倍速學(xué)習(xí)四種方法
【方法一】 脈絡(luò)梳理法
知識(shí)點(diǎn)1.相關(guān)關(guān)系
知識(shí)點(diǎn)2.樣本相關(guān)系數(shù)
知識(shí)點(diǎn)3.經(jīng)驗(yàn)回歸方程
拓展1.判斷變量相關(guān)關(guān)系的三種方法
拓展2.回歸系數(shù)的含義
拓展3.最小二乘法求回歸方程及回歸方程的逆用
拓展4.經(jīng)驗(yàn)回歸分析“三步曲”
拓展5.樣本相關(guān)系數(shù)、決定系數(shù)的應(yīng)用
突破：非線性相關(guān)問(wèn)題
【方法二】 實(shí)例探索法
題型1.變量間相關(guān)關(guān)系的判斷
題型2.樣本相關(guān)系數(shù)的應(yīng)用
題型3.經(jīng)驗(yàn)回歸方程及其應(yīng)用
題型4.回歸效果的刻畫
題型5.非線性回歸分析
【方法三】差異對(duì)比法
易錯(cuò)點(diǎn)1.混淆相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系致誤
易錯(cuò)點(diǎn)2.對(duì)經(jīng)驗(yàn)回歸方程的理解不到位致誤
易錯(cuò)點(diǎn)3.線性相關(guān)系數(shù)理解不正確致誤
【方法四】成果評(píng)定法
【知識(shí)導(dǎo)圖】
【倍速學(xué)習(xí)四種方法】
【方法一】脈絡(luò)梳理法
知識(shí)點(diǎn)1.相關(guān)關(guān)系
一 相關(guān)關(guān)系
1．相關(guān)關(guān)系的定義：兩個(gè)變量有關(guān)系，但沒(méi)有確切到可由其中一個(gè)去精確地決定另一個(gè)的程度，這種關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系．
2．相關(guān)關(guān)系的分類
(1)按變量間的增減性分為正相關(guān)和負(fù)相關(guān)．
①正相關(guān)：當(dāng)一個(gè)變量的值增加時(shí)，另一個(gè)變量的相應(yīng)值也呈現(xiàn)增加的趨勢(shì)；
②負(fù)相關(guān)：當(dāng)一個(gè)變量的值增加時(shí)，另一個(gè)變量的相應(yīng)值呈現(xiàn)減少的趨勢(shì)．
(2)按變量間是否有線性特征分為線性相關(guān)和非線性相關(guān)(曲線相關(guān))．
①線性相關(guān)：如果兩個(gè)變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負(fù)相關(guān)，而且散點(diǎn)落在一條直線附近，我們稱這兩個(gè)變量線性相關(guān)；
②非線性相關(guān)或曲線相關(guān)：如果兩個(gè)變量具有相關(guān)性，但不是線性相關(guān)，我們稱這兩個(gè)變量非線性相關(guān)或曲線相關(guān)．
二、 相關(guān)關(guān)系的直觀表示
散點(diǎn)圖：為了直觀描述成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的變化特征，把每對(duì)成對(duì)樣本數(shù)據(jù)都用直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)表示出來(lái)，由這些點(diǎn)組成的統(tǒng)計(jì)圖，叫做散點(diǎn)圖．
例1．（1）單選題（2023下·河南省直轄縣級(jí)單位·高二?？计谀┫铝袃蓚€(gè)變量中能夠具有相關(guān)關(guān)系的是（ ）
A．人所站的高度與視野B．人眼的近視程度與身高
C．正方體的體積與棱長(zhǎng)D．某同學(xué)的學(xué)籍號(hào)與考試成績(jī)
【答案】A
【分析】利用相關(guān)關(guān)系的定義判斷.
