1．（2024?閔行區(qū)校級模擬）已知函數(shù)的定義域為，則下列條件中，能推出1一定不是的極小值點的為
A．存在無窮多個，滿足（1）
B．對任意有理數(shù)，，，均有（1）
C．函數(shù)在區(qū)間上為嚴(yán)格減函數(shù)，在區(qū)間上為嚴(yán)格增函數(shù)
D．函數(shù)在區(qū)間上為嚴(yán)格增函數(shù)，在區(qū)間上為嚴(yán)格減函數(shù)
2．（2024?新縣校級模擬）已知函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù)．若（3），則實數(shù)的取值范圍是
A．B．C．D．
3．（2024?江西一模）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)定義域均為，記，且，為偶函數(shù)，則（7）
A．0B．1C．2D．3
4．（2024?江西模擬）已知函數(shù)在處的切線斜率為，若在上只有一個零點，則的最大值為
A．B．C．2D．
5．（2024?簡陽市校級模擬）若對于任意正數(shù)，，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是
A．B．C．D．
6．（2024?宿遷模擬）在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示，已知兩圖像有且僅有一個公共點，其坐標(biāo)為，則
A．函數(shù)的最大值為1B．函數(shù)的最小值為1
C．函數(shù)的最大值為1D．函數(shù)的最小值為1
7．（2024?邢臺模擬）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最小值為
A．B．1C．D．
8．（2024?梅江區(qū)校級模擬）已知0為函數(shù)的極小值點，則的取值范圍是
A．B．C．D．，
9．（2024?宜賓三模）定義在上的單調(diào)函數(shù)，對任意的都有，若方程有兩個不同的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為
A．B．，C．D．，
10．（2024?德陽模擬）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)在定義域均為且是偶函數(shù)，，則不等式（3）的解集為
A．B．C．D．，
11．（2024?咸陽模擬）已知函數(shù)，若是函數(shù)的唯一極小值點，則的取值范圍為
A．，B．C．，D．，
12．（2024?青羊區(qū)校級模擬）設(shè)，，，則下列大小關(guān)系正確的是
A．B．C．D．
13．（2024?博白縣模擬）已知函數(shù)，當(dāng)實數(shù)時，對于都有恒成立，則的最大值為
A．B．C．D．
二．多選題（共3小題）
14．（2024?市中區(qū)校級二模）對于具有相同定義域的函數(shù)和，若存在函數(shù)，為常數(shù)）對任給的正數(shù)，
存在相應(yīng)的使得當(dāng)且時，總有，則稱直線為曲線和的“分漸近線”．下列定義域均為的四組函數(shù)中，曲線和存在“分漸近線”的是
A．，
B．，
C．，
D．，
15．（2024?建陽區(qū)一模）已知函數(shù)，，，是的導(dǎo)函數(shù)，則
A．“”是“為奇函數(shù)”的充要條件
B．“”是“為增函數(shù)”的充要條件
C．若不等式的解集為且，則的極小值為
D．若，是方程的兩個不同的根，且，則或
16．（2024?揚州校級一模）若正數(shù)，滿足，則
A．B．
C．D．
三．填空題（共4小題）
17．（2024?淄博一模）設(shè)方程，的根分別為，，函數(shù)，令，，，則，，的大小關(guān)系為 ．
18．（2024?滄縣校級模擬）已知直線是曲線和的公切線，則實數(shù) ．
19．（2024?回憶版）若曲線在點處的切線也是曲線的切線，則 ．
20．（2024?白云區(qū)校級模擬）已知函數(shù)，設(shè)曲線在點，處切線的斜率為，2，，若，，均不相等，且，則的最小值為 ．
四．解答題（共5小題）
21．（2024?沙河口區(qū)校級二模）已知函數(shù)．
（1）若，求的極值；
（2）若，，求的取值范圍．
22．（2024?黃州區(qū)校級四模）已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時，求在，（1）處的切線方程；
（2）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍．
23．（2024?天津）設(shè)函數(shù)．
（1）求圖像上點，（1）處的切線方程；
（2）若在時恒成立，求的值；
（3）若，，證明．
24．（2024?貴州模擬）已知函數(shù)．
（1）若函數(shù)有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍；
（2）已知，，，，，（其中且，，成等比數(shù)列）是曲線上三個不同的點，判斷直線與曲線在點處的切線能否平行？請說明理由．
25．（2024?平羅縣校級三模）設(shè)函數(shù)．
（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)函數(shù)在上有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍．（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）
2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)壓軸訓(xùn)練10
參考答案與試題解析
一．選擇題（共13小題）
1．（2024?閔行區(qū)校級模擬）已知函數(shù)的定義域為，則下列條件中，能推出1一定不是的極小值點的為
A．存在無窮多個，滿足（1）
B．對任意有理數(shù)，，，均有（1）
C．函數(shù)在區(qū)間上為嚴(yán)格減函數(shù)，在區(qū)間上為嚴(yán)格增函數(shù)
D．函數(shù)在區(qū)間上為嚴(yán)格增函數(shù)，在區(qū)間上為嚴(yán)格減函數(shù)
【答案】
【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值
【專題】綜合法；綜合題；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；邏輯推理；函數(shù)思想
【分析】根據(jù)極值的定義，結(jié)合選項，即可得出結(jié)果．
【解答】解：由極值的定義可知，當(dāng)函數(shù)在處取得極小值時，
在左側(cè)的函數(shù)圖象存在點比處的函數(shù)值小，
在右側(cè)的函數(shù)圖象存在點比處的函數(shù)值小，故排除，；
對于，函數(shù)在區(qū)間上為嚴(yán)格減函數(shù)，
在區(qū)間上為嚴(yán)格增函數(shù)，則是函數(shù)的極小值點；
對于，函數(shù)在區(qū)間上為嚴(yán)格增函數(shù)，
在區(qū)間上為嚴(yán)格減函數(shù)，則不是函數(shù)的極小值點．
故選：．
【點評】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，屬于中檔題．
2．（2024?新縣校級模擬）已知函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù)．若（3），則實數(shù)的取值范圍是
A．B．C．D．
【答案】
【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
【專題】轉(zhuǎn)化思想；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；方程思想；綜合法；數(shù)學(xué)運算；計算題
【分析】根據(jù)題意，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分析可得在上遞增，設(shè)，分析可得為奇函數(shù)且在上遞增，原不等式變形可得（3），結(jié)合的奇偶性、單調(diào)性可得關(guān)于的不等式，解可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)，
易得，則在上遞增，
設(shè)，，其定義域為，
有，則為奇函數(shù)，
易得在上遞增，
若（3），即（3），則有（3），
而為奇函數(shù)，
則有，必有，解可得，則的取值范圍為．
故選：．
【點評】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，涉及不等式的解法，屬于中檔題．
3．（2024?江西一模）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)定義域均為，記，且，為偶函數(shù)，則（7）
A．0B．1C．2D．3
【答案】
【考點】基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
【專題】導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算；轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法
【分析】對兩邊同時求導(dǎo)，結(jié)合函數(shù)的周期和偶函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．
【解答】解：因為為偶函數(shù)，，
所以，
對兩邊同時求導(dǎo)，得，
所以有，所以函數(shù)的周期為8，
