倍速學(xué)習(xí)四種方法
【方法一】 脈絡(luò)梳理法
知識(shí)點(diǎn)1.兩個(gè)計(jì)數(shù)原理及其簡(jiǎn)單應(yīng)用
知識(shí)點(diǎn)2.兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用
拓展1.分類加法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用
拓展2.分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用
拓展3..兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用
突破1.窮舉法在解決實(shí)際問(wèn)題中的運(yùn)用
突破2.用計(jì)數(shù)原理解決涂色問(wèn)題
【方法二】 實(shí)例探索法
題型1.分類加法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用
題型2.分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用
題型3.兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用
【方法三】差異對(duì)比法
易錯(cuò)點(diǎn)：計(jì)數(shù)時(shí)出現(xiàn)“重復(fù)”或“遺漏”
【方法四】 成果評(píng)定法
【知識(shí)導(dǎo)圖】
【倍速學(xué)習(xí)四種方法】
【方法一】脈絡(luò)梳理法
知識(shí)點(diǎn)1.兩個(gè)計(jì)數(shù)原理及其簡(jiǎn)單應(yīng)用
一、 分類加法計(jì)數(shù)原理
完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m＋n種不同的方法．
二、 分步乘法計(jì)數(shù)原理
完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m×n種不同的方法．
例一、單選題
1．（2024上·遼寧撫順·高二校聯(lián)考期末）音樂(lè)播放器里有15首中文歌曲和5首英文歌曲，任選1首歌曲進(jìn)行播放，則不同的選法共有（ ）
A．30種B．75種C．10種D．20種
2．（2023上·甘肅白銀·高二甘肅省靖遠(yuǎn)縣第一中學(xué)校考期末）甲?乙兩人從3門課程中各選修1門，則甲?乙所選的課程不相同的選法共有（ ）
A．6種B．12種C．3種D．9種
知識(shí)點(diǎn)2.兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用
一、 兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系
例二、多選題
3．（2023上·甘肅白銀·高二校考期末）用種不同的顏色涂圖中的矩形，要求相鄰的矩形涂色不同，不同的涂色方法總種數(shù)記為，則（ ）

A．B．
C．D．
4．（2023上·福建泉州·高三福建省泉州市培元中學(xué)校考階段練習(xí)）某人設(shè)計(jì)一項(xiàng)單人游戲，規(guī)則如下：先將一棋子放在如圖所示正方形（邊長(zhǎng)為2個(gè)單位）的頂點(diǎn)處，然后通過(guò)擲骰子來(lái)確定棋子沿正方形的邊按逆時(shí)針?lè)较蛐凶叩膯挝?，如果擲出的點(diǎn)數(shù)為，則棋子就按逆時(shí)針?lè)较蛐凶邆€(gè)單位，一直循環(huán)下去．某人拋擲三次骰子后棋子恰好又回到點(diǎn)處，則（ ）
A．三次骰子后所走的步數(shù)可以是12B．三次骰子的點(diǎn)數(shù)之和只可能有兩種結(jié)果
C．三次股子的點(diǎn)數(shù)之和超過(guò)10的走法有6種D．回到點(diǎn)處的所有不同走法共有27種
二、 兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用
用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決計(jì)數(shù)問(wèn)題時(shí)，最重要的是在開(kāi)始計(jì)算之前要仔細(xì)分析兩點(diǎn)：
一、要完成的“一件事”是什么；二、需要分類還是需要分步．
(1)分類要做到“不重不漏”，分類后再分別對(duì)每一類進(jìn)行計(jì)數(shù)，最后用分類加法計(jì)數(shù)原理求和，得到總數(shù)．
(2)分步要做到“步驟完整”，即完成了所有步驟，恰好完成任務(wù)．分類后再計(jì)算每一步的方法數(shù)，最后根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，把完成每一步的方法數(shù)相乘，得到總數(shù)．
拓展1.分類加法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用
單選題 （2024上·重慶·高三重慶南開(kāi)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知集合，且，用組成一個(gè)三位數(shù)，這個(gè)三位數(shù)滿足“十位上的數(shù)字比其它兩個(gè)數(shù)位上的數(shù)字都大”，則這樣的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為（ ）
A．14B．17C．20D．23
拓展2.分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用
2．單選題 （2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某游泳錦標(biāo)賽上有四名運(yùn)動(dòng)員甲、乙、丙、丁，他們每人參加項(xiàng)目且每人只能參加一個(gè)項(xiàng)目，有三個(gè)游泳項(xiàng)目供選擇，這四人參賽方案的種類共有（ ）
A．B．C．12D．9
拓展3..兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用
3．（2024上·甘肅·高二統(tǒng)考期末）“鶯啼岸柳弄春晴，柳弄春晴夜月明：明月夜晴春弄柳，晴春弄柳岸啼鶯.”這是清代女詩(shī)人吳絳雪的一首回文詩(shī)，“回文”是漢語(yǔ)特有的一種使用語(yǔ)序回環(huán)往復(fù)的修辭手法，而數(shù)學(xué)上也有類似這樣特征的一類“回文數(shù)”，如232，251152等，那么在所有五位正整數(shù)中，有且僅有兩位數(shù)字是偶數(shù)的“回文數(shù)”共有 個(gè).
