1．（2024?淄博模擬）記，，表示，，中最大的數(shù)．已知，均為正實數(shù)，則，，的最小值為
A．B．1C．2D．4
2．（2024?大連一模）設(shè)函數(shù)，則滿足的的取值范圍是
A．B．C．D．
3．（2024?佛山模擬）如圖，△是邊長為2的正三角形，記△位于直線左側(cè)的圖形的面積為．則函數(shù)的圖象大致為
A．B．
C．D．
4．（2024?全國二模）已知可導(dǎo)函數(shù)的定義域為，為奇函數(shù)，設(shè)是的導(dǎo)函數(shù)，若為奇函數(shù)，且，則
A．B．C．D．
5．（2024?赤峰模擬）已知函數(shù)，下列函數(shù)是奇函數(shù)的是
A．B．C．D．
6．（2024?上海）已知函數(shù)的定義域為，定義集合，，，在使得，的所有中，下列成立的是
A．存在是偶函數(shù)
B．存在在處取最大值
C．存在為嚴(yán)格增函數(shù)
D．存在在處取到極小值
7．（2024?招遠(yuǎn)市三模）若定義在上的函數(shù)滿足：，，且對任意，，都有，則
A．B．為偶函數(shù)
C．是的一個周期D．圖象關(guān)于直線對稱
8．（2024?保定三模）已知函數(shù)的定義域為，且，，則
A．B．為奇函數(shù)
C．（8）D．的周期為3
9．（2024?蘭陵縣模擬）已知函數(shù)，若當(dāng)時，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是
A．B．C．D．
10．（2024?東城區(qū)一模）已知是定義在上的函數(shù)，其圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，設(shè)函數(shù)，下列說法正確的是
A．若在上單調(diào)遞增，則存在實數(shù)，使得在上單調(diào)遞增
B．對于任意實數(shù)，若在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增
C．對于任意實數(shù)，若存在實數(shù)，使得，則存在實數(shù)，使得
D．若函數(shù)滿足：當(dāng)時，，當(dāng)時，，則（a）為的最小值
二．多選題（共5小題）
11．（2024?江西模擬）已知定義在上的函數(shù)滿足，當(dāng)，，，時，．下列結(jié)論正確的是
A．B．
C．是奇函數(shù)D．在上單調(diào)遞增
12．（2024?江西一模）已知函數(shù)，若不等式對任意的恒成立，則實數(shù)的取值可能是
A．B．C．1D．2
13．（2024?福建模擬）已知函數(shù)的定義域為，且，（1），則
A．B．有最小值
C．D．是奇函數(shù)
14．（2024?南海區(qū)校級模擬）已知定義域均為的函數(shù)與，其導(dǎo)函數(shù)分別為與，且，，函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，則
A．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱
B．8是函數(shù)的一個周期
C．（5）
D．
15．（2024?河南模擬）定義在上的函數(shù)滿足，則
A．是周期函數(shù)
B．
C．的圖象關(guān)于直線對稱
D．
三．填空題（共5小題）
16．（2024?葫蘆島二模）已知實數(shù)，，則的最大值為 ．
17．（2024?安徽模擬）若函數(shù)為偶函數(shù)，是奇函數(shù)，且，則 ．
18．（2024?江西一模）已知正數(shù)，滿足，若不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是 ．
19．（2024?歷下區(qū)校級模擬）已知函數(shù)，則不等式的解集為 ．
20．（2024?海淀區(qū)校級三模）已知函數(shù)，其中表示不超過的最大整數(shù)．例如：，，．給出以下四個結(jié)論：
①；
②集合，的元素個數(shù)為9；
③存在，對任意的，有；
④對任意，都成立，則實數(shù)的取值范圍是．
其中所有正確結(jié)論的序號是 ．
四．解答題（共5小題）
21．（2024?廣漢市校級模擬）已知函數(shù)，．
（1）當(dāng)，時，解關(guān)于的不等式；
（2）當(dāng)時，對任意，，關(guān)于的不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；
（3）當(dāng)，時，若點，，，均為函數(shù)與函數(shù)圖象的公共點，且，求證：．
22．（2024?閔行區(qū)校級三模）設(shè)，函數(shù)的定義域為．若對滿足的任意、，均有，則稱函數(shù)具有“性質(zhì)”．
（1）在下述條件下，分別判斷函數(shù)是否具有（2）性質(zhì)，并說明理由；
①；
②；
（2）已知，且函數(shù)具有（1）性質(zhì)，求實數(shù)的取值范圍；
（3）證明：“函數(shù)為增函數(shù)”是“對任意，函數(shù)均具有性質(zhì)”的充要條件．
23．（2024?昆明一模）若非空集合與，存在對應(yīng)關(guān)系，使中的每一個元素，中總有唯一的元素與它對應(yīng)，則稱這種對應(yīng)為從到的映射，記作．
設(shè)集合，，，1，3，，，，，，，且，設(shè)有序四元數(shù)集合，，，，且，2，3，，，，，對于給定的集合，定義映射，記為，按映射，若，2，3，，則；若，2，3，，則．記．
（1）若，，，，，，寫出，并求；
（2）若，，，，，，，求所有的總和；
（3）對于給定的，，，，記，求所有的總和（用含的式子表示）．
24．（2024?閔行區(qū)校級二模）已知函數(shù)是定義域為的偶函數(shù)．
（1）求實數(shù)的值；
（2）若對任意，都有成立，求實數(shù)的取值范圍．
25．（2024?北京模擬）已知函數(shù)為實常數(shù)）．
（1）若函數(shù)為奇函數(shù)，求的值；
（2）在（1）的條件下，對任意，，不等式恒成立，求實數(shù)的最大值．
2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)壓軸訓(xùn)練4
參考答案與試題解析
一．選擇題（共10小題）
1．（2024?淄博模擬）記，，表示，，中最大的數(shù)．已知，均為正實數(shù)，則，，的最小值為
A．B．1C．2D．4
【答案】
【考點】基本不等式及其應(yīng)用；函數(shù)的最值
【專題】數(shù)學(xué)運算；綜合法；對應(yīng)思想；不等式
【分析】設(shè)，，，則，，，三式相加得，再結(jié)合基本不等式的性質(zhì)求解即可．
【解答】解：因為，，
設(shè)，，，
則，，，
三式相加得：，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
又因為，
當(dāng)且僅當(dāng)，
即，時等號成立，
所以，．
所以的最小值為2．
故選：．
【點評】本題考查了基本不等式的應(yīng)用、不等式的性質(zhì)，屬于中檔題．
2．（2024?大連一模）設(shè)函數(shù)，則滿足的的取值范圍是
A．B．C．D．
【答案】
【考點】奇偶性與單調(diào)性的綜合
【專題】數(shù)學(xué)運算；構(gòu)造法；整體思想；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
【分析】由已知，利用換元法，則原函數(shù)可化為，構(gòu)造函數(shù)，判斷的單調(diào)性及奇偶性，結(jié)合單調(diào)性及奇偶性即可求解不等式．
【解答】解：令，則，
函數(shù)可畫為，
令，
則，即為奇函數(shù)，
因為，
故單調(diào)遞增，
由可得，
即，
所以，
即．
故選：．
