物線的焦點為F，點M在拋物線上，且，則M點到軸的距離為（ ）
A．2B．C．D．
【答案】D
【分析】設(shè)點的坐標，由焦半徑公式列出方程，求出點的橫坐標，從而求出縱坐標，得到答案.
【解析】由題意得，所以準線為，
又因為，設(shè)點的坐標為，
則有，解得：
將代入解析式得：，
所以M點到x軸的距離為．
故選：D．
19．若方程表示橢圓，則下面結(jié)論正確的是（ ）
A．B．橢圓的焦距為
C．若橢圓的焦點在軸上，則D．若橢圓的焦點在軸上，則
【答案】C
【分析】利用橢圓方程與橢圓位置特征逐項分析、計算即可判斷作答.
【解析】因方程表示橢圓，則有，，且，即，A錯誤；
焦點在軸上時，，解得，D錯誤，C正確；
焦點在軸上時，則，焦點在軸上時，，B錯誤.
故選：C
20．已知實數(shù)x，y滿足，其中常數(shù)，則動點的軌跡是（ ）
A．射線B．直線C．拋物線D．橢圓
【答案】C
【分析】利用兩點的距離公式、絕對值的幾何意義以及拋物線的定義進行判斷.
【解析】因為表示動點到定點的距離與到定直線l：的距離相等，且點F不在直線l上，所以由拋物線的定義知動點的軌跡為拋物線．故A，B，D錯誤.
故選：C.
21．已知雙曲線的右支上恰好有兩點到O（坐標原點）?F（右焦點）的距離相等，則雙曲線的離心率e的取值范圍是（ ）
A．B．C．（1，2）D．
【答案】D
【分析】由題意只需線段的垂直平分線與雙曲線的右支有兩個交點即可，可得，從而得出離心率的取值范圍.
【解析】雙曲線的右焦點，
若雙曲線的右支上恰好有兩點到O（坐標原點）?
F（右焦點）的距離相等，
則線段的垂直平分線與雙曲線的右支有兩個交點，
所以，所以，
所以雙曲線的離心率e的取值范圍是.
故選：D
22．已知圓與拋物線的兩個交點是A，B．過點A，B分別作圓和拋物線的切線，，則（ ）
A．存在兩個不同的b使得兩個交點均滿足
B．存在兩個不同的b使得僅一個交點滿足
C．僅存在唯一的b使得兩個交點均滿足
D．僅存在唯一的b使得僅一個交點滿足
【答案】D
【分析】利用拋物線方程設(shè)出交點坐標，再由直線與垂直及交點在圓上求出b，p的關(guān)系，然后逐項分析作答.
【解析】依題意，設(shè)圓與拋物線的交點，，顯然直線的斜率存在且不為0，設(shè)方程為：，
由消去x并整理得：，而，則，解得，
由及圓的性質(zhì)知，直線過圓心及點，于是得：，整理得：，
又，即，因此有，
解得，而，即，于是有滿足的兩曲線交點只有點，選項A，C不正確；
顯然，即正數(shù)p值確定，b值也隨之確定，并且唯一，選項B不正確，D正確.
故選：D
【點睛】結(jié)論點睛：拋物線在點處的切線斜率；拋物線在點處的切線斜率.
23．已知F是橢圓的左焦點，A是該橢圓的右頂點，過點F的直線l（不與x軸重合）與該橢圓相交于點M，N．記，設(shè)該橢圓的離心率為e，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．當時，B．當時，
C．當時，D．當時，
【答案】A
【分析】設(shè)在軸上方，在軸下方，設(shè)直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，聯(lián)立直線的方程與橢圓方程可求的坐標，同理可求的坐標，利用三點共線可得，利用離心率的范圍可得，從而可判斷為銳角.
【解析】
不失一般性，設(shè)在軸上方，在軸下方，
設(shè)直線的斜率為，傾斜角為，直線的斜率為，傾斜角為，
則，，，且.
又.
又直線的方程為，
由可得，
故，所以，故，
同理，故，
因為共線，故，
整理得到即，
若，，
因為，，故，所以，
故.
故選：A.
【點睛】思路點睛：與橢圓有關(guān)的角的計算，一般利用其正切來刻畫，因為角的正切與直線的斜率相關(guān)，注意運算結(jié)果的準確性.
