2025年高考數(shù)學(xué)解密匯編壓軸訓(xùn)練2（Word版附解析）

這是一份2025年高考數(shù)學(xué)解密匯編壓軸訓(xùn)練2（Word版附解析），共46頁。試卷主要包含了已知命題，，命題，，則，已知，，將平衡美、對稱美體現(xiàn)的淋漓盡致等內(nèi)容，歡迎下載使用。
1．（2024?回憶版）已知命題，，命題，，則
A．和都是真命題B．和都是真命題
C．和都是真命題D．和都是真命題
2．（2024?浙江模擬）已知，．設(shè)甲：，乙：，則
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件
B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件
D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
3．（2024?寧波模擬）已知是公比不為1的等比數(shù)列的前項(xiàng)和，則“，，成等差數(shù)列”是“存在不相等的正整數(shù)，，使得，，成等差數(shù)列”的
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
4．（2024?雅安模擬）直線與曲線相切的一個(gè)充分不必要條件為
A．B．C．D．
5．（2024?蘭山區(qū)校級模擬）如圖，是邊長為6的等邊三角形，點(diǎn)在所在平面外，平面平面，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)，分別在棱，上，且，，．現(xiàn)給出下列四個(gè)結(jié)論：
①平面；
②是定值；
③三棱錐體積的最大值是；
④若三棱錐的體積是，則該三棱錐外接球的表面積是．
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是
A．1B．2C．3D．4
6．（2024?涼山州模擬）已知命題“”是假命題，則的取值范圍為
A．，B．C．D．，
7．（2024?福建模擬）宋代理學(xué)家周敦頤的《太極圖》和《太極圖說》是象數(shù)和義理結(jié)合的表達(dá)．《朱子語類》卷七五：“太極只是一個(gè)混淪底道理，里面包含陰陽、剛?cè)帷⑵媾?，無所不有”．太極圖（如下圖）將平衡美、對稱美體現(xiàn)的淋漓盡致．定義：對于函數(shù)，若存在圓，使得的圖象能將圓的周長和面積同時(shí)平分，則稱是圓的太極函數(shù)．下列說法正確的是
①對于任意一個(gè)圓，其太極函數(shù)有無數(shù)個(gè)
②是的太極函數(shù)
③太極函數(shù)的圖象必是中心對稱圖形
④存在一個(gè)圓，是它的太極函數(shù)
A．①④B．③④C．①③D．②③
8．（2024?廣東模擬）已知函數(shù)，的定義域?yàn)?，則“，為周期函數(shù)”是“為周期函數(shù)”的
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
9．（2024?亭湖區(qū)校級一模）已知數(shù)列為等差數(shù)列，前項(xiàng)和為，則“”是“數(shù)列為單增數(shù)列”的
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
10．（2023?涪城區(qū)校級模擬）若“，，使成立”是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
A．，B．，C．，D．，
二．多選題（共5小題）
11．（2024?山東模擬）如圖，在棱長為1的正方體中，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則下列命題正確的有
A．直線和平面所成的角為定值
B．三棱錐的體積為定值
C．異面直線和所成的角為定值
D．直線和平面平行
12．（2024?重慶模擬）命題“存在，使得”為真命題的一個(gè)充分不必要條件是
A．B．C．D．
13．（2024?芝罘區(qū)校級模擬）已知函數(shù)，則以下結(jié)論正確的是
A．在上單調(diào)遞增
B．
C．方程有實(shí)數(shù)解
D．存在實(shí)數(shù)，使得方程有4個(gè)實(shí)數(shù)解
14．（2024?李滄區(qū)校級模擬）如圖，在正方體中，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則
A．直線平面
B．三棱錐的體積為定值
C．異面直線與所成角的取值范圍是，
D．直線與平面所成角的正弦值的最大值為
15．（2024?長春模擬）設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，并且滿足條件，，．則下列結(jié)論正確的是
A．B．
C．的最大值為D．的最大值為
三．填空題（共8小題）
16．（2024?射洪市校級模擬），是兩個(gè)平面，，是兩條直線，有下列四個(gè)命題：
（1）如果，，，那么．
（2）如果，，那么．
（3）如果，，那么．
（4）如果，，那么與所成的角和與所成的角相等．
其中正確的命題有 ．（填寫所有正確命題的編號）
17．（2024?蘭山區(qū)校級模擬）已知正四棱柱的底面邊長，側(cè)棱長，它的外接球的球心為，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是球上的任意一點(diǎn)，有以下命題：
①的長的最大值為9；
②三棱錐的體積的最大值是；
③存在過點(diǎn)的平面，截球的截面面積為；
④三棱錐的體積的最大值為20；
⑤過點(diǎn)的平面截球所得的截面面積最大時(shí)，垂直于該截面．
其中是真命題的序號是 ．
18．（2024?延慶區(qū)一模）已知函數(shù)給出下列四個(gè)結(jié)論：
①存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)的最小值為0
②存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)的最小值為
③存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)恰有2個(gè)零點(diǎn)
④存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)恰有4個(gè)零點(diǎn)
其中所有正確結(jié)論的序號是 ．
19．（2023?北京模擬）已知函數(shù)，，給出下列結(jié)論：
①函數(shù)的值域?yàn)椋?br>②函數(shù)在，上是增函數(shù)；
③對任意，方程在，內(nèi)恒有解；
④若存在，，，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．
其中所有正確結(jié)論的序號是 ．
20．（2023?石景山區(qū)一模）項(xiàng)數(shù)為，的有限數(shù)列的各項(xiàng)均不小于的整數(shù)，滿足，其中．給出下列四個(gè)結(jié)論：
①若，則；
②若，則滿足條件的數(shù)列有4個(gè)；
③存在的數(shù)列；
④所有滿足條件的數(shù)列中，首項(xiàng)相同．
其中所有正確結(jié)論的序號是 ．
21．（2023?涪城區(qū)校級模擬）如圖，在正方體中，，為棱的中點(diǎn)，是正方形內(nèi)部（含邊界）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且平面．給出下列四個(gè)結(jié)論：
①動(dòng)點(diǎn)的軌跡是一段圓??；
②存在符合條件的點(diǎn)，使得；
③三棱錐的體積的最大值為；
④設(shè)直線與平面所成角為，則的取值范圍是．
其中所有正確結(jié)論的序號是 ．
22．（2023?涪城區(qū)校級模擬）已知函數(shù)，．給出下列三個(gè)結(jié)論：
