倍速學(xué)習(xí)四種方法
【方法一】 脈絡(luò)梳理法
知識(shí)點(diǎn)1.條件概率
知識(shí)點(diǎn)2.乘法公式
知識(shí)點(diǎn)3.全概率公式
知識(shí)點(diǎn)4.貝頁(yè)斯公式
拓展1.條件概率的求解
拓展2.全概率公式的應(yīng)用
突破：全概率公式與貝葉斯公式的應(yīng)用
【方法二】 實(shí)例探索法
題型1.條件概率的概念與計(jì)算
題型2.事件的獨(dú)立性與條件概率的關(guān)系
題型3.乘法公式的應(yīng)用
題型4條件概率的綜合應(yīng)用
題型5.全概率公式的應(yīng)用
題型6.貝葉斯公式的應(yīng)用
題型7.全概率公式與貝葉斯公式的綜合應(yīng)用
【方法三】差異對(duì)比法
易錯(cuò)點(diǎn)：混淆“條件概率”與“交事件的概率”
【方法四】成果評(píng)定法
【知識(shí)導(dǎo)圖】
【倍速學(xué)習(xí)四種方法】
【方法一】脈絡(luò)梳理法
知識(shí)點(diǎn)1.條件概率
一、條件概率的概念
一般地，設(shè)A，B為兩個(gè)隨機(jī)事件，且P(A)>0，我們稱P(B|A)＝eq \f(P?AB?,P?A?)為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率．
二、 條件概率的性質(zhì)
設(shè)P(A)>0，則
(1)P(Ω|A)＝1.
(2)如果B和C是兩個(gè)互斥事件，則P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．
(3)設(shè)eq \x\t(B)和B互為對(duì)立事件，則P(eq \x\t(B)|A)＝1－P(B|A)．
例1．單選題（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）我國(guó)的生態(tài)環(huán)境越來越好，旅游的人越來越多．現(xiàn)有兩位游客慕名來江蘇旅游，他們分別從“太湖黿頭渚、蘇州拙政園、鎮(zhèn)江金山寺、常州恐龍園、南京夫子廟、揚(yáng)州瘦西湖”這6個(gè)景點(diǎn)中隨機(jī)選擇1個(gè)景點(diǎn)游玩．記事件A為“兩位游客中至少有一人選擇太湖黿頭渚”，事件為“兩位游客選擇的景點(diǎn)相同”，則等于（ ）
A．B．C．D．
知識(shí)點(diǎn)2.乘法公式
對(duì)任意兩個(gè)事件A與B，若P(A)>0，則P(AB)＝P(A)P(B|A)為概率的乘法公式．
例2．填空題（2024上·山東濱州·高三統(tǒng)考期末）甲和乙兩個(gè)箱子中各裝有10個(gè)除顏色外完全相同的球，其中甲箱中有4個(gè)紅球、3個(gè)白球和3個(gè)黑球，乙箱中有5個(gè)紅球、2個(gè)白球和3個(gè)黑球．先從甲箱中隨機(jī)取出一球放入乙箱，分別用、和表示由甲箱取出的球是紅球、白球和黑球的事件；再?gòu)囊蚁渲须S機(jī)取出一球，用B表示由乙箱取出的球是紅球的事件，則
知識(shí)點(diǎn)3.全概率公式
一般地，設(shè)A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，則對(duì)任意的事件B?Ω，有P(B)＝ P(Ai)P(B|Ai)，我們稱該公式為全概率公式．
