第二部分：典型例題剖析
題型一：排列問題
題型二：組合問題
題型三：排列組合綜合問題
角度1：相鄰與相間問題
角度2：分組與分配問題
①不等分問題
②整體均分問題
③部分均分問題
題型四：相同元素分配問題
第一部分：知 識 點 精 準(zhǔn) 記 憶
知識點一：排列與組合的概念
知識點二：排列數(shù)與組合數(shù)
（1）排列數(shù)：
從個不同元素中取出取出（）個元素的所有不同排列的個數(shù)，叫做從個元素中取出個元素的一個排列數(shù)，用符號表示
（2）組合數(shù)：
從個不同元素中取出（）個元素的所有不同組合的個數(shù)，叫做從個元素中取出個元素的一個組合數(shù)，用符號表示
知識點三：排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)
（1）
（2）
（3）
（4）；
第二部分：典 型 例 題 剖 析
題型一：排列問題
典型例題
例題1．（2022·云南省楚雄第一中學(xué)高二階段練習(xí)）從3，5，7，11這四個質(zhì)數(shù)中，每次取出兩個不同的數(shù)分別為，共可得到的不同值的個數(shù)是（ ）
A．6B．8C．12D．16
【答案】C
【詳解】由于，所以從3，5，7，11中取出兩個不同的數(shù)分別賦值給和共有種，并且計算結(jié)果不會重復(fù)，所以得到不同的值有12個.
故選：C.
例題2．（2022·浙江·青田縣船寮綜合高級中學(xué)高三期中）某職校計算機專業(yè)開設(shè)兩類不同選修課，其中專業(yè)類選修課有6門不同課程，公共基礎(chǔ)類選修課有5門不同課程.若從兩類選修課中各選一門學(xué)習(xí)，則不同的選修方案有（ ）
A．種B．種C．種D．種
【答案】B
【詳解】依題意，專業(yè)類選修課有6門不同課程，公共基礎(chǔ)類選修課有5門不同課程，
從兩類選修課中各選一門學(xué)習(xí)，根據(jù)分步計數(shù)原理，
不同的選修方案有種.
故選：B
例題3．（2022·全國·高二課時練習(xí)）某大學(xué)的兩名教授帶領(lǐng)四名學(xué)生外出實習(xí)，實習(xí)前在學(xué)院門口合影留念．若站成兩排合影，兩名教授站在前排，四名學(xué)生站在后排，則不同的排法種數(shù)為______（用數(shù)字作答）．
【答案】48
【詳解】第一步：先排兩名教授，不同的排法有（種）．
第二步：排四名學(xué)生，不同的排法有（種）．
故由分步乘法計數(shù)原理，可得不同的排法共有（種）．
故答案為：48
例題4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）第24屆冬季奧運會于2022年2月4日在北京市和河北省張家口市舉行.現(xiàn)要安排5名志愿者去四個場館參加活動，每名志愿者只能去一個場館.且每個場館只能安排一名志愿者，則不同的分配方法有___________個.（空格處填寫數(shù)字）
【答案】120
【詳解】解：從5名志愿者中選4人排列個.
故答案為：120
同類題型歸類練
1．（2022·福建省福州華僑中學(xué)高二期末）甲乙丙丁4名同學(xué)站成一排拍照，若甲不站在兩端，不同排列方式有（ ）
A．6種B．12種C．36種D．48種
【答案】B
【詳解】甲站位的排列數(shù)為，其余三位學(xué)生的全排列數(shù)為，
所有的排列方式有：.
故選：B.
2．（2022·全國·高二課時練習(xí)）“總把新桃換舊符”是指在宋代人們用寫“桃符”的方式來祈福避禍，而現(xiàn)代人們通過貼“?！弊?、貼春聯(lián)、掛燈籠等方式來表達對新年的美好祝愿，某商家在春節(jié)前開展商品促銷活動，顧客凡購物金額滿50元，則可以從“?！弊?、春聯(lián)和燈籠這三類禮品中任意免費領(lǐng)取一件，若有3名顧客都領(lǐng)取一件禮品，則他們3人領(lǐng)取的禮品種類都不相同的方法種數(shù)是（ ）
A．3B．6C．9D．27
【答案】B
【詳解】根據(jù)題意，3名顧客都領(lǐng)取一件禮品，且領(lǐng)取的禮品種類都不相同的方法種數(shù)為．
故選:B．
3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）現(xiàn)從6名學(xué)生干部中選出3名同學(xué)分別參加全校資源、生態(tài)和環(huán)保3個夏令營活動，則不同的選派方案的種數(shù)是（ ）
A．20B．90C．120D．240
【答案】C
【詳解】共有種不同的選派方案．
故選：C.
