1．（2024?安慶模擬）已知拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為2，點(diǎn)，，，是拋物線上兩個(gè)不同的點(diǎn)，且，則
A．B．C．D．3
2．（2024?海州區(qū)校級(jí)模擬）過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，已知，線段的垂直平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則
A．2B．4C．6D．8
3．（2024?成都三模）已知點(diǎn)，分別是拋物線和圓上的動(dòng)點(diǎn)，若拋物線的焦點(diǎn)為，則的最小值為
A．6B．C．D．
4．（2024?李滄區(qū)校級(jí)一模）已知為拋物線上的一點(diǎn)，過(guò)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，則的最小值是
A．B．C．D．
5．（2024?啟東市校級(jí)模擬）已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)的直線與交于，兩點(diǎn)，則的最小值為
A．B．4C．D．6
6．（2024?海陵區(qū)校級(jí)模擬）過(guò)拋物線焦點(diǎn)且斜率為的直線與交于、兩點(diǎn)，若為的內(nèi)角平分線，則面積最大值為
A．B．C．D．16
7．（2024?廣東模擬）拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)的直線交該拋物線于、兩點(diǎn)，則的最小值為
A．8B．9C．10D．11
8．（2024?遼寧模擬）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作兩條互相垂直的直線，，分別與拋物線相交于點(diǎn)，和點(diǎn)，，，是拋物線上一點(diǎn)，且，從點(diǎn)引拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則的內(nèi)切圓的周長(zhǎng)為
A．B．C．D．
9．（2024?海南模擬）已知過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)，在的準(zhǔn)線上的射影分別為點(diǎn)，，線段的垂直平分線的傾斜角為，若，則
A．B．1C．2D．4
10．（2024?青羊區(qū)校級(jí)模擬）已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線且交于，兩點(diǎn)，直線，分別與的準(zhǔn)線交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)），下列選項(xiàng)正確的有
A．且B．且，
C．且D．且
二．多選題（共5小題）
11．（2024?鹽湖區(qū)一模）拋物線的焦點(diǎn)為，，、，是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，過(guò)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則
A．若，則直線的斜率為或
B．若，則
C．若和不平行，則
D．若，則的最大值為
12．（2024?回憶版）拋物線的準(zhǔn)線為，為上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)作的一條切線，為切點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為，則
A．與相切
B．當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，
C．當(dāng)時(shí)，
D．滿足的點(diǎn)有且僅有2個(gè)
13．（2024?南關(guān)區(qū)校級(jí)模擬）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，點(diǎn)，在上在第一象限），點(diǎn)在上，以為直徑的圓過(guò)焦點(diǎn)，，則
A．若，則B．若，則
C．，則D．，則
14．（2024?永州三模）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)且傾斜角為銳角的直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），過(guò)點(diǎn)作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足為，直線與拋物線的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)，則
A．的最小值為2
B．當(dāng)直線的斜率為時(shí)，
C．設(shè)直線，的斜率分別為，，則
D．過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，交直線于點(diǎn)，則
15．（2024?姜堰區(qū)校級(jí)模擬）已知拋物線，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于，，，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為，則
A．
B．點(diǎn)與拋物線上任意一點(diǎn)的最短距離為4
C．的最小值為32
D．的最小值為11
三．填空題（共5小題）
16．（2024?合肥模擬）拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，為上一點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓與交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)，，若，則 ．
17．（2024?淮北模擬）已知拋物線準(zhǔn)線為，焦點(diǎn)為，點(diǎn)，在拋物線上，點(diǎn)在上，滿足：，，若，則實(shí)數(shù) ．
18．（2024?西城區(qū)校級(jí)模擬）設(shè)點(diǎn)，在拋物線上，已知，．若，則 ；若，則直線斜率的最小值為 ．
19．（2024?雁峰區(qū)校級(jí)模擬）已知為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足到點(diǎn)的距離與到點(diǎn)是的焦點(diǎn)）的距離之比為，則的最小值是 ．
20．（2024?河北一模）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，的中點(diǎn)為，以為直徑的圓與軸交于，兩點(diǎn)，當(dāng)取最大值時(shí)，此時(shí) ．
四．解答題（共5小題）
21．（2024?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)模擬）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線，過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，．
（1）求拋物線的方程；
（2）若點(diǎn)，連接，，證明：；
（3）已知圓以為圓心，1為半徑，過(guò)作圓的兩條切線，與軸分別交于點(diǎn)，且，位于軸兩側(cè)，求面積的最小值．
22．（2024?昌樂(lè)縣校級(jí)模擬）如圖，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，直線交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)，設(shè)拋物線在點(diǎn)處的切線為．
（1）若直線與軸的交點(diǎn)為，求證：；
（2）過(guò)點(diǎn)作的垂線與直線交于點(diǎn)，求證：．
23．（2024?四川模擬）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，為的中點(diǎn)，且點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線距離的最小值為2．
