1．（2024?白山一模）設(shè)集合，，則
A．B．，C．，D．
2．（2024?張家口三模）已知正數(shù)，滿足，則的最大值為
A．5B．6C．7D．8
3．（2024?遼寧二模）已知，，，則的最小值為
A．4B．6C．D．
4．（2024?海淀區(qū)二模）設(shè)，，，且，則
A．B．C．D．
5．（2024?昌樂(lè)縣校級(jí)模擬）若正數(shù)，滿足，則的取值范圍是
A．，B．，C．，D．
6．（2024?白山一模）權(quán)方和不等式作為基本不等式的一個(gè)變化，在求二元變量最值時(shí)有很廣泛的應(yīng)用，其表述如下：設(shè)正數(shù)，，，，滿足，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．則函數(shù)的最小值為
A．16B．25C．36D．49
7．（2024?張家口模擬）設(shè)全集，集合，集合，則
A．，B．C．，D．
8．（2024?延慶區(qū)一模）已知函數(shù)，則不等式的解集是
A．B．
C．D．，，
9．（2024?延邊州一模）若，則成立的一個(gè)必要不充分條件是
A．B．C．D．
10．（2024?孝南區(qū)校級(jí)模擬）已知，則的最小值是
A．3B．4C．6D．7
二．多選題（共5小題）
11．（2024?岳麓區(qū)校級(jí)一模）設(shè)，為兩個(gè)正數(shù)，定義，的算術(shù)平均數(shù)為，幾何平均數(shù)為，則有：，，，這是我們熟知的基本不等式．上個(gè)世紀(jì)五十年代，美國(guó)數(shù)學(xué)家．．提出了“均值”，即，其中為有理數(shù)．下列關(guān)系正確的是
A．，，B．，，
C．，D．，
12．（2024?廣東模擬）若，，，則下列不等式恒成立的是
A．B．C．D．
13．（2024?甘肅模擬）已知，，若，則
A．的最大值為B．的最小值為1
C．的最小值為8D．的最小值為
14．（2024?江蘇模擬）若正實(shí)數(shù)，滿足，則
A．
B．有序數(shù)對(duì)，，有6個(gè)
C．的最小值是
D．
15．（2024?蜀山區(qū)校級(jí)模擬）已知，為不相等的正實(shí)數(shù)，滿足，則下列結(jié)論正確的是
A．B．
C．D．
三．填空題（共5小題）
16．（2024?源匯區(qū)校級(jí)模擬）若，則的最大值為 ．
17．（2024?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)三模）已知函數(shù)，若，，且，則的最小值是 ．
18．（2024?浙江模擬）設(shè)，，，，則的最大值為 ．
19．（2024?樊城區(qū)校級(jí)模擬）已知正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為 ．
20．（2024?棗莊模擬）以表示數(shù)集中最大（小的數(shù)．設(shè)，，，已知，則 ．
四．解答題（共5小題）
21．（2024?雅安模擬）已知．
（1）若，求的取值范圍；
（2）求的最大值．
22．（2023?綿陽(yáng)模擬）已知函數(shù)，，且的解集為，．
（1）求的值；
（2）若，，，且，證明：．
23．（2023?瀘縣校級(jí)模擬）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>（1）求實(shí)數(shù)的范圍；
（2）若的最大值為，當(dāng)正數(shù)，滿足時(shí)，求的最小值．
24．（2023?陜西模擬）已知，，為正實(shí)數(shù)且．
（1）求的最小值；
（2）當(dāng)時(shí)，求的值．
25．（2022?上海模擬）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)椋?，則稱為“型函數(shù)”；若，則稱為“型函數(shù)”．
（1）設(shè)，，，試判斷是“型函數(shù)”還是“型函數(shù)”；
（2）設(shè)，，若既是“型函數(shù)”又是“型函數(shù)”，求實(shí)數(shù)，的值；
（3）設(shè)，，，若為“型函數(shù)”，求（2）的取值范圍．
2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)壓軸訓(xùn)練3
參考答案與試題解析
一．選擇題（共10小題）
1．（2024?白山一模）設(shè)集合，，則
A．B．，C．，D．
【答案】
【考點(diǎn)】函數(shù)的定義域及其求法；交集及其運(yùn)算；其他不等式的解法
【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；綜合法；整體思想；集合；數(shù)學(xué)抽象
【分析】根據(jù)函數(shù)式有意義列出不等式，求解不等式，利用集合的交集定義即得．
【解答】解：在中，由得，即，，
又由可得：，解得，即，，
故，．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了集合的交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．
2．（2024?張家口三模）已知正數(shù)，滿足，則的最大值為
A．5B．6C．7D．8
【答案】
【考點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用
【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；不等式；運(yùn)算求解
【分析】在等式兩邊同時(shí)乘以，利用基本不等式可得出關(guān)于的不等式，進(jìn)而可解得的最大值．
【解答】解：因?yàn)椋瑸檎龜?shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
因?yàn)椋?br>所以，在等式兩邊同時(shí)乘以，可得：，
即，解得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，取得最大值8．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了基本不等式的應(yīng)用，一元二次不等式的解法，是中檔題．
3．（2024?遼寧二模）已知，，，則的最小值為
A．4B．6C．D．
【答案】
【考點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用
【專題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；消元法；不等式；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算
【分析】由已知可得且、，再由，應(yīng)用基本不等式求其最小值，注意取值條件．
【解答】解：由，，，，
即，易知，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，
所以的最小值為．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用利用基本不等式求最值，屬中檔題．
4．（2024?海淀區(qū)二模）設(shè)，，，且，則
A．B．C．D．
【答案】
【考點(diǎn)】不等關(guān)系與不等式；等式與不等式的性質(zhì)
【專題】整體思想；數(shù)學(xué)抽象；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；綜合法