在中，令，所以（2），
因此（2），
因為為偶函數(shù)，
所以有（7）（1），
（7）（2），
由（1），（2）可得：（7），
所以（7），
故選：．
【點評】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運算，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．
4．（2024?江西模擬）已知函數(shù)在處的切線斜率為，若在上只有一個零點，則的最大值為
A．B．C．2D．
【答案】
【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程
【專題】綜合法；數(shù)學(xué)運算；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；函數(shù)思想
【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由求出，由的取值范圍求出的范圍，再根據(jù)在上只有一個零點得到，即可求出的取值范圍，從而得解．
【解答】解：由題意得，，則，即，
又，解得，
，
由得，
，，
，
又，在上只有一個零點，
，解得，
的最大值為2．
故選：．
【點評】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及三角函數(shù)的性質(zhì)，考查運算求解能力，屬于中檔題．
5．（2024?簡陽市校級模擬）若對于任意正數(shù)，，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是
A．B．C．D．
【答案】
【考點】函數(shù)恒成立問題；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值
【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；運算求解
【分析】對不等式分離參數(shù)得到，令，構(gòu)造函數(shù)，，則，通過導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性求出最大值即可．
【解答】解：由不等式恒成立，且，，
分離參數(shù)得：，即，
設(shè)，得，，
設(shè)，，
則．
，由得，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)，時，，單調(diào)遞減；
．
．
故選：．
【點評】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值、分離參數(shù)法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．
6．（2024?宿遷模擬）在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示，已知兩圖像有且僅有一個公共點，其坐標(biāo)為，則
A．函數(shù)的最大值為1B．函數(shù)的最小值為1
C．函數(shù)的最大值為1D．函數(shù)的最小值為1
【答案】
【考點】基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值
【專題】數(shù)學(xué)運算；整體思想；綜合題；函數(shù)思想；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性確定虛線部分為，再求函數(shù)的單調(diào)性可求出最值．
【解答】解：由題意可知，兩個函數(shù)圖像都在軸上方，任何一個為導(dǎo)函數(shù)，則另外一個函數(shù)應(yīng)該單調(diào)遞增，判斷可知，虛線部分為，實線部分為，則，顯然錯誤，
對于，而言，，由圖像可知單調(diào)遞增，，單調(diào)遞減，所以函數(shù)在處取得最大值為1．
故選：．
【點評】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，屬于中檔題．
7．（2024?邢臺模擬）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最小值為
A．B．1C．D．
【答案】
【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
【專題】邏輯推理；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；綜合題；構(gòu)造法；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運算；綜合法
【分析】求導(dǎo)，根據(jù)題意可得恒成立，，分離參數(shù)，可得，構(gòu)造函數(shù)，，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性和最值，即可求出結(jié)果．
【解答】解：因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以恒成立，，
即恒成立，，
令，，
，
所以在上單調(diào)遞減，
所以（1），
所以．
故選：．
【點評】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，屬中檔題．
8．（2024?梅江區(qū)校級模擬）已知0為函數(shù)的極小值點，則的取值范圍是
A．B．C．D．，
【答案】
【考點】由函數(shù)的極值求解函數(shù)或參數(shù)
【專題】綜合法；綜合題；整體思想；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算
【分析】先求出導(dǎo)數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)找出單調(diào)性可得結(jié)果．
【解答】解：由題意得，的導(dǎo)函數(shù)為，
若，，在上單調(diào)遞增，因為，
所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，成立；
若，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，因為，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，成立；
若，當(dāng)時，，當(dāng)時，，因為，
所以，不成立；
若，當(dāng)時，，，
易得在遞增，在上單調(diào)遞減，不成立；
綜上，的取值范圍是．
故選：．
【點評】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用和邏輯推理的核心素養(yǎng)以及分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．
9．（2024?宜賓三模）定義在上的單調(diào)函數(shù)，對任意的都有，若方程有兩個不同的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為
A．B．，C．D．，
【答案】
【考點】由函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)或參數(shù)
【專題】數(shù)形結(jié)合；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算；綜合法
【分析】根據(jù)題意，由單調(diào)函數(shù)的性質(zhì)，可得為定值，可以設(shè)，則，又由，即，解可得的值，可得的解析式，對其求導(dǎo)可得；將與代入，求出函數(shù)的最大值，即可得答案．
【解答】解：是定義在上的單調(diào)函數(shù)，，
為大于0的常數(shù)，
設(shè)，則，
又由，即，解得，
，，
，
設(shè)，則，
易得函數(shù)在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞增，
時，函數(shù)取得最大值1，其大致圖象如圖所示，
方程有兩個不同的實數(shù)根，
．
故選：．
【點評】本題考查函數(shù)零點與方程根的關(guān)系的應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，關(guān)鍵點和難點是求出的解析式．
10．（2024?德陽模擬）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)在定義域均為且是偶函數(shù)，，則不等式（3）的解集為
A．B．C．D．，
【答案】
【考點】抽象函數(shù)的奇偶性；利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間
【專題】綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；函數(shù)思想；數(shù)學(xué)運算
【分析】依題意得函數(shù)在上單調(diào)遞增，因為（3），所以（1），得，求解即可．
【解答】解：由，得，
則當(dāng)時，得，
，
則當(dāng)時，，得函數(shù)在上單調(diào)遞增，
因為（3），所以（1），
由于是偶函數(shù)，則（1），
而函數(shù)在上單調(diào)遞增，得，
得，
得．
故選：．
【點評】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合運用，考查運算求解能力，屬于中檔題．
11．（2024?咸陽模擬）已知函數(shù)，若是函數(shù)的唯一極小值點，則的取值范圍為
A．，B．C．，D．，
【答案】
【考點】由函數(shù)的極值求解函數(shù)或參數(shù)