例3．多選題（2024上·湖南長(zhǎng)沙·高三湖南師大附中?？茧A段練習(xí)）今年是共建“一帶一路”倡議提出十周年.某校進(jìn)行“一帶一路”知識(shí)了解情況的問卷調(diào)查，為調(diào)動(dòng)學(xué)生參與的積極性，凡參與者均有機(jī)會(huì)獲得獎(jiǎng)品.設(shè)置3個(gè)不同顏色的抽獎(jiǎng)箱，每個(gè)箱子中的小球大小相同質(zhì)地均勻，其中紅色箱子中放有紅球3個(gè)，黃球2個(gè)，綠球2個(gè)；黃色箱子中放有紅球4個(gè)，綠球2個(gè)；綠色箱子中放有紅球3個(gè)，黃球2個(gè)，要求參與者先從紅色箱子中隨機(jī)抽取一個(gè)小球，將其放入與小球顏色相同的箱子中，再?gòu)姆湃胄∏虻南渥又须S機(jī)抽取一個(gè)小球，抽獎(jiǎng)結(jié)束.若第二次抽取的是紅色小球，則獲得獎(jiǎng)品，否則不能獲得獎(jiǎng)品，已知甲同學(xué)參與了問卷調(diào)查，則（ ）
A．在甲先抽取的是黃球的條件下，甲獲得獎(jiǎng)品的概率為
B．在甲先抽取的不是紅球的條件下，甲沒有獲得獎(jiǎng)品的概率為
C．甲獲得獎(jiǎng)品的概率為
D．若甲獲得獎(jiǎng)品，則甲先抽取綠球的機(jī)會(huì)最小
知識(shí)點(diǎn)4.貝葉斯公式
設(shè)A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，則對(duì)任意的事件B?Ω，P(B)>0，有P(Ai|B)＝eq \f(P?Ai?P?B|Ai?,P?B?) = ，i＝1,2，…，n.
例4．（2023·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）現(xiàn)在一些大的建筑工程都實(shí)行招投標(biāo)制．在發(fā)包過程中，對(duì)參加招標(biāo)的施工企業(yè)的資質(zhì)（含施工質(zhì)量、信譽(yù)等）進(jìn)行調(diào)查和評(píng)定是非常重要的．設(shè)B=“被調(diào)查的施工企業(yè)資質(zhì)不好”，A=“被調(diào)查的施工企業(yè)資質(zhì)評(píng)定為不好”．由過去的資料知，．現(xiàn)已知在被調(diào)查的施工企業(yè)當(dāng)中有確實(shí)資質(zhì)不好，求評(píng)定為資質(zhì)不好的施工企業(yè)確實(shí)資質(zhì)不好的概率（精確到0.01）．
拓展1.條件概率的求解
1．（2024·廣東肇慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）小明去書店買了5本參考書，其中有2本數(shù)學(xué)，2本物理，1本化學(xué).小明從中隨機(jī)抽取2本，若2本中有1本是數(shù)學(xué)，則另1本是物理或化學(xué)的概率是 .
拓展2.全概率公式的應(yīng)用
2．（2024上·福建泉州·高三統(tǒng)考期末）一個(gè)袋子中有10個(gè)大小相同的球，其中紅球7個(gè)，黑球3個(gè).每次從袋中隨機(jī)摸出1個(gè)球，摸出的球不再放回.
(1)求第2次摸到紅球的概率；
(2)設(shè)第次都摸到紅球的概率為；第1次摸到紅球的概率為；在第1次摸到紅球的條件下，第2次摸到紅球的概率為；在第1，2次都摸到紅球的條件下，第3次摸到紅球的概率為.求；
(3)對(duì)于事件，當(dāng)時(shí)，寫出的等量關(guān)系式，并加以證明.