①是偶函數(shù)；
②的值域是，；
③在區(qū)間，上是減函數(shù)．
其中，所有正確結(jié)論的序號是 ．
23．（2023?豐臺區(qū)校級三模）已知在數(shù)列中，，，其前項(xiàng)和為．給出下列四個(gè)結(jié)論：
①時(shí)，；
②；
③當(dāng)時(shí)，數(shù)列是遞增數(shù)列；
④對任意，存在，使得數(shù)列成等比數(shù)列．
其中所有正確結(jié)論的序號是 ．
四．解答題（共2小題）
24．（2023?酉陽縣校級模擬）命題：任意，成立；命題：存在，成立．
（1）若命題為假命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）若命題和有且只有一個(gè)為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
25．（2022?黃浦區(qū)模擬）有以下真命題：已知等差數(shù)列，公差為，設(shè)，，，是數(shù)列中的任意個(gè)項(xiàng)，若，，、①，則有②．
（1）當(dāng)，時(shí)，試寫出與上述命題中的①，②兩式相對應(yīng)的等式；
（2）若為等差數(shù)列，，且，求的通項(xiàng)公式；
（3）試將上述真命題推廣到各項(xiàng)為正實(shí)數(shù)的等比數(shù)列中，寫出相應(yīng)的真命題，并加以證明．
2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)壓軸訓(xùn)練2
參考答案與試題解析
一．選擇題（共10小題）
1．（2024?回憶版）已知命題，，命題，，則
A．和都是真命題B．和都是真命題
C．和都是真命題D．和都是真命題
【答案】
【考點(diǎn)】復(fù)合命題及其真假；全稱量詞命題的否定
【專題】計(jì)算題；簡易邏輯；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法
【分析】判斷命題的真假，命題的否定的真假，即可得到選項(xiàng)．
【解答】解：命題：，，時(shí)，不成立，所以命題：是假命題；則是真命題．
命題，，時(shí)成立，所以命題是真命題，是假命題；
所以和都是真命題．
故選：．
【點(diǎn)評】本題考查命題的真假的判斷，命題的否定命題的真假的判斷，是基礎(chǔ)題．
2．（2024?浙江模擬）已知，．設(shè)甲：，乙：，則
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件
B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件
D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
【答案】
【考點(diǎn)】充分條件與必要條件
【專題】綜合法；簡易邏輯；整體思想；綜合題；邏輯推理
【分析】利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)以及充分和必要條件等知識確定正確答案．
【解答】解：依題意，，，
對于甲：，即，
設(shè)，
所以在上單調(diào)遞增，故．
對于乙：，兩邊取以為底的對數(shù)得，，
由于，，所以，，則，
設(shè)，
所以在區(qū)間上，單調(diào)遞增，
在區(qū)間上，單調(diào)遞減，
所以由，即（a）（b），若，，或，，，則，若，不在的同一單調(diào)區(qū)間，則，
所以甲是乙的充分條件但不是必要條件．
故選：．
【點(diǎn)評】本題主要考查充分條件和必要條件，屬于中檔題．
3．（2024?寧波模擬）已知是公比不為1的等比數(shù)列的前項(xiàng)和，則“，，成等差數(shù)列”是“存在不相等的正整數(shù)，，使得，，成等差數(shù)列”的
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】
【考點(diǎn)】等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合；等比數(shù)列的性質(zhì)；等差數(shù)列的性質(zhì)；充分條件與必要條件
【專題】整體思想；等差數(shù)列與等比數(shù)列；數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法；簡易邏輯
【分析】由已知結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，等差數(shù)列的性質(zhì)分別檢驗(yàn)充分必要性即可判斷．
【解答】解：對于公比不為1的等比數(shù)列，
若，，成等差數(shù)列，則，即，
整理得，結(jié)合得，
若存在不相等的正整數(shù)，，使得，，成等差數(shù)列，則，
不妨設(shè)，則，即，
所以，
當(dāng)，時(shí)，，，
所以，，成等差數(shù)列時(shí)，存在不相等的正整數(shù)，，使得，，成等差數(shù)列，
但，，成等差數(shù)列時(shí)，成立，但不一定成立，
故“，，成等差數(shù)列”是“存在不相等的正整數(shù)，，使得，，成等差數(shù)列”的充分不必要條件．
故選：．
【點(diǎn)評】本題以充分必要條件為載體，主要考查了等比數(shù)列的求和公式，等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．
4．（2024?雅安模擬）直線與曲線相切的一個(gè)充分不必要條件為
A．B．C．D．
【答案】
【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；充分條件與必要條件
【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；計(jì)算題；整體思想；綜合法；簡易邏輯
【分析】設(shè)出切點(diǎn)，由直線和曲線相切得的表達(dá)式，對比選項(xiàng)即可求解．
【解答】解：由題意設(shè)，則，
設(shè)直線與曲線相切的切點(diǎn)為，，
則，所以，
所以，，，
所以，．
對比選項(xiàng)可知直線與曲線相切的一個(gè)充分不必要條件為．
故選：．
【點(diǎn)評】本題主要考查充分條件和必要條件，屬于中檔題．
5．（2024?蘭山區(qū)校級模擬）如圖，是邊長為6的等邊三角形，點(diǎn)在所在平面外，平面平面，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)，分別在棱，上，且，，．現(xiàn)給出下列四個(gè)結(jié)論：
①平面；
②是定值；
③三棱錐體積的最大值是；
④若三棱錐的體積是，則該三棱錐外接球的表面積是．
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是
A．1B．2C．3D．4
【答案】
【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用
【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算
【分析】取的中點(diǎn)，連接，證明，進(jìn)一步證明，可得，再由面面垂直的性質(zhì)可得平面判斷①正確；分別證明，，結(jié)合可得，由勾股定理求為定值，即可判斷②正確；三棱錐的高為定值，求出的面積最大值，即可求得三棱錐的體積的最大值判斷③；取的中心為，過點(diǎn)作平面的垂線，垂足為，設(shè)三棱錐的外接球的球心為，則在垂線上，求解三角形得到三棱錐的外接球的半徑，進(jìn)一步求出外接球的表面積判斷④．
【解答】解：對于①，取的中點(diǎn)，連接，
是邊長為6的等邊三角形，，
，，
又，，則，
平面平面，平面平面，
平面，故①正確；
