【期中復(fù)習(xí)】2023-2024學(xué)年（滬教版2020選修）高二數(shù)學(xué)下冊(cè)專題05計(jì)數(shù)原理全章復(fù)習(xí)攻略-考點(diǎn)歸納講練.zip-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

知識(shí)點(diǎn)一分類加法計(jì)數(shù)原理
完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m＋n種不同的方法．
知識(shí)點(diǎn)二分步乘法計(jì)數(shù)原理
完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m×n種不同的方法．
知識(shí)點(diǎn)三兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系
知識(shí)點(diǎn)四兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用
用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決計(jì)數(shù)問題時(shí)，最重要的是在開始計(jì)算之前要仔細(xì)分析兩點(diǎn)：
一、要完成的“一件事”是什么；二、需要分類還是需要分步．
(1)分類要做到“不重不漏”，分類后再分別對(duì)每一類進(jìn)行計(jì)數(shù)，最后用分類加法計(jì)數(shù)原理求和，得到總數(shù)．
(2)分步要做到“步驟完整”，即完成了所有步驟，恰好完成任務(wù)．分類后再計(jì)算每一步的方法數(shù)，最后根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，把完成每一步的方法數(shù)相乘，得到總數(shù)．
知識(shí)點(diǎn)五排列的定義
一般地，從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素，并按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列．
知識(shí)點(diǎn)六排列相同的條件
兩個(gè)排列相同的充要條件：
(1)兩個(gè)排列的元素完全相同．
(2)元素的排列順序也相同．
知識(shí)點(diǎn)七排列數(shù)的定義
從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào)Aeq \\al(m,n)表示．
知識(shí)點(diǎn)八排列數(shù)公式及全排列
1．排列數(shù)公式的兩種形式
(1)Aeq \\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，其中m，n∈N*，并且m≤n.
(2)Aeq \\al(m,n)＝eq \f(n！,?n－m?！).
2．全排列：把n個(gè)不同的元素全部取出的一個(gè)排列，叫做n個(gè)元素的一個(gè)全排列，全排列數(shù)為Aeq \\al(n,n)＝n！(叫做n的階乘)．規(guī)定：0?。?.
知識(shí)點(diǎn)九組合及組合數(shù)的定義
1．組合
一般地，從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素作為一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合．
2．組合數(shù)
從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)，用符號(hào)Ceq \\al(m,n)表示．
知識(shí)點(diǎn)十排列與組合的關(guān)系
知識(shí)點(diǎn)十一組合數(shù)公式
規(guī)定：Ceq \\al(0,n)＝1.
知識(shí)點(diǎn)十二組合數(shù)的性質(zhì)
性質(zhì)1：Ceq \\al(m,n)＝Ceq \\al(n－m,n).
性質(zhì)2：Ceq \\al(m,n＋1)＝Ceq \\al(m,n)＋Ceq \\al(m－1,n).
知識(shí)點(diǎn)十三二項(xiàng)式定理
(a＋b)n＝Ceq \\al(0,n)an＋Ceq \\al(1,n)an－1b＋Ceq \\al(2,n)an－2b2＋…＋Ceq \\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq \\al(n,n)bn(n∈N*)．
(1)這個(gè)公式叫做二項(xiàng)式定理．
(2)展開式：等號(hào)右邊的多項(xiàng)式叫做(a＋b)n的二項(xiàng)展開式，展開式中一共有n＋1項(xiàng)．
(3)二項(xiàng)式系數(shù)：各項(xiàng)的系數(shù)Ceq \\al(k,n)(k∈{0,1,2，…，n})叫做二項(xiàng)式系數(shù)．
知識(shí)點(diǎn)十四二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)
(a＋b)n展開式的第k＋1項(xiàng)叫做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，記作Tk＋1＝Ceq \\al(k,n)an－kbk.
