1.變量的相關關系
(1)相關關系
兩個變量有關系，但又沒有確切到可由其中的一個去精確地決定另一個的程度，這種關系稱為相關關系.
(2)相關關系的分類：正相關和負相關.
(3)線性相關
一般地，如果兩個變量的取值呈現(xiàn)正相關或負相關，而且散點落在一條直線附近，我們就稱這兩個變量線性相關.
一般地，如果兩個變量具有相關性，但不是線性相關，那么我們就稱這兩個變量非線性相關或曲線相關.
2.樣本相關系數(shù)
(1)相關系數(shù)r的計算
變量x和變量y的樣本相關系數(shù)r的計算公式如下：
(2)相關系數(shù)r的性質(zhì)
①當r>0時，稱成對樣本數(shù)據(jù)正相關；當r0時，兩個變量正相關
D．如果兩個變量的相關性越弱，則|r|就越接近于0
[舉一反三]
1.(2023·重慶診斷)某商家今年上半年各月的人均銷售額(單位：千元)與利潤率統(tǒng)計表如下：
根據(jù)表中數(shù)據(jù)，下列說法正確的是( )
A.利潤率與人均銷售額成正相關關系
B.利潤率與人均銷售額成負相關關系
C.利潤率與人均銷售額成正比例函數(shù)關系
D.利潤率與人均銷售額成反比例函數(shù)關系
2.下列四個散點圖中，變量x與y之間具有負的線性相關關系的是( )
3.在一組樣本數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散點圖中，若所有樣本點(xi，yi)(i＝1，2，…，n)都在直線y＝－eq \f(1,2)x＋1上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關系數(shù)為( )
A.－1 B.0 C.－eq \f(1,2) D.1
4.兩個變量y與x的回歸模型中，分別選擇了4個不同模型，它們的決定系數(shù)R2如下，其中擬合效果最好的模型是( )
A.模型1的決定系數(shù)R2為0.98
B.模型2的決定系數(shù)R2為0.80
C.模型3的決定系數(shù)R2為0.50
D.模型4的決定系數(shù)R2為0.25
考點2 回歸分析
[名師點睛]
(1)求經(jīng)驗回歸方程：利用公式eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))xiyi－n\a\vs4\al(\(x,\s\up6(－)) ) \a\vs4\al(\(y,\s\up6(－)) ),\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))xeq \\al(2,i)－n\(x,\s\up6(－))2)求eq \(b,\s\up6(^))；利用eq \(a,\s\up6(^))＝eq \(y,\s\up6(－))－eq \(b,\s\up6(^))eq \(x,\s\up6(－))求eq \(a,\s\up6(^))，寫出經(jīng)驗回歸方程.
(2)經(jīng)驗回歸方程的擬合效果，可以利用相關系數(shù)|r|判斷，當|r|越趨近于1時，兩變量的線性相關性越強.或利用決定系數(shù)R2判斷，R2越大，擬合效果越好.
(3)非線性經(jīng)驗回歸方程轉(zhuǎn)化為線性經(jīng)驗回歸方程的方法
①若eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(a,\s\up6(^))＋eq \(b,\s\up6(^)) eq \r(x)，設t＝eq \r(x)，則eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(a,\s\up6(^))＋eq \(b,\s\up6(^))t；②若滿足對數(shù)式：eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(a,\s\up6(^))＋eq \(b,\s\up6(^))ln x，設t＝ln x，則eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(a,\s\up6(^))＋eq \(b,\s\up6(^))t；③若滿足指數(shù)式：y＝c1ec2x，兩邊取對數(shù)解ln y＝ln c1＋c2x，設z＝ln y，a＝ln c1，b＝c2，則z＝a＋bx.