（1）求拋物線的方程；
（2）設(shè)拋物線在，兩點(diǎn)的切線相交于點(diǎn)，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
24．（2024?安徽模擬）已知為拋物線的焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，直線的斜率為，的面積為．已知，，設(shè)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，直線，與的另一交點(diǎn)分別為，．
（Ⅰ）求拋物線的方程；
（Ⅱ）當(dāng)直線與的斜率均存在時(shí)，討論直線是否恒過(guò)定點(diǎn)，若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．
25．（2024?五蓮縣校級(jí)模擬）已知拋物線，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，設(shè)拋物線在點(diǎn)，處的切線分別為和，已知與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，設(shè)與的交點(diǎn)為．
（1）證明：點(diǎn)在定直線上；
（2）若面積為，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）若，，，四點(diǎn)共圓，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)壓軸訓(xùn)練19
參考答案與試題解析
一．選擇題（共10小題）
1．（2024?安慶模擬）已知拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為2，點(diǎn)，，，是拋物線上兩個(gè)不同的點(diǎn)，且，則
A．B．C．D．3
【答案】
【考點(diǎn)】拋物線的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線
【專題】圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；整體思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法
【分析】由拋物線的性質(zhì)，結(jié)合拋物線的定義求解．
【解答】解：已知拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為2，
則，
即拋物線的方程為，
又點(diǎn)，，，是拋物線上兩個(gè)不同的點(diǎn)，且，
則，
即，
即，
即，
則．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線的性質(zhì)，重點(diǎn)考查了拋物線的定義，屬中檔題．
2．（2024?海州區(qū)校級(jí)模擬）過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，已知，線段的垂直平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則
A．2B．4C．6D．8
【答案】
【考點(diǎn)】拋物線的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線
【專題】計(jì)算題；數(shù)學(xué)運(yùn)算；整體思想；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；綜合法
【分析】設(shè)直線的方程為，利用設(shè)而不求法求弦長(zhǎng)的表達(dá)式，再求線段的垂直平分線，由條件列方程求，可得結(jié)論．
【解答】解：拋物線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，
若直線的斜率為0，則直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，不滿足條件，
故可設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立，化簡(jiǎn)可得，
方程的判別式△，
設(shè)，，，，
則，
所以，
由已知，
設(shè)的中點(diǎn)為，，
則，，
所以線段的垂直平分線方程為，
因?yàn)樵诰€段的垂直平分線上，
所以，故，
所以，．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線的性質(zhì)，屬于中檔題．
3．（2024?成都三模）已知點(diǎn)，分別是拋物線和圓上的動(dòng)點(diǎn)，若拋物線的焦點(diǎn)為，則的最小值為
A．6B．C．D．
【答案】
【考點(diǎn)】拋物線的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線
【專題】綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；直線與圓；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算
【分析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，是軸上一點(diǎn)，令，可解得，進(jìn)而，最后運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式及三角形的性質(zhì)可求解．
【解答】解：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，是軸上一點(diǎn)，
由拋物線的性質(zhì)知點(diǎn)的坐標(biāo)為，
則，，
令，則，
將，代入化簡(jiǎn)得，
即點(diǎn)滿足，
所以，
設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，，
所以．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，考查兩點(diǎn)的距離公式，考查三角形的基礎(chǔ)知識(shí)，屬于中檔題．
4．（2024?李滄區(qū)校級(jí)一模）已知為拋物線上的一點(diǎn)，過(guò)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，則的最小值是
A．B．C．D．
【答案】
【考點(diǎn)】拋物線的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線；圓與圓錐曲線的綜合
【專題】圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算
【分析】設(shè)，由取得最小值時(shí)，最大，最小即可求解．
【解答】解：如圖所示：
因?yàn)?，?br>設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)，最大，最小，
且．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圓與拋物線的綜合知識(shí)，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．
5．（2024?啟東市校級(jí)模擬）已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)的直線與交于，兩點(diǎn)，則的最小值為
A．B．4C．D．6
【答案】
【考點(diǎn)】拋物線的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線；直線與拋物線的綜合
【專題】圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題；數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想；綜合法