知識(shí)點(diǎn)十五二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)
一．古典概型及其概率計(jì)算公式（共5小題）
1．（2023春?寶山區(qū)校級(jí)期中）已知是1，3，3，5，7，8，10，11的分位數(shù)，在1，3，3，5，7，8，10，11中隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)，這兩個(gè)數(shù)都小于的概率為
A．B．C．D．
2．（2024春?長寧區(qū)校級(jí)月考）將編號(hào)為1，2，3，4，5的小球放入編號(hào)為1，2，3，4，5的小盒中，每個(gè)小盒放一個(gè)小球．則恰有1個(gè)小球與所在盒子編號(hào)相同的概率為
A．B．C．D．
3．（2023秋?黃浦區(qū)期中）從3名男同學(xué)和2名女同學(xué)中任選2名同學(xué)參加志愿者服務(wù)，則選出的2名同學(xué)中至少有1名女同學(xué)的概率是
A．B．C．D．
4．（2024春?長寧區(qū)校級(jí)月考）盒子中有大小與質(zhì)地相同的8只紅球和2只黑球，每次從中任取一個(gè)球，不放回地連續(xù)取兩次，則事件“取出的兩只球一只是紅球，一只是黑球”的概率是．
5．（2023?黃浦區(qū)模擬）如圖為正六棱柱，若從該正六棱柱的6個(gè)側(cè)面的12條面對(duì)角線中，隨機(jī)選取兩條，則它們共面的概率是．
二．分類加法計(jì)數(shù)原理（共2小題）
6．（2023春?閔行區(qū)月考）小張同學(xué)計(jì)劃從6本歷史類讀本、5本軍事類讀本和3本哲學(xué)類讀本中任選1本閱讀，則不同的選法共有種．
7．（2022?崇明區(qū)二模）某學(xué)校每天安排4項(xiàng)課后服務(wù)供學(xué)生自愿選擇參加．學(xué)校規(guī)定：
（1）每位學(xué)生每天最多選擇1項(xiàng)；
（2）每位學(xué)生每項(xiàng)一周最多選擇1次．學(xué)校提供的安排表如下：
若某學(xué)生在一周內(nèi)共選擇了閱讀、體育、編程3項(xiàng)，則不同的選擇方案共有種．（用數(shù)值表示）
三．分步乘法計(jì)數(shù)原理（共4小題）
8．（2023秋?松江區(qū)校級(jí)月考）設(shè)4名學(xué)生報(bào)名參加同一時(shí)間安排的3項(xiàng)課外活動(dòng)方案有種，這4名學(xué)生在運(yùn)動(dòng)會(huì)上共同爭奪100米、跳遠(yuǎn)、鉛球3項(xiàng)比賽的冠軍的可能結(jié)果有種，則為
A．，B．，C．，D．，
9．（2023春?嘉定區(qū)校級(jí)期中）5位同學(xué)報(bào)名參加兩個(gè)課外活動(dòng)小組，每位同學(xué)限報(bào)其中的一個(gè)小組，則不同的報(bào)名方法共有
A．10種B．20種C．25種D．32種
10．（2023秋?普陀區(qū)期中）某餐廳供應(yīng)客飯，每位顧客可以在餐廳提供的菜肴中任選2葷2素共4種不同的品種．現(xiàn)在餐廳準(zhǔn)備了5種不同的葷菜，若要保證每位顧客有200種以上的不同選擇，則餐廳至少還需要不同的素菜品種種．（結(jié)果用數(shù)值表示）
11．（2023春?浦東新區(qū)校級(jí)期末）某人有4種顏色的燈泡（每種顏色的燈泡足夠多），要在如圖所示的6個(gè)點(diǎn)、、、、、上各裝一個(gè)燈泡，要求同一條線段兩端的燈泡不同色，則每種顏色的燈泡都至少用一個(gè)的安裝方法共有種（用數(shù)字作答）．
四．計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用（共5小題）
12．（2023春?閔行區(qū)月考）五名旅客在三家旅店投宿的方法有種．
13．（2023春?浦東新區(qū)校級(jí)期中）書架上某層有8本書，新買2本插進(jìn)去，要保持原有8本書的順序，則有種不同的插法．（具體數(shù)字作答）
14．（2023春?長寧區(qū)校級(jí)期末）用0，1，2，3，4，5，6這七個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)．
（1）組成的四位數(shù)中，大于4000的有多少個(gè)？
（2）能組成多少個(gè)被25整除的四位數(shù)？這些數(shù)相加，所得的和是多少？