突破：全概率公式與貝葉斯公式的應(yīng)用
1．多選題（2024上·遼寧撫順·高二校聯(lián)考期末）在某班中，男生占，女生占，在男生中喜歡體育鍛煉的學(xué)生占，在女生中喜歡體育鍛煉的學(xué)生占，從這個(gè)班的學(xué)生中任意抽取一人.則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．抽到的學(xué)生是男生且喜歡體育鍛煉的概率為
B．抽到的學(xué)生喜歡體育鍛煉的概率為
C．若抽到的學(xué)生喜歡體育鍛煉，則該學(xué)生是男生的概率為
D．若抽到的學(xué)生喜歡體育段煉，則該學(xué)生是女生的概率為
【方法二】實(shí)例探索法
題型1.條件概率的概念與計(jì)算
1．（2024上·天津和平·高三統(tǒng)考期末）將3個(gè)黑球和2個(gè)白球放入一個(gè)不透明的盒中，各球除顏色不同外完全相同，現(xiàn)從盒中兩次隨機(jī)抽取球，每次抽取一個(gè)球．
（?。┤舻谝淮坞S機(jī)抽取一個(gè)球之后，將抽取出來的球放回盒中，第二次隨機(jī)抽取一個(gè)球，則兩次抽到顏色相同的球的概率是 ；
（ⅱ）若第一次隨機(jī)抽取一個(gè)球之后，抽取出來的球不放回盒中，第二次從盒中余下的球中隨機(jī)抽取一個(gè)球，則在已知兩次抽取的球顏色相同的條件下，第一次抽取的球是白球的概率是 ．
題型2.事件的獨(dú)立性與條件概率的關(guān)系
2．多選題（2023上·山東德州·高二校考階段練習(xí)）甲罐中有個(gè)紅球，個(gè)白球和個(gè)黑球，乙罐中有個(gè)紅球，個(gè)白球和個(gè)黑球球除顏色外，大小質(zhì)地均相同先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，分別以，和表示由甲罐中取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再?gòu)囊夜拗须S機(jī)取出一球，以表示由乙罐中取出的球是紅球的事件．下列結(jié)論正確的是（ ）
A．事件與相互獨(dú)立B．
C．D．
題型3.乘法公式的應(yīng)用
3．（2024上·上?！じ叨？计谀┠承Ｖ袑W(xué)生籃球隊(duì)集訓(xùn)前共有6個(gè)籃球，其中3個(gè)是新球（即沒有用過的球），3個(gè)是舊球（即至少用過一次的球）.每次訓(xùn)練都從中任意取出2個(gè)球，用完后放回.已知第一次訓(xùn)練時(shí)用過的球放回后都當(dāng)作舊球，則第二次訓(xùn)練時(shí)恰好取到1個(gè)新球的概率為 .
題型4條件概率的綜合應(yīng)用
4．（2024上·天津河北·高三統(tǒng)考期末）甲乙兩人射擊，甲射擊兩次，乙射擊一次.甲每次射擊命中的概率是，乙命中的概率是，兩人每次射擊是否命中都互不影響，則甲乙二人全部命中的概率為 ；在兩人至少命中兩次的條件下，甲恰好命中兩次的概率為 .
題型5.全概率公式的應(yīng)用
5．（2024·貴州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）甲、乙、丙為完全相同的三個(gè)不透明盒子，盒內(nèi)均裝有除顏色外完全相同的球.甲盒裝有4個(gè)白球，8個(gè)黑球，乙盒裝有1個(gè)白球，5個(gè)黑球，丙盒裝有3個(gè)白球，3個(gè)黑球.
(1)隨機(jī)抽取一個(gè)盒子，再?gòu)脑摵凶又须S機(jī)摸出1個(gè)球，求摸出的球是黑球的概率；
(2)已知（1）中摸出的球是黑球，求此球?qū)儆谝蚁渥拥母怕?