【分析】設(shè)過(guò)的直線的方程為，，聯(lián)立直線與拋物線方程，通過(guò)根與系數(shù)關(guān)系及基本不等式，即可求解．
【解答】解：拋物線方程為：，
，，準(zhǔn)線方程為，
設(shè)過(guò)的直線的方程為，，
聯(lián)立，可得，
設(shè)，，，，
，，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，，即時(shí)等號(hào)成立，
的最小值為．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，基本不等式的應(yīng)用，屬中檔題．
6．（2024?海陵區(qū)校級(jí)模擬）過(guò)拋物線焦點(diǎn)且斜率為的直線與交于、兩點(diǎn)，若為的內(nèi)角平分線，則面積最大值為
A．B．C．D．16
【答案】
【考點(diǎn)】直線與拋物線的綜合；拋物線的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線
【專題】圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法；計(jì)算題
【分析】求出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立求出點(diǎn)，的坐標(biāo)，由內(nèi)角平分線可得，由此求出點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的關(guān)系，進(jìn)而求出點(diǎn)到直線距離的最大值即可得解．
【解答】解：拋物線焦點(diǎn)，直線的方程為，
由，解得，，不妨令，
則，由為的內(nèi)角平分線，
得，設(shè)點(diǎn)，
于是，
整理得，顯然點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓上，
因此點(diǎn)到直線距離的最大值為2，
所以面積最大值為．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，借助三角形面積公式求出角平分線的性質(zhì)，進(jìn)而求出角頂點(diǎn)的軌跡方程是解題之關(guān)鍵，是中檔題．
7．（2024?廣東模擬）拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)的直線交該拋物線于、兩點(diǎn)，則的最小值為
A．8B．9C．10D．11
【答案】
【考點(diǎn)】拋物線的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線
【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；轉(zhuǎn)化法；等差數(shù)列與等比數(shù)列
【分析】設(shè)，，，．當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，然后利用及其基本不等式的性質(zhì)求出的最小值，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直接求出即可．
【解答】解：拋物線的焦點(diǎn)為，
設(shè)，，，．
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為．
聯(lián)立，化為，
則，，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．
又，，，
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，．
綜上，的最小值為9．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與拋物線相交問(wèn)題，基本不等式的性質(zhì)，考查了分類討論的思想，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．
8．（2024?遼寧模擬）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作兩條互相垂直的直線，，分別與拋物線相交于點(diǎn)，和點(diǎn)，，，是拋物線上一點(diǎn)，且，從點(diǎn)引拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則的內(nèi)切圓的周長(zhǎng)為
A．B．C．D．
【答案】
【考點(diǎn)】直線與拋物線的綜合
【專題】綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題；對(duì)應(yīng)思想
【分析】根據(jù)題意可知直線的斜率存在且設(shè)直線方程為，然后與拋物線方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)關(guān)系求得，同理求出，再由幾何關(guān)系，求得，設(shè)，，由拋物線焦半徑公式求得，從而可求解．
【解答】解：如圖，由題意，得拋物線的焦點(diǎn)為，易知直線的斜率存在且不為0，
設(shè)直線的方程為，代入，整理得：，
由根與系數(shù)的關(guān)系得，，
所以，
又直線的方程為，同理，
所以，
所以，故拋物線，
設(shè)點(diǎn)，，則，
所以，所以，所以，
所以的面積為，
易知，或，則，
設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為，內(nèi)心為點(diǎn)，
則由，得，解得，
所以的內(nèi)切圓的周長(zhǎng)為．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線與拋物線位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．
9．（2024?海南模擬）已知過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)，在的準(zhǔn)線上的射影分別為點(diǎn)，，線段的垂直平分線的傾斜角為，若，則
A．B．1C．2D．4
【答案】
【考點(diǎn)】拋物線的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線
【專題】綜合法；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
【分析】首先求直線的傾斜角和直線方程，再聯(lián)立直線和拋物線方程，利用韋達(dá)定理表示弦長(zhǎng)，即可求解．
【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作，
由條件可知直線的傾斜角為，則直線的傾斜角為，
由，，所以，
設(shè)直線的直線方程為，
聯(lián)立，得，
易知△，則，
而，得．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查拋物線的性質(zhì)，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．
10．（2024?青羊區(qū)校級(jí)模擬）已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線且交于，兩點(diǎn)，直線，分別與的準(zhǔn)線交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)），下列選項(xiàng)正確的有
A．且B．且，
C．且D．且
【答案】
【考點(diǎn)】直線與拋物線的綜合
【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法；整體思想；圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題；計(jì)算題
【分析】聯(lián)立直線與拋物線方程，得，設(shè)，，，，由韋達(dá)定理可得，，再由向量的數(shù)量積逐一判斷．
【解答】解：由，可得，
設(shè)，，，，
則，
，
，
直線的方程為，由，可得，
同理可得，
所以，
，
對(duì)于，
，