4．（2022·廣東廣州·高二期末）2022年北京冬奧會期間，需從5名志愿者中選3人去為速度滑冰?花樣滑冰?冰球三個競賽項目服務(wù)，每個項目必須有志愿者參加且每名志愿者只服務(wù)一個項目，不同的安排方法種數(shù)為（ ）
A．10B．27C．36D．60
【答案】D
【詳解】依題意，從5名志愿者中選3人服務(wù)3個不同項目，不同的安排方法有（種）．故選：D
題型二：組合問題
典型例題
例題1．（2022·甘肅·蘭州市第二十七中學(xué)高二期中）在含有3件次品的50件產(chǎn)品中，任取2件，則恰好取到1件次品的不同方法數(shù)共有（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】在50件產(chǎn)品中含有3件次品,所以有47件不是次品,
任取2件，則恰好取到1件次品的不同方法數(shù)共有.
故選:A.
例題2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）某小組九名學(xué)生在一次數(shù)學(xué)測驗中的得分（單位：分）如下：83，84，86，86，87，88，90，93，96，這九人成績的第70百分位數(shù)是.若在該小組隨機選取兩名學(xué)生，則得分一個比高，另一個比低的概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】因為，第70百分位數(shù)是從小到大的第七位數(shù)，
所以第70百分位數(shù)是90，
所以在該小組隨機選取兩名學(xué)生，則得分一個比90高，
另一個比90低的概率為.
故選:A.
例題3．（2022·山東聊城·高二期末）第二屆消博會暨中國國際消費品博覽會于2022年5月在海南舉辦.某展館將5件相同的紀(jì)念品分別贈送給前來參觀的3位游客，每人至少1件，則不同的贈送方案數(shù)共有（ ）
A．6B．9C．12D．24
【答案】A
【詳解】因為紀(jì)念品的相同的，而游客不同，所以以游客為對象分類：
第一種情況，一位游客得一個紀(jì)念品，其余兩位游客每人二個紀(jì)念品，共有種.
第二種情況，一位游客得三個紀(jì)念品，其余兩位游客各一個紀(jì)念品，共有種.共計6種贈送方案.
故選：A.
例題4．（2022·上海市嘉定區(qū)安亭高級中學(xué)高二期中）從2至8的7個整數(shù)中隨機取2個不同的數(shù)，共有______種不同的取法．
【答案】21
【詳解】從2至8的7個整數(shù)中隨機取2個不同的數(shù)，不同的取法有.
故答案為：21.
同類題型歸類練
1．（2022·浙江·青田縣船寮綜合高級中學(xué)高三期中）某職校計算機專業(yè)開設(shè)兩類不同選修課，其中專業(yè)類選修課有6門不同課程，公共基礎(chǔ)類選修課有5門不同課程.若從兩類選修課中各選一門學(xué)習(xí)，則不同的選修方案有（ ）
A．種B．種C．種D．種
【答案】B
【詳解】依題意，專業(yè)類選修課有6門不同課程，公共基礎(chǔ)類選修課有5門不同課程，
從兩類選修課中各選一門學(xué)習(xí)，根據(jù)分步計數(shù)原理，
不同的選修方案有種.
故選：B
2．（2022·山東·臨朐縣實驗中學(xué)高三階段練習(xí)）某市新冠疫情封閉管理期間，為了更好的保障社區(qū)居民的日常生活，選派名志愿者到甲、乙、丙三個社區(qū)進行服務(wù)，每人只能去一個地方，每地至少派一人，則不同的選派方案共有（ ）
A．種B．種C．種D．種
【答案】A
【詳解】首先將名志愿者分成組，再分配到個社區(qū)，可分為種情況，
第一類：名志愿者分成，共有（種）選派方案，
第二類：名志愿者分成，共有（種）選派方案，
第三類：名志愿者分成，共有（種）選派方案，
所以共（種）選派方案，
故選：A.
