1．（2024?阜陽模擬）在二項(xiàng)式的展開式中，下列說法正確的是
A．常數(shù)項(xiàng)為B．各項(xiàng)的系數(shù)和為64
C．第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大D．奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和為
2．（2024?博白縣模擬）文娛晚會中，學(xué)生的節(jié)目有5個(gè)，教師的節(jié)目有2個(gè)，如果教師的節(jié)目不排在第一個(gè)，也不排在最后一個(gè)，并且不相鄰，則排法種數(shù)為
A．720B．1440C．2400D．2880
3．（2024?南京模擬）有5個(gè)人到南京、鎮(zhèn)江、揚(yáng)州的三所學(xué)校去應(yīng)聘，若每人至多被一個(gè)學(xué)校錄用，每個(gè)學(xué)校至少錄用其中一人，則不同的錄用情況種數(shù)是
A．300B．360C．390D．420
4．（2024?石家莊模擬）現(xiàn)將四名語文教師，三名心理教師，兩名數(shù)學(xué)教師分配到三所不同學(xué)校，每個(gè)學(xué)校三人，要求每個(gè)學(xué)校既有心理教師又有語文教師，則不同的安排種數(shù)為
A．216B．432C．864D．1080
5．（2024?西安二模）老師有6本不同的課外書要分給甲、乙、丙三人，其中甲分得2本，乙、丙每人至少分得一本，則不同的分法有
A．248種B．168種C．360種D．210種
6．（2024?安徽模擬）將1到50這50個(gè)正整數(shù)平均分成、兩組，每組各25個(gè)數(shù)，使得組的中位數(shù)比組的中位數(shù)小1，則共有 種分法．
A．B．
C．D．
7．（2024?貴州模擬）在的展開式中，下列說法錯(cuò)誤的是
A．二項(xiàng)式系數(shù)之和為64
B．各項(xiàng)系數(shù)之和為
C．二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為
D．常數(shù)項(xiàng)為
8．（2024?莆田模擬）用數(shù)字0，1，2，3，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位偶數(shù)，把這些偶數(shù)從小到大排列得到一個(gè)數(shù)列，則
A．32150B．25310C．32510D．25130
9．（2024?涼山州模擬）五名同學(xué)彝族新年期間去邛海濕地公園采風(fēng)觀景，在觀鳥島濕地門口五名同學(xué)排成一排照相留念，若甲與乙相鄰，丙與丁不相鄰，則不同的排法共有
A．12種B．24種C．48種D．96種
二．多選題（共6小題）
10．（2024?長沙三模）瑞士數(shù)學(xué)家 于17世紀(jì)提出如下不等式：，有，請運(yùn)用以上知識解決如下問題：若，，，則以下不等式正確的是
A．B．C．D．
11．（2024?曲靖模擬）下列命題正確的是
A．展開式中的系數(shù)為1
B．展開式的常數(shù)項(xiàng)等于20
C．展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64
D．展開式的系數(shù)之和為64
12．（2024?九江三模）已知二項(xiàng)式，則
A．展開式中的系數(shù)為45
B．展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第5項(xiàng)
C．展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為1
D．展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第5項(xiàng)或第7項(xiàng)
13．（2024?河南模擬）關(guān)于的展開式，下列判斷正確的是
A．展開式共有7項(xiàng)
B．展開式的各二項(xiàng)式系數(shù)的和為128
C．展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)為
D．展開式的常數(shù)項(xiàng)為
14．（2024?福建模擬）已知正整數(shù)，，其中的因數(shù)不包含3，若的展開式中有且只有6項(xiàng)能被9整除，則的取值可以是
A．6B．7C．8D．9
15．（2023?云南模擬）已知，則
A．展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為
B．展開式中二項(xiàng)系數(shù)最大項(xiàng)為第1012項(xiàng)
C．
D．
三．填空題（共6小題）
16．（2024?黃浦區(qū)校級三模）用這九個(gè)數(shù)字組成的無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，各個(gè)數(shù)位上數(shù)字和為偶數(shù)的奇數(shù)共有 個(gè)．
17．（2024?南開區(qū)模擬）在的展開式中，的系數(shù)為 ．
18．（2024?越秀區(qū)校級一模）若的展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)為60，則的最小值為 ．
19．（2024?紹興模擬）展開式中的系數(shù)為 ．
20．（2024?陜西模擬）的展開式中，不含字母的項(xiàng)為 ．
21．（2024?陽江模擬）展開式中的系數(shù)為，則的值為 ．
四．解答題（共4小題）
22．（2024?浙江模擬）最近的一次數(shù)學(xué)競賽共6道試題，每題答對得7分，答錯(cuò)（或不答）得0分．賽后某參賽代表隊(duì)獲團(tuán)體總分161分，且統(tǒng)計(jì)分?jǐn)?shù)時(shí)發(fā)現(xiàn)：該隊(duì)任兩名選手至多答對兩道相同的題目，沒有三名選手都答對兩道相同的題目．試問該隊(duì)選手至少有多少人？
23．（2024?順慶區(qū)校級模擬）已知數(shù)列的首項(xiàng)為1，記．
（1）若數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列，求的值；
（2）若數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，
①求證：；
②求證：是關(guān)于的一次多項(xiàng)式．
24．（2024?黔南州二模）1799年，哥廷根大學(xué)的高斯在其博士論文中證明了如下定理：任何復(fù)系數(shù)一元次多項(xiàng)式方程在復(fù)數(shù)域上至少有一根．此定理被稱為代數(shù)基本定理，在代數(shù)乃至整個(gè)數(shù)學(xué)中起著基礎(chǔ)作用．由此定理還可以推出以下重要結(jié)論：次復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式方程在復(fù)數(shù)域內(nèi)有且只有個(gè)根（重根按重?cái)?shù)計(jì)算）．對于次復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式，其中，，，，若方程有個(gè)復(fù)根，，，，則有如下的高階韋達(dá)定理：
（1）在復(fù)數(shù)域內(nèi)解方程；
（2）若三次方程的三個(gè)根分別是，，為虛數(shù)單位），求，，的值；