【點評】本題考查利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性解抽象不等式，換元法，構(gòu)造法，奇偶函數(shù)的判斷，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬中檔題．
3．（2024?佛山模擬）如圖，△是邊長為2的正三角形，記△位于直線左側(cè)的圖形的面積為．則函數(shù)的圖象大致為
A．B．
C．D．
【答案】
【考點】函數(shù)的圖象與圖象的變換
【專題】綜合題；函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；邏輯思維
【分析】根據(jù)題意，求出函數(shù)解析式，據(jù)此分析選項，即可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，當(dāng)時，，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以只有選項符合，
故選：．
【點評】本題主要考查函數(shù)的圖像，屬于中檔題．
4．（2024?全國二模）已知可導(dǎo)函數(shù)的定義域為，為奇函數(shù)，設(shè)是的導(dǎo)函數(shù)，若為奇函數(shù)，且，則
A．B．C．D．
【答案】
【考點】函數(shù)的奇偶性
【專題】整體思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算
【分析】由為奇函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)運算可得，由為奇函數(shù)，可得，整理可得，進而分析可得，即可得結(jié)果．
【解答】解：因為為奇函數(shù)，則，
即，兩邊求導(dǎo)得，
則，可知關(guān)于直線對稱，
又因為為奇函數(shù)，則，
即，可知關(guān)于點對稱，
令，可得（2），即，
由可得，
由，可得，即，
可得，即，
令，可得；
令，可得；
且，可知8為的周期，
可知，
所以．
故選：．
【點評】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性、周期性以及函數(shù)圖象的對稱性，在解題中根據(jù)問題的條件通過變換函數(shù)的解析式或者已知的函數(shù)關(guān)系，推證函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解決問題，屬于中檔題．
5．（2024?赤峰模擬）已知函數(shù)，下列函數(shù)是奇函數(shù)的是
A．B．C．D．
【答案】
【考點】函數(shù)的奇偶性
【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)抽象；整體思想；綜合法
【分析】分別求出每個選項中的函數(shù)的表達(dá)式，確定其定義域，結(jié)合奇函數(shù)的定義判斷，即可得答案．
【解答】解：由于，定義域為，，，
故，定義域為，，，，
即不是奇函數(shù)，錯誤；
，定義域為，，，不關(guān)于原點對稱，即不是奇函數(shù)，錯誤；
，定義域為，，，不關(guān)于原點對稱，
即不是奇函數(shù)，錯誤；
，定義域為，，，
，
即為奇函數(shù)，正確．
故選：．
【點評】本題主要考查了函數(shù)奇偶性的判斷，屬于中檔題．
6．（2024?上海）已知函數(shù)的定義域為，定義集合，，，在使得，的所有中，下列成立的是
A．存在是偶函數(shù)
B．存在在處取最大值
C．存在為嚴(yán)格增函數(shù)
D．存在在處取到極小值
【答案】
【考點】函數(shù)的奇偶性
【專題】函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、極值及最值的相關(guān)性質(zhì)對各選項進行判定即可．
【解答】解：對于，時，，
當(dāng)時，，，
對于任意，（1）恒成立，
若是偶函數(shù)，此時（1），矛盾，故錯誤；
對于，若函數(shù)圖像如下：
當(dāng)時，，時，，，當(dāng)，，
所以存在在處取最大值，故正確；
對于，在時，若函數(shù)嚴(yán)格增，
則集合的取值不會是，，而是全體定義域，故錯誤；
對于，若存在在處取到極小值，
則在左側(cè)存在，，與集合定義矛盾，故錯誤．
故選：．
【點評】本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性及最值等性質(zhì)，屬中檔題．
7．（2024?招遠(yuǎn)市三模）若定義在上的函數(shù)滿足：，，且對任意，，都有，則
A．B．為偶函數(shù)
C．是的一個周期D．圖象關(guān)于直線對稱
【答案】
【考點】抽象函數(shù)的周期性
【專題】函數(shù)思想；直觀想象；邏輯推理；數(shù)學(xué)運算；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
【分析】對于，令，，可得，令，可得，令，，求解即可；
對于，取，，得，令，得，即可判斷；
對于，由可知，則有 ，即可判斷；
對于，，，可得，即可判斷．
【解答】解：對于：對于，
令，，得，
又，
所以，
令，
則有，
所以，
令，，
則有，
即，
解得，故錯誤；
對于：對于，
取，，得，
所以，
令，得，
所以，故不可能是偶函數(shù)，故錯誤；
對于：由可知，
所以 ，
則為的一個周期，故錯誤；
對于：對于．
取，，
得，
所以．
所以的圖象關(guān)于直線對稱，正確．
故選：．
【點評】本題考查了利用賦值法求抽象函數(shù)的值、判斷抽象函數(shù)的奇偶性、周期性、對稱性，屬于中檔題．
8．（2024?保定三模）已知函數(shù)的定義域為，且，，則
A．B．為奇函數(shù)
C．（8）D．的周期為3
【答案】
【考點】抽象函數(shù)的周期性
【專題】計算題；函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運算求解
【分析】利用賦值法令，即可求出，從而判斷；令，可判斷函數(shù)的奇偶性，從而判斷；令，可得，從而可得，進而推出函數(shù)的周期，即可判斷；令，可求出，由奇偶性可得（2），再由周期性求得（8），即可判斷．
【解答】解：依題意，，，
令，得，
所以或，
當(dāng)時，，不符合題意，
所以，故錯誤；
令得，
所以，故為偶函數(shù)，故錯誤；
令，得，所以，
所以，所以，
所以，
所以的周期為6，故錯誤；
令，得，又，，
可得，
所以（2），
所以（8），故正確．
故選：．
【點評】本題主要考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，考查運算求解能力，屬于中檔題．
9．（2024?蘭陵縣模擬）已知函數(shù)，若當(dāng)時，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是
A．B．C．D．
【答案】
【考點】奇偶性與單調(diào)性的綜合；函數(shù)恒成立問題
【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；綜合法；直觀想象；數(shù)學(xué)運算；分類討論；轉(zhuǎn)化思想；函數(shù)思想
【分析】先判斷是奇函數(shù)且在上為增函數(shù)，所以由可得，由，得，，構(gòu)造函數(shù)，，，然后分，和三種情況求解即可．
【解答】解：的定義域為，
，
為奇函數(shù)，
函數(shù)在，上均為增函數(shù)，
在，上為增函數(shù)，所以在上為增函數(shù)，
由，得，
，
，即，
當(dāng)時，，，
令，，，
當(dāng)時，，舍去；
當(dāng)時，對稱軸為，
當(dāng)，即時，則有，即，解得，所以；
當(dāng)，即時，有（1），得，不滿足，所以；
當(dāng)，即時，有（1），得，所以，
綜上，．
故選：．