3．（2022·黑龍江·哈爾濱市劍橋第三高級中學(xué)有限公司高三階段練習(xí)）新課程改革后，普通高校招生方案規(guī)定：每位考生從物理、化學(xué)、生物、地理、政治、歷史六門學(xué)科中隨機選三門參加考試，某省份規(guī)定物理或歷史至少選一門，那么該省份每位考生的選法共有（ ）
A．14種B．15種C．16種D．17種
【答案】C
【詳解】解：由題意得：
物理或歷史中選一門：種選法；
物理和歷史都選：種選法；
物理或歷史至少選一門，那么該省份每位考生的選法共有種選法；
故選：C
4．（2022·浙江·杭州市長河高級中學(xué)高二期中）北京冬奧會期間，小蘇搶購了3個冰墩墩和4個雪容融且造型不一的吉祥物，現(xiàn)抽取3個吉祥物送給一位朋友，其中至少有冰墩墩雪容融各1個，則不同的送法有________種.（用數(shù)字作答）
【答案】30
【詳解】若選1個冰墩墩和2個雪容融，則有種；
若選2個冰墩墩和1個雪容融，則有種；
綜上可得一共有種；
故答案為：
題型三：排列組合綜合問題
角度1：相鄰與相間問題
典型例題
例題1．（2022·江西·南昌十中高二階段練習(xí)（理））有互不相同的5盆菊花，其中2盆為白色，2盆為黃色，1盆為紅色，現(xiàn)要擺成一排，要求紅色菊花擺放在正中間，白色菊花不相鄰，黃色菊花也不相鄰，則共有擺放方法（ ）
A．120種B．32種C．24種D．16種
【答案】D
【詳解】紅色左邊放一盆白色，一盆黃色，右邊放一盆白色，一盆黃色，
先選左邊，白色二選一，黃色二選一，再進行排列，故有種選法，
再考慮后邊，剩余的白色和黃色進行排列即可，有種選法，
綜上：一共有擺放方法=16種.
故選：D
例題2．（2022·遼寧·育明高中一模）一張節(jié)目單上原有8個節(jié)目，現(xiàn)臨時再插入，，三個新節(jié)目，如果保持原來8個節(jié)目的相對順序不變，節(jié)目B要排在另外兩個新節(jié)目之間（也可以不相鄰），則有__________種不同的插入方法．（用數(shù)字作答）
【答案】330
【詳解】法1：
第一步，從11個位置中選3個位置，共有種方法；
第二步，三個位置中節(jié)目B位置確定，節(jié)目A，C的順序為，
由分步計數(shù)原理可得共有種方法.
法2：
先插入節(jié)目A，再插入節(jié)目B，最后插入節(jié)目C，共有：種，
其中節(jié)目B與兩個新節(jié)目的位置關(guān)系有3種，由消序法可得總數(shù)為.
故答案為：330
例題3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）將編號為，，，的個小球放入個不同的盒子中，每個盒子不空，若放在同一盒子里的個小球編號不相鄰，則共有__________種不同的放法．
【答案】18
【詳解】解：先把4個小球分為一組，其中2個不連號小球的種類有，，為一組，
分組后分配到三個不同的盒子里，故共有種不同的放法；
故答案為：18．
同類題型歸類練
1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）某班主任準(zhǔn)備請2016年畢業(yè)生作報告，要從甲、乙等8人中選4人發(fā)言，要求甲、乙兩人至少一人參加，若甲、乙同時參加，則他們發(fā)言中間恰好間隔一人，那么不同的發(fā)言順序共有____________（種）.（用數(shù)字作答）
【答案】1080
【詳解】若甲乙同時參加，有種，若甲乙有一人參與，有種，從而總共的發(fā)言順序有種.
2．（2022·貴州·高三階段練習(xí)（理））2名老師和3名學(xué)生站成一排照相，則3名學(xué)生中有且僅有2人相鄰的站法有________種.
【答案】72
【詳解】第一步：先取兩個學(xué)生捆綁，則有種；
第二步：兩名老師全排列，則有種；
第三步：兩名老師有3個空，將兩組學(xué)生安排在3個空中的兩個，則有種，
則一共有種.
