倍速學習四種方法
【方法一】 脈絡梳理法
知識點1.離散型隨機變量的均值
知識點2.離散型隨機變量的方差
拓展：離散型隨機變量均值與方差的定義與性質(zhì)
突破：均值與方差在決策中的應用
【方法二】 實例探索法
題型1.求離散型隨機變量的均值（數(shù)學期望）
題型2.離散型隨機變量均值的性質(zhì)
題型3.離散型隨機變量均值的應用
題型4離散型隨機變量的方差
題型5.離散型隨機變量方差的性質(zhì)
題型6.離散型隨機變量的方差的應用
【方法三】差異對比法
易錯點1.求隨機變量的均值時因分布列不準確致誤
易錯點2.錯用公式致誤
【方法四】成果評定法
【知識導圖】
【倍速學習五種方法】
【方法一】脈絡梳理法
知識點1.離散型隨機變量的均值
一 離散型隨機變量的均值
1．離散型隨機變量的均值的概念
一般地，若離散型隨機變量X的分布列為
則稱E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn＝為隨機變量X的均值或數(shù)學期望．
2．離散型隨機變量的均值的意義
均值是隨機變量可能取值關于取值概率的加權平均數(shù)，它綜合了隨機變量的取值和取值的概率，反映了隨機變量取值的平均水平．
3．離散型隨機變量的均值的性質(zhì)
若Y＝aX＋b，其中a，b均是常數(shù)(X是隨機變量)，則Y也是隨機變量，且有E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
證明如下：如果Y＝aX＋b，其中a，b為常數(shù)，X是隨機變量，那么Y也是隨機變量．因此P(Y＝axi＋b)＝P(X＝xi)，i＝1,2,3，…，n，所以Y的分布列為
于是有E(Y)＝(ax1＋b)p1＋(ax2＋b)p2＋…＋(axi＋b)pi＋…＋(axn＋b)pn＝a(x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn)＋b(p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn)＝aE(X)＋b，即E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
思考 離散型隨機變量的均值與樣本平均值之間的關系如何？
答案 (1)區(qū)別：隨機變量的均值是一個常數(shù)，它不依賴于樣本的抽取，而樣本平均值是一個隨機變量，它隨樣本抽取的不同而變化．
(2)聯(lián)系：對于簡單的隨機樣本，隨著樣本容量的增加，樣本平均值越來越接近于總體的均值．
二、 兩點分布的均值
如果隨機變量X服從兩點分布，那么E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p.
例1．（2023上·全國·高三專題練習）已知隨機變量的分布列為
則 ； .
知識點2.離散型隨機變量的方差
離散型隨機變量的方差、標準差
設離散型隨機變量X的分布列如表所示．
我們用X所有可能取值xi與E(X)的偏差的平方(x1－E(X))2，(x2－E(X))2，…，(xn－E(X))2，關于取值概率的加權平均，來度量隨機變量X取值與其均值E(X)的偏離程度．我們稱D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝(xi－E(X))2pi為隨機變量X的方差(variance)，有時也記為Var(X)，并稱eq \r(D?X?)為隨機變量X的標準差(standard deviatin)，記為σ(X)．
二、 離散型隨機變量方差的性質(zhì)
1．設a，b為常數(shù)，則D(aX＋b)＝a2D(X)．
2．D(c)＝0(其中c為常數(shù))．
例2.（2024上·遼寧遼陽·高二統(tǒng)考期末）小明參加某射擊比賽，射中得1分，未射中扣1分，已知他每次能射中的概率為，記小明射擊2次的得分為X，則（ ）
A．B．C．D．
拓展：離散型隨機變量均值與方差的定義與性質(zhì)
3．（2024·全國·高三專題練習）已知X的分布列為
則下列結論正確的是（ ）．
A．B．C．D．
突破：均值與方差在決策中的應用
4．（2021上·重慶黔江·高三重慶市黔江中學校?？茧A段練習）為回饋顧客，某商場擬通過摸球兌獎的方式對500位顧客進行獎勵，規(guī)定：每位顧客從一個裝有4個標有面值的球的袋中一次性隨機摸出2個球，球上所標的面值之和為該顧客所獲的獎勵額.
(1)若袋中所裝的4個球中有1個所標的面值為45元，其余3個均為15元，求顧客所獲的獎勵額為60元的概率；
(2)商場對獎勵總額的預算是30000元，為了使顧客得到的獎勵總額盡可能符合商場的預算且每位顧客所獲的獎勵額相對均衡，請從如下兩種方案中選擇一種，并說明理由.方案一：袋中的4個球由2個標有面值15元和2個標有面值45元的兩種球組成；方案二：袋中的4個球由2個標有面值20元和2個標有面值40元的兩種球組成.
