倍速學(xué)習(xí)四種方法
【方法一】 脈絡(luò)梳理法
知識點(diǎn)1.離散型隨機(jī)變量
知識點(diǎn)2.離散型隨機(jī)變量的分布列
拓展1.離散型隨機(jī)變量分布列性質(zhì)的應(yīng)用
拓展2.求離散型隨機(jī)變量的分布列
突破1.離散型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布列的求法
【方法二】 實(shí)例探索法
題型1.隨機(jī)變量的概念
題型2.離散型隨機(jī)變量的判定
題型3.離散型隨機(jī)變量的取值
題型4.離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)
題型5.離散型隨機(jī)變量的分布列
題型6.兩個相關(guān)隨機(jī)變量的分布列
題型7.兩點(diǎn)分布
【方法三】差異對比法
易錯點(diǎn)1.對離散型隨機(jī)變量的概念理解不清致誤
易錯點(diǎn)2.對題意理解不清
【方法四】 成果評定法
【知識導(dǎo)圖】
【倍速學(xué)習(xí)四種方法】
【方法一】脈絡(luò)梳理法
知識點(diǎn)1.離散型隨機(jī)變量
一、 隨機(jī)變量的概念、表示及特征
1．概念：一般地，對于隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間Ω中的每個樣本點(diǎn)ω都有唯一的實(shí)數(shù)X(ω)與之對應(yīng)，我們稱X為隨機(jī)變量．
2．表示：用大寫英文字母表示隨機(jī)變量，如X，Y，Z；用小寫英文字母表示隨機(jī)變量的取值，如x，y，z.
3．特征：隨機(jī)試驗(yàn)中，每個樣本點(diǎn)都有唯一的一個實(shí)數(shù)與之對應(yīng)，隨機(jī)變量有如下特征：
(1)取值依賴于樣本點(diǎn)．
(2)所有可能取值是明確的．
二、離散型隨機(jī)變量
可能取值為有限個或可以一一列舉的隨機(jī)變量，我們稱之為離散型隨機(jī)變量．
例1．單選題（2024·全國·高三專題練習(xí)）袋中有2個黑球、5個紅球，從中任取2個，可以作為隨機(jī)變量的是（ ）
A．取到的球的個數(shù)B．取到紅球的個數(shù)
C．至少取到一個紅球D．至少取到一個紅球的概率
知識點(diǎn)2.離散型隨機(jī)變量的分布列
離散型隨機(jī)變量的分布列及其性質(zhì)
1．定義：一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為x1，x2，…，xn，我們稱X取每一個值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1,2,3，…，n為X的概率分布列，簡稱分布列．
2．分布列的性質(zhì)
(1)pi≥0，i＝1,2，…，n.
(2)p1＋p2＋…＋pn＝1.
兩點(diǎn)分布
如果P(A)＝p，則P(eq \x\t(A))＝1－p，那么X的分布列為
我們稱X服從兩點(diǎn)分布或0－1分布．
例2．（2024·全國·高三專題練習(xí)）某縣教育局從縣直學(xué)校推薦的6名教師中任選3人去參加進(jìn)修活動，這6名教師中，語文、數(shù)學(xué)、英語教師各2人．
(1)求選出的數(shù)學(xué)教師人數(shù)多于語文教師人數(shù)的概率；
(2)設(shè)X表示選出的3人中數(shù)學(xué)教師的人數(shù)，求X的分布列．
拓展1.離散型隨機(jī)變量分布列性質(zhì)的應(yīng)用
1．單選題（2024上·遼寧·高二校聯(lián)考期末）設(shè)，隨機(jī)變量的分布列為：
則（ ）
A．B．C．D．
拓展2.求離散型隨機(jī)變量的分布列
2．（2024·湖南株洲·統(tǒng)考一模）品酒師需要定期接受品酒鑒別能力測試，測試方法如下：拿出n瓶外觀相同但品質(zhì)不同的酒讓其品嘗，要求按品質(zhì)優(yōu)劣為它們排序，經(jīng)過一段時間，等他等記憶淡忘之后，再讓他品嘗這n瓶酒，并重新按品質(zhì)優(yōu)劣為它們排序，這稱為一輪測試.設(shè)在第一次排序時被排為1，2，3，…，n的n種酒，在第二次排序時的序號為，并令，稱X是兩次排序的偏離度.評委根據(jù)一輪測試中的兩次排序的偏離度的高低為其評分.
