1．（2024?江西一模）中國(guó)蹴鞠已有兩千三百多年的歷史，于2004年被國(guó)際足聯(lián)正式確認(rèn)為世界足球運(yùn)動(dòng)的起源．蹴鞠在2022年卡塔爾世界杯上再次成為文化交流的媒介，走到世界舞臺(tái)的中央，訴說中國(guó)傳統(tǒng)非遺故事．為弘揚(yáng)中華傳統(tǒng)文化，某市四所高中各自組建了蹴鞠隊(duì)（分別記為“甲隊(duì)”“乙隊(duì)”“丙隊(duì)”“丁隊(duì)” 進(jìn)行單循環(huán)比賽（即每支球隊(duì)都要跟其他各支球隊(duì)進(jìn)行一場(chǎng)比賽），最后按各隊(duì)的積分排列名次（積分多者名次靠前，積分同者名次并列），積分規(guī)則為每隊(duì)勝一場(chǎng)得3分，平場(chǎng)得1分，負(fù)一場(chǎng)得0分．若每場(chǎng)比賽中兩隊(duì)勝、平、負(fù)的概率均為，則在比賽結(jié)束時(shí)丙隊(duì)在輸了第一場(chǎng)且其積分仍超過其余三支球隊(duì)的積分的概率為
A．B．C．D．
2．（2024?織金縣校級(jí)模擬）已知袋中有除顏色外形狀相同的紅、黑球共10個(gè)，設(shè)紅球的個(gè)數(shù)為，從中隨機(jī)取出3個(gè)球，取出2紅1黑的概率記為，當(dāng)最大時(shí)，紅球個(gè)數(shù)為
A．6B．7C．8D．9
3．（2024?荊州模擬）已知隨機(jī)變量，且，則的最小值為
A．9B．C．4D．6
4．（2024?蘇州三模）如圖是一塊高爾頓板的示意圖，在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯(cuò)開的圓柱形小木釘，小木釘之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ溃懊鎿跤幸粔K玻璃．將小球從頂端放入，小球下落的過程中，每次碰到小木釘后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．記格子從左到右的編號(hào)分別為0，1，2，，10，用表示小球最后落入格子的號(hào)碼，若，則
A．4B．5C．6D．7
5．（2024?菏澤二模）下列結(jié)論正確的是
A．已知一組樣本數(shù)據(jù)，，，現(xiàn)有一組新的數(shù)據(jù)，，，，則與原樣本數(shù)據(jù)相比，新的數(shù)據(jù)平均數(shù)不變，方差變大
B．已知具有線性相關(guān)關(guān)系的變量，，其線性回歸方程為，若樣本點(diǎn)的中心為，則實(shí)數(shù)的值是4
C．50名學(xué)生在一?？荚囍械臄?shù)學(xué)成績(jī)，已知，則，的人數(shù)為20人
D．已知隨機(jī)變量，若，則
6．（2024?南開區(qū)一模）已知隨機(jī)變量，，且，則
A．B．C．D．
7．（2024?羅湖區(qū)校級(jí)模擬）設(shè)、、為互不相等的正實(shí)數(shù)，隨機(jī)變量和的分布列如表，若記，分別為，的方差，則下列說法正確的是
A．
B．
C．
D．與的大小關(guān)系與，，的取值有關(guān)
8．（2024?遼寧一模）猜燈謎是中國(guó)元宵節(jié)特色活動(dòng)之一．已知甲、乙、丙三人每人寫一個(gè)燈謎，分別放入三個(gè)完全相同的小球，三人約定每人隨機(jī)選一個(gè)球（不放回），猜出自己所選球內(nèi)的燈謎者獲勝．若他們每人必能猜對(duì)自己寫的燈謎，并有的概率猜對(duì)其他人寫的燈謎，則甲獨(dú)自獲勝的概率為
A．B．C．D．
9．（2024?格爾木市模擬）小王、小張兩人進(jìn)行象棋比賽，共比賽局，且每局小王獲勝的概率和小張獲勝的概率均為，如果某人獲勝的局?jǐn)?shù)多于另一人，則此人贏得比賽．記小王贏得比賽的概率為，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是
A．B．（2）（1）
C．D．隨著的增大而增大
10．（2024?益陽(yáng)模擬）秋冬季節(jié)是某呼吸道疾病的高發(fā)期，為了解該疾病的發(fā)病情況，疾控部門對(duì)該地區(qū)居民進(jìn)行普查化驗(yàn)，化驗(yàn)結(jié)果陽(yáng)性率為，但統(tǒng)計(jì)分析結(jié)果顯示患病率為．醫(yī)學(xué)研究表明化驗(yàn)結(jié)果是有可能存在誤差的，沒有患該疾病的居民其化驗(yàn)結(jié)果呈陽(yáng)性的概率為0.01，則該地區(qū)患有該疾病的居民化驗(yàn)結(jié)果呈陽(yáng)性的概率為
A．0.96B．0.97C．0.98D．0.99
二．多選題（共5小題）
11．（2024?香坊區(qū)校級(jí)模擬）一個(gè)袋子中有4個(gè)紅球，6個(gè)綠球，采用不放回方式從中依次隨機(jī)取出2個(gè)球．事件 “兩次取到的球顏色相同”；事件 “第二次取到紅球”；事件 “第一次取到紅球”．下列說法正確的是
A．B．事件與事件是互斥事件
C．D．
12．（2024?佛山一模）有一組樣本數(shù)據(jù)0，1，2，3，4，添加一個(gè)數(shù)形成一組新的數(shù)據(jù)，且，1，2，3，4，，則新的樣本數(shù)據(jù)
A．極差不變的概率是
B．第25百分位數(shù)不變的概率是
C．平均值變大的概率是
D．方差變大的概率是
13．（2024?越秀區(qū)校級(jí)一模）下列說法正確的是
A．?dāng)?shù)據(jù)2，1，3，4，2，5，4，1的第45百分位數(shù)是4
B．若數(shù)據(jù)，，，，的標(biāo)準(zhǔn)差為，則數(shù)據(jù)，，，，的標(biāo)準(zhǔn)差為
C．隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則
D．隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，若方差，則
14．（2024?新鄭市校級(jí)一模）關(guān)于下列命題中，說法正確的是
A．已知，若，，則
B．?dāng)?shù)據(jù)91，72，75，85，64，92，76，78，86，79的分位數(shù)為78
C．已知，若，則
D．某校三個(gè)年級(jí)，高一有400人，高二有360人．現(xiàn)用分層抽樣的方法從全校抽取57人，已知從高一抽取了20人，則應(yīng)從高三抽取19人
15．（2024?袁州區(qū)校級(jí)三模）同時(shí)拋出兩枚質(zhì)地均勻的骰子甲、乙，記事件：甲骰子點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)，事件：乙骰子點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)，事件：甲、乙骰子點(diǎn)數(shù)相同．下列說法正確的有
A．事件與事件對(duì)立B．事件與事件相互獨(dú)立
C．事件與事件相互獨(dú)立D．（C）
三．填空題（共5小題）
16．（2024?江西一模）斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列，因數(shù)學(xué)家萊昂納多斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”，指的是這樣一個(gè)數(shù)列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、，在數(shù)學(xué)上，斐波那契數(shù)列以如下遞推的方式定義：，，，，，，，且中，則中所有元素之和為奇數(shù)的概率為 ．
17．（2024?廈門模擬）在維空間中，以單位長(zhǎng)度為邊長(zhǎng)的“立方體”的頂點(diǎn)坐標(biāo)可表示為維坐標(biāo)，，，，其中，，．則5維“立方體”的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)是 ；
定義：在維空間中兩點(diǎn)，，，與，，，的曼哈頓距離為．在5維“立方體”的頂點(diǎn)中任取兩個(gè)不同的頂點(diǎn)，記隨機(jī)變量為所取兩點(diǎn)間的曼哈頓距離，則 ．
18．（2024?和平區(qū)二模）為銘記歷史、緬懷先烈，增強(qiáng)愛國(guó)主義情懷，某學(xué)校開展共青團(tuán)知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)．在最后一輪晉級(jí)比賽中，甲、乙、丙三名同學(xué)回答一道有關(guān)團(tuán)史的問題，每個(gè)人回答正確與否互不影響．已知甲回答正確的概率為，甲、丙兩人都回答正確的概率是，乙、丙兩人都回答正確的概率是．若規(guī)定三名同學(xué)都回答這個(gè)問題，則甲、乙、丙三名同學(xué)中至少有1人回答正確的概率為 ；若規(guī)定三名同學(xué)搶答這個(gè)問題，已知甲、乙、丙搶到答題機(jī)會(huì)的概率分別為，，，則這個(gè)問題回答正確的概率為 ．
19．（2024?魏都區(qū)校級(jí)三模）拋擲一枚不均勻的硬幣，正面向上的概率為，反面向上的概率為，記次拋擲后得到偶數(shù)次正面向上的概率為，則數(shù)列的通項(xiàng)公式 ．
20．（2024?浙江模擬）甲、乙兩人玩游戲，規(guī)則如下：第局，甲贏的概率為；第局，乙贏的概率為．每一局沒有平局．規(guī)定：當(dāng)其中一人贏的局?jǐn)?shù)比另一人贏的局?jǐn)?shù)多兩次時(shí)游戲結(jié)束．則游戲結(jié)束時(shí)，甲、乙兩人玩的局?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)期望為 ．
四．解答題（共5小題）
21．（2024?香河縣校級(jí)模擬）人工智能（英語(yǔ)：，縮寫為亦稱智械、機(jī)器智能，指由人制造出來的可以表現(xiàn)出智能的機(jī)器．通常人工智能是指通過普通計(jì)算機(jī)程序來呈現(xiàn)人類智能的技術(shù)．人工智能的核心問題包括建構(gòu)能夠跟人類似甚至超卓的推理、知識(shí)、規(guī)劃、學(xué)習(xí)、交流、感知、移物、使用工具和操控機(jī)械的能力等．當(dāng)前有大共的工具應(yīng)用了人工智能，其中包括搜索和數(shù)學(xué)優(yōu)化、邏輯推演．而基于仿生學(xué)、認(rèn)知心理學(xué)，以及基于概率論和經(jīng)濟(jì)學(xué)的算法等等也在逐步探索當(dāng)中．思維來源于大腦，而思維控制行為，行為需要意志去實(shí)現(xiàn)，而思維又是對(duì)所有數(shù)據(jù)采集的整理，相當(dāng)于數(shù)據(jù)庫(kù)．某中學(xué)計(jì)劃在高一年級(jí)開設(shè)人工智能課程．為了解學(xué)生對(duì)人工筸能是否感興趣，隨機(jī)從該校高一年級(jí)學(xué)生中抽取了400人進(jìn)行調(diào)查，整理得到如下列聯(lián)表：
（1）依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為對(duì)人工智能是否感興趣與性別有關(guān)聯(lián)？
（2）從對(duì)人工智能感興趣的學(xué)生中按性別采用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取10人，再?gòu)倪@10人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行采訪，記隨機(jī)變量表示抽到的3人中女生的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．
附：，其中．
22．（2024?江西一模）設(shè)是一個(gè)二維離散型隨機(jī)變量，它們的一切可能取的值為，，其中，，令，，稱是二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布列．與一維的情形相似，我們也習(xí)慣于把二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布列寫成下表形式：
現(xiàn)有個(gè)相同的球等可能的放入編號(hào)為1，2，3的三個(gè)盒子中，記落下第1號(hào)盒子中的球的個(gè)數(shù)為，落入第2號(hào)盒子中的球的個(gè)數(shù)為．
（1）當(dāng)時(shí)，求的聯(lián)合分布列；
（2）設(shè)，且，計(jì)算．
23．（2024?黃山模擬）某校高三年級(jí)1000名學(xué)生的高考適應(yīng)性演練數(shù)學(xué)成績(jī)頻率分布直方圖如圖所示，其中成績(jī)分組區(qū)間是，，，，，，，，，，，．
（1）求圖中的值，并根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這1000名學(xué)生的這次考試數(shù)學(xué)成績(jī)的第85百分位數(shù)；
（2）從這次數(shù)學(xué)成績(jī)位于，，，的學(xué)生中采用比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方．法抽取9人，再?gòu)倪@9人中隨機(jī)抽取3人，該3人中成績(jī)?cè)趨^(qū)間，的人數(shù)記為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．
24．（2024?河南模擬）某公司擬通過摸球中獎(jiǎng)的方式對(duì)員工發(fā)放節(jié)日紅包．在一個(gè)不透明的袋子中裝有個(gè)形狀大小相同的標(biāo)有面值的球，每位員工從球袋中一次性隨機(jī)摸取個(gè)球，摸完后全部放回袋中，球上所標(biāo)的面值之和為該員工所獲得的紅包數(shù)額．
（1）若，，當(dāng)袋中的球中有2個(gè)所標(biāo)面值為40元，1個(gè)為50元，1個(gè)為60元時(shí)，在員工所獲得的紅包數(shù)額不低于90元的條件下，求取到面值為60元的球的概率；
（2）若，，當(dāng)袋中的球中有1個(gè)所標(biāo)面值為10元，2個(gè)為20元，1個(gè)為30元，1個(gè)為40元時(shí)，求員工所獲得紅包數(shù)額的數(shù)學(xué)期望與方差．
25．（2024?北京）某保險(xiǎn)公司為了解該公司某種保險(xiǎn)產(chǎn)品的索賠情況，從合同保險(xiǎn)期限屆滿的保單中隨機(jī)抽取1000份，記錄并整理這些保單的索賠情況，獲得數(shù)據(jù)如下表：
假設(shè)：一份保單的保費(fèi)為0.4萬元；前三次索賠時(shí)，保險(xiǎn)公司每次賠償0.8萬元；第四次索賠時(shí)，保險(xiǎn)公司賠償0.6萬元．
假設(shè)不同保單的索賠次數(shù)相互獨(dú)立．用頻率估計(jì)概率．
（1）估計(jì)一份保單索賠次數(shù)不少于2的概率；
（2）一份保單的毛利潤(rùn)定義為這份保單的保費(fèi)與賠償總金額之差．
記為一份保單的毛利潤(rùn)，估計(jì)的數(shù)學(xué)期望；
如果無索賠的保單的保費(fèi)減少，有索賠的保單的保費(fèi)增加，試比較這種情況下一份保單毛利潤(rùn)的數(shù)學(xué)期望估計(jì)值與中估計(jì)值的大小，（結(jié)論不要求證明）
2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)壓軸訓(xùn)練22
參考答案與試題解析
一．選擇題（共10小題）
1．（2024?江西一模）中國(guó)蹴鞠已有兩千三百多年的歷史，于2004年被國(guó)際足聯(lián)正式確認(rèn)為世界足球運(yùn)動(dòng)的起源．蹴鞠在2022年卡塔爾世界杯上再次成為文化交流的媒介，走到世界舞臺(tái)的中央，訴說中國(guó)傳統(tǒng)非遺故事．為弘揚(yáng)中華傳統(tǒng)文化，某市四所高中各自組建了蹴鞠隊(duì)（分別記為“甲隊(duì)”“乙隊(duì)”“丙隊(duì)”“丁隊(duì)” 進(jìn)行單循環(huán)比賽（即每支球隊(duì)都要跟其他各支球隊(duì)進(jìn)行一場(chǎng)比賽），最后按各隊(duì)的積分排列名次（積分多者名次靠前，積分同者名次并列），積分規(guī)則為每隊(duì)勝一場(chǎng)得3分，平場(chǎng)得1分，負(fù)一場(chǎng)得0分．若每場(chǎng)比賽中兩隊(duì)勝、平、負(fù)的概率均為，則在比賽結(jié)束時(shí)丙隊(duì)在輸了第一場(chǎng)且其積分仍超過其余三支球隊(duì)的積分的概率為
