倍速學習四種方法
【方法一】 脈絡(luò)梳理法
知識點1.二項式定理
拓展1.求二項展開式的特定項
拓展2.二項式系數(shù)的性質(zhì)與賦值問題
拓展3.多項式的展開式問題
突破1.展開式系數(shù)最大項問題
突破2.與二項式定理有關(guān)的問題
【方法二】 實例探索法
題型1.二項展開式中的特定項、項的系數(shù)
題型2.多個二項展開式中的特定項、項的系數(shù)
題型3.二項式系數(shù)的對稱性與增減性
題型4二項式系數(shù)和
題型5.展開式系數(shù)的和
題型6.與楊輝三角有關(guān)的問題
題型7.二項式定理的應(yīng)用（整除問題）
【方法三】差異對比法
易錯點1.未能正確理解二項展開式中的項與項數(shù)
易錯點2.未能正確轉(zhuǎn)化三項式問題而致誤
易錯點3.混淆展開式中的奇偶次項與奇偶數(shù)項致誤
易錯點4.混淆二項式系數(shù)與展開式系數(shù)致誤
【方法四】 成果評定法
【知識導圖】
【倍速學習四種方法】
【方法一】脈絡(luò)梳理法
知識點1.二項式定理
一、 二項式定理
(a＋b)n＝Ceq \\al(0,n)an＋Ceq \\al(1,n)an－1b＋Ceq \\al(2,n)an－2b2＋…＋Ceq \\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq \\al(n,n)bn(n∈N*)．
(1)這個公式叫做二項式定理．
(2)展開式：等號右邊的多項式叫做(a＋b)n的二項展開式，展開式中一共有n＋1項．
(3)二項式系數(shù)：各項的系數(shù)Ceq \\al(k,n)(k∈{0,1,2，…，n})叫做二項式系數(shù)．
二、 二項展開式的通項
(a＋b)n展開式的第k＋1項叫做二項展開式的通項，記作Tk＋1＝Ceq \\al(k,n)an－kbk.
三、二項式系數(shù)的性質(zhì)
例1．（2024上·河南南陽·高二南陽市第五中學校校聯(lián)考期末）已知的展開式中二項式系數(shù)之和與各項系數(shù)之和的乘積為64.
(1)求 的值；
(2)求展開式中二項式系數(shù)最大的項.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）令可得，展開式中各項系數(shù)之和，展開式中的二項式系數(shù)之和為，由題意列方程求解；
（2）根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)可知第4項的二項式系數(shù)最大，再根據(jù)二項展開式的通項公式運算求解.
【詳解】（1）令，得展開式中各項系數(shù)之和為，
且二項式系數(shù)之和為，
由題意可得：，解得.
（2）由（1）知，展開式共有7項，則第4項的二項式系數(shù)最大，
所以二項式系數(shù)最大的項為.
拓展1.求二項展開式的特定項
1．（2024·全國·模擬預測）二項式的展開式中，項的系數(shù)是 ．
【答案】80
【分析】根據(jù)二項式定理，寫出通項，根據(jù)展開項的概念，建立方程，可得答案.
【詳解】展開式的通項公式為，．
令，解得，則項的系數(shù)是．
故答案為：.
拓展2.二項式系數(shù)的性質(zhì)與賦值問題
2．單選題（2024上·黑龍江·高二校聯(lián)考期末）在的二項展開式中，各二項式系數(shù)之和為，各項系數(shù)之和為，若，則（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】根據(jù)二項式系數(shù)和以及各項系數(shù)和的表達式，結(jié)合題意，解方程，即可求得答案.
【詳解】由，令可得各項系數(shù)之和為，
又各二項式系數(shù)之和為，因為，則，
解得或（舍去），所以，
故選：B
拓展3.多項式的展開式問題
3．（2024上·云南曲靖·高二曲靖一中校考期末）在的展開式中，的系數(shù)是 .
【答案】9
【分析】根據(jù)給定條件，利用多項式乘法法則，結(jié)合組合應(yīng)用問題列式計算即得.
【詳解】在的展開式中，含的項是6個因式中任取5個用，
余下一個因式用常數(shù)項相乘積的和，因此展開式中含的項是，
所以的系數(shù)是9.