[典例]
(2023·廣州模擬)根據(jù)統(tǒng)計，某蔬菜基地西紅柿畝產(chǎn)量的增加量y(百千克)與某種液體肥料每畝使用量x(千克)之間的對應數(shù)據(jù)的散點圖如圖所示：
(1)依據(jù)數(shù)據(jù)的散點圖可以看出，可用線性回歸模型擬合y與x的關系，請計算相關系數(shù)并加以說明(若|r|>0.75，則線性相關程度很高，可用線性回歸模型擬合)；
(2)求y關于x的經(jīng)驗回歸方程，并預測液體肥料每畝使用量為12千克時，西紅柿畝產(chǎn)量的增加量約為多少.
附：相關系數(shù)
＝eq \f(\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))xiyi－n\a\vs4\al(\(x,\s\up6(－)) ) \a\vs4\al(\(y,\s\up6(－)) ),\r(\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))xeq \\al(2,i)－n\(x,\s\up6(－))2)\r(\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))yeq \\al(2,i)－n\(y,\s\up6(－))2))，
經(jīng)驗回歸直線eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))的斜率和截距的最小二乘估計分別為eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\(∑,\s\up11(n),\s\d4(i＝1)) （xi－\(x,\s\up6(－))）（yi－\(y,\s\up6(－))）,\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1)) （xi－\(x,\s\up6(－))）2)＝eq \f(\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))xiyi－n\a\vs4\al(\(x,\s\up6(－)) ) \a\vs4\al(\(y,\s\up6(－)) ),\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))xeq \\al(2,i)－n\(x,\s\up6(－))2)，eq \(a,\s\up6(^))＝eq \(y,\s\up6(－))－eq \(b,\s\up6(^))eq \(x,\s\up6(－)).
[舉一反三]
1．(2023·湖北九師聯(lián)盟聯(lián)考)下表是關于某設備的使用年限x(單位：年)和所支出的維修費用y(單位：萬元)的統(tǒng)計表．
由上表可得經(jīng)驗回歸方程eq \(y,\s\up6(^))＝0.81x＋eq \(a,\s\up6(^))，若規(guī)定：維修費用y不超過10萬元，一旦大于10萬元時，該設備必須報廢．據(jù)此模型預測，該設備使用年限的最大值約為( )
A．7 B．8 C．9 D．10
2．用模型y＝cekx擬合一組數(shù)據(jù)時，為了求出經(jīng)驗回歸方程，設z＝ln y，其變換后得到經(jīng)驗回歸方程為z＝0.5x＋2，則c等于( )
A．0.5 B．e0.5 C．2 D．e2
考點3 獨立性檢驗
[名師點睛]
1.在2×2列聯(lián)表中，如果兩個變量沒有關系，則應滿足ad－bc≈0.|ad－bc|越小，說明兩個變量之間關系越弱；|ad－bc|越大，說明兩個變量之間關系越強.
2.解決獨立性檢驗的應用問題，一定要按照獨立性檢驗的步驟得出結論.獨立性檢驗的一般步驟：
(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2×2列聯(lián)表：
(2)根據(jù)公式χ2＝
eq \f(n（ad－bc）2,（a＋b）（a＋c）（b＋d）（c＋d）)計算χ2；
(3)通過比較χ2與臨界值的大小關系來作統(tǒng)計推斷.
[典例]
(2023·全國Ⅲ卷)某學生興趣小組隨機調(diào)查了某市100天中每天的空氣質(zhì)量等級和當天到某公園鍛煉的人次，整理數(shù)據(jù)得到下表(單位：天)：
(1)分別估計該市一天的空氣質(zhì)量等級為1，2，3，4的概率；
(2)求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表)；
(3)若某天的空氣質(zhì)量等級為1或2，則稱這天“空氣質(zhì)量好”；若某天的空氣質(zhì)量等級為3或4，則稱這天“空氣質(zhì)量不好”.根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2×2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表，能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下，認為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當天的空氣質(zhì)量有關？
附：χ2＝eq \f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，
[舉一反三]
1．為了解某大學的學生是否愛好體育鍛煉，用簡單隨機抽樣方法在校園內(nèi)調(diào)查了120位學生，得到如下2×2列聯(lián)表：
則a－b－c等于( )
A．7 B．8 C．9 D．10
2．(多選)某醫(yī)療研究機構為了了解免疫與注射疫苗的關系，進行一次抽樣調(diào)查，得到數(shù)據(jù)如表1.