24．已知橢圓的左、右焦點為，直線過點且垂直于橢圓的長軸，動直線垂直于點，線段的垂直平分線與的交點的軌跡為曲線，若，且是曲線上不同的點，滿足，則的取值范圍為
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由已知條件推導(dǎo)出曲線C2：y2=4x．，，由
AB⊥BC，推導(dǎo)出，由此能求出的取值范圍．
【解析】∵橢圓C1：+=1的左右焦點為F1，F(xiàn)2，
∴F1（﹣1，0），F(xiàn)2（1，0），直線l1：x=﹣1，
設(shè)l2：y=t，設(shè)P（﹣1，t），（t∈R），M（x，y），
則y=t，且由|MP|=|MF2|，
∴（x+1）2=（x﹣1）2+y2，
∴曲線C2：y2=4x．
∵A（1，2），B（x1，y1），C（x2，y2）是C2上不同的點，
∴，，
∵AB⊥BC，
∴=（x1﹣1）（x2﹣x1）+（y1﹣2）（y2﹣y1）=0，
∵，，
∴（﹣4）（﹣）+=0，
∵y1≠2，y1≠y2，
∴，
整理，得，
關(guān)于y1的方程有不為2的解，
∴，且y2≠﹣6，
∴0，且y2≠﹣6，
解得y2＜﹣6，或y2≥10．
故選A．
【點睛】本題考查實數(shù)的取值范圍的求法，考查點的軌跡方程的求法，綜合性強，難度大，解題時要
熟練掌握圓錐曲線的簡單性質(zhì)，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．
25．已知是橢圓上的動點，且與的四個頂點不重合，，分別是橢圓的左、右焦點，若點在的平分線上，且，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】作出輔助線，得到，求出的取值范圍，從而求出的取值范圍.
【解析】如圖，直線與直線相交于點N，
由于PM是的平分線，且，即PM⊥，
所以三角形是等腰三角形，
所以，點M為中點，
因為O為的中點，
所以O(shè)M是三角形的中位線，
所以，
其中，
因為P與的四個頂點不重合，設(shè)，則，
則，
所以，又，
所以，
∴的取值范圍是.
故選：D.
26．在平面直角坐標系中，，，，，角的平分線與P點的軌跡相交于I點．存在非零實數(shù)，使得過點A的直線與C點的軌跡相交于MN兩點．若的面積為，則原點O到直線MN的距離為（ ）
A．1B．C．D．
【答案】C
【分析】由條件可知點C的軌跡為橢圓，容易驗證直線MN不垂直與x軸，設(shè)，直線MN的方程為：，與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)的面積為求出t，繼而可求出結(jié)果．
【解析】設(shè)點，的三個內(nèi)角A，B，C對應(yīng)的邊分別為a，b，c，
由，
知G為的重心，則G的坐標為，
由，知點P在角的平分線上，
又角的平分線與P點的軌跡相交于I點，因此點I為的內(nèi)心，
如圖，設(shè)角平分線交于，則，
故，由為角平分線可得，
而，故，故即,
因此，點C的軌跡是橢圓，點C的軌跡方程為．
若直線MN垂直于x軸，則，此時，不符合題意；
所以直線MN不垂直于x軸，設(shè)直線MN的方程為：，，
由，得：，
可知：，
所以，
所以
，
解得，
所以直線MN的方程為：，
則原點O到直線MN的距離為：．
故選：C．
三、解答題
27．已知拋物線：的焦點為，點在拋物線上，且.
(1)求拋物線的標準方程；
(2)直線與拋物線交于，兩點，若線段的中點為，求直線的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)焦半徑公式得，求得，即可求解方程；
（2）由點差法化為，根據(jù)中點坐標可得直線斜率從而求出直線方程．
（1）
因為點在拋物線上，所以
又因為，解得，故拋物線的標準方程為；
（2）
設(shè)，則
，所以，化為
又因為的中點為，所以，
則 ，故直線的斜率為，所以直線的方程為
整理得．
28．已知橢圓過點，且離心率.
(1)求橢圓C的方程；
(2)若P是橢圓C上一點，是橢圓的兩個焦點，且，求的面積.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根據(jù)橢圓離心率的公式，結(jié)合代入法、橢圓中的關(guān)系進行求解即可；
（2）根據(jù)橢圓的定義，結(jié)合余弦定理和三角形面積公式進行求解即可.
【解析】（1）由題意橢圓的離心率，
∴橢圓C的方程為，
又點在橢圓上，∴，解得，
∴橢圓C的方程為；
（2）由橢圓定義知，①
由余弦定理知，
即②，
聯(lián)立①②得，
29．雙曲線，右焦點為.
