一、單選題
1．（2022·全國·高二專題練習(xí)）先后拋擲兩枚均勻的正方體骰子（它們的六個面分別標(biāo)有點(diǎn)數(shù)1，2，3，4，5，6），骰子朝上的面的點(diǎn)數(shù)分別為X、Y，則的概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】先后拋兩枚骰子，可得所有的基本事件個數(shù)為種，
由得,滿足條件的共有3對，分別為：且,且,且,故概率為，
故選：D
2．（2022·吉林·高二期末）某同學(xué)從4本不同的數(shù)學(xué)資料，2本不同的語文資料，2本不同的英語資料中任選一本購買，則不同的選法共有（ ）
A．6種B．8種C．12種D．16種
【答案】B
【詳解】由題意，從8本不同資料任選一本購買，故共有8種選法.
故選：B
3．（2022·廣西河池·高二期末（理））解1道數(shù)學(xué)題，有兩種方法，有2個人只會用第一種方法，有3個人只會用第二種方法，從這5個人中選1個人能解這道題目，則不同的選法共有（ ）
A．4種B．5種C．6種D．9種
【答案】B
【詳解】根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理得：不同的選法共有（種）.
故選：B.
4．（2022·山東棗莊·高二期末）從1~7這七個數(shù)字中選3個數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)的個數(shù)為（ ）
A．210B．120C．90D．45
【答案】C
【詳解】先從2，4，6中選1個排在個位，有種情況，再從剩下的6個數(shù)選2個排在十位和百位，有種，則根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得偶數(shù)的個數(shù)為個.
故選：C.
5．（2022·內(nèi)蒙古·滿洲里遠(yuǎn)方中學(xué)高二期末（理））將4名消防隊(duì)員分配到3個不同社區(qū)做宣傳，每個社區(qū)至少1名，則不同的分配方案有（ ）
A．24種B．36種C．60種D．90種
【答案】B
【詳解】將4個消防員分配到三個社區(qū)，則其中一個社區(qū)分兩名消防員，另外兩個社區(qū)分別分一名消防員；故先從4個消防員中選2人去其中一個小區(qū)共有種，然后剩下兩名消防員分別去一個小區(qū)共有種，根據(jù)分步乘法原理得：
故選：B
6．（2022·江蘇連云港·高二期中）按序給出兩類元素，類中的元素排序?yàn)榧?、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，類中的元素排序?yàn)樽?、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．在兩類中各?個元素組成1個排列，則類中選取的元素排在首位，類中選取的元素排在末位的排列的個數(shù)為（ ）
A．240B．200C．120D．60
【答案】C
【詳解】解：從類中取1個元素有10種取法，從類中取1個元素有12種取法，
則共有種取法.
故選：C.
7．（2022·湖北黃岡·高三階段練習(xí)）中國空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心實(shí)驗(yàn)艙?問天實(shí)驗(yàn)艙和夢天實(shí)驗(yàn)艙，假設(shè)空間站要安排甲?乙等5名航天員開展實(shí)驗(yàn)，三艙中每個艙至少一人至多二人，則甲乙不在同一實(shí)驗(yàn)艙的種數(shù)有（ ）
A．60B．66C．72D．80
【答案】C
【詳解】5名航天員安排三艙，每個艙至少一人至多二人，共有種安排方法，
若甲乙在同一實(shí)驗(yàn)艙的種數(shù)有種，
故甲乙不在同一實(shí)驗(yàn)艙的種數(shù)有種.
故選：C.