【分析】結(jié)合不等式性質(zhì)檢驗(yàn)選項(xiàng)，結(jié)合基本不等式檢驗(yàn)選項(xiàng)，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性檢驗(yàn)選項(xiàng)；舉出反例檢驗(yàn)選項(xiàng)．
【解答】解：因?yàn)椋?br>當(dāng)，時(shí)，顯然錯(cuò)誤；
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，錯(cuò)誤；
令，，
則，即在上單調(diào)遞增，
所以，
故，
所以，正確；
當(dāng)，時(shí)，顯然錯(cuò)誤．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了基本不等式及不等式性質(zhì)，函數(shù)單調(diào)性在函數(shù)值大小比較中的應(yīng)用，屬于中檔題．
5．（2024?昌樂(lè)縣校級(jí)模擬）若正數(shù)，滿足，則的取值范圍是
A．，B．，C．，D．
【答案】
【考點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用
【專題】邏輯推理；不等式的解法及應(yīng)用；整體思想；定義法
【分析】利用基本不等式即可求解．
【解答】解：由題意知，為正數(shù)，且，
所以，化簡(jiǎn)得，解得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，，故正確．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查基本不等式的應(yīng)用，考查學(xué)生的邏輯思維能力，屬中檔題．
6．（2024?白山一模）權(quán)方和不等式作為基本不等式的一個(gè)變化，在求二元變量最值時(shí)有很廣泛的應(yīng)用，其表述如下：設(shè)正數(shù)，，，，滿足，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．則函數(shù)的最小值為
A．16B．25C．36D．49
【答案】
【考點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用
【專題】綜合法；不等式；數(shù)學(xué)運(yùn)算；整體思想
【分析】根據(jù)權(quán)方和不等式，直接計(jì)算即可．
【解答】解：因?yàn)檎龜?shù)，，，滿足，
又，即，于是得，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“”，
所以函數(shù)的最小值為49．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了基本不等式在最值求解中的應(yīng)用，屬于中檔題．
7．（2024?張家口模擬）設(shè)全集，集合，集合，則
A．，B．C．，D．
【答案】
【考點(diǎn)】一元二次不等式及其應(yīng)用；指、對(duì)數(shù)不等式的解法；并集及其運(yùn)算
【專題】綜合法；集合；整體思想；數(shù)學(xué)抽象
【分析】先求出集合，，然后結(jié)合集合的并集運(yùn)算即可求解．
【解答】解：因?yàn)榧?，集合?br>則．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了集合的并集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．
8．（2024?延慶區(qū)一模）已知函數(shù)，則不等式的解集是
A．B．
C．D．，，
【答案】
【考點(diǎn)】指、對(duì)數(shù)不等式的解法
【專題】綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)形結(jié)合；數(shù)學(xué)抽象
【分析】由已知結(jié)合指數(shù)函數(shù)及一次函數(shù)的圖象及函數(shù)的性質(zhì)即可求解．
【解答】解：由可得，
令，，
由可得，，
因?yàn)?，?）（1），
結(jié)合一次函數(shù)及指數(shù)函數(shù)的增長(zhǎng)速度可知，與只有兩個(gè)交點(diǎn)，
結(jié)合函數(shù)圖象可知，當(dāng)時(shí)，，即．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了指數(shù)函數(shù)及一次函數(shù)的性質(zhì)在不等式求解中的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中檔題．
9．（2024?延邊州一模）若，則成立的一個(gè)必要不充分條件是
A．B．C．D．
【答案】
【考點(diǎn)】其他不等式的解法；充分條件與必要條件
【專題】綜合法；不等式的解法及應(yīng)用；轉(zhuǎn)化思想；簡(jiǎn)易邏輯；數(shù)學(xué)抽象
【分析】解不等式得或，選出其必要不充分條件即可．
【解答】解：，即且，解得或，
所以或，
對(duì)于，是的既不充分也不必要條件；
對(duì)于，即或，是的必要不充分條件；
對(duì)于，即或，是的充分不必要條件；
對(duì)于，是的充分不必要條件；
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了分式不等式的求解，還考查了充分必要條件的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
10．（2024?孝南區(qū)校級(jí)模擬）已知，則的最小值是
A．3B．4C．6D．7
【答案】
【考點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用
【專題】不等式的解法及應(yīng)用；轉(zhuǎn)化思想；邏輯推理；轉(zhuǎn)化法
【分析】直接利用基本不等式求出最小值即可．
【解答】解：因?yàn)?，所以?br>當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
所以的最小值是6．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查基本不等式的應(yīng)用，考查學(xué)生的邏輯思維能力，屬中檔題．
二．多選題（共5小題）
11．（2024?岳麓區(qū)校級(jí)一模）設(shè)，為兩個(gè)正數(shù)，定義，的算術(shù)平均數(shù)為，幾何平均數(shù)為，則有：，，，這是我們熟知的基本不等式．上個(gè)世紀(jì)五十年代，美國(guó)數(shù)學(xué)家．．提出了“均值”，即，其中為有理數(shù)．下列關(guān)系正確的是
A．，，B．，，
C．，D．，
【答案】
【考點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用
【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；不等式；轉(zhuǎn)化法；新定義；轉(zhuǎn)化思想
【分析】根據(jù)基本不等式比較大小可判斷四個(gè)選項(xiàng)．
【解答】解：對(duì)于，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以選項(xiàng)正確；
對(duì)于，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以選項(xiàng)正確；