A．B．C．D．
【答案】
【考點(diǎn)】相互獨(dú)立事件和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率計(jì)算公式
【專題】概率與統(tǒng)計(jì)；對(duì)應(yīng)思想；定義法；數(shù)學(xué)運(yùn)算
【分析】根據(jù)丙是最高分可得丙余下兩場(chǎng)比賽全贏，再就甲乙、甲丁的輸贏（丙的第一場(chǎng)對(duì)手若為甲）分類討論后可得正確的選項(xiàng)．
【解答】解：三隊(duì)中選一隊(duì)與丙比賽，丙輸，，例如是丙甲，
若丙與乙、丁的兩場(chǎng)比賽一贏一平，則丙只得4分，
這時(shí)，甲乙、甲丁兩場(chǎng)比賽中甲只能輸，否則甲的分?jǐn)?shù)不小于4分，不合題意，
在甲輸?shù)那闆r下，乙、丁已有3分，
那個(gè)它們之間的比賽無論什么情況，乙、丁中有一人得分不小于4分，不合題意．
若丙全贏（概率是時(shí)，丙得6分，其他3人分?jǐn)?shù)最高為5分，
這時(shí)甲乙，甲丁兩場(chǎng)比賽中甲不能贏，否則甲的分?jǐn)?shù)不小于6分，
（1）若甲乙，甲丁兩場(chǎng)比賽中甲一平一輸，則一平一輸?shù)母怕适牵?br>如平乙，輸丁，則乙丁比賽時(shí)，丁不能贏，概率是，
（2）若甲乙，甲丁兩場(chǎng)比賽中甲兩場(chǎng)均平，概率是，
乙丁這場(chǎng)比賽無論結(jié)論如何均符合題意，
（3）若甲乙，甲丁兩場(chǎng)比賽中甲都輸，概率是，
乙丁這場(chǎng)比賽只能平，概率是．
綜上，概率為，正確．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查相互獨(dú)立事件的應(yīng)用，屬于中檔題．
2．（2024?織金縣校級(jí)模擬）已知袋中有除顏色外形狀相同的紅、黑球共10個(gè)，設(shè)紅球的個(gè)數(shù)為，從中隨機(jī)取出3個(gè)球，取出2紅1黑的概率記為，當(dāng)最大時(shí)，紅球個(gè)數(shù)為
A．6B．7C．8D．9
【答案】
【考點(diǎn)】概率的應(yīng)用；排列組合的綜合應(yīng)用；古典概型及其概率計(jì)算公式
【專題】綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；計(jì)算題；數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想；方程思想
【分析】根據(jù)題意，由古典概型公式可得，根據(jù)求出，根據(jù)只能取正整數(shù)，得出，關(guān)系，即可求解．
【解答】解：根據(jù)題意，10個(gè)球中，紅球個(gè)數(shù)為，從中隨機(jī)取出3個(gè)球，取出2紅1黑的概率記為，
則，
則，
故，
若，即，解可得，
又由且，則有，，且，
故．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率與不等式的綜合應(yīng)用，涉及古典概型的計(jì)算，屬于中檔題．
3．（2024?荊州模擬）已知隨機(jī)變量，且，則的最小值為
A．9B．C．4D．6
【答案】
【考點(diǎn)】正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義
【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化法；概率與統(tǒng)計(jì)；方程思想；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
【分析】由已知結(jié)合正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性求得，代入，再由導(dǎo)數(shù)求最值．
【解答】解：，可得正態(tài)分布曲線的對(duì)稱軸為，
又，，即．
令，則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)，時(shí)，，單調(diào)遞增，
則的最小值為．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求最值，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．
4．（2024?蘇州三模）如圖是一塊高爾頓板的示意圖，在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯(cuò)開的圓柱形小木釘，小木釘之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ溃懊鎿跤幸粔K玻璃．將小球從頂端放入，小球下落的過程中，每次碰到小木釘后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．記格子從左到右的編號(hào)分別為0，1，2，，10，用表示小球最后落入格子的號(hào)碼，若，則
A．4B．5C．6D．7
【答案】
【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的均值（數(shù)學(xué)期望）
【專題】綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；對(duì)應(yīng)思想；概率與統(tǒng)計(jì)
【分析】小球在下落過程中，共10次等可能向左或向右落下，則小球落入格子的號(hào)碼服從二項(xiàng)分布，且落入格子的號(hào)碼即向右次數(shù)，即，則，1，，，然后由二項(xiàng)式系數(shù)對(duì)稱性即可得解．
【解答】解：小球在下落過程中，共10次等可能向左或向右落下，
則小球落入格子的號(hào)碼服從二項(xiàng)分布，
且落入格子的號(hào)碼即向右次數(shù)，即，
所以，1，，，
由二項(xiàng)式系數(shù)對(duì)稱性知，當(dāng)時(shí)，最大，故．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二項(xiàng)分布及二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．
5．（2024?菏澤二模）下列結(jié)論正確的是
A．已知一組樣本數(shù)據(jù)，，，現(xiàn)有一組新的數(shù)據(jù)，，，，則與原樣本數(shù)據(jù)相比，新的數(shù)據(jù)平均數(shù)不變，方差變大
B．已知具有線性相關(guān)關(guān)系的變量，，其線性回歸方程為，若樣本點(diǎn)的中心為，則實(shí)數(shù)的值是4
C．50名學(xué)生在一?？荚囍械臄?shù)學(xué)成績(jī)，已知，則，的人數(shù)為20人
D．已知隨機(jī)變量，若，則
【答案】
【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的均值（數(shù)學(xué)期望）；重伯努利試驗(yàn)與二項(xiàng)分布；正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義；用樣本估計(jì)總體的離散程度參數(shù)；經(jīng)驗(yàn)回歸方程與經(jīng)驗(yàn)回歸直線
【專題】對(duì)應(yīng)思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算
【分析】根據(jù)數(shù)據(jù)的數(shù)字特征即可判斷；根據(jù)線性回歸方程為過樣本點(diǎn)的中心即可判斷；根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)即可判斷；根據(jù)二項(xiàng)分布的性質(zhì)即可判斷．
【解答】解：對(duì)于，新數(shù)據(jù)的和為，故平均數(shù)不變，
又，
故原數(shù)據(jù)的極差為，新數(shù)據(jù)極差為，
所以，所以極差變小了，
由于平均數(shù)沒變，說明新數(shù)據(jù)相對(duì)于原數(shù)據(jù)更集中于平均數(shù)附近，
故數(shù)據(jù)更穩(wěn)定，所以方差應(yīng)該變小，故錯(cuò)誤；
對(duì)于，因?yàn)榫€性回歸方程為過樣本點(diǎn)的中心，
所以，解得，故錯(cuò)誤；
對(duì)于，因?yàn)?，已知?br>所以，所以人數(shù)為人，故錯(cuò)誤．
對(duì)于，因?yàn)椋?br>所以，，解得，故正確．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了概率統(tǒng)計(jì)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．
6．（2024?南開區(qū)一模）已知隨機(jī)變量，，且，則
A．B．C．D．
【答案】
【考點(diǎn)】正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義；離散型隨機(jī)變量的均值（數(shù)學(xué)期望）
【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；概率與統(tǒng)計(jì)；定義法；對(duì)應(yīng)思想
【分析】根據(jù)正態(tài)分布以及二項(xiàng)分布相關(guān)知識(shí)可解．
【解答】解：因?yàn)殡S機(jī)變量，，且，
則，，
根據(jù)正態(tài)分布性質(zhì)可知，
則，
則．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查正態(tài)分布以及二項(xiàng)分布相關(guān)知識(shí)，屬于中檔題．
7．（2024?羅湖區(qū)校級(jí)模擬）設(shè)、、為互不相等的正實(shí)數(shù)，隨機(jī)變量和的分布列如表，若記，分別為，的方差，則下列說法正確的是
A．
B．
C．
D．與的大小關(guān)系與，，的取值有關(guān)
【答案】
【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差
【專題】綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；概率與統(tǒng)計(jì)；對(duì)應(yīng)思想
【分析】根據(jù)離散型隨機(jī)變量的期望和方差的公式結(jié)合題中所給隨機(jī)變量和的分布列即可求解．
【解答】解：由題，
，
故，
，
又
，
即，也即．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了離散型隨機(jī)變量的期望和方差的有關(guān)計(jì)算，屬于中檔題．
8．（2024?遼寧一模）猜燈謎是中國(guó)元宵節(jié)特色活動(dòng)之一．已知甲、乙、丙三人每人寫一個(gè)燈謎，分別放入三個(gè)完全相同的小球，三人約定每人隨機(jī)選一個(gè)球（不放回），猜出自己所選球內(nèi)的燈謎者獲勝．若他們每人必能猜對(duì)自己寫的燈謎，并有的概率猜對(duì)其他人寫的燈謎，則甲獨(dú)自獲勝的概率為
A．B．C．D．
【答案】
【考點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式；概率的應(yīng)用
【專題】綜合法；轉(zhuǎn)化思想；計(jì)算題；方程思想；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算
【分析】根據(jù)題意，分2種情況討論甲獲勝的情況，由相互獨(dú)立事件的概率性質(zhì)求出各自的概率，由互斥事件的概率公式計(jì)算可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，若甲獨(dú)自獲勝，分2種情況討論：
①甲抽到自己的燈謎，而乙、丙都沒有抽到自己的燈謎，
甲乙丙三人每人隨機(jī)選一個(gè)球，有種抽取方法，
若只有甲抽到自己的燈謎，有1種抽取方法，
故只有甲抽到自己的燈謎的概率為，
則此時(shí)甲獨(dú)自獲勝的概率，
②甲乙丙都沒有抽到自己的燈謎，
甲乙丙都沒有抽到自己的燈謎，甲有2種可能，乙、丙只有1種可能，則有種可能，
故甲乙丙都沒有抽到自己的燈謎的概率為，
則此時(shí)甲獨(dú)自獲勝的概率，
故甲獨(dú)自獲勝的概率．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查互斥事件、相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算，注意“甲獨(dú)自獲勝”的情形，屬于中檔題．
9．（2024?格爾木市模擬）小王、小張兩人進(jìn)行象棋比賽，共比賽局，且每局小王獲勝的概率和小張獲勝的概率均為，如果某人獲勝的局?jǐn)?shù)多于另一人，則此人贏得比賽．記小王贏得比賽的概率為，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是
A．B．（2）（1）
C．D．隨著的增大而增大
【答案】
【考點(diǎn)】相互獨(dú)立事件和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式
【專題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；邏輯推理；概率與統(tǒng)計(jì)；綜合法
【分析】要使小王贏得比賽，則小王至少贏局，進(jìn)而表達(dá)出，結(jié)合組合數(shù)公式求解得到，由此能求出結(jié)果．
【解答】解：由題意知，要使小王贏得比賽，則小王至少贏 局，
則，
，
，，，，
，
（1），故正確；
（2），（2）（1），故錯(cuò)誤；
，故正確；
由，
，
，隨著的增大而增大，故正確，
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查相互獨(dú)立事件概率乘法公式、組合數(shù)公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．
10．（2024?益陽(yáng)模擬）秋冬季節(jié)是某呼吸道疾病的高發(fā)期，為了解該疾病的發(fā)病情況，疾控部門對(duì)該地區(qū)居民進(jìn)行普查化驗(yàn)，化驗(yàn)結(jié)果陽(yáng)性率為，但統(tǒng)計(jì)分析結(jié)果顯示患病率為．醫(yī)學(xué)研究表明化驗(yàn)結(jié)果是有可能存在誤差的，沒有患該疾病的居民其化驗(yàn)結(jié)果呈陽(yáng)性的概率為0.01，則該地區(qū)患有該疾病的居民化驗(yàn)結(jié)果呈陽(yáng)性的概率為
A．0.96B．0.97C．0.98D．0.99
【答案】
【考點(diǎn)】條件概率
【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法；計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；概率與統(tǒng)計(jì)
【分析】利用全概率公式和條件概率公式即可求得所求事件的概率．
【解答】解：設(shè) “患有該疾病”， “化驗(yàn)結(jié)果呈陽(yáng)性”，
由題意可知（A），（B），．
（B）（A），
，解得．
患有該疾病的居民化驗(yàn)結(jié)果呈陽(yáng)性的概率為0.98．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查全概率公式的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬中檔題．
二．多選題（共5小題）
11．（2024?香坊區(qū)校級(jí)模擬）一個(gè)袋子中有4個(gè)紅球，6個(gè)綠球，采用不放回方式從中依次隨機(jī)取出2個(gè)球．事件 “兩次取到的球顏色相同”；事件 “第二次取到紅球”；事件 “第一次取到紅球”．下列說法正確的是
A．B．事件與事件是互斥事件
C．D．
【答案】
【考點(diǎn)】隨機(jī)事件；互斥事件與對(duì)立事件