【專題】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算；轉(zhuǎn)化思想；綜合法
【分析】求導(dǎo)分析的符號，單調(diào)性，進(jìn)而可得極值點，判斷是否符合題意，即可得出答案．
【解答】解：，
，且，
令，則，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
所以是函數(shù)唯一的極小值點，
當(dāng)時，，
所以存在使得，在單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞減，與0是函數(shù)的極小值點矛盾，
綜上所述，，
所以的取值范圍為，．
故選：．
【點評】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，解題中需要理清思路，屬于中檔題．
12．（2024?青羊區(qū)校級模擬）設(shè)，，，則下列大小關(guān)系正確的是
A．B．C．D．
【答案】
【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
【專題】轉(zhuǎn)化法；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運算；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
【分析】首先通過構(gòu)造函數(shù)得到當(dāng)時，，再通過構(gòu)造函數(shù)進(jìn)一步得到，，由此即可比較，，通過構(gòu)造函數(shù)即可比較，，由此即可得解．
【解答】解：設(shè)，則，
所以在上單調(diào)遞增，
所以，即，
令，則，
所以在上單調(diào)遞增，
從而，即，，
所以，，
從而當(dāng)時，，
令，則，
所以在上單調(diào)遞增，
所以，即，
綜上所述：．
故選：．
【點評】本題主要考查數(shù)值大小的比較，屬于中檔題．
13．（2024?博白縣模擬）已知函數(shù)，當(dāng)實數(shù)時，對于都有恒成立，則的最大值為
A．B．C．D．
【答案】
【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
【專題】數(shù)學(xué)運算；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；轉(zhuǎn)化思想
【分析】通過求導(dǎo)分析的單調(diào)性得到的最小值，由恒成立得到，得到，構(gòu)造函數(shù)（a），由（a）的最小值得到的最大值．
【解答】解：，令得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故，
所以，則恒成立，則，
令（a），（a），
令（a）得，令（a）得，
所以（a）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以．
故的最大值為．
故選：．
【點評】本題考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)恒成立問題中的應(yīng)用，屬于中檔題．
二．多選題（共3小題）
14．（2024?市中區(qū)校級二模）對于具有相同定義域的函數(shù)和，若存在函數(shù)，為常數(shù)）對任給的正數(shù)，
存在相應(yīng)的使得當(dāng)且時，總有，則稱直線為曲線和的“分漸近線”．下列定義域均為的四組函數(shù)中，曲線和存在“分漸近線”的是
A．，
B．，
C．，
D．，
【考點】：極限及其運算
【分析】本題從大學(xué)數(shù)列極限定義的角度出發(fā)，仿造構(gòu)造了分漸近線函數(shù)，目的是考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力，考生需要抓住本質(zhì)：存在分漸近線的充要條件是時，進(jìn)行作答，是一道好題，思維靈活，要透過現(xiàn)象看本質(zhì)．
【解答】解：和存在分漸近線的充要條件是時，．
，，當(dāng)時便不符合，所以不存在；
對于，，肯定存在分漸近線，因為當(dāng)時，；
對于，，，，
設(shè)，，且，
所以當(dāng)時越來愈大，從而會越來越小，不會趨近于0，
所以不存在分漸近線；
對于，，，當(dāng)時，，
故選：．
【點評】本題較難，涉及到部分大學(xué)內(nèi)容，屬于拓展類題目
15．（2024?建陽區(qū)一模）已知函數(shù)，，，是的導(dǎo)函數(shù)，則
A．“”是“為奇函數(shù)”的充要條件
B．“”是“為增函數(shù)”的充要條件
C．若不等式的解集為且，則的極小值為
D．若，是方程的兩個不同的根，且，則或
【答案】
【考點】函數(shù)的奇偶性；基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值
【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；運算求解；綜合法
【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義域與性質(zhì)及充分必要條件的定義可判斷；由導(dǎo)函數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系及充分必要條件的定義可判斷；由不等式的解集可得的單調(diào)性與極值及函數(shù)的零點，從而可得，，的值，求出解析式，由導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而可得函數(shù)的極小值，即可判斷；由△及根與系數(shù)的關(guān)系可求出的取值范圍，即可判斷．
【解答】解：當(dāng)時，，，所以為奇函數(shù)，充分性成立；
若為奇函數(shù)，則，
則恒成立，所以，必要性成立，故項正確；
當(dāng)時，，，所以為增函數(shù)；
由題意得，當(dāng)為增函數(shù)時，△，
所以“”是“為增函數(shù)”的充分不必要條件，故項錯誤；
，若不等式的解集為且，
則在上先增后減再增，則，（1），解得，
故，
，
令，解得或，
所以在區(qū)間內(nèi)，，單調(diào)遞增，
在區(qū)間內(nèi)，，單調(diào)遞減，
在區(qū)間內(nèi)，，單調(diào)遞增，
所以的極小值為，故項正確；
，因為，是方程的兩個不同的根，
所以△，即①，
，，
由，得，
所以，即②，
由①②得，解得或，故項正確．
故選：．
【點評】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的判斷，充分必要條件的定義，考查邏輯推理與運算求解能力，屬于中檔題．
16．（2024?揚州校級一模）若正數(shù)，滿足，則
A．B．
C．D．
【答案】
【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
【專題】構(gòu)造法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；函數(shù)思想；不等式；數(shù)學(xué)運算
【分析】結(jié)合基本不等式可求的范圍，然后結(jié)合基本不等式及指數(shù)，對數(shù)的運算性質(zhì)檢驗選項，，結(jié)合選項中不等式的特點，合理的構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系檢驗選項，．
【解答】解：因為正數(shù)，滿足，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
則，錯誤；
，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，正確；
因為，，
令，，
則，即在上單調(diào)遞增，
所以（1），即，
所以，
所以，正確；
因為，
令，，
則，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
故，正確．
故選：．
【點評】本題主要考查了基本不等式及函數(shù)的性質(zhì)在不等關(guān)系的判斷中的應(yīng)用，屬于中檔題．
三．填空題（共4小題）
17．（2024?淄博一模）設(shè)方程，的根分別為，，函數(shù)，令，，，則，，的大小關(guān)系為 ．
【答案】．
【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
【專題】數(shù)學(xué)運算；轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
【分析】先利用方程的根與圖象的交點的關(guān)系，及互為反函數(shù)的兩個函數(shù)圖象關(guān)系推得，由此得到，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性判斷即可．
【解答】解：由，得，由，得，
因為方程的根為，所以函數(shù)與的圖象交點的橫坐標(biāo)為，
同理函數(shù)與的圖象交點的橫坐標(biāo)為，
因為與互為反函數(shù)，所以兩函數(shù)圖象關(guān)于對稱，
易知直線與直線互相垂直，所以，兩點關(guān)于直線對稱，
即，的中點一定落在，亦即點為與的交點，
聯(lián)立，解得，即，所以，
所以，則，
令，得；令，得；
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，，
而，
又，，，所以．
故答案為：．