故答案為：9
突破1.展開式系數(shù)最大項問題
1．多選題（2024上·遼寧丹東·高二統(tǒng)考期末）已知二項式的展開式中，則（ ）
A．含項的系數(shù)為6B．第5項為常數(shù)項
C．各項系數(shù)和為64D．第3項的二項式系數(shù)最大
【答案】ABC
【分析】寫出二項展開式的通項，當時可判斷A；當時可判斷B；令可求出各項系數(shù)和，進而判斷C；根據(jù)，得到二項式系數(shù)最大的是，可判斷D.
【詳解】二項式展開式的通項為，
對于A，令，解得，所以含項的系數(shù)為，故A正確；
對于B，令，，故B正確；
對于C，令，則，所以各項系數(shù)和為64，故C正確；
對于D，由知，二項式系數(shù)最大的是，為第4項，故D錯誤.
故選：ABC.
突破2.與二項式定理有關(guān)的問題
2．（2024上·上?！じ叨虾Ｄ蠀R中學?？计谀?）求證：；
（2）利用等式可以化簡：；類比上述方法，化簡下式：.
（3）已知等差數(shù)列的首項為，公差為，求證：對于任意正整數(shù)，函數(shù)總是關(guān)于的一次函數(shù).
【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）證明見解析.
【分析】（1）利用組合數(shù)公式可證得結(jié)論成立；
（2）推導出，利用二項式定理可化簡所求代數(shù)式；
（3）由已知可得出，計算得出，利用二項式定理化簡函數(shù)的解析式，即可證得結(jié)論成立.
【詳解】證明：（1）因為、，，
由組合數(shù)公式可得，故結(jié)論成立；
解：（2）因為、，，
則，
則
；
（3）因為等差數(shù)列的首項為，公差為，則，
則
，
所以，
總是關(guān)于的一次函數(shù).
【方法二】實例探索法
題型1.二項展開式中的特定項、項的系數(shù)
1．（2024上·上?！じ叨？计谀┌逊Q為的二項展開式所有項的二項式系數(shù)之和，其中是正整數(shù)．
(1)若的所有項的二項式系數(shù)的和為，求展開式的常數(shù)項；
(2)若展開式中第項系數(shù)為，求的展開式中的系數(shù)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)有項的二項式系數(shù)的和求得，根據(jù)二項式展開式的通項公式求得常數(shù)項.
（2）根據(jù)展開式中第項的系數(shù)求得，根據(jù)二項式展開式的通項公式求得的系數(shù).
【詳解】（1）若的所有項的二項式系數(shù)的和為，
則，展開式的通項公式為，
令，所以，展開式的常數(shù)項為.
（2）展開式的通項公式為，
若展開式中第項系數(shù)為，
即，
則，
含的項為
，
所以的系數(shù)為.
題型2.多個二項展開式中的特定項、項的系數(shù)
2．（2024·四川成都·成都七中?？寄M預測）若多項式，則 ．
【答案】
【分析】根據(jù)二項展開式定理，分別求出的展開式，即可得出結(jié)論.
【詳解】，
，
所以，，，
所以，
故答案為：.
題型3.二項式系數(shù)的對稱性與增減性
3．（2024上·上?！じ叨虾Ｊ袕偷┲袑W校考期末）已知在的展開式中，前三項的系數(shù)分別為，，，且滿足．
(1)求展開式中系數(shù)最大的項；
(2)求展開式中所有有理項．
【答案】(1)，；
(2)，．
【分析】（1）根據(jù)展開式的通項，記第項系數(shù)最大，則有，且，由此可得展開式中系數(shù)最大的項；
（2）令的冪指數(shù)為整數(shù)，求得的值，即可求得展開式中的有理項．
【詳解】（1）的展開式通項公式為：，，1，2，，，
則，，，
，解得，（舍去）.
由，記系數(shù)為，,1，2，，
設(shè)最大，則有，且，于是，解得，
所以,均為最大，
所以系數(shù)最大項為第3項和第4項；
（2）通項，
令，1，2，，所以只有當，6時，對應(yīng)的項才為有理項，
有理項為，．
題型4二項式系數(shù)和
4．（2024上·遼寧沈陽·高二校聯(lián)考期末）的展開式中第3項與第7項的二項式系數(shù)相等，則的展開式中所有項系數(shù)的絕對值之和為 ．
【答案】（或者寫成6561）
【分析】根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)，求得，令，即可求得展開式中所有項系數(shù)的絕對值之和.