【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解
【分析】由已知先列舉出事件，，包含的基本事件，然后結(jié)合互斥事件的概念及古典概率公式檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷．
【解答】解：由題意可得，（紅，紅），（綠，綠），（紅，紅），（綠，紅），（紅，紅），（紅，綠），
則，選項(xiàng)錯(cuò)誤；
，選項(xiàng)錯(cuò)誤；
，選項(xiàng)正確；
，選項(xiàng)正確．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了事件基本關(guān)系的判斷，還考查了古典概率公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
12．（2024?佛山一模）有一組樣本數(shù)據(jù)0，1，2，3，4，添加一個(gè)數(shù)形成一組新的數(shù)據(jù)，且，1，2，3，4，，則新的樣本數(shù)據(jù)
A．極差不變的概率是
B．第25百分位數(shù)不變的概率是
C．平均值變大的概率是
D．方差變大的概率是
【答案】
【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的均值（數(shù)學(xué)期望）；用樣本估計(jì)總體的離散程度參數(shù)
【專題】對(duì)應(yīng)思想；概率與統(tǒng)計(jì)；計(jì)算題；綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算
【分析】根據(jù)題意得到取各個(gè)值的概率，結(jié)合極差、百分位數(shù)、平均數(shù)以及方差的概念與計(jì)算公式逐一判斷即可．
【解答】解：由題意得，，，
，，，
對(duì)于，若極差不變，則，1，2，3，4，概率為，故正確；
對(duì)于，由于，，所以原數(shù)據(jù)和新數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)均為第二個(gè)數(shù)，
所以，2，3，4，5，第25百分位數(shù)不變的概率是，故錯(cuò)誤；
對(duì)于，原樣本平均值為，平均值變大，則，4，5，概率為，故正確；
對(duì)于，原樣本的方差為，
顯然，當(dāng)時(shí)，新數(shù)據(jù)方差變小，當(dāng)，4，5時(shí)，新數(shù)據(jù)方差變大，
當(dāng)時(shí)，新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，
方差為，
同理，當(dāng)時(shí)，新數(shù)據(jù)的方差為，
所以方差變大的概率為，故正確．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查離散型隨機(jī)變量的期望和方差，概率的求法，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．
13．（2024?越秀區(qū)校級(jí)一模）下列說法正確的是
A．?dāng)?shù)據(jù)2，1，3，4，2，5，4，1的第45百分位數(shù)是4
B．若數(shù)據(jù)，，，，的標(biāo)準(zhǔn)差為，則數(shù)據(jù)，，，，的標(biāo)準(zhǔn)差為
C．隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則
D．隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，若方差，則
【答案】
【考點(diǎn)】正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義；用樣本估計(jì)總體的離散程度參數(shù)；重伯努利試驗(yàn)與二項(xiàng)分布；離散型隨機(jī)變量的均值（數(shù)學(xué)期望）
【專題】概率與統(tǒng)計(jì)；轉(zhuǎn)化法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想
【分析】根據(jù)百分位數(shù)的計(jì)算方法，可判定錯(cuò)誤；根據(jù)方差的性質(zhì)，可判定正確；根據(jù)正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性，可判定正確；根據(jù)二項(xiàng)分布性質(zhì)和概率的計(jì)算公式，可判定正確．
【解答】解：對(duì)于中，數(shù)據(jù)從小到大排列為1，1，2，2，3，4，4，5，共有8個(gè)數(shù)據(jù)，
因?yàn)?，所以?shù)據(jù)的第45分位數(shù)為第4個(gè)數(shù)據(jù)，即為2，所以不正確；
對(duì)于中，數(shù)據(jù)，，，，的標(biāo)準(zhǔn)差為，
由數(shù)據(jù)方差的性質(zhì)，可得數(shù)據(jù)，，，的標(biāo)準(zhǔn)差為，所以正確；
對(duì)于中，隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，
根據(jù)正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性，可得，所以正確；
對(duì)于中，隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，且，
可得，解得或，
當(dāng)時(shí)，可得，
當(dāng)時(shí)，可得；
綜上可得，，所以正確．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查概率與統(tǒng)計(jì)的知識(shí)，屬于中檔題．
14．（2024?新鄭市校級(jí)一模）關(guān)于下列命題中，說法正確的是
A．已知，若，，則
B．?dāng)?shù)據(jù)91，72，75，85，64，92，76，78，86，79的分位數(shù)為78
C．已知，若，則
D．某校三個(gè)年級(jí)，高一有400人，高二有360人．現(xiàn)用分層抽樣的方法從全校抽取57人，已知從高一抽取了20人，則應(yīng)從高三抽取19人
【答案】
【考點(diǎn)】正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義；重伯努利試驗(yàn)與二項(xiàng)分布；分層隨機(jī)抽樣；離散型隨機(jī)變量的均值（數(shù)學(xué)期望）
【專題】轉(zhuǎn)化法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想
【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布期望和方差公式可構(gòu)造方程求得，知錯(cuò)誤；將數(shù)據(jù)按照從小到大順序排序后，根據(jù)百分位數(shù)的估計(jì)方法直接求解知正確；由正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性可求得正確；根據(jù)分層抽樣原則可計(jì)算得到高二應(yīng)抽取學(xué)生數(shù)，由此可得高三數(shù)據(jù)，知正確．
【解答】解：對(duì)于，，
，
，解得，故錯(cuò)誤；
對(duì)于，將數(shù)據(jù)從小到大排序?yàn)?4，72，75，76，78，79，85，86，91，92，
，
分位數(shù)為第5個(gè)數(shù)，即78，故正確；
對(duì)于，，
，故正確；
對(duì)于，抽樣比為，
高二應(yīng)抽取人，則高三應(yīng)抽取人，故正確．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查離散型隨機(jī)變量期望與方差，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．
15．（2024?袁州區(qū)校級(jí)三模）同時(shí)拋出兩枚質(zhì)地均勻的骰子甲、乙，記事件：甲骰子點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)，事件：乙骰子點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)，事件：甲、乙骰子點(diǎn)數(shù)相同．下列說法正確的有
A．事件與事件對(duì)立B．事件與事件相互獨(dú)立
C．事件與事件相互獨(dú)立D．（C）
【答案】
【考點(diǎn)】隨機(jī)事件；互斥事件與對(duì)立事件
【專題】概率與統(tǒng)計(jì)；綜合法；數(shù)學(xué)抽象；整體思想
【分析】對(duì)于，甲骰子點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)，乙骰子點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)，事件可以同時(shí)發(fā)生，由對(duì)立事件的概念可判斷；對(duì)于，計(jì)算出（A）（B），，根據(jù)（A）（B）可以判定兩個(gè)事件是否相互獨(dú)立；對(duì)于，計(jì)算出（A）（C），，根據(jù)（A）（C）可以判定兩個(gè)事件是否相互獨(dú)立；對(duì)于，由前面可知（C），，即可判斷是否相等．
【解答】解：由題意，得，，，
對(duì)于，當(dāng)甲為奇數(shù)點(diǎn)，且乙為偶數(shù)點(diǎn)時(shí)，事件可以同時(shí)發(fā)生，所以事件與事件不互斥，故事件與事件不對(duì)立，故錯(cuò)誤；
對(duì)于，由題意知，又，故事件與事件相互獨(dú)立，故正確；
對(duì)于，，又，故事件與事件相互獨(dú)立，故正確；
對(duì)于，由上知，，故錯(cuò)誤．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了相互獨(dú)立，互斥及對(duì)立事件的判斷，屬于中檔題．
三．填空題（共5小題）
16．（2024?江西一模）斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列，因數(shù)學(xué)家萊昂納多斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”，指的是這樣一個(gè)數(shù)列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、，在數(shù)學(xué)上，斐波那契數(shù)列以如下遞推的方式定義：，，，，，，，且中，則中所有元素之和為奇數(shù)的概率為 ．
【答案】．
【考點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式
【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；概率與統(tǒng)計(jì)；對(duì)應(yīng)思想；定義法
【分析】記中所有偶數(shù)組成的集合為，所有奇數(shù)組成的集合為，集合的子集為，集合中含有奇數(shù)個(gè)元素的子集為，則所有元素之和為奇數(shù)的集合可看成，然后可解．
【解答】解：由斐波那契數(shù)列規(guī)律可知，集合，，，中的元素有674個(gè)偶數(shù)，1350個(gè)奇數(shù)，
記中所有偶數(shù)組成的集合為，所有奇數(shù)組成的集合為，集合的子集為，集合中含有奇數(shù)個(gè)元素的子集為，
則所有元素之和為奇數(shù)的集合可看成，
顯然集合共有個(gè)，集合共有個(gè)，
所以所有元素之和為奇數(shù)的集合共有個(gè)，
又集合的非空子集共有個(gè)，所以中所有元素之和為奇數(shù)的概率為．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查集合、二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)以及古典概型相關(guān)知識(shí)，屬于中檔題．
17．（2024?廈門模擬）在維空間中，以單位長(zhǎng)度為邊長(zhǎng)的“立方體”的頂點(diǎn)坐標(biāo)可表示為維坐標(biāo)，，，，其中，，．則5維“立方體”的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)是 32 ；
定義：在維空間中兩點(diǎn)，，，與，，，的曼哈頓距離為．在5維“立方體”的頂點(diǎn)中任取兩個(gè)不同的頂點(diǎn)，記隨機(jī)變量為所取兩點(diǎn)間的曼哈頓距離，則 ．
【答案】32；．
【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的均值（數(shù)學(xué)期望）
【專題】計(jì)算題；對(duì)應(yīng)思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算
【分析】根據(jù)乘法原理，即可確定頂點(diǎn)個(gè)數(shù)；
首先確定，1，2，，5，再結(jié)合組合數(shù)公式求概率，即可求解分布列和數(shù)學(xué)期望．
【解答】解：對(duì)于5維坐標(biāo)，，，，有，兩種選擇，
故共有種選擇，即5維“立方體”的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)是個(gè)頂點(diǎn)；
對(duì)于的隨機(jī)變量，在坐標(biāo)，，，，與，，，，中有個(gè)坐標(biāo)值不同，即，剩下個(gè)坐標(biāo)值滿足，
此時(shí)所對(duì)應(yīng)情況數(shù)為種，即，
故分布列為：
所以數(shù)學(xué)期望．
故答案為：32；．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查離散型隨機(jī)變量的期望，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．
18．（2024?和平區(qū)二模）為銘記歷史、緬懷先烈，增強(qiáng)愛國(guó)主義情懷，某學(xué)校開展共青團(tuán)知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)．在最后一輪晉級(jí)比賽中，甲、乙、丙三名同學(xué)回答一道有關(guān)團(tuán)史的問題，每個(gè)人回答正確與否互不影響．已知甲回答正確的概率為，甲、丙兩人都回答正確的概率是，乙、丙兩人都回答正確的概率是．若規(guī)定三名同學(xué)都回答這個(gè)問題，則甲、乙、丙三名同學(xué)中至少有1人回答正確的概率為 ；若規(guī)定三名同學(xué)搶答這個(gè)問題，已知甲、乙、丙搶到答題機(jī)會(huì)的概率分別為，，，則這個(gè)問題回答正確的概率為 ．
【答案】；．
【考點(diǎn)】概率的應(yīng)用；相互獨(dú)立事件和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式
【專題】綜合法；計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；概率與統(tǒng)計(jì)
【分析】根據(jù)題意，設(shè)甲回答正確為事件，乙回答正確為事件，丙回答正確為事件，先由相互獨(dú)立事件的概率公式求出（B）、（C）的值，結(jié)合對(duì)立事件的性質(zhì)求出第一空答案，結(jié)合全概率公式以及條件概率公式計(jì)算可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)甲回答正確為事件，乙回答正確為事件，丙回答正確為事件，
則（A），（A）（C），（B）（C），
則（C），（B），
若規(guī)定三名同學(xué)都回答這個(gè)問題，
則甲、乙、丙三名同學(xué)中至少有1人回答正確的概率，
若規(guī)定三名同學(xué)搶答這個(gè)問題，已知甲、乙、丙搶到答題機(jī)會(huì)的概率分別為，，，
則這個(gè)問題回答正確的概率．