(表1)
(表2)
則下列說法中正確的是( )
A．χ2≈8.35
B．P(χ2≥6.635)≈0.001
C．依據(jù)小概率值α＝0.01的獨立性檢驗，我們認為免疫與注射疫苗有關系
D．依據(jù)小概率值α＝0.001的獨立性檢驗，我們認為免疫與注射疫苗有關系
3.(2023·太原模擬)為進一步保護環(huán)境，加強治理空氣污染，某市環(huán)保監(jiān)測部門對市區(qū)空氣質(zhì)量進行調(diào)研，隨機抽查了市區(qū)100天的空氣質(zhì)量等級與當天空氣中SO2的濃度(單位：μg/m3)，整理數(shù)據(jù)得到下表：
若某天的空氣質(zhì)量等級為1或2，則稱這天“空氣質(zhì)量好”；若某天的空氣質(zhì)量等級為3或4，則稱這天“空氣質(zhì)量不好”，根據(jù)上述數(shù)據(jù)，回答以下問題．
(1)估計事件“該市一天的空氣質(zhì)量好，且SO2的濃度不超過150”的概率；
(2)完成下面的2×2列聯(lián)表，
(3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表，依據(jù)小概率值α＝0.01的獨立性檢驗，能否據(jù)此推斷該市一天的空氣質(zhì)量與當天SO2的濃度有關？
x
y
合計
y＝y(tǒng)1
y＝y(tǒng)2
x＝x1
a
b
a＋b
x＝x2
c
d
c＋d
合計
a＋c
b＋d
n＝a＋b＋c＋d
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
月份
1
2
3
4
5
6
人均銷售額
6
5
8
3
4
7
利潤率(%)
12.6
10.4
18.5
3.0
8.1
16.3
x
2
3
4
5
6
y
3.4
4.2
5.1
5.5
6.8
鍛煉人次
空氣質(zhì)量等級
[0，200]
(200，400]
(400，600]
1(優(yōu))
2
16
25
2(良)
5
10
12
3(輕度污染)
6
7
8
4(中度污染)
7
2
0
人次≤400
人次>400
空氣質(zhì)量好
空氣質(zhì)量不好
男
女
合計
愛好
a
b
73
不愛好
c
25
合計
74
免疫
不免疫
合計
注射疫苗
10
10
20
未注射疫苗
6
34
40
合計
16
44
60
α
0.10
0.050
0.010
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
10.828
SO2的濃度
空氣質(zhì)量等級
[0，50]
(50，150]
(150，475]
1(優(yōu))
28
6
2
2(良)
5
7
8
3(輕度污染)
3
8
9
4(中度污染)
1
12
11
SO2的濃度
空氣質(zhì)量
[0，150]
(150，475]
合計
空氣質(zhì)量好
空氣質(zhì)量不好
合計
第65講 成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計、分析
1.變量的相關關系
(1)相關關系
兩個變量有關系，但又沒有確切到可由其中的一個去精確地決定另一個的程度，這種關系稱為相關關系.
(2)相關關系的分類：正相關和負相關.
(3)線性相關
一般地，如果兩個變量的取值呈現(xiàn)正相關或負相關，而且散點落在一條直線附近，我們就稱這兩個變量線性相關.
一般地，如果兩個變量具有相關性，但不是線性相關，那么我們就稱這兩個變量非線性相關或曲線相關.