（3）在的多項(xiàng)式中，已知，，，為非零實(shí)數(shù)，且方程的根恰好全是正實(shí)數(shù)，求出該方程的所有根（用含的式子表示）．
25．（2024?鼓樓區(qū)校級模擬）設(shè)的第項(xiàng)系數(shù)為．
（1）求的最大值．
（2）若表示的整數(shù)部分，，求的值．
2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)壓軸訓(xùn)練24
參考答案與試題解析
一．選擇題（共9小題）
1．（2024?阜陽模擬）在二項(xiàng)式的展開式中，下列說法正確的是
A．常數(shù)項(xiàng)為B．各項(xiàng)的系數(shù)和為64
C．第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大D．奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和為
【答案】
【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理
【專題】轉(zhuǎn)化思想；二項(xiàng)式定理；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算；計(jì)算題；綜合法
【分析】直接利用二項(xiàng)式的展開式，賦值法和組合數(shù)以及二項(xiàng)式系數(shù)的和判斷、、、的結(jié)論．
【解答】解：根據(jù)的展開式通項(xiàng)為，，1，2，3，4，5，，
當(dāng)時(shí)，常數(shù)項(xiàng)為，選項(xiàng)正確；
令，得各項(xiàng)的系數(shù)和為，選項(xiàng)錯(cuò)誤；
展開式共7項(xiàng)，二項(xiàng)式系數(shù)最大應(yīng)為第4項(xiàng)，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
依題意奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和為，選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：．
【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)：二項(xiàng)式的展開式，組合數(shù)，賦值法，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．
2．（2024?博白縣模擬）文娛晚會中，學(xué)生的節(jié)目有5個(gè)，教師的節(jié)目有2個(gè)，如果教師的節(jié)目不排在第一個(gè)，也不排在最后一個(gè)，并且不相鄰，則排法種數(shù)為
A．720B．1440C．2400D．2880
【答案】
【考點(diǎn)】部分元素不相鄰的排列問題
【專題】定義法；對應(yīng)思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；排列組合
【分析】先將學(xué)生節(jié)目進(jìn)行全排列，再根據(jù)題意將教師節(jié)目插入除首尾以為的4個(gè)空中，從而可解．
【解答】解：根據(jù)題意，先將學(xué)生節(jié)目進(jìn)行全排列共有種排法，
又教師的節(jié)目不排在第一個(gè)，也不排在最后一個(gè)，并且不相鄰，
則將教師的2個(gè)節(jié)目插入到中間4個(gè)空中，
則共種方法．
故選：．
【點(diǎn)評】本題考查排列組合相關(guān)知識，屬于中檔題．
3．（2024?南京模擬）有5個(gè)人到南京、鎮(zhèn)江、揚(yáng)州的三所學(xué)校去應(yīng)聘，若每人至多被一個(gè)學(xué)校錄用，每個(gè)學(xué)校至少錄用其中一人，則不同的錄用情況種數(shù)是
A．300B．360C．390D．420
【答案】
【考點(diǎn)】排列組合的綜合應(yīng)用
【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法；整體思想；排列組合
【分析】由排列、組合及簡單計(jì)數(shù)問題，結(jié)合分類加法計(jì)數(shù)原理及平均分組問題求解．
【解答】解：當(dāng)5個(gè)人中有3個(gè)人被錄用，
則不同的錄用情況種數(shù)是；
當(dāng)5個(gè)人中有4個(gè)人被錄用，
則不同的錄用情況種數(shù)是；
當(dāng)5個(gè)人中全部被錄用，
則不同的錄用情況種數(shù)是，
則不同的錄用情況種數(shù)共有．
故選：．
【點(diǎn)評】本題考查了排列、組合及簡單計(jì)數(shù)問題，重點(diǎn)考查了分類加法計(jì)數(shù)原理及平均分組問題，屬中檔題．
4．（2024?石家莊模擬）現(xiàn)將四名語文教師，三名心理教師，兩名數(shù)學(xué)教師分配到三所不同學(xué)校，每個(gè)學(xué)校三人，要求每個(gè)學(xué)校既有心理教師又有語文教師，則不同的安排種數(shù)為
A．216B．432C．864D．1080
【答案】
【考點(diǎn)】排列組合的綜合應(yīng)用
【專題】定義法；對應(yīng)思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；排列組合
【分析】根據(jù)給定條件，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理，結(jié)合分組分配列式計(jì)算得解．
【解答】解：求不同的安排種數(shù)需要分成3步，把3名心理教師分配到三所學(xué)校，有種方法，
再把4名語文教師按（1分）成3組，并分配到三所學(xué)校，有種方法，
最后把2名數(shù)學(xué)教師分配到只有1名語文教師的兩所學(xué)校，有種方法，
由分步乘法計(jì)數(shù)原理得不同的安排種數(shù)為．
故選：．
【點(diǎn)評】本題考查排列組合相關(guān)知識，屬于中檔題．
5．（2024?西安二模）老師有6本不同的課外書要分給甲、乙、丙三人，其中甲分得2本，乙、丙每人至少分得一本，則不同的分法有
A．248種B．168種C．360種D．210種
【答案】
【考點(diǎn)】人員及物品分配問題
【專題】整體思想；綜合法；排列組合；數(shù)學(xué)運(yùn)算
【分析】由排列、組合及簡單計(jì)數(shù)問題，結(jié)合分類加法計(jì)數(shù)原理及分步乘法計(jì)數(shù)原理求解．
【解答】解：老師有6本不同的課外書要分給甲、乙、丙三人，其中甲分得2本，乙、丙每人至少分得一本，
當(dāng)甲分2本，乙分1本，丙分3本時(shí)，
不同的分法有種；
當(dāng)甲分2本，乙分2本，丙分2本時(shí)，
不同的分法有種；
當(dāng)甲分2本，乙分3本，丙分1本時(shí)，
則不同的分法有種，
即不同的分法共有種．
故選：．
【點(diǎn)評】本題考查了排列、組合及簡單計(jì)數(shù)問題，重點(diǎn)考查了分類加法計(jì)數(shù)原理及分步乘法計(jì)數(shù)原理，屬中檔題．
6．（2024?安徽模擬）將1到50這50個(gè)正整數(shù)平均分成、兩組，每組各25個(gè)數(shù)，使得組的中位數(shù)比組的中位數(shù)小1，則共有 種分法．
A．B．
C．D．
【答案】
【考點(diǎn)】簡單組合問題；排列組合的綜合應(yīng)用
【專題】計(jì)算題；排列組合；數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法；方程思想