故答案為：；．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查條件概率的計(jì)算，涉及相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算，屬于中檔題．
19．（2024?魏都區(qū)校級(jí)三模）拋擲一枚不均勻的硬幣，正面向上的概率為，反面向上的概率為，記次拋擲后得到偶數(shù)次正面向上的概率為，則數(shù)列的通項(xiàng)公式 ．
【答案】．
【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式；全概率公式
【專題】整體思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；概率與統(tǒng)計(jì)；綜合法
【分析】根據(jù)題意可求出，第次拋擲后得到偶數(shù)次正面向上，包括兩種情況：①前次拋擲后得到偶數(shù)次正面向上，且第次拋擲得到反面向上；②前次拋擲后得到奇數(shù)次正面向上，且第次拋擲得到正面向上，由全概率公式得可，再構(gòu)造等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解即可．
【解答】解：1次拋擲后得到偶數(shù)次正面向上的概率為，
2次拋擲后得到偶數(shù)次正面向上的概率為，
第次拋擲后得到偶數(shù)次正面向上，包括兩種情況：①前次拋擲后得到偶數(shù)次正面向上，且第次拋擲得到反面向上；②前次拋擲后得到奇數(shù)次正面向上，且第次拋擲得到正面向上，
由全概率公式得，，
即，
所以，
則數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
所以，
所以．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全概率公式，考查了數(shù)列的遞推式，屬于中檔題．
20．（2024?浙江模擬）甲、乙兩人玩游戲，規(guī)則如下：第局，甲贏的概率為；第局，乙贏的概率為．每一局沒有平局．規(guī)定：當(dāng)其中一人贏的局?jǐn)?shù)比另一人贏的局?jǐn)?shù)多兩次時(shí)游戲結(jié)束．則游戲結(jié)束時(shí)，甲、乙兩人玩的局?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)期望為 ．
【答案】．
【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的均值（數(shù)學(xué)期望）
【專題】概率與統(tǒng)計(jì)；定義法；對(duì)應(yīng)思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算
【分析】利用期望滿足的性質(zhì)可求題設(shè)中的數(shù)學(xué)期望．
【解答】解：設(shè)甲、乙兩人玩的局?jǐn)?shù)為，其數(shù)學(xué)期望為，
由題設(shè)，游戲至少進(jìn)行兩局，若，則比分為，，否則前兩局的比分為，
從此刻開始直到游戲結(jié)束，進(jìn)行的局?jǐn)?shù)的期望跟比分為時(shí)相同，總局?jǐn)?shù)的期望為，
故，故．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查離散型隨機(jī)變量的期望及性質(zhì)，是中檔題．
四．解答題（共5小題）
21．（2024?香河縣校級(jí)模擬）人工智能（英語(yǔ)：，縮寫為亦稱智械、機(jī)器智能，指由人制造出來的可以表現(xiàn)出智能的機(jī)器．通常人工智能是指通過普通計(jì)算機(jī)程序來呈現(xiàn)人類智能的技術(shù)．人工智能的核心問題包括建構(gòu)能夠跟人類似甚至超卓的推理、知識(shí)、規(guī)劃、學(xué)習(xí)、交流、感知、移物、使用工具和操控機(jī)械的能力等．當(dāng)前有大共的工具應(yīng)用了人工智能，其中包括搜索和數(shù)學(xué)優(yōu)化、邏輯推演．而基于仿生學(xué)、認(rèn)知心理學(xué)，以及基于概率論和經(jīng)濟(jì)學(xué)的算法等等也在逐步探索當(dāng)中．思維來源于大腦，而思維控制行為，行為需要意志去實(shí)現(xiàn)，而思維又是對(duì)所有數(shù)據(jù)采集的整理，相當(dāng)于數(shù)據(jù)庫(kù)．某中學(xué)計(jì)劃在高一年級(jí)開設(shè)人工智能課程．為了解學(xué)生對(duì)人工筸能是否感興趣，隨機(jī)從該校高一年級(jí)學(xué)生中抽取了400人進(jìn)行調(diào)查，整理得到如下列聯(lián)表：
（1）依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為對(duì)人工智能是否感興趣與性別有關(guān)聯(lián)？
（2）從對(duì)人工智能感興趣的學(xué)生中按性別采用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取10人，再?gòu)倪@10人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行采訪，記隨機(jī)變量表示抽到的3人中女生的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．
附：，其中．
【答案】（1）依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能認(rèn)為對(duì)人工智能是否感興趣與性別有關(guān)聯(lián)；
（2）的分布列為：
．
【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的均值（數(shù)學(xué)期望）
【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；整體思想
【分析】（1）根據(jù)題目給出的列聯(lián)表，計(jì)算的值，再與臨界值比較，即可作出判斷；
（2）由題意可知的可能取值為0，1，2，3，利用古典概型的概率公式求出相應(yīng)的概率，得到的分布列，再結(jié)合期望公式求解．
【解答】解：（1）由列聯(lián)表可得，，
因?yàn)椋?br>所以依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能認(rèn)為對(duì)人工智能是否感興趣與性別有關(guān)聯(lián)；
（2）抽取的10人中男生人數(shù)為，女生人數(shù)為，
則的可能取值有0，1，2，3，
所以，，，，
所以的分布列為：
所以．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用，考查了離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，屬于中檔題．
22．（2024?江西一模）設(shè)是一個(gè)二維離散型隨機(jī)變量，它們的一切可能取的值為，，其中，，令，，稱是二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布列．與一維的情形相似，我們也習(xí)慣于把二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布列寫成下表形式：
現(xiàn)有個(gè)相同的球等可能的放入編號(hào)為1，2，3的三個(gè)盒子中，記落下第1號(hào)盒子中的球的個(gè)數(shù)為，落入第2號(hào)盒子中的球的個(gè)數(shù)為．
（1）當(dāng)時(shí)，求的聯(lián)合分布列；
（2）設(shè)，且，計(jì)算．
【答案】（1）的聯(lián)合分布列為：
（2）．
【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量及其分布列
【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算
【分析】（1）由題意知可取0，1，2，可取0，1，2，直接計(jì)算概率，列出的聯(lián)系分布列即可；
（2）直接計(jì)算，，結(jié)合二項(xiàng)分布的期望公式求出．
【解答】解：（1）由題意知可取0，1，2，可取0，1，2，
則，
，
，
，
，
，
，，，，
的聯(lián)合分布列為：
（2）當(dāng)時(shí)，，
，
，
，
設(shè)，則由二項(xiàng)分布的期望公式得．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布列、概率的求法，考查相互獨(dú)立事件概率乘法公式、二項(xiàng)分布等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．
23．（2024?黃山模擬）某校高三年級(jí)1000名學(xué)生的高考適應(yīng)性演練數(shù)學(xué)成績(jī)頻率分布直方圖如圖所示，其中成績(jī)分組區(qū)間是，，，，，，，，，，，．
（1）求圖中的值，并根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這1000名學(xué)生的這次考試數(shù)學(xué)成績(jī)的第85百分位數(shù)；
（2）從這次數(shù)學(xué)成績(jī)位于，，，的學(xué)生中采用比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方．法抽取9人，再?gòu)倪@9人中隨機(jī)抽取3人，該3人中成績(jī)?cè)趨^(qū)間，的人數(shù)記為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．
【答案】（1）0.005；120；
（2）分布列見解析；期望為2．
【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的均值（數(shù)學(xué)期望）
【專題】綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；方程思想；概率與統(tǒng)計(jì)；綜合題
【分析】（1）利用頻率分布直方圖中頻率之和為1，列方程求解即可，根據(jù)第85百分位數(shù)公式計(jì)算即可；
（2）求出的可能取值及對(duì)應(yīng)的概率，完成分布列，即可求出期望．
【解答】解：（1）由頻率分布直方圖可得，
解得．
前4個(gè)矩形面積之和為，
前5個(gè)矩形面積之和為．
設(shè)這1000名學(xué)生的這次考試數(shù)學(xué)成績(jī)的第85百分位數(shù)為，
則，解得，，
所以這1000名學(xué)生的這次考試數(shù)學(xué)成績(jī)的第85百分位數(shù)為120．
（2）數(shù)學(xué)成績(jī)位于，，，的學(xué)生人數(shù)之比為：，
所以所抽取的9人中，數(shù)學(xué)成績(jī)位于，的學(xué)生人數(shù)為人，
數(shù)學(xué)成績(jī)位于，的學(xué)生人數(shù)為人，
由題意可知，隨機(jī)變量的可能取值有0，1，2，3，
則，，
，．
所以的分布列為：
．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查頻率分布直方圖及離散型隨機(jī)變量分布列，屬中檔題．
24．（2024?河南模擬）某公司擬通過摸球中獎(jiǎng)的方式對(duì)員工發(fā)放節(jié)日紅包．在一個(gè)不透明的袋子中裝有個(gè)形狀大小相同的標(biāo)有面值的球，每位員工從球袋中一次性隨機(jī)摸取個(gè)球，摸完后全部放回袋中，球上所標(biāo)的面值之和為該員工所獲得的紅包數(shù)額．
（1）若，，當(dāng)袋中的球中有2個(gè)所標(biāo)面值為40元，1個(gè)為50元，1個(gè)為60元時(shí)，在員工所獲得的紅包數(shù)額不低于90元的條件下，求取到面值為60元的球的概率；
（2）若，，當(dāng)袋中的球中有1個(gè)所標(biāo)面值為10元，2個(gè)為20元，1個(gè)為30元，1個(gè)為40元時(shí)，求員工所獲得紅包數(shù)額的數(shù)學(xué)期望與方差．
【答案】（1）；（2）期望為96；方差為104．
【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的均值（數(shù)學(xué)期望）；離散型隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差
【專題】轉(zhuǎn)化法；轉(zhuǎn)化思想；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算
【分析】（1）記事件：?jiǎn)T工所獲得的紅包數(shù)額不低于90元，事件：取到面值為60元的球，根據(jù)條件先求（A），，再利用條件概率公式，即可求解；
（2）由題知可能取值為80，90，100，110，再求出對(duì)應(yīng)的概率，利用期望和方差的計(jì)算公式，即可求解．
【解答】解：（1）記事件：?jiǎn)T工所獲得的紅包數(shù)額不低于90元，事件：取到面值為60元的球，
因?yàn)榍蛑杏?個(gè)所標(biāo)面值為40元，1個(gè)為50元，1個(gè)為60元，
且，，，，，
所以，
又，
所以．
（2）設(shè)為員工取得的紅包數(shù)額，則可能取值為80，90，100，110，
所以，，
，，
所以，
．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查離散型隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差，考查概率的計(jì)算，屬于中檔題．
25．（2024?北京）某保險(xiǎn)公司為了解該公司某種保險(xiǎn)產(chǎn)品的索賠情況，從合同保險(xiǎn)期限屆滿的保單中隨機(jī)抽取1000份，記錄并整理這些保單的索賠情況，獲得數(shù)據(jù)如下表：
假設(shè)：一份保單的保費(fèi)為0.4萬元；前三次索賠時(shí)，保險(xiǎn)公司每次賠償0.8萬元；第四次索賠時(shí)，保險(xiǎn)公司賠償0.6萬元．
假設(shè)不同保單的索賠次數(shù)相互獨(dú)立．用頻率估計(jì)概率．
（1）估計(jì)一份保單索賠次數(shù)不少于2的概率；
（2）一份保單的毛利潤(rùn)定義為這份保單的保費(fèi)與賠償總金額之差．
記為一份保單的毛利潤(rùn)，估計(jì)的數(shù)學(xué)期望；
如果無索賠的保單的保費(fèi)減少，有索賠的保單的保費(fèi)增加，試比較這種情況下一份保單毛利潤(rùn)的數(shù)學(xué)期望估計(jì)值與中估計(jì)值的大小，（結(jié)論不要求證明）
【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的均值（數(shù)學(xué)期望）
【專題】對(duì)應(yīng)思想；數(shù)學(xué)模型法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算
【分析】（1）根據(jù)題設(shè)中的數(shù)據(jù)可求賠償次數(shù)不少2的概率；
（2）設(shè)為賠付金額，則可取0，0.8，1.6，2.4，3，用頻率估計(jì)概率后可求得分布列及數(shù)學(xué)期望，從而可求；
先算出下一期保費(fèi)的變化情況，結(jié)合的結(jié)果可求．
【解答】解：（1）設(shè)為“隨機(jī)抽取一單，賠償不少于2次”，
由題設(shè)中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可得；
（2）設(shè)為賠付金額，則可取0，0.8，1.6，2.4，3，
由題可得，，
，，，
所以，
因?yàn)槊麧?rùn)是保費(fèi)與賠償金額之差，
故（萬元）；
由知未賠償?shù)母怕蕿椋辽儋r償一次的概率為，
故保費(fèi)的變化為，
設(shè)為保單下一保險(xiǎn)期的毛利潤(rùn)，
故（萬元）．
所以．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查用概率的數(shù)學(xué)期望的知識(shí)解決實(shí)際應(yīng)用問題，屬于中檔題．
考點(diǎn)卡片
1．?dāng)?shù)列遞推式