故答案為：72
3．（2022·全國·高二單元測試）7名同學(xué)，在下列情況下，各有多少種不同安排方法？（答案以數(shù)字呈現(xiàn)）
（1）7人排成一排，甲、乙、丙三人必須在一起．
（2）7人排成一排，甲、乙、丙三人兩兩不相鄰．
（3）7人排成一排，甲、乙、丙三人按從高到矮，自左向右的順序（不一定相鄰）．
【答案】(1)720種；(2)1440種；3)840種；
【詳解】 (1)(2) ；(3)
角度2：分組與分配問題
①不等分問題
典型例題
例題1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知有6本不同的書.
分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少種不同的分堆方法？
【答案】(2)60
從6本書中，先取1本作為一堆，再從剩下的5本中取2本作為一堆，最后3本作為一堆，
所以不同的分堆方法的種數(shù)為.
例題2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）有6本不同的書按下列分配方式分配，問共有多少種不同的分配方法？
(1)分成1本、2本、3本三組；
(2)分給甲、乙、丙三人，其中一個人1本，一個人2本，一個人3本；
【答案】(1)60
(2)360
（1）
根據(jù)分步計算原理可知，共有種方法；
（2）
由（1）可知：分成1本、2本、3本三組，共有60種方法，
再分給甲、乙、丙三人，所以有種方法；
例題3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）6本不同的書，按照以下要求處理，各有幾種分法？
(1)一堆1本，一堆2本，一堆3本；
(2)甲得1本，乙得2本，丙得3本；
【答案】(1)60
(2)60
（1）
先從6本書中任取1本，作為一堆，有種取法，再從余下的5本書中任取2本，作為一堆，有種取法，最后從余下的3本書中取3本作為一堆，有種取法，故共有分法種.
（2）
由（1）知，分成三堆的方法有種，而每種分組方法僅對應(yīng)一種分配方法，
故甲得1本，乙得2本，丙得3本的分法亦為種.
例題4．（2022·重慶市永川北山中學(xué)校高二期中）有6本不同的課外書，分給甲、乙、丙三名同學(xué)，求在下列條件下，各有多少種分法．
甲得1本，乙得2本，丙得3本；
【答案】(1)60
分三步完成：甲選1本、乙選2本、丙選剩下的3本，共有種；
②整體均分問題
典型例題
例題1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知有6本不同的書.
(1)分成三堆，每堆2本，有多少種不同的分堆方法？
【答案】(1)15
6本書平均分成3堆，
所以不同的分堆方法的種數(shù)為.
例題2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）6本不同的書，按照以下要求處理，各有幾種分法？
(1)平均分給甲、乙、丙三人；
(2)平均分成三堆.
【答案】(1)90
(2)15
（1）
3個人一個一個地來取書，甲從6本不同的書中任取出2本的取法有種，乙再從余下的4本書中取2本書，有種取法，丙從余下的2本中取2本書，有種取法，
所以一共有種取法.
（2）
把6本不同的書分成三堆，每堆2本與把6本不同的書分給甲、乙、丙三人，每人2本的區(qū)別在于，后者相當(dāng)于把6本不同的書平均分成三堆后，再把書分給甲、乙、丙三人，
因此，設(shè)把6本不同的書，平均分成三堆的方法有x種，那么把6本不同的書分給甲、乙、丙三人每人2本的分法就應(yīng)有種，由（1）知，把6本不同的書分給甲、乙、丙三人，每人2本的方法有種.
所以，則.
例題3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）有6本不同的書按下列分配方式分配，問共有多少種不同的分配方法？
(1)分成每組都是2本的三組；
(2)分給甲、乙、丙三人，每個人2本．
【答案】(1)15(2)90
（1）先分成三部分，則為種方法，但是這里面出現(xiàn)了重復(fù).