【點評】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)與方程的綜合，函數(shù)值大小的比較，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．
18．（2024?滄縣校級模擬）已知直線是曲線和的公切線，則實數(shù) 3 ．
【答案】3．
【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程
【專題】方程思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；運算求解
【分析】先設(shè)在上的切點，然后求出切點和切線，然后再設(shè)在上的切點，即可求出的值．
【解答】解：設(shè)直線與曲線相切于點，，
由，得，因為與曲線相切，
所以，消去，得，解得．
設(shè)與曲線相切于點，，由，得，即，
因為，是與曲線的公共點，
所以，消去，得，即，解得．
故答案為：3．
【點評】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查運算求解能力，屬于中檔題．
19．（2024?回憶版）若曲線在點處的切線也是曲線的切線，則 ．
【答案】．
【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程
【專題】綜合法；計算題；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運算；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
【分析】求解切線方程，利用已知條件，求解曲線的切點坐標(biāo)，即可得到的值．
【解答】解：曲線，可得，
在點處切線的斜率為：，
切線方程為：，即．
曲線在點處的切線也是曲線的切線，
設(shè)的切點的橫坐標(biāo)為，可得切線的斜率為：，可得，
代入，可得切點坐標(biāo)為：，，
切點在曲線上，所以，解得．
故答案為：．
【點評】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，切線方程的求法，考查發(fā)現(xiàn)問題解決問題的能力，是中檔題．
20．（2024?白云區(qū)校級模擬）已知函數(shù)，設(shè)曲線在點，處切線的斜率為，2，，若，，均不相等，且，則的最小值為 18 ．
【答案】18．
【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程
【專題】不等式的解法及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；方程思想；數(shù)學(xué)運算；綜合法
【分析】求得的導(dǎo)數(shù)，以及，，，運用基本不等式可得所求最小值．
【解答】解：，即為，
可得的導(dǎo)數(shù)為，
則，
由，可得，
，
，
則
，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取得等號．
故答案為：18．
【點評】本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的斜率，以及解不等式的運用，考查方程思想和運算能力，屬于中檔題．
四．解答題（共5小題）
21．（2024?沙河口區(qū)校級二模）已知函數(shù)．
（1）若，求的極值；
（2）若，，求的取值范圍．
【答案】（1）極小值為，無極大值；
（2）的取值范圍為，．
【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值
【專題】數(shù)學(xué)運算；轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；邏輯推理；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；綜合題
【分析】（1）由題意，將代入函數(shù)解析式中，對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而即可求解；
（2）構(gòu)造函數(shù)，此時問題轉(zhuǎn)化成在上恒成立，對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，分別討論當(dāng)和這兩種情況，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解即可．
【解答】解：（1）已知，函數(shù)定義域為，
當(dāng)時，，
可得，
不妨設(shè)，函數(shù)定義域為
可得，
又（1），
當(dāng)時，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時，，；
當(dāng)時，，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
則當(dāng)時，函數(shù)取得極小值，極小值（1），無極大值；
（2）若，，
不妨設(shè)，函數(shù)定義域為，，
可得，
不妨設(shè)，函數(shù)定義域為，，
可得，
不妨設(shè)，函數(shù)定義域為，，
可得，
所以函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，
此時，
當(dāng)時，，，所以，
當(dāng)，時，，所以，
此時 在，上恒成立，
則函數(shù)在定義域上恒成立，
所以在， 上單調(diào)遞增，
當(dāng)，即時，，
所以函數(shù)單調(diào)遞增，
則恒成立，符合題意；
當(dāng)，即時，
因為，，
所以在區(qū)間上存在一點，使得，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時，函數(shù)取得極小值也是最小值，最小值，不符合題意，
綜上，滿足條件的的取值范圍為，．
【點評】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，考查了邏輯推理、轉(zhuǎn)化思想和運算能力．
22．（2024?黃州區(qū)校級四模）已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時，求在，（1）處的切線方程；
（2）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）．
（2），．
【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程
【專題】數(shù)學(xué)運算；計算題；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；轉(zhuǎn)化思想
【分析】（1）由題意，求出（1），（1），即可得出切線方程；
（2）由函數(shù)在上單調(diào)遞增得，當(dāng)時，，分離參數(shù)得對于恒成立，由導(dǎo)數(shù)求出最值，即可求解．
【解答】解：（1）當(dāng)時，，
，則（1），（1），
所以在，（1）處的切線方程為，即．
（2），
若函數(shù)在上單調(diào)遞增，
則當(dāng)，，即對于恒成立，
令，則，
則函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以（1），故，
即的取值范圍是，．
【點評】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點的切線方程，考查運算求解能力，屬于中檔題．
23．（2024?天津）設(shè)函數(shù)．
（1）求圖像上點，（1）處的切線方程；
（2）若在時恒成立，求的值；
（3）若，，證明．
【答案】（1）；
（2）2；
（3）詳見解答過程．
【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程
【專題】邏輯推理；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算；整體思想
【分析】（1）先對函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可切線斜率，進(jìn)而可求切線方程；
（2）設(shè)，命題等價于對任意，都有，利用特殊值賦值法，即可求解；
（3）結(jié)合重要不等式可先證明對，有，然后結(jié)合，的各種情況進(jìn)行證明即可．
【解答】解：（1）由于，故，
所以（1），（1），
所以所求的切線經(jīng)過，且斜率為1，
故其方程為；
（2）設(shè)，則，從而當(dāng)時，當(dāng)時，
所以在，上遞減，在，上遞增，這就說明（1），
即，且等號成立當(dāng)且僅當(dāng)，
設(shè)，
則．
當(dāng)時，的取值范圍是，
所以命題等價于對任意，都有．
一方面，若對任意，都有，則對，
有，
取，得，故．
再取，得，
所以．
另一方面，若，則對任意都有，滿足條件．
綜合以上兩個方面知．
證明：（3）先證明一個結(jié)論：對，有．
證明：前面已經(jīng)證明不等式，
故，
且，
所以，
即．
由，可知當(dāng)時，，當(dāng)時．
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
不妨設(shè)，下面分三種情況（其中有重合部分）證明本題結(jié)論．
情況一：當(dāng)時，有，結(jié)論成立；
情況二：當(dāng)時，有
對任意的，設(shè)，則
由于單調(diào)遞增，且有，
且當(dāng)時，由可知，
．
所以在上存在零點，再結(jié)合單調(diào)遞增，即知時，時
故在，上遞減，在，上遞增．
①當(dāng)時，有（c）；
②當(dāng)時，由于，故我們可以?。?br>從而當(dāng)時，由，
可得，
再根據(jù)在，上遞減，即知對都有；
綜合①②可知對任意，都有，即．