對于②，連接、，平面，平面，
，
，，
又，，，，
則為定值，故②正確；
對于③，三棱錐的高，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，三棱錐的體積最大，
當(dāng)時(shí)，面積最大，
三棱錐的體積的最大值為：
，故③正確；
對于④，取的中心為，則，過點(diǎn)作平面的垂線，垂足為，
設(shè)三棱錐的外接球的球心為，則在垂線上，設(shè)，外接球的半徑為，
則，過點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)，
則，，
則在中，，
在中，，解得，
．
三棱錐的外接球的表面積為，故④正確．
正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是4個(gè)．
故選：．
【點(diǎn)評】本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查空間中點(diǎn)、線、面間的位置關(guān)系，考查多面體外接球表面積的求法，考查空間想象能力與思維能力，考查運(yùn)算求解能力，屬難題．
6．（2024?涼山州模擬）已知命題“”是假命題，則的取值范圍為
A．，B．C．D．，
【答案】
【考點(diǎn)】全稱量詞命題真假的應(yīng)用
【專題】簡易邏輯；綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；三角函數(shù)的求值；整體思想
【分析】，是真命題，然后結(jié)合存在性問題與最值關(guān)系的轉(zhuǎn)化即可求解．
【解答】解：因?yàn)槊}“”是假命題，
所以，是真命題，
即，是真命題，
整理得有解，
所以，
所以，即．
故選：．
【點(diǎn)評】本題主要考查了含有量詞的命題真假關(guān)系的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔題．
7．（2024?福建模擬）宋代理學(xué)家周敦頤的《太極圖》和《太極圖說》是象數(shù)和義理結(jié)合的表達(dá)．《朱子語類》卷七五：“太極只是一個(gè)混淪底道理，里面包含陰陽、剛?cè)帷⑵媾?，無所不有”．太極圖（如下圖）將平衡美、對稱美體現(xiàn)的淋漓盡致．定義：對于函數(shù)，若存在圓，使得的圖象能將圓的周長和面積同時(shí)平分，則稱是圓的太極函數(shù)．下列說法正確的是
①對于任意一個(gè)圓，其太極函數(shù)有無數(shù)個(gè)
②是的太極函數(shù)
③太極函數(shù)的圖象必是中心對稱圖形
④存在一個(gè)圓，是它的太極函數(shù)
A．①④B．③④C．①③D．②③
【答案】
【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用
【專題】簡易邏輯；數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法
【分析】根據(jù)“太極函數(shù)”、函數(shù)的對稱性、對數(shù)運(yùn)算等知識對選項(xiàng)4個(gè)說法進(jìn)行分析，由此確定正確答案．
【解答】解：對于①，過圓心的直線都可以將圓的周長和面積平分，
所以對于任意一個(gè)圓，太極函數(shù)有無數(shù)個(gè)，故①正確；
對于②，，，
所以關(guān)于軸對稱，不是太極函數(shù)，故②錯(cuò)誤；
對于③，中心對稱圖形必定是太極函數(shù)，對稱點(diǎn)即為圓心，
但太極函數(shù)只需平分圓的周長和面積，不一定是中心對稱圖形，故③錯(cuò)誤；
對于④，曲線存在對稱中心，
所以必是某圓的太極函數(shù)，故④正確．
故選：．
【點(diǎn)評】本題主要考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．
8．（2024?廣東模擬）已知函數(shù)，的定義域?yàn)?，則“，為周期函數(shù)”是“為周期函數(shù)”的
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】
【考點(diǎn)】函數(shù)的周期性；充分條件與必要條件
【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；定義法；函數(shù)思想；簡易邏輯
【分析】根據(jù)通過反例和周期的性質(zhì)判斷即可．
【解答】解：兩個(gè)周期函數(shù)之和是否為周期函數(shù)，取決于兩個(gè)函數(shù)的周期的比是否為有理數(shù)，若為有理數(shù)，則有周期，若不為有理數(shù)，則無周期．
的周期為，的周期為2，則當(dāng)時(shí)，只有周期的整數(shù)倍才是函數(shù)的周期，則不是充分條件；
若，，
則為周期函數(shù)，但，為周期函數(shù)不正確，故不是必要條件；
因此為不充分不必要條件．
故選：．
【點(diǎn)評】本題考查充分必要條件的應(yīng)用，屬于中檔題．
9．（2024?亭湖區(qū)校級一模）已知數(shù)列為等差數(shù)列，前項(xiàng)和為，則“”是“數(shù)列為單增數(shù)列”的
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】
【考點(diǎn)】充分條件與必要條件；等差數(shù)列的性質(zhì)
【專題】綜合法；邏輯推理；等差數(shù)列與等比數(shù)列；計(jì)算題；整體思想
【分析】先說明充分性，由得到為單調(diào)遞增數(shù)列，設(shè)公差為，表達(dá)出，結(jié)合對稱軸得到時(shí)，此時(shí)先增后減，從而充分性不成立；
再舉出反例得到必要性不成立．
【解答】解：若，故，即，
故為單調(diào)遞增數(shù)列，設(shè)公差為，
此時(shí)，，，
令，對稱軸為，當(dāng)時(shí)，此時(shí)對稱軸，
此時(shí)先增后減，
所以數(shù)列不是單調(diào)數(shù)列，
充分性不成立，
若數(shù)列為單增數(shù)列，設(shè)等差數(shù)列公差為，
若，不妨設(shè)，此時(shí)，滿足數(shù)列為單增數(shù)列，
此時(shí)，，，，故必要性不成立，
故“”是“數(shù)列為單增數(shù)列”的既不充分也不必要條件．
故選：．
【點(diǎn)評】本題主要考查等差數(shù)列及性質(zhì)，充分條件和必要條件，屬于中檔題．
10．（2023?涪城區(qū)校級模擬）若“，，使成立”是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
A．，B．，C．，D．，
【考點(diǎn)】：存在量詞和特稱命題
【專題】38：對應(yīng)思想；：轉(zhuǎn)化法；：簡易邏輯
【分析】若“，，使得成立”是假命題，即“，，使得成立”是假命題，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)可得實(shí)數(shù)的取值范圍．
【解答】解：若“，，使得成立”是假命題，
即“，，使得成立”是假命題，
故，，恒成立，
令，，，
，
故在，遞增，
（1），
，
故選：．
【點(diǎn)評】本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了特稱命題，函數(shù)恒成立問題，難度中檔．
二．多選題（共5小題）
11．（2024?山東模擬）如圖，在棱長為1的正方體中，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則下列命題正確的有
A．直線和平面所成的角為定值
B．三棱錐的體積為定值
C．異面直線和所成的角為定值
D．直線和平面平行
【答案】
【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用；異面直線及其所成的角；直線與平面所成的角