【詳解】因為展開式中第3項與第7項的二項式系數(shù)相等，
所以，由組合數(shù)的性質(zhì)可得，
即,
因為的展開式中所有項系數(shù)的絕對值之和等于的展開式中所有項系數(shù)和，
所以，令可得.
故答案為：（或者寫成6561）.
題型5.展開式系數(shù)的和
5．（2024上·遼寧沈陽·高二沈陽市回民中學?？计谀┮阎?，若.
(1)求的值；
(2)求的值.（結(jié)果可以用冪指數(shù)表示）
【答案】(1)11
(2)
【分析】（1）根據(jù)二項式定理得到通項，從而得到方程，求出；
（2）令和，即可求解.
【詳解】（1）由題意得，
故，
所以，解得；
（2）由（1）中通項公式可得大于0，小于0，
在中，令得，
，
令得，故，
故.
題型6.與楊輝三角有關(guān)的問題
6．（2024上·重慶·高三重慶南開中學?？茧A段練習）已知展開式中各項系數(shù)之和為，則展開式中的系數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求出的值，再利用二項展開式的通項公式的特點，求出展開式中的系數(shù).
【詳解】展開式中各項系數(shù)之和為，
所以令，可得，解得，
，
的展開式的通項為，
當在項中取時，項中需取，不符合條件；
當在項中取時，項中需取，則，即，此時的系數(shù)為；
當在項中取時，項中需取，則，即，此時的系數(shù)為，
綜上，展開式中的系數(shù)為.
故選：B.
題型7.二項式定理的應(yīng)用（整除問題）
7．（2024上·上海松江·高二上海市松江二中校考期末）已知.
(1)求的值；
(2)設(shè)，求被6除的余數(shù).
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由，結(jié)合二項式定理寫出通項公式求；
（2）由題設(shè)，結(jié)合二項式定理得，即可確定余數(shù).
【詳解】（1）由題設(shè)，則展開式通項為，，
所以.
（2）由題設(shè)，
而
，
所以，
顯然，除外，其它項均可被6整除，又，
所以被6除的余數(shù)為.
【方法三】差異對比法
易錯點1.未能正確理解二項展開式中的項與項數(shù)
1．（2024上·廣東揭陽·高三統(tǒng)考期末）在二項式的展開式中，若常數(shù)項恰是所有奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和的5倍，則實數(shù)a的值為 ．（用數(shù)字作答）
【答案】4
【分析】寫出該二項式展開式的通項，令的指數(shù)為零，即可求出常數(shù)項，再求出所有奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和，由題意可得，解方程即可得出答案.
【詳解】二項展開式中二項式系數(shù)和為，
奇數(shù)項的二項式系數(shù)和應(yīng)為所有項二項式系數(shù)和的一半，即，
展開式通項為，
令可得常數(shù)項為，則：，即，
所以.
故答案為：4.
易錯點2.未能正確轉(zhuǎn)化三項式問題而致誤
2．（2024上·湖南常德·高三常德市一中?？茧A段練習）的展開式中所有項的二項式系數(shù)之和為64，則的展開式中的系數(shù)為 .
【答案】60
【分析】由，分類討論求得的展開式中的系數(shù).
【詳解】依題意，二項式系數(shù)和為64，則，
則表示個因式的乘積，
在6個因式里，有1個因式選，3個因式選，2個因式選，相乘即可得，
故的系數(shù)為：.
故答案為：60
易錯點3.混淆展開式中的奇偶次項與奇偶數(shù)項致誤
3．多選題（2024上·黑龍江·高二校聯(lián)考期末）若，其中為實數(shù)，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】令，將原式轉(zhuǎn)化，直接利用二項式展開式以及賦值法求出結(jié)果即可判斷選項.
【詳解】令，則原式轉(zhuǎn)化為，
對A，令，得，故A正確；
對B，由二項式定理得，故B錯誤；
對CD，令，得，令，得，
所以，
所以，故C正確，D錯誤.
故選：AC
易錯點4.混淆二項式系數(shù)與展開式系數(shù)致誤
4．（2024上·遼寧撫順·高二校聯(lián)考期末）設(shè)的小數(shù)部分為，則 .
【答案】7
【分析】先得到的整數(shù)部分為3，得到，利用二項式定理將其展開，求出答案.
【詳解】因為，所以的整數(shù)部分為3，
則，即，
所以
，
故.
故答案為：7
【方法五】 成果評定法
一、單選題
1．（2021下·全國·高三校聯(lián)考階段練習）二項式的展開式中的系數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先寫二項展開式中第r+1項的通項公式，再令解出r，代入通項公式求系數(shù)即可.