【分析】根據(jù)題意，由中位數(shù)的定義分析可得甲組的中位數(shù)為25，而此時(shí)乙組的中位數(shù)是26，
【解答】解：根據(jù)題意，將1，2，3，，50這50個(gè)正整數(shù)分成甲、乙兩組，每組各25個(gè)數(shù)，
使得甲組的中位數(shù)比乙組的中位數(shù)小1，
由中位數(shù)的定義，甲組的中位數(shù)為25，而此時(shí)乙組的中位數(shù)是26，
在小于25的24個(gè)數(shù)中選12個(gè)，分到組，剩下12個(gè)分到組，
在大于25的24個(gè)數(shù)中選12個(gè)，分到組，剩下12個(gè)分到組，
共有種分組方法．
故選：．
【點(diǎn)評】本題考查排列組合的應(yīng)用，涉及中位數(shù)的定義，屬于中檔題．
7．（2024?貴州模擬）在的展開式中，下列說法錯(cuò)誤的是
A．二項(xiàng)式系數(shù)之和為64
B．各項(xiàng)系數(shù)之和為
C．二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為
D．常數(shù)項(xiàng)為
【答案】
【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理
【專題】綜合法；二項(xiàng)式定理；數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想；計(jì)算題
【分析】由題意先求出的值，利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，逐一判斷各個(gè)選項(xiàng)是否正確，從而得出結(jié)論．
【解答】解：的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)之和為，故正確；
令，可得各項(xiàng)系數(shù)之和為，故正確；
根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，可得當(dāng)時(shí)，展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大，
即展開式的第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，，故錯(cuò)誤；
根據(jù)通項(xiàng)公式為，令，求得，
可得展開式中常數(shù)項(xiàng)為，故正確．
故選：．
【點(diǎn)評】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．
8．（2024?莆田模擬）用數(shù)字0，1，2，3，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位偶數(shù)，把這些偶數(shù)從小到大排列得到一個(gè)數(shù)列，則
A．32150B．25310C．32510D．25130
【答案】
【考點(diǎn)】部分位置的元素有限制的排列問題
【專題】綜合法；排列組合；數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想；計(jì)算題
【分析】由分類加法計(jì)數(shù)原理及排列數(shù)公式求解即可．
【解答】解：數(shù)字1在萬位的偶數(shù)，2為個(gè)位）有個(gè)；
數(shù)字2在萬位的偶數(shù)為個(gè)位）有個(gè)；
數(shù)字3在萬位，0在千位的偶數(shù)為個(gè)位）有個(gè)；
此時(shí)共個(gè)偶數(shù)，
隨后5個(gè)偶數(shù)從小到大為31052，31502，31520，32150，32510，所以第25個(gè)數(shù)是32510，
即．
故選：．
【點(diǎn)評】本題主要考查簡單的計(jì)數(shù)問題，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．
9．（2024?涼山州模擬）五名同學(xué)彝族新年期間去邛海濕地公園采風(fēng)觀景，在觀鳥島濕地門口五名同學(xué)排成一排照相留念，若甲與乙相鄰，丙與丁不相鄰，則不同的排法共有
A．12種B．24種C．48種D．96種
【答案】
【考點(diǎn)】部分元素不相鄰的排列問題
【專題】對應(yīng)思想；綜合法；排列組合；數(shù)學(xué)運(yùn)算
【分析】甲和乙相鄰利用捆綁法，丙和丁不相鄰用插空法，即先捆甲和乙，再與丙和丁外的一人共“2人”排列，再插空排丙和?。?br>【解答】解：甲和乙相鄰，捆綁在一起有種，
再與丙和丁外的1人排列有種，
再排丙和丁有種，
故共有種排法．
故選：．
【點(diǎn)評】本題考查排列、組合及簡單計(jì)數(shù)問題，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．
二．多選題（共6小題）
10．（2024?長沙三模）瑞士數(shù)學(xué)家 于17世紀(jì)提出如下不等式：，有，請運(yùn)用以上知識解決如下問題：若，，，則以下不等式正確的是
A．B．C．D．
【答案】
【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理
【專題】轉(zhuǎn)化思想；構(gòu)造法；定義法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算
【分析】選項(xiàng)中，根據(jù)題意得出，，求和即可；
選項(xiàng)中，根據(jù)題意得出，，根據(jù)同向不等式相加，求解即可；
選項(xiàng)、，不等式，可化為，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求解即可．
【解答】解：對于，因?yàn)?，所以，則；
對于，因?yàn)椋?，則；
對于，要證明，也即證明，只要證明時(shí)，在區(qū)間，上單調(diào)遞減．
求導(dǎo)數(shù)，得，由，得，且，
結(jié)合冪函數(shù)的性質(zhì)得：當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，即 時(shí)，函數(shù)取得最大值，從而只需證明，變換得：，因?yàn)?，故得證；
綜上，若，不等式成立，選項(xiàng)正確，錯(cuò)誤．
故選：．
【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)與不等式的應(yīng)用問題，也考查了推理與運(yùn)算能力，是難題．
11．（2024?曲靖模擬）下列命題正確的是
A．展開式中的系數(shù)為1
B．展開式的常數(shù)項(xiàng)等于20
C．展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64
D．展開式的系數(shù)之和為64
【答案】
【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理
【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；計(jì)算題；綜合法；轉(zhuǎn)化思想；二項(xiàng)式定理；邏輯推理
【分析】根據(jù)給定二項(xiàng)式，利用展開式的通項(xiàng)公式計(jì)算可判斷選項(xiàng)，；根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)之和為可判斷選項(xiàng)；令，可得所有項(xiàng)系數(shù)之和進(jìn)而判斷選項(xiàng)．