8．（2022·全國·高三專題練習(xí)）“杭幫菜”山膚水豢，回味無窮.今有人欲以“糟燴鞭筍”、“冰糖甲魚”、“荷葉粉蒸肉”、“宋嫂魚羹”、“龍井蝦仁”、“叫化童雞”共六道杭幫菜宴請遠(yuǎn)方來客.這六道菜要求依次而上，其中“冰糖甲魚”和“叫化章雞”不能接連相鄰上菜，請問不同的上菜順序種數(shù)為（ ）
A．480B．240C．384D．1440
【答案】A
【詳解】根據(jù)題意，先排列“糟燴鞭筍”、“荷葉粉蒸肉”、“宋嫂魚羹”、“龍井蝦仁”這4道菜，共有種方法，
4道菜排列后，有5個空，然后用“冰糖甲魚”和“叫化章雞”去插空，有種方法，
所以由分步計(jì)數(shù)原理可知共有種不同的上菜順序，
故選：A
二、多選題
9．（2022·全國·高二課時練習(xí)）現(xiàn)有6位同學(xué)去聽同時進(jìn)行的5個課外知識講座，每位同學(xué)可自由選擇其中的一個講座，則不同選法的種數(shù)錯誤的是（ ）.
A．B．C．D．6×5×4×3×2
【答案】BCD
【詳解】根據(jù)題意，每位同學(xué)都有5種選擇，共有（種）不同的選法，
所以A正確，B，C，D錯誤．
故選：BCD.
10．（2022·吉林·遼源市田家炳高級中學(xué)校高二期末）現(xiàn)有不同的紅球4個，黃球5個，綠球6個，則下列說法正確的是（ ）
A．從中任選1個球，有15種不同的選法
B．若每種顏色選出1個球，有120種不同的選法
C．若要選出不同顏色的2個球，有31種不同的選法
D．若要不放回地依次選出2個球，有210種不同的選法
【答案】ABD
【詳解】解：A. 從中任選1個球，有15種不同的選法，所以該選項(xiàng)正確；
B. 若每種顏色選出1個球，有120種不同的選法，所以該選項(xiàng)正確；
C. 若要選出不同顏色的2個球，有種不同的選法，所以該選項(xiàng)錯誤；
D. 若要不放回地依次選出2個球，有210種不同的選法，所以該選項(xiàng)正確.
故選：ABD
11．（2022·廣東·雷州市白沙中學(xué)高二階段練習(xí)）已知數(shù)字，由它們組成四位數(shù)，下列說法正確的有（ ）
A．組成可以有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有個
B．組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有96個
C．組成無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)有66個
D．組成無重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)有28個
【答案】AB
【詳解】解：對A：四位數(shù)的首位不能為0，有4種情況，其他數(shù)位有5種情況，則組成可以有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有個，故選項(xiàng)A正確；
對B：四位數(shù)的首位不能為0，有4種情況，在剩下的4個數(shù)字中任選3個，排在后面3 個數(shù)位，有種情況，則組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有個，故選項(xiàng)B正確；
對C：若0在個位，有個四位偶數(shù)，若0不在個位，有個四位偶數(shù)，則組成無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)共有個四位偶數(shù)，故選項(xiàng)C錯誤；
對D：組成無重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)有個，故選項(xiàng)D錯誤；
故選：AB.
12．（2022·河北·藁城新冀明中學(xué)高二階段練習(xí)）如圖，線路從到之間有五個連接點(diǎn)，若連接點(diǎn)斷開，可能導(dǎo)致線路不通，現(xiàn)發(fā)現(xiàn)之間線路不通，則下列判斷正確的是（ ）
A．至多三個斷點(diǎn)的有種B．至多三個斷點(diǎn)的有種
C．共有種D．共有種
【答案】AC
【詳解】若有1個斷點(diǎn)，則1,5中斷開1個，有2種情況；
若有2個斷點(diǎn)，則1,5都斷開有1種；1,5斷開1個，2,3,4斷開1個有種，共種情況；
若有3個斷點(diǎn)，則2,3,4斷開有1種；1,5都斷開，2,3,4斷開1個有3種；1,5斷開1個，2,3,4斷開2個有種，共種；
若有4個斷點(diǎn)，則1,5都斷開，2,3,4斷開2個有3種；1,5斷開1個，2,3,4都斷開有2種，共有種；
若有5個斷點(diǎn)，有1種情況.