【方法二】實例探索法
題型1.求離散型隨機變量的均值（數(shù)學期望）
1．（2023下·北京懷柔·高二?？计谥校┮阎遥涬S機變量為x，y，z中的最大值，則 .
題型2.離散型隨機變量均值的性質(zhì)
2．多選題（2023上·高二課時練習）隨機變量和，其中，且，若的分布列如表：
則下列正確的是（ ）
A．B．
C．D．
題型3.離散型隨機變量均值的應用
3．（2024上·山東濱州·高三統(tǒng)考期末）杭州亞運會的三個吉祥物是琮琮、宸宸和蓮蓮，他們分別代表了世界遺產(chǎn)良渚古城遺址、京杭大運河和西湖，分別展現(xiàn)了不屈不撓、堅強剛毅的拼搏精神，海納百川的時代精神和精致和諧的人文精神．某經(jīng)銷商提供如下兩種方式購買吉祥物，方式一：以盲盒方式購買，每個盲盒20元，盲盒外觀完全相同，內(nèi)部隨機放有琮琮、宸宸和蓮蓮三款中的一款或者為空盒，只有拆開才會知道購買情況，買到各種盲盒是等可能的；方式二：直接購買吉祥物，每個30元．
(1)小明若以方式一購買吉祥物，每次購買一個盲盒并拆開．求小明第3次購買時恰好首次出現(xiàn)與已買到的吉祥物款式相同的概率；
(2)為了集齊三款吉祥物，現(xiàn)有兩套方案待選，方案一：先購買一個盲盒，再直接購買剩余的吉祥物；方案二：先購買兩個盲盒，再直接購買剩余吉祥物．若以所需費用的期望值為決策依據(jù)，小明應選擇哪套方案？
題型4離散型隨機變量的方差
2．單選題（2024上·河南南陽·高二南陽市第五中學校校聯(lián)考期末）已知隨機變量，滿足，且，則（ ）
A．16B．8C．4D．
題型5.離散型隨機變量方差的性質(zhì)
5．（2024上·遼寧遼陽·高二統(tǒng)考期末）已知某人每次投籃的命中率為，投進一球得1分，投不進得0分，記投籃一次的得分為X，則的最大值為 ．
題型6.離散型隨機變量的方差的應用
6．（2023上·安徽·高三安徽省懷遠第一中學校聯(lián)考階段練習）投資甲，乙兩種股票，每股收益的分布列分別如表1和表2所示．
表1 股票甲收益的分布列
表2 股票乙收益的分布列
關于兩種股票，下列結論正確的是（ ）
A．B．
C．投資股票甲的期望收益較大D．投資股票甲比投資股票乙風險高
【方法三】差異對比法
易錯點1.求隨機變量的均值時因分布列不準確致誤
1．（2023上·四川雅安·高三校聯(lián)考期中）為了促進消費，某商場針對會員客戶推出會員積分兌換商品活動：每位會員客戶可在價值80元，90元，100元的，，三種商品中選擇一種使用積分進行兌換，每10積分可兌換1元.已知參加活動的甲、乙兩位客戶各有1000積分，且甲兌換，，三種商品的概率分別為，，，乙兌換，，三種商品的概率分別為，，，且他們兌換何種商品相互獨立.
(1)求甲、乙兩人兌換同一種商品的概率；
(2)記為兩人兌換商品后的積分總余額，求的分布列與期望
易錯點2.錯用公式致誤
2．多選題（2023·浙江臺州·統(tǒng)考二模）已知,隨機變量的分布列為:
則( )
A．B．
C．D．
【方法四】 成果評定法
一、單選題
1．（2023·高二課時練習）兩點分布也叫分布，已知隨機變量服從參數(shù)為的兩點分布，則下列選項中不正確的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022下·廣東廣州·高二統(tǒng)考期末）已知隨機變量X的分布列如下表(其中a為常數(shù))
則下列計算結果正確的是（ ）
A．B．C． D．
3．（2021下·全國·高三校聯(lián)考階段練習）已知隨機變量的分布列是
隨機變量的分布列是
以下錯誤的為（ ）
A．B．
C．D．
4．（2021·高二課時練習）已知隨機變量X滿足D(X)＝2，則D(3X＋2)＝（ ）
A．6B．8
C．18D．20
5．（2020下·全國·高二校聯(lián)考階段練習）已知甲盒中僅有1個球且為紅球，乙盒中有個紅球和個籃球且，從乙盒中隨機抽取 個球放入甲盒中，放入個球后，甲盒中含有紅球的個數(shù)記為，則下列結論錯誤的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2021下·高二課時練習）設隨機變量X的分布列為P(X=)=ak(k=1，2，3，4)，a為常數(shù)，則
A．a(chǎn)=B．P(X>)=C．P(X

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