不妨記六本書為A、B、C、D、E、F，若第一步取了AB，第二步取了CD，第三步取了EF，記該種分法為(AB，CD，EF)，則種分法中還有(AB，EF，CD)、(CD、AB、EF)、(CD、EF，AB)、(EF，CD，AB)、(EF，AB，CD)，共種情況，而且這種情況僅是AB，CD，EF的順序不同，因此，只能作為一種分法，故分配方法有＝15(種)．
（2）在問題（1）的基礎(chǔ)上再分配即可，共有分配方法 (種)．
例題4．（2022·重慶市永川北山中學(xué)校高二期中）有6本不同的課外書，分給甲、乙、丙三名同學(xué)，求在下列條件下，各有多少種分法．
甲、乙、丙各得2本；
【答案】90
分兩步完成：先均勻分組，再分給甲、乙、丙三名同學(xué)，有種，
故共有種.
③部分均分問題
典型例題
例題1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）按下列要求分配6本不同的書，各有多少種不同的分配方式？
分成三份，1份4本，另外兩份每份1本.
【答案】15
【詳解】無序均勻分組問題，種，
故答案為：15
例題2．（2022·重慶市永川北山中學(xué)校高二期中）有6本不同的課外書，分給甲、乙、丙三名同學(xué)，求在下列條件下，各有多少種分法．
(3)一人得4本，另兩人各得1本．
【答案】90
部分均勻分組問題，先部分均勻分組，再分給甲乙丙三名同學(xué)，有種，故共有種．
同類題型歸類練
1．（2022·黑龍江·賓縣第二中學(xué)高二期末）現(xiàn)有6本不同的書，如果滿足下列要求，分別求分法種數(shù)．
(1)分成三組，一組3本，一組2本，一組1本；
(2)分給三個人，一人3本，一人2本，一人1本；
(3)平均分成三個組每組兩本．
【答案】(1)60；
(2)360；
(3)15.
（1）
根據(jù)題意，第一組3本有種分法，第二組2本有種分法，第三組1本有1種分法，
所以共有種分法.
（2）
根據(jù)題意，先將6本書分為1、2、3的三組，有種分法，
再將分好的三組分給3人，有種情況，
所以共有種分法.
（3）
根據(jù)題意，將6本書平均分為3組，有15種不同的分法．
2．（2022·廣西壯族自治區(qū)北流市高級中學(xué)高二階段練習(xí)（理））按照下列要求，分別求有多少種不同的方法？
（1）5個不同的小球放入3個不同的盒子；
（2）5個不同的小球放入3個不同的盒子，每個盒子至少一個小球；
（3）5個相同的小球放入3個不同的盒子，每個盒子至少一個小球；
（4）5個不同的小球放入3個不同的盒子，恰有1個空盒．
【答案】（1）243種（2）150種（3）6種（4）90種
【詳解】（1）5個不同的小球放入3個不同的盒子，每個小球都有3種可能，利用乘法原理可得不同的方法有；
（2）5個不同的小球放入3個不同的盒子，每個盒子至少一個小球，先把5個小球分組，有兩種分法：2、2、1；3、1、1；再放入3個不同的盒子，故不同的方法共有；
（3）5個相同的小球放入3個不同的盒子，每個盒子至少一個小球，類似于在5個小球間的空隙中，放入2個隔板，把小球分為3組，故不同的方法共有；
（4）5個不同的小球放入3個不同的盒子，恰有一個空盒，先把5個小球分2組，有兩種分法：3、2、0；4、1、0；再放入3個不同的盒子，故不同的方法共有．
3．（2022·全國·高二）已知有6本不同的書.
（1）分成三堆，每堆2本，有多少種不同的分堆方法？
（2）分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少種不同的分堆方法？
（3）分給甲?乙?丙三人，一人1本，一人2本，一人3本，有多少種不同的分配方法？
【答案】（1）；（2）；（3）.
【詳解】（1）6本書平均分成3堆，不同的分堆方法的種數(shù)為.
（2）從6本書中，先取1本作為一堆，再從剩下的5本中取2本作為一堆，最后3本作為一堆，不同的分堆方法的種數(shù)為
（3）在（2）的分堆中，甲?乙?丙三人任取一堆，不同的分配方法的種數(shù)為.名稱
定義
排列
從個不同元素中取出（）個元素
按照一定的順序排成一列，叫做從個元素中取出個元素的一個排列
組合
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(藝考基礎(chǔ))新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精講精練第02講 排列與組合(高頻考點，精練）（2份，原卷版+解析版）

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