【點評】本題考查奇函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想和分類思想，屬于中檔題．
10．（2024?東城區(qū)一模）已知是定義在上的函數(shù)，其圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，設(shè)函數(shù)，下列說法正確的是
A．若在上單調(diào)遞增，則存在實數(shù)，使得在上單調(diào)遞增
B．對于任意實數(shù)，若在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增
C．對于任意實數(shù)，若存在實數(shù)，使得，則存在實數(shù)，使得
D．若函數(shù)滿足：當(dāng)時，，當(dāng)時，，則（a）為的最小值
【答案】
【考點】由函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)或參數(shù)；函數(shù)恒成立問題
【專題】綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算；轉(zhuǎn)化思想
【分析】首先理解函數(shù)表達(dá)的是函數(shù)圖像上兩點割線的斜率，當(dāng)時，表示的為切線斜率，然后舉反例設(shè)可判斷錯誤；設(shè)可得錯誤；設(shè)可判斷錯誤；由函數(shù)單調(diào)性的定義可以判斷正確．
【解答】解：函數(shù)表達(dá)的是函數(shù)圖象上兩點割線的斜率，
當(dāng)時，表示的為切線斜率，
對于：因為是定義在上的函數(shù)，其圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，
且在上單調(diào)遞增，所以設(shè)，則（a），
此時為常數(shù)，
即任意兩點的割線的斜率為常數(shù)，故錯誤；
對于：設(shè)，由圖象可知，
當(dāng)時，隨增大，點，與點，（a）連線的割線斜率越來越大，即單調(diào)遞增，
但在上不是單調(diào)函數(shù)，故錯誤；
對于：因為對于任意實數(shù)存在實數(shù)，使得，
說明為有界函數(shù)所以設(shè)，
割線的斜率不一定有界，如圖：
當(dāng)時，割線的斜率趨于正無窮，故錯誤；
對于：因為函數(shù)滿足：當(dāng)時，，
即
因為，，所以（a）；
同理，當(dāng)時，，
即，
因為，，所以（a）；
所以（a）為的最小值，故正確．
故選：．
【點評】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的有界性及最值問題，函數(shù)的切線的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合思想，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬難題．
二．多選題（共5小題）
11．（2024?江西模擬）已知定義在上的函數(shù)滿足，當(dāng)，，，時，．下列結(jié)論正確的是
A．B．
C．是奇函數(shù)D．在上單調(diào)遞增
【答案】
【考點】函數(shù)的奇偶性；抽象函數(shù)的周期性
【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；邏輯推理；轉(zhuǎn)化法；轉(zhuǎn)化思想
【分析】令，可得；令及題意條件，可得（1）；令，可得當(dāng)時，；令，可得①，令，可得②，由①②可得，進而可判斷的正誤；由及賦值即可判斷的正誤；由可得，解方程組即可判斷的正誤；令，，及函數(shù)的單調(diào)性即可判斷的正誤．
【解答】解：令可得：；令可得：（1）（1）．
因為當(dāng)，，時，，所以（1），所以（1）．
令可得：，即，
又因為當(dāng)，，時，，所以，所以，
所以當(dāng)時，．
令，可得①，
所以，，
兩式相加可得：．
令，可得②．
①②可得，化簡可得，所以是奇函數(shù)，故正確；
由，可得（2）（1），（3）（2），（4）（3），，，故錯誤；
由可得解得，故正確；
令，，可得．
令，則，，
因為當(dāng)時，，所以，，
所以，即，
所以在上單調(diào)遞增．
因為在上為奇函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，故正確．
故選：．
【點評】本題考查抽象函數(shù)的基本性質(zhì)，考查學(xué)生的邏輯思維能力，屬中檔題．
12．（2024?江西一模）已知函數(shù)，若不等式對任意的恒成立，則實數(shù)的取值可能是
A．B．C．1D．2
【答案】
【考點】函數(shù)恒成立問題
【專題】綜合法；數(shù)學(xué)抽象；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；函數(shù)思想
【分析】先根據(jù)函數(shù)解析式判斷對稱性，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，根據(jù)對稱性和單調(diào)性得出答案．
【解答】解：因為，
所以，
即函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱．
當(dāng)時，為增函數(shù)；
令，則，
時，，，所以，所以為增函數(shù)，
所以當(dāng)時，為增函數(shù)．
由對稱性可知，當(dāng)時，為減函數(shù)．
因為恒成立，所以恒成立，
即，解得．
故選：．
【點評】本題主要考查了函數(shù)的對稱性及單調(diào)性在不等式求解中的應(yīng)用，屬于中檔題．
13．（2024?福建模擬）已知函數(shù)的定義域為，且，（1），則
A．B．有最小值
C．D．是奇函數(shù)
【答案】
【考點】抽象函數(shù)的周期性
【專題】數(shù)學(xué)抽象；整體思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
【分析】利用輔值法檢驗選項，舉出反例檢驗選項，結(jié)合函數(shù)奇偶性定義檢驗選項即可判斷．
【解答】解：函數(shù)的定義域為，且，（1），
令可得，，即，正確；
當(dāng)時，顯然滿足已知條件，但在上沒有最小值，錯誤；
由題意得（2）（1），（3）（2）（1）（1），（4）（3）（1）（1），，（1），正確；
令，
則由可得，，
所以，
因為，
令，則，
所以，即為奇函數(shù)，正確．
故選：．
【點評】本題主要考查了賦值法在函數(shù)求值中的應(yīng)用，還考查了函數(shù)奇偶性的判斷，屬于中檔題．
14．（2024?南海區(qū)校級模擬）已知定義域均為的函數(shù)與，其導(dǎo)函數(shù)分別為與，且，，函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，則
A．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱
B．8是函數(shù)的一個周期
C．（5）
D．
【答案】
【考點】抽象函數(shù)的周期性
【專題】綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算；計算題；邏輯推理；轉(zhuǎn)化思想；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用
【分析】利用函數(shù)的對稱性以及函數(shù)巧妙構(gòu)造，進一步利用函數(shù)的求導(dǎo)和賦值法判定的結(jié)論．
【解答】解：由于函數(shù)，令，則，
即，所以，
用代替，可得，即，
由于，則，，，
所以，令，可得（3）（3），
所以，
再由，令，則，
所以，即，
用代替，可得，且，即，
將代入，可得，所以函數(shù)關(guān)于對稱，故正確；