根據(jù)和的任意性，取，，就得到
所以
情況三：當(dāng)時，根據(jù)情況一和情況二的討論，
可得，，
而根據(jù)的單調(diào)性，知或．
故一定有成立．
綜上，結(jié)論成立．
【點評】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)幾何意義在切削方程求解中的應(yīng)用，還考查了由不等式恒成立求解參數(shù)范圍，及不等式的證明，屬于難題．
24．（2024?貴州模擬）已知函數(shù)．
（1）若函數(shù)有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍；
（2）已知，，，，，（其中且，，成等比數(shù)列）是曲線上三個不同的點，判斷直線與曲線在點處的切線能否平行？請說明理由．
【答案】（1）；（2）不能，詳見解答過程．
【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值
【專題】整體思想；數(shù)學(xué)運算；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
【分析】（1）先對函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系及函數(shù)零點存在條件即可求解；
（2）由已知結(jié)合直線的斜率公式及等比數(shù)列的性質(zhì)可得關(guān)于的方程，結(jié)合等式特點構(gòu)造函數(shù)，對其求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系即可求解．
【解答】解：（1）令，由題設(shè)知方程有兩個實數(shù)根，
因為，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時，函數(shù)取得極小值，
當(dāng)及時，，且，
當(dāng)時，（1）且時．
所以當(dāng)時，與有兩個不同的交點，即有兩個不同的零點．
（2）因為且，，成等比數(shù)列，設(shè)公比為，
則，，（8分）
直線的斜率，
函數(shù)在點處的切線斜率，
假設(shè)直線與函數(shù)在點處的切線平行，則，
整理成，
令，，則，
所以在單調(diào)遞增，所以（1），
所以在時無實數(shù)解，
所以直線與函數(shù)在點處的切線不能平行．
【點評】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系及函數(shù)性質(zhì)在零點存在問題中的應(yīng)用，還考查了等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．
25．（2024?平羅縣校級三模）設(shè)函數(shù)．
（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)函數(shù)在上有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍．（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）
【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；
（2）．
【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值
【專題】綜合法；數(shù)學(xué)運算；轉(zhuǎn)化思想；計算題；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
【分析】（1）根據(jù)題意，求導(dǎo)可得，即可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)題意，由條件可得，構(gòu)造函數(shù)，其中，轉(zhuǎn)化為最值問題，即可求解．
【解答】解：（1）當(dāng)時，，的定義域為，
，
令，則，解得，
令，則，解得．
函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．
（2）令，則．
令，其中，
則．
令，解得，令，解得．
的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，，
（1）．
又，函數(shù)在上有兩個零點，
的取值范圍是．
【點評】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查運算求解能力，屬于中檔題．
考點卡片
1．函數(shù)的奇偶性
【知識點的認(rèn)識】
①如果函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點對稱，且定義域內(nèi)任意一個x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做奇函數(shù)，其圖象特點是關(guān)于（0，0）對稱．②如果函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點對稱，且定義域內(nèi)任意一個x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做偶函數(shù)，其圖象特點是關(guān)于y軸對稱．
【解題方法點撥】
①奇函數(shù)：如果函數(shù)定義域包括原點，那么運用f（0）＝0解相關(guān)的未知量；
②奇函數(shù)：若定義域不包括原點，那么運用f（x）＝﹣f（﹣x）解相關(guān)參數(shù)；
③偶函數(shù)：在定義域內(nèi)一般是用f（x）＝f（﹣x）這個去求解；
④對于奇函數(shù)，定義域關(guān)于原點對稱的部分其單調(diào)性一致，而偶函數(shù)的單調(diào)性相反．
例題：函數(shù)y＝x|x|+px，x∈R是（ ）
A．偶函數(shù) B．奇函數(shù) C．非奇非偶 D．與p有關(guān)
解：由題設(shè)知f（x）的定義域為R，關(guān)于原點對稱．
因為f（﹣x）＝﹣x|﹣x|﹣px＝﹣x|x|﹣px＝﹣f（x），
所以f（x）是奇函數(shù)．
故選B．
【命題方向】
函數(shù)奇偶性的應(yīng)用．
本知識點是高考的高頻率考點，大家要熟悉就函數(shù)的性質(zhì)，最好是結(jié)合其圖象一起分析，確保答題的正確率．
2．抽象函數(shù)的奇偶性
【知識點的認(rèn)識】
抽象函數(shù)是指沒有給出函數(shù)的具體解析式，只給出了一些體現(xiàn)函數(shù)特征的式子的一類函數(shù)．由于抽象函數(shù)表現(xiàn)形式的抽象性，使得這類問題成為函數(shù)內(nèi)容的難點之一．
【解題方法點撥】
①盡可能把抽象函數(shù)與我們數(shù)學(xué)的具體模型聯(lián)系起來，如f（x+y）＝f（x）+f（y），它的原型就是y＝kx；
②可通過賦特殊值法使問題得以解決
例：f（xy）＝f（x）+f（y），求證f（1）＝f（﹣1）＝0
令x＝y(tǒng)＝1，則f（1）＝2f（1）?f（1）＝0
令x＝y(tǒng)＝﹣1，同理可推出f（﹣1）＝0
③既然是函數(shù)，也可以運用相關(guān)的函數(shù)性質(zhì)推斷它的單調(diào)性；
【命題方向】
抽象函數(shù)及其應(yīng)用．
抽象函數(shù)是一個重點，也是一個難點，解題的主要方法也就是我上面提到的這兩種．高考中一般以中檔題和小題為主，要引起重視．
3．函數(shù)恒成立問題
【知識點的認(rèn)識】
函數(shù)恒成立問題是指在定義域或某一限定范圍內(nèi)，函數(shù)滿足某一條件（如恒大于0等），此時，函數(shù)中的參數(shù)成為限制了這一可能性（就是說某個參數(shù)的存在使得在有些情況下無法滿足要求的條件），因此，適當(dāng)?shù)姆蛛x參數(shù)能簡化解題過程．
【解題方法點撥】
﹣分析函數(shù)的定義域和形式，找出使函數(shù)恒成立的條件．
﹣利用恒成立條件，確定函數(shù)的行為．
一般恒成立問題最后都轉(zhuǎn)化為求最值得問題，常用的方法是分離參變量
【命題方向】
題目包括判斷函數(shù)恒成立條件及應(yīng)用題，考查學(xué)生對函數(shù)恒成立問題的理解和應(yīng)用能力．
關(guān)于x的不等式（1+m）x2+mx+m＜x2+1，對x∈R恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是_____．
解：∵（1+m）x2+mx+m＜x2+1，對x∈R恒成立，
∴mx2+mx+m＜1，
∴?x∈R，m＜恒成立，
∵x2+x+1＝（x+）2+≥，
∴0＜≤，
∴m≤0．
4．極限及其運算
【知識點的認(rèn)識】
1．?dāng)?shù)列極限
（1）數(shù)列極限的表示方法：
（2）幾個常用極限：
③對于任意實常數(shù)，
當(dāng)|a|＜1時，an＝0，
當(dāng)|a|＝1時，若a＝1，則an＝1；若a＝﹣1，則an＝（﹣1）n不存在
當(dāng)|a|＞1時，an＝不存在．
（3）數(shù)列極限的四則運算法則：
如果，那么
特別地，如果C是常數(shù)，那么．
（4）數(shù)列極限的應(yīng)用：
求無窮數(shù)列的各項和，特別地，當(dāng)|q|＜1時，無窮等比數(shù)列的各項和為S＝（|q|＜1）．
（化循環(huán)小數(shù)為分?jǐn)?shù)方法同上式）
注：并不是每一個無窮數(shù)列都有極限．＝a
2．函數(shù)極限；
（1）當(dāng)自變量x無限趨近于常數(shù)x0（但不等于x0）時，如果函數(shù)f（x）無限趨進(jìn)于一個常數(shù)a，就是說當(dāng)x趨近于x0時，函數(shù)f（x）的極限為a．記作＝a或當(dāng)x→x0時，f（x）→a．