【詳解】A.人所站的高度越高則視野越開(kāi)闊，具有正相關(guān)關(guān)系，故正確；
B.人眼的近視程度與身高不具有相關(guān)關(guān)系，故錯(cuò)誤；
C.正方體的體積與棱長(zhǎng)是一種確定關(guān)系，故錯(cuò)誤；
D.某同學(xué)的學(xué)籍號(hào)與考試成績(jī)不具有相關(guān)關(guān)系，故錯(cuò)誤；
故選：A
（2）單選題（2022上·新疆和田·高二校考期末）對(duì)于變量，有以下四個(gè)散點(diǎn)圖，由這四個(gè)散點(diǎn)圖可以判斷變量與成負(fù)相關(guān)的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)各圖中點(diǎn)的分布，分析變量的相關(guān)關(guān)系即可.
【詳解】A：各點(diǎn)分布沒(méi)有明顯相關(guān)性，不符；
B：各點(diǎn)分布在一條直線附近，且有負(fù)相關(guān)性，符合；
C：各點(diǎn)分布在一條拋物線附近，變量之間先呈正相關(guān)，后呈負(fù)相關(guān)，不符；
D：各點(diǎn)分布在一條直線附近，且有正相關(guān)性，不符.
故選：B
知識(shí)點(diǎn)2.樣本相關(guān)系數(shù)r
(1)
（2）樣本相關(guān)系數(shù)的數(shù)字特征：
當(dāng)時(shí)，稱成對(duì)樣本數(shù)據(jù)正相關(guān)；
當(dāng)時(shí)，稱成對(duì)樣本數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān)；
當(dāng)越接近1時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng)；
當(dāng)越接近0時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越弱.
線性相關(guān)系數(shù)是從數(shù)值上來(lái)判斷變量間的線性相關(guān)程度，是定量的方法．與散點(diǎn)圖相比較，線性相關(guān)系數(shù)要精細(xì)得多，需要注意的是線性相關(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值小，只是說(shuō)明線性相關(guān)程度低，但不一定不相關(guān)，可能是非線性相關(guān)．
利用相關(guān)系數(shù)r來(lái)檢驗(yàn)線性相關(guān)顯著性水平時(shí)，通常與0.75作比較，若|r|>0.75，則線性相關(guān)較為顯著，否則不顯著．
（2024上·天津·高三校聯(lián)考期末）學(xué)習(xí)于才干信仰，猶如運(yùn)動(dòng)于健康體魄，持之已久、行之愈遠(yuǎn)愈受益．為實(shí)現(xiàn)中華民族偉大復(fù)興，全國(guó)各行各業(yè)掀起了“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”的高潮．某老師很喜歡“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”中“挑戰(zhàn)答題”模塊，他記錄了自己連續(xù)七天每天一次最多答對(duì)的題數(shù)如下表：
參考數(shù)據(jù)：，，，，，
相關(guān)系數(shù)
由表中數(shù)據(jù)可知該老師每天一次最多答對(duì)題數(shù)y與天數(shù)x之間是 相關(guān)（填“正”或“負(fù)”），其相關(guān)系數(shù) （結(jié)果保留兩位小數(shù)）
【答案】 正 0.99
【分析】根據(jù)正相關(guān)和負(fù)相關(guān)的定義即可得出結(jié)論；根據(jù)相關(guān)系數(shù)公式求相關(guān)系數(shù)即可.
【詳解】由表中數(shù)據(jù)得隨的增大而增大，
所以該老師每天一次最多答對(duì)題數(shù)y與天數(shù)x之間是正相關(guān)，
.
故答案為：正；.
知識(shí)點(diǎn)3.經(jīng)驗(yàn)回歸方程
一元線性回歸模型
稱eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Y＝bx＋a＋e，,E?e?＝0，D?e?＝σ2))為Y關(guān)于x的一元線性回歸模型．其中Y稱為因變量或響應(yīng)變量，x稱為自變量或解釋變量，a稱為截距參數(shù)，b稱為斜率參數(shù)；e是Y與bx＋a之間的隨機(jī)誤差，如果e＝0，那么Y與x之間的關(guān)系就可以用一元線性函數(shù)模型來(lái)描述．
2.經(jīng)驗(yàn)回歸方程：
(1)相關(guān)概念：
經(jīng)驗(yàn)回歸直線：經(jīng)驗(yàn)回歸方程也稱經(jīng)驗(yàn)回歸函數(shù)或經(jīng)驗(yàn)回歸公式，圖形稱為經(jīng)驗(yàn)回歸直線.
