新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點精講練+易錯題型第03講不等式及性質(zhì)（2份打包，原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

基本不等式
重要不等式 SKIPIF 1 < 0
最大（小）值問題
基本不等式 SKIPIF 1 < 0
基本不等式的應(yīng)用
擴充不等式
絕對值不等式
柯西不等式
【基礎(chǔ)知識全通關(guān)】
知識點01：兩個重要不等式及幾何意義
1．重要不等式：
如果 SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 （當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時取等號“=”）.
2．基本不等式：
如果 SKIPIF 1 < 0 是正數(shù)，那么 SKIPIF 1 < 0 （當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時取等號“=”）.
【要點詮釋】
SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 兩者的異同：
（1）成立的條件是不同的：前者只要求 SKIPIF 1 < 0 都是實數(shù)，而后者要求 SKIPIF 1 < 0 都是正數(shù)；
（2）取等號“=” 的條件在形式上是相同的，都是“當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時取等號”。
（3） SKIPIF 1 < 0 可以變形為： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 可以變形為： SKIPIF 1 < 0 .
3.如圖， SKIPIF 1 < 0 是圓的直徑，點 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上的一點， SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，過點 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 交圓于點D，連接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 .
易證 SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
這個圓的半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，它大于或等于 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，其中當(dāng)且僅當(dāng)點 SKIPIF 1 < 0 與圓心重合，即 SKIPIF 1 < 0 時，等號成立.
【要點詮釋】
1.在數(shù)學(xué)中，我們稱 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的算術(shù)平均數(shù)，稱 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的幾何平均數(shù). 因此基本不等式可敘述為：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).
2.如果把 SKIPIF 1 < 0 看作是正數(shù) SKIPIF 1 < 0 的等差中項， SKIPIF 1 < 0 看作是正數(shù) SKIPIF 1 < 0 的等比中項，那么基本不等式可以敘述為：兩個正數(shù)的等差中項不小于它們的等比中項.
知識點02：用基本不等式 SKIPIF 1 < 0 求最大（?。┲?br>在用基本不等式求函數(shù)的最值時，應(yīng)具備三個條件：一正二定三取等。
① 一正：函數(shù)的解析式中，各項均為正數(shù)；
② 二定：函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項的和或積必須有一個為定值；
③ 三取等：函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項均相等，取得最值。
知識點03：幾個常見的不等式
1） SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”號。
2） SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)且僅當(dāng)a=b 時取“=”號。
3） SKIPIF 1 < 0 ；特別地： SKIPIF 1 < 0 ；
4） SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
5） SKIPIF 1 < 0 ；
6） SKIPIF 1 < 0 ；
7） SKIPIF 1 < 0
知識點04：絕對值不等式的性質(zhì)
1. SKIPIF 1 < 0 ；
2. SKIPIF 1 < 0 ；
知識點05：柯西不等式
1. 二維形式的柯西不等式：
（1）向量形式：
設(shè) SKIPIF 1 < 0 是兩個向量，則 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 是零向量或存在實數(shù)k，使 SKIPIF 1 < 0 時，等號成立。
（2）代數(shù)形式：
= 1 \* GB3 ①若a、b、c、d都是實數(shù)，則 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)且僅當(dāng)ac=bd時，等號成立；
= 2 \* GB3 ②若a、b、c、d都是正實數(shù)，則 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)且僅當(dāng)ac=bd時，等號成立；
= 3 \* GB3 ③若a、b、c、d都是實數(shù)，則 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)且僅當(dāng)ac=bd時，等號成立；
【要點詮釋】
柯西不等式的代數(shù)形式可以看作是向量形式的坐標化表示；
（3）三角形式：
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 。
2. 三維形式的柯西不等式（代數(shù)形式）：
若 SKIPIF 1 < 0 都是實數(shù)，則 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 或存在實數(shù)k，使得 SKIPIF 1 < 0 時，等號成立。
3. 一般形式的柯西不等式（代數(shù)形式）：
若 SKIPIF 1 < 0 都是實數(shù)，則
SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 或存在實數(shù)k，使得 SKIPIF 1 < 0 時，等號成立。
【拓展】
1．兩個實數(shù)比較大小的方法
(1)作差法eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－b>0?a>b,a－b＝0?a＝b,a－bb,\f(a,b)＝1?a＝b,\f(a,b)b，則eq \r(n,a)與eq \r(n,b)的大小關(guān)系如何？
提示如果a>b>0，則eq \r(n,a)>eq \r(n,b).
2．非零實數(shù)a，b，如果a>b，則eq \f(1,a)與eq \f(1,b)的大小關(guān)系如何？
提示如果ab>0且a>b，則eq \f(1,a)0>b，則eq \f(1,a)>eq \f(1,b).
【考點研習(xí)一點通】
考點01：基本不等式 SKIPIF 1 < 0 求最值問題
1．設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值是
A．1B．2C．3D．4
【解析】
SKIPIF 1 < 0
當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 時取等號.