對(duì)于，當(dāng)時(shí)，由可知，，所以選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用基本不等式比較大小的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．
12．（2024?廣東模擬）若，，，則下列不等式恒成立的是
A．B．C．D．
【答案】
【考點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用
【專題】不等式的解法及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合基本不等式的公式，依次求解．
【解答】解：，
對(duì)于，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故正確；
對(duì)于，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
故，故錯(cuò)誤；
對(duì)于，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故正確；
對(duì)于，，，，
則，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，故正確．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查基本不等式及其應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．
13．（2024?甘肅模擬）已知，，若，則
A．的最大值為B．的最小值為1
C．的最小值為8D．的最小值為
【答案】
【考點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用
【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想；不等式的解法及應(yīng)用；轉(zhuǎn)化法；邏輯推理
【分析】對(duì)于，選項(xiàng)，直接由基本不等式即可求出最值；對(duì)于選項(xiàng)，化為，即可求出最小值；對(duì)于選項(xiàng)，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值即可．
【解答】解：對(duì)于選項(xiàng)，由，即，
當(dāng)且僅當(dāng)，且，即時(shí)，取等號(hào)，所以正確；
對(duì)于選項(xiàng)，因?yàn)椋?br>當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到最小值，所以錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)，因?yàn)?，，所以?br>當(dāng)且僅當(dāng)，且，即，時(shí)，取等號(hào)，所以正確；
對(duì)于選項(xiàng)，當(dāng)且僅當(dāng)，且，
即時(shí)，取等號(hào)，所以正確．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查基本不等式的應(yīng)用，考查學(xué)生的邏輯思維能力和運(yùn)算能力，屬中檔題．
14．（2024?江蘇模擬）若正實(shí)數(shù)，滿足，則
A．
B．有序數(shù)對(duì)，，有6個(gè)
C．的最小值是
D．
【答案】
【考點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用
【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法；整體思想；不等式
【分析】由已知結(jié)合不等式的性質(zhì)檢驗(yàn)選項(xiàng)；結(jié)合等式關(guān)系及，的范圍檢驗(yàn)選項(xiàng)；結(jié)合基本不等式檢驗(yàn)選項(xiàng)；結(jié)合函數(shù)性質(zhì)及單調(diào)性與單調(diào)性關(guān)系檢驗(yàn)選項(xiàng)．
【解答】解：根據(jù)題意，，，，
對(duì)于，由題意得，，
所以，正確；
由題意得，，，
由知，，
故滿足題意的，有：；，；，；，；，；，共6個(gè)，正確；
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，錯(cuò)誤；
，
因?yàn)椋?br>所以，，
令，，
則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
故，
即，錯(cuò)誤．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查不等式的性質(zhì)以及應(yīng)用，涉及基本不等式的性質(zhì)，屬于中檔題．
15．（2024?蜀山區(qū)校級(jí)模擬）已知，為不相等的正實(shí)數(shù)，滿足，則下列結(jié)論正確的是
A．B．
C．D．
【答案】
【考點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用
【專題】整體思想；不等式的解法及應(yīng)用；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算
【分析】選項(xiàng)，方程變形得到，利用基本不等式求出答案；選項(xiàng)，由變形后，利用基本不等式求出最值；選項(xiàng)，由由變形得到，構(gòu)造，求導(dǎo)得到其單調(diào)性，進(jìn)而求出最值情況；選項(xiàng)，由證明出，進(jìn)而證明出．
【解答】解：由可知，即，
故，
因?yàn)?，所以，所以，故，選項(xiàng)正確；
由選項(xiàng)可知，，又，，
故，
當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)或，時(shí)取“”， 選項(xiàng)正確；
由選項(xiàng)可知，，又，，故，
令，有，
令，解得，令，解得，
可知的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，
故（2），故，選項(xiàng)錯(cuò)誤；
等價(jià)于，即，
因?yàn)?，又，，故，?dāng)且僅當(dāng)，
即時(shí)，等號(hào)成立，故選項(xiàng)正確．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了基本不等式及相關(guān)結(jié)論，函數(shù)的單調(diào)性在最值求解中的應(yīng)用，屬于中檔題．
三．填空題（共5小題）
16．（2024?源匯區(qū)校級(jí)模擬）若，則的最大值為 ．
【考點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用
【專題】不等式；整體思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法
【分析】借助基本不等式有消去、，對(duì)求最大值即可，再應(yīng)用三角函數(shù)的單調(diào)性即可得解．
【解答】解：由題意得：，，，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
即，
即，
則有，
則，，
又在單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減，