(1)當(dāng)時，若等可能地為1，2，3的各種排列，求X的分布列；
(2)當(dāng)時，
①若等可能地為1，2，3，4的各種排列，計(jì)算的概率；
②假設(shè)某品酒師在連續(xù)三輪測試中，都有（各輪測試相互獨(dú)立），你認(rèn)為該品酒師的鑒別能力如何，請說明理由.
突破1.離散型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布列的求法
1．單選題（2023上·山東德州·高二?？茧A段練習(xí)）如圖，我國古代珠算算具算盤每個檔掛珠的桿上有顆算珠，用梁隔開，梁上面顆叫上珠，下面顆叫下珠，若從某一檔的顆算珠中任取顆，記上珠的個數(shù)為，則 （ ）
A．B．
C．D．
【方法二】實(shí)例探索法
題型1.隨機(jī)變量的概念
1．（2023上·高二課時練習(xí)）連續(xù)不斷地射擊某一目標(biāo)，首先擊中目標(biāo)需要的射擊次數(shù)是一個隨機(jī)變量，則表示的試驗(yàn)結(jié)果是 ．
題型2.離散型隨機(jī)變量的判定
2．多選題（2023上·高二課時練習(xí)）（多選）給出下列四個命題正確的是（ ）
A．某次數(shù)學(xué)期中考試前，其中一個考場30名考生中做對選擇題第12題的人數(shù)是隨機(jī)變量
B．黃河每年的最大流量是隨機(jī)變量
C．某體育館共有6個出口，散場后從某一出口退場的人數(shù)是隨機(jī)變量
D．方程根的個數(shù)是隨機(jī)變量
題型3.離散型隨機(jī)變量的取值
3．單選題（2023上·高二課時練習(xí)）隨機(jī)變量ξ的分布列如下：
其中，則等于（ ）
A．B．
C．D．
題型4.離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)
4．（2024上·吉林·高二校聯(lián)考期末）隨機(jī)變量的分布列如下表所示：
則 .
題型5.離散型隨機(jī)變量的分布列
5．（2023上·高二課時練習(xí)）已知隨機(jī)變量ξ的分布列為：
若，則實(shí)數(shù)的值可以是（ ）
A．5B．7
C．9D．10
題型6.兩個相關(guān)隨機(jī)變量的分布列
6．（2023上·高二課時練習(xí)）設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為：
求隨機(jī)變量的分布列．
題型7.兩點(diǎn)分布
7．（2024上·遼寧·高二校聯(lián)考期末）已知服從參數(shù)為0.6的兩點(diǎn)分布，則 .
【方法三】差異對比法
易錯點(diǎn)1.對離散型隨機(jī)變量的概念理解不清致誤
1．單選題（2023上·高二課時練習(xí)）下列表中能稱為隨機(jī)變量X的分布列的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．判斷題
（2023上·高二課時練習(xí)）判斷正誤（正確的寫正確，錯誤的寫錯誤）
（1）隨機(jī)變量的取值可以是有限個，也可以是無限個．( )
（2）在拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣試驗(yàn)中，“出現(xiàn)正面的次數(shù)”為隨機(jī)變量．( )
（3）隨機(jī)變量是用來表示不同試驗(yàn)結(jié)果的量．( )
（4）甲進(jìn)行3次射擊，甲擊中目標(biāo)的概率為，記甲擊中目標(biāo)的次數(shù)為ξ，則ξ的可能取值為1，2，3.( )
易錯點(diǎn)2.對題意理解不清
3．（2023上·遼寧·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）踢毽子在我國流傳很廣，有著悠久的歷史，是一項(xiàng)傳統(tǒng)民間體育活動.某次體育課上，甲、乙、1丙、丁四人一起踢毽子.毽子在四人中傳遞，先從甲開始，甲傳給乙、丙、丁的概率均為；當(dāng)乙接到毽子時，乙傳給甲、丙、丁的概率分別為，，；當(dāng)丙接到毽子時，丙傳給甲、乙、丁的概率分別為，，；當(dāng)丁接到毽子時，丁傳給甲、乙、丙的概率分別為，，.假設(shè)毽子一直沒有掉地上，經(jīng)過次傳毽子后，毽子被甲、乙、丙、丁接到的概率分別為，，，，已知.