由于函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，即，
所以是函數(shù)的一個周期，故正確；
由，令，則（5），
由于函數(shù)關(guān)于對稱，則（3），且函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，所以（3）；
則（5）（3），故錯誤；
由，令，可得，
令，可得，
則，
由于8是函數(shù)的一個周期，且函數(shù)關(guān)于對稱，
則（2），（4），
由于函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，即，
令，則（2）（4），則（2）（4），
則（2）（4），故正確．
故選：．
【點評】本題考查的知識點：函數(shù)的性質(zhì)，賦值法，構(gòu)造函數(shù)，函數(shù)的求導(dǎo)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運算能力，屬于中檔題．
15．（2024?河南模擬）定義在上的函數(shù)滿足，則
A．是周期函數(shù)
B．
C．的圖象關(guān)于直線對稱
D．
【答案】
【考點】函數(shù)的周期性；抽象函數(shù)的周期性
【專題】轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運算
【分析】根據(jù)已知條件，先求出周期，再結(jié)合賦值法，即可依次求解．
【解答】解：（2），
則（2），
故，
所以的周期為4，故正確；
（2），
令，
則（2）（2），解得，
故，故正確；
，
則關(guān)于對稱，
的周期為4，
則，
故，即也關(guān)于對稱，
由可知，，，均為對稱軸，故正確；
，關(guān)于對稱，
則（2），
且，
故，
又，
故，
所以，故錯誤．
故選：．
【點評】本題主要考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．
三．填空題（共5小題）
16．（2024?葫蘆島二模）已知實數(shù)，，則的最大值為 2 ．
【答案】2
【考點】基本不等式及其應(yīng)用；函數(shù)的最值
【專題】綜合法；數(shù)學(xué)運算；不等式的解法及應(yīng)用；函數(shù)思想
【分析】將分式化簡，然后結(jié)合平方均值不等式與基本不等式的相關(guān)知識即可得到結(jié)論
【解答】解：因為，
因為，，所以根據(jù)平方均值不等式得：
，
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
將上式化簡得：
，
當(dāng)且僅當(dāng)：時等號成立，即，又因為，
所以當(dāng)時取得最大值．
故答案為：2
【點評】本題主要考察了基本不等式的相關(guān)內(nèi)容，根據(jù)條件化簡可以知道，基本不等式的靈活運用是解題的關(guān)鍵
17．（2024?安徽模擬）若函數(shù)為偶函數(shù)，是奇函數(shù)，且，則 ．
【答案】．
【考點】函數(shù)的奇偶性
【專題】數(shù)學(xué)運算；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；綜合法；綜合題；函數(shù)思想
【分析】根據(jù)抽象函數(shù)的奇偶性、對稱性、周期性計算即可．
【解答】解：由題意可知關(guān)于軸對稱，關(guān)于中心對稱，
，
所以，故，
所以，
即是的一個正周期，則（3）（1），
由（3），且（3），則（1）．
故答案為：．
【點評】本題主要考查函數(shù)的奇偶性，屬于中檔題．
18．（2024?江西一模）已知正數(shù)，滿足，若不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是 ， ．
【答案】，．
【考點】函數(shù)恒成立問題；基本不等式及其應(yīng)用
【專題】綜合法；轉(zhuǎn)化思想；計算題；數(shù)學(xué)運算；邏輯推理；不等式
【分析】將變形為，利用均值不等式求的最小值即可求解．
【解答】解：因為，
所以
，
所以
，當(dāng)且僅當(dāng)，時，
等號成立，
所以，
所以實數(shù)的取值范圍是，．
故答案為：，．
【點評】本題考查函數(shù)恒成立問題，基本不等式求最值，屬難題．
19．（2024?歷下區(qū)校級模擬）已知函數(shù)，則不等式的解集為 ， ．
【考點】奇偶性與單調(diào)性的綜合
【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算；轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法
【分析】根據(jù)函數(shù)解析式特征，判斷其圖象關(guān)于點中心對稱；通過求導(dǎo)判斷導(dǎo)函數(shù)為正得在上單調(diào)遞增；再利用對稱性將進行等價轉(zhuǎn)化，最后利用單調(diào)性求解抽象不等式即得．
【解答】解：因為，
所以，
所以，即的圖像關(guān)于點中心對稱，
因為，
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
所以在上單調(diào)遞增，
由，得，
由可得，
即，
所以，解得．
故答案為：，．
【點評】本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性在不等式求解中的應(yīng)用，屬于中檔題．
20．（2024?海淀區(qū)校級三模）已知函數(shù)，其中表示不超過的最大整數(shù)．例如：，，．給出以下四個結(jié)論：
①；
②集合，的元素個數(shù)為9；
③存在，對任意的，有；
④對任意，都成立，則實數(shù)的取值范圍是．
其中所有正確結(jié)論的序號是 ①④ ．
【答案】①④．
【考點】函數(shù)恒成立問題
【專題】新定義；函數(shù)思想；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；綜合法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)
【分析】利用給定定義直接判斷①；當(dāng)，時，求出每個元素判斷②；舉反例判斷③；利用題意分離參數(shù)，得到，再結(jié)合給定定義求解，最后得到參數(shù)范圍即可．
【解答】解：對于①，由知，，故①正確；
對于②，由周期性可知，的周期為，故討論，即可，
易得當(dāng)時，，當(dāng)時，；
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
當(dāng)時，，故該集合元素個數(shù)為6，故②錯誤；
對于③，顯然在，時，的值域不關(guān)于對稱，
故不關(guān)于對稱，即，故③錯誤；
對于④，當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
而對任意，都成立，故恒成立，
令，即，而顯然，
可得恒成立，即，故④正確．
故答案為：①④．
【點評】本題考查三角函數(shù)新定義，以及函數(shù)恒成立問題，考查運算求解能力與邏輯推理能力，屬于中檔題．
四．解答題（共5小題）
21．（2024?廣漢市校級模擬）已知函數(shù)，．
（1）當(dāng)，時，解關(guān)于的不等式；
（2）當(dāng)時，對任意，，關(guān)于的不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；
（3）當(dāng)，時，若點，，，均為函數(shù)與函數(shù)圖象的公共點，且，求證：．
【答案】（1）；
（2），；
（3）證明見解析．
【考點】函數(shù)恒成立問題
【專題】綜合法；函數(shù)思想；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算