【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；空間位置關(guān)系與距離；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算
【分析】直接利用正方體的性質(zhì)，幾何體的體積公式，線面平行的判定和性質(zhì)，異面直線的夾角，判定、、、的結(jié)論．
【解答】解：如圖所示：
對于，由線面所成角的定義，令與的交點(diǎn)為，可得即為直線和平面所成的角，當(dāng)移動(dòng)時(shí)是變化的，故錯(cuò)誤．
對于，三棱錐的體積等于三棱錐的體積，而大小一定，
，而平面，
點(diǎn)到平面的距離即為點(diǎn)到該平面的距離，
三棱錐的體積為定值，故正確；
對于，在棱長為1的正方體中，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，
平面，平面，
，故這兩個(gè)異面直線所成的角為定值，故正確；
對于，直線和平面平行，
直線和平面平行，故正確．
故選：．
【點(diǎn)評】本題考查的知識要點(diǎn)：正方體的性質(zhì)，幾何體的體積公式，線面平行的判定和性質(zhì)，異面直線的夾角，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題．
12．（2024?重慶模擬）命題“存在，使得”為真命題的一個(gè)充分不必要條件是
A．B．C．D．
【答案】
【考點(diǎn)】充分條件與必要條件
【專題】簡易邏輯；綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想
【分析】轉(zhuǎn)化為，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得；進(jìn)而求解結(jié)論．
【解答】解：存在，使得，即，
即時(shí)，的最小值為，
故；
所以命題“存在，使得”為真命題的一個(gè)充分不必要條件是：的真子集，
結(jié)合選項(xiàng)可得，符合條件的答案為：．
故選：．
【點(diǎn)評】本題考查了不等式的性質(zhì)、充要條件的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．
13．（2024?芝罘區(qū)校級模擬）已知函數(shù)，則以下結(jié)論正確的是
A．在上單調(diào)遞增
B．
C．方程有實(shí)數(shù)解
D．存在實(shí)數(shù)，使得方程有4個(gè)實(shí)數(shù)解
【考點(diǎn)】：命題的真假判斷與應(yīng)用
【專題】35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；53：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；65：數(shù)學(xué)運(yùn)算
【分析】求得的導(dǎo)數(shù)，可得單調(diào)區(qū)間、極值和最值，即可判斷，，；討論，時(shí)，，設(shè)，求得導(dǎo)數(shù)，單調(diào)性和極值，結(jié)合圖象可判斷．
【解答】解：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，
當(dāng)時(shí)，，遞增；當(dāng)時(shí)，，遞減，
可得在處取得極小值，且為最小值．故錯(cuò)誤；
由．可得有實(shí)數(shù)解，故正確；
由，，而，，則，
，即有，由在遞增，可得，故正確；
，即，顯然為原方程的一個(gè)解；
時(shí)，，設(shè)，導(dǎo)數(shù)為，
可得時(shí)，，遞減，或時(shí)，，遞增，
即有在處取得極小值0，在處取得極大值，作出的圖象如右：
當(dāng)，與的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，即，有三個(gè)不等實(shí)根，
綜上可得存在實(shí)數(shù)，使得方程有4個(gè)實(shí)數(shù)解，故正確．
故選：．
【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)性和極值、最值，考查函數(shù)和方程的轉(zhuǎn)化思想，以及數(shù)形結(jié)合思想，考查化簡運(yùn)算能力，屬于中檔題．
14．（2024?李滄區(qū)校級模擬）如圖，在正方體中，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則
A．直線平面
B．三棱錐的體積為定值
C．異面直線與所成角的取值范圍是，
D．直線與平面所成角的正弦值的最大值為
【答案】
【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用
【專題】計(jì)算題；數(shù)形結(jié)合；轉(zhuǎn)化法；立體幾何；邏輯推理
【分析】在中，推導(dǎo)出，，從而直線平面；在中，由平面，得到到平面的距離為定值，再由△的面積是定值，從而三棱錐的體積為定值；在中，異面直線與所成角的取值范圍是，；在中，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線與平面所成角的正弦值的最大值為．
【解答】解：在中，，，，
平面，，同理，，
，直線平面，故正確；
在中，，平面，平面，
平面，
點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，到平面的距離為定值，
又△的面積是定值，三棱錐的體積為定值，故正確；
在中，異面直線與所成角的取值范圍是，，故錯(cuò)誤；
在中，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)正方體中棱長為1，，1，，
則，0，，，0，，，1，，，0，，，1，，，0，，
設(shè)平面的法向量，，，
則，取，得，1，，
直線與平面所成角的正弦值為：
，
當(dāng)時(shí)，直線與平面所成角的正弦值的最大值為，故正確．
故選：．
【點(diǎn)評】本題考查命題真假的判斷，空間圖形中直線與直線、平面的位置關(guān)系，異面直線的判斷，基本知識與定理的靈活運(yùn)用，屬于中檔題．
15．（2024?長春模擬）設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，并且滿足條件，，．則下列結(jié)論正確的是
A．B．
C．的最大值為D．的最大值為
【答案】
【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用
【專題】綜合法；綜合題；轉(zhuǎn)化思想；邏輯推理；等差數(shù)列與等比數(shù)列
【分析】由已知結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)判斷，得到正確，再由判斷正確，構(gòu)造數(shù)列，可知該數(shù)列是遞減數(shù)列，從第8項(xiàng)開始小于零，故前7項(xiàng)和最大，即的最大值為，故正確；由，，可知數(shù)列各項(xiàng)均為正的，沒有最大值，判斷錯(cuò)誤．
【解答】解：等比數(shù)列，公比為，
由，，得，
由，得，，若不然，，則，又，
數(shù)列，則，，不成立，故，
成立，故正確；
，故正確；
由，，
構(gòu)造數(shù)列，則該數(shù)列為等差數(shù)列，公差，
得，，又，數(shù)列是遞減數(shù)列，
從第8項(xiàng)開始小于零，故前7項(xiàng)和最大，即的最大值為，故正確；
，，數(shù)列各項(xiàng)均為正的，沒有最大值，故錯(cuò)誤．
故選：．