【詳解】由題意知，二項展開式中第r+1項的通項公式，，，，，，．
令得，
所以的系數(shù)為.
故選：A．
2．（2021下·北京·高二北京八十中?？计谥校┤舳検降恼归_式中的系數(shù)是84，則實數(shù)（ ）
A．2B．C．1D．
【答案】C
【分析】利用二項式展開式的第項公式，即可解出答案.
【詳解】二項式展開式的第項為.
又展開式中的系數(shù)是84，即.
.
故選：C.
3．（2023·陜西西安·西安市長安區(qū)第二中學校聯(lián)考模擬預測）設(shè)的小數(shù)部分為x，則（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】利用不等式放縮估計的整數(shù)部分為4，得到，即，然后利用二項式定理展開即得.
【詳解】由，得的整數(shù)部分為4，
則，所以，
即，
故.
故選:B
4．（2021上·北京·高三北京市八一中學校考期末）的展開式中的系數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】寫出二項展開式的通項，令的指數(shù)為，求出參數(shù)的值，代入通項即可求得結(jié)果.
【詳解】的展開式通項為，
令，解得，
因此，的展開式中的系數(shù)為.
故選：C.
5．在展開式中，含的項的系數(shù)是
A．36B．24C．－36D．－24
【答案】D
【分析】由，可知含的項有兩部分，即，進而可以求出答案．
【詳解】由題意知，含的項有兩部分，即，故系數(shù)為，
故答案為D.
【點睛】本題考查了二項式定理的運用，屬于中檔題．
6．（2023·廣東·統(tǒng)考二模）在的展開式中，所有有理項的系數(shù)之和為（ ）
A．84B．85C．127D．128
【答案】D
【分析】由題意得，結(jié)合展開式的通項公式即可求解.
【詳解】由題意知，
展開式的通項公式為，
當時，為有理項，
所以所有有理項的系數(shù)之和為.
故選：D.
7．（2022上·山東青島·高三統(tǒng)考開學考試）在的展開式中，常數(shù)項為（ ）
A．80B．C．160D．
【答案】D
【分析】根據(jù)二項式展開式的特征即可知中間項（第4項）為常數(shù)項.
【詳解】由于互為倒數(shù)，故常數(shù)項為第4項，即常數(shù)項為，
故選：D
8．（2020上·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學?？茧A段練習）在（x-2y）（x＋y）4的展開式中，x2y3的系數(shù)是（ ）
A．8B．10C．-8D．-10
【答案】C
【分析】依題意將原式變形為，再寫出的通項，計算可得；
【詳解】解：，的展開式的通項是，令，則，則的展開式中的系數(shù)為，令，則，則的展開式中的系數(shù)為，故展開式中的系數(shù)是，
故選：C.
二、多選題
9．（2022下·湖北·高二校聯(lián)考階段練習）下列說法正確的是( )
A．的展開式中，的系數(shù)為30
B．將標號為，，，，，的張卡片放入個不同的信封中，若每個信封放張，其中標號為，的卡片放入同一信封，則不同的方法共有種
C．已知，則
D．記，則
【答案】ACD
【分析】A：根據(jù)結(jié)構(gòu)可知，由2個y、1個x、2個構(gòu)成，據(jù)此即可作答；B：先抽一個信封裝卡片1和2，再將3、4、5、6分成兩組，將兩組分別放入兩個信封，據(jù)此即可求出不同的數(shù)量；C：根據(jù)排列數(shù)和組合數(shù)計算公式解方程即可；D：根據(jù)二項式系數(shù)求；令x＝－1和x＝0分別求和，據(jù)此即可求解．
【詳解】A選項：的展開式中，的系數(shù)為，故A正確；
B選項：將標號為，，，，，的張卡片放入個不同的信封中，若每個信封放張，其中標號為，的卡片放入同一信封，則不同的方法共有種(先抽一個信封裝卡片1和2，再將3、4、5、6均分成兩組，將兩組分別放入兩個信封)，故B錯誤；
C選項：∵，
∴，故C正確；
D選項：∵，
∴；
令x＝0得，；
令x＝－1得，；
∴，故D正確．
故選：ACD．
10．（2023下·江蘇連云港·高二統(tǒng)考期中）若的展開式中第5項的二項式系數(shù)最大，則的可能值為（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】BCD
【分析】根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)分別進行求解即可．
【詳解】當時，此時只有第4項二項式系數(shù)最大，此時不滿足條件，
當時，第4，第5項二項式系數(shù)最大，此時滿足條件，
當時，此時只有第5項二項式系數(shù)最大，此時滿足條件，
當時，第5，第6項二項式系數(shù)最大，此時滿足條件，
故選：BCD．
11．（2022上·重慶·高三重慶市長壽中學校?？茧A段練習）已知二項式的展開式中各項系數(shù)的和為,則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．
B．展開式中二項式系數(shù)和為128
C．展開式中項的系數(shù)為21
D．展開式中有3項有理項
【答案】BD
【分析】根據(jù)各項系數(shù)的和為,令即可得,可得選項A錯誤,二項式系數(shù)和即,即可判斷選項B的正誤,根據(jù)二項式定理寫出通項,使的冪次為1,解得項數(shù),即可得選項C的正誤,使通項中的冪次為有理數(shù)即可判斷選項D的正誤.