【分析】（1）即解不等式，分、、且討論，解不等式可得答案；
（2）轉(zhuǎn)化為在，上恒成立，求得的最大值可得答案；
（3）由得，化簡方程得，令，結(jié)合一元二次不等式求解可得答案．
【解答】解：（1）當(dāng)，時，即解不等式，
可得，
當(dāng)時，成立，
當(dāng)時，得，即解，
解得；
當(dāng)且時，得，解得，
綜上所述，不等式的解集為；
（2）當(dāng)時，可得，，
對任意，，關(guān)于的不等式恒成立，
即在，上恒成立，
即在，上恒成立，
即當(dāng)，時，的最大值為0，所以，
所以實數(shù)的取值范圍，；
（3）證明：由，可得，
可得，
因為點，，，均為函數(shù)與函數(shù)圖象的公共點，
可得，
，兩式相減得
，
因為，所以，
可得，
令，則，
整理得，解得，
所以．
【點評】本題考查了利用不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍，利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍，利用綜合法證明不等式，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．
22．（2024?閔行區(qū)校級三模）設(shè)，函數(shù)的定義域為．若對滿足的任意、，均有，則稱函數(shù)具有“性質(zhì)”．
（1）在下述條件下，分別判斷函數(shù)是否具有（2）性質(zhì)，并說明理由；
①；
②；
（2）已知，且函數(shù)具有（1）性質(zhì)，求實數(shù)的取值范圍；
（3）證明：“函數(shù)為增函數(shù)”是“對任意，函數(shù)均具有性質(zhì)”的充要條件．
【答案】（1）①是，②不是 （2）． （3）見解析．
【考點】由函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)或參數(shù)
【專題】函數(shù)思想；分析法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運算求解
【分析】（1）代入（2）性質(zhì)直接計算即可．
（2）將原式等價與當(dāng)時，恒成立的問題即可求解．
（3）由充要條件的概念以及函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)判斷即可．
【解答】解：（1）①是，因為對任意，，
所以符合定義；
②不是，學(xué)生只需舉一組反例；
（2）顯然，所以設(shè)，
則，
當(dāng)時，取最小值，
原問題等價于當(dāng)時，恒成立，
即恒成立，
由，可得，
所以得；
（3）證明：充分性：
如果函數(shù)為增函數(shù)，則對任意的，均有，
即，因此，對任意，若，
則，函數(shù)具有性質(zhì)，充分性得證；
必要性：
若對任意，函數(shù)均具有性質(zhì)，
假設(shè)函數(shù)不是增函數(shù)，則存在，滿足，
即，取，
則顯然，
即對于，存在，但是，
與“對任意，函數(shù)均具有性質(zhì)”矛盾，因此假設(shè)不成立，
即函數(shù)為增函數(shù)，必要性得證．
所以“函數(shù)為增函數(shù)”是“對任意，函數(shù)均具有性質(zhì)”的充要條件．
【點評】本題考查了函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)與判斷，應(yīng)注意充要條件的概念，屬于中檔題．
23．（2024?昆明一模）若非空集合與，存在對應(yīng)關(guān)系，使中的每一個元素，中總有唯一的元素與它對應(yīng)，則稱這種對應(yīng)為從到的映射，記作．
設(shè)集合，，，1，3，，，，，，，且，設(shè)有序四元數(shù)集合，，，，且，2，3，，，，，對于給定的集合，定義映射，記為，按映射，若，2，3，，則；若，2，3，，則．記．
（1）若，，，，，，寫出，并求；
（2）若，，，，，，，求所有的總和；
（3）對于給定的，，，，記，求所有的總和（用含的式子表示）．
【答案】（1），，，，，，，，，，
．
（2）40．
（3）．
【考點】映射
【專題】邏輯推理；數(shù)學(xué)運算；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
【分析】（1）根據(jù)題意中的新定義，直接計算即可；
（2）對1，，5是否屬于，進行分類討論，求出對應(yīng)所有中的總個數(shù)，進而求解；
（3）由題意，先求出在映射下得到的所有的和，同理求出在映射下得到的所有，3，的和，即可求解．
【解答】解：（1）由題，，，，，，，，，，，
所以．
（2）對1，，5是否屬于進行討論：
①含1的的個數(shù)為，此時在映射下，；
不含1的的個數(shù)為，此時在映射下，；
所以所有中2的總個數(shù)和1的總個數(shù)均為10；
②含5的的個數(shù)為，此時在映射下，；不含5的的個數(shù)為，
此時在映射下，；所以所有中6的總個數(shù)和5的總個數(shù)均為10；
②含的的個數(shù)為，此時在映射下，，；
不含的的個數(shù)為，此時在映射下，，；
所以所有中的總個數(shù)和的總個數(shù)均為20．
綜上，所有的總和為．
（3）對于給定的，，，，考慮在映射下的變化．
由于在的所有非空子集中，含有的子集共個，所以在映射下變?yōu)椋?br>不含的子集共個，在映射下變?yōu)椋?br>所以在映射下得到的所有的和為．
同理，在映射下得到的所有，3，的和為．
所以所有的總和為．
【點評】本題考查映射的概念、新定義、求和公式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是難題．
24．（2024?閔行區(qū)校級二模）已知函數(shù)是定義域為的偶函數(shù)．
（1）求實數(shù)的值；
（2）若對任意，都有成立，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）2；
（2）．
【考點】函數(shù)恒成立問題；函數(shù)的奇偶性
【專題】函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化法；數(shù)學(xué)運算；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
【分析】（1）由偶函數(shù)定義求得參數(shù)值；
（2）由基本不等式求得的最小值，然后解相應(yīng)的不等式可得范圍．
【解答】解：（1）由偶函數(shù)定義知：，
即，
對成立，．
（2）由（1）得：；
，，
當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，
，
，即，解得：或，
綜上，實數(shù)的取值范圍為．
【點評】本題考查了函數(shù)的奇偶性，基本不等式的性質(zhì)以及函數(shù)最值問題，是中檔題．
25．（2024?北京模擬）已知函數(shù)為實常數(shù)）．
（1）若函數(shù)為奇函數(shù)，求的值；
（2）在（1）的條件下，對任意，，不等式恒成立，求實數(shù)的最大值．
【答案】（1）；
（2）1．
【考點】函數(shù)的奇偶性；函數(shù)恒成立問題
【專題】轉(zhuǎn)化法；函數(shù)思想；數(shù)學(xué)運算；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
【分析】（1）由求解，再檢驗即可；
（2）求得，，令，，求得函數(shù)在，上的最小值即可得到實數(shù)的最大值．
【解答】解：（1）因為，，
又因為為奇函數(shù)，
所以，
所以．
經(jīng)檢驗滿足題意，
所以；
（2）由（1）知，從而，
由不等式恒成立，得，
令，（因為，，
故，
由于函數(shù)在，單調(diào)遞增，