故在上單調(diào)遞增，
則當(dāng)時(shí)，即、時(shí)，
有最大值，
即的最大值為．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題關(guān)鍵在于如何將多變量求最值問(wèn)題中的多變量消去，結(jié)合基本不等式與題目條件可將、消去，再結(jié)合三角函數(shù)的值域與單調(diào)性即可求解，屬中檔題．
17．（2024?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)三模）已知函數(shù)，若，，且，則的最小值是 8 ．
【答案】8．
【考點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用
【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法；整體思想；不等式
【分析】先判斷函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性，結(jié)合單調(diào)性及奇偶性可得，的關(guān)系，然后利用乘1法，結(jié)合基本不等式即可求解．
【解答】解：因?yàn)椋?br>所以，即為奇函數(shù)，
因?yàn)榕c都為上遞增的函數(shù)，
故在上單調(diào)遞增，
若，，且，
則，
所以，即，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)．
故答案為：8．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性的應(yīng)用，還考查了基本不等式在最值求解中的應(yīng)用，屬于中檔題．
18．（2024?浙江模擬）設(shè)，，，，則的最大值為 1 ．
【答案】1．
【考點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用
【專題】綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；整體思想；不等式
【分析】由已知設(shè)，，，，，然后結(jié)合不等式性質(zhì)及基本不等式即可求解．
【解答】解：設(shè)，，，，，
則，
所以，
則，
所以，
因?yàn)?，?br>所以，
因此．
故答案為：1．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了不等式性質(zhì)及基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．
19．（2024?樊城區(qū)校級(jí)模擬）已知正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為 ．
【考點(diǎn)】運(yùn)用“1”的代換構(gòu)造基本不等式
【專題】綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；不等式的解法及應(yīng)用；整體思想
【分析】由，結(jié)合基本不等式求解即可．
【解答】解：因?yàn)椋?br>所以，
所以，
因?yàn)椋瑸檎龑?shí)數(shù)，所以，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即時(shí)等號(hào)成立，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
所以的最小值為，
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了基本不等式在最值求解中的應(yīng)用，屬于中檔題．
20．（2024?棗莊模擬）以表示數(shù)集中最大（小的數(shù)．設(shè)，，，已知，則 ．
【答案】．
【考點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用
【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法；不等式；整體思想
【分析】由，得，設(shè)，則，再結(jié)合基本不等式求解即可．
【解答】解：由，得，
設(shè)，則，
由，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，
所以．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了基本不等式在最值求解中的應(yīng)用，屬于中檔題．
四．解答題（共5小題）
21．（2024?雅安模擬）已知．
（1）若，求的取值范圍；
（2）求的最大值．
【答案】（1）．
（2）8．
【考點(diǎn)】運(yùn)用基本不等式求最值
【專題】綜合法；計(jì)算題；數(shù)學(xué)運(yùn)算；不等式的解法及應(yīng)用；整體思想
【分析】（1）由得，則，可得結(jié)果．
（2）利用基本不等式先求出的最值，再求出的最值，可得結(jié)果．
【解答】解：（1）因?yàn)?，所以且?br>所以，則，
解得，
又，所以的取值范圍為．
（2），當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，
，
即，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立，
所以的最大值為．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．
22．（2023?綿陽(yáng)模擬）已知函數(shù)，，且的解集為，．
（1）求的值；
（2）若，，，且，證明：．
【考點(diǎn)】：基本不等式及其應(yīng)用
【專題】34：方程思想；49：綜合法；59：不等式的解法及應(yīng)用
【分析】（1）運(yùn)用絕對(duì)值的解法，即可得到所求值；
（2）運(yùn)用乘1法和基本不等式，即可得到證明．
【解答】解：（1）函數(shù)，，且的解集為，，
可得的解集為，，即有，，，
可得；
（2）證明：，，，且，
則
，
當(dāng)且僅當(dāng)，取得等號(hào)．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查絕對(duì)值不等式的解法，注意運(yùn)用絕對(duì)值的含義，考查不等式的證明，注意運(yùn)用基本不等式，以及滿足的條件：一正二定三等，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．
23．（2023?瀘縣校級(jí)模擬）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>（1）求實(shí)數(shù)的范圍；
（2）若的最大值為，當(dāng)正數(shù)，滿足時(shí)，求的最小值．
【考點(diǎn)】33：函數(shù)的定義域及其求法
【專題】33：函數(shù)思想；：轉(zhuǎn)化法；51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
【分析】（1）利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)即可得出；
（2）利用柯西不等式的性質(zhì)即可得出．
【解答】解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，在上恒成立，即?br>，；
（2）由（1）知，，
