倍速學習四種方法
【方法一】 脈絡梳理法
知識點1.排列
知識點2.組合
拓展1.有限制條件的排列問題
拓展2.有限制條件的組合問題
拓展3.排列與組合的綜合問題
突破1.分組與分配問題
突破2.排列組合中的新概念創(chuàng)新題型
【方法二】 實例探索法
題型1.排列數(shù)公式的應用
題型2.排列的概念與簡單的排列問題
題型3.特殊元素與特殊位置問題
題型4“相鄰”與“不相鄰”問題
題型5.“定序”問題
題型6.組合概念的理解與簡單組合問題
題型7.與組合數(shù)有關(guān)的計算
題型8.“含”與“不含”問題
題型9.相同元素分組分配問題
題型10.排列組合的綜合應用
【方法三】差異對比法
易錯點1.不能正確理解題意致誤
易錯點2.忽視排列數(shù)公式的隱含條件致誤
【方法四】 成果評定法
【知識導圖】
【倍速學習四種方法】
【方法一】脈絡梳理法
知識點1.排列
一、 排列的定義
一般地，從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素，并按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列．
二、 排列相同的條件
兩個排列相同的充要條件：
(1)兩個排列的元素完全相同．
(2)元素的排列順序也相同．
三、 排列數(shù)的定義
從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同排列的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，用符號Aeq \\al(m,n)表示．
思考 排列與排列數(shù)相同嗎？
答案 排列數(shù)是元素排列的個數(shù)，兩者顯然不同．
二、 排列數(shù)公式及全排列
1．排列數(shù)公式的兩種形式
(1)Aeq \\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，其中m，n∈N*，并且m≤n.
(2)Aeq \\al(m,n)＝eq \f(n！,?n－m?！).
2．全排列：把n個不同的元素全部取出的一個排列，叫做n個元素的一個全排列，全排列數(shù)為Aeq \\al(n,n)＝n！(叫做n的階乘)．規(guī)定：0?。?.
例 1．（2023上·高二課時練習）從1、2、3、4、5這5個數(shù)字中，任取2個不同的數(shù)字作為一個點的坐標，一共可以組成多少個不同的點？
【答案】
【分析】根據(jù)坐標由橫坐標和縱坐標組成，直接利用排列數(shù)即可求解.
【詳解】因為坐標由橫坐標和縱坐標組成，且有一定的順序，
所以由排列數(shù)的定義可得滿足條件的坐標有：個，
故一共可以組成個不同的點.
知識點2.組合
一、 組合及組合數(shù)的定義
1．組合
一般地，從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素作為一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合．
2．組合數(shù)
從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，用符號Ceq \\al(m,n)表示．
二、 排列與組合的關(guān)系
三、 組合數(shù)公式
規(guī)定：Ceq \\al(0,n)＝1.
知識點二 組合數(shù)的性質(zhì)
性質(zhì)1：Ceq \\al(m,n)＝Ceq \\al(n－m,n).
性質(zhì)2：Ceq \\al(m,n＋1)＝Ceq \\al(m,n)＋Ceq \\al(m－1,n).
例 2．（2023上·高二課時練習）判斷下列問題分別是排列問題還是組合問題：
(1)從10名學生中任選5名去參觀一個展覽會，求有多少種不同的選法；
(2)從1、2、3、4、5這5個數(shù)字中，每次任取2個不同的數(shù)作為一個點的坐標，求所有不同點的個數(shù)；
(3)一個黃袋中裝有四張分別寫有1、3、5、7的卡片，另一個紅袋中裝有四張分別寫有2、8、16、32的卡片．從紅袋和黃袋中各任取一張卡片，問這兩張卡片上的數(shù)相加所得的和有多少種；
(4)有四本不同的書要分別送給四個人，每人一本，問一共有多少種不同的送法．
【答案】(1)組合問題
(2)排列問題
(3)組合問題
(4)排列問題
【分析】利用排列組合的定義判斷即可.
【詳解】（1）從10名學生中任選5名去參觀一個展覽會，選出的學生不用排序，
所以這是組合問題.
（2）從1、2、3、4、5這5個數(shù)字中，每次任取2個不同的數(shù)作為一個點的坐標，
由于坐標有橫縱坐標之分，所以選出的2個不同的數(shù)需要排序，
故這是排列問題.
（3）從紅袋和黃袋中各任取一張卡片，求這兩張卡片上的數(shù)相加所得的和，
因為加法滿足交換律，故選出的卡片不用排序，
所以這是組合問題.
（4）因為四本不同的書送給四個人，要求每人一本，
所以這四本書需要排序，故這是排列問題.
例3．（2023·全國·高二隨堂練習）（1）平面內(nèi)有兩組平行線，一組有條，另一組有條，不同組的平行線都相交，這些平行線一共構(gòu)成了多少個平行四邊形？（）
（2）空間中有三組平行平面，第一組有個，第二組有個，第三組有個，不同組的平面都互相垂直．這些平行平面一共構(gòu)成了多少個長方體？（）
【答案】（1）；（2）
【分析】根據(jù)組合數(shù)的計算以及平行四邊形、長方體的知識求得正確答案.
【詳解】（1）平面內(nèi)有兩組平行線，一組有條，另一組有條，不同組的平行線都相交，
則一共構(gòu)成個平行四邊形.
（2）空間中有三組平行平面，第一組有個，第二組有個，第三組有個，
不同組的平面都互相垂直．
這些平行平面一共構(gòu)成個長方體.
拓展1.有限制條件的排列問題
1．（2023上·陜西漢中·高二西鄉(xiāng)縣第一中學校考階段練習）電影《志愿軍雄兵出擊》講述了在極其簡陋的裝備和極寒嚴酷環(huán)境下，中國人民志愿軍憑著鋼鐵意志和英勇無畏的精神取得入朝作戰(zhàn)第一階段戰(zhàn)役的勝利，著名的“松骨峰戰(zhàn)斗”在該電影中就有場景.現(xiàn)有3名男生和4名女生相約一起去觀看該影片，他們的座位在同一排且連在一起．（列出算式，并計算出結(jié)果）
(1)女生必須坐在一起的坐法有多少種？
(2)女生互不相鄰的坐法有多少種？
(3)甲、乙兩位同學相鄰且都不與丙同學相鄰的坐法有多少種？
【答案】(1)576
(2)144
(3)960
【分析】（1）由捆綁法即可得到結(jié)果；
（2）由插空法即可得到結(jié)果；
（3）結(jié)合捆綁法與插空法代入計算，即可得到結(jié)果.