最小二乘估計(jì)：求經(jīng)驗(yàn)回歸方程的方法叫做最小二乘法，求得的叫做的最小二乘估計(jì).
殘差：對(duì)于響應(yīng)變量，通過(guò)觀測(cè)得到的數(shù)據(jù)稱為觀測(cè)值，通過(guò)經(jīng)驗(yàn)回歸方程得到的稱為預(yù)測(cè)值，觀測(cè)值減去預(yù)測(cè)值稱為殘差.
（2）
（3）決定系數(shù)：

越大，表示殘差平方和越小，即模型的擬合效果越好；
越小，表示殘差平方和越大，即模型的擬合效果越差；
方法技巧 經(jīng)驗(yàn)回歸方程的求法及應(yīng)用
在散點(diǎn)圖中，樣本點(diǎn)大致分布在一條直線附近，利用公式求出, 可寫出經(jīng)驗(yàn)回歸方程，利用經(jīng)驗(yàn)回歸模型進(jìn)行研究，可近似地利用經(jīng)驗(yàn)回歸方程來(lái)預(yù)測(cè) 。
方法技巧 一元線性回歸模型擬合問(wèn)題的求解策略
在一元線性回歸模型中,R2與相關(guān)系數(shù)r都能刻畫模型擬合數(shù)據(jù)的效果.|r|越大,R2就越大,用模型擬合數(shù)據(jù)的效果就越好.
例3．（2024上·青海西寧·高三統(tǒng)考期末）家居消費(fèi)是指居民在日常生活中購(gòu)買和使用的家具、家電、建材、裝修等產(chǎn)品和服務(wù)所形成的消費(fèi)行為.長(zhǎng)期以來(lái)，家居消費(fèi)一直是居民消費(fèi)的重要組成部分，對(duì)于帶動(dòng)居民消費(fèi)增長(zhǎng)和經(jīng)濟(jì)恢復(fù)具有重要意義.某家居店為了迎接周年慶舉辦促銷活動(dòng)，統(tǒng)計(jì)了半個(gè)月以來(lái)天數(shù)x與銷售額y（萬(wàn)元）的一組數(shù)據(jù)：.通過(guò)分析發(fā)現(xiàn)x與y呈線性相關(guān).
(1)求x與y的樣本相關(guān)系數(shù)r（結(jié)果保留三位小數(shù)）；
(2)求x與y的線性回歸方程（，的結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）.
參考公式：相關(guān)系數(shù)，，.
參考數(shù)據(jù)：，，，.
【答案】(1)0.984；
(2).
【分析】（1）根據(jù)給定數(shù)據(jù)，求出樣本中心點(diǎn)，再代入公式計(jì)算即得.
（2）由（1）的信息，結(jié)合最小二乘法公式計(jì)算即得.
【詳解】（1）依題意，，，
所以.
（2）因?yàn)?，則，
所以y關(guān)于x的線性回歸方程為.
拓展1.判斷變量相關(guān)關(guān)系的三種方法
解答題．（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）《國(guó)家學(xué)生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)（2014年修訂）》中，體能監(jiān)測(cè)包含身高、體重、肺活量、50米跑、坐位體前屈、引體向上（女：仰臥起坐）、立定跳遠(yuǎn)、1000米跑（女：800米跑），據(jù)此得到的每項(xiàng)指標(biāo)都可以按照相應(yīng)的單項(xiàng)指標(biāo)評(píng)分表進(jìn)行測(cè)量和計(jì)分，分別得到相應(yīng)的數(shù)據(jù)．
(1)這些數(shù)據(jù)中的任意兩組是否都可以作為成對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行相關(guān)分析？
(2)依據(jù)你的經(jīng)驗(yàn)，哪兩組數(shù)據(jù)的相關(guān)程度可能最高？哪兩組數(shù)據(jù)的相關(guān)程度可能最低？如何通過(guò)統(tǒng)計(jì)方法檢驗(yàn)?zāi)愕呐袛啵?br>【答案】(1)都可以
(2)肺活量和50米跑相關(guān)程度最高，身高和肺活量相關(guān)程度最低（答案不唯一）
【分析】（1）根據(jù)相關(guān)關(guān)系的定義判斷即可；
（2）根據(jù)經(jīng)驗(yàn)找到合理的案例，結(jié)合統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)分析即可.