【點(diǎn)評】本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)和前項(xiàng)和公式，是中檔題．
三．填空題（共8小題）
16．（2024?射洪市校級模擬），是兩個(gè)平面，，是兩條直線，有下列四個(gè)命題：
（1）如果，，，那么．
（2）如果，，那么．
（3）如果，，那么．
（4）如果，，那么與所成的角和與所成的角相等．
其中正確的命題有 （2）（3）（4） ．（填寫所有正確命題的編號）
【考點(diǎn)】：命題的真假判斷與應(yīng)用
【專題】48：分析法；35：轉(zhuǎn)化思想；：空間位置關(guān)系與距離
【分析】由線面垂直和面面的位置關(guān)系，即可判斷（1）；
由線面平行的性質(zhì)定理和線面垂直的性質(zhì)定理，即可判斷（2）；
由面面平行的性質(zhì)定理，即可判斷（3）；
運(yùn)用面面平行和線面角的定義，即可判斷（4）．
【解答】解：（1）如果，，，那么或、相交，故（1）錯(cuò)；
（2）如果，，過的平面與的交線平行于，且，那么，故（2）正確；
（3）如果，，由面面平行的性質(zhì)可得，故（3）正確；
（4）如果，，那么與所成的角和與所成的角相等，正確．
故答案為：（2）（3）（4）．
【點(diǎn)評】本題考查空間直線和平面的位置關(guān)系的判斷，考查線面平行和垂直的判定定理和性質(zhì)定理的運(yùn)用，以及線面角的定義，考查推理能力，屬于中檔題．
17．（2024?蘭山區(qū)校級模擬）已知正四棱柱的底面邊長，側(cè)棱長，它的外接球的球心為，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是球上的任意一點(diǎn)，有以下命題：
①的長的最大值為9；
②三棱錐的體積的最大值是；
③存在過點(diǎn)的平面，截球的截面面積為；
④三棱錐的體積的最大值為20；
⑤過點(diǎn)的平面截球所得的截面面積最大時(shí)，垂直于該截面．
其中是真命題的序號是 ①③④ ．
【答案】①③④
【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用
【專題】球；數(shù)學(xué)運(yùn)算
【分析】通過題中條件計(jì)算得出結(jié)果，判斷命題真假．
【解答】解：根據(jù)題意，作圖如下：
根據(jù)正四棱柱的性質(zhì)，可知正四棱柱的外接球的半徑即為：，
所以最大值即為，故①正確；
在三棱錐中，，高
三棱錐的體積最大值即為：，故②錯(cuò)誤；
當(dāng)截面與垂直時(shí)，，故截面圓的面積即為，故③正確；
在三棱錐中，，高
三棱錐的體積最大值即為：，故④正確；
當(dāng)過點(diǎn)的平面截球所得的截面面積最大時(shí)，截面過直線，而，故⑤錯(cuò)誤．
故答案為：①③④
【點(diǎn)評】本題考查了四棱柱的外接球問題，體積的最值，截面問題，屬于綜合題型，同時(shí)考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力，難度中等．
18．（2024?延慶區(qū)一模）已知函數(shù)給出下列四個(gè)結(jié)論：
①存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)的最小值為0
②存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)的最小值為
③存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)恰有2個(gè)零點(diǎn)
④存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)恰有4個(gè)零點(diǎn)
其中所有正確結(jié)論的序號是 ①③ ．
【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用
【專題】函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算；簡易邏輯
【分析】取特殊值判斷①，當(dāng)時(shí)，分別分析分段函數(shù)兩部分的最值判斷②，根據(jù)分段函數(shù)每部分的零點(diǎn)確定函數(shù)的零點(diǎn)可判斷③④．
【解答】解：當(dāng)時(shí)，，顯然函數(shù)的最小值為0，故①正確；
當(dāng)時(shí)，，，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，
所以時(shí)，有最小值，由，可得，
此時(shí)，時(shí)，，在上單調(diào)遞減，所以（1），
與最小值為矛盾，
若時(shí)，的對稱軸方程為，
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，
若，則與矛盾，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，無最小值，
綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值不為，故②錯(cuò)誤；
由②知，時(shí)，時(shí)，單調(diào)遞減且，當(dāng)時(shí)，且（1），
所以函數(shù)恰有2個(gè)零點(diǎn)，故③正確；
當(dāng)時(shí)，且僅有（1），
即有且只有1個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，且僅有（1），
即有且只有1個(gè)零點(diǎn)，
綜上，時(shí)，有且只有1個(gè)零點(diǎn)，
而在上至多有2個(gè)零點(diǎn)，
所以時(shí)，函數(shù)沒有4個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有無數(shù)個(gè)零點(diǎn)，故④錯(cuò)誤．
故答案為：①③．
【點(diǎn)評】本題主要考查命題真假的判斷，函數(shù)最值的求法及函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷，屬于中檔題．
19．（2023?北京模擬）已知函數(shù)，，給出下列結(jié)論：
①函數(shù)的值域?yàn)椋?br>②函數(shù)在，上是增函數(shù)；
③對任意，方程在，內(nèi)恒有解；
④若存在，，，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．
其中所有正確結(jié)論的序號是 ①②④ ．
【考點(diǎn)】：命題的真假判斷與應(yīng)用
【專題】51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
【分析】①當(dāng)時(shí)，利用單調(diào)遞增，可得．
當(dāng)時(shí)，函數(shù)，利用一次函數(shù)的單調(diào)性可得．
即可得到函數(shù)的值域．
②利用誘導(dǎo)公式可得，利用余弦函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得出在，上單調(diào)性．
③由②可知：（1），若任意，方程在，內(nèi)恒有解，
則必須滿足的值域，．解出判定即可．
④存在，，，使得成立，則解出即可．
【解答】解：①當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，，即．
當(dāng)時(shí)，由函數(shù)單調(diào)遞減，，即．
函數(shù)的值域?yàn)椋虼刷僬_．
②，，，，因此在，上單調(diào)遞減，
又，在，上單調(diào)遞增，因此正確．
③由②可知：（1），．
若任意，方程在，內(nèi)恒有解，
則必須滿足的值域，．
，，解得，因此③不正確；
④存在，，，使得成立，則
由③可知：，，