【解答】解：對于選項(xiàng)：由展開式的通項(xiàng)為，
令，解得，所以含的項(xiàng)為，此時(shí)系數(shù)為1，故正確；
對于選項(xiàng)：由展開式的通項(xiàng)為，
令，解得，所以常數(shù)項(xiàng)為，故正確；
對于選項(xiàng)：由可知，所以二項(xiàng)式系數(shù)之和為，故正確；
對于選項(xiàng)：令，可得所有項(xiàng)系數(shù)之和為，故錯(cuò)誤．
故選：．
【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)：二項(xiàng)式的展開式，組合數(shù)，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．
12．（2024?九江三模）已知二項(xiàng)式，則
A．展開式中的系數(shù)為45
B．展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第5項(xiàng)
C．展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為1
D．展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第5項(xiàng)或第7項(xiàng)
【答案】
【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理
【專題】綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；二項(xiàng)式定理；整體思想
【分析】由已知結(jié)合二項(xiàng)展開式式系數(shù)及系數(shù)的性質(zhì)檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷．
【解答】解：因?yàn)椋?br>：令，即，展開式中的系數(shù)為，正確；
：展開式共11項(xiàng)，故二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第6項(xiàng)，錯(cuò)誤；
：令，則展開式各項(xiàng)系數(shù)和為0，錯(cuò)誤；
：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，系數(shù)為負(fù)，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，系數(shù)為正，
故展開式中，或系數(shù)最大項(xiàng)為第5或第7項(xiàng)，正確．
故選：．
【點(diǎn)評】本題主要考查了二項(xiàng)展開式系數(shù)及展開式系數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．
13．（2024?河南模擬）關(guān)于的展開式，下列判斷正確的是
A．展開式共有7項(xiàng)
B．展開式的各二項(xiàng)式系數(shù)的和為128
C．展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)為
D．展開式的常數(shù)項(xiàng)為
【答案】
【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理
【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；二項(xiàng)式定理；邏輯推理；轉(zhuǎn)化思想；計(jì)算題；綜合法
【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開式的性質(zhì)判斷，二項(xiàng)式系數(shù)和為判斷，寫出展開式的通項(xiàng)，即可判斷，令，可得展開式中常數(shù)項(xiàng)，即可判斷．
【解答】解：對于，因?yàn)?，故展開式共有項(xiàng)，故錯(cuò)誤；
對于，展開式的各二項(xiàng)式系數(shù)的和為，故正確；
對于，展開式的通項(xiàng)公式為：，
故含的項(xiàng)的系數(shù)為，故錯(cuò)誤；
對于，令，展開式的常數(shù)項(xiàng)為，故正確．
故選：．
【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)：二項(xiàng)式的展開式，賦值法，組合數(shù)，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．
14．（2024?福建模擬）已知正整數(shù)，，其中的因數(shù)不包含3，若的展開式中有且只有6項(xiàng)能被9整除，則的取值可以是
A．6B．7C．8D．9
【答案】
【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理
【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；二項(xiàng)式定理；計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；邏輯推理；綜合法
【分析】利用二項(xiàng)式定理及其通項(xiàng)公式分類討論計(jì)算即可．
【解答】解：易知的展開式的第項(xiàng)為，
即當(dāng)時(shí)必能被9整除，即至少有項(xiàng)可被9整除，
故轉(zhuǎn)為研究當(dāng)，1時(shí)是否滿足題意，
當(dāng)時(shí)，該項(xiàng)為，由于的因數(shù)不含3，故無法被9整除；
當(dāng)時(shí)，該項(xiàng)為，
若為3的倍數(shù)，則該項(xiàng)可被9整除；
若時(shí)該項(xiàng)可被9整除，則共有項(xiàng)可被9整除，
此時(shí)，為3的倍數(shù)，成立，
若時(shí)該項(xiàng)不可被9整除，則共有項(xiàng)可被9整除，
此時(shí)，符合題意．
綜上，可以為6或7．
故選：．
【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)：二項(xiàng)式的展開式，整除問題的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．
15．（2023?云南模擬）已知，則
A．展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為
B．展開式中二項(xiàng)系數(shù)最大項(xiàng)為第1012項(xiàng)
C．
D．
【答案】
【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理
【專題】函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化法；二項(xiàng)式定理；數(shù)學(xué)運(yùn)算
【分析】．令進(jìn)行求解．
．展開式中二次系數(shù)最大值的項(xiàng)有兩項(xiàng)．
．令或進(jìn)行求解．
．先對等式兩邊對求導(dǎo)數(shù)，然后令進(jìn)行計(jì)算即可．
【解答】解：令，得所有項(xiàng)系數(shù)和為，故正確，