【詳解】（1）先將4名女生排在一起，有種排法，
將排好的女生視為一個整體，再與3名男生進行排列，共有種排法，
由分步乘法計數(shù)原理，共有種排法；
（2）先將3名男生排好，共有種排法，
在這3名男生中間以及兩邊的4個空位中插入4名女生，共有種排法，
再由分步乘法計數(shù)原理，共有種排法；
（3）先將甲乙丙以外的其余4人排好，共有種排法，
由于甲乙相鄰，則有種排法，
最后將排好的甲乙這個整體與丙分別插入原先排好的4人的5個空隙中，
共有種排法，
由分步計數(shù)原理，共有種排法.
拓展2.有限制條件的組合問題
2．（2023上·高二課時練習）某小組共有10名學生，其中女生3名．現(xiàn)任選2名代表，則至少有1名女生當選的選法有多少種？
【答案】24
【分析】先計算全部的選法，排除其中“沒有女生，即全部為男生”的選法，即可得到本題答案.
【詳解】根據(jù)題意，從10名學生中選2名代表，有種選法，
其中沒有女生，即全部為男生的選法，有種，
則至少有一名女生的選法有種.
拓展3.排列與組合的綜合問題
3．（2023下·黑龍江大興安嶺地·高二大興安嶺實驗中學?？茧A段練習）將4個編號為的小球放入4個編號為的盒子中.
(1)有多少種放法？
(2)每盒至多一球，有多少種放法？
(3)把4個不同的小球換成4個相同的小球，恰有一個空盒，有多少種放法？
【答案】(1)256（種）
(2)24（種）
(3)12（種）
【分析】（1）由分步乘法計數(shù)原理求解即可；
（2）根據(jù)排列的定義求解即可；
（3）（方法1）先從四個盒子中選出三個盒子，再從三個盒子中選出一個盒子放入兩個球，余下兩個盒子各放一個結(jié)合組合知識求解；（方法2）根據(jù)隔板法求解.
【詳解】（1）每個小球都可能放入4個盒子中的任何一個，將小球一個一個放入盒子，共有種放法.
（2）這是全排列問題，共有（種）放法.
（3）（方法1）先從四個盒子中選出三個盒子，再從三個盒子中選出一個盒子放入兩個球，余下兩個盒子各放一個.由于球是相同的即沒有順序，所以屬于組合問題，
故共有（種）放法.
（方法2）恰有一個空盒子，第一步先選出一個盒子，有種選法，
第二步在小球之間的3個空隙中任選2個空隙各插一塊隔板，有種方法，
由分步計數(shù)原理得，共有（種）放法.
突破1.分組與分配問題
1．（2023上·全國·高三專題練習）將10個小球分別裝入3個不同的盒子中且每個盒子非空（即每個盒子至少裝1個小球）．問：有多少種不同的裝法？
【答案】36
【分析】利用隔板法進行求解.
【詳解】將10個小球排成一排，在兩兩之間的9個間隙中任取兩個劃上豎線，
這樣就將10個小球分成了3組，如圖所示．
將每組小球按順序裝入3個盒子中，則劃豎線的方法數(shù)就等于題中所求的裝法數(shù)，
共有種裝法．
2．（2023上·山東德州·高二?？茧A段練習）名男生和名女生站成一排．
(1)甲不在中間也不在兩端的站法有多少種？
(2)甲、乙兩人必須站在兩端的站法有多少種？
(3)男、女分別排在一起的站法有多少種？
(4)男、女相間的站法有多少種？
(5)甲、乙、丙三人從左到右順序一定的站法有多少種？
【答案】(1)種
(2)種
(3)種
(4)種
(5)種
【分析】（1）按有特殊位置元素的排列方法求解；
（2）按有特殊位置元素的排列方法求解；
（3）按捆綁法排列即可；
（4）按插空法排列即可；
（5）按部分均勻的排列方法求解即可.
【詳解】（1）先排甲有種，其余有種，
共有種排法.
（2）先排甲、乙，再排其余人，
共有種排法.
（3）把男生和女生分別看成一個元素，
男生和女生內(nèi)部還有一個全排列，共種.
（4）先排名男生有種方法，
再將名女生插在男生形成的個空上有種方法，
故共有種排法.
（5）人共有種排法，
其中甲、乙、丙三人有種排法，
因而在種排法中每種對應一種符合條件的排法，
故共有種排法．
突破2.排列組合中的新概念創(chuàng)新題型
3．（2023上·北京·高三北京市第三十五中學?？计谥校┰跀?shù)字的任意一個排列：中，如果對于，，有，那么就稱為一個逆序?qū)Γ浥帕兄心嫘驅(qū)Φ膫€數(shù)為．如時，在排列：3，2，4，1中，逆序?qū)τ校?，則．
(1)設排列：，寫出兩組具體的排列，分別滿足：①，②；
(2)對于數(shù)字1，2，…，n的一切排列，求所有的算術(shù)平均值；
(3)如果把排列A：中兩個數(shù)字交換位置，而其余數(shù)字的位置保持不變，那么就得到一個新的排列，：，求證：為奇數(shù)．
【答案】(1)①C：4，2，3，1 ②C：2，4，3，1；
(2)
(3)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)所給定義列舉出符合題意的排列即可；
（2）考察排列D：與排列，因為數(shù)對與中必有一個為逆序?qū)Γㄆ渲校?，而排列中?shù)對共有個，即可得到，從而得解；
（3）討論當，即相鄰時，當，即不相鄰時，由新定義，運用調(diào)整法，可得為奇數(shù)．
【詳解】（1）①，則逆序?qū)τ?，，，，，則；
②，則逆序?qū)τ?，，，，則；
（2）考察排列D：與排列，
因為數(shù)對與中必有一個為逆序?qū)Γㄆ渲校?br>且排列中數(shù)對共有個，
所以．
所以排列與的逆序?qū)Φ膫€數(shù)的算術(shù)平均值為．
而對于數(shù)字1，2，…，n的任意一個排列：，都可以構(gòu)造排列，
且這兩個排列的逆序?qū)Φ膫€數(shù)的算術(shù)平均值為．
所以所有的算術(shù)平均值為．
（3）證明：①當，即相鄰時，
不妨設，則排列為，
此時排列與排列：相比，僅多了一個逆序?qū)Γ?br>所以，
所以為奇數(shù)．
②當，即不相鄰時，
假設之間有個數(shù)字，記排列：，
先將向右移動一個位置，得到排列，
由①，知與的奇偶性不同，
再將向右移動一個位置，得到排列，
由①，知與的奇偶性不同，
以此類推，共向右移動次，得到排列，
再將向左移動一個位置，得到排列，，
以此類推，共向左移動次，得到排列，，
即為排列，
由①可知僅有相鄰兩數(shù)的位置發(fā)生變化時，排列的逆序?qū)€數(shù)的奇偶性發(fā)生變化，
而排列經(jīng)過次的前后兩數(shù)交換位置，可以得到排列，
所以排列與排列的逆序數(shù)的奇偶性不同，
所以為奇數(shù)．
綜上，得為奇數(shù)．
【點睛】關(guān)鍵點睛：對于新定義問題，解答的關(guān)鍵是理解定義，再利用相應的數(shù)學知識進行分析.