15．（2023春?徐匯區(qū)校級(jí)期中）已知，，，，，六個(gè)字母以隨機(jī)順序排成一行，若小明每次操作可以互換2個(gè)字母的位置，則小明必須進(jìn)行5次操作才能將六個(gè)字母排成的順序的排列情況有種．
16．（2023春?浦東新區(qū)校級(jí)期末）某校高二年級(jí)共有10個(gè)班級(jí)，5位數(shù)學(xué)教師，每位教師教兩個(gè)班級(jí)，其中姜老師一定教1班，張老師一定教3班，王老師一定教8班，秋老師至少教9班和10班中的一個(gè)班，曲老師不教2班和6班，王老師不教5班，則不同的排課方法種數(shù) ．
五．排列及排列數(shù)公式（共4小題）
17．（2023春?金山區(qū)校級(jí)期末）已知，則的值為
A．3B．4C．5D．6
18．（2023春?浦東新區(qū)校級(jí)期中）下列關(guān)于排列數(shù)和組合數(shù)的計(jì)算中正確的是
A．B．
C．D．
19．（2023春?長寧區(qū)校級(jí)期中）已知為正整數(shù)，且，則．
20．（2023春?閔行區(qū)校級(jí)期中）若，則．
六．組合及組合數(shù)公式（共7小題）
21．（2023春?浦東新區(qū)校級(jí)期中）已知，則正整數(shù) ．
22．（2023秋?嘉定區(qū)校級(jí)期中）若，則．
23．（2023春?浦東新區(qū)校級(jí)期中）．
24．（2023春?普陀區(qū)校級(jí)月考）若，則實(shí)數(shù) ．
25．（2023春?閔行區(qū)月考）計(jì)算：．
26．（2023春?閔行區(qū)校級(jí)期中）富比尼原理又稱算兩次原理，是組合數(shù)學(xué)中非常重要的計(jì)算方法，下面的組合恒等式可以用富比尼原理進(jìn)行證明，具體如下：人中有1人是軍人，從人中選人各獎(jiǎng)勵(lì)1顆星，共有種選法，另一方面，這等價(jià)于考慮這人中的軍人是否被選中，若選中軍人，則有種選法，若未選中軍人，則有種選法，所以；
（1）若，求關(guān)于的方程的解；
（2）將題干中的問題推廣到人中有人是軍人的情形，寫出結(jié)論并加以證明．
27．（2023春?靜安區(qū)期末）（1）已知是自然數(shù)，是正整數(shù)，且．求證組合數(shù)性質(zhì)：；
（2）按（1）中的組合數(shù)性質(zhì)公式，有．請(qǐng)自編一個(gè)計(jì)數(shù)問題，使得與為該問題的兩個(gè)不同的解法，并簡要說明解法的依據(jù)．
七．排列、組合及簡單計(jì)數(shù)問題（共5小題）
28．（2023春?普陀區(qū)校級(jí)月考）現(xiàn)要用5種不同顏色對(duì)如圖所示的五個(gè)區(qū)域進(jìn)行涂色，要求相鄰的區(qū)域不能用同一種顏色，則不同的涂色方法共有
A．180種B．192種C．300種D．420種
29．（2023春?楊浦區(qū)校級(jí)月考）從5名男醫(yī)生、4名女醫(yī)生中選3名醫(yī)生組成一個(gè)醫(yī)療小分隊(duì)，要求其中男、女醫(yī)生都有，則不同的組隊(duì)方案共有
A．68種B．70種C．72種D．74種
30．（2024春?長寧區(qū)校級(jí)月考）電視臺(tái)在電視劇開播前連續(xù)播放6個(gè)不同的廣告，其中4個(gè)商業(yè)廣告2個(gè)公益廣告，現(xiàn)要求2個(gè)公益廣告不能連續(xù)播放，則不同的播放方式共有種（用數(shù)字作答）．
31．（2022秋?長寧區(qū)期末）有甲、乙、丙三項(xiàng)任務(wù)，其中甲需2人承擔(dān)，乙、丙各需1人承擔(dān)．現(xiàn)從6人中任選4人承擔(dān)這三項(xiàng)任務(wù)，則共有種不同的選法．
32．（2023秋?黃浦區(qū)校級(jí)月考）空間中有三個(gè)點(diǎn)，，，且，在空間中任取2個(gè)不同的點(diǎn)，使得它們與，，恰好成為一個(gè)正四棱錐的五個(gè)頂點(diǎn)，則不同的取法有種．
八．二項(xiàng)式定理（共5小題）
33．（2023春?浦東新區(qū)校級(jí)期末）的展開式中的系數(shù)是．
34．（2023秋?徐匯區(qū)校級(jí)月考）的二項(xiàng)展開式中，常數(shù)項(xiàng)為．
35．（2023?黃浦區(qū)校級(jí)模擬）若的展開式中的系數(shù)為160，則實(shí)數(shù)的值為．
36．（2023春?普陀區(qū)校級(jí)期末）已知在的展開式中，第4項(xiàng)的系數(shù)與倒數(shù)第4項(xiàng)的系數(shù)之比為．
（1）求的值；