【詳解】（1）都可以，因?yàn)槊宽?xiàng)指標(biāo)都可以按照相應(yīng)的單項(xiàng)指標(biāo)評(píng)分表進(jìn)行測(cè)量和計(jì)分，
且任意兩項(xiàng)指標(biāo)之間存在一定的關(guān)系，但又沒(méi)有確切到可由其中的一個(gè)精確地決定另一個(gè)的程度，
所以任意兩組數(shù)據(jù)均可以作為成對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行相關(guān)分析，只是有些數(shù)據(jù)相關(guān)性較弱..
（2）依據(jù)經(jīng)驗(yàn)可知肺活量和米跑相關(guān)程度最高，身高和肺活量相關(guān)程度最低，（答案不唯一），
通過(guò)測(cè)量出米成績(jī)與肺活量的數(shù)據(jù)，作出散點(diǎn)圖，即可判斷.
通過(guò)測(cè)量出身高與肺活量的數(shù)據(jù)，作出散點(diǎn)圖，即可判斷.
拓展2.回歸系數(shù)的含義
2．單選題（2023上·天津武清·高三天津英華國(guó)際學(xué)校?？茧A段練習(xí)）有人調(diào)查了某高校14名男大學(xué)生的身高及其父親的身高，得到如下數(shù)據(jù)表：
利用最小二乘法計(jì)算的兒子身高關(guān)于父親身高的回歸直線為.
根據(jù)以上信息進(jìn)行的如下推斷中，正確的是（ ）
A．當(dāng)時(shí)，，若一位父親身高為，則他兒子長(zhǎng)大成人后的身高一定是
B．父親身高和兒子身高是正相關(guān)，因此身高更高的父親，其兒子的身高也更高
C．從回歸直線中，無(wú)法判斷父親身高和兒子身高是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)
D．回歸直線的斜率可以解釋為父親身高每增加，其兒子身高平均增加
【答案】D
【分析】由回歸直線中的為估計(jì)值并不絕對(duì)，可排除A、B，可排除C.
【詳解】對(duì)A選項(xiàng)：為估計(jì)值，并不一定，故錯(cuò)誤；
對(duì)B選項(xiàng)：同上，該值為估計(jì)值，并不絕對(duì)，故錯(cuò)誤；
對(duì)C選項(xiàng)：由，故可判斷父親身高和兒子身高是正相關(guān)，故錯(cuò)誤；
都D選項(xiàng)：回歸直線的斜率可以解釋為父親身高每增加，其兒子身高平均增加，故正確.
故選：D.
拓展3.最小二乘法求回歸方程及回歸方程的逆用
3．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）近年來(lái)，我國(guó)新能源汽車技術(shù)水平不斷進(jìn)步、產(chǎn)品性能明顯提升，產(chǎn)銷規(guī)模連續(xù)六年位居世界首位．某汽車城從某天開(kāi)始連續(xù)的營(yíng)業(yè)天數(shù)x與新能源汽車銷售總量y（單位：輛）的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示：
(1)已知可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說(shuō)明（結(jié)果精確到0.001）；
(2)求y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并預(yù)測(cè)該汽車城連續(xù)營(yíng)業(yè)130天的汽車銷售總量．
參考數(shù)據(jù)：，，．
參考公式：相關(guān)系數(shù)，經(jīng)驗(yàn)回歸方程中斜率與截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，．
【答案】(1)答案見(jiàn)解析
(2)，142輛．
【分析】（1）根據(jù)相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式代入數(shù)據(jù)即可求解，
（2）由最小二乘法的計(jì)算公式求解線性回歸方程，即可代入求解.