(1)若雙曲線為等軸雙曲線，且過點，求雙曲線的方程；
(2)經(jīng)過原點傾斜角為的直線與雙曲線的右支交于點是以線段為底邊的等腰三角形，求雙曲線的離心率.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）設(shè)出雙曲線方程，代入點的坐標，待定系數(shù)法求解即可；
（2）法一：表達出，利用雙曲線定義求出，從而求出離心率；
法二：表達出，將其代入雙曲線方程，得到關(guān)于的齊次方程，求出離心率.
（1）
雙曲線為等軸雙曲線，
，
∵雙曲線過點，將其代入得：
；
（2）
法一：是以線段為底邊的等腰三角形，，
是等腰直角三角形，，
過作軸于點，則，
設(shè)左焦點，由雙曲線定義知，
，
于是.
法二：前同法一得，點在上，
，
整理得：，解得：，
，
于是.
30．已知拋物線的焦點為F，點M是拋物線的準線上的動點．
(1)求p的值和拋物線的焦點坐標；
(2)設(shè)直線l與拋物線相交于A、B兩點，且，求直線l在x軸上截距b的取值范圍．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義與方程求解；（2）利用向量處理，結(jié)合韋達定理代換整理，注意討論直線l斜率是否存在．
（1）
因為拋物線的準線是，所以拋物線的焦點坐標，所以；
（2）
因為點M是拋物線的準線上的動點，設(shè)．
（?。┤糁本€l的斜率不存在，則．
由得，
因為，所以，
即，所以，
因為，所以；
因為，所以，
即，所以，
所以因為，所以①．
（ⅱ）若直線l的斜率存在，設(shè)為k，則．設(shè)．
由得，所以，
且，所以（*），
因為，所以，即，所以，
所以，得，
因為，所以，
即，所以，
所以
則
所以，得，
所以②，
代入（*）得，，所以③，
由②得，所以④，
所以，所以，⑤
由④，⑤知，
綜合（?。áⅲ┲本€l在x軸上截距b的取值范圍是．
31．已知雙曲線經(jīng)過點，兩條漸近線的夾角為，直線交雙曲線于兩點.
(1)求雙曲線的方程.
(2)若動直線經(jīng)過雙曲線的右焦點，是否存在軸上的定點，使得以線段為直徑的圓恒過點？若存在，求實數(shù)的值；若不存在，請說明理由.
【答案】(1)
(2)存在，使得以線段為直徑的圓恒過點
【分析】（1）由漸近線夾角得或，結(jié)合雙曲線所過點可求得，由此可得雙曲線方程；
（2）假設(shè)存在點滿足題意，可知；假設(shè)直線方程，與雙曲線方程聯(lián)立可得韋達定理的結(jié)論，結(jié)合向量數(shù)量積的坐標運算可化簡整理，根據(jù)等式恒成立的求解方法可得的值.
【解析】（1）兩條漸近線的夾角為，漸近線的斜率或，即或；
當時，由得：，，雙曲線的方程為：；
當時，方程無解；
綜上所述：雙曲線的方程為：.
（2）由題意得：，
假設(shè)存在定點滿足題意，則恒成立；
方法一：①當直線斜率存在時，設(shè)，，，
由得：，，
，，
，
，
整理可得：，
由得：；
當時，恒成立；
②當直線斜率不存在時，，則，，
當時，，，成立；
綜上所述：存在，使得以線段為直徑的圓恒過點.
方法二：①當直線斜率為時，，則，，
，，，
，解得：；
②當直線斜率不為時，設(shè)，，，
由得：，，
，，
；
當，即時，成立；
綜上所述：存在，使得以線段為直徑的圓恒過點.
【點睛】思路點睛：本題考查直線與圓錐曲線綜合應(yīng)用中的定點問題的求解，求解此類問題的基本思路如下：
①假設(shè)直線方程，與曲線方程聯(lián)立，整理為關(guān)于或的一元二次方程的形式；
②利用求得變量的取值范圍，得到韋達定理的形式；
③利用韋達定理表示出已知中的等量關(guān)系，代入韋達定理整理；
④由所得等式恒成立可整理得到定點.
32．已知是橢圓的左焦點，上頂點B的坐標是，離心率為．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)O為坐標原點，直線l過點且與橢圓相交于P，Q兩點．
①若的面積為，求直線l的方程；
②過點作與直線相交于點E，連接，與線段相交于點M，求證：點M為線段的中點．
【答案】(1)；
(2)①或或；②證明見解析.