【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】
1、遞推公式定義：如果已知數(shù)列{an}的第1項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），且任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an﹣1（或前幾項(xiàng)）間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式．
2、數(shù)列前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)an的關(guān)系式：an＝．
在數(shù)列{an}中，前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)公式an的關(guān)系，是本講內(nèi)容一個(gè)重點(diǎn)，要認(rèn)真掌握．
注意：（1）用an＝Sn﹣Sn﹣1求數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)，你注意到此等式成立的條件了嗎？（n≥2，當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1）；若a1適合由an的表達(dá)式，則an不必表達(dá)成分段形式，可化統(tǒng)一為一個(gè)式子．
（2）一般地當(dāng)已知條件中含有an與Sn的混合關(guān)系時(shí)，常需運(yùn)用關(guān)系式an＝Sn﹣Sn﹣1，先將已知條件轉(zhuǎn)化為只含an或Sn的關(guān)系式，然后再求解．
【解題方法點(diǎn)撥】
數(shù)列的通項(xiàng)的求法：
（1）公式法：①等差數(shù)列通項(xiàng)公式；②等比數(shù)列通項(xiàng)公式．
（2）已知Sn（即a1+a2+…+an＝f（n））求an，用作差法：an＝．一般地當(dāng)已知條件中含有an與Sn的混合關(guān)系時(shí)，常需運(yùn)用關(guān)系式，先將已知條件轉(zhuǎn)化為只含 或 的關(guān)系式，然后再求解．
（3）已知a1?a2…an＝f（n）求an，用作商法：an，＝．
（4）若an+1﹣an＝f（n）求an，用累加法：an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1（n≥2）．
（5）已知＝f（n）求an，用累乘法：an＝（n≥2）．
（6）已知遞推關(guān)系求an，有時(shí)也可以用構(gòu)造法（構(gòu)造等差、等比數(shù)列）．特別地有，
①形如an＝kan﹣1+b、an＝kan﹣1+bn（k，b為常數(shù)）的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為公比為k的等比數(shù)列后，再求an．
②形如an＝的遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法求通項(xiàng)．
（7）求通項(xiàng)公式，也可以由數(shù)列的前幾項(xiàng)進(jìn)行歸納猜想，再利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明．
2．隨機(jī)事件
【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】
1．定義：在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件稱為隨機(jī)事件．（或“偶然性事件”）
2．特點(diǎn)：
（1）隨機(jī)事件可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行；
（2）每個(gè)試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)，并且能事先預(yù)測(cè)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果；
（3）進(jìn)行一次試驗(yàn)之前不能確定哪一個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn)．
3．注意：
（1）隨機(jī)事件發(fā)生與否，事先是不能確定的；
（2）必然事件發(fā)生的機(jī)會(huì)是1；不可能事件發(fā)生的機(jī)會(huì)是0；隨機(jī)事件發(fā)生的機(jī)會(huì)在0﹣1之間，0和1可以取到．
（3）要判斷一個(gè)事件是必然事件、隨機(jī)事件、還是不可能事件，要從定義出發(fā)．
3．互斥事件與對(duì)立事件
【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】
1．互斥事件
（1）定義：一次試驗(yàn)中，事件A和事件B不能同時(shí)發(fā)生，則這兩個(gè)不能同時(shí)發(fā)生的事件叫做互斥事件．
如果A1，A2，…，An中任何兩個(gè)都不可能同時(shí)發(fā)生，那么就說事件A1，A2，…An彼此互斥．
（2）互斥事件的概率公式：
在一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中，如果隨機(jī)事件A和B是互斥事件，則有：
P（A+B）＝P（A）+P（B）
注：上式使用前提是事件A與B互斥．
推廣：一般地，如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么事件發(fā)生（即A1，A2，…，An中有一個(gè)發(fā)生）的概率等于這n個(gè)事件分別發(fā)生的概率之和，即：
P（A1+A2+…+An）＝P（A1）+P（A2）+…+P（An）
2．對(duì)立事件
（1）定義：一次試驗(yàn)中，兩個(gè)事件中必有一個(gè)發(fā)生的互斥事件叫做對(duì)立事件，事件A的對(duì)立事件記做．
注：①兩個(gè)對(duì)立事件必是互斥事件，但兩個(gè)互斥事件不一定是對(duì)立事件；
②在一次試驗(yàn)中，事件A與只發(fā)生其中之一，并且必然發(fā)生其中之一．
（2）對(duì)立事件的概率公式：
P（）＝1﹣P（A）
3．互斥事件與對(duì)立事件的區(qū)別和聯(lián)系
互斥事件是不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件，而對(duì)立事件除要求這兩個(gè)事件不同時(shí)發(fā)生外，還要求二者之一必須有一個(gè)發(fā)生．因此，對(duì)立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對(duì)立事件，即“互斥”是“對(duì)立”的必要但不充分條件，而“對(duì)立”則是“互斥”的充分但不必要條件．
【命題方向】
1．考查對(duì)知識(shí)點(diǎn)概念的掌握
例1：從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取2個(gè)球，那么互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是（ ）
A．“至少有一個(gè)紅球”與“都是黑球”
B．“至少有一個(gè)黑球”與“都是黑球”
C．“至少有一個(gè)黑球”與“至少有1個(gè)紅球”
D．“恰有1個(gè)黑球”與“恰有2個(gè)黑球”
分析：列舉每個(gè)事件所包含的基本事件，結(jié)合互斥事件和對(duì)立事件的定義，依次驗(yàn)證即可
解答：對(duì)于A：事件：“至少有一個(gè)紅球”與事件：“都是黑球”，這兩個(gè)事件是對(duì)立事件，∴A不正確
對(duì)于B：事件：“至少有一個(gè)黑球”與事件：“都是黑球”可以同時(shí)發(fā)生，如：一個(gè)紅球一個(gè)黑球，∴B不正確
對(duì)于C：事件：“至少有一個(gè)黑球”與事件：“至少有1個(gè)紅球”可以同時(shí)發(fā)生，如：一個(gè)紅球一個(gè)黑球，∴C不正確
對(duì)于D：事件：“恰有一個(gè)黑球”與“恰有2個(gè)黑球”不能同時(shí)發(fā)生，∴這兩個(gè)事件是互斥事件，
又由從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取2個(gè)球，
得到所有事件為“恰有1個(gè)黑球”與“恰有2個(gè)黑球”以及“恰有2個(gè)紅球”三種情況，故這兩個(gè)事件是不是對(duì)立事件，
∴D正確
故選D
點(diǎn)評(píng)：本題考查互斥事件與對(duì)立事件．首先要求理解互斥事件和對(duì)立事件的定義，理解互斥事件與對(duì)立事件的聯(lián)系與區(qū)別．同時(shí)要能夠準(zhǔn)確列舉某一事件所包含的基本事件．屬簡(jiǎn)單題．
例2：下列說法正確的是（ ）
A．互斥事件一定是對(duì)立事件，對(duì)立事件不一定是互斥事件
B．互斥事件不一定是對(duì)立事件，對(duì)立事件一定是互斥事件
C．事件A，B中至少有一個(gè)發(fā)生的概率一定比A，B中恰有一個(gè)發(fā)生的概率大
D．事件A，B同時(shí)發(fā)生的概率一定比A，B中恰有一個(gè)發(fā)生的概率小．
分析：根據(jù)對(duì)立事件和互斥事件的概率，得到對(duì)立事件一定是互斥事件，兩個(gè)事件是互斥事件不一定是對(duì)立事件，這兩者之間的關(guān)系是一個(gè)包含關(guān)系．
解答：根據(jù)對(duì)立事件和互斥事件的概念，
得到對(duì)立事件一定是互斥事件，
兩個(gè)事件是互斥事件不一定是對(duì)立事件，
故選B．
點(diǎn)評(píng)：本題考查互斥事件與對(duì)立事件之間的關(guān)系，這是一個(gè)概念辨析問題，這種題目不用運(yùn)算，只要理解兩個(gè)事件之間的關(guān)系就可以選出正確答案．
2．互斥事件概率公式的應(yīng)用
例：甲乙兩人下棋比賽，兩人下成和棋的概率是，乙獲勝的概率是，則乙不輸?shù)母怕适?
分析：記“兩人下成和棋”為事件A，“乙獲勝”為事件B，則A，B互斥，且，，則乙不輸即為事件A+B，由互斥事件的概率公式可得，P（A+B）＝P（A）+P（B）可求．
解答：甲乙兩人下棋比賽，記“兩人下成和棋”為事件A，“乙獲勝”為事件B，則A，B互斥，
則，，
則乙不輸即為事件A+B，
由互斥事件的概率公式可得，P（A+B）＝P（A）+P（B）＝
故答案為：
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查互斥事件的關(guān)系，不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件叫做互斥事件，也叫互不相容事件，考查了互斥事件的概率的加法公式在概率計(jì)算中的應(yīng)用．
3．對(duì)立事件概率公式的應(yīng)用
例：若事件A與B是互為對(duì)立事件，且P（A）＝0.4，則P（B）＝（ ）
A.0 B.0.4 C.0.6 D.1
分析：根據(jù)對(duì)立事件的概率公式p（）＝1﹣P（A），解得即可．
解答：因?yàn)閷?duì)立事件的概率公式p（）＝1﹣P（A）＝0.6，
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)立事件的定義，屬于基礎(chǔ)題．
4．古典概型及其概率計(jì)算公式
【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】
1．定義：如果一個(gè)試驗(yàn)具有下列特征：
（1）有限性：每次試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果（即基本事件）只有有限個(gè)；
（2）等可能性：每次試驗(yàn)中，各基本事件的發(fā)生都是等可能的．
則稱這種隨機(jī)試驗(yàn)的概率模型為古典概型．
*古典概型由于滿足基本事件的有限性和基本事件發(fā)生的等可能性這兩個(gè)重要特征，所以求事件的概率就可以不通過大量的重復(fù)試驗(yàn)，而只要通過對(duì)一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果進(jìn)行分析和計(jì)算即可．
2．古典概率的計(jì)算公式
如果一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個(gè)，而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，那么每一個(gè)基本事件的概率都是；
如果某個(gè)事件A包含的結(jié)果有m個(gè)，那么事件A的概率為P（A）＝＝．
【解題方法點(diǎn)撥】
1．注意要點(diǎn)：解決古典概型的問題的關(guān)鍵是：分清基本事件個(gè)數(shù)n與事件A中所包含的基本事件數(shù)．
因此要注意清楚以下三個(gè)方面：
（1）本試驗(yàn)是否具有等可能性；
（2）本試驗(yàn)的基本事件有多少個(gè)；
（3）事件A是什么．
2．解題實(shí)現(xiàn)步驟：
（1）仔細(xì)閱讀題目，弄清題目的背景材料，加深理解題意；
（2）判斷本試驗(yàn)的結(jié)果是否為等可能事件，設(shè)出所求事件A；
（3）分別求出基本事件的個(gè)數(shù)n與所求事件A中所包含的基本事件個(gè)數(shù)m；
（4）利用公式P（A）＝求出事件A的概率．
3．解題方法技巧：
（1）利用對(duì)立事件、加法公式求古典概型的概率
（2）利用分析法求解古典概型．
5．概率的應(yīng)用
【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】
概率相關(guān)知識(shí)梳理：
一、古典概型與互斥事件
1．頻率與概率：頻率是事件發(fā)生的概率的估計(jì)值．
2．古典概率計(jì)算公式：P（A）＝．
集合的觀點(diǎn)：設(shè)試驗(yàn)的基本事件總數(shù)構(gòu)成集合I，事件A包含的事件數(shù)構(gòu)成集合A，則．
3．古典概型的特征：（1）每次試驗(yàn)的結(jié)果只有一個(gè)基本事件出現(xiàn)；（2）試驗(yàn)結(jié)果具有有限性；（3）試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)等可能性．
4．互斥事件概率
（1）互斥事件：在一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中，一次試驗(yàn)中不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件A，B稱為互斥事件．
（2）互為事件概率計(jì)算公式：若事件A，B互斥，則P（A+B）＝P（A）+P（B）．
（3）對(duì)立事件：在一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中，一次試驗(yàn)中兩個(gè)事件A，B不會(huì)同時(shí)發(fā)生，但必有一個(gè)事件發(fā)生，這樣的兩個(gè)事件稱為對(duì)立事件．記作：B＝，由對(duì)立事件定義知：P（A）＝1﹣P（）
（4）互斥事件與對(duì)立事件的關(guān)系：對(duì)立必互斥，互斥未必對(duì)立．
用集合的觀點(diǎn)分析對(duì)立事件與互斥事件：
設(shè)兩個(gè)互斥事件A，B包含的所有結(jié)果構(gòu)成集合A，B，則A∩B＝?（如圖所示）
設(shè)兩個(gè)對(duì)立事件A，包含的所有結(jié)果構(gòu)成的集合為A，，A∩＝?，A∪＝I，
則
注：若A1，A2，…，An任意兩個(gè)事件互斥，
則：P（A1+A2+…+An）＝P（A1）+P（A2）+…+P（An）
二、幾何概型
幾何概型定義：向平面有限區(qū)域（集合）G內(nèi)投擲點(diǎn)M，若點(diǎn)M落在子區(qū)域G1?G的概率與G1的面積成正比，而與G的形狀、位置無關(guān)，我們就稱這種概型為幾何概型．
幾何概型計(jì)算公式：
幾何概型的特征：（1）試驗(yàn)的結(jié)果有無限個(gè)（無限性）；（2）試驗(yàn)的結(jié)果出現(xiàn)等可能性．
注：幾何概型中的區(qū)域可以是長(zhǎng)度、面積、體積等．
三、條件概率與獨(dú)立事件