【詳解】解:由題可得,不妨令,
得,
所以,
故選項A錯誤;
展開式中二項式系數(shù)和為,
故選項B正確;
展開式的通項公式為,
令,解得,
展開式中項的系數(shù)為,
故選項C錯誤;
展開式的通項公式為,
當時,
為有理項,
故選項D正確.
故選:BD
12．（2023·高二單元測試）在二項式展開式中，下列說法正確的是（ ）
A．第三項的二項式系數(shù)為20B．所有項的二項式系數(shù)之和為64
C．有理項共有4項D．常數(shù)項為第五項
【答案】BCD
【分析】先寫出二項式展開式的通項公式,再逐個判斷選項即可.
【詳解】二項式展開式通項公式為,
對于:第三項的二項式系數(shù)為,故錯誤;
對于:所有項的二項式系數(shù)之和為,故正確;
對于:展開式中當時,共有4項有理項,故正確;
對于:當展開式通項為常數(shù)項時, ,令,
則,則常數(shù)項為第五項,故正確.
故選:
三、填空題
13．（2023下·四川綿陽·高二綿陽南山中學實驗學校?？计谥校┰诘恼归_式中，含項的系數(shù)為
【答案】192
【分析】根據(jù)二項式展開式的通項公式求得答案.
【詳解】二項式展開式的通項公式為，
令，得，
所以展開式中含項的系數(shù)為.
故答案為：192.
14．（2021下·廣東廣州·高二統(tǒng)考期末）二項式的展開式中常數(shù)項為，則含項的系數(shù)為 ．
【答案】15
【分析】利用二項式的展開式中的指數(shù)為0可得，再令的指數(shù)為2求解即可
【詳解】解：二項式的展開式的通項公式為，令，求得，
可得展開式中常數(shù)項為，．
則令，求得，可得含項的系數(shù)為，
故答案為：．
15．（2024上·遼寧撫順·高二校聯(lián)考期末）設(shè)的小數(shù)部分為，則 .
【答案】7
【分析】先得到的整數(shù)部分為3，得到，利用二項式定理將其展開，求出答案.
【詳解】因為，所以的整數(shù)部分為3，
則，即，
所以
，
故.
故答案為：7
16．（2022·貴州貴陽·高三貴陽一中?？茧A段練習）的展開式中的系數(shù)為 ．
【答案】12
【分析】利用二項展開式的通項公式求解.
【詳解】解：的展開式中含的項為：
，
所以的系數(shù)為12，
故答案為：12．
四、解答題
17．（2023上·上?！じ叨虾Ｊ械诙袑W校考階段練習）若.
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）令代入等式求出結(jié)果；
（2）令代入等式，再結(jié)合第一問等式組成方程組求出結(jié)果；
（3）先變形，再求含項的系數(shù)即可.
【詳解】（1）令，則，①
（2）令，則，②
令，則，
，
；
（3），
即為含項的系數(shù)，為，
則.
18．（2021·高二課時練習）已知.
（1）當n＝6時，求的值；
（2）化簡：.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）利用賦值法可求的值.
（2）在中 分別令和后可求的值.
【詳解】（1），
令，故，
令，故，
故.
（2）由二項式定理可得，
令，則；
令，則；
故.
19．（2021·高二課時練習）已知．
(1)寫出的展開式；
(2)化簡．
【答案】(1)答案見詳解
(2)1.