【方法二】實例探索法
題型1.排列數(shù)公式的應用
1．（2023上·山東德州·高二?？茧A段練習）（1）解關(guān)于x的不等式．
（2）求等式中的n值．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）利用排列數(shù)公式，化簡列出不等式求解即得.
（2）利用組合數(shù)公式，化簡列出方程求解即得
【詳解】（1）由，得，，
于是，整理得，解得，
所以.
（2）原方程變形為，即，顯然，
因此，
化簡整理，得，而，解得，
所以.
題型2.排列的概念與簡單的排列問題
2．多選題（2024上·山東濰坊·高二昌樂二中校考期末）甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列說法正確的是（ ）
A．如果甲，乙必須相鄰且乙在甲的右邊，那么不同的排法有24種
B．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有42種
C．甲乙不相鄰的排法種數(shù)為82種
D．甲乙丙按從左到右的順序排列的排法有20種
【答案】ABD
【分析】對于A，根據(jù)甲，乙必須相鄰且乙在甲的右邊，利用捆綁法求解判斷；對于B，分最左端排甲，和最左端排乙兩類求解判斷；對于C，根據(jù)甲乙不相鄰，利用插空法求解判斷；對于D，根據(jù)甲乙丙從左到右的順序排列，通過除序法求解判斷.
【詳解】對于A，如果甲，乙必須相鄰且乙在甲的右邊，那么不同的排法有種，A正確；
對于B，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，若最左端排甲，有種排法；若最左端排乙，有種排法，合計不同的排法共有42種，B正確；
對于C，甲乙不相鄰的排法種數(shù)有種，C不正確；
對于D，甲乙丙按從左到右的順序排列的排法有種，D正確.
故選：ABD
題型3.特殊元素與特殊位置問題
3．（2023上·江西宜春·高二江西省宜豐中學?？茧A段練習）（1）現(xiàn)有4男2女共6個人排成一排照相，其中兩個女生相鄰的排法種數(shù)為多少？
（2）8個體育生名額，分配給5個班級，每班至少1個名額，有多少種分法？
（3）要排一份有4個不同的朗誦節(jié)目和3個不同的說唱節(jié)目的節(jié)目單，如果說唱節(jié)目不排在開頭，并且任意兩個說唱節(jié)目不排在一起，則不同的排法種數(shù)為多少？
（4）某醫(yī)院有內(nèi)科醫(yī)生7名，其中3名女醫(yī)生，有外科醫(yī)生5名，其中只有1名女醫(yī)生．現(xiàn)選派6名去甲、乙兩地參加賑災醫(yī)療隊，要求每隊必須2名男醫(yī)生1名女醫(yī)生，且每隊由2名外科醫(yī)生1名內(nèi)科醫(yī)生組成，有多少種派法？（最后結(jié)果都用數(shù)字作答）
【答案】（1）；（2）；（3）576；（4）.
【分析】（1）利用捆綁法即可求得兩個女生相鄰的排法種數(shù)；
（2）利用隔板法即可求得名額的分法種數(shù)；
（3）利用插空法即可求得不同的排法種數(shù)；
（4）按外科女醫(yī)生來或不來分類討論，再依據(jù)分步計數(shù)原理即可求得所有不同的派法種數(shù).
【詳解】（1）兩個女生相鄰捆綁處理，有種；
（2）將8個體育生名額排成一列，在形成的中間7個空隙中插入4塊隔板，
所以不同的放法種數(shù)為；
（3）第1步，先排4個朗誦節(jié)目共種；
第2步，排說唱節(jié)目，不相鄰則用插空法，且保證不放到開頭，
從剩下4個空中選3個插空共有種，所以一共有=576種排法；
（4）先分類：
①若外科女醫(yī)生必選，則一組內(nèi)科4男選1，外科4男選1；
另一組內(nèi)科3女中選1女，外科3男選2，共有種；
②若外科女醫(yī)生不選，則一組內(nèi)科3女選1，外科4男選2；
另一組內(nèi)科2女選1，外科2男選2 ，共有種；
由于分赴甲乙兩地，所以共有種．
題型4“相鄰”與“不相鄰”問題
4．（2023上·江西·高二校聯(lián)考階段練習）用數(shù)字、、、、、組成沒有重復數(shù)字的六位數(shù)．
(1)偶數(shù)不能相鄰，則不同的六位數(shù)有多少個？（結(jié)果用數(shù)字表示）
(2)若數(shù)字和之間恰有一個奇數(shù)，沒有偶數(shù)，則不同的六位數(shù)有多少個？（結(jié)果用數(shù)字表示）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先將三個奇數(shù)進行排序，然后從三個奇數(shù)形成的個空位中選出個空位插入三個偶數(shù)，利用插空法可求得結(jié)果；
（2）在數(shù)字和之間恰有一個奇數(shù)，然后將這個整體與其余三個數(shù)字進行排列，結(jié)合分步乘法計數(shù)原理可得結(jié)果.
【詳解】（1）解：若六位數(shù)中，偶數(shù)不能相鄰，則先將三個奇數(shù)進行排序，
然后從三個奇數(shù)形成的個空位中選出個空位插入三個偶數(shù)，
所以，不同的六位數(shù)個數(shù)為.
（2）解：在數(shù)字和之間恰有一個奇數(shù)，有種，
將這個整體與其余三個數(shù)字進行排列，滿足條件的六位數(shù)的個數(shù)為.