當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào)，
的最小值為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了絕對(duì)值不等式的性質(zhì)、函數(shù)的定義域，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．
24．（2023?陜西模擬）已知，，為正實(shí)數(shù)且．
（1）求的最小值；
（2）當(dāng)時(shí)，求的值．
【答案】（1）的最小值為；（2）．
【考點(diǎn)】基本不等式及其應(yīng)用
【專題】計(jì)算題；整體思想；對(duì)應(yīng)思想；轉(zhuǎn)化法；不等式的解法及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算
【分析】（1）由已知條件，應(yīng)用三元柯西不等式求目標(biāo)式的最小值，注意等號(hào)成立條件；
（2）由基本不等式可得，結(jié)合條件得，從而求、、的值，即可得的值．
【解答】解：（1）由柯西不等式得，
，
故；
當(dāng)且僅當(dāng)，即，，時(shí)，等號(hào)成立；
故的最小值為；
（2）由基本不等式可得，
，
，
，
故，
故，
當(dāng)且僅當(dāng)，且，
即，，時(shí)，等號(hào)成立，
又，
，
即，，，
．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三元柯西不等式及基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．
25．（2022?上海模擬）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)椋簦瑒t稱為“型函數(shù)”；若，則稱為“型函數(shù)”．
（1）設(shè)，，，試判斷是“型函數(shù)”還是“型函數(shù)”；
（2）設(shè)，，若既是“型函數(shù)”又是“型函數(shù)”，求實(shí)數(shù)，的值；
（3）設(shè)，，，若為“型函數(shù)”，求（2）的取值范圍．
【答案】（1）是“型函數(shù)”；
（2），；
（3），．
【考點(diǎn)】函數(shù)的定義域及其求法；函數(shù)的值域；基本不等式及其應(yīng)用
【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；整體思想；不等式的解法及應(yīng)用；數(shù)形結(jié)合；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；綜合法
【分析】（1）利用基本不等式以及雙勾函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的值域可求解；
（2）分，和，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分類討論求解；
（3）分不同的取值結(jié)合“型函數(shù)”的定義即可求范圍．
【解答】解：（1）當(dāng)，時(shí)，，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
由于（1），（4），
所以函數(shù)的值域?yàn)椋?br>因?yàn)?，所以?br>所以是“型函數(shù)”；
（2），定義域?yàn)?，?br>由題意得函數(shù)的值域也為，，
顯然，否則值域不可能由負(fù)到正，
當(dāng)，時(shí)，在，上單調(diào)遞增，
則，得，；
當(dāng)，時(shí)，在，上單調(diào)遞減，
則得，；
（3），，，
由題意得函數(shù)的值域，，
當(dāng)時(shí)，的最小值（1），
當(dāng)時(shí)，的最小值（a），
當(dāng)時(shí)，的最小值（3），
當(dāng)時(shí)，的最大值（3），
當(dāng)時(shí)，的最大值（1），
因?yàn)椋?），由點(diǎn)所在的可行域，
當(dāng)，時(shí)，（2）取最大值，最大值為2，
當(dāng)（2）與相切，
即，時(shí)，（2）取最小值，最小值為1，
因此（2）的取值范圍是，．
【點(diǎn)評(píng)】本題以新定義為載體，主要考查了基本不等式及函數(shù)單調(diào)性在最值求解中的應(yīng)用，屬于中檔題．
考點(diǎn)卡片
1．并集及其運(yùn)算
【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】
由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素的組成的集合叫做A與B的并集，記作A∪B．
符號(hào)語(yǔ)言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．
圖形語(yǔ)言：．
A∪B實(shí)際理解為：①x僅是A中元素；②x僅是B中的元素；③x是A且是B中的元素．
運(yùn)算性質(zhì)：
①A∪B＝B∪A．②A∪?＝A．③A∪A＝A．④A∪B?A，A∪B?B．⑤A∪B＝B?A?B．⑥A∪B＝?，兩個(gè)集合都是空集．⑦A∪（?UA）＝U．⑧?U（A∪B）＝（CUA）∩（CUB）．
【解題方法點(diǎn)撥】解答并集問(wèn)題，需要注意并集中：“或”與“所有”的理解．不能把“或”與“且”混用；注意并集中元素的互異性．不能重復(fù)．
【命題方向】掌握并集的表示法，會(huì)求兩個(gè)集合的并集，命題通常以選擇題、填空題為主，也可以與函數(shù)的定義域，值域聯(lián)合命題．
2．交集及其運(yùn)算
【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】
由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合叫做A與B的交集，記作A∩B．
符號(hào)語(yǔ)言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
A∩B實(shí)際理解為：x是A且是B中的相同的所有元素．
當(dāng)兩個(gè)集合沒(méi)有公共元素時(shí)，兩個(gè)集合的交集是空集，而不能說(shuō)兩個(gè)集合沒(méi)有交集．
運(yùn)算性質(zhì)：
①A∩B＝B∩A．②A∩?＝?．③A∩A＝A．④A∩B?A，A∩B?B．⑤A∩B＝A?A?B．⑥A∩B＝?，兩個(gè)集合沒(méi)有相同元素．⑦A∩（?UA）＝?．⑧?U（A∩B）＝（?UA）∪（?UB）．
【解題方法點(diǎn)撥】解答交集問(wèn)題，需要注意交集中：“且”與“所有”的理解．不能把“或”與“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②無(wú)限集用數(shù)軸、韋恩圖．
【命題方向】掌握交集的表示法，會(huì)求兩個(gè)集合的交集．
命題通常以選擇題、填空題為主，也可以與函數(shù)的定義域，值域，函數(shù)的單調(diào)性、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性等聯(lián)合命題．
3．充分條件與必要條件
【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】