【分析】(1) 二項式定理的正向運用，直接套公式即可.
(2) 逆向使用二項式定理，將展開進行合并,即可得到答案.
【詳解】（1）因為則所以
（2）二項式定理逆向使用，將展開進行合并，
原式=
故答案為：答案見詳解；1.
20．（2021·高二課時練習）設(shè)函數(shù).
（1）求的展開式中系數(shù)最大的項；
（2）若，（為虛數(shù)單位），求值：
①；
②.
【答案】（1）70x4；（2）①；②24
【分析】（1）展開式中系數(shù)最大的項是第5項；
（2）（1+i）n＝-64，兩邊取模，求出n，利用（1+i）12＝（（ ）i＝-64，結(jié)合，，可得結(jié)論．
【詳解】（1）展開式中系數(shù)最大的項是第5項70 x4；
（2）由已知，（1+i）n＝-64，兩邊取模，得64，所以 n＝12
所以，
而（1+i）12＝（（ ）i＝-64，
所以0． .
又，，
故， ，即
【點睛】本題考查二項式定理的運用，考查學生分析解決問題的能力，考查復數(shù)的運算，屬于中檔題．
21．（2022上·高二單元測試）我們曾用組合模型發(fā)現(xiàn)了組合恒等式，這里所使用的方法，實際上是將一個量用兩種方法分別算一次，由結(jié)果相同來得到等式，這是一種非常有用的思想方法，叫做“算兩次”，對此，我們并不陌生，例如列方程時就要從不同的側(cè)面列出表示同一個量的代數(shù)式．
（1）某醫(yī)院有內(nèi)科醫(yī)生8名，外科醫(yī)生（）名，現(xiàn)要派3名醫(yī)生參加賑災(zāi)醫(yī)療隊，已知某內(nèi)科醫(yī)生必須參加的選法有66種，求的值；
（2）化簡：．
【答案】(1)5;(2)
【分析】（1）將原事件轉(zhuǎn)化為從剩下7名內(nèi)科醫(yī)生，外科醫(yī)生名，派2名醫(yī)生參加賑災(zāi)醫(yī)療隊，即可求解.
（2）結(jié)合二項式定理，將原式看作展開式中的系數(shù)減，即可求解.
【詳解】（1）內(nèi)科醫(yī)生8名，外科醫(yī)生名，現(xiàn)要派3名醫(yī)生參加賑災(zāi)醫(yī)療隊，某內(nèi)科醫(yī)生必須參加，該事件等同于從剩下7名內(nèi)科醫(yī)生，外科醫(yī)生名，派2名醫(yī)生參加賑災(zāi)醫(yī)療隊，即即解得.
（2）,
的系數(shù)
原式可以看作展開式中的系數(shù)減，即
22．（2021下·江蘇無錫·高二?？计谥校┰谡归_式中，第2，3，4項的二項式系數(shù)依次成等差數(shù)列.
（1）求展開式的所有項的系數(shù)和；
（2）證明展開式中沒有常數(shù)項；
（3）求展開式中的所有有理項.
【答案】(1)（2）見解析（3）
【分析】（1）由展開式中第2，3，4項的二項式系數(shù)依次成等差數(shù)列，可得：，整理得，，即可求得的值；再賦值x=1,得所有項的系數(shù)和（2）由通項公式得無解即可證明；（3）由通項公式得當時為有理項求解
【詳解】（1）因為展開式中第2，3，4項的二項式系數(shù)依次成等差數(shù)列，
，整理得，，即，
又，，的值為7.
令x=1,展開式的所有項的系數(shù)和
（2），令，不成立，所以展開式中沒有常數(shù)項.
（2）由（2）知當時展開式中的所有有理項為
對稱性
在(a＋b)n的展開式中，與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等，即Ceq \\al(m,n)＝Ceq \\al(n－m,n)
增減性
與最
大值
增減性：當keq \f(n＋1,2)時，二項式系數(shù)是逐漸減小的．最大值：當n為偶數(shù)時，中間一項的二項式系數(shù)最大；當n為奇數(shù)時，中間兩項的二項式系數(shù)，相等，且同時取得最大值
各二項
式系數(shù)
的和
(1)Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(2,n)＋…＋Ceq \\al(n,n)＝2n；
(2)Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(2,n)＋Ceq \\al(4,n)＋…＝Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(3,n)＋Ceq \\al(5,n)＋…＝2n－1

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