新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)題型歸納講練第03講不等式與不等關(guān)系（精講）（2份，原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、知識(shí)點(diǎn)梳理
1.比較大小基本方法
2.不等式的性質(zhì)
【常用結(jié)論】
1.作差法比較大小的步驟是：
（1）作差；（2）變形；（3）判斷差式與0的大小；（4）下結(jié)論.
作商比較大?。ㄒ话阌脕肀容^兩個(gè)正數(shù)的大?。┑牟襟E是：
（1）作商；（2）變形；（3）判斷商式與1的大小；（4）下結(jié)論.
注：其中變形是關(guān)鍵，變形的方法主要有通分、因式分解和配方等，變形要徹底，要有利于0或1比較大小.作差法是比較兩數(shù)（式）大小最為常用的方法，如果要比較的兩數(shù)（式）均為正數(shù)，且是冪或者因式乘積的形式，也可考慮使用作商法.
2.等式形式及不等式形式解題思路
二、題型分類精講
題型一不等式性質(zhì)的應(yīng)用
策略方法
1．判斷不等式是否恒成立，需要給出推理或者反例說明．
2．充分利用基本初等函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行判斷．
3．小題可以用特殊值法做快速判斷．
【典例1】已知，則下列不等式一定成立的是（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由可得，然后對(duì)選項(xiàng)一一分析即可得出答案.
【詳解】由可知，所以，所以錯(cuò)誤；
因?yàn)椋珶o法判定與1的大小，所以B錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，，故D錯(cuò)誤；
因?yàn)?，所以，故C正確.
故選：C.
【題型訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2023·北京·匯文中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如果，那么下列不等式一定成立的是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷A、B，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷C，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷D；
【詳解】解：因?yàn)?，所以，故A錯(cuò)誤；
因?yàn)椋?，故B錯(cuò)誤；
因?yàn)?，且在定義域上單調(diào)遞減，所以，故C錯(cuò)誤；
因?yàn)?，且在定義域上單調(diào)遞增，所以，故D正確；
故選：D
2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，且，，則下列不等式中一定成立的是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】ABC可以通過舉出反例，D選項(xiàng)可以通過不等式的基本性質(zhì)進(jìn)行求解.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，而，，而無意義，故ABC錯(cuò)誤；
因?yàn)椋?，D正確.
故選：D
3．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）給出下列命題：①若a＞b，則；②若，則；③若a＞b，則；④若，則.其中，正確的命題是（）.
A．①②B．②③C．③④D．①④
【答案】B
【分析】①④可舉出反例，②可通過不等式的基本性質(zhì)得到；③可利用冪函數(shù)的單調(diào)性得到.
【詳解】若，此時(shí)，①錯(cuò)誤；
若，則，故，兩邊平方可得：，②正確；
因?yàn)樵赗上單調(diào)遞增，故若，則，③正確；
若，不妨設(shè)，不滿足，④錯(cuò)誤.
故選：B
4．（2023·吉林·統(tǒng)考三模）已知，則下列不等式不一定成立的是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】A選項(xiàng)，由不等式基本性質(zhì)得到A正確；B選項(xiàng)，利用基本不等式求出；C選項(xiàng)，作差法比較出大小關(guān)系；D選項(xiàng)，舉出反例即可.
【詳解】A選項(xiàng)，，故，所以，
兩邊同乘以得，，A成立；
B選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，且?br>由基本不等式得，故B成立；
C選項(xiàng)，因?yàn)?，所以?br>故，所以，C成立；
D選項(xiàng)，不妨取，滿足，此時(shí)，故D不一定成立.
故選：D
5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知lgax＞lgay（0＜a＜1），則下列不等式恒成立的是（）
A．y2＜x2B．tanx＜tanyC．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷A、D選項(xiàng)，取特殊值法判斷B，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及不等式性質(zhì)判斷C.