2.樣本相關系數(shù)
(1)相關系數(shù)r的計算
變量x和變量y的樣本相關系數(shù)r的計算公式如下：
(2)相關系數(shù)r的性質(zhì)
①當r>0時，稱成對樣本數(shù)據(jù)正相關；當r0時，兩個變量正相關
D．如果兩個變量的相關性越弱，則|r|就越接近于0
答案 ACD
解析 對于A，經(jīng)驗回歸直線必過點(eq \x\t(x)，eq \x\t(y))，故A正確；
對于B，經(jīng)驗回歸直線在散點圖中可能不經(jīng)過任一樣本數(shù)據(jù)點，故B不正確；
對于C，當樣本相關系數(shù)r>0時，則兩個變量正相關，故C正確；
對于D，如果兩個變量的相關性越弱，則|r|就越接近于0，故D正確．
[舉一反三]
1.(2023·重慶診斷)某商家今年上半年各月的人均銷售額(單位：千元)與利潤率統(tǒng)計表如下：
根據(jù)表中數(shù)據(jù)，下列說法正確的是( )
A.利潤率與人均銷售額成正相關關系
B.利潤率與人均銷售額成負相關關系
C.利潤率與人均銷售額成正比例函數(shù)關系
D.利潤率與人均銷售額成反比例函數(shù)關系
答案 A
解析 由統(tǒng)計表可得利潤率與人均銷售額不是正比例關系，也不是反比例關系，排除C和D；其屬于正相關關系，A正確，B錯誤.
2.下列四個散點圖中，變量x與y之間具有負的線性相關關系的是( )
答案 D
解析 觀察散點圖可知，只有D選項的散點圖表示的是變量x與y之間具有負的線性相關關系.
3.在一組樣本數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散點圖中，若所有樣本點(xi，yi)(i＝1，2，…，n)都在直線y＝－eq \f(1,2)x＋1上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關系數(shù)為( )
A.－1 B.0 C.－eq \f(1,2) D.1
答案 A
解析 因為樣本點在直線y＝－eq \f(1,2)x＋1上，呈現(xiàn)完全負相關，樣本相關系數(shù)為－1.
4.兩個變量y與x的回歸模型中，分別選擇了4個不同模型，它們的決定系數(shù)R2如下，其中擬合效果最好的模型是( )
A.模型1的決定系數(shù)R2為0.98
B.模型2的決定系數(shù)R2為0.80
C.模型3的決定系數(shù)R2為0.50
D.模型4的決定系數(shù)R2為0.25
答案 A
解析 在兩個變量y與x的回歸模型中，它們的決定系數(shù)R2越接近1，模型擬合效果越好，在四個選項中A的決定系數(shù)最大，所以擬合效果最好的是模型1.
考點2 回歸分析
[名師點睛]
(1)求經(jīng)驗回歸方程：利用公式eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))xiyi－n\a\vs4\al(\(x,\s\up6(－)) ) \a\vs4\al(\(y,\s\up6(－)) ),\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))xeq \\al(2,i)－n\(x,\s\up6(－))2)求eq \(b,\s\up6(^))；利用eq \(a,\s\up6(^))＝eq \(y,\s\up6(－))－eq \(b,\s\up6(^))eq \(x,\s\up6(－))求eq \(a,\s\up6(^))，寫出經(jīng)驗回歸方程.
(2)經(jīng)驗回歸方程的擬合效果，可以利用相關系數(shù)|r|判斷，當|r|越趨近于1時，兩變量的線性相關性越強.或利用決定系數(shù)R2判斷，R2越大，擬合效果越好.
(3)非線性經(jīng)驗回歸方程轉(zhuǎn)化為線性經(jīng)驗回歸方程的方法
①若eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(a,\s\up6(^))＋eq \(b,\s\up6(^)) eq \r(x)，設t＝eq \r(x)，則eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(a,\s\up6(^))＋eq \(b,\s\up6(^))t；②若滿足對數(shù)式：eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(a,\s\up6(^))＋eq \(b,\s\up6(^))ln x，設t＝ln x，則eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(a,\s\up6(^))＋eq \(b,\s\up6(^))t；③若滿足指數(shù)式：y＝c1ec2x，兩邊取對數(shù)解ln y＝ln c1＋c2x，設z＝ln y，a＝ln c1，b＝c2，則z＝a＋bx.