【詳解】（1）（1），
，
，
，
則相關(guān)系數(shù)，.
y與x的相關(guān)系數(shù)近似為0.999，說(shuō)明y與x的線性相關(guān)程度相當(dāng)高，
從而可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系．
（2）（2）由（1）得，
，
所以y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為．
將代入，得，
所以預(yù)測(cè)該汽車城連續(xù)營(yíng)業(yè)130天的汽車銷售總量為142輛．
拓展4.經(jīng)驗(yàn)回歸分析“三步曲”
4．（2021下·廣東河源·高二河源市河源中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）現(xiàn)有一環(huán)保型企業(yè)，為了節(jié)約成本擬進(jìn)行生產(chǎn)改造，現(xiàn)將某種產(chǎn)品產(chǎn)量x與單位成本y統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表：
(1)試確定回歸方程；
(2)指出產(chǎn)量每增加1000件時(shí)，單位成本平均下降多少？
(3)假定單位成本為70元件時(shí)，產(chǎn)量應(yīng)為多少件？
參考公式：
參考數(shù)據(jù)
【答案】(1)
(2)1.818元
(3)4050件
【分析】（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖，根據(jù)公式算出相應(yīng)的即可得解.
（2）直接代入預(yù)測(cè)模型預(yù)測(cè)即可.
（3）直接代入預(yù)測(cè)模型解方程即可.
【詳解】（1）設(shè)x表示每月產(chǎn)量單位：千件，y表示單位成本單位：元件，作散點(diǎn)圖如圖．
由圖知y與x間呈線性相關(guān)關(guān)系．
設(shè)線性回歸方程為，其中，，
由公式可求得，，
回歸方程為.
（2）由回歸方程知，每增加1000件產(chǎn)量，單位成本下降1.818元．
（3）當(dāng)時(shí)，，得千件．
單位成本是70元件時(shí)，產(chǎn)量約為4050件．
拓展5.樣本相關(guān)系數(shù)、決定系數(shù)的應(yīng)用
5．填空題（2021下·安徽六安·高二安徽省舒城中學(xué)?？茧A段練習(xí)）甲、乙、丙、丁4位同學(xué)各自對(duì)A，B兩變量進(jìn)行回歸分析，分別得到散點(diǎn)圖與殘差平方和如下表：
則試驗(yàn)結(jié)果體現(xiàn)擬合A，B兩變量關(guān)系的模型擬合精度高的同學(xué)是 .
【答案】丁
【分析】根據(jù)散點(diǎn)圖中各樣本點(diǎn)條狀分布越均勻，同時(shí)殘差平方和越小，即可判斷其線性回歸模型的擬合效果越好.
【詳解】對(duì)于已經(jīng)獲取的樣本數(shù)據(jù)，表達(dá)式中為確定的數(shù)，
則殘差平方和越小，越大，由此知丁同學(xué)的線性回歸模型的擬合效果最好，
故答案為：丁.