只有當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，直線與軸垂直，不存在斜率，不滿足題意，
所以，故錯(cuò)誤；
對(duì)于，因?yàn)椋?br>，故正確；
對(duì)于，由得，而，所以，故錯(cuò)誤；
對(duì)于，由可知不存在且，使成立，故錯(cuò)誤．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線與拋物線的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．
二．多選題（共5小題）
11．（2024?鹽湖區(qū)一模）拋物線的焦點(diǎn)為，，、，是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，過(guò)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則
A．若，則直線的斜率為或
B．若，則
C．若和不平行，則
D．若，則的最大值為
【答案】
【考點(diǎn)】直線與拋物線的綜合
【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；綜合法
【分析】設(shè)直線的方程為，將該直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理求出的值，可判斷選項(xiàng)；利用拋物線的焦點(diǎn)弦公式可判斷選項(xiàng)；利用三角形三邊關(guān)系可判斷選項(xiàng)；利用余弦定理、基本不等式可判斷選項(xiàng)．
【解答】解：易知拋物線的焦點(diǎn)為，
對(duì)于選項(xiàng)，若直線與軸垂直，則直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，不合乎題意，
因?yàn)?，則在直線上，設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立可得，則△，
由韋達(dá)定理可得，，
因?yàn)?，即，可得，即?br>所以，，可得，，解得，
此時(shí)，直線的斜率為，對(duì)；
對(duì)于選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，則在直線上，，
則，對(duì)；
對(duì)于選項(xiàng)，當(dāng)和不平行時(shí)，則、、三點(diǎn)不共線，
所以，，錯(cuò)；
對(duì)于選項(xiàng)，設(shè)，，
當(dāng)時(shí)，，
由選項(xiàng)可得，
所以，
，
即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最大值為，對(duì)．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查圓錐曲線中的最值問(wèn)題解決方法，是中檔題．
12．（2024?回憶版）拋物線的準(zhǔn)線為，為上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)作的一條切線，為切點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為，則
A．與相切
B．當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，
C．當(dāng)時(shí)，
D．滿足的點(diǎn)有且僅有2個(gè)
【答案】
【考點(diǎn)】拋物線的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線
【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算
【分析】選項(xiàng)中，拋物線的準(zhǔn)線為，判斷是圓的一條切線；
選項(xiàng)中，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，求出點(diǎn)，計(jì)算即可；
選項(xiàng)中，當(dāng)時(shí)，與并不垂直；
選項(xiàng)中，由得出在的中垂線上，判斷該直線與拋物線有兩交點(diǎn)．
【解答】解：對(duì)于，拋物線的準(zhǔn)線為，是的一條切線，選項(xiàng)正確；
對(duì)于，的圓心為，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，，所以，選項(xiàng)正確；
對(duì)于，當(dāng)時(shí)，或，對(duì)應(yīng)的或，
當(dāng)時(shí)，，，與不垂直，
當(dāng)時(shí)，，，與不垂直，選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于，焦點(diǎn)，由拋物線的定義知，則等價(jià)于在的中垂線上，
該直線的方程為，它與拋物線有兩交點(diǎn)，選項(xiàng)正確．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線與拋物線方程應(yīng)用問(wèn)題，也考查了推理與運(yùn)算能力，是中檔題．
13．（2024?南關(guān)區(qū)校級(jí)模擬）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，點(diǎn)，在上在第一象限），點(diǎn)在上，以為直徑的圓過(guò)焦點(diǎn)，，則
A．若，則B．若，則
C．，則D．，則
【答案】
【考點(diǎn)】拋物線的焦點(diǎn)弦及焦半徑
【專題】綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；數(shù)形結(jié)合；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
【分析】過(guò)點(diǎn)，分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，，設(shè)準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，結(jié)合拋物線的定義與向量的共線定理分析選項(xiàng)和；結(jié)合圓周角定理與三角形全等分析選項(xiàng)和．
【解答】解：過(guò)點(diǎn)，分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，，設(shè)準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，如圖所示，
由拋物線的定義知，，，
選項(xiàng)，若，則，即，
所以，
所以，即，故選項(xiàng)正確；
選項(xiàng)，若，則，
所以，
所以，即，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
選項(xiàng)，因?yàn)橐詾橹睆降膱A過(guò)焦點(diǎn)，所以，
又，，，
所以△△，
所以，
所以，
因?yàn)?，所以?br>在等腰△中，，即選項(xiàng)正確；
選項(xiàng)，由△△，知，
所以，
因?yàn)?，所以△是等邊三角形，且?br>所以，即選項(xiàng)正確．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查拋物線焦半徑的求法，熟練掌握拋物線的定義與幾何性質(zhì)，平面向量共線定理是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．
14．（2024?永州三模）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)且傾斜角為銳角的直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），過(guò)點(diǎn)作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足為，直線與拋物線的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)，則