，展開式中有2024項(xiàng)，則展開式中二項(xiàng)系數(shù)最大項(xiàng)為第1012項(xiàng)或1013項(xiàng)，故錯(cuò)誤，
令得，，令得，
，故正確，
等式兩邊對求導(dǎo)數(shù)得，
令得，故錯(cuò)誤．
故選：．
【點(diǎn)評】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，利用賦值法以及求導(dǎo)數(shù)法進(jìn)行計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題．
三．填空題（共6小題）
16．（2024?黃浦區(qū)校級三模）用這九個(gè)數(shù)字組成的無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，各個(gè)數(shù)位上數(shù)字和為偶數(shù)的奇數(shù)共有 840 個(gè)．
【考點(diǎn)】數(shù)字問題
【專題】整體思想；綜合法；排列組合；數(shù)學(xué)運(yùn)算
【分析】由排列、組合及簡單計(jì)數(shù)問題，結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理及分類加法計(jì)數(shù)原理求解．
【解答】解：用這九個(gè)數(shù)字組成的無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，各個(gè)數(shù)位上數(shù)字和為偶數(shù)的奇數(shù)可分為2類：
①當(dāng)數(shù)位上數(shù)字為奇數(shù)且個(gè)數(shù)為2時(shí)，
則有個(gè)；
②當(dāng)數(shù)位上數(shù)字為奇數(shù)且個(gè)數(shù)為4時(shí)，
則有個(gè)，
則各個(gè)數(shù)位上數(shù)字和為偶數(shù)的奇數(shù)共有個(gè)．
故答案為：840．
【點(diǎn)評】本題考查了排列、組合及簡單計(jì)數(shù)問題，重點(diǎn)考查了分步乘法計(jì)數(shù)原理及分類加法計(jì)數(shù)原理，屬中檔題．
17．（2024?南開區(qū)模擬）在的展開式中，的系數(shù)為 ．
【答案】．
【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理
【專題】綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；二項(xiàng)式定理；邏輯推理
【分析】直接利用二項(xiàng)式的展開式和組合數(shù)的應(yīng)用求出結(jié)果．
【解答】解：根據(jù)二項(xiàng)式的展開式，1，2，3，4，，
當(dāng)時(shí)，的系數(shù)為．
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)：二項(xiàng)式的展開式，組合數(shù)，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．
18．（2024?越秀區(qū)校級一模）若的展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)為60，則的最小值為 ．
【答案】．
【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理
【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想；二項(xiàng)式定理；轉(zhuǎn)化法
【分析】求出通項(xiàng)公式，利用項(xiàng)的系數(shù)得到方程，求出，進(jìn)而由基本不等式求出最小值．
【解答】解：二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為，
令得，
，依題意得，，
，
，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立．
的最小值為．
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．
19．（2024?紹興模擬）展開式中的系數(shù)為 ．
【答案】．
【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理
【專題】綜合法；轉(zhuǎn)化思想；計(jì)算題；二項(xiàng)式定理；數(shù)學(xué)運(yùn)算；邏輯推理
【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理計(jì)算即可．
【解答】解：設(shè)的通項(xiàng)為，
當(dāng)時(shí)，．
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題考查的知識要點(diǎn)：二項(xiàng)式的展開式，主要考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．
20．（2024?陜西模擬）的展開式中，不含字母的項(xiàng)為 ．
【答案】．
【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理
【專題】函數(shù)思想；綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；二項(xiàng)式定理
【分析】利用二項(xiàng)式定理，可得的展開式中，不含字母的項(xiàng)．
【解答】解：的展開式中，不含字母的項(xiàng)為．
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題考查二項(xiàng)式定理，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)，屬于中檔題．
21．（2024?陽江模擬）展開式中的系數(shù)為，則的值為 1 ．
【答案】1．
【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理
【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想；二項(xiàng)式定理；轉(zhuǎn)化法
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合二項(xiàng)式定理，即可求解．
【解答】解：展開式的通項(xiàng)公式為，
展開式中的系數(shù)為，
則，即，解得．
故答案為：1．
【點(diǎn)評】本題主要考查二項(xiàng)式定理，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題．
四．解答題（共4小題）
22．（2024?浙江模擬）最近的一次數(shù)學(xué)競賽共6道試題，每題答對得7分，答錯(cuò)（或不答）得0分．賽后某參賽代表隊(duì)獲團(tuán)體總分161分，且統(tǒng)計(jì)分?jǐn)?shù)時(shí)發(fā)現(xiàn)：該隊(duì)任兩名選手至多答對兩道相同的題目，沒有三名選手都答對兩道相同的題目．試問該隊(duì)選手至少有多少人？
【答案】7．
【考點(diǎn)】排列組合的綜合應(yīng)用
【專題】邏輯推理；排列組合；轉(zhuǎn)化法；轉(zhuǎn)化思想
【分析】利用圖表列舉所有情況，結(jié)合排列組合公式計(jì)算求解即可．