所以（3），
因此當(dāng)不等式在，上恒成立時，實數(shù)的最大值為1．
【點評】本題考查函數(shù)恒成立問題，考查奇函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，考查等價轉(zhuǎn)化思想與綜合運算能力，屬于中檔題．
考點卡片
1．基本不等式及其應(yīng)用
【知識點的認(rèn)識】
基本不等式主要應(yīng)用于求某些函數(shù)的最值及證明不等式．其可表述為：兩個正實數(shù)的幾何平均數(shù)小于或等于它們的算術(shù)平均數(shù)．公式為：≥（a≥0，b≥0），變形為ab≤（）2或者a+b≥2．常常用于求最值和值域．
實例解析
例1：下列結(jié)論中，錯用基本不等式做依據(jù)的是．
A：a，b均為負(fù)數(shù)，則．B：．C：．D：．
解：根據(jù)均值不等式解題必須滿足三個基本條件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均滿足條件．
對于C選項中sinx≠±2，
不滿足“相等”的條件，
再者sinx可以取到負(fù)值．
故選：C．
A選項告訴我們正數(shù)的要求是整個式子為正數(shù)，而不是式子當(dāng)中的某一個組成元素；B分子其實可以寫成x2+1+1，然后除以分母就可換成基本不等式．這個例題告訴我們對于一個式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．
例2：利用基本不等式求的最值？當(dāng)0＜x＜1時，如何求的最大值．
解：當(dāng)x＝0時，y＝0，
當(dāng)x≠0時，＝，
用基本不等式
若x＞0時，0＜y≤，
若x＜0時，﹣≤y＜0，
綜上得，可以得出﹣≤y≤，
∴的最值是﹣與．
這是基本不等式在函數(shù)中的應(yīng)用，他的解題思路是首先判斷元素是否大于0，沒有明確表示的話就需要討論；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成兩個元素（函數(shù)）相加，而他們的特點是相乘后為常數(shù)；最后套用基本不等式定理直接求的結(jié)果．
【解題方法點撥】
基本不等式的應(yīng)用
1、求最值
例1：求下列函數(shù)的值域．
2、利用基本不等式證明不等式
3、基本不等式與恒成立問題
4、均值定理在比較大小中的應(yīng)用
【命題方向】
技巧一：湊項
點評：本題需要調(diào)整項的符號，又要配湊項的系數(shù)，使其積為定值．
技巧二：湊系數(shù)
例2：當(dāng)0＜x＜4時，求y＝x（8﹣2x）的最大值．
解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個式子積的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8為定值，故只需將y＝x（8﹣2x）湊上一個系數(shù)即可．
y＝x（8﹣2x）＝[2x?（8﹣2x）]≤（）2＝8
當(dāng)2x＝8﹣2x，即x＝2時取等號，當(dāng)x＝2時，y＝x（8﹣x2）的最大值為8．
評注：本題無法直接運用基本不等式求解，但湊系數(shù)后可得到和為定值，從而可利用基本不等式求最大值．
技巧三：分離
例3：求y＝的值域．
解：本題看似無法運用基本不等式，不妨將分子配方湊出含有（x+1）的項，再將其分離．
y＝＝＝（x+1）++5，
當(dāng)x＞﹣1，即x+1＞0時，y≥2+5＝9（當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時取“＝”號）
技巧四：換元
對于上面例3，可先換元，令t＝x+1，化簡原式在分離求最值．
技巧五：結(jié)合函數(shù)f（x）＝x+的單調(diào)性．
技巧六：整體代換
點評：多次連用最值定理求最值時，要注意取等號的條件的一致性，否則就會出錯．
技巧七：取平方
點評：本題將解析式兩邊平方構(gòu)造出“和為定值”，為利用基本不等式創(chuàng)造了條件．
總之，我們利用基本不等式求最值時，一定要注意“一正二定三相等”，同時還要注意一些變形技巧，積極創(chuàng)造條件利用基本不等式．
2．函數(shù)的圖象與圖象的變換
【知識點的認(rèn)識】
函數(shù)圖象的作法：通過如下3個步驟 （1）列表； （2）描點； （3）連線．
解題方法點撥：一般情況下，函數(shù)需要同解變形后，結(jié)合函數(shù)的定義域，通過函數(shù)的對應(yīng)法則，列出表格，然后在直角坐標(biāo)系中，準(zhǔn)確描點，然后連線（平滑曲線）．
命題方向：一般考試是以小題形式出現(xiàn)，或大題中的一問，常見考題是，常見函數(shù)的圖象，有時結(jié)合函數(shù)的奇偶性、對稱性、單調(diào)性知識結(jié)合命題．
圖象的變換
1．利用描點法作函數(shù)圖象
其基本步驟是列表、描點、連線．
首先：①確定函數(shù)的定義域；②化簡函數(shù)解析式；③討論函數(shù)的性質(zhì)（奇偶性、單調(diào)性、周期性、對稱性等）．
其次：列表（尤其注意特殊點、零點、最大值點、最小值點、與坐標(biāo)軸的交點等），描點，連線．
2．利用圖象變換法作函數(shù)的圖象
（1）平移變換：
y＝f（x）a＞0，右移a個單位（a＜0，左移|a|個單位）?y＝f（x﹣a）；
y＝f（x）b＞0，上移b個單位（b＜0，下移|b|個單位）?y＝f（x）+b．
（2）伸縮變換：
y＝f（x）y＝f（ωx）；
y＝f（x）A＞1，伸為原來的A倍（0＜A＜1，縮為原來的A倍）?y＝Af（x）．
（3）對稱變換：
y＝f（x）關(guān)于x軸對稱?y＝﹣f（x）；
y＝f（x）關(guān)于y軸對稱?y＝f（﹣x）；
y＝f（x）關(guān)于原點對稱?y＝﹣f（﹣x）．
（4）翻折變換：
y＝f（x）去掉y軸左邊圖，保留y軸右邊圖，將y軸右邊的圖象翻折到左邊?y＝f（|x|）；
y＝f（x）留下x軸上方圖將x軸下方圖翻折上去y＝|f（x）|．
【解題方法點撥】
1、畫函數(shù)圖象的一般方法
（1）直接法：當(dāng)函數(shù)表達(dá)式（或變形后的表達(dá)式）是熟悉的基本函數(shù)或解析幾何中熟悉的曲線時，可根據(jù)這些函數(shù)或曲線的特征直接作出．
（2）圖象變換法：若函數(shù)圖象可由某個基本函數(shù)的圖象經(jīng)過平移、翻折、對稱得到，可利用圖象變換作出，但要注意變換順序，對不能直接找到熟悉函數(shù)的要先變形，并應(yīng)注意平移變換與伸縮變換的順序?qū)ψ儞Q單位及解析式的影響．
（3）描點法：當(dāng)上面兩種方法都失效時，則可采用描點法．為了通過描少量點，就能得到比較準(zhǔn)確的圖象，常常需要結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等性質(zhì)討論．
2、尋找圖象與函數(shù)解析式之間的對應(yīng)關(guān)系的方法
（1）知圖選式：
①從圖象的左右、上下分布，觀察函數(shù)的定義域、值域；
②從圖象的變化趨勢，觀察函數(shù)的單調(diào)性；
③從圖象的對稱性方面，觀察函數(shù)的奇偶性；
④從圖象的循環(huán)往復(fù)，觀察函數(shù)的周期性．
利用上述方法，排除錯誤選項，篩選正確的選項．
（2）知式選圖：
①從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置；
②從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化 趨勢；
③從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性．
④從函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù)．
利用上述方法，排除錯誤選項，篩選正確選項．