注：當(dāng)x→x0時，f（x）是否存在極限與f（x）在x0處是否定義無關(guān)，因為x→x0并不要求x＝x0．（當(dāng)然，f（x）在x0是否有定義也與f（x）在x0處是否存在極限無關(guān)．函數(shù)f（x）在x0有定義是存在的既不充分又不必要條件．）
如P（x）＝在x＝1處無定義，但存在，因為在x＝1處左右極限均等于零．
（2）函數(shù)極限的四則運算法則：
如果，那么
特別地，如果C是常數(shù)，那么
．
注：①各個函數(shù)的極限都應(yīng)存在．
②四則運算法則可推廣到任意有限個極限的情況，但不能推廣到無限個情況．
（3）幾個常用極限：
3．函數(shù)的連續(xù)性：
（1）如果函數(shù)f（x），g（x）在某一點x＝x0連續(xù)，那么函數(shù)f（x）±g（x），f（x），g（x），（g（x）≠0）在點 x＝x0處都連續(xù)．
（2）函數(shù)f（x）在點x＝x0處連續(xù)必須滿足三個條件：
①函數(shù)f（x）在點x＝x0處有定義；②存在；③函數(shù)f（x）在點x＝x0處的極限值等于該點的函數(shù)值，即．＝f（x0）．
（3）函數(shù)f（x）在點x＝x0處不連續(xù)（間斷）的判定：
如果函數(shù)f（x）在點x＝x0處有下列三種情況之一時，則稱x0為函數(shù)f（x）的不連續(xù)點．
①f（x）在點x＝x0處沒有定義，即f（x0）不存在；②不存在；③存在，但≠f（x0）．
5．基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
【知識點的認(rèn)識】
1、基本函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)
①C′＝0（C為常數(shù)）
②（xn）′＝nxn﹣1 （n∈R）
③（sinx）′＝csx
④（csx）′＝﹣sinx
⑤（ex）′＝ex
⑥（ax）′＝（ax）*lna（a＞0且a≠1）⑦[lgax）]′＝*（lgae）＝（a＞0且a≠1）⑧[lnx]′＝．
2、和差積商的導(dǎo)數(shù)
①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x）
②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）
③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）
④[]′＝．
3、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
設(shè) y＝u（t），t＝v（x），則 y′（x）＝u′（t）v′（x）＝u′[v（x）]v′（x）
【解題方法點撥】
1．由常數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)及正、余弦函數(shù)經(jīng)加、減、乘運算得到的簡單的函數(shù)均可利用求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo)，而不需要回到導(dǎo)數(shù)的定義去求此類簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．
2．對于函數(shù)求導(dǎo)，一般要遵循先化簡，再求導(dǎo)的基本原則．求導(dǎo)時，不但要重視求導(dǎo)法則的應(yīng)用，而且要特別注意求導(dǎo)法則對求導(dǎo)的制約作用．在實施化簡時，首先要注意化簡的等價性，避免不必要的運算失誤．
【命題方向】
題型一：和差積商的導(dǎo)數(shù)
典例1：已知函數(shù)f（x）＝asinx+bx3+4（a∈R，b∈R），f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，則f（2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f′（﹣2015）＝（ ）
A．0 B．2014 C．2015 D．8
解：f′（x）＝acsx+3bx2，
∴f′（﹣x）＝acs（﹣x）+3b（﹣x）2
∴f′（x）為偶函數(shù)；
f′（2015）﹣f′（﹣2015）＝0
∴f（2014）+f（﹣2014）
＝asin（2014）+b?20143+4+asin（﹣2014）+b（﹣2014）3+4＝8；
∴f（2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f（﹣2015）＝8
故選D．
題型二：復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
典例2：下列式子不正確的是（ ）
A．（3x2+csx）′＝6x﹣sinx B．（lnx﹣2x）′＝ln2
C．（2sin2x）′＝2cs2x D．（）′＝
解：由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則
對于選項A，（3x2+csx）′＝6x﹣sinx成立，故A正確；
對于選項B，成立，故B正確；
對于選項C，（2sin2x）′＝4cs2x≠2cs2x，故C不正確；
對于選項D，成立，故D正確．
故選C．
6．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
【知識點的認(rèn)識】
1、導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系：
（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，則f（x）在（a，b）上是增函數(shù)，f′（x）＞0的解集與定義域的交集的對應(yīng)區(qū)間為增區(qū)間；
（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，則f（x）在（a，b）上是減函數(shù)，f′（x）＜0的解集與定義域的交集的對應(yīng)區(qū)間為減區(qū)間．
2、利用導(dǎo)數(shù)求解多項式函數(shù)單調(diào)性的一般步驟：
（1）確定f（x）的定義域；
（2）計算導(dǎo)數(shù)f′（x）；
（3）求出f′（x）＝0的根；
（4）用f′（x）＝0的根將f（x）的定義域分成若干個區(qū)間，列表考察這若干個區(qū)間內(nèi)f′（x）的符號，進(jìn)而確定f（x）的單調(diào)區(qū)間：f′（x）＞0，則f（x）在對應(yīng)區(qū)間上是增函數(shù)，對應(yīng)區(qū)間為增區(qū)間；f′（x）＜0，則f（x）在對應(yīng)區(qū)間上是減函數(shù)，對應(yīng)區(qū)間為減區(qū)間．
【解題方法點撥】
若在某區(qū)間上有有限個點使f′（x）＝0，在其余的點恒有f′（x）＞0，則f（x）仍為增函數(shù)（減函數(shù)的情形完全類似）．即在區(qū)間內(nèi)f′（x）＞0是f（x）在此區(qū)間上為增函數(shù)的充分條件，而不是必要條件．
【命題方向】
題型一：導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系
典例1：已知函數(shù)f（x）的定義域為R，f（﹣1）＝2，對任意x∈R，f′（x）＞2，則f（x）＞2x+4的解集為（ ）
A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）
解：f（x）＞2x+4，
即f（x）﹣2x﹣4＞0，
設(shè)g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，
則g′（x）＝f′（x）﹣2，
∵對任意x∈R，f′（x）＞2，
∴對任意x∈R，g′（x）＞0，
即函數(shù)g（x）單調(diào)遞增，
∵f（﹣1）＝2，
∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，
則由g（x）＞g（﹣1）＝0得
x＞﹣1，
即f（x）＞2x+4的解集為（﹣1，+∞），
故選：B
題型二：導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的綜合應(yīng)用
典例2：已知函數(shù)f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)y＝f（x）的圖象在點（2，f（2））處的切線的傾斜角為45°，對于任意的t∈[1，2]，函數(shù)在區(qū)間（t，3）上總不是單調(diào)函數(shù)，求m的取值范圍；
（Ⅲ）求證：．
解：（Ⅰ）（2分）
當(dāng)a＞0時，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，1]，減區(qū)間為[1，+∞）；
當(dāng)a＜0時，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[1，+∞），減區(qū)間為（0，1]；
當(dāng)a＝0時，f（x）不是單調(diào)函數(shù)（4分）
（Ⅱ）得a＝﹣2，f（x）＝﹣2lnx+2x﹣3
∴，
∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6分）
∵g（x）在區(qū)間（t，3）上總不是單調(diào)函數(shù)，且g′（0）＝﹣2
∴
由題意知：對于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，
所以有：，∴（10分）
（Ⅲ）令a＝﹣1此時f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，