1．條件概率的定義：對(duì)于任何兩個(gè)事件A，B，在已知事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率稱為事件B發(fā)生時(shí)事件A發(fā)生的條件概率，記為P（A|B）．類似的還可定義為事件A發(fā)生時(shí)事件B發(fā)生的條件概率，記為P（B|A）．
2．把事件A，B同時(shí)發(fā)生所構(gòu)成的事件D，稱為事件A，B的交（或積），記為：A∩B＝D或D＝AB．
3．條件概率計(jì)算公式：P（A|B）＝（P（B）＞0），P（B|A）＝（P（A）＞0），
注：
（1）事件A在“事件B發(fā)生的條件下”的概率與沒有事件B發(fā)生時(shí)的概率是不同的．
（2）對(duì)于兩個(gè)事件A，B，如果P（A|B）＝P（A）則表明事件B的發(fā)生不影響事件A發(fā)生的概率．
此時(shí)事件A，B是相互獨(dú)立的兩個(gè)事件，即有P（A|B）＝P（A）＝（P（B）＞0?P（AB）＝P（A）P（B）．
故當(dāng)兩個(gè)事件A，B，若P（AB）＝P（A）P（B），則事件A，B相互獨(dú)立，同時(shí)A與，與B，與也相互獨(dú)立．
四、二項(xiàng)分布、超幾何分布、正態(tài)分布
1．二項(xiàng)分布：
（1）n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概念：在相同的條件下，重復(fù)做n次試驗(yàn)，各次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立．
n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的特征：
①每次試驗(yàn)的條件相同，某一事件發(fā)生的概率不變；
②各次試驗(yàn)的結(jié)果互不影響，且每次試驗(yàn)只有兩個(gè)結(jié)果發(fā)生或不發(fā)生．
（2）二項(xiàng)分步概率計(jì)算公式：一般地，在一次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率為P，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件恰好發(fā)生k次的概率為，若隨機(jī)變量由此式確定，則X服從參數(shù)n，p的二項(xiàng)分布，記作：X～B（n，p）．
2．超幾何分布
超幾何分布定義：一般地，設(shè)有N件產(chǎn)品，其中含有M件次品（M≤N），從N件產(chǎn)品中任取n件產(chǎn)品，用X表示取出的n件產(chǎn)品中含有的次品的個(gè)數(shù)，則，（k為非負(fù)整數(shù)），若隨機(jī)變量由此式確定，則X服從參數(shù)N，M，k的超幾何分布，記作X～H（N，M，n）
注：超幾何分布是概率分布的另一種形式，要注意公式中N，M，k的含義．隨機(jī)變量X取某一個(gè)值的概率就是求這一事件發(fā)生的次數(shù)與總次數(shù)的商．
3．正態(tài)分布：
（1）正態(tài)曲線：函數(shù)f（x）＝，x∈（﹣∞，+∞）圖象為正態(tài)分布密度曲線，簡(jiǎn)稱正態(tài)曲線．
（2）若隨機(jī)變量X～N（μ，σ2），則E（X）＝μ，D（X）＝σ2．
五、離散型隨機(jī)變量的分布列，期望，方差．
1、概念：
（1）隨機(jī)變量：如果隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量來表示，那么這樣的變量叫做隨機(jī)變量隨機(jī)變量常用希臘字母ξ、η等表示．
（2）離散型隨機(jī)變量：對(duì)于隨機(jī)變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量．若ξ是隨機(jī)變量，η＝aξ+b，其中a、b是常數(shù)，則η也是隨機(jī)變量．
（3）連續(xù)型隨機(jī)變量：對(duì)于隨機(jī)變量可能取的值，可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的變量就叫做連續(xù)型隨機(jī)變量
（4）離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量的區(qū)別與聯(lián)系：離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量都是用變量表示隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果；但是離散型隨機(jī)變量的結(jié)果可以按一定次序一一列出，而連續(xù)性隨機(jī)變量的結(jié)果不可以一一列出．
2、離散型隨機(jī)變量
（1）隨機(jī)變量：在隨機(jī)試驗(yàn)中，試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量X來表示，并且X是隨著試驗(yàn)結(jié)果的不同而變化的，這樣的變量X叫做一個(gè)隨機(jī)變量．隨機(jī)變量常用大寫字母X，Y，…表示，也可以用希臘字母ξ，η，…表示．
（2）離散型隨機(jī)變量：如果隨機(jī)變量X的所有可能的取值都能一一列舉出來，則稱X為離散型隨機(jī)變量．
3、離散型隨機(jī)變量的分布列．
（1）定義：一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量X的所有可能值為x1，x2，…，xn；X取每一個(gè)對(duì)應(yīng)值的概率分別為p1，p2，…，pn，則得下表：
該表為隨機(jī)變量X的概率分布，或稱為離散型隨機(jī)變量X的分布列．
（2）性質(zhì)：①pi≥0，i＝1，2，3，…，n；②p1+p2+…+pn＝1．
4、離散型隨機(jī)變量的期望
數(shù)學(xué)期望：一般地，若離散型隨機(jī)變量ξ的概率分布為
則稱Eξ＝x1p1+x2p2+…+xnpn+…為ξ的數(shù)學(xué)期望，簡(jiǎn)稱期望．
數(shù)學(xué)期望的意義：數(shù)學(xué)期望離散型隨機(jī)變量的一個(gè)特征數(shù)，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平．
平均數(shù)與均值：一般地，在有限取值離散型隨機(jī)變量ξ的概率分布中，令p1＝p2＝…＝pn，則有p1＝p2＝…＝pn＝，Eξ＝（x1+x2+…+xn）×，所以ξ的數(shù)學(xué)期望又稱為平均數(shù)、均值．
期望的一個(gè)性質(zhì)：若η＝aξ+b，則E（aξ+b）＝aEξ+b．
5、離散型隨機(jī)變量的方差；
方差：對(duì)于離散型隨機(jī)變量ξ，如果它所有可能取的值是x1，x2，…，xn，…，且取這些值的概率分別是p1，p2，…，pn…，那么，
稱為隨機(jī)變量ξ的均方差，簡(jiǎn)稱為方差，式中的Eξ是隨機(jī)變量ξ的期望．
標(biāo)準(zhǔn)差：Dξ的算術(shù)平方根叫做隨機(jī)變量ξ的標(biāo)準(zhǔn)差，記作．
方差的性質(zhì)：．
方差的意義：
（1）隨機(jī)變量 的方差的定義與一組數(shù)據(jù)的方差的定義式是相同的；
（2）隨機(jī)變量 的方差、標(biāo)準(zhǔn)差也是隨機(jī)變量 的特征數(shù)，它們都反映了隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動(dòng)、集中與離散的程度；
（3）標(biāo)準(zhǔn)差與隨機(jī)變量本身有相同的單位，所以在實(shí)際問題中應(yīng)用更廣泛．
【解題方法點(diǎn)撥】
概率和離散型隨機(jī)變量知識(shí)是新課標(biāo)高考的重點(diǎn)內(nèi)容之一，重點(diǎn)考查古典概率、幾何概率、離散型隨機(jī)變量的分布列及性質(zhì)等內(nèi)容，對(duì)于基礎(chǔ)知識(shí)考查以選擇題、填空題為主．考查的內(nèi)容相對(duì)簡(jiǎn)單，即掌握住基礎(chǔ)知識(shí)就能解決此類問題．對(duì)于綜合性知識(shí)的考查主要是把概率、隨機(jī)變量的分布列性質(zhì)、離散型隨機(jī)變量的均值、方差等內(nèi)容綜合在一起解決實(shí)際問題，多以大題的形式出現(xiàn)．題目的難度在中等以上水平，解決此類問題的關(guān)鍵是正確理解離散型隨機(jī)變量的取值及其特征（即是否符合特殊的一些分布，如二項(xiàng)分布、超幾何分布等），便于求出分布列，進(jìn)而求出均值與方差．利用均值、方差的含義去分析問題，這也是新課標(biāo)高考命題的方向．
【命題方向】
題型一：概率的計(jì)算
典例1：已知函數(shù)y＝（0≤x≤4）的值域?yàn)锳，不等式x2﹣x≤0的解集為B，若a是從集合A中任取的一個(gè)數(shù)，b是從集合B中任取一個(gè)數(shù)，則a＞b的概率是（ ）
A． B． C． D．
解：由題意，A＝[0，2]，B＝[0，1]，以a為橫坐標(biāo)，b為縱坐標(biāo)，建立平面直角坐標(biāo)系，則圍成的區(qū)域面積為2，使得a＞b的區(qū)域面積為2﹣，故所求概率為．
故選D
題型二：離散型隨機(jī)變量的分布列、均值、方差
典例2：在汶川大地震后對(duì)唐家山堰塞湖的搶險(xiǎn)過程中，武警官兵準(zhǔn)備用射擊的方法引爆從湖壩上游漂流而下的一個(gè)巨大的汽油罐．已知只有5發(fā)子彈，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆．每次射擊是相互獨(dú)立的，且命中的概率都是．
（Ⅰ）求油罐被引爆的概率；
（Ⅱ）如果引爆或子彈打光則停止射擊，設(shè)射擊次數(shù)為ξ．求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望E（ξ）．（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）
解：（I）設(shè)命中油罐的次數(shù)為X，則當(dāng)X＝0或X＝1時(shí)，油罐不能被引爆．
，
，
∴
（II）射擊次數(shù)ξ的取值為2，3，4，5．
，
，
，
P（ξ＝5）＝1﹣P（ξ＝2）﹣P（ξ＝3）﹣P（ξ＝4）
＝．
因此，ξ的分布列為：
∴
6．相互獨(dú)立事件和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式
【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】
1．相互獨(dú)立事件：事件A（或B）是否發(fā)生，對(duì)事件B（或A）發(fā)生的概率沒有影響，這樣兩個(gè)事件叫做相互獨(dú)立事件．
2．相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式：
將事件A和事件B同時(shí)發(fā)生的事件即為A?B，若兩個(gè)相互獨(dú)立事件A、B同時(shí)發(fā)生，則事件A?B發(fā)生的概率為：
P（A?B）＝P（A）?P（B）
推廣：一般地，如果事件A1，A2，…，An相互獨(dú)立，那么這n個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率等于每個(gè)事件發(fā)生的概率之積，即：
P（A1?A2…An）＝P（A1）?P（A2）…P（An）
3．區(qū)分
互斥事件和相互獨(dú)立事件是兩個(gè)不同的概念：
（1）互斥事件：兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生；
（2）相互獨(dú)立事件：一個(gè)事件的發(fā)生與否對(duì)另一個(gè)事件發(fā)生的概率沒有影響．
7．條件概率
【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】
1、條件概率的定義：對(duì)于任何兩個(gè)事件A和B，在已知事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率叫做條件概率，用符號(hào)P（B|A）來表示．
（2）條件概率公式：稱為事件A與B的交（或積）．
（3）條件概率的求法：
①利用條件概率公式，分別求出P（A）和P（AB），得P（B|A）＝，其中P（A）＞0；
②借助古典概型概率公式，先求出事件A包含的基本事件數(shù)n（A），再在事件A發(fā)生的條件下求出事件B包含的基本事件數(shù)，即n（A∩B），得P（B|A）＝
【解題方法點(diǎn)撥】
典例1：利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生1到6之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)a和b，在a+b為偶數(shù)的條件下，|a﹣b|＞2發(fā)生的概率是 ．
解：由題意得，利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生1到6之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)a和b，基本事件的總個(gè)數(shù)是6×6＝36，即（a，b）的情況有36種，
事件“a+b為偶數(shù)”包含基本事件：
（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（2，6），
（3，1），（3，3），（3，5），（4，2），（4，4），（4，6）
（5，1），（5，3），（5，5），（6，2），（6，4），（6，6）共18個(gè)，
“在a+b為偶數(shù)的條件下，|a﹣b|＞2”包含基本事件：
（1，5），（2，6），（5，1），（6，2）共4個(gè)，
故在a+b為偶數(shù)的條件下，|a﹣b|＞2發(fā)生的概率是P＝＝
故答案為：
典例2：甲乙兩班進(jìn)行消防安全知識(shí)競(jìng)賽，每班出3人組成甲乙兩支代表隊(duì)，首輪比賽每人一道必答題，答對(duì)則為本隊(duì)得1分，答錯(cuò)不答都得0分，已知甲隊(duì)3人每人答對(duì)的概率分別為，，，乙隊(duì)每人答對(duì)的概率都是．設(shè)每人回答正確與否相互之間沒有影響，用ξ表示甲隊(duì)總得分．
（Ⅰ）求隨機(jī)變量ξ的分布列及其數(shù)學(xué)期望E（ξ）；
（Ⅱ）求在甲隊(duì)和乙隊(duì)得分之和為4的條件下，甲隊(duì)比乙隊(duì)得分高的概率．
分析：（Ⅰ）由題設(shè)知ξ的可能取值為0，1，2，3，分別求出P（ξ＝0），P（ξ＝1），P（ξ＝2），P（ξ＝3），由此能求出隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望E（ξ）．
（Ⅱ）設(shè)“甲隊(duì)和乙隊(duì)得分之和為4”為事件A，“甲隊(duì)比乙隊(duì)得分高”為事件B，分別求出P（A），P（AB），再由P（B/A）＝，能求出結(jié)果．
解答：（Ⅰ）由題設(shè)知ξ的可能取值為0，1，2，3，
P（ξ＝0）＝（1﹣）（1﹣）（1﹣）＝，
P（ξ＝1）＝（1﹣）（1﹣）+（1﹣）××（1﹣）+（1﹣）（1﹣）×＝，
P（ξ＝2）＝++＝，
P（ξ＝3）＝＝，
∴隨機(jī)變量ξ的分布列為：
數(shù)學(xué)期望E（ξ）＝0×+1×+2×+3×＝．
（Ⅱ）設(shè)“甲隊(duì)和乙隊(duì)得分之和為4”為事件A，“甲隊(duì)比乙隊(duì)得分高”為事件B，
則P（A）＝++＝，
P（AB）＝＝，
P（B|A）＝＝＝．
8．全概率公式
【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】
全概率公式
一般地，設(shè)A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P（Ai）＞0，i＝1，2，…，n，則對(duì)任意的事件B?Ω，有
P（B）＝．
9．離散型隨機(jī)變量及其分布列
【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】
1、相關(guān)概念；
（1）隨機(jī)變量：如果隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量來表示，那么這樣的變量叫做隨機(jī)變量隨機(jī)變量常用希臘字母ξ、η等表示．