綜上，至多三個斷點(diǎn)的有種，故A正確，B錯誤；所有情況共有種，故C正確，D錯誤.
故選：AC.
三、填空題
13．（2022·黑龍江·建三江分局第一中學(xué)高二期中）如圖所示，用3種不同的顏色涂入圖中的矩形A，B，C中，要求相鄰的矩形不能使用同一種顏色，則不同的涂法數(shù)為________.
【答案】12
【詳解】根據(jù)題意，先涂A有3種涂法，
再涂B有2種涂法，
最后涂C有2種涂法，
所以不同的涂法有種，
故答案為：12.
14．（2022·江蘇淮安·高二期末）某學(xué)校有一塊綠化用地，其形狀如圖所示．為了讓效果更美觀，要求在四個區(qū)域內(nèi)種植花卉，且相鄰區(qū)域顏色不同．現(xiàn)有五種不同顏色的花卉可供選擇，則不同的種植方案共有________種．（用數(shù)字作答）
【答案】180
【詳解】先在1中種植，有5種不同的種植方法，再在2中種植，有4種不同的種植方法，
再在3中種植，有3種不同的種植方法，最后在4中種植，有3種不同的種植方法，
所以不同的種植方案共有（種）．
故答案為：180．
15．（2022·全國·高三專題練習(xí)）“五經(jīng)”是儒家典籍《周易》、《尚書》、《詩經(jīng)》、《禮記》、《春秋》的合稱．為弘揚(yáng)中國傳統(tǒng)文化，某校在周末興趣活動中開展了“五經(jīng)”知識講座，每經(jīng)排1節(jié)，連排5節(jié)，則《詩經(jīng)》、《春秋》分開排的情況有________種．
【答案】
【詳解】先將《周易》、《尚書》、《禮記》進(jìn)行排列，共有種排法
再從產(chǎn)生的4個空位中選2個安排《詩經(jīng)》、《春秋》，共有種排法
所以滿足條件的情形共有種．
故答案為：
16．（2022·全國·高二單元測試）洛書，古稱龜書，是陰陽五行術(shù)數(shù)之源，在古代傳說中有神龜出于洛水，其甲殼上心有此圖象如圖，結(jié)構(gòu)是戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足，以五居中，五方白圈皆陽數(shù)，四角黑點(diǎn)為陰數(shù)（圖中白圈為陽數(shù)，黑點(diǎn)為陰數(shù)）.現(xiàn)利用陰數(shù)和陽數(shù)構(gòu)成一個四位數(shù)，規(guī)則如下：（從左往右數(shù)）第一位數(shù)是陽數(shù)，第二位數(shù)是陰數(shù)，第三位數(shù)和第四位數(shù)一陰一陽和為7，則這樣的四位數(shù)有___________個
【答案】120
【詳解】據(jù)題意，陽數(shù)為：1，3，5，7，9，陰數(shù)為：2，4，6，8，第一位數(shù)的選擇有5種，第二位數(shù)的選擇有4種，第三位數(shù)和第四位數(shù)可以的組合有（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1）共有6種選擇，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，這樣的四位數(shù)共有個.
故答案為：
四、解答題
17．（2022·黑龍江·哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校高二期中）書架的第1層放有4本不同的計(jì)算機(jī)書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放2本不同的體育書.
(1)從書架的第1、2、3層各取1本書，有多少種不同的取法？
(2)從書架上任取兩本不同學(xué)科的書，有多少種不同的取法？
【答案】(1)種；
(2)種.
(1)
從書架的第1、2、3層各取1本書，可以分成3個步驟完成：
第1步從第1層取1本計(jì)算機(jī)書，有4種方法，
第2步從第2層取1本文藝書，有3種方法，
第3步從第3層取1本體育書，有2種方法，
根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同取法的種數(shù)是.
(2)
第1類方法是4本不同的計(jì)算機(jī)書和3本不同的文藝書中各選取1本，有種方法
第2類方法是4本不同的計(jì)算機(jī)書和2本不同的體育書各選取1本，有種方法，
第3類方法是3本不同的文藝書和2本不同的體育書各選取1本，有種方法
根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，不同取法的種數(shù)是.