題型5.“定序”問題
5．（2023上·遼寧沈陽·高二沈陽市第一二〇中學?？茧A段練習）（1）6名同學（簡記為，，，，，）到甲、乙、丙三個場館做志愿者.
（i）一天上午有16個相同的口罩全部發(fā)給這6名同學，每名同學至少發(fā)兩個口罩，則不同的發(fā)放方法種數(shù)？
（ii）每名同學只去一個場館，每個場館至少要去一名，且、兩人約定去同一個場館，、不想去一個場館，則滿足同學要求的不同的安排方法種數(shù)？
（2）某校選派4名干部到兩個街道服務，每人只能去一個街道，每個街道至少1人，有多少種方法？（結(jié)果用數(shù)字表示）
（3）如圖，某水果店門前用3根繩子掛了6串香蕉，從左往右的串數(shù)依次為1，2，3.到了晚上，水果店老板要收攤了，假設每次只取1串（掛在一列的只能先收下面的），則將這些香蕉都取完的不同取法種數(shù)？（結(jié)果用數(shù)字表示）
【答案】（1）（i）126；（ii）114；（2）14；（3）60
【分析】（1）（i）利用隔板法求解即可；
（ii）把，視為一人，再把人按和分組，再分配即可；
（2）把4名干部按和分成兩組，再分配到兩個街道列式計算作答；
（3）根據(jù)給定條件，利用倍縮法列式計算作答.
【詳解】（1）（i）16個相同的口罩，每位同學先拿一個，剩下的10個口罩排成一排有9個間隙，
插入5塊板子分成6份，每一種分法所得6份給到6個人即可，
所以不同的發(fā)放方法種；
（ii）把，視為一人，相當于把5個人先分成三組，再分配給三個場館，
分組方法有兩類：第一類1，1，3，去掉，在一組的情況，有種分組方法，
再分配給三個場館，有種方法，
第二類1，2，2，去掉，在一組的情況，有種分組方法，
再分配給三個場館，有種方法，
所以不同的安排方法有種方法；
（2）把4名干部按分成兩組，有種分組方法，
按分成兩組，有種分組方法，
所以4名干部按要求分到兩個街道的不同方法數(shù)是（種）；
（3）依題意，6串香蕉任意收取有種方法，
其中中間一列按從下往上有1種，占，
最右一列按從下往上只有1種，占，
所以不同取法數(shù)是（種）.
題型6.組合概念的理解與簡單組合問題
6．多選題（2024上·山西·高三期末）某周周一到周六的夜間值班工作由甲、乙、丙三人負責，每人負責其中的兩天，每天只需一人值班，則下列關(guān)于安排方法數(shù)的說法正確的有（ ）
A．共有90種安排方法
B．甲連續(xù)兩天值班的安排方法有30種
C．甲連續(xù)兩天值班且乙連續(xù)兩天值班的安排方法有18種
D．甲、乙、丙三人每人都連續(xù)兩天值夜班的安排方法有6種
【答案】ABD
【分析】利用排列組合相關(guān)知識逐項分析即可.
【詳解】對于A，首先任選2天安排甲值班，共種方法，再從剩下的4天中選2天安排乙值班，
共種方法，最后安排丙，種方法，共計種方法，故A正確；
對于B，甲可以值周一周二、周二周三、…、周五周六，共有5種方法，
再從剩余4天中選2天安排乙，剩下兩天安排丙，此步驟共種，共計種方法，故B正確；
對于C，首先確定甲在乙之前還是之后，有2種方法，再討論丙值的兩天班是否連續(xù)，
若連續(xù)，則從“□甲甲□乙乙□”或“□乙乙□甲甲□”對應的三個空檔中選擇一個，
安排“丙丙”即可，此時有種方法，
若不連續(xù)，則從“□甲甲□乙乙□”或“□乙乙□甲甲□”對應的三個空檔中選擇兩個，各安排一個“丙”即可，
此時有種；綜上，符合題意的方法數(shù)為種，故C錯誤；
對于D，只需將“甲甲”“乙乙”“丙丙”做全排列即可，共種方法，故D正確.
故選：ABD.
題型7.與組合數(shù)有關(guān)的計算
7．單選題（2024上·遼寧·高二校聯(lián)考期末）已知，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先通過組合公式變形得，然后利用倒序相加求和即可.
【詳解】由題可知通項公式，
所以，
同時，
上述兩式相加得
，
所以，
所以.
故選：B
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是對組合公式的靈活應用，以及對倒序相加方法的靈活使用.
題型8.“含”與“不含”問題
8．（2024·全國·高三專題練習）某市工商局對35種商品進行抽樣檢查，已知其中有15種假貨．現(xiàn)從35種商品中選取3種．
(1)其中某一種假貨必須在內(nèi)，不同的取法有多少種?
(2)其中某一種假貨不能在內(nèi)，不同的取法有多少種?
(3)至少有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種?
(4)至多有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種?
【答案】(1)561
(2)5984
(3)2555
(4)6090
【分析】（1）根據(jù)組合數(shù)的應用從余下的34種商品中，選取2種即可由組合數(shù)得答案；
（2）根據(jù)組合數(shù)的應用從余下的34種商品中，選取3種即可由組合數(shù)得答案；
（3）由題意得選取2件假貨有種，選取3件假貨有種，根據(jù)加法計數(shù)原理得結(jié)論；
（4）用間接法求解選取3件的總數(shù)有，去掉選出的均為假貨的情況，即可得結(jié)論.
【詳解】（1）從余下的34種商品中，選取2種有（種），
某一種假貨必須在內(nèi)的不同取法有561種．
（2）從34種可選商品中，選取3種，有（種）．
某一種假貨不能在內(nèi)的不同取法有5984種．
（3）選取2件假貨有種，選取3件假貨有種，共有選取方式（種）．
至少有2種假貨在內(nèi)的不同的取法有2555種．
（4）選取3件的總數(shù)有，因此共有選取方式
（種）．
至多有2種假貨在內(nèi)的不同的取法有6090種．
題型9.相同元素分組分配問題
9．（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考一模）中國空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問天實驗艙和夢天實驗艙.假設中國空間站要安排甲、乙、丙、丁、戊5名航天員開展實驗，其中天和核心艙安排3人，問天實驗艙與夢天實驗艙各安排1人.若甲、乙兩人不能同時在一個艙內(nèi)做實驗，則不同的安排方案共有（ ）
A．8種B．14種C．20種D．16種
【答案】B
【分析】分甲、乙都不在天和核心艙和甲、乙恰好有一人在天和核心艙兩種情況求解可得.