[典例]
(2023·廣州模擬)根據(jù)統(tǒng)計，某蔬菜基地西紅柿畝產(chǎn)量的增加量y(百千克)與某種液體肥料每畝使用量x(千克)之間的對應數(shù)據(jù)的散點圖如圖所示：
(1)依據(jù)數(shù)據(jù)的散點圖可以看出，可用線性回歸模型擬合y與x的關系，請計算相關系數(shù)并加以說明(若|r|>0.75，則線性相關程度很高，可用線性回歸模型擬合)；
(2)求y關于x的經(jīng)驗回歸方程，并預測液體肥料每畝使用量為12千克時，西紅柿畝產(chǎn)量的增加量約為多少.
附：相關系數(shù)
＝eq \f(\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))xiyi－n\a\vs4\al(\(x,\s\up6(－)) ) \a\vs4\al(\(y,\s\up6(－)) ),\r(\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))xeq \\al(2,i)－n\(x,\s\up6(－))2)\r(\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))yeq \\al(2,i)－n\(y,\s\up6(－))2))，
經(jīng)驗回歸直線eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))的斜率和截距的最小二乘估計分別為eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\(∑,\s\up11(n),\s\d4(i＝1)) （xi－\(x,\s\up6(－))）（yi－\(y,\s\up6(－))）,\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1)) （xi－\(x,\s\up6(－))）2)＝eq \f(\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))xiyi－n\a\vs4\al(\(x,\s\up6(－)) ) \a\vs4\al(\(y,\s\up6(－)) ),\(∑,\s\up6(n),\s\d4(i＝1))xeq \\al(2,i)－n\(x,\s\up6(－))2)，eq \(a,\s\up6(^))＝eq \(y,\s\up6(－))－eq \(b,\s\up6(^))eq \(x,\s\up6(－)).
解 (1)eq \(x,\s\up6(－))＝eq \f(2＋4＋5＋6＋8,5)＝5，
eq \(y,\s\up6(－))＝eq \f(3＋4＋5＋6＋7,5)＝5.
eq \(∑,\s\up11(5),\s\d4(i＝1)) (xi－eq \(x,\s\up6(－)))(yi－eq \(y,\s\up6(－)))＝(－3)×(－2)＋(－1)×(－1)＋0×0＋1×1＋3×2＝14，
eq \(∑,\s\up11(5),\s\d4(i＝1)) (xi－eq \(x,\s\up6(－)))2＝(－3)2＋(－1)2＋02＋12＋32＝20，
eq \(∑,\s\up11(5),\s\d4(i＝1)) (yi－eq \(y,\s\up6(－)))2＝(－2)2＋(－1)2＋02＋12＋22＝10.
＝eq \f(14,\r(20)×\r(10))＝eq \f(7\r(2),10)>0.75，
∴可用線性回歸模型擬合y與x的關系.
(2)eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\(∑,\s\up11(5),\s\d4(i＝1)) （xi－\(x,\s\up6(－))）（yi－\(y,\s\up6(－))）,\(∑,\s\up6(5),\s\d4(i＝1)) （xi－\(x,\s\up6(－))）2)＝eq \f(14,20)＝0.7，
則eq \(a,\s\up6(^))＝eq \(y,\s\up6(－))－eq \(b,\s\up6(^))eq \(x,\s\up6(－))＝5－0.7×5＝1.5，
∴eq \(y,\s\up6(^))＝0.7x＋1.5.
當x＝12時，eq \(y,\s\up6(^))＝0.7×12＋1.5＝9.9，
∴預測液體肥料每畝使用量為12千克時，西紅柿畝產(chǎn)量的增加量約為9.9百千克.