18．（2022·湖北·棗陽一中高二期中）從5名男生和4名女生中選出4人去參加數(shù)學(xué)競賽．
(1)如果選出的4人中男生、女生各2人，那么有多少種選法？
(2)如果男生中的小王和女生中的小紅至少有1人入選，那么有多少種選法？
(3)如果被選出的4人是甲、乙、丙、丁，將這4人派往2個考點(diǎn)，每個考點(diǎn)至少1人，那么有多少種派送方式？
【答案】(1)60
(2)91
(3)14
(1)
從5名男生中選2名，4名女生中選2人，屬于組合問題，，故有60種選法；
(2)
若小王和小紅均未入選，則有種選法，故男生中的小王和女生中的小紅至少有1人入選，則有種選法；
(3)
若2個考點(diǎn)派送人數(shù)均為2人，則有種派送方式，
若1個考點(diǎn)派送1人，另1個考點(diǎn)派送3人，則有種派送方式，故一共有8+6=14種派送方式.
B能力提升
19．（2022·湖北·十堰東風(fēng)高級中學(xué)高二期中）如圖，已知圖形ABCDEF，內(nèi)部連有線段.（列出過程，用數(shù)字作答）
(1)由點(diǎn)A沿著圖中的線段到達(dá)點(diǎn)E的最近路線有多少條？
(2)由點(diǎn)A沿著圖中的線段到達(dá)點(diǎn)C的最近路線有多少條？
(3)求出圖中總計(jì)有多少個矩形？
【答案】(1)20
(2)175
(3)102
【詳解】（1）由題意得A沿著圖中的線段到達(dá)點(diǎn)E的最近路線需要移動6次,向右移動3次,向上移動3次,所以 A沿著圖中的線段到達(dá)點(diǎn)E的最近路線有條.
（2）設(shè)點(diǎn)G、H、P的位置如圖所示：
則點(diǎn)A沿著圖中的線段到達(dá)點(diǎn)C的最近路線可分為4種情況：
①沿著A→E→C，共有條最近路線；
②沿著A→G→C，共有條最近路線；
③沿著A→H→C，共有條最近路線；
④沿著A→P→C，共有條最近路線；
故由點(diǎn)A沿著圖中的線段到達(dá)點(diǎn)C的最近路線有條；
（3）由題意，要組成矩形則應(yīng)從豎線中選出兩條、橫線中選出兩條，可分為兩種情況：
①矩形的邊不在CD上，共有個矩形；
②矩形的一條邊在CD上，共有個矩形；故圖中共有個矩形.
20．（2022·全國·高三專題練習(xí)）有7本相同的筆記本作為獎品頒發(fā)給甲、乙、丙三名同學(xué).
(1)若先將這7本筆記本分成3份，每份至少1本，有多少種不同的分法？
(2)若甲、乙、丙三名同學(xué)每人至少獲得1本，并且丙同學(xué)最多獲得3本，有多少種不同的分法？
(3)若這7本筆記本分別被老師寫上了不同的頒獎詞，并且要求甲同學(xué)恰好得到2本，乙同學(xué)至少得到1本，丙同學(xué)至少得到1本且不超過3本，有多少種不同的分法？
【答案】(1)4；
(2)12；
(3)525
（1）
因?yàn)?本筆記本相同，，故有4種分法；
（2）
若丙分得3本，則甲乙分剩下的4本，，有3種分法；
若丙分得2本，則甲乙分剩下的5本，，有4種分法；
若丙分得1本，則甲乙分剩下的6本，，有5種分法；
故共有種分法；
（3）
因?yàn)?本筆記本不相同，先從7本中選2本給甲有種；剩下的5本中，若乙2本丙3本，有種，
若乙3本丙2本，有種，若乙4本丙1本，有種，共有種，總共有種.

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