1、判斷：當(dāng)命題“若p則q”為真時(shí)，可表示為p?q，稱p為q的充分條件，q是p的必要條件．事實(shí)上，與“p?q”等價(jià)的逆否命題是“￢q?￢p”．它的意義是：若q不成立，則p一定不成立．這就是說(shuō)，q對(duì)于p是必不可少的，所以說(shuō)q是p的必要條件．例如：p：x＞2；q：x＞0．顯然x∈p，則x∈q．等價(jià)于x?q，則x?p一定成立．
2、充要條件：如果既有“p?q”，又有“q?p”，則稱條件p是q成立的充要條件，或稱條件q是p成立的充要條件，記作“p?q”．p與q互為充要條件．
【解題方法點(diǎn)撥】
充要條件的解題的思想方法中轉(zhuǎn)化思想的依據(jù)；解題中必須涉及兩個(gè)方面，充分條件與必要條件，缺一不可．證明題目需要證明充分性與必要性，實(shí)際上，充分性理解為充分條件，必要性理解為必要條件，學(xué)生答題時(shí)往往混淆二者的關(guān)系．判斷題目可以常用轉(zhuǎn)化思想、反例、特殊值等方法解答即可．
判斷充要條件的方法是：
①若p?q為真命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；
②若p?q為假命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；
③若p?q為真命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的充要條件；
④若p?q為假命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的既不充分也不必要條件．
⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據(jù)“誰(shuí)大誰(shuí)必要，誰(shuí)小誰(shuí)充分”的原則，判斷命題p與命題q的關(guān)系．
【命題方向】
充要條件是學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)開(kāi)始，或者沒(méi)有上學(xué)就能應(yīng)用的，只不過(guò)沒(méi)有明確定義，因而幾乎年年必考內(nèi)容，多以小題為主，有時(shí)也會(huì)以大題形式出現(xiàn)，中學(xué)階段的知識(shí)點(diǎn)都相關(guān)，所以命題的范圍特別廣．
4．等式與不等式的性質(zhì)
【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】
1．不等式的基本性質(zhì)
（1）對(duì)于任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b，有且只有以下三種情況之一成立：
①a＞b?a﹣b＞0；
②a＜b?a﹣b＜0；
③a＝b?a﹣b＝0．
（2）不等式的基本性質(zhì)
①對(duì)稱性：a＞b?b＜a；
②傳遞性：a＞b，b＞c?a＞c；
③可加性：a＞b?a+c＞b+c．
④同向可加性：a＞b，c＞d?a+c＞b+d；
⑤可積性：a＞b，c＞0?ac＞bc；a＞b，c＜0?ac＜bc；
⑥同向整數(shù)可乘性：a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd；
⑦平方法則：a＞b＞0?an＞bn（n∈N，且n＞1）；
⑧開(kāi)方法則：a＞b＞0?（ n∈N，且n＞1）．
5．不等關(guān)系與不等式
【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】
不等關(guān)系就是不相等的關(guān)系，如2和3不相等，是相對(duì)于相等關(guān)系來(lái)說(shuō)的，比如與就是相等關(guān)系．而不等式就包含兩層意思，第一層包含了不相等的關(guān)系，第二層也就意味著它是個(gè)式子，比方說(shuō)a＞b，a﹣b＞0就是不等式．
不等式定理
①對(duì)任意的a，b，有a＞b?a﹣b＞0；a＝b?a﹣b＝0；a＜b?a﹣b＜0，這三條性質(zhì)是做差比較法的依據(jù)．
②如果a＞b，那么b＜a；如果a＜b，那么b＞a．
③如果a＞b，且b＞c，那么a＞c；如果a＞b，那么a+c＞b+c．
推論：如果a＞b，且c＞d，那么a+c＞b+d．
④如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc；如果c＜0，那么ac＜bc．
【命題方向】
例1：解不等式：sinx≥．
解：∵sinx≥，
∴2kπ+≤x≤2kπ+（k∈Z），
∴不等式sinx≥的解集為{x|2kπ+≤x≤2kπ+，k∈Z}．
這個(gè)題很典型，考查了不等式和三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，也體現(xiàn)了一般不等式喜歡與函數(shù)聯(lián)結(jié)的特點(diǎn)，這個(gè)題只要去找到滿足要求的定義域即可，先找一個(gè)周期的，然后加上所以周期就是最后的解．
例2：當(dāng)ab＞0時(shí)，a＞b?．
證明：由ab＞0，知＞0．
又∵a＞b，∴a＞b，即；
若，則
∴a＞b．
這個(gè)例題就是上面定理的一個(gè)簡(jiǎn)單應(yīng)用，像這種判斷型的題，如果要判斷它是錯(cuò)的，直接舉個(gè)反例即可，這種技巧在選擇題上用的最廣．
6．基本不等式及其應(yīng)用
【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】
基本不等式主要應(yīng)用于求某些函數(shù)的最值及證明不等式．其可表述為：兩個(gè)正實(shí)數(shù)的幾何平均數(shù)小于或等于它們的算術(shù)平均數(shù)．公式為：≥（a≥0，b≥0），變形為ab≤（）2或者a+b≥2．常常用于求最值和值域．
實(shí)例解析
例1：下列結(jié)論中，錯(cuò)用基本不等式做依據(jù)的是．
A：a，b均為負(fù)數(shù)，則．B：．C：．D：．
解：根據(jù)均值不等式解題必須滿足三個(gè)基本條件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均滿足條件．
對(duì)于C選項(xiàng)中sinx≠±2，
不滿足“相等”的條件，
再者sinx可以取到負(fù)值．
故選：C．
A選項(xiàng)告訴我們正數(shù)的要求是整個(gè)式子為正數(shù)，而不是式子當(dāng)中的某一個(gè)組成元素；B分子其實(shí)可以寫成x2+1+1，然后除以分母就可換成基本不等式．這個(gè)例題告訴我們對(duì)于一個(gè)式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．
例2：利用基本不等式求的最值？當(dāng)0＜x＜1時(shí)，如何求的最大值．
解：當(dāng)x＝0時(shí)，y＝0，
當(dāng)x≠0時(shí)，＝，
用基本不等式
若x＞0時(shí)，0＜y≤，
若x＜0時(shí)，﹣≤y＜0，
綜上得，可以得出﹣≤y≤，
∴的最值是﹣與．
這是基本不等式在函數(shù)中的應(yīng)用，他的解題思路是首先判斷元素是否大于0，沒(méi)有明確表示的話就需要討論；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成兩個(gè)元素（函數(shù)）相加，而他們的特點(diǎn)是相乘后為常數(shù)；最后套用基本不等式定理直接求的結(jié)果．
【解題方法點(diǎn)撥】
基本不等式的應(yīng)用
1、求最值
例1：求下列函數(shù)的值域．