【分析】（1）利用給定的點B及離心率，求出a，b作答.
（2）由（1）求出坐標，設(shè)出直線l的方程，與橢圓方程聯(lián)立，①求出點P，Q縱坐標差的絕對值結(jié)合三角形面積求出l方程；②求出直線方程并求得M的坐標即可作答.
（1）
因橢圓的上頂點B，則，令橢圓半焦距為c，
由離心率為得，即，解得，
所以橢圓的標準方程為.
（2）
①由（1）知，，，顯然直線l不垂直于y軸，設(shè)直線，
由消去x并整理得：，設(shè)，
則，，
因此，解得或，
直線l的方程為或或.
②顯然直線l不垂直于y軸，因直線過點，且，由①得直線的方程為，
由得點，直線的方程為：，
由解得：，因此點，
由①知，，即線段中點坐標為，
所以點M為線段的中點.
【點睛】結(jié)論點睛：過定點的直線l：y=kx+b交圓錐曲線于點，，則面積；
過定點直線l：x=ty+a交圓錐曲線于點，，則面積.
33．已知雙曲線E：（，）一個頂點為，直線l過點交雙曲線右支于M，N兩點，記，，的面積分別為S，，.當l與x軸垂直時，的值為.
(1)求雙曲線E的標準方程；
(2)若l交y軸于點P，，，求證：為定值；
(3)在（2）的條件下，若，當時，求實數(shù)m的取值范圍.
【答案】(1)
(2)證明見解析
(3)
【分析】（1）由題意可得，再由結(jié)合三角形面積公式可求得，由此可得雙曲線E的標準方程；
（2）由向量的坐標表示求得，代入雙曲線方程得，同理可得，再由韋達定理即可得到，得證；
（3）由得到，結(jié)合（2）中結(jié)論可將式子化簡為，再利用換元法與雙勾函數(shù)的單調(diào)性即可求得m的取值范圍.
（1）
由題意得，，
則當l與x軸垂直時，不妨設(shè)，
由，得，
將代入方程，得，解得，
所以雙曲線E的方程為．
（2）
設(shè)，，，
由與，得，
即，，將代入E的方程得：，
整理得：①，
同理由可得②．
由①②知，，是方程的兩個不等實根．
由韋達定理知，所以為定值．
（3）
又，即，
整理得：，
又，不妨設(shè)，則，
整理得，又，故，
而由（2）知，，故，
代入，
令，得，
由雙勾函數(shù)在上單調(diào)遞增，得，
所以m的取值范圍為．
.
【點睛】解答圓錐曲線的范圍問題的方法與策略：
（1）幾何轉(zhuǎn)化代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圓錐曲線的定義、圖形、幾何性質(zhì)來解決；
（2）函數(shù)取值法：若題目的條件和結(jié)論的幾何特征不明顯，則可以建立目標函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）單調(diào)性法；（4）三角換元法；（5）導(dǎo)數(shù)法等，要特別注意自變量的取值范圍.
標準方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)
圖形
性質(zhì)
范圍
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
對稱性
對稱軸：坐標軸；對稱中心：原點
頂點
A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)
軸
長軸A1A2的長為2a；短軸B1B2的長為2b
焦距
|F1F2|＝2c
離心率
e＝eq \f(c,a)∈(0，1)
a，b，c的關(guān)系
c2＝a2－b2
標準方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)
圖 形
性 質(zhì)
范圍
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
對稱性
對稱軸：坐標軸；對稱中心：原點
頂點
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
漸近線
y＝±eq \f(b,a)x
y＝±eq \f(a,b)x
離心率
e＝eq \f(c,a)，e∈(1，＋∞)
實虛軸
線段A1A2叫做雙曲線的實軸，它的長度|A1A2|＝2a；線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長度|B1B2|＝2b；a叫做雙曲線的實半軸長，b叫做雙曲線的虛半軸長
a，b，c的關(guān)系
c2＝a2＋b2
圖形
標準方程
y2＝2px (p>0)
y2＝－2px (p>0)
x2＝2py (p>0)
x2＝－2py (p>0)
p的幾何意義：焦點F到準線l的距離
性
質(zhì)
頂點
O(0，0)
對稱軸
y＝0
x＝0
焦點
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
離心率
e＝1
準線方程
x＝－eq \f(p,2)
x＝eq \f(p,2)
y＝－eq \f(p,2)
y＝eq \f(p,2)
范圍
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
開口方向
向右
向左
向上
向下

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