突破1.窮舉法在解決實(shí)際問(wèn)題中的運(yùn)用
1．（2023上·河南駐馬店·高二校聯(lián)考期末）已知，則關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)解的有序數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)為 .
突破2.用計(jì)數(shù)原理解決涂色問(wèn)題
2．（2023·全國(guó)·高二課堂例題）在某設(shè)計(jì)活動(dòng)中，李明要用紅色和藍(lán)色填涂四個(gè)格子（如圖所示），要求每種顏色都用兩次，李明共有多少種不同的填涂方法？
【方法二】實(shí)例探索法
題型1.分類加法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用
1．（2023下·山東菏澤·高二校考階段練習(xí)）口袋中裝有8個(gè)白球和10個(gè)紅球每個(gè)球有不同編號(hào)，現(xiàn)從中取出2個(gè)球．
(1)至少有一個(gè)白球的取法有多少種？
(2)兩球的顏色相同的取法有多少種？
題型2.分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用
2．（2023·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）按序給出a，b兩類元素，a類中的元素排序?yàn)榧?、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛?壬、癸，b類中的元素排序?yàn)樽?、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、酉、戌、亥．在a，b兩類中各取1個(gè)元素組成1個(gè)排列，求a類中選取的元素排在首位，b類中選取的元素排在末位的排列的個(gè)數(shù)．
題型3.兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用
3．（2024上·遼寧遼陽(yáng)·高二統(tǒng)考期末）同一個(gè)宿舍的8名同學(xué)被邀請(qǐng)去看電影，其中甲和乙兩名同學(xué)要么都去，要么都不去，丙同學(xué)不去，其他人根據(jù)個(gè)人情況可選擇去，也可選擇不去，則不同的去法有（ ）
A．32種B．128種C．64種D．256種
【方法三】差異對(duì)比法
易錯(cuò)點(diǎn)：計(jì)數(shù)時(shí)出現(xiàn)“重復(fù)”或“遺漏”
1．（2023下·河南·高二河南大學(xué)附屬中學(xué)?？计谥校?025年河南省實(shí)行新高考，小明需要從物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地 理中選擇三科作為自己的選科組合，物理和歷史不能同時(shí)選擇，則小明不同的選科情況有 種．
2．（2023·全國(guó)·高二課堂例題）某市的有線電視可以接收中央臺(tái)12個(gè)頻道、本地臺(tái)10個(gè)頻道和其他省市46個(gè)頻道的節(jié)目．
(1)當(dāng)這些頻道播放的節(jié)目互不相同時(shí)，一臺(tái)電視機(jī)共可以選看多少個(gè)不同的節(jié)目？
(2)如果有3個(gè)頻道正在轉(zhuǎn)播同一場(chǎng)球賽，其余頻道正在播放互不相同的節(jié)目，一臺(tái)電視機(jī)共可以選看多少個(gè)不同的節(jié)目？
【方法四】 成果評(píng)定法
一、單選題
1．（2003·全國(guó)·高考真題）在直角坐標(biāo)系中，已知三邊所在直線的方程分別為，則內(nèi)部和邊上整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）的總數(shù)是（ ）
A．95B．91C．88D．75
2．（2022下·廣東深圳·高二深圳市光明區(qū)高級(jí)中學(xué)?？计谥校┠呈腥嗣襻t(yī)院急診科有3名男醫(yī)生，3名女醫(yī)生，內(nèi)科有5名男醫(yī)生，4名女醫(yī)生，現(xiàn)從該醫(yī)院急診科和內(nèi)科各選派1名男醫(yī)生和1名女醫(yī)生組成4人組，參加省人民醫(yī)院組織的交流會(huì)，則所有不同的選派方案有（ ）
A．180種B．56種C．29種D．15種
3．（2021上·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱三中校考開(kāi)學(xué)考試）一只小蟲(chóng)子欲從A點(diǎn)不重復(fù)經(jīng)過(guò)圖中的點(diǎn)或者線段，而最終到達(dá)目的地E，這只小蟲(chóng)子的不同走法共有（ ）