注意聯(lián)系基本函數(shù)圖象和模型，當(dāng)選項無法排除時，代特殊值，或從某些量上尋找突破口．
3、（1）利有函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質(zhì)
從圖象的最高點、最低點，分析函數(shù)的最值、極值；從圖象的對稱性，分析函數(shù)的奇偶性；從圖象的走向趨勢，分析函數(shù)的單調(diào)性、周期性等．
（2）利用函數(shù)的圖象研究方程根的個數(shù)
有關(guān)方程解的個數(shù)問題常常轉(zhuǎn)化為兩個熟悉的函數(shù)的交點個數(shù)；利用此法也可由解的個數(shù)求參數(shù)值．
【命題方向】
（1）1個易錯點﹣﹣圖象變換中的易錯點
在解決函數(shù)圖象的變換問題時，要遵循“只能對函數(shù)關(guān)系式中的x，y變換”的原則，寫出每一次的變換所得圖象對應(yīng)的解析式，這樣才能避免出錯．
（2）3個關(guān)鍵點﹣﹣正確作出函數(shù)圖象的三個關(guān)鍵點
為了正確地作出函數(shù)圖象，必須做到以下三點：
①正確求出函數(shù)的定義域；
②熟練掌握幾種基本函數(shù)的圖象，如二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、形如y＝x+的函數(shù)；
③掌握平移變換、伸縮變換、對稱變換、翻折變換、周期變換等常用的方法技巧，來幫助我們簡化作圖過程．
（3）3種方法﹣﹣識圖的方法
對于給定函數(shù)的圖象，要能從圖象的左右、上下分布范圍、變化趨勢、對稱性等方面來獲取圖中所提供的信息，解決這類問題的常用方法有：
①定性分析法，也就是通過對問題進行定性的分析，從而得出圖象的上升（或下降）的趨勢，利用這一特征來分析解決問題；
②定量計算法，也就是通過定量的計算來分析解決問題；
③函數(shù)模型法，也就是由所提供的圖象特征，聯(lián)想相關(guān)函數(shù)模型，利用這一函數(shù)模型來分析解決問題．
3．映射
【知識點的認(rèn)識】
設(shè)A、B是兩個非空集合，如果按某一個確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應(yīng)，那么就稱對應(yīng)f：A→B為從集合A到集合B的一個映射．函數(shù)是數(shù)集到數(shù)集映射，象集A稱做函數(shù)的定義域，象集C（C?B）稱做函數(shù)的值域．
“映射”是比函數(shù)更廣泛一些的數(shù)學(xué)概念，它就是一個集合到另一個集合的一種確定的對應(yīng)關(guān)系．
【解題方法點撥】
映射是兩個集合中的一種特殊的對應(yīng)關(guān)系，對應(yīng)包括“多對一”、“一對一”等情況，而映射是“象”惟一的這種特殊的對應(yīng)，它包括“多對一”、“一對一”等情形，至于一一映射，它則是一種特殊的映射，應(yīng)該指出，一一映射在數(shù)學(xué)中有著特殊重要的意義，對很多問題的研究都是通過﹣一映射將問題轉(zhuǎn)化，并獲得解決的．注意原像集A稱做函數(shù)的定義域，像集B稱做函數(shù)的值域．
【命題方向】
映射通常與集合、排列組合相聯(lián)系，也?？夹露x題目，新課標(biāo)地區(qū)要求比較淺，屬于了解范疇．
4．由函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)或參數(shù)
【知識點的認(rèn)識】
一般地，設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為I，如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量x1，x2，
當(dāng)x1＜x2時，都有f（x1）＜f（x2），那么就說函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是增函數(shù)；當(dāng)x1＞x2時，都有f（x1）＜f（x2），那么就說函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是減函數(shù)．
若函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱函數(shù)f（x）在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)間D叫做y＝f（x）的單調(diào)區(qū)間．
【解題方法點撥】
證明函數(shù)的單調(diào)性用定義法的步驟：①取值；②作差；③變形；④確定符號；⑤下結(jié)論．
利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)單調(diào)性的步驟：
第一步：求函數(shù)的定義域．若題設(shè)中有對數(shù)函數(shù)一定先求定義域，若題設(shè)中有三次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)可不考慮定義域．
第二步：求函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x），并令f′（x）＝0，求其根．
第三步：利用f′（x）＝0的根和不可導(dǎo)點的x的值從小到大順次將定義域分成若干個小開區(qū)間，并列表．
第四步：由f′（x）在小開區(qū)間內(nèi)的正、負(fù)值判斷f（x）在小開區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性；求極值、最值．
第五步：將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為f（x）max≤a或f（x）min≥a，解不等式求參數(shù)的取值范圍．
第六步：明確規(guī)范地表述結(jié)論
【命題方向】
從近三年的高考試題來看，函數(shù)單調(diào)性的判斷和應(yīng)用以及函數(shù)的最值問題是高考的熱點，題型既有選擇題、填空題，又有解答題，難度中等偏高；客觀題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、最值的靈活確定與簡單應(yīng)用，主觀題在考查基本概念、重要方法的基礎(chǔ)上，又注重考查函數(shù)方程、等價轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想方法．預(yù)測明年高考仍將以利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，研究單調(diào)性及利用單調(diào)性求最值或求參數(shù)的取值范圍為主要考點，重點考查轉(zhuǎn)化與化歸思想及邏輯推理能力．
5．函數(shù)的最值
【知識點的認(rèn)識】
函數(shù)最大值或最小值是函數(shù)的整體性質(zhì)，從圖象上看，函數(shù)的最大值或最小值是圖象最高點或最低點的縱坐標(biāo)，求函數(shù)的最值一般是先求出極值在求出端點的值，然后進行比較可得．
【解題方法點撥】
①基本不等式法：如當(dāng)x＞0時，求2x+的最小值，有2x+≥2＝8；
②轉(zhuǎn)化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是數(shù)軸上的點到x＝5和x＝3的距離之和，易知最小值為2；
③求導(dǎo)法：通過求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性進而求出極值，再結(jié)合端點的值最后進行比較．
【命題方向】
本知識點是?？键c，重要性不言而喻，而且通常是以大題的形式出現(xiàn)，所以務(wù)必引起重視．本知識 點未來將仍然以復(fù)合函數(shù)為基礎(chǔ)，添加若干個參數(shù)，然后求函數(shù)的定義域、參數(shù)范圍或者滿足一些特定要求的自變量或者參數(shù)的范圍．常用方法有分離參變量法、多次求導(dǎo)法等．