當x＝10時，eq \(y,\s\up6(^))＝39.6，則預測2025年該地區(qū)的經(jīng)濟收入為39.6百萬元
[舉一反三]
1．(2023·湖北九師聯(lián)盟聯(lián)考)下表是關于某設備的使用年限x(單位：年)和所支出的維修費用y(單位：萬元)的統(tǒng)計表．
由上表可得經(jīng)驗回歸方程eq \(y,\s\up6(^))＝0.81x＋eq \(a,\s\up6(^))，若規(guī)定：維修費用y不超過10萬元，一旦大于10萬元時，該設備必須報廢．據(jù)此模型預測，該設備使用年限的最大值約為( )
A．7 B．8 C．9 D．10
答案 D
解析 由表格，得
eq \x\t(x)＝eq \f(1,5)×(2＋3＋4＋5＋6)＝4，
eq \x\t(y)＝eq \f(1,5)×(3.4＋4.2＋5.1＋5.5＋6.8)＝5，
因為經(jīng)驗回歸直線恒過點(eq \x\t(x)，eq \x\t(y))，
所以5＝0.81×4＋eq \(a,\s\up6(^))，
解得eq \(a,\s\up6(^))＝1.76，
所以經(jīng)驗回歸方程為eq \(y,\s\up6(^))＝0.81x＋1.76，
由y≤10，得0.81x＋1.76≤10，
解得x≤eq \f(824,81)≈10.17，
由于x∈N*，所以據(jù)此模型預測，該設備使用年限的最大值約為10.
2．用模型y＝cekx擬合一組數(shù)據(jù)時，為了求出經(jīng)驗回歸方程，設z＝ln y，其變換后得到經(jīng)驗回歸方程為z＝0.5x＋2，則c等于( )
A．0.5 B．e0.5 C．2 D．e2
答案 D
解析 因為y＝cekx，兩邊取對數(shù)得，
ln y＝ln(cekx)＝ln c＋ln ekx＝kx＋ln c，
則z＝kx＋ln c，而z＝0.5x＋2，
于是得ln c＝2，即c＝e2.
考點3 獨立性檢驗
[名師點睛]
1.在2×2列聯(lián)表中，如果兩個變量沒有關系，則應滿足ad－bc≈0.|ad－bc|越小，說明兩個變量之間關系越弱；|ad－bc|越大，說明兩個變量之間關系越強.
2.解決獨立性檢驗的應用問題，一定要按照獨立性檢驗的步驟得出結論.獨立性檢驗的一般步驟：
(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2×2列聯(lián)表：
(2)根據(jù)公式χ2＝
eq \f(n（ad－bc）2,（a＋b）（a＋c）（b＋d）（c＋d）)計算χ2；
(3)通過比較χ2與臨界值的大小關系來作統(tǒng)計推斷.
[典例]
(2023·全國Ⅲ卷)某學生興趣小組隨機調(diào)查了某市100天中每天的空氣質(zhì)量等級和當天到某公園鍛煉的人次，整理數(shù)據(jù)得到下表(單位：天)：
(1)分別估計該市一天的空氣質(zhì)量等級為1，2，3，4的概率；
(2)求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表)；
(3)若某天的空氣質(zhì)量等級為1或2，則稱這天“空氣質(zhì)量好”；若某天的空氣質(zhì)量等級為3或4，則稱這天“空氣質(zhì)量不好”.根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2×2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表，能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下，認為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當天的空氣質(zhì)量有關？
附：χ2＝eq \f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，
解 (1)由所給數(shù)據(jù)，得該市一天的空氣質(zhì)量等級為1，2，3，4的概率的估計值如下表：
(2)一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計值為
eq \f(1,100)(100×20＋300×35＋500×45)＝350.
(3)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，可得2×2列聯(lián)表：
零假設為H0：
一天中到該公園鍛煉的人次與該市當天的空氣質(zhì)量無關.