(1)記丁在前2次傳毽子中，接到毽子的次數(shù)為，求的分布列；
(2)證明為等比數(shù)列，并判斷經(jīng)過150次傳毽子后甲接到毽子的概率與的大小.
【方法五】 成果評定法
一、單選題
1．（2021·高二課時練習(xí)）設(shè)是離散型隨機(jī)變量，則下列不一定能成為的概率分布列的一組概率的是（ ）
A．0.1，0.2，0.2，0.3，0.3
B．0.1，0.2，0.3，0.4
C．，（為實(shí)數(shù)）
D．，，，，（，）
2．（2023下·上海金山·高二華東師范大學(xué)第三附屬中學(xué)?？计谀┰O(shè)隨機(jī)變量X的分布列，則的值為（ ）
A．1B．C．D．
3．（2021·高二課時練習(xí)）一串鑰匙有6枚，只有一枚能打開鎖，依次試驗(yàn)，打不開的扔掉，直到找到能開鎖的鑰匙為止，則試驗(yàn)次數(shù)X的最大可能取值為（ ）
A．6B．5C．4D．2
4．（2023下·高二課時練習(xí)）設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布列如下：則（ ）
A．B．C．D．
5．（2023下·安徽宿州·高二安徽省泗縣第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若隨機(jī)變量的分布列如表，則的值為（ ）
A．B．C．D．
6．（2023下·高二課時練習(xí)）若隨機(jī)變量的概率分布如下：
則當(dāng)時，實(shí)數(shù)x的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2021·高二課時練習(xí)）設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為
若隨機(jī)變量Y=X-2，則P(Y=2)等于（ ）
A．0.3B．0.4C．0.6D．0.7
8．（2023上·高二課時練習(xí)）如果X是一個離散型隨機(jī)變量，則假命題是（ ）
A．X取每一個可能值的概率都是非負(fù)數(shù)
B．X取所有可能值的概率之和為1
C．X取某幾個值的概率等于分別取其中每個值的概率之和
D．X在某一范圍內(nèi)取值的概率大于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之和
二、多選題
9．（2022上·高二課時練習(xí)）(多選題)甲、乙兩人下象棋，贏了得3分，平局得1分，輸了得0分，共下三局.用表示甲的得分，則表示的可能結(jié)果為（ ）
A．甲贏三局
B．甲贏一局輸兩局
C．甲、乙平局三次
D．甲贏一局平兩局
10．（2023下·山東濰坊·高二統(tǒng)考期中）圍棋起源于中國，據(jù)先秦典籍《世本》記載：“堯造圍棋，丹朱善之”，至今已有四千多年的歷史.在某次圍棋比賽中，甲，乙兩人進(jìn)入決賽.決賽采用五局三勝制，即先勝三局的一方獲得比賽冠軍，比賽結(jié)束.假設(shè)每局比賽甲勝乙的概率都為，且每局比賽的勝負(fù)互不影響，記決賽中的比賽局?jǐn)?shù)為X，則（ ）
A．乙連勝三場的概率是
B．
C．
D．的最大值是
11．（2023下·江蘇常州·高二統(tǒng)考期中）“信息熵”是信息論中的一個重要概念，設(shè)隨機(jī)變量X的所有可能取值為，且，，定義X的信息熵，則下列說法中正確的是（ ）
A．當(dāng)時，
B．當(dāng)且時，
C．若，則隨著n的減小而減小
D．當(dāng)時，隨著的增大而減小
12．（2021·高二課時練習(xí)）下列變量中，不是離散型隨機(jī)變量的是（ ）
A．到年月日止，我國被確診的患新型冠狀病毒肺炎的人數(shù)
B．一只剛出生的大熊貓，一年以后的身高
C．某人在車站等出租車的時間
D．某人投籃次，可能投中的次數(shù)
三、填空題
13．（2023下·安徽滁州·高二安徽省定遠(yuǎn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知病毒在某溶液中的存活個數(shù)的概率滿足，已知只要該溶液中存在一個病毒，就可以導(dǎo)致生物死亡，則該溶液能夠?qū)е律锼劳龅母怕蕿? ．
14．（2023下·高二課時練習(xí)）若隨機(jī)變量服從二點(diǎn)分布，，則 .
15．（2022下·山東煙臺·高二統(tǒng)考期中）設(shè)隨機(jī)變量的分布列為，（，2，3），則a的值為 .
16．（2022·高二課時練習(xí)）設(shè)隨機(jī)變量的分布列如下：
其中，，…，構(gòu)成等差數(shù)列，則的最大值為 .