（2）離散型隨機(jī)變量：對(duì)于隨機(jī)變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量．若ξ是隨機(jī)變量，η＝aξ+b，其中a、b是常數(shù)，則η也是隨機(jī)變量．
（3）連續(xù)型隨機(jī)變量：對(duì)于隨機(jī)變量可能取的值，可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的變量就叫做連續(xù)型隨機(jī)變量
（4）離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量的區(qū)別與聯(lián)系：離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量都是用變量表示隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果；但是離散型隨機(jī)變量的結(jié)果可以按一定次序一一列出，而連續(xù)性隨機(jī)變量的結(jié)果不可以一一列出．
2、離散型隨機(jī)變量
（1）隨機(jī)變量：在隨機(jī)試驗(yàn)中，試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量X來表示，并且X是隨著試驗(yàn)結(jié)果的不同而變化的，這樣的變量X叫做一個(gè)隨機(jī)變量．隨機(jī)變量常用大寫字母X，Y，…表示，也可以用希臘字母ξ，η，…表示．
（2）離散型隨機(jī)變量：如果隨機(jī)變量X的所有可能的取值都能一一列舉出來，則稱X為離散型隨機(jī)變量．
3、離散型隨機(jī)變量的分布列．
（1）定義：一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量X的所有可能值為x1，x2，…，xn；X取每一個(gè)對(duì)應(yīng)值的概率分別為p1，p2，…，pn，則得下表：
該表為隨機(jī)變量X的概率分布，或稱為離散型隨機(jī)變量X的分布列．
（2）性質(zhì)：①pi≥0，i＝1，2，3，…，n；②p1+p2+…+pn＝1．
10．離散型隨機(jī)變量的均值（數(shù)學(xué)期望）
【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】
1、離散型隨機(jī)變量的期望
數(shù)學(xué)期望：一般地，若離散型隨機(jī)變量ξ的概率分布為
則稱Eξ＝x1p1+x2p2+…+xnpn+…為ξ的數(shù)學(xué)期望，簡(jiǎn)稱期望．
數(shù)學(xué)期望的意義：數(shù)學(xué)期望離散型隨機(jī)變量的一個(gè)特征數(shù)，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平．
平均數(shù)與均值：一般地，在有限取值離散型隨機(jī)變量ξ的概率分布中，令p1＝p2＝…＝pn，則有p1＝p2＝…＝pn＝，Eξ＝（x1+x2+…+xn）×，所以ξ的數(shù)學(xué)期望又稱為平均數(shù)、均值．
期望的一個(gè)性質(zhì)：若η＝aξ+b，則E（aξ+b）＝aEξ+b．
11．離散型隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差
【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】
1、離散型隨機(jī)變量的期望
數(shù)學(xué)期望：一般地，若離散型隨機(jī)變量ξ的概率分布為
則稱Eξ＝x1p1+x2p2+…+xnpn+…為ξ的數(shù)學(xué)期望，簡(jiǎn)稱期望．
數(shù)學(xué)期望的意義：數(shù)學(xué)期望離散型隨機(jī)變量的一個(gè)特征數(shù)，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平．
平均數(shù)與均值：一般地，在有限取值離散型隨機(jī)變量ξ的概率分布中，令p1＝p2＝…＝pn，則有p1＝p2＝…＝pn＝，Eξ＝（x1+x2+…+xn）×，所以ξ的數(shù)學(xué)期望又稱為平均數(shù)、均值．
期望的一個(gè)性質(zhì)：若η＝aξ+b，則E（aξ+b）＝aEξ+b．
2、離散型隨機(jī)變量的方差；
方差：對(duì)于離散型隨機(jī)變量ξ，如果它所有可能取的值是x1，x2，…，xn，…，且取這些值的概率分別是p1，p2，…，pn…，那么，
稱為隨機(jī)變量ξ的均方差，簡(jiǎn)稱為方差，式中的Eξ是隨機(jī)變量ξ的期望．
標(biāo)準(zhǔn)差：Dξ的算術(shù)平方根叫做隨機(jī)變量ξ的標(biāo)準(zhǔn)差，記作．
方差的性質(zhì)：．
方差的意義：
（1）隨機(jī)變量 的方差的定義與一組數(shù)據(jù)的方差的定義式是相同的；
（2）隨機(jī)變量 的方差、標(biāo)準(zhǔn)差也是隨機(jī)變量 的特征數(shù)，它們都反映了隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動(dòng)、集中與離散的程度；
（3）標(biāo)準(zhǔn)差與隨機(jī)變量本身有相同的單位，所以在實(shí)際問題中應(yīng)用更廣泛．
12．n重伯努利試驗(yàn)與二項(xiàng)分布
【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】
1、二項(xiàng)分布：
一般地，在n次獨(dú)立重復(fù)的試驗(yàn)中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p，則
P（X＝k）＝pk（1﹣p）n﹣k，k＝0，1，2，…n，此時(shí)稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作X～B（n，p），并記
pk（1﹣p）n﹣k＝b（k，n，p）．
2、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)：
（1）獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的意義：做n次試驗(yàn)，如果它們是完全同樣的一個(gè)試驗(yàn)的重復(fù)，且它們相互獨(dú)立，那么這類試驗(yàn)叫做獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)．
（2）一般地，在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，設(shè)事件A發(fā)生的次數(shù)為X，在每件試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為P（X＝k）＝pk（1﹣p）n﹣k，k＝0，1，2，…n，此時(shí)稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作X～B（n，p），并稱p為成功概率．
（3）獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)：若n次重復(fù)試驗(yàn)中，每次試驗(yàn)結(jié)果的概率都不依賴于其他各次試驗(yàn)的結(jié)果，則稱這n次試驗(yàn)是獨(dú)立的．
（4）獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率公式的特點(diǎn)：Pn（k）＝pk（1﹣p）n﹣k，是n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中某 事件A恰好發(fā)生k次的概率．其中，n是重復(fù)試驗(yàn)的次數(shù)，p是一次試驗(yàn)中某事件A發(fā)生的概率，k是在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生的次數(shù)，需要弄清公式中n，p，k的意義，才能正確運(yùn)用公式．
【解題方法點(diǎn)撥】
獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)是相互獨(dú)立事件的特例（概率公式也是如此），就像對(duì)立事件是互斥事件的特例一樣，只要有“恰好”字樣的用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式計(jì)算更簡(jiǎn)單，就像有“至少”或“至多”字樣的題用對(duì)立事件的概率公式計(jì)算更簡(jiǎn)單一樣．
【命題方向】
典例1：如果ζ～B（100，），當(dāng)P（ζ＝k）取得最大值時(shí)，k＝ 50 ．
解：∵ζ～B（100，），
當(dāng)，
由組合數(shù)知，當(dāng)k＝50時(shí)取到最大值．
故答案為：50．
典例2：一個(gè)盒子里有2個(gè)黑球和m個(gè)白球（m≥2，且m∈N*）．現(xiàn)舉行摸獎(jiǎng)活動(dòng)：從盒中取球，每次取2個(gè)，記錄顏色后放回．若取出2球的顏色相同則為中獎(jiǎng)，否則不中．
（Ⅰ）求每次中獎(jiǎng)的概率p（用m表示）；
（Ⅱ）若m＝3，求三次摸獎(jiǎng)恰有一次中獎(jiǎng)的概率；
（Ⅲ）記三次摸獎(jiǎng)恰有一次中獎(jiǎng)的概率為f（p），當(dāng)m為何值時(shí)，f（p）取得最大值？
解：（Ⅰ）∵取出2球的顏色相同則為中獎(jiǎng)，
∴每次中獎(jiǎng)的概率p＝＝；
（Ⅱ）若m＝3，每次中獎(jiǎng)的概率p＝，
∴三次摸獎(jiǎng)恰有一次中獎(jiǎng)的概率為＝；
（Ⅲ）三次摸獎(jiǎng)恰有一次中獎(jiǎng)的概率為f（p）＝＝3p3﹣6p2+3p（0＜p＜1），
∴f′（p）＝3（p﹣1）（3p﹣1），
∴f（p）在（0，）上單調(diào)遞增，在（，1）上單調(diào)遞減，
∴p＝時(shí)，f（p）取得最大值，即p＝＝
∴m＝2，即m＝2時(shí)，f（p）取得最大值．
13．正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義
【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】
1．正態(tài)曲線及性質(zhì)
（1）正態(tài)曲線的定義
函數(shù)φμ， σ （x）＝，x∈（﹣∞，+∞），其中實(shí)數(shù)μ和σ（σ＞0）為參數(shù)，我們稱φμ，σ（x）的圖象（如圖）為正態(tài)分布密度曲線，簡(jiǎn)稱正態(tài)曲線．
（2）正態(tài)曲線的解析式
①指數(shù)的自變量是x定義域是R，即x∈（﹣∞，+∞）．
②解析式中含有兩個(gè)常數(shù)：π和e，這是兩個(gè)無理數(shù)．
③解析式中含有兩個(gè)參數(shù)：μ和σ，其中μ可取任意實(shí)數(shù)，σ＞0這是正態(tài)分布的兩個(gè)特征數(shù)．
④解析式前面有一個(gè)系數(shù)為，后面是一個(gè)以e為底數(shù)的指數(shù)函數(shù)的形式，冪指數(shù)為﹣．
2．正態(tài)分布
（1）正態(tài)分布的定義及表示
如果對(duì)于任何實(shí)數(shù)a，b（a＜b），隨機(jī)變量X滿足P（a＜X≤b）＝φμ，σ（x）dx，則稱X的分布為正態(tài)分布，記作N（μ，σ2）．
（2）正態(tài)總體在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值
①P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826；
②P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544；
③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974．
3．正態(tài)曲線的性質(zhì)
正態(tài)曲線φμ， σ （x）＝，x∈R有以下性質(zhì)：
（1）曲線位于x軸上方，與x軸不相交；
（2）曲線是單峰的，它關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱；
（3）曲線在x＝μ處達(dá)到峰值；
（4）曲線與x軸圍成的圖形的面積為1；
（5）當(dāng)σ一定時(shí)，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移；
（6）當(dāng)μ一定時(shí)，曲線的形狀由σ確定，σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散．
4．三個(gè)鄰域
會(huì)用正態(tài)總體在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值結(jié)合正態(tài)曲線求隨機(jī)變量的概率．落在三個(gè)鄰域之外是小概率事件，這也是對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)的理論依據(jù)．
【解題方法點(diǎn)撥】
正態(tài)分布是高中階段唯一連續(xù)型隨機(jī)變量的分布，這個(gè)考點(diǎn)雖然不是高考的重點(diǎn)，但在近幾年新課標(biāo)高考中多次出現(xiàn)，其中數(shù)值計(jì)算是考查的一個(gè)熱點(diǎn)，考生往往不注意對(duì)這些數(shù)值的記憶而導(dǎo)致解題無從下手或計(jì)算錯(cuò)誤．對(duì)正態(tài)分布N（μ，σ2）中兩個(gè)參數(shù)對(duì)應(yīng)的數(shù)值及其意義應(yīng)該理解透徹并記住，且注意第二個(gè)數(shù)值應(yīng)該為σ2而不是σ，同時(shí)，記住正態(tài)密度曲線的六條性質(zhì)．
【命題方向】
題型一：概率密度曲線基礎(chǔ)考察
典例1：設(shè)有一正態(tài)總體，它的概率密度曲線是函數(shù)f（x）的圖象，且f（x）＝，則這個(gè)正態(tài)總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差分別是（ ）
A．10與8 B．10與2 C．8與10 D．2與10
解析：由＝，可知σ＝2，μ＝10．
答案：B．
典例2：已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N（2，σ2），且P（ξ＜4）＝0.8，則P（0＜ξ＜2）等于（ ）
A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2
解析：由P（ξ＜4）＝0.8知P（ξ＞4）＝P（ξ＜0）＝0.2，
故P（0＜ξ＜2）＝0.3．故選C．
典例3：已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（3，1），且P（2≤X≤4）＝0.682 6，則P（X＞4）等于（ ）
A．0.158 8 B．0.158 7 C．0.158 6 D．0.158 5
解析 由正態(tài)曲線性質(zhì)知，其圖象關(guān)于直線x＝3對(duì)稱，∴P（X＞4）＝0.5﹣P（2≤X≤4）＝0.5﹣×0.682 6＝0.1587．故選B．
題型二：正態(tài)曲線的性質(zhì)
典例1：若一個(gè)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)，且該函數(shù)的最大值為．
（1）求該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式；
（2）求正態(tài)總體在（﹣4，4]的概率．
分析：要確定一個(gè)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式，關(guān)鍵是求解析式中的兩個(gè)參數(shù)μ，σ的值，其中μ決定曲線的對(duì)稱軸的位置，σ則與曲線的形狀和最大值有關(guān)．
解 （1）由于該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)，所以其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，即μ＝0．由＝，得σ＝4，故該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式是
φμ，σ（x）＝，x∈（﹣∞，+∞）．