根據(jù)列聯(lián)表得
χ2＝eq \f(100×（33×8－22×37）2,55×45×70×30)≈5.820>3.841＝xα.
根據(jù)小概率值α＝0.050的χ2獨立性檢驗，可推斷H0不成立，所以在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下，可認為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當天的空氣質(zhì)量有關.
[舉一反三]
1．為了解某大學的學生是否愛好體育鍛煉，用簡單隨機抽樣方法在校園內(nèi)調(diào)查了120位學生，得到如下2×2列聯(lián)表：
則a－b－c等于( )
A．7 B．8 C．9 D．10
答案 C
解析 根據(jù)題意，可得c＝120－73－25＝22，a＝74－22＝52，b＝73－52＝21，
∴a－b－c＝52－21－22＝9.
2．(多選)某醫(yī)療研究機構為了了解免疫與注射疫苗的關系，進行一次抽樣調(diào)查，得到數(shù)據(jù)如表1.
(表1)
(表2)
則下列說法中正確的是( )
A．χ2≈8.35
B．P(χ2≥6.635)≈0.001
C．依據(jù)小概率值α＝0.01的獨立性檢驗，我們認為免疫與注射疫苗有關系
D．依據(jù)小概率值α＝0.001的獨立性檢驗，我們認為免疫與注射疫苗有關系
答案 AC
解析 由表中數(shù)據(jù)，
得χ2＝eq \f(60×?10×34－6×10?2,20×40×16×44)
≈8.352≈8.35，所以A正確；
因為P(χ2≥6.635)≈0.01，所以B錯誤；
χ2≈8.352>6.635＝x0.01，
依據(jù)小概率值α＝0.01的獨立性檢驗，我們認為免疫與注射疫苗有關系，所以C正確；
χ2≈8.3526.635＝x0.01，
根據(jù)小概率值α＝0.01的獨立性檢驗，我們推斷H0不成立，即認為該市一天的空氣質(zhì)量與當天SO2的濃度有關．
x
y
合計
y＝y(tǒng)1
y＝y(tǒng)2
x＝x1
a
b
a＋b
x＝x2
c
d
c＋d
合計
a＋c
b＋d
n＝a＋b＋c＋d
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
月份
1
2
3
4
5
6
人均銷售額
6
5
8
3
4
7
利潤率(%)
12.6
10.4
18.5
3.0
8.1
16.3
x
2
3
4
5
6
y
3.4
4.2
5.1
5.5
6.8
鍛煉人次
空氣質(zhì)量等級
[0，200]
(200，400]
(400，600]
1(優(yōu))
2
16
25
2(良)
5
10
12
3(輕度污染)
6
7
8
4(中度污染)
7
2
0
人次≤400
人次>400
空氣質(zhì)量好
空氣質(zhì)量不好
空氣質(zhì)量等級
1
2
3
4
概率的估計值
0.43
0.27
0.21
0.09
人次≤400
人次>400
空氣質(zhì)量好
33
37
空氣質(zhì)量不好
22
8
男
女
合計
愛好
a
b
73
不愛好
c
25
合計
74
免疫
不免疫
合計
注射疫苗
10
10
20
未注射疫苗
6
34
40
合計
16
44
60
α
0.10
0.050
0.010
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
10.828
SO2的濃度
空氣質(zhì)量等級
[0，50]
(50，150]
(150，475]
1(優(yōu))
28
6
2
2(良)
5
7
8
3(輕度污染)
3
8
9
4(中度污染)
1
12
11
SO2的濃度
空氣質(zhì)量
[0，150]
(150，475]
合計
空氣質(zhì)量好
空氣質(zhì)量不好
合計
SO2的濃度
空氣質(zhì)量
[0，150]
(150，475]
合計
空氣質(zhì)量好
46
10
56
空氣質(zhì)量不好
24
20
44
合計
70
30
100

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