【詳解】∵lgax＞lgay（0＜a＜1），
∴0＜x＜y，∴y2＞x2，，故A和D錯(cuò)誤；
選項(xiàng)B，當(dāng),取x，y時(shí)，,但；顯然有tanx＞tany，故B錯(cuò)誤；
選項(xiàng)C，由0＜x＜y可得，故C正確；
故選：C．
6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，下列不等式中正確的是（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由，結(jié)合不等式的性質(zhì)及基本不等式即可判斷出結(jié)論.
【詳解】解：對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)椋恼?fù)不確定，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)?，所以，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)C，依題意，所以，所以，故C正確；
對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)榕c正負(fù)不確定，故大小不確定，故D錯(cuò)誤；
故選：C.
二、多選題
7．（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）若，，則（）．
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】由不等式的性質(zhì)可判斷A；利用特值法可判斷B，C；利用作差法可判斷D.
【詳解】對(duì)于A：由題意可得，因?yàn)椋?，故A正確；
對(duì)于B：當(dāng)，時(shí)，滿足已知條件，但，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：當(dāng)，，時(shí)，滿足已知條件，但，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：，因?yàn)?，可得，所以，故D正確．
故選：AD.
8．（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知a，b為實(shí)數(shù)，且，則下列不等式正確的是（）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】利用不等式的性質(zhì)可判斷A錯(cuò)誤；由基本不等式的應(yīng)用計(jì)算可得B正確；利用作差法可知選項(xiàng)C正確；根據(jù)基本不等式計(jì)算可得當(dāng)時(shí)，成立，但顯然，即D錯(cuò)誤.
【詳解】對(duì)于A，由，可知，，
且，由不等式性質(zhì)可得，所以，即A錯(cuò)誤．
對(duì)于B，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，B正確．
對(duì)于C，作差可得，
所以，C正確．
對(duì)于D，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，顯然取不到等號(hào)，D錯(cuò)誤．
故選：BC．
9．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）若x，y滿足，則（）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】根據(jù)基本不等式或者取特值即可判斷各選項(xiàng)的真假．
【詳解】因?yàn)椋≧），由可變形為，，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，所以A錯(cuò)誤，B正確；
由可變形為，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以C正確；
因?yàn)樽冃慰傻?，設(shè)，所以，因此
，所以當(dāng)時(shí)滿足等式，但是不成立，所以D錯(cuò)誤．
故選：BC．
題型二比較數(shù)（式）的大小與比較法證明不等式
策略方法比較兩個(gè)數(shù)或代數(shù)式的大小的三種方法
(1)當(dāng)兩個(gè)數(shù)(或式子)正負(fù)未知且為多項(xiàng)式時(shí)，用作差法．
步驟：①作差；②變形；③判斷差的符號(hào)；④下結(jié)論．
變形技巧：①分解因式；②平方后再作差；③配方；④分子、分母有理化；⑤通分．
(2)作商法：適用于分式、指數(shù)式、對(duì)數(shù)式，要求兩個(gè)數(shù)(或式子)為正數(shù)．
步驟：①作商；②變形；③判斷商與1的大小；④下結(jié)論．
(3)特殊值法：對(duì)于比較復(fù)雜的代數(shù)式比較大小，利用不等式的性質(zhì)不易比較大小時(shí)，可以采用特殊值法比較．
【典例1】若，則下列不等式一定成立的是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用作差比較法及不等式的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可求解.
【詳解】對(duì)于A，，因?yàn)?，所以?br>所以，即，于是有故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，因?yàn)椋?br>因?yàn)?，所以，但與的大小不確定，故不一定成立，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，因?yàn)?，因?yàn)椋?，所以，即，于是有，故C正確；
對(duì)于D，因?yàn)?，因?yàn)椋?，所以，即，于是有，故D錯(cuò)誤.
故選：C.
【題型訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2023秋·廣東清遠(yuǎn)·高一統(tǒng)考期末）“”是“”的（）
A．充分必要條件B．充分不必要條件
C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】做差可判斷充分性，取可判斷必要性可得答案.
【詳解】，
當(dāng)時(shí)，，所以，
可得，所以充分性成立；
但當(dāng)時(shí)，即也成立，
所以必要性不成立．
因此“”是“”的充分不必要條件．
故選：B.