（2）P（﹣4＜X≤4）＝P（0﹣4＜X≤0+4）
＝P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826．
點(diǎn)評(píng)：解決此類問題的關(guān)鍵是正確理解函數(shù)解析式與正態(tài)曲線的關(guān)系，掌握函數(shù)解析式中參數(shù)的取值變化對(duì)曲線的影響．
典例2：設(shè)兩個(gè)正態(tài)分布N（μ1，）（σ1＞0）和N（μ2，）（σ2＞0）的密度函數(shù)圖象如圖所示，則有（ ）
A．μ1＜μ2，σ1＜σ2
B．μ1＜μ2，σ1＞σ2
C．μ1＞μ2，σ1＜σ2
D．μ1＞μ2，σ1＞σ2
解析：根據(jù)正態(tài)分布N（μ，σ2）函數(shù)的性質(zhì)：正態(tài)分布曲線是一條關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱，在x＝μ處取得最大值的連續(xù)鐘形曲線；σ越大，曲線的最高點(diǎn)越低且較平緩；反過來，σ越小，曲線的最高點(diǎn)越高且較陡峭，故選A．
答案：A．
題型三：服從正態(tài)分布的概率計(jì)算
典例1：設(shè)X～N（1，22），試求
（1）P（﹣1＜X≤3）；
（2）P（3＜X≤5）；
（3）P（X≥5）．
分析：將所求概率轉(zhuǎn)化到（μ﹣σ，μ+σ]．（μ﹣2σ，μ+2σ]或[μ﹣3σ，μ+3σ]上的概率，并利用正態(tài)密度曲線的對(duì)稱性求解．
解析：∵X～N（1，22），∴μ＝1，σ＝2．
（1）P（﹣1＜X≤3）＝P（1﹣2＜X≤1+2）
＝P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.682 6．
（2）∵P（3＜X≤5）＝P（﹣3＜X≤﹣1），
∴P（3＜X≤5）＝[P（﹣3＜X≤5）﹣P（﹣1＜X≤3）]
＝[P（1﹣4＜X≤1+4）﹣P（1﹣2＜X≤1+2）]
＝[P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）﹣P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）]
＝×（0.954 4﹣0.682 6）
＝0.1359．
（3）∵P（X≥5）＝P（X≤﹣3），
∴P（X≥5）＝[1﹣P（﹣3＜X≤5）]
＝[1﹣P（1﹣4＜X≤1+4）]
＝[1﹣P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）]
＝×（1﹣0.954 4）＝0.0228．
求服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量在某個(gè)區(qū)間取值的概率，只需借助正態(tài)曲線的性質(zhì)，把所求問題轉(zhuǎn)化為已知概率的三個(gè)區(qū)間上．
典例2：隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N（1，σ2），已知P（ξ＜0）＝0.3，則P（ξ＜2）＝ ．
解析：由題意可知，正態(tài)分布的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，所以P（ξ＞2）＝P（ξ＜0）＝0.3，P（ξ＜2）＝1﹣0.3＝0.7．
答案：0.7．
題型4：正態(tài)分布的應(yīng)用
典例1：2011年中國(guó)汽車銷售量達(dá)到1 700萬輛，汽車耗油量對(duì)汽車的銷售有著非常重要的影響，各個(gè)汽車制造企業(yè)積極采用新技術(shù)降低耗油量，某汽車制造公司為調(diào)查某種型號(hào)的汽車的耗油情況，共抽查了1 200名車主，據(jù)統(tǒng)計(jì)該種型號(hào)的汽車的平均耗油為百公里8.0升，并且汽車的耗油量ξ服從正態(tài)分布N（8，σ2），已知耗油量ξ∈[7，9]的概率為0.7，那么耗油量大于9升的汽車大約有 輛．
解析：由題意可知ξ～N（8，σ2），故正態(tài)分布曲線以μ＝8為對(duì)稱軸，又因?yàn)镻（7≤ξ≤9）＝0.7，故P（7≤ξ≤9）＝2P（8≤ξ≤9）＝0.7，所以P（8≤ξ≤9）＝0.35，而P（ξ≥8）＝0.5，所以P（ξ＞9）＝0.15，故耗油量大于9升的汽車大約有1 200×0.15＝180輛．
點(diǎn)評(píng)：服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量在一個(gè)區(qū)間上的概率就是這個(gè)區(qū)間上，正態(tài)密度曲線和x軸之間的曲邊梯形的面積，根據(jù)正態(tài)密度曲線的對(duì)稱性，當(dāng)P（ξ＞x1）＝P（ξ＜x2）時(shí)必然有＝μ，這是解決正態(tài)分布類試題的一個(gè)重要結(jié)論．
典例2：工廠制造的某機(jī)械零件尺寸X服從正態(tài)分布N（4，），問在一次正常的試驗(yàn)中，取1 000個(gè)零件時(shí)，不屬于區(qū)間（3，5]這個(gè)尺寸范圍的零件大約有多少個(gè)？
解∵X～N（4，），∴μ＝4，σ＝．
∴不屬于區(qū)間（3，5]的概率為
P（X≤3）+P（X＞5）＝1﹣P（3＜X≤5）
＝1﹣P（4﹣1＜X≤4+1）
＝1﹣P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）
＝1﹣0.9974＝0.0026≈0.003，
∴1 000×0.003＝3（個(gè)），
即不屬于區(qū)間（3，5]這個(gè)尺寸范圍的零件大約有3個(gè)．
14．分層隨機(jī)抽樣
【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】
1．定義：當(dāng)已知總體由差異明顯的幾部分組成時(shí)，為了使樣本更客觀地反映總體的情況，常將總體按不同的特點(diǎn)分成層次比較分明的幾部分，然后按各部分在總體中所占的比例進(jìn)行抽樣，這種抽樣叫做分層抽樣，其中所分的各部分叫“層”．
2．三種抽樣方法比較
【解題方法點(diǎn)撥】
分層抽樣方法操作步驟：
（1）分層：將總體按某種特征分成若干部分；
（2）確定比例：計(jì)算各層的個(gè)體數(shù)與總體的個(gè)體數(shù)的比；
（3）確定各層應(yīng)抽取的樣本容量；
（4）在每一層進(jìn)行抽樣（各層分別按簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣的方法抽?。?，綜合每層抽樣，組成樣本．
【命題方向】
（1）區(qū)分分層抽樣方法
例：某交高三年級(jí)有男生500人，女生400人，為了解該年級(jí)學(xué)生的健康情況，從男生中任意抽取25人，從女生中任意抽取20人進(jìn)行調(diào)查．這種抽樣方法是（ ）
A．簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法 B．抽簽法 C．隨機(jī)數(shù)表法 D．分層抽樣法
分析：若總體由差異明顯的幾部分組成時(shí)，經(jīng)常采用分層抽樣的方法進(jìn)行抽樣
解答：總體由男生和女生組成，比例為500：400＝5：4，所抽取的比例也是5：4．
故選D
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查抽樣方法，屬基本題．
（2）求抽取樣本數(shù)
例1：某校高三一班有學(xué)生54人，二班有學(xué)生42人，現(xiàn)在要用分層抽樣的方法從兩個(gè)班抽出16人參加軍訓(xùn)表演，則一班和二班分別被抽取的人數(shù)是（ ）
A.8，8 B.10，6 C.9，7 D.12，4
分析：先計(jì)算每個(gè)個(gè)體被抽到的概率，再用每層的個(gè)體數(shù)乘以每個(gè)個(gè)體被抽到的概率，即得到該層應(yīng)抽取的個(gè)體數(shù)．
解答：每個(gè)個(gè)體被抽到的概率等于＝，54×＝9，42×＝7．
故從一班抽出9人，從二班抽出7人，
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題考查分層抽樣的定義和方法，用每層的個(gè)體數(shù)乘以每個(gè)個(gè)體被抽到的概率等于該層應(yīng)抽取的個(gè)體數(shù)．
例2：某單位有職工750人，其中青年職工350人，中年職工250人，老年職工150人，為了解該單位職工的健康情況，用分層抽樣的方法從中抽取樣本，若樣本中的青年職工為7人，則樣本容量為（ ）
A.35 B.25 C.15 D.7
分析：先計(jì)算青年職工所占的比例，再根據(jù)青年職工抽取的人數(shù)計(jì)算樣本容量即可．
解答：青年職工、中年職工、老年職工三層之比為7：5：3，
所以樣本容量為＝15．
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題考查分層抽樣的定義和方法，求出每個(gè)個(gè)體被抽到的概率，用個(gè)體的總數(shù)乘以每個(gè)個(gè)體被抽到的概率，就得到樣本容量n的值．
15．用樣本估計(jì)總體的離散程度參數(shù)
【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】
用一組數(shù)據(jù)中最大數(shù)據(jù)減去最小數(shù)據(jù)的差來反映這組數(shù)據(jù)的變化范圍，這個(gè)數(shù)據(jù)就叫極差．一組數(shù)據(jù)中各數(shù)據(jù)與平均數(shù)差的平方和的平均數(shù)叫做方差．方差的算術(shù)平方根就為標(biāo)準(zhǔn)差．方差和標(biāo)準(zhǔn)差都是反映這組數(shù)據(jù)波動(dòng)的大小，方差越大，數(shù)據(jù)的波動(dòng)越大．
【解題方法點(diǎn)撥】
例：求數(shù)據(jù)98，100，101，102，99的極差，方差，標(biāo)準(zhǔn)差．
解：極差是：102﹣98＝4；
平均數(shù)＝（98+100+101+102+99）＝100，
則方差是：S2＝[（98﹣100）2+（100﹣100）2+（101﹣100）2+（102﹣100）2+（99﹣100）2]＝2；
標(biāo)準(zhǔn)差S＝．
可以看出這類題考查的基本上是對(duì)概念的理解，根據(jù)概念去解題就可以了．
【命題方向】
這個(gè)考點(diǎn)很重要，也很容易，所以大家都應(yīng)該好好的看看概念，理解方差的含義和怎么求就可以了．
16．經(jīng)驗(yàn)回歸方程與經(jīng)驗(yàn)回歸直線
【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】
線性回歸是利用數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的回歸分析，來確定兩種或兩種以上變數(shù)間相互依賴的定量關(guān)系的一種統(tǒng)計(jì)分析方法之一，運(yùn)用十分廣泛．分析按照自變量和因變量之間的關(guān)系類型，可分為線性回歸分析和非線性回歸分析．如果在回歸分析中，只包括一個(gè)自變量和一個(gè)因變量，且二者的關(guān)系可用一條直線近似表示，這種回歸分析稱為一元線性回歸分析．如果回歸分析中包括兩個(gè)或兩個(gè)以上的自變量，且因變量和自變量之間是線性關(guān)系，則稱為多元線性回歸分析．變量的相關(guān)關(guān)系中最為簡(jiǎn)單的是線性相關(guān)關(guān)系，設(shè)隨機(jī)變量與變量之間存在線性相關(guān)關(guān)系，則由試驗(yàn)數(shù)據(jù)得到的點(diǎn)將散布在某一直線周圍．因此，可以認(rèn)為關(guān)于的回歸函數(shù)的類型為線性函數(shù)．
【解題方法點(diǎn)撥】
例：對(duì)于線性回歸方程，則＝
解：，因?yàn)榛貧w直線必過樣本中心（），
所以．
故答案為：58.5．
方法就是根據(jù)線性回歸直線必過樣本中心（），求出，代入即可求．這里面可以看出線性規(guī)劃這類題解題方法比較套路化，需要熟記公式．
【命題方向】
這類題記住公式就可以了，也是高考中一個(gè)比較重要的點(diǎn)．
17．排列組合的綜合應(yīng)用
【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】
1、排列組合問題的一些解題技巧：
①特殊元素優(yōu)先安排；
②合理分類與準(zhǔn)確分步；
③排列、組合混合問題先選后排；
④相鄰問題捆綁處理；
⑤不相鄰問題插空處理；
⑥定序問題除法處理；
⑦分排問題直排處理；
⑧“小集團(tuán)”排列問題先整體后局部；
⑨構(gòu)造模型；
⑩正難則反、等價(jià)轉(zhuǎn)化．
對(duì)于無限制條件的排列組合問題應(yīng)遵循兩個(gè)原則：一是按元素的性質(zhì)分類，二是按時(shí)間發(fā)生的過程進(jìn)行分步．對(duì)于有限制條件的排列組合問題，通常從以下三個(gè)途徑考慮：
①以元素為主考慮，即先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素；
②以位置為主考慮，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置；
③先不考慮限制條件，計(jì)算出排列或組合數(shù)，再減去不符合要求的排列或組合數(shù)．
2、排列、組合問題幾大解題方法：
（1）直接法；
（2）排除法；
（3）捆綁法：在特定要求的條件下，將幾個(gè)相關(guān)元素當(dāng)作一個(gè)元素來考慮，待整體排好之后再考慮它們“局部”的排列．它主要用于解決“元素相鄰問題”；
（4）插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它們之間或兩端的空檔中，此法主要解決“元素不相鄰問題”；
（5）占位法：從元素的特殊性上講，對(duì)問題中的特殊元素應(yīng)優(yōu)先排列，然后再排其他一般元素；從位置的特殊性上講，對(duì)問題中的特殊位置應(yīng)優(yōu)先考慮，然后再排其他剩余位置．即采用“先特殊后一般”的解題原則；
（6）調(diào)序法：當(dāng)某些元素次序一定時(shí)，可用此法；
（7）平均法：若把kn個(gè)不同元素平均分成k組，每組n個(gè)，共有；
（8）隔板法：常用于解正整數(shù)解組數(shù)的問題；
（9）定位問題：從n個(gè)不同元素中每次取出k個(gè)不同元素作排列規(guī)定某r個(gè)元素都包含在內(nèi)，并且都排在某r個(gè)指定位置則有；
（10）指定元素排列組合問題：
①?gòu)膎個(gè)不同元素中每次取出k個(gè)不同的元素作排列（或組合），規(guī)定某r個(gè)元素都包含在內(nèi)．先C后A策略，排列；組合；
②從n個(gè)不同元素中每次取出k個(gè)不同元素作排列（或組合），規(guī)定某r個(gè)元素都不包含在內(nèi)．先C后A策略，排列；組合；
③從n個(gè)不同元素中每次取出k個(gè)不同元素作排列（或組合），規(guī)定每個(gè)排列（或組合）都只包含某r個(gè)元素中的s個(gè)元素．先C后A策略，排列；組合．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2024/11/4 19:44:17；用戶：組卷36；郵箱：zyb036@xyh.cm；學(xué)號(hào)：41418999
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類別
共同點(diǎn)
各自特點(diǎn)
相互聯(lián)系
適用范圍
簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣
抽樣過程中每個(gè)個(gè)體被抽取的概率是相同的
從總體中逐個(gè)抽取

總體中的個(gè)體數(shù)較少
系統(tǒng)抽樣
將總體均勻分成幾個(gè)部分，按事先確定的規(guī)則在各部分抽取
在起始部分抽樣時(shí)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣
總體中的個(gè)體數(shù)較多
分層抽樣
將總體分成幾層，分層進(jìn)行抽取
各層抽樣時(shí)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣
總體由差異明顯的幾部分組成

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