A．的最小值為2
B．當(dāng)直線的斜率為時(shí)，
C．設(shè)直線，的斜率分別為，，則
D．過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，交直線于點(diǎn)，則
【答案】
【考點(diǎn)】拋物線的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線；直線與拋物線的綜合
【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
【分析】對(duì)于，利用即可判斷；
對(duì)于，將代入即可判斷；
對(duì)于，求出與的斜率即可求解；
對(duì)于，證明即可．
【解答】解：由題意可設(shè)直線方程為，且，，，，
由聯(lián)立得，故，；
對(duì)于，由拋物線定義知，，
故，
當(dāng)?shù)忍?hào)成立時(shí)，不符合題意，故錯(cuò)誤；
對(duì)于，由知，正確；
對(duì)于，，，故，，
故，由，，
得，故正確；
對(duì)于，直線的方程為，令，得，
故，
故為的中點(diǎn)，故正確．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的性質(zhì)以及直線與拋物線的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．
15．（2024?姜堰區(qū)校級(jí)模擬）已知拋物線，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于，，，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為，則
A．
B．點(diǎn)與拋物線上任意一點(diǎn)的最短距離為4
C．的最小值為32
D．的最小值為11
【答案】
【考點(diǎn)】拋物線的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線；直線與拋物線的綜合
【專題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題；綜合法
【分析】．設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，化為，利用根與系數(shù)的關(guān)系判斷是否成立，即可得出結(jié)論；
．設(shè)拋物線上任意一點(diǎn)，可得點(diǎn)與拋物線上任意一點(diǎn)的距離為，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性即可判斷出結(jié)論；
，利用根與系數(shù)的關(guān)系并且結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性即可判斷出結(jié)論；
．先求點(diǎn)，到直線的距離之和為，設(shè)線段的中點(diǎn)為，，即，，利用點(diǎn)到直線的距離公式可得，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性即可判斷出結(jié)論．
【解答】解：．設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，化為，△，，，
則，，因此正確；
．設(shè)拋物線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)與拋物線上任意一點(diǎn)的距離為，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因此不正確；
，時(shí)取等號(hào)，故的最小值為32，因此正確；
．先求點(diǎn)，到直線的距離之和為，設(shè)線段的中點(diǎn)為，，即，，則，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
的最小值為11，因此正確．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、兩點(diǎn)之間的距離公式、二次函數(shù)的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．
三．填空題（共5小題）
16．（2024?合肥模擬）拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，為上一點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓與交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)，，若，則 ．
【答案】．
【考點(diǎn)】拋物線的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線
【專題】方程思想；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法
【分析】求得拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程，由向量相等推得，由拋物線的定義推得四邊形為菱形，再由兩點(diǎn)的距離公式求得的縱坐標(biāo)，可得所求值．
【解答】解：拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，
設(shè)，，，
由，可得，垂足為，且，
由拋物線的定義可得，
且四邊形為菱形，，
，，．
由，解得，
則．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的定義和方程、性質(zhì)，以及圓的性質(zhì)，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．
17．（2024?淮北模擬）已知拋物線準(zhǔn)線為，焦點(diǎn)為，點(diǎn)，在拋物線上，點(diǎn)在上，滿足：，，若，則實(shí)數(shù) 2 ．
【考點(diǎn)】拋物線的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線
【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法；對(duì)應(yīng)思想；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
【分析】由題設(shè)，，，共線，作，，垂足分別為，，結(jié)合拋物線定義及相似比求參數(shù)值即可．
【解答】解：由題設(shè)知：，，，共線，且，如下圖，
作，，垂足分別為，，則，，
所以，又，則，
所以，即，故．
故答案為：2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線得性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．
18．（2024?西城區(qū)校級(jí)模擬）設(shè)點(diǎn)，在拋物線上，已知，．若，則 3 ；若，則直線斜率的最小值為 ．
【答案】3；1．
【考點(diǎn)】拋物線的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線
【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；轉(zhuǎn)化思想
【分析】根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)，基本不等式，即可分別求解．
【解答】解：拋物線的焦點(diǎn)為，
又，在拋物線上，
，；
若，則，又，
直線的斜率為，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
直線斜率的最小值為1．
故答案為：3；1．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，基本不等式的應(yīng)用，屬中檔題．
19．（2024?雁峰區(qū)校級(jí)模擬）已知為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足到點(diǎn)的距離與到點(diǎn)是的焦點(diǎn)）的距離之比為，則的最小值是 ．