【詳解】第一類，甲、乙都不在天和核心艙共有種；
第二類，甲、乙恰好有一人在天和核心艙，先排天和核心艙有種，
然后排問天實驗艙與夢天實驗艙有種，
所以，甲、乙恰好有一人在天和核心艙共有種.
綜上，甲、乙兩人不能同時在一個艙內(nèi)做實驗共有種.
故選：B
題型10.排列組合的綜合應用
10．（2023下·江蘇宿遷·高二統(tǒng)考期中）某醫(yī)療小組有4名男性，2名女性共6名醫(yī)護人員，醫(yī)護人員甲是其中一名．
(1)若從中任選2人參加A，兩項救護活動，每人只能參加其中一項活動，每項活動都要有人參加，求醫(yī)護人員甲不參加項救護活動的選法種數(shù)；
(2)這6名醫(yī)護人員將去3個不同的地方參與醫(yī)療支援，每人只能去一地，每地有2人前往，若2名女性不能去往同一個地方，求不同的分配方案種數(shù)．
【答案】(1)25
(2)72
【分析】（1）分類，按甲是否參加活動分兩類；
（2）分步，第一步按排兩名女性，第二步按排與女性同去的男性，第三步剩余的兩名男性．
【詳解】（1）分兩類：①甲參加項救護活動，再從其余5人中選一人參加A，選法數(shù)為，
②甲不參加救護活動，則從其余5人中任選兩人參加救護活動，選法數(shù)為，
所以共有選法種數(shù)為20+5=25；
（2）分三步：第一步先安排兩名女性醫(yī)護人員有：，
第二步：安排兩名女醫(yī)護人員同去的男醫(yī)護人員有：，
第三步：剩余兩名男性醫(yī)護人員去另外一地有： ，
所以共有不同的分配方案數(shù)為：．
【方法三】差異對比法
易錯點1.不能正確理解題意致誤
1．（2024上·上海·高二?？计谀┠嘲嗉壴谟麓夯顒又羞M行抽卡活動，不透明的卡箱中共有“福”“迎”“春”卡各兩張，“龍”卡三張．每個學生從卡箱中隨機抽取4張卡片，其中抽到“龍”卡獲得2分，抽到其他卡均獲得1分，若抽中“?！薄褒垺薄坝薄按骸睆埧ㄆ?，則額外獲得2分．
(1)求學生甲抽到“?！薄褒垺薄坝薄按骸?張卡片的不同的抽法種數(shù)；
(2)求學生乙最終獲得分的不同的抽法種數(shù)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)組合數(shù)的知識求得正確答案.
（2）根據(jù)分的組合情況進行分類討論，由此求得正確答案.
【詳解】（1）學生甲抽到“?！薄褒垺薄坝薄按骸?張卡片的不同的抽法種數(shù)為種.
（2）學生乙最終獲得分，有兩種情況：
①，抽到張“龍”卡以及其它任意張卡，方法數(shù)有種.
②，抽到抽中“福”“龍”“迎”“春”張卡片，方法數(shù)有種.
所以學生乙最終獲得分的不同的抽法種數(shù)為種.
易錯點2.忽視排列數(shù)公式的隱含條件致誤
2．（2021上·高二課時練習）（多選題）當，且時，不可能取到（ ）
A．60B．240C．2 020D．2 040
【答案】BCD
【分析】由題意可知，當時，可判斷A選項；由，可判斷B選項；由，，可判斷C和D選項.
【詳解】當時，，故A選項可取到；由于，，即，所以不可能取到240，故B選項取不到；
由于，，即，，所以不可能取到2 020，
同時也不可能取到2 040，故C和D選項都取不到，
故選：BCD.
【方法五】 成果評定法_
一、單選題
1．（2023下·山東青島·高二校考階段練習）將參加數(shù)學競賽的20個名額分給9所學校，每所學校至少1個名額，則名額分配種數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】將問題等價于將排成一行的20個相同元素分成9份的方法數(shù)，利用隔板法進行求解即可.
【詳解】問題等價于將排成一行的20個相同元素分成9份的方法數(shù)，
相當于在20個相同元素的19個間隔（除去兩端）中插入8塊隔板隔成9份，故共有種方法，
所以名額分配方式有種．
故選：D.
2．（2020·全國·模擬預測）某醫(yī)院派出了6名醫(yī)生和3名護士共9人前往某地參加救治工作.現(xiàn)將這人分成兩組分配到，兩所醫(yī)院，若要求每個醫(yī)院都至少安排2名醫(yī)生及1名護士，并且醫(yī)生甲由于工作原因只能派往醫(yī)院，則不同的分配方案種數(shù)為（ ）
A．30B．60C．90D．150
【答案】D
【分析】由題意，第一步分配醫(yī)生：將醫(yī)生甲派往醫(yī)院，再往醫(yī)院安排1名醫(yī)生，則醫(yī)院4名，再往醫(yī)院安排2名醫(yī)生，則醫(yī)院3名，再往醫(yī)院安排3名醫(yī)生，則醫(yī)院2名，按照分類相加原理可知分配醫(yī)生有種方法；第二步分配護士有種方法；第三步將護士分配到醫(yī)院有種方法，按照分步相乘原理即可得解.
【詳解】第一步：按題意6名醫(yī)生有3種分配情況，醫(yī)院2名，醫(yī)院4名，醫(yī)院3名，醫(yī)院3名，醫(yī)院4名，醫(yī)院2名，共有種分配方案；
第二步：按題意將3名護士分成一組1名，一組2名，有種分配方案，
第三步：兩組護士分別分配給兩個醫(yī)院有種分配方案
故不同的分配方案種數(shù)為，
故選：D.
【點睛】思路點睛：本題考查排列組合與分步乘法計數(shù)原理，解決排列組合問題的一般過程：
（1）認真審題弄清楚要做什么事情；
（2）要做的事情是需要分步還是分類，還是分步分類同時進行，確定分多少步及多少類；
（3）確定每一步或每一類是排列（有序）問題還是組合（無序）問題，元素總數(shù)是多少及取出多少元素.