2、利用基本不等式證明不等式
3、基本不等式與恒成立問(wèn)題
4、均值定理在比較大小中的應(yīng)用
【命題方向】
技巧一：湊項(xiàng)
點(diǎn)評(píng)：本題需要調(diào)整項(xiàng)的符號(hào)，又要配湊項(xiàng)的系數(shù)，使其積為定值．
技巧二：湊系數(shù)
例2：當(dāng)0＜x＜4時(shí)，求y＝x（8﹣2x）的最大值．
解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個(gè)式子積的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8為定值，故只需將y＝x（8﹣2x）湊上一個(gè)系數(shù)即可．
y＝x（8﹣2x）＝[2x?（8﹣2x）]≤（）2＝8
當(dāng)2x＝8﹣2x，即x＝2時(shí)取等號(hào)，當(dāng)x＝2時(shí)，y＝x（8﹣x2）的最大值為8．
評(píng)注：本題無(wú)法直接運(yùn)用基本不等式求解，但湊系數(shù)后可得到和為定值，從而可利用基本不等式求最大值．
技巧三：分離
例3：求y＝的值域．
解：本題看似無(wú)法運(yùn)用基本不等式，不妨將分子配方湊出含有（x+1）的項(xiàng)，再將其分離．
y＝＝＝（x+1）++5，
當(dāng)x＞﹣1，即x+1＞0時(shí)，y≥2+5＝9（當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取“＝”號(hào)）
技巧四：換元
對(duì)于上面例3，可先換元，令t＝x+1，化簡(jiǎn)原式在分離求最值．
技巧五：結(jié)合函數(shù)f（x）＝x+的單調(diào)性．
技巧六：整體代換
點(diǎn)評(píng)：多次連用最值定理求最值時(shí)，要注意取等號(hào)的條件的一致性，否則就會(huì)出錯(cuò)．
技巧七：取平方
點(diǎn)評(píng)：本題將解析式兩邊平方構(gòu)造出“和為定值”，為利用基本不等式創(chuàng)造了條件．
總之，我們利用基本不等式求最值時(shí)，一定要注意“一正二定三相等”，同時(shí)還要注意一些變形技巧，積極創(chuàng)造條件利用基本不等式．
7．運(yùn)用基本不等式求最值
【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】
基本不等式主要應(yīng)用于求某些函數(shù)的最值及證明不等式．其可表述為：兩個(gè)正實(shí)數(shù)的幾何平均數(shù)小于或等于它們的算術(shù)平均數(shù)．公式為：≥（a≥0，b≥0），變形為ab≤（）2或者a+b≥2．
【解題方法點(diǎn)撥】
在運(yùn)用均值不等式求最值時(shí)，可以將代數(shù)式分解成可以應(yīng)用均值不等式的形式．例如，要求代數(shù)式 x+ 的最小值，可以利用均值不等式 從而得出最小值為 2，并且在 x＝1 時(shí)取到最小值．需要注意的是，運(yùn)用不等式時(shí)要確保代入的數(shù)值符合不等式的適用范圍，并進(jìn)行必要的等號(hào)條件驗(yàn)證．
【命題方向】
均值不等式求最值的命題方向包括代數(shù)表達(dá)式的最值求解、幾何圖形的最優(yōu)設(shè)計(jì)等．例如，求解一個(gè)代數(shù)式的最小值，或設(shè)計(jì)一個(gè)幾何圖形使其面積最大．這類題型要求學(xué)生能夠靈活運(yùn)用均值不等式進(jìn)行最值求解，并能正確代入和計(jì)算．
已知正數(shù)a，b滿足a+b＝1，則的最大值是_____．
解：因?yàn)檎龜?shù)a，b滿足a+b＝1，
所以a+1+b+1＝3，
則＝，
當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時(shí)取等號(hào)．
故答案為：．
8．運(yùn)用“1”的代換構(gòu)造基本不等式
【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】
基本不等式主要應(yīng)用于求某些函數(shù)的最值及證明不等式．其可表述為：兩個(gè)正實(shí)數(shù)的幾何平均數(shù)小于或等于它們的算術(shù)平均數(shù)．公式為：≥（a≥0，b≥0），變形為ab≤（）2或者a+b≥2．
【解題方法點(diǎn)撥】
在一些復(fù)雜的代數(shù)式問(wèn)題中，結(jié)合已知條件中的和或積為常熟，可以通過(guò)將“1”表示為兩個(gè)數(shù)的和或積，從而構(gòu)造均值不等式，簡(jiǎn)化問(wèn)題．
【命題方向】
運(yùn)用“1”的代換構(gòu)造均值不等式時(shí)，可以通過(guò)將“1”表示為兩個(gè)數(shù)的和或積，從而應(yīng)用均值不等式．
已知實(shí)數(shù)x，y∈R+，且x+y＝4，求的最小值．
解：∵x＞0，y＞0，x+y＝4，
∴＝，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
∴的最小值為：．
故答案為：．
9．指、對(duì)數(shù)不等式的解法
【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】
不等式的解法
（1）整式不等式的解法（根軸法）．
步驟：正化，求根，標(biāo)軸，穿線（偶重根打結(jié)），定解．
特例：
①一元一次不等式ax＞b解的討論；
②一元二次不等式ax2+bx+c＞0（a≠0）解的討論．
（2）分式不等式的解法：先移項(xiàng)通分標(biāo)準(zhǔn)化，則
．
（3）無(wú)理不等式：轉(zhuǎn)化為有理不等式求解．
（4）指數(shù)不等式：轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式
（5）對(duì)數(shù)不等式：轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式
（6）含絕對(duì)值不等式
①應(yīng)用分類討論思想去絕對(duì)值；
②應(yīng)用數(shù)形思想；
③應(yīng)用化歸思想等價(jià)轉(zhuǎn)化．
注：常用不等式的解法舉例（x為正數(shù)）：
10．其他不等式的解法
【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】
指、對(duì)數(shù)不等式的解法其實(shí)最主要的就是兩點(diǎn)，第一點(diǎn)是判斷指、對(duì)數(shù)的單調(diào)性，第二點(diǎn)就是學(xué)會(huì)指數(shù)和指數(shù)，對(duì)數(shù)和對(duì)數(shù)之間的運(yùn)算，下面以例題為講解．
【解題方法點(diǎn)撥】
例1：已知函數(shù)f（x）＝ex﹣1（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．證明：對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，不等式f（x）≥x恒成立．
解：（I）設(shè)h（x）＝f（x）﹣x＝ex﹣1﹣x
∴h'（x）＝ex﹣1﹣1，
當(dāng)x＞1時(shí)，h'（x）＞0，h（x）為增，
當(dāng)x＜1時(shí)，h'（x）＜0，h（x）為減，
當(dāng)x＝1時(shí)，h（x）取最小值h（1）＝0．
∴h（x）≥h（1）＝0，即f（x）≥x．