【答案】．
【考點(diǎn)】拋物線的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線
【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；綜合法；圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題
【分析】根據(jù)題意得到點(diǎn)的軌跡，然后將的最小值轉(zhuǎn)化為的最小值，根據(jù)垂線段最短得到當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，最小，然后求最小值即可．
【解答】解：由題意可得，等于點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，
如圖，過(guò)點(diǎn)作垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)，
則，設(shè)動(dòng)點(diǎn)，
則，整理得，
所以點(diǎn)的軌跡為以為圓心，半徑為的圓，
所以，所以當(dāng)，，，四點(diǎn)共線時(shí)，最小，
故．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．
20．（2024?河北一模）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，的中點(diǎn)為，以為直徑的圓與軸交于，兩點(diǎn)，當(dāng)取最大值時(shí)，此時(shí) ．
【答案】．
【考點(diǎn)】拋物線的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線；直線與拋物線的綜合
【專題】圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；方程思想
【分析】首先作輔助線于點(diǎn)，并設(shè)，利用坐標(biāo)表示，并求的最小值，結(jié)合幾何關(guān)系，即可求解．
【解答】解：如圖，由，可知，
設(shè)，，，，，，
易知，所以，
過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．
設(shè)，則，
所以當(dāng)取最小值時(shí)，最小，
因?yàn)?，所以?dāng)最小時(shí)，最小，最大，
又的最小值為1，所以，所以，
可得．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用，圓的方程的應(yīng)用，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．
四．解答題（共5小題）
21．（2024?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)模擬）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線，過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，．
（1）求拋物線的方程；
（2）若點(diǎn)，連接，，證明：；
（3）已知圓以為圓心，1為半徑，過(guò)作圓的兩條切線，與軸分別交于點(diǎn)，且，位于軸兩側(cè)，求面積的最小值．
【答案】（1）；
（2）證明過(guò)程見(jiàn)解析；
（3）8．
【考點(diǎn)】拋物線的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線；直線與拋物線的綜合
【專題】對(duì)應(yīng)思想；綜合題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算；邏輯推理；綜合法
【分析】（1）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理求出，再求出，再根據(jù)求出，即可求出拋物線的方程；
（2）要證，即證平分，即證，結(jié)合（1）計(jì)算化簡(jiǎn)即可得出結(jié)論；
（3）記，分別與圓切于點(diǎn)，，連接，，，求出，結(jié)合切線長(zhǎng)定理可得，，，再根據(jù)，求出，再結(jié)合基本不等式即可得解．
【解答】解：（1）不妨設(shè)直線的方程為，，，，，
聯(lián)立，消去并整理得，
由韋達(dá)定理得，
所以，
此時(shí)，
解得，
則拋物線的方程為；
（2）證明：要證，
需證平分，
即證，
由（1）知，，
所以
，
故；
（3）記，分別與圓切于點(diǎn)，，連接，，，
易知，
由切線長(zhǎng)定理可得，，，
所以，
因?yàn)?br>，
解得，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，
即時(shí)，等號(hào)成立，
故面積的最小值為8．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的方程以及直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題，考查了邏輯推理和運(yùn)算能力，屬于中檔題．
22．（2024?昌樂(lè)縣校級(jí)模擬）如圖，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，直線交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)，設(shè)拋物線在點(diǎn)處的切線為．
（1）若直線與軸的交點(diǎn)為，求證：；
（2）過(guò)點(diǎn)作的垂線與直線交于點(diǎn)，求證：．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；
（2）證明見(jiàn)解析．
【考點(diǎn)】拋物線的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線；直線與拋物線的綜合
【專題】綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運(yùn)動(dòng)思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算
【分析】（1）利用已知條件證明即可；
（2）利用條件證明即可．
【解答】解：設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立，消去得：，
，
（1）證明：不妨設(shè)在第一象限，在第四象限，對(duì)于，
的斜率為，
的方程為，即為，
令得，
直線的方程為：，
令得，
所以，所以，
即得證；
（2）證明：過(guò)點(diǎn)的得垂線的方程為：，
即，
則，解得的縱坐標(biāo)為
要證明，因?yàn)?，，，三點(diǎn)共線，
只需證明：，
，
，
所以成立，得證．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線與直線的位置關(guān)系以及弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，屬于中檔題．
23．（2024?四川模擬）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，為的中點(diǎn)，且點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線距離的最小值為2．
（1）求拋物線的方程；
（2）設(shè)拋物線在，兩點(diǎn)的切線相交于點(diǎn)，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
【答案】（1）；
（2）．
【考點(diǎn)】直線與拋物線的綜合
【專題】圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；整體思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法