二、多選題
2．（2023·云南昆明·高三昆明一中?？茧A段練習(xí)）若，，且，則下列不等式中一定成立的是（）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】利用比差法比較的大小判斷A，利用比差法比較的大小判斷B，利用基本不等式比較的大小，判斷C，舉反例判斷D.
【詳解】因?yàn)?，，且?br>所以，，
對(duì)于A：，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
所以， A正確；
對(duì)于B：，
因?yàn)椋裕?br>所以，即，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，又，所以等號(hào)不成立，C正確；
對(duì)于D：令，，滿足條件，，且，
但是，D錯(cuò)誤.
故選：AC.
3．（2023秋·遼寧丹東·高一統(tǒng)考期末）若，，則下列不等式成立的是（）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可.
【詳解】對(duì)于A，由，則，故A正確；
對(duì)于B，，
由，所以，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，由，可得，所以，
所以，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，，
由，則，即，故D正確.
故選：AD.
三、填空題
4．（2023春·吉林長(zhǎng)春·高一校考階段練習(xí)）設(shè)、為實(shí)數(shù)，比較兩式的值的大?。篲______ （用符號(hào)或=填入劃線部分）．
【答案】
【分析】利用作差比較法求得正確答案.
【詳解】因?yàn)椋瑫r(shí)等號(hào)成立，
所以．
故答案為：
5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知a＞0，b＞0，則p＝﹣a與q＝b﹣的大小關(guān)系是_____．
【答案】
【分析】由已知結(jié)合作差法進(jìn)行變形后即可比較大小．
【詳解】因?yàn)?，，與，
所以，時(shí)取等號(hào)，
所以．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了不等式大小的比較，作差法的應(yīng)用是求解問題的關(guān)鍵．
四、解答題
6．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）（1）已知a＞b＞0，c＜d＜0，求證：；
（2）設(shè)x，，比較與的大小.
【答案】（1）證明見解析（2）答案見解析
【分析】（1）由不等式的性質(zhì)即可證明.
（2）要比較與的大小，將兩式做差展開化簡(jiǎn)，得到即可判斷正負(fù)并比較出結(jié)果.
【詳解】（1）由a＞b＞0，c＜d＜0，得－c＞－d＞0，a－c＞b－d＞0，從而得.
又a＞b＞0，所以.
（2）因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)等號(hào)成立，
所以當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，.
7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）比較與)的大小.
【答案】
【分析】做差化簡(jiǎn)，分情況討論比較大小.
【詳解】

當(dāng)時(shí)，，，
即；
當(dāng)時(shí)，，，
即；綜上所得.
題型三已知不等式的關(guān)系，求目標(biāo)式的取值范圍
策略方法
1．判斷不等式是否成立的方法
(1)不等式性質(zhì)法：直接利用不等式的性質(zhì)逐個(gè)驗(yàn)證，利用不等式的性質(zhì)時(shí)要特別注意前提條件．
(2)特殊值法：利用特殊值排除錯(cuò)誤答案．
(3)單調(diào)性法：當(dāng)直接利用不等式的性質(zhì)不能比較大小時(shí)，可以利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷．
2．利用不等式的性質(zhì)求取值范圍的方法
(1)已知x，y的范圍，求F (x，y)的范圍．可利用不等式的性質(zhì)直接求解．
(2)已知f (x，y)，g(x，y)的范圍，求F (x，y)的范圍．
可利用待定系數(shù)法解決，即設(shè)F (x，y)＝mf (x，y)＋ng(x，y)，用恒等變形求得m，n，再利用不等式的性質(zhì)求得F (x，y)的取值范圍．
【典例1】已知，則的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用方程組以及不等式的性質(zhì)計(jì)算求解.
【詳解】設(shè)，
所以，解得，所以，
又，所以，故A，C，D錯(cuò)誤.
故選：B.
【題型訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，則的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由不等式的性質(zhì)求解
【詳解】，
故，，得
故選：C
2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知－3

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