題型6.貝葉斯公式的應(yīng)用
6．（2023·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）某一地區(qū)患有癌癥的人占0.005，患者對(duì)一種試驗(yàn)反應(yīng)是陽(yáng)性的概率為0.95，正常人對(duì)這種試驗(yàn)反應(yīng)是陽(yáng)性的概率為0.04．現(xiàn)抽查了一個(gè)人，試驗(yàn)反應(yīng)是陽(yáng)性，則此人是癌癥患者的概率有多大？
題型7.全概率公式與貝葉斯公式的綜合應(yīng)用
7．（2024·天津·?？寄M預(yù)測(cè)）第三次人工智能浪潮滾滾而來，以ChatGPT發(fā)布為里程碑，開辟了人機(jī)自然交流的新紀(jì)元．ChatGPT所用到的數(shù)學(xué)知識(shí)并非都是遙不可及的高深理論，概率就被廣泛應(yīng)用于ChatGPT中，某學(xué)習(xí)小組設(shè)計(jì)了如下問題進(jìn)行研究：甲和乙兩個(gè)箱子中各裝有5個(gè)大小相同的小球，其中甲箱中有3個(gè)紅球、2個(gè)白球，乙箱中有4個(gè)紅球、1個(gè)白球，從甲箱中隨機(jī)抽出2個(gè)球，在已知抽到紅球的條件下，則2個(gè)球都是紅球的概率為 ；擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，如果點(diǎn)數(shù)小于等于4，從甲箱子中隨機(jī)抽出1個(gè)球；如果點(diǎn)數(shù)大于等于5，從乙箱子中隨機(jī)抽出1個(gè)球，若抽到的是紅球，則它是來自乙箱的概率是 ．
【方法三】差異對(duì)比法
易錯(cuò)點(diǎn)：混淆“條件概率”與“交事件的概率”
1．判斷題（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）判斷正誤（正確的填“正確”，錯(cuò)誤的填“錯(cuò)誤”）
（1）.( )
（2）事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的概率，相當(dāng)于同時(shí)發(fā)生的概率．( )
（3）.( )
（4）.( )
【方法五】 成果評(píng)定法
一、單選題
1．（2023下·浙江·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）從中依次不放回地取2個(gè)數(shù)，事件為“第一次取到的是偶數(shù)”，事件為“第二次取到的是3的整數(shù)倍”，則等于（ ）
A．B．C．D．
2．（2021·高二課時(shí)練習(xí)）英國(guó)數(shù)學(xué)家貝葉斯（1701-1763）在概率論研究方面成就顯著，創(chuàng)立了貝葉斯統(tǒng)計(jì)理論，對(duì)于統(tǒng)計(jì)決策函數(shù)、統(tǒng)計(jì)推斷等做出了重要貢獻(xiàn).根據(jù)貝葉斯統(tǒng)計(jì)理論，事件A，B，（A的對(duì)立事件）存在如下關(guān)系：.若某地區(qū)一種疾病的患病率是0.01，現(xiàn)有一種試劑可以檢驗(yàn)被檢者是否患病.已知該試劑的準(zhǔn)確率為99%，即在被檢驗(yàn)者患病的前提下用該試劑檢測(cè)，有99%的可能呈現(xiàn)陽(yáng)性；該試劑的誤報(bào)率為10%，即在被檢驗(yàn)者未患病的情況下用該試劑檢測(cè)，有10%的可能會(huì)誤報(bào)陽(yáng)性.現(xiàn)隨機(jī)抽取該地區(qū)的一個(gè)被檢驗(yàn)者，用該試劑來檢驗(yàn)，結(jié)果呈現(xiàn)陽(yáng)性的概率為（ ）
A．0.01B．0.0099C．0.1089D．0.1
3．（2021上·山東淄博·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）甲袋中有個(gè)白球、個(gè)紅球，乙袋中有個(gè)白球、個(gè)紅球，從兩個(gè)袋中任選一袋，從中任取一球，則取到的球是紅球的概率為（ ）
A．B．C．D．
4．（2023下·江蘇·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）從3，4，5，6，7，8中任取2個(gè)不同的數(shù)，事件A=“取到的2個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)”，事件B=“取到的2個(gè)數(shù)均為偶數(shù)”，則P（B|A）等于（ ）