，，解得，
實(shí)數(shù)的取值范圍是．正確．
綜上可知：只有①②④正確．
故答案為：①②④．
【點(diǎn)評】本題綜合考查了分段函數(shù)的單調(diào)性、恒成立問題的等價(jià)轉(zhuǎn)化方法等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了分析問題和解決問題的能力，屬于難題．
20．（2023?石景山區(qū)一模）項(xiàng)數(shù)為，的有限數(shù)列的各項(xiàng)均不小于的整數(shù)，滿足，其中．給出下列四個(gè)結(jié)論：
①若，則；
②若，則滿足條件的數(shù)列有4個(gè)；
③存在的數(shù)列；
④所有滿足條件的數(shù)列中，首項(xiàng)相同．
其中所有正確結(jié)論的序號是 ①②④ ．
【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用
【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法；對應(yīng)思想；直觀想象；等差數(shù)列與等比數(shù)列；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用
【分析】由題意可得，所以，，從而可判斷③，④；
當(dāng)時(shí)，得，所以，則，從而判斷①；
當(dāng)時(shí)，可得，則的可能取值為，0，1，2，對應(yīng)的的取值為6，4，2，0，從而可得數(shù)列，即可判斷②．
【解答】解：因?yàn)橛邢迶?shù)列的各項(xiàng)均不小于的整數(shù)，
所以，，，
又因?yàn)椋?br>所以，
所以，且，為整數(shù)，
所以，所以③錯(cuò)誤，④正確；
當(dāng)時(shí)，得，所以，則，故①正確；
當(dāng)時(shí)，得，
又因?yàn)椋?br>所以，則，
所以，為整數(shù)，
則的可能取值為，0，1，2，對應(yīng)的的取值為6，4，2，0，
故數(shù)列可能為，，6；，0，4；，1，2；，2，0，共4個(gè)，故②正確．
故答案為：①②④．
【點(diǎn)評】本題考查了有窮數(shù)列的性質(zhì)、不等式的性質(zhì)，也考查了邏輯推理能力，屬于中檔題．
21．（2023?涪城區(qū)校級模擬）如圖，在正方體中，，為棱的中點(diǎn)，是正方形內(nèi)部（含邊界）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且平面．給出下列四個(gè)結(jié)論：
①動(dòng)點(diǎn)的軌跡是一段圓弧；
②存在符合條件的點(diǎn)，使得；
③三棱錐的體積的最大值為；
④設(shè)直線與平面所成角為，則的取值范圍是．
其中所有正確結(jié)論的序號是 ②③④ ．
【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用；棱柱、棱錐、棱臺的體積；棱柱的結(jié)構(gòu)特征
【專題】綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；邏輯推理；轉(zhuǎn)化思想；空間位置關(guān)系與距離
【分析】對于①，利用線線平行能證明平面平面，由此能求出點(diǎn)的軌跡；
對于②，利用線線垂直的判定與性質(zhì)直接求解；
對于③，利用三棱錐體積公式直接求解；
對于④，利用線面角的定義結(jié)合三角形性質(zhì)直接求解．
【解答】解：對于①，分別取和的中點(diǎn)，，連接，，，
由正方體的性質(zhì)知，，平面，、平面，
，平面，
又，平面，，
平面平面，
當(dāng)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，有平面，
動(dòng)點(diǎn)的軌跡是線段，故①錯(cuò)誤；
對于②，當(dāng)為線段中點(diǎn)時(shí)，
，，
又，，故②正確；
對于③，三棱錐的體積，
又，
三棱錐的體積最大值為，故③正確；
對于④，連接，，則與平面所成角，
則，
，
的范圍是，，故④正確．
故答案為：②③④．
【點(diǎn)評】本題考查線面平行、線線垂直的判定與性質(zhì)、三棱錐體積公式、線面角定義等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．
22．（2023?涪城區(qū)校級模擬）已知函數(shù)，．給出下列三個(gè)結(jié)論：
①是偶函數(shù)；
②的值域是，；
③在區(qū)間，上是減函數(shù)．
其中，所有正確結(jié)論的序號是 ①③ ．
【答案】①③．
【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用
【專題】綜合題；分類討論；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；邏輯推理
【分析】研究函數(shù)在一個(gè)周期，內(nèi)的性質(zhì)，即將化為分段函數(shù)解決問題．
【解答】解：易知的最小正周期為，故只需研究，的值域、單調(diào)性，即可判斷函數(shù)在上的值域和單調(diào)性，
對于①，定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對稱，，故是偶函數(shù)，故①正確；
對于②，當(dāng)，時(shí)，，此時(shí)；
當(dāng)，時(shí)，，所以，綜上可知，的值域是，，故②錯(cuò)誤；
對于③，時(shí)，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，故在上單調(diào)遞減，故③正確．
故答案為：①③．
【點(diǎn)評】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)，同時(shí)考查了分類討論思想的體現(xiàn)，學(xué)生的邏輯推理能力，屬于中檔題．
23．（2023?豐臺區(qū)校級三模）已知在數(shù)列中，，，其前項(xiàng)和為．給出下列四個(gè)結(jié)論：
①時(shí)，；
②；
③當(dāng)時(shí)，數(shù)列是遞增數(shù)列；
④對任意，存在，使得數(shù)列成等比數(shù)列．
其中所有正確結(jié)論的序號是 ①②④ ．
【答案】①②④．
【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用
【專題】計(jì)算題；函數(shù)思想；方程思想；定義法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法；數(shù)學(xué)抽象；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算
【分析】對于①，直接算出數(shù)列的前5項(xiàng)，再相加即可判斷①；
對于②，把用來表示，即可判斷與0的大小，進(jìn)而判斷②；
對于③，取，可得，進(jìn)而判斷③錯(cuò)誤；
對于④，當(dāng)恒成立時(shí)可以求出，所以存在，數(shù)列成等比數(shù)列，所以④正確．
【解答】解：①當(dāng)時(shí)，，則，
即，則，
則，，
則；故①正確；
②因?yàn)椋?br>所以，
即，故②正確；
③當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)，
則甴，
得，則，
則，故數(shù)列是遞增數(shù)列錯(cuò)誤；故③錯(cuò)誤；
④設(shè)，
則，
，
，即，
存在，數(shù)列成等比數(shù)列，此時(shí)公比；故④正確．
故答案為：①②④．