6．（2021下·黑龍江哈爾濱·高二哈九中?？计谀┤蚧瘯r(shí)代，中國(guó)企業(yè)靠什么在激烈的競(jìng)爭(zhēng)中成為世界一流企業(yè)呢？由人民日?qǐng)?bào)社指導(dǎo)，《中國(guó)經(jīng)濟(jì)周刊》主辦的第十八屆中國(guó)經(jīng)濟(jì)論壇在人民日?qǐng)?bào)社舉行，就中國(guó)企業(yè)如何提升全球行業(yè)競(jìng)爭(zhēng)力進(jìn)行了研討．?dāng)?shù)據(jù)顯示，某企業(yè)近年加大了科技研發(fā)資金的投入，其科技投入（百萬(wàn)元）與收益（百萬(wàn)元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：
根據(jù)數(shù)據(jù)特點(diǎn)，甲認(rèn)為樣本點(diǎn)分布在指數(shù)型曲線的周圍，據(jù)此他對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行了一些初步處理．如下表：
其中，．
（1）請(qǐng)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程（系數(shù)精確到0.1，用的近似值算）；
（2）①乙認(rèn)為樣本點(diǎn)分布在直線的周圍，并計(jì)算得回歸方程為，以及該回歸模型的決定系數(shù)（即相關(guān)指數(shù)），試計(jì)算，比較甲乙兩人所建立的模型，誰(shuí)的擬合效果更好？（精確到0.001）
②由①所得的結(jié)論，計(jì)算該企業(yè)欲使收益達(dá)到1億元，科技投入的費(fèi)用至少要多少百萬(wàn)元？（精確到0.1）
附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線方程的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)分別為，，決定系數(shù)：．參考數(shù)據(jù)：．
【答案】（1）；（2）①；甲建立的回歸模型擬合效果更好；②科技投入的費(fèi)用至少要9.3百萬(wàn)元．
【分析】(1)兩邊取對(duì)數(shù)得，令，利用最小二乘法可求得，由此可得回歸方程；
(2)①根據(jù)公式計(jì)算可得相關(guān)指數(shù)，由此可得結(jié)論；
②由，解不等式可求得范圍，由此可得結(jié)果．
【詳解】(1)將兩邊取對(duì)數(shù)得：，令，則，
∵，∴根據(jù)最小二乘估計(jì)可知：，
∴，
∴回歸方程為，即．
(2)①甲建立的回歸模型的．
∴甲建立的回歸模型擬合效果更好．
②由①知，甲建立的回歸模型擬合效果更好．
設(shè)，解得：，解得：．
∴科技投入的費(fèi)用至少要9.3百萬(wàn)元，下一年的收益才能達(dá)到1億．
突破：非線性相關(guān)問(wèn)題
1．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）一座城市的夜間經(jīng)濟(jì)不僅有助于拉動(dòng)本地居民內(nèi)需，還能延長(zhǎng)外地游客、商務(wù)辦公者等的留存時(shí)間，帶動(dòng)當(dāng)?shù)亟?jīng)濟(jì)發(fā)展，是衡量一座城市生活質(zhì)量、消費(fèi)水平、投資環(huán)境及文化發(fā)展活力的重要指標(biāo)．?dāng)?shù)據(jù)顯示，近年來(lái)中國(guó)各地政府對(duì)夜間經(jīng)濟(jì)的扶持力度加大，夜間經(jīng)濟(jì)的市場(chǎng)發(fā)展規(guī)模保持穩(wěn)定增長(zhǎng)，下表為2017—2022年中國(guó)夜間經(jīng)濟(jì)的市場(chǎng)發(fā)展規(guī)模（單位：萬(wàn)億元），其中2017—2022年對(duì)應(yīng)的年份代碼依次為1~6．
(1)已知可用函數(shù)模型擬合與的關(guān)系，請(qǐng)建立關(guān)于的回歸方程（的值精確到0.01）；
(2)某傳媒公司預(yù)測(cè)2023年中國(guó)夜間經(jīng)濟(jì)的市場(chǎng)規(guī)模將達(dá)到48.1萬(wàn)億元，現(xiàn)用（1）中求得的回歸方程預(yù)測(cè)2023年中國(guó)夜間經(jīng)濟(jì)的市場(chǎng)規(guī)模，若兩個(gè)預(yù)測(cè)規(guī)模誤差不超過(guò)1萬(wàn)億元，則認(rèn)為（1）中求得的回歸方程是理想的，否則是不理想的，判斷（1）中求得的回歸方程是否理想．參考數(shù)據(jù)：
其中．
參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為．
【答案】(1)；
(2)是理想的
【分析】（1）通過(guò)對(duì)所給的的函數(shù)模型取對(duì)數(shù)，轉(zhuǎn)換為求回歸直線方程即可，再結(jié)合題中所給的直線方程與數(shù)據(jù)即可得解.
（2）利用（1）中求得的函數(shù)模型進(jìn)行預(yù)測(cè)，結(jié)合回歸方程理想的定義判斷即可.