四、解答題
17．一個袋中裝有個形狀大小完全相同的小球，其中紅球有個，編號為、、；黑球有個，編號為、；白球有個，編號為.現(xiàn)從袋中一次隨機(jī)抽取個球.
（1）求取出的個球的顏色都不相同的概率；
（2）記取得號球的個數(shù)為隨機(jī)變量，求隨機(jī)變量的分布列.
18．（2024上·河南·高二校聯(lián)考期末）學(xué)校羽毛球社團(tuán)中的甲?乙?丙三名社員進(jìn)行羽毛球比賽，約定如下：先從甲?乙?丙三人中隨機(jī)選擇兩人打第一局，獲勝者與第三人進(jìn)行下一局的比賽，率先獲勝兩局者為優(yōu)勝者，比賽結(jié)束，且每局比賽均無平局.已知甲贏乙的概率為0.3，乙贏丙的概率為0.5，丙贏甲的概率為0.7.
(1)若甲?乙二人率先開局比賽，求比賽局?jǐn)?shù)的概率分布列；
(2)求甲成為優(yōu)勝者的概率.
19．（2024上·遼寧撫順·高二校聯(lián)考期末）某地要從2名男運(yùn)動員?4名女運(yùn)動員中隨機(jī)選派3人外出比賽.
(1)若選派的3人中恰有1名男運(yùn)動員和2名女運(yùn)動員，則共有多少種選派方法？
(2)設(shè)選派的3人中男運(yùn)動員與女運(yùn)動員的人數(shù)之差為，求的分布列.
20．（2024·全國·高三專題練習(xí)）北方某市組織中學(xué)生開展冰雪運(yùn)動的培訓(xùn)活動，并在培訓(xùn)結(jié)束后對學(xué)生進(jìn)行了考核，記考核成績不小于80分的為優(yōu)秀．為了了解本次培訓(xùn)活動的效果，在參加培訓(xùn)的學(xué)生中隨機(jī)抽取了60名學(xué)生的考核成績，如下表：
(1)從參加培訓(xùn)的學(xué)生中隨機(jī)選取1人，請根據(jù)表中數(shù)據(jù)，估計(jì)這名學(xué)生考核優(yōu)秀的概率；
(2)用分層抽樣的方法，在考核成績?yōu)榈膶W(xué)生中任取8人，再從這8人中隨機(jī)選取4人，記取到考核成績在的學(xué)生數(shù)為X，求X的分布列．
21．（2023上·吉林長春·高二東北師大附中?？计谀┠成虉鰹榱舜黉N規(guī)定顧客購買滿500元商品即可抽獎，最多有3次抽獎機(jī)會，每次抽中，可依次獲得10元，30元，50元獎金，若沒有抽中，則停止抽獎．顧客每次軸中后，可以選擇帶走所有獎金，結(jié)束抽獎；也可選擇繼續(xù)抽獎，若沒有抽中，則連同前面所得獎金全部歸零，結(jié)束抽獎．小李購買了500元商品并參與了抽獎活動，己知他每次抽中的概率依次為，如果第一次抽中選擇繼續(xù)抽獎的概率為，第二次抽中選擇繼續(xù)抽獎的概率為，且每次是否抽中互不影響．
(1)求小李第一次抽中且所得獎金歸零的概率；
(2)設(shè)小李所得獎金總數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列．
22．（2023上·遼寧沈陽·高二?？茧A段練習(xí)）學(xué)校舉行定點(diǎn)投籃比賽，規(guī)定每人投籃4次，投中一球得2分，沒有投中得0分，假設(shè)每次投籃投中與否是相互獨(dú)立的.已知小明每次投籃投中的概率都是.
(1)求小明在投籃過程中直到第三次才投中的概率；
(2)求小明在4次投籃后的總得分ξ的分布列X
0
1
P
1－p
p
5
8
9
1
2
3
4
0.1
0.3
ξ
－2
－1
0
1
2
3
P
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.1
0.3
m
X
－1
0
1
P
0.3
0.4
0.4
X
1
2
3
P
0.4
0.7
X
0
1
P
0.3
0.4
0.3
X
1
2
3
P
0.3
0.4
0.4
X
－1
0
1
2
P
1
2
3
4
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.1
0.3
m
1
2
3
4
5
6
P
成績
人數(shù)
5
5
15
25
10

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