【分析】（1）設(shè)直線，與拋物線方程聯(lián)立，利用焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式出最小值即可求解；
（2）設(shè)切線方程與拋物線聯(lián)立，由判別式等于0化簡(jiǎn)切線方程，并求出交點(diǎn)坐標(biāo)即可求解．
【解答】解：（1）由題知直線的斜率不為0，
設(shè)直線，
聯(lián)立，
得，
則△，，
由拋物線的定義，知點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離，
所以當(dāng)時(shí)，，
所以拋物線的方程為．
（2）由題易知拋物線在，兩點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸不垂直，
設(shè)在點(diǎn)，處的切線方程為，
即，
聯(lián)立，
得，
則△，
即，
解得，
所以，
即，
同理可得拋物線在點(diǎn)，處的切線方程為，
設(shè)，，
由，
得，
由（1）知，
所以，
所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，重點(diǎn)考查了焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式及直線的方程，屬中檔題．
24．（2024?安徽模擬）已知為拋物線的焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，直線的斜率為，的面積為．已知，，設(shè)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，直線，與的另一交點(diǎn)分別為，．
（Ⅰ）求拋物線的方程；
（Ⅱ）當(dāng)直線與的斜率均存在時(shí)，討論直線是否恒過(guò)定點(diǎn)，若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】（1）；（2）直線過(guò)定點(diǎn)．
【考點(diǎn)】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；拋物線的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線；直線與拋物線的綜合
【專題】綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；方程思想
【分析】（Ⅰ）求得直線的斜率和三角形的面積，解方程可得，進(jìn)而得到拋物線的方程；
（Ⅱ）分別求得直線，的方程，與拋物線的方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和三點(diǎn)共線的性質(zhì)，結(jié)合直線恒過(guò)定點(diǎn)可得結(jié)論．
【解答】解：（Ⅰ）設(shè)準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，
直線的斜率為，，又，
，解得，
故拋物線的方程為：．
（Ⅱ）設(shè)，，，，
過(guò)點(diǎn)的直線的方程為：．
則聯(lián)立，整理得：，
由韋達(dá)定理可得：，．
又設(shè)，，，，
可得的直線方程為：，
由，，三點(diǎn)共線可得：，
化簡(jiǎn)可得：，
同理，由，，三點(diǎn)共線可得：，
可得，
，
綜上可得的直線方程為：，
變形可得：，所以直線過(guò)定點(diǎn)．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的方程和性質(zhì)，以及直線和拋物線的位置關(guān)系，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．
25．（2024?五蓮縣校級(jí)模擬）已知拋物線，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，設(shè)拋物線在點(diǎn)，處的切線分別為和，已知與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，設(shè)與的交點(diǎn)為．
（1）證明：點(diǎn)在定直線上；
（2）若面積為，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）若，，，四點(diǎn)共圓，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】（1）證明見(jiàn)解答；
（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為或；
（2）的坐標(biāo)為，．
【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合；直線與拋物線的綜合
【專題】邏輯推理；方程思想；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算
【分析】（1）設(shè)，，，，，，由，得，可求得與的方程，聯(lián)立可求得點(diǎn)的坐標(biāo)；再將直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，即可證得點(diǎn)在定直線上；
（2）在，的方程中，令，得，，，，由，結(jié)合韋達(dá)定理，可求得的值，進(jìn)而可求得點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）依題意，可求得直線的方程，再結(jié)合點(diǎn)在定直線上，聯(lián)立兩直線方程，即可求得點(diǎn)的坐標(biāo)．
【解答】解：（1）證明：設(shè)，，，，，，由，得，所以方程為：，整理得：，
同理可得，的方程為：，聯(lián)立得：，．
設(shè)直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立得：，故，，所以，，有，
所以點(diǎn)在定直線上．
（2）在，的方程中，令，得，，，，所以的面積，故，
代入可得：，解得或，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為或．
（3）拋物線焦點(diǎn)，由，得直線的斜率，
所以，同理，
所以是外接圓的直徑，若點(diǎn)也在該圓上，則．
由，得直線的方程為：，
又點(diǎn)在定直線上，
聯(lián)立兩直線方程，解得點(diǎn)的坐標(biāo)為，．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與拋物線的綜合應(yīng)用，考查方程思想與轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用，考查推理能力與運(yùn)算能力，屬于難題．
考點(diǎn)卡片
1．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程
【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】
拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的四種種形式：
（1）y2＝2px，焦點(diǎn)在x軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（，0），（p可為正負(fù)）
（2）x2＝2py，焦點(diǎn)在y軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（0，），（p可為正負(fù)）
四種形式相同點(diǎn)：形狀、大小相同；
四種形式不同點(diǎn)：位置不同；焦點(diǎn)坐標(biāo)不同．
下面以兩種形式做簡(jiǎn)單的介紹：
2．拋物線的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線
【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】
拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)：
3．直線與拋物線的綜合
【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】
直線與拋物線的位置判斷：將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，消去x（或y）的一元二次方程，則：
直線與拋物線相交?Δ＞0；
直線與拋物線相切?Δ＝0；
直線與拋物線相離?Δ＜0；
【解題方法點(diǎn)撥】
研究直線與拋物線的位置關(guān)系，一般是將直線與拋物線的方程聯(lián)立消元，轉(zhuǎn)化為形如一元二次方程的形式，注意討論二次項(xiàng)系數(shù)是否為0．若該方程為二次方程，則依據(jù)根的判別式或根與系數(shù)的關(guān)系求解，同時(shí)應(yīng)注意“設(shè)而不求”和“整體代入”方法的應(yīng)用．
直線y＝kx+b與拋物線y2＝2px（p＞0）公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)等價(jià)于方程組的解的個(gè)數(shù)．
（1）若k≠0，則當(dāng)Δ＞0時(shí)，直線和拋物線相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)Δ＝0時(shí)，直線和拋物線相切，有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)Δ＜0時(shí)，直線與拋物線相離，無(wú)公共點(diǎn)．
（2）若k＝0，則直線y＝b與y2＝2px（p＞0）相交，有一個(gè)公共點(diǎn)；特別地，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)x＝m，則當(dāng)m＞0時(shí)，直線l與拋物線相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)m＝0時(shí)，直線l與拋物線相切，有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)m＜0時(shí)，直線與拋物線相離，無(wú)公共點(diǎn)．
【命題方向】
掌握拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、簡(jiǎn)單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，深化對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解，重視知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，提高應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法解決問(wèn)題的意識(shí)和能力．對(duì)相對(duì)固定的題型，比如弦長(zhǎng)問(wèn)題、面積問(wèn)題等，要以課本為例，理解通性通法，熟練步驟．對(duì)拋物線與直線的綜合研究，涉及到定點(diǎn)、定值等相關(guān)結(jié)論，往往是高考考試的熱點(diǎn)．
4．拋物線的焦點(diǎn)弦及焦半徑
【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】
焦點(diǎn)弦是通過(guò)焦點(diǎn)且與拋物線的兩條切線相交的弦．焦半徑是從焦點(diǎn)到弦上任意一點(diǎn)的距離．
【解題方法點(diǎn)撥】
1．計(jì)算焦點(diǎn)弦：使用焦點(diǎn)和弦的方程計(jì)算焦點(diǎn)弦的長(zhǎng)度．
2．計(jì)算焦半徑：計(jì)算焦點(diǎn)到弦上點(diǎn)的距離．
【命題方向】
﹣給定焦點(diǎn)和弦，計(jì)算焦點(diǎn)弦的長(zhǎng)度和焦半徑．
﹣分析焦點(diǎn)弦和焦半徑的性質(zhì)．
5．直線與圓錐曲線的綜合
【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】
直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題是高考的必考點(diǎn)，比方說(shuō)求封閉面積，求距離，求他們的關(guān)系等等，常用的方法就是聯(lián)立方程求出交點(diǎn)的橫坐標(biāo)或者縱坐標(biāo)的關(guān)系，通過(guò)這兩個(gè)關(guān)系的變形去求解．
【解題方法點(diǎn)撥】
例：已知圓錐曲線C上任意一點(diǎn)到兩定點(diǎn)F1（﹣1，0）、F2（1，0）的距離之和為常數(shù)，曲線C的離心率．
（1）求圓錐曲線C的方程；
（2）設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)F2的任意一條直線與圓錐曲線C相交于A、B，試證明在x軸上存在一個(gè)定點(diǎn)P，使的值是常數(shù)．
解：（1）依題意，設(shè)曲線C的方程為（a＞b＞0），
∴c＝1，
∵，
∴a＝2，
∴，
所求方程為．
（2）當(dāng)直線AB不與x軸垂直時(shí)，設(shè)其方程為y＝k（x﹣1），
由，
得（3+4k2）x2﹣8k2x+4（k2﹣3）＝0，
從而，，
設(shè)P（t，0），則
＝
當(dāng)，
解得
此時(shí)對(duì)?k∈R，；
當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，直線AB的方程為x＝1，
xA＝xB＝1，，
對(duì)，，
即存在x軸上的點(diǎn)，使的值為常數(shù)．
這是一道符合高考命題思維的題型，一般命題思路都是第一問(wèn)叫你求曲線的表達(dá)式；第二問(wèn)在求證某種特殊的關(guān)系，像本題求證是個(gè)常數(shù)這是高考中非常喜歡考的一種形式．我們看看解答思路，第一問(wèn)就是求a、b、c中的兩個(gè)值即可；第二問(wèn)先是聯(lián)立方程，然后把我們要證的這個(gè)關(guān)系轉(zhuǎn)化為根與系數(shù)的關(guān)系，這也是常用的方法．
【命題方向】
必考題，也是難題，希望大家多總結(jié)，盡量去總結(jié)一下各種題型和方法，在考試的時(shí)候，如果運(yùn)算量大可以適當(dāng)?shù)姆诺阶詈笞觯?br>6．圓與圓錐曲線的綜合
【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】
1、拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)：
2、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2024/11/4 19:38:25；用戶：組卷36；郵箱：zyb036@xyh.cm；學(xué)號(hào)：41418999
標(biāo)準(zhǔn)方程
y2＝2px（p＞0），焦點(diǎn)在x軸上
x2＝2py（p＞0），焦點(diǎn)在y軸上
圖形


頂點(diǎn)
（0，0）
（0，0）
對(duì)稱軸
x軸
焦點(diǎn)在x軸長(zhǎng)上
y軸
焦點(diǎn)在y軸長(zhǎng)上
焦點(diǎn)
（，0）
（0，）
焦距
無(wú)
無(wú)
離心率
e＝1
e＝1
準(zhǔn)線
x＝﹣
y＝﹣
標(biāo)準(zhǔn)方程
（a＞0，b＞0）
（a＞0，b＞0）
圖形








性
質(zhì)
焦點(diǎn)
F1（﹣c，0），F(xiàn)2（ c，0）
F1（0，﹣c），F(xiàn)2（0，c）
焦距
|F1F2|＝2c
a2+b2＝c2
范圍
|x|≥a，y∈R
|y|≥a，x∈R
對(duì)稱
關(guān)于x軸，y軸和原點(diǎn)對(duì)稱
頂點(diǎn)
（﹣a，0）．（a，0）
（0，﹣a）（0，a）
軸
實(shí)軸長(zhǎng)2a，虛軸長(zhǎng)2b
離心率
e＝（e＞1）
準(zhǔn)線
x＝±
y＝±
漸近線
±＝1
±＝1

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