A．0.5B．0.4C．0.25D．0.125
5．（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）小明每天上學(xué)途中必須經(jīng)過2個(gè)紅綠燈，經(jīng)過一段時(shí)間觀察發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律：在第一個(gè)紅綠燈處遇到紅燈的概率是，連續(xù)兩次遇到紅燈的概率是，則在第一個(gè)紅綠燈處小明遇到紅燈的條件下，第二個(gè)紅綠燈處小明也遇到紅燈的概率為（ ）
A．B．C．D．
6．（2022下·江蘇泰州·高二泰州中學(xué)校考期中）醫(yī)生按照某流行病檢驗(yàn)指標(biāo)將人群分為感染者和正常者，針對(duì)該病的快速檢驗(yàn)試劑有陰性和陽(yáng)性2種結(jié)果．根據(jù)前期研究數(shù)據(jù)，該試劑將感染者判為陽(yáng)性的概率是80%，將正常者判為陽(yáng)性的概率是10%．專家預(yù)測(cè)，某小區(qū)有5%的人口感染了該病，則在單次檢驗(yàn)的結(jié)果為陰性的人群中，感染者的概率是（ ）
A．B．C．1%D．10%
7．（2021·高二課時(shí)練習(xí)）已知，，等于
A．B．C．D．
8．（2023上·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）某人從A地到B地，乘火車、輪船、飛機(jī)的概率分別為0.3，0.3，0.4，乘火車遲到的概率為0.2，乘輪船遲到的概率為0.3，乘飛機(jī)遲到的概率為0.4，則這個(gè)人從A地到B地遲到的概率是（ ）
A．0.16B．0.31C．0.4D．0.32
二、多選題
9．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）某兒童樂園有甲、乙兩個(gè)游樂場(chǎng)，小王同學(xué)第一天去甲、乙兩家游樂場(chǎng)游玩的概率分別為0.4和0.6．如果他第一天去甲游樂場(chǎng)，那么第二天去甲游樂場(chǎng)的概率為0.6；如果第一天去乙游樂場(chǎng)，那么第二天去甲游樂場(chǎng)的概率為0.5，則王同學(xué)（ ）
A．第二天去甲游樂場(chǎng)的概率為0.54
B．第二天去乙游樂場(chǎng)的概率為0.44
C．第二天去了甲游樂場(chǎng)，則第一天去乙游樂場(chǎng)的概率為
D．第二天去了乙游樂場(chǎng)，則第一天去甲游樂場(chǎng)的概率為
10．（2023下·重慶沙坪壩·高二重慶一中?？茧A段練習(xí)）已知編號(hào)為1，2，3的三個(gè)盒子，其中1號(hào)盒子內(nèi)裝有兩個(gè)1號(hào)球，一個(gè)2號(hào)球和一個(gè)3號(hào)球；2號(hào)盒子內(nèi)裝有兩個(gè)1號(hào)球，一個(gè)3號(hào)球；3號(hào)盒子內(nèi)裝有三個(gè)1號(hào)球，兩個(gè)2號(hào)球.若第一次先從1號(hào)盒子內(nèi)隨機(jī)抽取1個(gè)球，將取出的球放入與球同編號(hào)的盒子中，第二次從該盒子中任取一個(gè)球，則下列說法正確的是（ ）
A．在第一次抽到2號(hào)球的條件下，第二次抽到1號(hào)球的概率為
B．第二次抽到3號(hào)球的概率為
C．如果第二次抽到的是3號(hào)球，則它來自1號(hào)盒子的概率最大
D．如果將5個(gè)不同的小球放入這三個(gè)盒子內(nèi)，每個(gè)盒子至少放1個(gè)，則不同的放法有180種
11．（2023下·遼寧撫順·高二校聯(lián)考期中）已知為兩個(gè)隨機(jī)事件，且，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若，則
B．
C．若B和C是兩個(gè)互斥事件，則
D．當(dāng)時(shí)，
12．（2024上·河南南陽(yáng)·高三方城第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期末）某公司成立了甲、乙、丙三個(gè)科研小組，針對(duì)某技術(shù)難題同時(shí)進(jìn)行科研攻關(guān)，攻克該技術(shù)難題的小組都會(huì)獲得獎(jiǎng)勵(lì)．已知甲、乙、丙三個(gè)小組攻克該技術(shù)難題的概率分別為，且三個(gè)小組各自獨(dú)立進(jìn)行科研攻關(guān)，則（ ）