【解答】解：設(shè)該隊(duì)有名選手，分別記為，，，，記6道題的編號依次為1，2，，6，以編號為行、選手為列作一個(gè)的方格表，
如果選手，2，答對第，2，題，就將方格表中第行第列的小方格的中心染成紅點(diǎn)，
我們的問題就是在的方格表中，不存在“橫”6點(diǎn)矩形和“縱”6點(diǎn)矩形的情況，且至少有23個(gè)紅點(diǎn)時(shí)，求的最小值．
如第1列有6個(gè)紅點(diǎn)，那么，后面各列至多有2個(gè)紅點(diǎn)，
因?yàn)?，于是，取?至10列，其中第2至9列每列有2個(gè)紅點(diǎn)，第列1個(gè)紅點(diǎn)（如圖）滿足題設(shè)，這說明的最小值不大于．
我們發(fā)現(xiàn)，可通過將第1列中某點(diǎn)移到此點(diǎn)所在行的其他列中來減少圖6的列數(shù)，
如作移動，，，可同時(shí)作移動，，，，，，，，，這樣便得到有23個(gè)紅點(diǎn)的圖甲，
類似地可得圖乙，這說明的最小值不大于7．
下面證明：的最小值大于6．
對于一個(gè)恰有6列的方格表，由抽屜原理知至少有一列紅點(diǎn)數(shù)不少于4，不妨設(shè)第1列，且第1列的前4行的小方格的中心是紅點(diǎn)，
如果某列有2個(gè)紅點(diǎn)，則稱其為某列上的一個(gè)紅點(diǎn)“行對”，這樣在前4行中，除第1列外的5列中每列只能有一個(gè)行對．于是，前4行中總共有個(gè)行對．
考慮最后兩行：若第1列還有紅點(diǎn)，那么，有紅點(diǎn)的這一行不能再有其他的紅點(diǎn)，如第1列還有2個(gè)紅點(diǎn)，這時(shí)能增加9個(gè)行對，方格表中共有個(gè)行對；
如第1列還有1個(gè)紅點(diǎn)，不妨設(shè)第1列第5行的小方格有紅點(diǎn)，
這時(shí)即使第6行除第1列外的其他小方格都有紅點(diǎn)，那么，可增加個(gè)行對，方格表中共有個(gè)行對；
如第1列沒有其他的紅點(diǎn)，那么，在最后兩行中最多還有兩個(gè)行對，這兩個(gè)行對占去了兩列，在余下的三列中，每列最多有1個(gè)紅點(diǎn)，
于是，可增加行對個(gè)，這時(shí)，方格表中最多有個(gè)行對．這說明27是可能的行對總數(shù)的最大值，
設(shè)第列的紅點(diǎn)數(shù)為，，，且，則所有行對的總數(shù)，
即，
由柯西不等式有，
所以，
解得，
由為正整數(shù)知，這說明方格表中紅點(diǎn)個(gè)數(shù)最多為21個(gè)，
又當(dāng)時(shí)，方格表中紅點(diǎn)總數(shù)不大于個(gè)，這說明的最小值不小于7．
綜上，該代表隊(duì)至少有7名選手．
【點(diǎn)評】本題考查排列組合的應(yīng)用，屬于難題．
23．（2024?順慶區(qū)校級模擬）已知數(shù)列的首項(xiàng)為1，記．
（1）若數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列，求的值；
（2）若數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，
①求證：；
②求證：是關(guān)于的一次多項(xiàng)式．
【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理
【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；二項(xiàng)式定理；邏輯推理；證明題
【分析】（1）等比數(shù)列結(jié)合二項(xiàng)式定理可解決該問題；
（2）①利用組合數(shù)公式解決；
②利用二項(xiàng)式定理和①結(jié)論解決．
【解答】解：（1）由題意，，，
，；
（2）①證明：；
②證明：數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，．則
，
由二項(xiàng)式定理知，．
又，
，
所以，是關(guān)于的一次多項(xiàng)式．
【點(diǎn)評】本題考查二項(xiàng)式定理、等差等比數(shù)列、組合數(shù)公式、一次函數(shù)、轉(zhuǎn)化思想，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力及推理能力，屬于難題．
24．（2024?黔南州二模）1799年，哥廷根大學(xué)的高斯在其博士論文中證明了如下定理：任何復(fù)系數(shù)一元次多項(xiàng)式方程在復(fù)數(shù)域上至少有一根．此定理被稱為代數(shù)基本定理，在代數(shù)乃至整個(gè)數(shù)學(xué)中起著基礎(chǔ)作用．由此定理還可以推出以下重要結(jié)論：次復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式方程在復(fù)數(shù)域內(nèi)有且只有個(gè)根（重根按重?cái)?shù)計(jì)算）．對于次復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式，其中，，，，若方程有個(gè)復(fù)根，，，，則有如下的高階韋達(dá)定理：
（1）在復(fù)數(shù)域內(nèi)解方程；
（2）若三次方程的三個(gè)根分別是，，為虛數(shù)單位），求，，的值；
（3）在的多項(xiàng)式中，已知，，，為非零實(shí)數(shù)，且方程的根恰好全是正實(shí)數(shù)，求出該方程的所有根（用含的式子表示）．
【答案】（1）；
（2），，；
（3）．
【考點(diǎn)】類比推理；二項(xiàng)式定理；復(fù)數(shù)的運(yùn)算
【專題】綜合法；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算；二項(xiàng)式定理；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；轉(zhuǎn)化思想；計(jì)算題
【分析】（1）根據(jù)題意直接解方程即可；
（2）根據(jù)題意結(jié)合韋達(dá)定理分析運(yùn)算求解；
（3）根據(jù)題意結(jié)合韋達(dá)定理可得，結(jié)合不等式可得，由可得，結(jié)合不等式成立條件分析求解．
【解答】解：（1）由，可得，解得．
（2）由題意可知：，
將，，代入可得，
所以，，．
（3）設(shè)，，
，，，，，，，
因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，
可得，
即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，
因?yàn)榉匠痰母『萌钦龑?shí)數(shù)，
設(shè)這個(gè)正根分別為，，，且，，，
由題意可知：，
因?yàn)?，且，，，均為正?shù)，
則
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，
又因?yàn)椋?br>即，
所以．
【點(diǎn)評】本題主要考查二項(xiàng)式定理，復(fù)數(shù)的運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于難題．
25．（2024?鼓樓區(qū)校級模擬）設(shè)的第項(xiàng)系數(shù)為．
（1）求的最大值．
（2）若表示的整數(shù)部分，，求的值．
【答案】（1）1792；（2）．
【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理