【點(diǎn)評】本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系，考查數(shù)列的單調(diào)性，考查等比數(shù)列的概念，考查數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)，屬于中檔題．
四．解答題（共2小題）
24．（2023?酉陽縣校級模擬）命題：任意，成立；命題：存在，成立．
（1）若命題為假命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）若命題和有且只有一個(gè)為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）；
（2）或或．
【考點(diǎn)】復(fù)合命題及其真假；命題的真假判斷與應(yīng)用
【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法；分類討論；簡易邏輯
【分析】（1）由真，由判別式求得的取值范圍，進(jìn)而得到假的條件；
（2）求得真的條件，由和有且只有一個(gè)為真命題，得到真假，或假真，然后分別求的的取值范圍，再取并集即得．
【解答】解：（1）由真：△，得或，
所以假：；
即實(shí)數(shù)的取值范圍為：；
（2）真：△推出，
由和有且只有一個(gè)為真命題，
真假，或假真，
即或，
或或．
即實(shí)數(shù)的取值范圍為：或或．
【點(diǎn)評】本題考查復(fù)合命題的真假判定和含有量詞的命題真假判定，涉及一元二次不等式恒成立和能成立問題，不等式的求解，關(guān)鍵是由和有且只有一個(gè)為真命題，得到真假，或假真，屬于中檔題．
25．（2022?黃浦區(qū)模擬）有以下真命題：已知等差數(shù)列，公差為，設(shè)，，，是數(shù)列中的任意個(gè)項(xiàng)，若，，、①，則有②．
（1）當(dāng)，時(shí)，試寫出與上述命題中的①，②兩式相對應(yīng)的等式；
（2）若為等差數(shù)列，，且，求的通項(xiàng)公式；
（3）試將上述真命題推廣到各項(xiàng)為正實(shí)數(shù)的等比數(shù)列中，寫出相應(yīng)的真命題，并加以證明．
【答案】（1）答案見解析；
（2）（2）；
（3）答案見解析．
【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用
【專題】邏輯推理；綜合法；轉(zhuǎn)化思想；計(jì)算題；等差數(shù)列與等比數(shù)列；數(shù)學(xué)運(yùn)算
【分析】（1）當(dāng)，時(shí)，代入數(shù)據(jù)，可得當(dāng)時(shí)，有；
（2）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，結(jié)合題意，可得，即可得、，的值，進(jìn)而可求得值，根據(jù)，可得，代入等差數(shù)列通項(xiàng)公式，即可得答案．
（3）根據(jù)題意，類比可得已知等比數(shù)列，，公比為，設(shè)是數(shù)列中的任意個(gè)項(xiàng)，若，則有．進(jìn)行證明即可．
【解答】解：（1）當(dāng)，時(shí)，由已知，對等差數(shù)列的任意兩項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，有；
（2）設(shè)的公差為，由題意得：，知，，，
所以，解得，
又，于是；
（3）已知等比數(shù)列，，公比為，設(shè)是數(shù)列中的任意個(gè)項(xiàng)，
若，則有．
證明如下：因?yàn)椋?br>所以，
其中，
于是，命題得證．
【點(diǎn)評】本題考查了數(shù)列的遞推式，等差數(shù)列的基本量計(jì)算以及數(shù)列新定義，屬于難題．
考點(diǎn)卡片
1．充分條件與必要條件
【知識點(diǎn)的認(rèn)識】
1、判斷：當(dāng)命題“若p則q”為真時(shí)，可表示為p?q，稱p為q的充分條件，q是p的必要條件．事實(shí)上，與“p?q”等價(jià)的逆否命題是“￢q?￢p”．它的意義是：若q不成立，則p一定不成立．這就是說，q對于p是必不可少的，所以說q是p的必要條件．例如：p：x＞2；q：x＞0．顯然x∈p，則x∈q．等價(jià)于x?q，則x?p一定成立．
2、充要條件：如果既有“p?q”，又有“q?p”，則稱條件p是q成立的充要條件，或稱條件q是p成立的充要條件，記作“p?q”．p與q互為充要條件．
【解題方法點(diǎn)撥】
充要條件的解題的思想方法中轉(zhuǎn)化思想的依據(jù)；解題中必須涉及兩個(gè)方面，充分條件與必要條件，缺一不可．證明題目需要證明充分性與必要性，實(shí)際上，充分性理解為充分條件，必要性理解為必要條件，學(xué)生答題時(shí)往往混淆二者的關(guān)系．判斷題目可以常用轉(zhuǎn)化思想、反例、特殊值等方法解答即可．
判斷充要條件的方法是：
①若p?q為真命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；
②若p?q為假命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；
③若p?q為真命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的充要條件；
④若p?q為假命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的既不充分也不必要條件．
⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據(jù)“誰大誰必要，誰小誰充分”的原則，判斷命題p與命題q的關(guān)系．
【命題方向】
充要條件是學(xué)生學(xué)習(xí)知識開始，或者沒有上學(xué)就能應(yīng)用的，只不過沒有明確定義，因而幾乎年年必考內(nèi)容，多以小題為主，有時(shí)也會以大題形式出現(xiàn)，中學(xué)階段的知識點(diǎn)都相關(guān)，所以命題的范圍特別廣．
2．全稱量詞命題真假的應(yīng)用
【知識點(diǎn)的認(rèn)識】
全稱量詞：短語“對所有的”“對任意一個(gè)”在邏輯中通常叫做全稱量詞．符號：?
應(yīng)熟練掌握全稱命題的判定方法
全稱量詞：對應(yīng)日常語言中的“一切”、“任意的”、“所有的”、“凡是”、“任給”、“對每一個(gè)”等詞，用符號“?”表示．
含有全稱量詞的命題．“對任意一個(gè)x∈M，有p（x）成立”簡記成“?x∈M，p（x）”．
﹣
【解題方法點(diǎn)撥】在應(yīng)用全稱量詞命題時(shí)，首先要準(zhǔn)確判斷命題的真假，然后根據(jù)判斷結(jié)果進(jìn)行推理．例如，在證明幾何命題時(shí)，可以先驗(yàn)證全稱量詞命題的真假，然后根據(jù)真假性進(jìn)行相應(yīng)的幾何推理和計(jì)算．
【命題方向】全稱量詞命題真假的應(yīng)用在代數(shù)和幾何題中廣泛存在．例如，利用全稱量詞命題的真假來推導(dǎo)數(shù)的整除性、代數(shù)式的恒等關(guān)系，或幾何圖形的某些性質(zhì)．這類題型要求學(xué)生具備扎實(shí)的基礎(chǔ)知識和邏輯推理能力．
若命題“?x∈[1，3]，ax2﹣x+a≥0為真命題，則a的最小值為_____．
解：?x∈[1，3]，ax2﹣x+a≥0，則，
當(dāng)x∈[1，3]時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)，等號成立，
故．
所以實(shí)數(shù)a的最小值為．
故答案為：．
3．存在量詞和存在量詞命題
【知識點(diǎn)的認(rèn)識】
存在量詞：短語“存在一個(gè)”“至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫做存在量詞．符號：?