（2）求的展開式的中間兩項(xiàng)．
37．（2023春?閔行區(qū)校級(jí)期中）已知的二項(xiàng)展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為1024．
（1）求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；
（2）求展開式的所有有理項(xiàng)，并指明是第幾項(xiàng)．
一．填空題（共12小題）
1．（2023?黃浦區(qū)校級(jí)開學(xué)）三位同學(xué)參加跳高、跳遠(yuǎn)、鉛球項(xiàng)目的比賽，若每人只選擇一個(gè)項(xiàng)目，則同一個(gè)項(xiàng)目最多只有2人參寒的情況共有種．
2．（2023春?閔行區(qū)月考）“賽龍舟”是端午節(jié)的習(xí)俗之一，也是端午節(jié)最重要的節(jié)日民俗活動(dòng)之一，某單位龍舟隊(duì)欲參加端午節(jié)龍舟賽，參加訓(xùn)練的8名隊(duì)員中有3人只會(huì)劃左槳，3人只會(huì)劃右槳，2人既會(huì)劃左槳又會(huì)劃右槳．現(xiàn)要選派3人劃左槳、3人劃右槳共6人去參加比賽，則不同的選派方法共有種．
3．（2023春?寶山區(qū)校級(jí)期中）2位教師和4名學(xué)生站成一排合影，要求2位教師站在中間，學(xué)生甲不站在兩邊，則不同排法的種數(shù)為（結(jié)果用數(shù)字表示）．
4．（2023春?徐匯區(qū)校級(jí)期中）將序號(hào)分別為1，2，3，4，5的5張參觀券全部分給4人，每人至少1張，如果分給同一人的2張參觀券連號(hào)，那么不同的分法種數(shù)是．
5．（2023秋?嘉定區(qū)期末）已知的二項(xiàng)展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為．
6．（2023秋?閔行區(qū)期末）已知，則．
7．（2023秋?青浦區(qū)校級(jí)期中）已知實(shí)數(shù)，在的二項(xiàng)展開式中，項(xiàng)的系數(shù)是135，則的值為．
8．（2023秋?虹口區(qū)校級(jí)期中）已知，若存在，1，2，，使得，則的最大值為．
9．（2023春?浦東新區(qū)校級(jí)月考）把二項(xiàng)式的所有展開項(xiàng)重新排列，則有理項(xiàng)不相鄰的概率為．
10．（2023?楊浦區(qū)校級(jí)模擬）若，則．
11．（2023春?徐匯區(qū)校級(jí)期中）二項(xiàng)式的展開式中含有非零常數(shù)項(xiàng)，則正整數(shù)的最小值為．
12．（2023秋?浦東新區(qū)校級(jí)期中）設(shè)，為的展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和，表示不超過實(shí)數(shù)的最大整數(shù)），則的最小值為．
二．選擇題（共4小題）
13．（2022春?浦東新區(qū)校級(jí)期末）公安部新修訂的《機(jī)動(dòng)車登記規(guī)定》正式實(shí)施后，小型汽車的號(hào)牌已經(jīng)可以采用“自主編排”的方式進(jìn)行編排．某人欲選由、、、、中的兩個(gè)不同字母，和0、1、2、3、4、5、6、7、8、9中的3個(gè)不同數(shù)字，組成的三個(gè)數(shù)字都相鄰的一個(gè)號(hào)牌，則他選擇號(hào)牌的方法種數(shù)最多有
A．7200種B．14400種C．21600種D．43200種
14．（2023春?閔行區(qū)月考）已知，則被10除所得的余數(shù)為
A．0B．1C．2D．3
15．（2023春?嘉定區(qū)校級(jí)月考）已知二項(xiàng)式，的展開式中第四項(xiàng)的系數(shù)最大，則的值為
A．1B．2C．3D．4
16．（2022春?寶山區(qū)校級(jí)期末）設(shè)為實(shí)數(shù)，甲：；乙：二項(xiàng)展開式常數(shù)項(xiàng)為1．則甲是乙成立的條件．
A．充分但不必要B．充要
C．必要但不充分D．既不充分也不必要
三．解答題（共5小題）
17．（2022秋?浦東新區(qū)校級(jí)期末）4個(gè)男同學(xué)，3個(gè)女同學(xué)站成一排．
（1）男生甲必須排在正中間，有多少種不同的排法？
（2）3個(gè)女同學(xué)必須排在一起，有多少種不同的排法？
（3）任何兩個(gè)女同學(xué)彼此不相鄰，有多少種不同的排法？