【專題】二項(xiàng)式定理；綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想；計(jì)算題；邏輯推理
【分析】（1）直接利用系數(shù)的最大項(xiàng)建立不等式組，進(jìn)一步求出最大值；
（2）直接利用二項(xiàng)式的展開式和整除問題求出結(jié)果．
【解答】解：（1）由題可知，，
則最大項(xiàng)滿足，解得或6．
所以最大項(xiàng)系數(shù)為，
（2）二項(xiàng)式的第象通項(xiàng)滿足，所以，
所以，
，
所以，即，
故．
【點(diǎn)評】本題考查的知識要點(diǎn)：系數(shù)的最大項(xiàng)，二項(xiàng)式的展開式，整除問題，主要考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
考點(diǎn)卡片
1．復(fù)數(shù)的運(yùn)算
【知識點(diǎn)的認(rèn)識】
復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算法則
2．?dāng)?shù)字問題
【知識點(diǎn)的認(rèn)識】
﹣數(shù)字問題涉及數(shù)字的排列組合、數(shù)字的特性以及數(shù)位的安排．例如：求解由數(shù)字構(gòu)成的不同整數(shù)的數(shù)量、分析某一數(shù)字在特定數(shù)位上的可能性、或求解滿足特定條件的整數(shù)個(gè)數(shù)．
﹣數(shù)字問題通常涉及到計(jì)數(shù)原理在數(shù)字排列中的應(yīng)用，以及整數(shù)的分配與組合．
【解題方法點(diǎn)撥】
﹣首先分析題目中的數(shù)字特性，如數(shù)字的范圍、允許的重復(fù)次數(shù)等．
﹣使用排列數(shù)或組合數(shù)來計(jì)算數(shù)字的不同排列組合方式，必要時(shí)采用分類討論的方式處理特殊情況．
﹣在涉及限制條件（如某些數(shù)位必須滿足特定要求）時(shí)，先處理限制條件，再進(jìn)行組合計(jì)算．
【命題方向】
﹣典型的數(shù)字問題命題包括：計(jì)算由給定數(shù)字組成的不同整數(shù)的數(shù)量，或者確定某一數(shù)位上特定數(shù)字出現(xiàn)的頻率．
﹣可能涉及到數(shù)字排列的特殊情況，如求解滿足某些數(shù)位條件的整數(shù)個(gè)數(shù)，或計(jì)算某些數(shù)字在排列中的特定組合數(shù)量．
﹣在更復(fù)雜的問題中，可能需要結(jié)合多種計(jì)數(shù)方法，如遞推公式或生成函數(shù)來處理數(shù)字的排列組合．
3．部分位置的元素有限制的排列問題
【知識點(diǎn)的認(rèn)識】
﹣部分位置的元素排列受限是指在排列問題中，某些元素只能出現(xiàn)在特定位置或區(qū)域．例如：特定元素只能出現(xiàn)在排列的前幾位或某些位置．
﹣這種問題通常要求考生在處理排列時(shí)，先考慮限制條件，再進(jìn)行一般排列．
【解題方法點(diǎn)撥】
﹣處理此類問題時(shí)，首先對有限制的部分進(jìn)行排列，將有限制的元素排好位置，然后對剩余元素進(jìn)行排列組合．
﹣使用乘法原理，將有限制的排列與剩余元素的排列相乘得到總數(shù)．
﹣對于較復(fù)雜的限制條件，可能需要分類討論，并對每種情況進(jìn)行單獨(dú)計(jì)算．
【命題方向】
﹣常考察在特定位置或區(qū)域內(nèi)元素的排列，如規(guī)定某些元素必須在前幾位，或必須固定在某些位置的排列問題．
﹣命題可能涉及多重限制條件的綜合分析，要求考生靈活運(yùn)用排列數(shù)公式．
4．部分元素不相鄰的排列問題
【知識點(diǎn)的認(rèn)識】
﹣部分元素不相鄰的排列問題要求在排列過程中，特定元素必須保持不相鄰．例如：在排列中，兩個(gè)特定元素不能排在一起．
﹣這類問題通常通過排除法、間隔法或插空法來解決．
【解題方法點(diǎn)撥】
﹣使用間隔法，首先將不受限制的元素排列，然后在排列間隙中插入受限制的元素，保證其不相鄰．
﹣排除法是先計(jì)算不考慮相鄰條件的排列總數(shù)，再減去相鄰元素排列的情況．
﹣對于更復(fù)雜的排列問題，可以結(jié)合插空法或利用遞推關(guān)系進(jìn)行解題．
【命題方向】
﹣命題方向可能要求考生求解特定元素不相鄰的排列總數(shù)，或者分析多個(gè)元素不相鄰的組合情況．
﹣題目可能涉及多個(gè)不相鄰條件的疊加，要求考生準(zhǔn)確處理這些條件．
5．簡單組合問題
【知識點(diǎn)的認(rèn)識】
﹣簡單組合問題涉及無任何特殊限制的組合情況．n個(gè)不同元素中選出r個(gè)元素的組合總數(shù)為．
﹣這類問題是組合問題的基礎(chǔ)，強(qiáng)調(diào)對基本組合公式的理解與應(yīng)用．
【解題方法點(diǎn)撥】
﹣直接應(yīng)用組合公式進(jìn)行計(jì)算．在實(shí)際問題中，注意理解組合與排列的區(qū)別，組合不考慮順序，而排列考慮順序．
﹣對于簡單組合問題，可以通過列舉法或公式直接求解．
﹣在復(fù)雜組合問題中，分類討論和遞推公式可能是有效的解題工具．
【命題方向】
﹣常見命題包括基本組合問題的計(jì)算，如從一組元素中選出子集的總數(shù)，或計(jì)算特定組合情況的可能性．
﹣命題可能涉及對組合數(shù)公式的直接應(yīng)用，以及對組合問題的基礎(chǔ)性理解與操作．
6．人員及物品分配問題
【知識點(diǎn)的認(rèn)識】
﹣人員及物品分配問題涉及將不同人員或物品進(jìn)行分配的組合問題．例如：將n個(gè)人分配到k個(gè)小組，或者將m個(gè)物品分配給p個(gè)人．
﹣這類問題通常涉及組合與排列的綜合應(yīng)用，以及對分配方案的合理性判斷．
【解題方法點(diǎn)撥】
﹣根據(jù)分配的要求，首先分析每種分配情況的可能性，然后分別計(jì)算不同情況的組合數(shù)或排列數(shù)．
﹣對于不同分配方式，可以使用加法原理和乘法原理進(jìn)行綜合計(jì)算．對于更復(fù)雜的分配問題，分類討論是必要的．
﹣分配問題中，考慮限制條件（如某些人或物品必須被分配到特定組）的情況，可以先處理有限制的部分，再進(jìn)行剩余部分的分配．
【命題方向】
﹣常見的命題方向包括分配問題的綜合應(yīng)用，可能要求考生計(jì)算不同分配方案的總數(shù)，或者分析特定分配條件下的組合數(shù)．
﹣題目可能涉及人員或物品的多重分配方式，要求考生靈活應(yīng)用組合與排列的混合計(jì)算．
7．排列組合的綜合應(yīng)用
【知識點(diǎn)的認(rèn)識】
1、排列組合問題的一些解題技巧：
①特殊元素優(yōu)先安排；
②合理分類與準(zhǔn)確分步；
③排列、組合混合問題先選后排；
④相鄰問題捆綁處理；
⑤不相鄰問題插空處理；
⑥定序問題除法處理；
⑦分排問題直排處理；
⑧“小集團(tuán)”排列問題先整體后局部；
⑨構(gòu)造模型；
⑩正難則反、等價(jià)轉(zhuǎn)化．
對于無限制條件的排列組合問題應(yīng)遵循兩個(gè)原則：一是按元素的性質(zhì)分類，二是按時(shí)間發(fā)生的過程進(jìn)行分步．對于有限制條件的排列組合問題，通常從以下三個(gè)途徑考慮：
①以元素為主考慮，即先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素；
②以位置為主考慮，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置；