A．該技術(shù)難題被攻克的概率為：
B．在該技術(shù)難題被攻克的條件下，只有一個(gè)小組獲得獎(jiǎng)勵(lì)的概率為
C．在丙小組攻克該技術(shù)難題的條件下，恰有兩個(gè)小組獲得獎(jiǎng)勵(lì)的概率為
D．在該技術(shù)難題被兩個(gè)小組攻克的條件下，這兩個(gè)小組是乙和丙的概率最大
三、填空題
13．（2023下·湖南·高二臨澧縣第一中學(xué)校聯(lián)考期中）從編號(hào)為1~5號(hào)的球中隨機(jī)抽取一個(gè)球，記編號(hào)為i，再?gòu)氖Ｏ碌那蛑腥〕鲆粋€(gè)球，記編號(hào)為j，在的條件下，的概率為 ．
14．一只袋內(nèi)裝有大小相同的3個(gè)白球，4個(gè)黑球，從中依次取出2個(gè)小球，已知第一次取出的是黑球，則第二次取出白球的概率是 ．
15．（2023下·北京西城·高二統(tǒng)考期末）拋擲甲、乙兩枚質(zhì)地均勻的骰子，在甲骰子的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)的條件下，乙骰子的點(diǎn)數(shù)不小于甲骰子點(diǎn)數(shù)的概率為 ．
16． 10張獎(jiǎng)券中有3張是有獎(jiǎng)的，某人從中依次抽兩張，則在第一次抽到中獎(jiǎng)券的條件下，第二次也抽到中獎(jiǎng)券的概率為 ．
四、解答題
17．（2023上·重慶北碚·高二西南大學(xué)附中校考期中）為了考察學(xué)生對(duì)高中數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握程度，準(zhǔn)備了甲、乙兩個(gè)不透明紙箱．其中，甲箱有2道概念敘述題，2道計(jì)算題；乙紙箱中有2道概念敘述題，3道計(jì)算題（所有題目均不相同）．現(xiàn)有A，B兩個(gè)同學(xué)來抽題回答；每個(gè)同學(xué)在甲或乙兩個(gè)紙箱中逐個(gè)隨機(jī)抽取兩道題作答．每個(gè)同學(xué)先抽取1道題作答，答完題目后不放回，再抽取一道題作答（不在題目上作答）．兩道題答題結(jié)束后，再將這兩道題目放回原紙箱．
(1)如果A同學(xué)從甲箱中抽取兩道題，則第二題抽到的是概念敘述題的概率；
(2)如果A同學(xué)從甲箱中抽取兩道題，解答完后，誤把題目放到了乙箱中．B同學(xué)接著抽取題目回答，若他從乙箱中抽取兩道題目，求第一個(gè)題目抽取概念敘述題的概率．
18．（2023上·重慶北碚·高二西南大學(xué)附中?？计谥校榱丝疾鞂W(xué)生對(duì)高中數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握程度，準(zhǔn)備了甲、乙兩個(gè)不透明紙箱．其中，甲箱有2道概念敘述題，2道計(jì)算題；乙紙箱中有2道概念敘述題，3道計(jì)算題（所有題目均不相同）．現(xiàn)有A，B兩個(gè)同學(xué)來抽題回答；每個(gè)同學(xué)在甲或乙兩個(gè)紙箱中逐個(gè)隨機(jī)抽取兩道題作答．每個(gè)同學(xué)先抽取1道題作答，答完題目后不放回，再抽取一道題作答（不在題目上作答）．兩道題答題結(jié)束后，再將這兩道題目放回原紙箱．
(1)如果A同學(xué)從甲箱中抽取兩道題，則第二題抽到的是概念敘述題的概率；
(2)如果A同學(xué)從甲箱中抽取兩道題，解答完后，誤把題目放到了乙箱中．B同學(xué)接著抽取題目回答，若他從乙箱中抽取兩道題目，求第一個(gè)題目抽取概念敘述題的概率．
19．（2024上·吉林·高二校聯(lián)考期末）中國(guó)傳統(tǒng)文化中，過春節(jié)吃餃子，餃子是我國(guó)的傳統(tǒng)美食，不僅味道鮮美而且寓意美好.現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)箱子裝有大小、外觀均相同的速凍餃子，已知甲箱中有3盒肉餡的“餃子”，2盒三鮮餡的“餃子”和5盒青菜餡的“餃子”,乙箱中有3盒肉餡的“餃子”，3個(gè)三鮮餡的“餃子”和4個(gè)青菜餡的“餃子”.問：
(1)從甲箱中取出一盒“餃子”是肉餡的概率是多少？
(2)若依次從甲箱中取出兩盒“餃了”，求第一盒是肉餡的條件下，第二盒是三鮮餡的概率；
(3)若先從甲箱中隨機(jī)取出一盒“餃子”放入乙箱，再?gòu)囊蚁渲须S機(jī)取出一盒“餃子”，從乙箱取出的“餃子”是肉餡的概率.