（4）其中甲、乙兩名同學(xué)之間必須有3人，有多少種不同的排法？
18．（2023春?青浦區(qū)期中）已知二項(xiàng)式的展開式中第五項(xiàng)的系數(shù)與第三項(xiàng)的系數(shù)的比是．
（1）求展開式中含的項(xiàng)；
（2）求系數(shù)最大的項(xiàng)．
19．（2023春?楊浦區(qū)校級(jí)期中）設(shè)實(shí)數(shù)．對(duì)任意給定的實(shí)數(shù)，都有．
（1）當(dāng)時(shí)，求的值；
（2）若是整數(shù)，且滿足成立，求的值；
（3）當(dāng)時(shí)，根據(jù)的取值，討論的二項(xiàng)展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第幾項(xiàng)．
20．（2023春?普陀區(qū)校級(jí)期末）規(guī)定，其中，是正整數(shù)，且這是組合數(shù)，是正整數(shù)，且的一種推廣．
（1）的值；
（2）組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)：；是否都能推廣到的情形？若能推廣，則寫出推廣的形式并給予證明，或不能則說明理由；
（3）已知組合數(shù)是正整數(shù)，證明：當(dāng)，是正整數(shù)時(shí)，．
21．（2023春?閔行區(qū)月考）晚會(huì)上有5個(gè)不同的歌唱節(jié)目和3個(gè)不同的舞蹈節(jié)目，分別按以下要求各可以排出多少種不同的節(jié)目單：
（1）3個(gè)舞蹈節(jié)目排在一起；
（2）3個(gè)舞蹈節(jié)目彼此分開；
（3）3個(gè)舞蹈節(jié)目先后順序一定；
（4）前4個(gè)節(jié)目中既要有歌唱節(jié)目，又要有舞蹈節(jié)目．
分類加法計(jì)數(shù)原理
分步乘法計(jì)數(shù)原理
相同點(diǎn)
回答的都是有關(guān)做一件事的不同方法種數(shù)的問題
不同點(diǎn)
針對(duì)的是“分類”問題
不同點(diǎn)
各種方法相互獨(dú)立，用其中任何一種方法都可以做完這件事
各個(gè)步驟中的方法互相依存，只有每一個(gè)步驟都完成才算做完這件事
相同點(diǎn)
兩者都是從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素
不同點(diǎn)
排列問題中元素有序，組合問題中元素?zé)o序
關(guān)系
組合數(shù)Ceq \\al(m,n)與排列數(shù)Aeq \\al(m,n)間存在的關(guān)系
Aeq \\al(m,n)＝Ceq \\al(m,n)Aeq \\al(m,m)
組合數(shù)
公式
乘積
形式
Ceq \\al(m,n)＝eq \f(n?n－1??n－2?…?n－m＋1?,m！)，
其中m，n∈N*，并且m≤n
階乘
形式
Ceq \\al(m,n)＝eq \f(n！,m！?n－m?！)
對(duì)稱性
在(a＋b)n的展開式中，與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即Ceq \\al(m,n)＝Ceq \\al(n－m,n)
增減性
與最
大值
增減性：當(dāng)keq \f(n＋1,2)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)是逐漸減小的．最大值：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，相等，且同時(shí)取得最大值
各二項(xiàng)
式系數(shù)
的和
(1)Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(2,n)＋…＋Ceq \\al(n,n)＝2n；
(2)Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(2,n)＋Ceq \\al(4,n)＋…＝Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(3,n)＋Ceq \\al(5,n)＋…＝2n－1
時(shí)間
周一
周二
周三
周四
周五
課后服務(wù)
音樂、閱讀、
體育、編程
口語、閱讀、
編程、美術(shù)
手工、閱讀、
科技、體育
口語、閱讀、
體育、編程
音樂、口語、
美術(shù)、科技

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