③先不考慮限制條件，計(jì)算出排列或組合數(shù)，再減去不符合要求的排列或組合數(shù)．
2、排列、組合問題幾大解題方法：
（1）直接法；
（2）排除法；
（3）捆綁法：在特定要求的條件下，將幾個(gè)相關(guān)元素當(dāng)作一個(gè)元素來考慮，待整體排好之后再考慮它們“局部”的排列．它主要用于解決“元素相鄰問題”；
（4）插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它們之間或兩端的空檔中，此法主要解決“元素不相鄰問題”；
（5）占位法：從元素的特殊性上講，對問題中的特殊元素應(yīng)優(yōu)先排列，然后再排其他一般元素；從位置的特殊性上講，對問題中的特殊位置應(yīng)優(yōu)先考慮，然后再排其他剩余位置．即采用“先特殊后一般”的解題原則；
（6）調(diào)序法：當(dāng)某些元素次序一定時(shí)，可用此法；
（7）平均法：若把kn個(gè)不同元素平均分成k組，每組n個(gè)，共有；
（8）隔板法：常用于解正整數(shù)解組數(shù)的問題；
（9）定位問題：從n個(gè)不同元素中每次取出k個(gè)不同元素作排列規(guī)定某r個(gè)元素都包含在內(nèi)，并且都排在某r個(gè)指定位置則有；
（10）指定元素排列組合問題：
①從n個(gè)不同元素中每次取出k個(gè)不同的元素作排列（或組合），規(guī)定某r個(gè)元素都包含在內(nèi)．先C后A策略，排列；組合；
②從n個(gè)不同元素中每次取出k個(gè)不同元素作排列（或組合），規(guī)定某r個(gè)元素都不包含在內(nèi)．先C后A策略，排列；組合；
③從n個(gè)不同元素中每次取出k個(gè)不同元素作排列（或組合），規(guī)定每個(gè)排列（或組合）都只包含某r個(gè)元素中的s個(gè)元素．先C后A策略，排列；組合．
8．二項(xiàng)式定理
【知識點(diǎn)的認(rèn)識】
二項(xiàng)式定理又稱牛頓二項(xiàng)式定理．公式（a+b）n＝an﹣i?bi．通過這個(gè)定理可以把一個(gè)多項(xiàng)式的多次方拆開．
例1：用二項(xiàng)式定理估算1.0110＝ 1.105 ．（精確到0.001）
解：1.0110＝（1+0.01）10＝110+?19×0.01+?18?0.012≈1+0.1+0.0045≈1.105．
故答案為：1.105．
這個(gè)例題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，也是比較常見的題型．
例2：把把二項(xiàng)式定理展開，展開式的第8項(xiàng)的系數(shù)是．
解：由題意T8＝×＝120×3i＝360i．
故答案為：360i．
通過這兩個(gè)例題，大家可以看到二項(xiàng)式定理的重點(diǎn)是在定理，這類型的題都是圍著這個(gè)定理運(yùn)作，解題的時(shí)候一定要牢記展開式的形式，能正確求解就可以了．
性質(zhì)
1、二項(xiàng)式定理
一般地，對于任意正整數(shù)n，都有
這個(gè)公式就叫做二項(xiàng)式定理，右邊的多項(xiàng)式叫做（a+b）n的二項(xiàng)展開式．其中各項(xiàng)的系數(shù)叫做二項(xiàng)式系數(shù)．
注意：
（1）二項(xiàng)展開式有n+1項(xiàng)；
（2）二項(xiàng)式系數(shù)與二項(xiàng)展開式系數(shù)是兩個(gè)不同的概念；
（3）每一項(xiàng)的次數(shù)是一樣的，即為n次，展開式依a的降冪排列，b的升冪排列展開；
（4）二項(xiàng)式定理通常有如下變形：
①；
②；
（5）要注意逆用二項(xiàng)式定理來分析問題、解決問題．
2、二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式
二項(xiàng)展開式的第n+1項(xiàng)叫做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式．它體現(xiàn)了二項(xiàng)展開式的項(xiàng)數(shù)、系數(shù)、次數(shù)的變化規(guī)律，是二項(xiàng)式定理的核心，它在求展開式的某些特定的項(xiàng)及其系數(shù)方面有著廣泛的應(yīng)用．
注意：
（1）通項(xiàng)公式表示二項(xiàng)展開式的第r+1項(xiàng)，該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是；
（2）字母b的次數(shù)和組合數(shù)的上標(biāo)相同；
（3）a與b的次數(shù)之和為n．
3、二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)．
（1）對稱性：與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即；
（2）增減性與最大值：當(dāng)k＜時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)是逐漸增大的．由對稱性知，它的后半部分是逐漸減小的，且在中間取最大值．當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，則中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，則中間的兩項(xiàng)，相等，且同時(shí)取得最大值．
9．類比推理
【知識點(diǎn)的認(rèn)識】
1．類比推理：根據(jù)兩個(gè)（或兩類）對象在一些屬性上相同或相似，從而推出它們在其他屬性上也相同或相似的推理形式．
2．類比推理的形式：
3．特點(diǎn)：類比推理是一種主觀的不充分的似真推理，要確認(rèn)猜想的正確性，需經(jīng)過嚴(yán)格的邏輯論證．一般情況下，如果類比的相似性越多，相似的性質(zhì)與推測的性質(zhì)之間越相關(guān)，則類比得出的命題就越可靠．
【解題技巧點(diǎn)撥】
類比推理的步驟：
（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；
（2）用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題（猜想）．
例：請用類比推理完成下表：

解：本題由已知前兩組類比可得到如下信息：
①平面中的三角形與空間中的三棱錐是類比對象；
②三角形各邊的邊長與三棱錐的各面的面積是類比對象；
③三角形邊上的高與三棱錐面上的高是類比對象；
④三角形的面積與三棱錐的體積是類比對象；
⑤三角形的面積公式中的“二分之一”，與三棱錐的體積公式中的“三分之一”是類比對象．
由以上分析可知：
故第三行空格應(yīng)填：三棱錐的體積等于其內(nèi)切球半徑與三棱錐表面積的乘積的三分之一．
【命題方向】
一般以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，是高考的重要內(nèi)容．常見題型有：
（1）升級類比：平面到空間的類比；
（2）同級類比：圓錐曲線之間的類比；
（3）運(yùn)算類比：等差與等比的類比．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2024/11/4 19:48:36；用戶：組卷36；郵箱：zyb036@xyh.cm；學(xué)號：41418999

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