【詳解】（1）將的等號(hào)左右兩邊同時(shí)取自然對(duì)數(shù)得，
所以．，
而，
所以，
．
所以，即，
所以．
（2）2023年對(duì)應(yīng)的年份代碼為7，
當(dāng)時(shí)，，，
所以（1）中求得的回歸方程是理想的．
【方法二】實(shí)例探索法
題型1.變量間相關(guān)關(guān)系的判斷
1．多選題（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．闖紅燈與交通事故發(fā)生率的關(guān)系是相關(guān)關(guān)系
B．同一物體的加速度與作用力是函數(shù)關(guān)系
C．產(chǎn)品的成本與產(chǎn)量之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系
D．廣告費(fèi)用與銷售量之間的關(guān)系是相關(guān)關(guān)系
【答案】ABD
【分析】利用相關(guān)關(guān)系的定義判斷.
【詳解】闖紅燈與發(fā)生交通事故之間不是因果關(guān)系，但具有相關(guān)性，是相關(guān)關(guān)系，所以A正確；
物體的加速度與作用力的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系，B正確；
產(chǎn)品的成本與產(chǎn)量之間是相關(guān)關(guān)系，C錯(cuò)誤；
廣告費(fèi)用與銷售量之間是相關(guān)關(guān)系，D正確．
故選：ABD
題型2.樣本相關(guān)系數(shù)的應(yīng)用
2．多選題（2023上·遼寧沈陽(yáng)·高二?？计谀?duì)兩個(gè)變量和進(jìn)行回歸分析，則下列結(jié)論正確的為（）
A．回歸直線至少會(huì)經(jīng)過(guò)其中一個(gè)樣本點(diǎn)
B．殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好
C．建立兩個(gè)回歸模型，模型的相關(guān)系數(shù)，模型的相關(guān)系數(shù)，則模型的擬合度更好
D．以模型去擬合某組數(shù)據(jù)時(shí)，為了求出回歸方程，設(shè)，將其變換后得到線性方程，則的值分別為
【答案】BD
【分析】根據(jù)回歸方程、殘差、相關(guān)系數(shù)、非線性回歸等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.
【詳解】A選項(xiàng)，回歸直線不一定經(jīng)過(guò)樣本點(diǎn)，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.
B選項(xiàng)，殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好，B選項(xiàng)正確.
C選項(xiàng)，，所以模型的擬合度更好，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.
D選項(xiàng)，由，得，D選項(xiàng)正確.
故選：BD
題型3.經(jīng)驗(yàn)回歸方程及其應(yīng)用
3．單選題（2023上·四川成都·高三成都七中?？计谥校┠彻疽环N型號(hào)的產(chǎn)品近期銷售情況如表：
根據(jù)上表可得到回歸直線方程，據(jù)此估計(jì)，該公司7月份這種型號(hào)產(chǎn)品的銷售額為（ ）
A．18.85萬(wàn)元B．19.3萬(wàn)元C．19.25萬(wàn)元D．19.05萬(wàn)元
【答案】D
【分析】根據(jù)題意，由回歸直線方程過(guò)樣本點(diǎn)的中心，即可求得，然后代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.
【詳解】由表中數(shù)據(jù)可得，，
因?yàn)榛貧w直線過(guò)樣本點(diǎn)的中心，所以，解得，
所以回歸直線方程為，
則該公司7月份這種型號(hào)產(chǎn)品的銷售額為萬(wàn)元.
故選：D
題型4.回歸效果的刻畫
4．單選題（2023·江蘇蘇州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）為研究某地區(qū)疫情結(jié)束后一段時(shí)間內(nèi)的復(fù)工率，用模型（1）和模型（2）模擬復(fù)工率y（%）與復(fù)工時(shí)間x（x的取值為5，10，15，20，25，30天）的回歸關(guān)系：模型（1），模型（2），設(shè)兩模型的決定系數(shù)依次為和.若兩模型的殘差圖分別如下，則（ ）
A．D．、關(guān)系不能確定
【答案】A
【分析】根據(jù)殘差點(diǎn)圖分析擬合效果，從而得到答案.
【詳解】根據(jù)殘差點(diǎn)圖，模型（2）殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，帶狀區(qū)域?qū)挾日?，擬合精度較高，所以

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