20．（2024上·湖南長(zhǎng)沙·高三長(zhǎng)沙一中?？茧A段練習(xí)）全民健身創(chuàng)精彩，健康成長(zhǎng)蟩未來.為此某校每年定期開展體育藝術(shù)節(jié)活動(dòng)，活動(dòng)期間舉辦乒乓球比賽.假設(shè)甲乙兩人進(jìn)行一場(chǎng)比賽，在每一局比賽中，都不會(huì)出現(xiàn)平局，甲獲勝的概率為（）.
(1)若比賽采用五局三勝制，且，則求甲在第一局失利的情況下，反敗為勝的概率；
(2)若比賽有兩種賽制，五局三勝制和三局兩勝制，且，試分析哪種賽制下甲獲勝的概率更大？并說明理由.
21．（2023·廣西南寧·南寧三中校考模擬預(yù)測(cè)）第三次人工智能浪潮滾滾而來，以ChatGPT發(fā)布為里程碑，開辟了人機(jī)自然交流的新紀(jì)元．ChatGPT所用到的數(shù)學(xué)知識(shí)并非都是遙不可及的高深理論，概率就被廣泛應(yīng)用于ChatGPT中．某學(xué)習(xí)小組設(shè)計(jì)了如下問題進(jìn)行探究：甲和乙兩個(gè)箱子中各裝有5個(gè)大小相同的小球，其中甲箱中有3個(gè)紅球、2個(gè)白球，乙箱中有4個(gè)紅球、1個(gè)白球．
(1)從甲箱中隨機(jī)抽出2個(gè)球，在已知抽到紅球的條件下，求2個(gè)球都是紅球的概率；
(2)擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，如果點(diǎn)數(shù)小于等于4，從甲箱子隨機(jī)抽出1個(gè)球；如果點(diǎn)數(shù)大于等于5，從乙箱子中隨機(jī)抽出1個(gè)球．若抽到的是紅球，求它是來自乙箱的概率．
22．（2023上·貴州貴陽(yáng)·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）某校高一、高二、高三年級(jí)的學(xué)生人數(shù)之比為3:3:4，三個(gè)年級(jí)的學(xué)生都報(bào)名參加公益志愿活動(dòng)，經(jīng)過選拔，高一年級(jí)有的學(xué)生成為公益活動(dòng)志愿者，高二、高三年級(jí)各有的學(xué)生成為公益活動(dòng)志愿者．
(1)設(shè)事件“在三個(gè)年級(jí)中隨機(jī)抽取的1名學(xué)生是志愿者”；事件“在三個(gè)年級(jí)中隨機(jī)抽取1名學(xué)生，該生來自高年級(jí)”（）．請(qǐng)完成下表中不同事件的概率：
(2)若在三個(gè)年級(jí)中隨機(jī)抽取1名學(xué)生是志愿者，根據(jù)以上表中所得數(shù)據(jù)，求該學(xué)生來自于高一年級(jí)的概率．事件概率
概率值

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