A．12種B．13種
C．14種D．15種
4．（2020·高二課時(shí)練習(xí)）張、王夫婦各帶一個(gè)小孩兒到上海迪士尼樂(lè)園游玩，購(gòu)票后依次入園，為安全起見(jiàn)，首尾一定要排兩位爸爸 ，另外兩個(gè)小孩要排在一起，則這6個(gè)人的入園順序的排法種數(shù)是
A．12B．24C．36D．48
5．（2022下·安徽安慶·高二安慶一中?？计谥校┈F(xiàn)有10元、20元、50元人民幣各一張，100元人民幣2張，從中至少取一張，共可組成不同的幣值種數(shù)是（ ）
A．15種B．31種C．24種D．23種
6．（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）甲?乙?丙?丁四位同學(xué)決定去黃鶴樓?東湖?漢口江灘游玩，每人只能去一個(gè)地方，漢口江灘一定要有人去，則不同游覽方案的種數(shù)為（ ）
A．65B．73C．70D．60.
7．（2021·高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，在，間有四個(gè)焊接點(diǎn)1，2，3，4，若焊接點(diǎn)脫落導(dǎo)致斷路，則電路不通，則焊接點(diǎn)脫落的不通情況有（ ）種.
A．9B．11C．13D．15
8．（2022下·福建泉州·高二福建省德化第一中學(xué)校考階段練習(xí)）重慶九宮格火鍋，是重慶火鍋獨(dú)特的烹飪方式.九宮格下面是相通的，實(shí)現(xiàn)了“底同火不同，湯通油不通”它把火鍋分為三個(gè)層次，不同的格子代表不同的溫度和不同的牛油濃度，其鍋具抽象成數(shù)學(xué)形狀如圖（同一類格子形狀相同）：
“中間格”火力旺盛，不宜久煮，適合放一些質(zhì)地嫩脆、頃刻即熟的食物；
“十字格”火力稍弱，但火力均勻，適合煮食，長(zhǎng)時(shí)間加熱以鎖住食材原香；
“四角格”屬文火，火力溫和，適合燜菜，讓食物軟糯入味.
現(xiàn)有6種不同食物（足夠量），其中1種適合放入中間格，3種適合放入十字格，2種適合放入四角格.現(xiàn)將九宮格全部放入食物，且每格只放一種，若同時(shí)可以吃到這六種食物（不考慮位置），則有多少種不同放法（ ）
A．36B．18C．9D．6
二、多選題
9．（2021下·重慶巴南·高二重慶市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）第三屆世界智能駕駛挑戰(zhàn)賽在天津召開(kāi)，小趙、小李、小羅、小王、小劉為五名志愿者，現(xiàn)有翻譯、安保、禮儀、服務(wù)四項(xiàng)不同的工作可供安排，則下列說(shuō)法正確的有（ ）
A．若五人每人可任選一項(xiàng)工作，則不同的選法有54種
B．若每項(xiàng)工作至少安排一人，則有120種不同的方案
C．若禮儀工作必須安排兩人，其余工作安排一人，則有60種不同的方案
D．已知五人身高各不相同，若安排五人拍照，前排2人，后排3人，后排要求身高最高的站中間，則有40種不同的站法
10．（2021下·江蘇蘇州·高二蘇州中學(xué)校考階段練習(xí)）現(xiàn)安排高二年級(jí)A，B，C三名同學(xué)到甲、乙、丙、丁四個(gè)工廠進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐，每名同學(xué)只能選擇一個(gè)工廠，且允許多人選擇同一個(gè)工廠，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．所有可能的方法有種
B．若工廠甲必須有同學(xué)去，則不同的安排方法有37種
C．若同學(xué)A必須去工廠甲，則不同的安排方法有16種
D．若三名同學(xué)所選工廠各不相同，則不同的安排方法有24種
11．（2021上·遼寧營(yíng)口·高二期末）現(xiàn)有不同的紅球4個(gè)，黃球5個(gè)，綠球6個(gè)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．從中任選1個(gè)球，有15種不同的選法
B．若每種顏色選出1個(gè)球，有120種不同的選法
C．若要選出不同顏色的2個(gè)球，有31種不同的選法
D．若要不放回地依次選出2個(gè)球，有210種不同的選法
12．（2022上·高二課時(shí)練習(xí)）（多選題）已知，，則方程可表示不同的橢圓的個(gè)數(shù)用式子表示為（ ）
A．B．
C．D．
三、填空題
13．（2021·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，將一個(gè)四棱錐的每一個(gè)頂點(diǎn)染一種顏色，并使同一條棱上的兩端點(diǎn)異色，如果只有4種顏色可供使用，則不同的染色方法有 種.