【答案】D
【變式1】已知 SKIPIF 1 < 0 , 且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值及相應(yīng)的 SKIPIF 1 < 0 值.
【解析】∵ SKIPIF 1 < 0 , ∴ SKIPIF 1 < 0 , 又 SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0
當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 時取等號
∴ 當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 取最小值 SKIPIF 1 < 0 .
【變式2】求下列函數(shù)的最大（或最?。┲?
SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
(3) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(4) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
(5) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【解析】（1）∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0
當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 時取等號
∴ SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0
(2) ∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0
當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 .
(3) ∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 .
(4) ∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 .
(5) ∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0
【變式3】已知 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值.
【解析】方法一： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 （當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 時等號成立）.
∴ SKIPIF 1 < 0 的最小值是16.
方法二：由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 時取等號，此時 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 的最小值是16.
方法三：由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時取等號，
∴ SKIPIF 1 < 0 的最小值是16.
考點02：利用基本不等式證明不等式
2.已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求證： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 中至少有一個小于等于 SKIPIF 1 < 0 .
證明：假設(shè) SKIPIF 1 < 0 則有
SKIPIF 1 < 0 〔＊〕
又∵ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 與〔＊〕矛盾
【變式1】已知 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 都是正數(shù)，求證： SKIPIF 1 < 0
【解析】
∵ SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 都是正數(shù)
∴ SKIPIF 1 < 0 （當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時，取等號）
SKIPIF 1 < 0 （當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時，取等號）
SKIPIF 1 < 0 （當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時，取等號）
∴ SKIPIF 1 < 0 （當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時，取等號）
即 SKIPIF 1 < 0 .
【變式2】已知 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 都是正數(shù)，求證： SKIPIF 1 < 0 。
【解析】∵ SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 都是正數(shù) ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 （當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 時,等號成立）
故 SKIPIF 1 < 0 .
考點03：利用絕對值不等式求最值
3. 不等式 SKIPIF 1 < 0 對 SKIPIF 1 < 0 恒成立，則實數(shù) SKIPIF 1 < 0 的取值范圍是；
【解析】設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 對 SKIPIF 1 < 0 恒成立 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 的最小值為 SKIPIF 1 < 0 ，
∴實數(shù) SKIPIF 1 < 0 的取值范圍是 SKIPIF 1 < 0 .
【變式1】求 SKIPIF 1 < 0 的最值
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 的最小值為 SKIPIF 1 < 0 ，最大值為6.
【變式2】不等式 SKIPIF 1 < 0 對 SKIPIF 1 < 0 恒成立，則常數(shù) SKIPIF 1 < 0 的取值范圍是；
【解析】設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 對 SKIPIF 1 < 0 恒成立 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 的最大值為 SKIPIF 1 < 0 ，
∴實數(shù) SKIPIF 1 < 0 的取值范圍是 SKIPIF 1 < 0 .
考點04：利用柯西不等式求最值
4. 設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，求函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的最大值．
【解析】∵ SKIPIF 1 < 0
∴根據(jù)柯西不等式
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 .
當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 時等號成立，
此時， SKIPIF 1 < 0
【變式1】求函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的最大值．
【解析】函數(shù)的定義域為[1，5]，且y>0，
SKIPIF 1 < 0
當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時，等號成立，
即 SKIPIF 1 < 0 時函數(shù)取最大值，最大值為 SKIPIF 1 < 0 .
【考點易錯】
易錯題型01 比較兩個數(shù)(式)的大小
1 (1)(2022·首都師范大學(xué)附屬中學(xué)月考)設(shè)M＝2a(a－2)＋7，N＝(a－2)(a－3)，則M與N的大小關(guān)系是( )
A．M>N B．M≥N
C．M0，所以M>N.
(2)若a＝eq \f(ln 3,3)，b＝eq \f(ln 4,4)，c＝eq \f(ln 5,5)，則( )
A．a(chǎn)b－c，故選項C正確；若c>d>0，則eq \f(1,d)>eq \f(1,c)>0，若a>b>0，則eq \f(a,d)>eq \f(b,c)，故選項D錯誤．
(2)(多選)若eq \f(1,a)ln b2
【答案】 AC
【解析】由eq \f(1,a)a>0，c∈R，則下列不等式中正確的是( )
A． SKIPIF 1 < 0 B.eq \f(1,a)>eq \f(1,b)
C.eq \f(a＋2,b＋2)>eq \f(a,b) D．a(chǎn)c3eq \f(1,b)；
因為eq \f(a＋2,b＋2)－eq \f(a,b)＝eq \f(2?b－a?,?b＋2?b)>0，所以eq \f(a＋2,b＋2)>eq \f(a,b)；
當(dāng)c＝0時，ac3＝bc3，所以D不成立．
易錯題型03 不等式性質(zhì)的綜合應(yīng)用
3 (1)已知－1

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