由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x∈（1，+∞）時f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，
∴l(xiāng)nx＜x﹣1對一切x∈（1，+∞）成立，（12分）
∵n≥2，n∈N*，則有0＜lnn＜n﹣1，
∴
∴
7．利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間
【知識點的認(rèn)識】
1、導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系：
（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，則f（x）在（a，b）上是增函數(shù)，f′（x）＞0的解集與定義域的交集的對應(yīng)區(qū)間為增區(qū)間；
（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，則f（x）在（a，b）上是減函數(shù)，f′（x）＜0的解集與定義域的交集的對應(yīng)區(qū)間為減區(qū)間．
2、利用導(dǎo)數(shù)求解多項式函數(shù)單調(diào)性的一般步驟：
（1）確定f（x）的定義域；
（2）計算導(dǎo)數(shù)f′（x）；
（3）求出f′（x）＝0的根；
（4）用f′（x）＝0的根將f（x）的定義域分成若干個區(qū)間，列表考察這若干個區(qū)間內(nèi)f′（x）的符號，進(jìn)而確定f（x）的單調(diào)區(qū)間：f′（x）＞0，則f（x）在對應(yīng)區(qū)間上是增函數(shù)，對應(yīng)區(qū)間為增區(qū)間；f′（x）＜0，則f（x）在對應(yīng)區(qū)間上是減函數(shù)，對應(yīng)區(qū)間為減區(qū)間．
【解題方法點撥】
若在某區(qū)間上有有限個點使f′（x）＝0，在其余的點恒有f′（x）＞0，則f（x）仍為增函數(shù)（減函數(shù)的情形完全類似）．即在區(qū)間內(nèi)f′（x）＞0是f（x）在此區(qū)間上為增函數(shù)的充分條件，而不是必要條件．
【命題方向】
導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系
典例1：已知函數(shù)f（x）的定義域為R，f（﹣1）＝2，對任意x∈R，f′（x）＞2，則f（x）＞2x+4的解集為（ ）
A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）
解：f（x）＞2x+4，
即f（x）﹣2x﹣4＞0，
設(shè)g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，
則g′（x）＝f′（x）﹣2，
∵對任意x∈R，f′（x）＞2，
∴對任意x∈R，g′（x）＞0，
即函數(shù)g（x）單調(diào)遞增，
∵f（﹣1）＝2，
∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，
則由g（x）＞g（﹣1）＝0得
x＞﹣1，
即f（x）＞2x+4的解集為（﹣1，+∞），
故選：B
8．由函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)或參數(shù)（導(dǎo)數(shù)法）
【知識點的認(rèn)識】
1、導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系：
（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，則f（x）在（a，b）上是增函數(shù)，f′（x）＞0的解集與定義域的交集的對應(yīng)區(qū)間為增區(qū)間；
（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，則f（x）在（a，b）上是減函數(shù)，f′（x）＜0的解集與定義域的交集的對應(yīng)區(qū)間為減區(qū)間．
2、利用導(dǎo)數(shù)求解多項式函數(shù)單調(diào)性的一般步驟：
（1）確定f（x）的定義域；
（2）計算導(dǎo)數(shù)f′（x）；
（3）求出f′（x）＝0的根；
（4）用f′（x）＝0的根將f（x）的定義域分成若干個區(qū)間，列表考察這若干個區(qū)間內(nèi)f′（x）的符號，進(jìn)而確定f（x）的單調(diào)區(qū)間：f′（x）＞0，則f（x）在對應(yīng)區(qū)間上是增函數(shù)，對應(yīng)區(qū)間為增區(qū)間；f′（x）＜0，則f（x）在對應(yīng)區(qū)間上是減函數(shù)，對應(yīng)區(qū)間為減區(qū)間．
【解題方法點撥】
若在某區(qū)間上有有限個點使f′（x）＝0，在其余的點恒有f′（x）＞0，則f（x）仍為增函數(shù)（減函數(shù)的情形完全類似）．即在區(qū)間內(nèi)f′（x）＞0是f（x）在此區(qū)間上為增函數(shù)的充分條件，而不是必要條件．
【命題方向】
導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的綜合應(yīng)用
典例2：已知函數(shù)f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)y＝f（x）的圖象在點（2，f（2））處的切線的傾斜角為45°，對于任意的t∈[1，2]，函數(shù)在區(qū)間（t，3）上總不是單調(diào)函數(shù)，求m的取值范圍；
（Ⅲ）求證：．
解：（Ⅰ）（2分）
當(dāng)a＞0時，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，1]，減區(qū)間為[1，+∞）；
當(dāng)a＜0時，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[1，+∞），減區(qū)間為（0，1]；
當(dāng)a＝0時，f（x）不是單調(diào)函數(shù)（4分）
（Ⅱ）得a＝﹣2，f（x）＝﹣2lnx+2x﹣3
∴，
∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6分）
∵g（x）在區(qū)間（t，3）上總不是單調(diào)函數(shù)，且g′（0）＝﹣2
∴
由題意知：對于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，
所以有：，∴（10分）
（Ⅲ）令a＝﹣1此時f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，
由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x∈（1，+∞）時f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，
∴l(xiāng)nx＜x﹣1對一切x∈（1，+∞）成立，（12分）
∵n≥2，n∈N*，則有0＜lnn＜n﹣1，
∴
∴
9．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值
【知識點的認(rèn)識】
1、極值的定義：
（1）極大值：一般地，設(shè)函數(shù)f（x）在點x0附近有定義，如果對x0附近的所有的點，都有f（x）＜f（x0），就說f（x0）是函數(shù)f（x）的一個極大值，記作y極大值＝f（x0），x0是極大值點；
（2）極小值：一般地，設(shè)函數(shù)f（x）在x0附近有定義，如果對x0附近的所有的點，都有f（x）＞f（x0），就說f（x0）是函數(shù)f（x）的一個極小值，記作y極小值＝f（x0），x0是極小值點．
2、極值的性質(zhì)：
（1）極值是一個局部概念，由定義知道，極值只是某個點的函數(shù)值與它附近點的函數(shù)值比較是最大或最小，并不意味著它在函數(shù)的整個的定義域內(nèi)最大或最??；
（2）函數(shù)的極值不是唯一的，即一個函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)極大值或極小值可以不止一個；
（3）極大值與極小值之間無確定的大小關(guān)系，即一個函數(shù)的極大值未必大于極小值；
（4）函數(shù)的極值點一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部，區(qū)間的端點不能成為極值點，而使函數(shù)取得最大值、最小值的點可能在區(qū)間的內(nèi)部，也可能在區(qū)間的端點．
3、判別f（x0）是極大、極小值的方法：
若x0滿足f′（x0）＝0，且在x0的兩側(cè)f（x）的導(dǎo)數(shù)異號，則x0是f（x）的極值點，f（x0）是極值，并且如果f′（x）在x0兩側(cè)滿足“左正右負(fù)”，則x0是f（x）的極大值點，f（x0）是極大值；如果f′（x）在x0兩側(cè)滿足“左負(fù)右正”，則x0是f（x）的極小值點，f（x0）是極小值．
4、求函數(shù)f（x）的極值的步驟：
（1）確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導(dǎo)數(shù)f′（x）；
（2）求方程f′（x）＝0的根；
（3）用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0的點，順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干小開區(qū)間，并列成表格，檢查f′（x）在方程根左右的值的符號，如果左正右負(fù)，那么f（x）在這個根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么f（x）在這個根處取得極小值；如果左右不改變符號即都為正或都為負(fù)，則f（x）在這個根處無極值．