3．（2021下·重慶渝中·高二重慶巴蜀中學校考階段練習）有4本不同的書A?B?C?D，要分給三個同學，每個同學至少分一本，書A?B不能分給同一人，則這樣的分法共有（ ）
A．18種B．24種C．30種D．36種
【答案】C
【分析】先把4本書分成3組，再分給3個同學，最后去掉A?B分給同一人的分法即可得解.
【詳解】把4本不同的書分成3組，其中一組兩本，另兩組各一本，有種分法，再把3組書分給三個同學，有種給法，不同分法數(shù)共有，
書A?B分給同一人的分法數(shù)有，
所以符合要求的不同分法數(shù)共有種.
故選：C
4．五名同學站成一排，若甲與乙相鄰，且甲與丙不相鄰，則不同的站法有（ ）
A．36種B．60種C．72種D．108種
【答案】A
【分析】應用間接法，用甲與乙相鄰的情況數(shù)減去其中甲丙相鄰的情況數(shù)即可.
【詳解】甲與乙相鄰（不考慮丙的位置）減去甲乙相鄰且甲丙相鄰的情況：種.
故選：A
5．若，則的值為（ ）
A．1或2B．3或4C．1或3D．2或4
【答案】D
【分析】根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)計算可得.
【詳解】解：由，所以或，解得或；
故選：D．
6．（2023下·黑龍江雙鴨山·高二雙鴨山一中校考期中）現(xiàn)有甲、乙等5名醫(yī)務人員參加某小區(qū)社區(qū)志愿服務活動，他們被分派到核酸檢驗和掃碼兩個小組，且這兩個組都至少需要2名醫(yī)務人員，則甲、乙兩名醫(yī)務人員不在同一組的分配方案有（ ）
A．8種B．10種C．12種D．14種
【答案】C
【分析】先分類，再分步，利用兩個計數(shù)原理計數(shù)可得結(jié)果.
【詳解】若核酸檢驗組分配人，掃碼組分配人，先分配甲、乙，有種，再從剩下的人選一人分到核酸檢驗組，有種，其余人分到掃碼組，因此共有種；
若核酸檢驗組分配人，掃碼組分配人，同理可得共有種，
所以甲、乙兩名醫(yī)務人員不在同一組的分配方案有種.
故選：C
7．（2023下·北京豐臺·高二北京市第十二中學?？计谥校┌衙律才诺侥硞€班級，要求每個班級至少有一名新生，則不同的安排方式共有（ ）
A．種B．種C．種D．種
【答案】A
【分析】要求每個班級至少有一名新生，所以先從人的個數(shù)分三組，則有兩類情況，求出所有的組數(shù)，再對三組進行排序即可.
【詳解】解：把名新生安排到某個班級，要求每個班級至少有一名新生，
從人的個數(shù)有組分法，即，，和，，兩種分法.
若分成人，人，人，則共有分組方法，
若分成人，人，人，則共有分組方法，
將分好的三組安排到三個班級中共有種排法，
所以所有的安排方法共有種安排方法.
故選：.
8．將5名報名參加運動會的同學分別安排到跳繩、接力、投籃三項比賽中（假設這些比賽都不設人數(shù)上限），每人只參加一項，則共有種不同的方案；若每項比賽至少要安排一人時，則共有種不同的方案，其中的值為（ ）
A．543B．425C．393D．275
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，5名同學中每人有3種報名方法，由分步乘法計數(shù)原理計算可得答案，第二種先分組再排列，即可得解．
【詳解】5名同學報名參加跳繩、接力、投籃三項比賽，每人限報一項，每人有3種報名方法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，種，
當每項比賽至少要安排一人時，先分組有+種，再排列有種，所以種，所以．
故選：C．
二、多選題
9．（2023下·高二課時練習）某校的高一和高二年級各10個班級，從中選出五個班級參加活動，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．高二六班一定參加的選法有種
B．高一年級恰有2個班級的選法有種
C．高一年級最多有2個班級的選法為種
D．高一年級最多有2個班級的選法為種
【答案】BCD
【分析】對于AB根據(jù)組合知識即可驗證，對于CD先用組合知識求出從兩個年級中選出五個班級參加活動共有種，再根據(jù)分類加法原則得出從兩個年級中選出五個班級參加活動共有種，兩者相等得出，再得出高一年級最多有2個班級的選法即可驗證.
【詳解】對于A：高二六班一定參加的選法有種，故A錯誤；
對于B：高一年級恰有2個班級的選法有種，故B正確；
對于C與D：從兩個年級中選出五個班級參加活動共有種，
其中若高一年級0個，高二年級5個，有種，
其中若高一年級1個，高二年級4個，有種，
其中若高一年級2個，高二年級3個，有種，
其中若高一年級3個，高二年級2個，有種，
其中若高一年級4個，高二年級1個，有種，
其中若高一年級5個，高二年級0個，有種，
則，
則，
而高一年級最多有2個班級的選法為種，故C與 D都正確；
故選：BCD.
10．（2022·高二單元測試）某學生想在物理、化學、生物、政治、歷史、地理、技術(shù)這七門課程中選三門作為選考科目，下列說法正確的是（ ）
A．若任意選擇三門課程，則選法種數(shù)為35
B．若物理和化學至少選一門，則選法種數(shù)為30
C．若物理和歷史不能同時選，則選法種數(shù)為30
D．若物理和化學至少選一門，且物理和歷史不能同時選，則選法種數(shù)為20
【答案】ACD
【分析】A選項，直接利用組合知識進行求解；
B選項，分物理和化學選一門和物理、化學都選，兩種情況下利用組合知識求出選法，求和即可；
C選項，先求出物理和歷史同時選的選法，從而求出物理和歷史不能同時選的選法；
D選項，只選物理，不選化學，只選化學，不選物理，物理、化學都選，三種情況下的選法求和即可.
【詳解】對于A，選法種數(shù)為，故A正確．
對于B，若物理和化學選一門，其余兩門從剩余的五門中選，有種選法；若物理和化學都選，剩下一門從剩余的五門中選，有種選法．故共有種選法，故B錯誤．
對于C，物理和歷史同時選，有種選法，故不同時選的選法種數(shù)為，故C正確．
對于D，只選物理，不選化學，則歷史也不選，有種選法；只選化學，不選物理，有種選法；若物理、化學都選，則歷史不選，有種選法．故共有種選法，故D正確．
故選：ACD．
11．（2023下·江蘇連云港·高二江蘇省海頭高級中學?？计谥校┫铝械仁秸_的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)可判斷A；利用排列數(shù)公式計算可判斷B，D；用特值法可判斷C.