這里面是一個(gè)綜合題，解題的思路主要還是判斷函數(shù)的單調(diào)性，尤其是指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查的重點(diǎn)其實(shí)是大家的計(jì)算能力．
例2：已知函數(shù)f（x）＝lga（x﹣1），g（x）＝lga（3﹣x）（a＞0且a≠1），利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，討論不等式f（x）≥g（x）中x的取值范圍．
解：∵不等式f（x）≥g（x），即 lga（x﹣1）≥lga（3﹣x），
∴當(dāng)a＞1時(shí)，有，解得 2＜x＜3．
當(dāng)1＞a＞0時(shí)，有，解得 1＜x＜2．
綜上可得，當(dāng)a＞1時(shí)，不等式f（x）≥g（x）中x的取值范圍為（2，3）；
當(dāng)1＞a＞0時(shí)，不等式f（x）≥g（x）中x的取值范圍為（1，2）．
這個(gè)題考查的就是對(duì)數(shù)函數(shù)不等式的求解，可以看出主要還是求單調(diào)性，當(dāng)然也可以右邊移到左邊，然后變成一個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)來(lái)求解也可以．
【命題方向】
本考點(diǎn)其實(shí)主要是學(xué)會(huì)判斷各函數(shù)的單調(diào)性，然后重點(diǎn)考察學(xué)生的運(yùn)算能力，也是一個(gè)比較重要的考點(diǎn)，希望大家好好學(xué)習(xí)．
11．一元二次不等式及其應(yīng)用
【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】
含有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是 ax2+bx+c＞0 或 ax2+bx+c＜0（a不等于0）其中ax2+bx+c是實(shí)數(shù)域內(nèi)的二次三項(xiàng)式．
特征
當(dāng)△＝b2﹣4ac＞0時(shí)，
一元二次方程ax2+bx+c＝0有兩個(gè)實(shí)根，那么ax2+bx+c可寫成a（x﹣x1）（x﹣x2）
當(dāng)△＝b2﹣4ac＝0時(shí)，
一元二次方程ax2+bx+c＝0僅有一個(gè)實(shí)根，那么ax2+bx+c可寫成a（x﹣x1）2．
當(dāng)△＝b2﹣4ac＜0時(shí)．
一元二次方程ax2+bx+c＝0沒(méi)有實(shí)根，那么ax2+bx+c與x軸沒(méi)有交點(diǎn)．
【解題方法點(diǎn)撥】
例1：一元二次不等式x2＜x+6的解集為．
解：原不等式可變形為（x﹣3）（x+2）＜0
所以，﹣2＜x＜3
故答案為：（﹣2，3）．
這個(gè)題的特點(diǎn)是首先它把題干變了形，在這里我們必須要移項(xiàng)寫成ax2+bx+c＜0的形式；然后應(yīng)用了特征當(dāng)中的第一條，把它寫成兩個(gè)一元一次函數(shù)的乘積，所用的方法是十字相乘法；最后結(jié)合其圖象便可求解．
【命題方向】
①一元二次不等式恒成立問(wèn)題：
一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集是R的等價(jià)條件是：a＞0且△＜0；一元二次不等式ax2+bx+c＜0的解集是R的等價(jià)條件是：a＜0且△＜0．
②分式不等式問(wèn)題：
＞0?f（x）?g（x）＞0；
＜0?f（x）?g（x）＜0；
≥0?；
≤0?．
12．函數(shù)的定義域及其求法
【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】函數(shù)的定義域就是使函數(shù)有意義的自變量的取值范圍．
求解函數(shù)定義域的常規(guī)方法：①分母不等于零；
②根式（開(kāi)偶次方）被開(kāi)方式≥0；
③對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零，以及對(duì)數(shù)底數(shù)大于零且不等于1；
④指數(shù)為零時(shí)，底數(shù)不為零．
⑤實(shí)際問(wèn)題中函數(shù)的定義域；
【解題方法點(diǎn)撥】
求函數(shù)定義域，一般歸結(jié)為解不等式組或混合組．（1）當(dāng)函數(shù)是由解析式給出時(shí)，其定義域是使解析式有意義的自變量的取值集合．（2）當(dāng)函數(shù)是由實(shí)際問(wèn)題給出時(shí)，其定義域的確定不僅要考慮解析式有意義，還要有實(shí)際意義（如長(zhǎng)度、面積必須大于零、人數(shù)必須為自然數(shù)等）．（3）若一函數(shù)解析式是由幾個(gè)函數(shù)經(jīng)四則運(yùn)算得到的，則函數(shù)定義域應(yīng)是同時(shí)使這幾個(gè)函數(shù)有意義的不等式組的解集．若函數(shù)定義域?yàn)榭占?，則函數(shù)不存在．（4）抽象函數(shù)的定義域：①對(duì)在同一對(duì)應(yīng)法則f 下的量“x”“x+a”“x﹣a”所要滿足的范圍是一樣的；②函數(shù)g（x）中的自變量是x，所以求g（x）的定義域應(yīng)求g（x）中的x的范圍．
【命題方向】高考會(huì)考中多以小題形式出現(xiàn)，也可以是大題中的一小題．
13．函數(shù)的值域
【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】函數(shù)值的集合{f（x）|x∈A}叫做函數(shù)的值域．A是函數(shù)的定義域．
【解題方法點(diǎn)撥】（1）求函數(shù)的值域
此類問(wèn)題主要利用求函數(shù)值域的常用方法：配方法、分離變量法、單調(diào)性法、圖象法、換元法、不等式法等．
無(wú)論用什么方法求函數(shù)的值域，都必須考慮函數(shù)的定義域．
（2）函數(shù)的綜合性題目
此類問(wèn)題主要考查函數(shù)值域、單調(diào)性、奇偶性、反函數(shù)等一些基本知識(shí)相結(jié)合的題目．
此類問(wèn)題要求考生具備較高的數(shù)學(xué)思維能力和綜合分析能力以及較強(qiáng)的運(yùn)算能力．
在今后的命題趨勢(shì)中綜合性題型仍會(huì)成為熱點(diǎn)和重點(diǎn)，并可以逐漸加強(qiáng)．
（3）運(yùn)用函數(shù)的值域解決實(shí)際問(wèn)題
此類問(wèn)題關(guān)鍵是把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，從而利用所學(xué)知識(shí)去解決．此類題要求考生具有較強(qiáng)的分析能力和數(shù)學(xué)建模能力．
【命題方向】函數(shù)的值域及其求法是近幾年高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一，有時(shí)在函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的壓軸題中出現(xiàn)，是?？碱}型．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2024/11/4 19:15:17；用戶：組卷36；郵箱：zyb036@xyh.cm；學(xué)號(hào)：41418999

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