【解題方法點撥】
在理解極值概念時要注意以下幾點：
（1）按定義，極值點x0是區(qū)間[a，b]內(nèi)部的點，不會是端點a，b（因為在端點不可導(dǎo)）．
（2）極值是一個局部性概念，只要在一個小領(lǐng)域內(nèi)成立即可．要注意極值必須在區(qū)間內(nèi)的連續(xù)點取得．一個函數(shù)在定義域內(nèi)可以有許多個極小值和極大值，在某一點的極小值也可能大于另一個點的極大值，也就是說極大值與極小值沒有必然的大小關(guān)系，即極大值不一定比極小值大，極小值不一定比極大值?。?br>（3）若f（x）在（a，b）內(nèi)有極值，那么f（x）在（a，b）內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù)，即在區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)沒有極值．
（4）若函數(shù)f（x）在[a，b]上有極值且連續(xù)，則它的極值點的分布是有規(guī)律的，相鄰兩個極大值點之間必有一個極小值點，同樣相鄰兩個極小值點之間必有一個極大值點，一般地，當(dāng)函數(shù)f（x）在[a，b]上連續(xù)且有有限個極值點時，函數(shù)f（x）在[a，b]內(nèi)的極大值點、極小值點是交替出現(xiàn)的，
（5）可導(dǎo)函數(shù)的極值點必須是導(dǎo)數(shù)為0的點，但導(dǎo)數(shù)為0的點不一定是極值點，不可導(dǎo)的點也可能是極值點，也可能不是極值點．
10．由函數(shù)的極值求解函數(shù)或參數(shù)
【知識點的認(rèn)識】
1、極值的性質(zhì)：
（1）極值是一個局部概念，由定義知道，極值只是某個點的函數(shù)值與它附近點的函數(shù)值比較是最大或最小，并不意味著它在函數(shù)的整個的定義域內(nèi)最大或最小；
（2）函數(shù)的極值不是唯一的，即一個函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)極大值或極小值可以不止一個；
（3）極大值與極小值之間無確定的大小關(guān)系，即一個函數(shù)的極大值未必大于極小值；
（4）函數(shù)的極值點一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部，區(qū)間的端點不能成為極值點，而使函數(shù)取得最大值、最小值的點可能在區(qū)間的內(nèi)部，也可能在區(qū)間的端點．
2、判別f（x0）是極大、極小值的方法：
若x0滿足f′（x0）＝0，且在x0的兩側(cè)f（x）的導(dǎo)數(shù)異號，則x0是f（x）的極值點，f（x0）是極值，并且如果f′（x）在x0兩側(cè)滿足“左正右負(fù)”，則x0是f（x）的極大值點，f（x0）是極大值；如果f′（x）在x0兩側(cè)滿足“左負(fù)右正”，則x0是f（x）的極小值點，f（x0）是極小值．
【解題方法點撥】
﹣極值分析：利用極值點和極值性質(zhì)求解函數(shù)參數(shù)．
﹣參數(shù)求解：結(jié)合極值點的坐標(biāo)，利用極值條件求解函數(shù)的參數(shù)．
﹣應(yīng)用：將極值與實際問題結(jié)合，解決涉及函數(shù)參數(shù)的復(fù)雜問題．
【命題方向】
常見題型包括通過極值求解函數(shù)的參數(shù)或特定值，結(jié)合具體函數(shù)進(jìn)行分析．
已知函數(shù)在區(qū)間（m，m+3）上存在極大值與極小值，則實數(shù)m的取值范圍是_____．
解：，
則f'（x）＝x2+2x＝x（x+2），令f（x）＝0，可得x＝﹣2或x＝0，
x∈（﹣∞，﹣2）時，f′（x）＞0，f（x）遞增，
x∈（﹣2，0）時，f′（x）＜0，f（x）遞減，
x∈（0，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）遞增，
故f（x）的極大值點是x＝﹣2，極小值點是x＝0．
由于函數(shù)f（x）在區(qū)間 （m，m+3）上存在極大值與極小值，
∴，解得：﹣3＜m＜﹣2．
故答案為：（﹣3，﹣2）．
11．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值
【知識點的認(rèn)識】
1、函數(shù)的最大值和最小值
觀察圖中一個定義在閉區(qū)間[a，b]上的函數(shù)f（x）的圖象．圖中f（x1）與f（x3）是極小值，f（x2）是極大值．函數(shù)f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．
一般地，在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)f（x）在[a，b]上必有最大值與最小值．
說明：（1）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)連續(xù)的函數(shù)f（x）不一定有最大值與最小值．如函數(shù)f（x）＝在（0，+∞）內(nèi)連續(xù)，但沒有最大值與最小值；
（2）函數(shù)的最值是比較整個定義域內(nèi)的函數(shù)值得出的；函數(shù)的極值是比較極值點附近函數(shù)值得出的．
（3）函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，是f（x）在閉區(qū)間[a，b]上有最大值與最小值的充分條件而非必要條件．
（4）函數(shù)在其定義區(qū)間上的最大值、最小值最多各有一個，而函數(shù)的極值可能不止一個，也可能沒有一個
2、用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值步驟：
由上面函數(shù)f（x）的圖象可以看出，只要把連續(xù)函數(shù)所有的極值與定義區(qū)間端點的函數(shù)值進(jìn)行比較，就可以得出函數(shù)的最值了．
設(shè)函數(shù)f（x）在[a，b]上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，則求f（x）在[a，b]上的最大值與最小值的步驟如下：
（1）求f（x）在（a，b）內(nèi)的極值；
（2）將f（x）的各極值與f（a）、f（b）比較得出函數(shù)f（x）在[a，b]上的最值．
【解題方法點撥】
在理解極值概念時要注意以下幾點：
（1）按定義，極值點x0是區(qū)間[a，b]內(nèi)部的點，不會是端點a，b（因為在端點不可導(dǎo)）．
（2）極值是一個局部性概念，只要在一個小領(lǐng)域內(nèi)成立即可．要注意極值必須在區(qū)間內(nèi)的連續(xù)點取得．一個函數(shù)在定義域內(nèi)可以有許多個極小值和極大值，在某一點的極小值也可能大于另一個點的極大值，也就是說極大值與極小值沒有必然的大小關(guān)系，即極大值不一定比極小值大，極小值不一定比極大值?。?br>（3）若f（x）在（a，b）內(nèi)有極值，那么f（x）在（a，b）內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù)，即在區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)沒有極值．
（4）若函數(shù)f（x）在[a，b]上有極值且連續(xù)，則它的極值點的分布是有規(guī)律的，相鄰兩個極大值點之間必有一個極小值點，同樣相鄰兩個極小值點之間必有一個極大值點，一般地，當(dāng)函數(shù)f（x）在[a，b]上連續(xù)且有有限個極值點時，函數(shù)f（x）在[a，b]內(nèi)的極大值點、極小值點是交替出現(xiàn)的，
（5）可導(dǎo)函數(shù)的極值點必須是導(dǎo)數(shù)為0的點，但導(dǎo)數(shù)為0的點不一定是極值點，不可導(dǎo)的點也可能是極值點，也可能不是極值點．
12．利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程
【知識點的認(rèn)識】
利用導(dǎo)數(shù)來求曲線某點的切線方程是高考中的一個?？键c，它既可以考查學(xué)生求導(dǎo)能力，也考察了學(xué)生對導(dǎo)數(shù)意義的理解，還考察直線方程的求法，因為包含了幾個比較重要的基本點，所以在高考出題時備受青睞．我們在解答這類題的時候關(guān)鍵找好兩點，第一找到切線的斜率；第二告訴的這點其實也就是直線上的一個點，在知道斜率的情況下可以用點斜式把直線方程求出來．
【解題方法點撥】
例：已知函數(shù)y＝xlnx，求這個函數(shù)的圖象在點x＝1處的切線方程．
解：k＝y(tǒng)'|x＝1＝ln1+1＝1
又當(dāng)x＝1時，y＝0，所以切點為（1，0）
∴切線方程為y﹣0＝1×（x﹣1），
即y＝x﹣1．
我們通過這個例題發(fā)現(xiàn)，第一步確定切點；第二步求斜率，即求曲線上該點的導(dǎo)數(shù)；第三步利用點斜式求出直線方程．這種題的原則基本上就這樣，希望大家靈活應(yīng)用，認(rèn)真總結(jié)．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2024/11/4 19:24:43；用戶：組卷36；郵箱：zyb036@xyh.cm；學(xué)號：41418999

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