【詳解】根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)可知，故A正確；
∵，故B正確；
當時，，此時，故C錯誤；
∵，
∴，故D正確.
故選：ABD.
12．（2023下·重慶渝北·高二重慶市渝北中學校?？茧A段練習）某中學共有三棟女生宿舍樓，分別為1號樓、2號樓、3號樓，學校在本周安排了甲、乙、丙、丁、戊5名女教師去這三棟宿舍樓協(xié)助宿管阿姨值守，每棟宿舍樓至少安排一名教師，每名教師只能去其中一棟樓，則下列說法正確的是（ ）．
A．共有300種不同的安排方法
B．若其中1號樓需要有兩名教師去，則共有60種不同的安排方法
C．若甲、乙兩名教師不能去同一棟宿舍樓，則共有114種不同的安排方法
D．若學校新購入25個相同型號的滅火器，準備全部分配給這三棟女生宿舍樓作為應急使用，每棟宿舍樓至少6個，則共有15種不同的分配方法
【答案】BC
【分析】利用分類加法計數(shù)原理結(jié)合排列組合問題求出不同安排方法數(shù)判斷A；求出1號樓去2人的安排方法數(shù)判斷B；利用排除法求出甲乙去同一棟樓的安排方法數(shù)判斷C；利用隔板法求出不同分配方法數(shù)判斷D作答.
【詳解】對于A，5名教師按去到三棟樓有種方法；按去到三棟樓有種方法，
因此不同的安排方法種數(shù)是，A錯誤；
對于B，取2名教師去1號樓，不同的安排方法種數(shù)是，B正確；
對于C，甲乙兩名教師去同一棟樓，另3名教師去另兩棟樓有種，另3名教師去三棟樓有種，
則不同的安排方法種數(shù)是，由選項A知，共有種不同安排方法，
所以甲、乙兩名教師不能去同一棟宿舍樓，安排方法種數(shù)是，C正確；
對于D，每棟樓先放5個滅火器，再將余下10個滅火器排成一排，在9個間隙中插入2塊板子，有種，D錯誤.
故選：BC
三、填空題
13．（2022上·貴州畢節(jié)·高三校聯(lián)考階段練習）由6位專家組成的團隊前往某地進行考察后站成一排拍照留念，已知專家甲和乙不相鄰，則不同的站法有 種.
【答案】480
【分析】由排列組合采用插空法，再利用分步乘法計數(shù)原理即可得結(jié)果
【詳解】先除去甲乙，另外4位專家排成一排，站法共有種，
4位專家排成一排后形成5個空，將甲乙插入這五個空中，共有種，
由分步乘法計數(shù)原理得種，即不同的站法有480種，
故答案為：480
14．（2023上·安徽·高三宿城一中校聯(lián)考階段練習）某高校開設了乒乓球，羽毛球，籃球，小提琴，書法五門選修課程可供學習，要求每位同學每學年至多選2門，該校學生小明想用前3學年將五門選修課程選完，則小明的不同選修方式有 種.（用數(shù)字作答）
【答案】90
【分析】根據(jù)給定條件，將五門選修課按分成3組，再分配到3學年作答.
【詳解】由題意，前三年修完5門選修課程，每學年至多選2門，則小明同學每年所修課程數(shù)為1，2，2，
先將5門學科按1，2，2分成三組，有種方法，再分到這三個學年，有種不同方法，
由分步乘法計數(shù)原理得，不同選修方式共有種.
故答案為：90
15．已知，則 .
【答案】
【分析】根據(jù)排列數(shù)公式可得出關(guān)于的等式，分析可知且，即可解得的值.
【詳解】因為，則且，則，即，解得.
故答案為：.
16．（2023下·河北石家莊·高二石家莊一中?？茧A段練習）有6個匣子，每個匣子有一把鑰匙，并且鑰匙不能通用，如果在每一個匣子內(nèi)各放入一把鑰匙，然后把匣子全部鎖上，要求砸開一個匣子后，能繼續(xù)用鑰匙打開其余5個匣子，那么鑰匙的放法有 種．
【答案】120
【分析】根據(jù)題意，每個盒子都不能存放打開本身的鑰匙，結(jié)合環(huán)狀排列，計算可得答案．
【詳解】根據(jù)題意，假設6個盒子為，，，，，，
要求砸開一個匣子后，能繼續(xù)用鑰匙打開其余5個匣子，即在砸開的匣子中必放有另一個匣子的鑰匙，依次類推，打開所有的盒子，
則原問題相當于由，，，，，形成一個環(huán)狀排列，
反過來，對由于，，，，，排成的每一種環(huán)狀排列，也就可以對應成一種相繼打開各個匣子的一種放鑰匙的方法，
先讓6個匣子沿著圓環(huán)對號入座，再在每個匣子中放入其下方的匣子的鑰匙，這就得到種相繼打開各個匣子的放鑰匙的方法．
所以，可使所有匣子相繼打開的放鑰匙的方法數(shù)恰與，，，，，的環(huán)狀排列數(shù)相等，
由于個元素的環(huán)狀排列數(shù)為種，則鑰匙的放法有種．
故答案為：120．
四、解答題
17．（2023下·北京東城·高二統(tǒng)考期末）某學校舉行男子乒乓球團體賽，決賽比賽規(guī)則采用積分制，兩支決賽的隊伍依次進行三場比賽，其中前兩場為男子單打比賽，第三場為男子雙打的比賽，每位出場隊員在決賽中只能參加一場比賽. 某進入決賽的球隊共有五名隊員，現(xiàn)在需要提交該球隊決賽的出場陣容，即三場比賽的出場的隊員名單.
(1)一共有多少種不同的出場陣容？
(2)若隊員A因為技術(shù)原因不能參加男子雙打比賽，則一共有多少種不同的出場陣容？
【答案】(1)60
(2)36
【分析】（1）根據(jù)分步計數(shù)原理，先安排前兩場比賽人員，再安排第三場的比賽人員；
（2）從隊員A上場和不上場來分類，分別求解，再利用分類加法原理可得答案.
【詳解】（1）出場陣容可以分兩步確定：
第1步，從5名運動員中選擇2人，分別參加前兩場男單比賽，共有種；
第2步，從剩下的3名運動員中選出兩人參加男雙比賽，共有種，
根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同的出場陣容種數(shù)為.