14．將紅、黑、藍(lán)、黃個(gè)不同的小球放入個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子至少放一個(gè)球，且紅球和藍(lán)球不能放在同一個(gè)盒子，則不同的放法的種數(shù)為 . (用數(shù)字作答)
15．某小區(qū)一單元共有6層，每層只有一家住戶.已知任意相鄰兩層樓的住戶在同一天至多有一家收到快遞，且任意相鄰三層樓的住戶在同一天至少有一家收到快遞，則在同一天這6家住戶收到快遞的可能情況共有 種.（用數(shù)字作答）
16．現(xiàn)有8本雜志，其中有3本是完全相同的文學(xué)雜志，還有5本是互不相同的數(shù)學(xué)雜志，從這8本里選取3本，則不同選法的種數(shù)為 ．
四、解答題
17．（2023·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）（1）用1，2，3，4，5，6，7這七個(gè)數(shù)字組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中偶數(shù)共有多少個(gè)？
（2）用1，2，3，4，5，6，7可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字，并且小于60000的正整數(shù)？
（3）從1，2，3，4，5，6，7這七個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)奇數(shù)和兩個(gè)偶數(shù)，組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中奇數(shù)共有多少個(gè)？
18．（2023·全國(guó)·高二課堂例題）某校在藝術(shù)節(jié)期間需要舉辦一場(chǎng)文娛演出晚會(huì)，現(xiàn)要從3名教師、4名男同學(xué)和5名女同學(xué)當(dāng)中選出若干人來(lái)主持這場(chǎng)晚會(huì)（任一人都可主持）．
(1)如果只需一人主持，共有多少種不同的選法？
(2)如果需要教師、男同學(xué)和女同學(xué)各一人共同主持，共有多少種不同的選法？
19．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知集合，，在中任取一元素，在中任取一元素，組成數(shù)對(duì)，則其中的數(shù)對(duì)有多少個(gè)?
20．（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）從6人中選取4人分別去A、B、C、D四個(gè)城市游覽，要求每個(gè)城市有一人游覽，而每人只游覽一個(gè)城市，且這6人中，甲、乙兩人都不去A地游覽．問(wèn)：不同的選擇方案共有多少種？
21．（2023下·新疆阿克蘇·高二?？茧A段練習(xí)）書架的第1層放有4本不同的計(jì)算機(jī)書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放2本不同的體育書.
(1)從書架的第1、2、3層各取1本書，有多少種不同的取法？
(2)從書架上任取兩本同學(xué)科的書，有多少種不同的取法？
22．（2023·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）某藥品研究所研制了5種消炎藥（，，，，）、4種退熱藥（，，，），現(xiàn)從中取出兩種消炎藥和一種退熱藥同時(shí)使用進(jìn)行療效試驗(yàn)，但已知，兩種藥必須同時(shí)使用，且，兩種藥不能同時(shí)使用，則不同的試驗(yàn)方案有多少種？分類加法計(jì)數(shù)原理
分步乘法計(jì)數(shù)原理
相同點(diǎn)
回答的都是有關(guān)做一件事的不同方法種數(shù)的問(wèn)題
不同點(diǎn)
針對(duì)的是“分類”問(wèn)題
不同點(diǎn)
各種方法相互獨(dú)立，用其中任何一種方法都可以做完這件事
各個(gè)步驟中的方法互相依存，只有每一個(gè)步驟都完成才算做完這件事

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數(shù)學(xué)選擇性必修 第三冊(cè)6.1 分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理習(xí)題
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人教A版 (2019)選擇性必修 第三冊(cè)6.1 分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理優(yōu)秀練習(xí)

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第三冊(cè)第六章 計(jì)數(shù)原理6.1 分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理精品課堂檢測(cè)

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