6．函數(shù)的奇偶性
【知識點的認(rèn)識】
①如果函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點對稱，且定義域內(nèi)任意一個x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做奇函數(shù)，其圖象特點是關(guān)于（0，0）對稱．②如果函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點對稱，且定義域內(nèi)任意一個x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做偶函數(shù)，其圖象特點是關(guān)于y軸對稱．
【解題方法點撥】
①奇函數(shù)：如果函數(shù)定義域包括原點，那么運用f（0）＝0解相關(guān)的未知量；
②奇函數(shù)：若定義域不包括原點，那么運用f（x）＝﹣f（﹣x）解相關(guān)參數(shù)；
③偶函數(shù)：在定義域內(nèi)一般是用f（x）＝f（﹣x）這個去求解；
④對于奇函數(shù)，定義域關(guān)于原點對稱的部分其單調(diào)性一致，而偶函數(shù)的單調(diào)性相反．
例題：函數(shù)y＝x|x|+px，x∈R是（ ）
A．偶函數(shù) B．奇函數(shù) C．非奇非偶 D．與p有關(guān)
解：由題設(shè)知f（x）的定義域為R，關(guān)于原點對稱．
因為f（﹣x）＝﹣x|﹣x|﹣px＝﹣x|x|﹣px＝﹣f（x），
所以f（x）是奇函數(shù)．
故選B．
【命題方向】
函數(shù)奇偶性的應(yīng)用．
本知識點是高考的高頻率考點，大家要熟悉就函數(shù)的性質(zhì)，最好是結(jié)合其圖象一起分析，確保答題的正確率．
7．奇偶性與單調(diào)性的綜合
【知識點的認(rèn)識】
對于奇偶函數(shù)綜合，其實也并談不上真正的綜合，一般情況下也就是把它們并列在一起，所以說關(guān)鍵還是要掌握奇函數(shù)和偶函數(shù)各自的性質(zhì)，在做題時能融會貫通，靈活運用．在重復(fù)一下它們的性質(zhì) ①奇函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點對稱，且定義域內(nèi)任意一個x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），其圖象特點是關(guān)于（0，0）對稱．②偶函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點對稱，且定義域內(nèi)任意一個x，都有f（﹣x）＝f（x），其圖象特點是關(guān)于y軸對稱．
【解題方法點撥】
參照奇偶函數(shù)的性質(zhì)那一考點，有：
①奇函數(shù)：如果函數(shù)定義域包括原點，那么運用f（0）＝0解相關(guān)的未知量；
②奇函數(shù)：若定義域不包括原點，那么運用f（x）＝﹣f（﹣x）解相關(guān)參數(shù)；
③偶函數(shù)：在定義域內(nèi)一般是用f（x）＝f（﹣x）這個去求解；
④對于奇函數(shù)，定義域關(guān)于原點對稱的部分其單調(diào)性一致，而偶函數(shù)的單調(diào)性相反
例題：如果f（x）＝為奇函數(shù)，那么a＝ ．
解：由題意可知，f（x）的定義域為R，
由奇函數(shù)的性質(zhì)可知，f（x）＝＝﹣f（﹣x）?a＝1
【命題方向】
奇偶性與單調(diào)性的綜合．
不管出什么樣的題，能理解運用奇偶函數(shù)的性質(zhì)是一個基本前提，另外做題的時候多多總結(jié)，一定要重視這一個知識點．
8．函數(shù)的周期性
【知識點的認(rèn)識】
函數(shù)的周期性定義為若T為非零常數(shù)，對于定義域內(nèi)的任一x，使f（x）＝f（x+T） 恒成立，則f（x）叫做周期函數(shù)，T叫做這個函數(shù)的一個周期．常函數(shù)為周期函數(shù)，但無最小正周期，其周期為任意實數(shù)．
【解題方法點撥】
周期函數(shù)一般和偶函數(shù)，函數(shù)的對稱性以及它的圖象相結(jié)合，考查的內(nèi)容比較豐富．
①求最小正周期的解法，盡量重復(fù)的按照所給的式子多寫幾個，
例：求f（x）＝的最小正周期．
解：由題意可知，f（x+2）＝＝f（x﹣2）?T＝4
②與對稱函數(shù)或者偶函數(shù)相結(jié)合求函數(shù)與x軸的交點個數(shù)．如已知函數(shù)在某個小區(qū)間與x軸有n個交點，求函數(shù)在更大的區(qū)間與x軸的交點個數(shù)．
思路：第一，這一般是個周期函數(shù)，所以先求出周期T；第二，結(jié)合函數(shù)圖象判斷交點個數(shù)；第三，注意端點的值．
【命題方向】
周期函數(shù)、奇偶函數(shù)都是高考的?？键c，學(xué)習(xí)是要善于總結(jié)并進行歸類，靈活運用解題的基本方法，為了高考將仍然以小題為主．
9．抽象函數(shù)的周期性
【知識點的認(rèn)識】
抽象函數(shù)是指沒有給出函數(shù)的具體解析式，只給出了一些體現(xiàn)函數(shù)特征的式子的一類函數(shù)．由于抽象函數(shù)表現(xiàn)形式的抽象性，使得這類問題成為函數(shù)內(nèi)容的難點之一．
【解題方法點撥】
①盡可能把抽象函數(shù)與我們數(shù)學(xué)的具體模型聯(lián)系起來，如f（x+y）＝f（x）+f（y），它的原型就是y＝kx；
②可通過賦特殊值法使問題得以解決
例：f（xy）＝f（x）+f（y），求證f（1）＝f（﹣1）＝0
令x＝y(tǒng)＝1，則f（1）＝2f（1）?f（1）＝0
令x＝y(tǒng)＝﹣1，同理可推出f（﹣1）＝0
③既然是函數(shù)，也可以運用相關(guān)的函數(shù)性質(zhì)推斷它的單調(diào)性；
【命題方向】
抽象函數(shù)及其應(yīng)用．
抽象函數(shù)是一個重點，也是一個難點，解題的主要方法也就是我上面提到的這兩種．高考中一般以中檔題和小題為主，要引起重視．
10．函數(shù)恒成立問題
【知識點的認(rèn)識】
函數(shù)恒成立問題是指在定義域或某一限定范圍內(nèi)，函數(shù)滿足某一條件（如恒大于0等），此時，函數(shù)中的參數(shù)成為限制了這一可能性（就是說某個參數(shù)的存在使得在有些情況下無法滿足要求的條件），因此，適當(dāng)?shù)姆蛛x參數(shù)能簡化解題過程．
【解題方法點撥】
﹣分析函數(shù)的定義域和形式，找出使函數(shù)恒成立的條件．
﹣利用恒成立條件，確定函數(shù)的行為．
一般恒成立問題最后都轉(zhuǎn)化為求最值得問題，常用的方法是分離參變量
【命題方向】
題目包括判斷函數(shù)恒成立條件及應(yīng)用題，考查學(xué)生對函數(shù)恒成立問題的理解和應(yīng)用能力．
關(guān)于x的不等式（1+m）x2+mx+m＜x2+1，對x∈R恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是_____．
解：∵（1+m）x2+mx+m＜x2+1，對x∈R恒成立，
∴mx2+mx+m＜1，
∴?x∈R，m＜恒成立，
∵x2+x+1＝（x+）2+≥，
∴0＜≤，
∴m≤0．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2024/11/4 19:17:59；用戶：組卷36；郵箱：zyb036@xyh.cm；學(xué)號：41418999

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