（2）隊員A不能參加男子雙打比賽，有兩類方案：
第1類方案是隊員A不參加任務比賽，即除了隊員A之外的4人參加本次比賽，只需從4人中選出兩人，分別取參加前兩場單打比賽，共有種，剩余人員參加雙打比賽；
第2類方案是隊員A參加單打比賽，可以分3個步驟完成：
第1步，確定隊員A參加的是哪一場單打比賽，共2種；
第2步，從剩下4名隊員中選擇一名參加另一場單打比賽，共4種；
第3步，從剩下的3名隊員中，選出兩人參加男雙比賽，共有種，
根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，隊員A參加單打比賽的不同的出場陣容有種；
根據(jù)分類加法計數(shù)原理，隊員A不參加男子雙打比賽的不同的出場陣容種數(shù)為.
18．（2021下·廣東中山·高二校考階段練習）（1）求值：；
（2）求值：結(jié)果用數(shù)字表示
【答案】（1）；（2）560.
【分析】（1）根據(jù)排列數(shù)的運算公式計算即可得出結(jié)果；
（2）根據(jù)組合數(shù)的運算性質(zhì)，計算即可得出結(jié)果.
【詳解】解：（1）
；
（2）
.
19．（2022下·安徽安慶·高二安慶市第二中學?？计谥校?位同學報名參加2022年杭州亞運會4個不同的項目（記為）的志愿者活動，每位同學恰報1個項目.
(1)6位同學站成一排拍照，如果甲乙兩位同學必須相鄰，丙丁兩位同學不相鄰，求不同的排隊方式有多少種？
(2)若每個項目至少需要一名志愿者，求一共有多少種不同報名方式？
(3)若每個項目只招一名志愿者，且同學甲不參加項目，同學乙不參加項目，求一共有多少種不同錄用方式？
【答案】(1)144
(2)1560
(3)252
【分析】（1）利用捆綁法和插空法進行排列計算即可得共有144種；
（2）先將6位同學分成4組，再根據(jù)題意進行排列計算即可得出結(jié)果；
（3）先計算出所有的錄用方式，再減去不符合題意的方式即可得出答案.
【詳解】（1）根據(jù)題意先把甲乙看成整體，與除了甲、乙、丙、丁之外的兩人進行排列，再把丙丁插空進行排列，
所以共有.
（2）先分為4組，則按人數(shù)可分為1，1，1，3和1，1，2，2兩種分組方式，共有種；
再分到4個項目，即可得共有；
（3）先考慮全部，則共有種排列方式，
其中甲參加項目共有種，同學乙參加項目共有種；
甲參加項目同時乙參加項目共有種，
根據(jù)題意減去不滿足題意的情況共有種.
20．（2023上·全國·高三專題練習）空間12個點，其中5個點共面，此外無任何4個點共面，這12個點可確定多少個不同的平面？
【答案】211
【分析】分4種情況進行求解，相加得到答案.
【詳解】這個問題可分四類加以考慮：
①5個共面點確定1個平面；
②5個共面點中任何2個點和其余7個點中任意一點確定個平面；
③5個共面點中任一點和其余7個點中任意2個點確定個平面；
④7個點中任何3個點確定個平面．
∴總共確定平面的個數(shù)為（個）．
21．（2023上·高二課時練習）袋中裝有m個紅球和n個白球，且.這些紅球和白球的大小及質(zhì)地都相同.從袋中同時任取2個球，若2個球都是紅球的取法總數(shù)是2個球顏色不同的取法總數(shù)的整數(shù)倍，求證：m必為奇數(shù).
【答案】證明見解析
【分析】根據(jù)組合數(shù)概念及公式建立方程化簡，即可證明.
【詳解】從裝有m個紅球和n個白球袋中，且，任取2個球都是紅球的取法總數(shù)為，
任取2個球顏色不同的取法有，由題意，，
所以，即，又且，
所以m必為奇數(shù).得證.
22．（2023上·高二課時練習）在一次數(shù)學競賽中，某學校有12人通過了初試，學校要從中選出5人去參加市級培訓，在下列條件下，有多少種不同的選法？
(1)任意選5人；
(2)甲、乙、丙三人必須參加；
(3)甲、乙、丙三人不能參加；
(4)甲、乙、丙三人只能有1人參加；
(5)甲、乙、丙三人至少1人參加；
(6)甲、乙、丙三人至多2人參加．
【答案】(1)792
(2)36
(3)126
(4)378
(5)666
(6)756
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合組合數(shù)公式，即可求解.
【詳解】（1）有種不同的選法；
（2）甲、乙、丙三人必須參加，只需從另外的9人中選2人，共有種不同的選法；
（3）甲、乙、丙三人不能參加，只需從另外的9人中選5人，共有種不同的選法；
（4）甲、乙、丙三人只能有1人參加，分兩步，先從甲、乙、丙中選1人，有種選法，再從另外的9人中選4人，有種選法．共有種不同的選法；
（5）解法一（直接法）
可分為三類：
第一類：甲、乙、丙中有1人參加，共有種；
第二類：甲、乙、丙中有2人參加，共有種；
第三類：甲、乙、丙中有3人參加，共有種．
共有種不同的選法．
解法二（間接法）
12人中任意選5人，共有種，甲、乙、丙三人都不能參加的有種，
所以，共有種不同的選法．
（6）解法一（直接法）
甲、乙、丙三人至多2人參加，可分為三類：
第一類：甲、乙、丙都不參加，共有種；
第二類：甲、乙、丙中有1人參加，共有種；
第三類：甲、乙、丙中有2人參加，共有種．
共有種不同的選法．
解法二（間接法）
12人中任意選5人，共有種，甲、乙、丙三人全參加的有種，所以，共有種不同的選法．
相同點
兩者都是從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素
不同點
排列問題中元素有序，組合問題中元素無序
關(guān)系
組合數(shù)Ceq \\al(m,n)與排列數(shù)Aeq \\al(m,n)間存在的關(guān)系
Aeq \\al(m,n)＝Ceq \\al(m,n)Aeq \\al(m,m)
組合數(shù)
公式
乘積
形式
Ceq \\al(m,n)＝eq \f(n?n－1??n－2?…?n－m＋1?,m！)，
其中m，n∈N*，并且m≤n
階乘
形式
Ceq \\al(m,n)＝eq \f(n！,m！?n－m?！)

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