特稱命題：含有存在量詞的命題．符號：“?”．
存在量詞：對應(yīng)日常語言中的“存在一個(gè)”、“至少有一個(gè)”、“有個(gè)”、“某個(gè)”、“有些”、“有的”等詞，用符號“?”表示．
特稱命題：含有存在量詞的命題．“?x0∈M，有p（x0）成立”簡記成“?x0∈M，p（x0）”．
“存在一個(gè)”，“至少有一個(gè)”叫做存在量詞．
【解題方法點(diǎn)撥】由于全稱量詞的否定是存在量詞，而存在量詞的否定又是全稱量詞；因此，全稱命題的否定一定是特稱命題；特稱命題的否定一定是全稱命題．命題的“否定”與一個(gè)命題的“否命題”是兩個(gè)不同的概念，對命題的否定是否定命題所作的判斷，而否命題是對“若p 則q”形式的命題而言，既要否定條件，也要否定結(jié)論．
常見詞語的否定如下表所示：
【命題方向】本考點(diǎn)通常與全稱命題的否定，多以小題出現(xiàn)在填空題，選擇題中．
4．全稱量詞命題的否定
【知識點(diǎn)的認(rèn)識】
一般地，對于含有一個(gè)量詞的全稱命題的否定，有下面的結(jié)論：
全稱命題p：?x∈M，p（x）它的否命題?p：?x0∈M，?p（x0）．
【解題方法點(diǎn)撥】
寫全稱命題的否定的方法：（1）更換量詞，將全稱量詞換為存在量詞，即將“任意”改為“存在”；（2）將結(jié)論否定，比如將“＞”改為“≤”．值得注意的是，全稱命題的否定的特稱命題．
【命題方向】
這類試題在考查題型上，通?；疽赃x擇題或填空題的形式出現(xiàn)．難度一般不大，從考查的數(shù)學(xué)知識上看，能涉及高中數(shù)學(xué)的全部知識．
5．復(fù)合命題及其真假
【知識點(diǎn)的認(rèn)識】
含有邏輯連接詞“或”“且”“非”的命題不一定是復(fù)合命題．若此命題的真假滿足真值表，就是復(fù)合命題，否則就是簡單命題．邏輯中的“或”“且”“非”與日常用語中的“或”“且”“非”含義不盡相同．判斷復(fù)合命題的真假要根據(jù)真值表來判定．【解題方法點(diǎn)撥】
能判斷真假的、陳述句、反詰疑問句都是命題，而不能判斷真假的陳述句、疑問句以及祈使句都不是命題．能判斷真假的不等式、集合運(yùn)算式也是命題．寫命題P的否定形式，不能一概在關(guān)鍵詞前、加“不”，而要搞清一個(gè)命題研究的對象是個(gè)體還是全體，如果研究的對象是個(gè)體，只須將“是”改成“不是”，將“不是”改成“是”即可．如果命題研究的對象不是一個(gè)個(gè)體，就不能簡單地將“是”改成“不是”，將“不是”改成“是”，而要分清命題是全稱命題還是存在性命題（所謂全稱命題是指含有“所有”“全部”“任意”這一類全稱量訶的命題；所謂存在性命題是指含有“某些”“某個(gè)”“至少有一個(gè)”這一類存在性量詞的命題，全稱命題的否定形式是存在性命題，存在性命題的否定形式是全稱命題．因此，在表述一個(gè)命題的否定形式的時(shí)候，不僅“是”與“不是”要發(fā)生變化，有關(guān)命題的關(guān)鍵詞也應(yīng)發(fā)生相應(yīng)的變化，常見關(guān)鍵詞及其否定形式附表如下：
若原命題P為真，則?P必定為假，但否命題可真可假，與原命題的真假無關(guān)，否命題與逆命題是等價(jià)命題，同真同假．
6．命題的真假判斷與應(yīng)用
【知識點(diǎn)的認(rèn)識】
判斷含有“或”、“且”、“非”的復(fù)合命題的真假，首先要明確p、q及非p的真假，然后由真值表判斷復(fù)合命題的真假．
注意：“非p”的正確寫法，本題不應(yīng)將“非p”寫成“方程x2﹣2x+1＝0的兩根都不是實(shí)根”，因?yàn)椤岸际恰钡姆疵媸恰安欢际恰?，而不是“都不是”，要認(rèn)真區(qū)分．
【解題方法點(diǎn)撥】
1．判斷復(fù)合命題的真假，常分三步：先確定復(fù)合命題的構(gòu)成形式，再指出其中簡單命題的真假，最后由真值表得出復(fù)合命題的真假．
2．判斷一個(gè)“若p則q”形式的復(fù)合命題的真假，不能用真值表時(shí)，可用下列方法：若“p q”，則“若p則q”為真；而要確定“若p則q”為假，只需舉出一個(gè)反例說明即可．
3．判斷逆命題、否命題、逆否命題的真假，有時(shí)可利用原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假這一關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化判斷．
【命題方向】該部分內(nèi)容是《課程標(biāo)準(zhǔn)》新增加的內(nèi)容，幾乎年年都考，涉及知識點(diǎn)多而且全，多以小題形式出現(xiàn)．
7．函數(shù)的周期性
【知識點(diǎn)的認(rèn)識】
函數(shù)的周期性定義為若T為非零常數(shù)，對于定義域內(nèi)的任一x，使f（x）＝f（x+T） 恒成立，則f（x）叫做周期函數(shù)，T叫做這個(gè)函數(shù)的一個(gè)周期．常函數(shù)為周期函數(shù)，但無最小正周期，其周期為任意實(shí)數(shù)．
【解題方法點(diǎn)撥】
周期函數(shù)一般和偶函數(shù)，函數(shù)的對稱性以及它的圖象相結(jié)合，考查的內(nèi)容比較豐富．
①求最小正周期的解法，盡量重復(fù)的按照所給的式子多寫幾個(gè)，
例：求f（x）＝的最小正周期．
解：由題意可知，f（x+2）＝＝f（x﹣2）?T＝4
②與對稱函數(shù)或者偶函數(shù)相結(jié)合求函數(shù)與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．如已知函數(shù)在某個(gè)小區(qū)間與x軸有n個(gè)交點(diǎn)，求函數(shù)在更大的區(qū)間與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．
思路：第一，這一般是個(gè)周期函數(shù)，所以先求出周期T；第二，結(jié)合函數(shù)圖象判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)；第三，注意端點(diǎn)的值．
【命題方向】
周期函數(shù)、奇偶函數(shù)都是高考的?？键c(diǎn)，學(xué)習(xí)是要善于總結(jié)并進(jìn)行歸類，靈活運(yùn)用解題的基本方法，為了高考將仍然以小題為主．
8．等差數(shù)列的性質(zhì)
【知識點(diǎn)的認(rèn)識】
等差數(shù)列
如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列．這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差常用字母d表示．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為：an＝a1+（n﹣1）d；前n項(xiàng)和公式為：Sn＝na1+n（n﹣1）或Sn＝ （n∈N+），另一重要特征是若p+q＝2m，則有2am＝ap+aq（p，q，m都為自然數(shù)）
等差數(shù)列的性質(zhì)
（1）若公差d＞0，則為遞增等差數(shù)列；若公差d＜0，則為遞減等差數(shù)列；若公差d＝0，則為常數(shù)列；
（2）有窮等差數(shù)列中，與首末兩端“等距離”的兩項(xiàng)和相等，并且等于首末兩項(xiàng)之和；
（3）m，n∈N+，則am＝an+（m﹣n）d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，則as+at＝ap+aq，其中as，at，ap，aq是數(shù)列中的項(xiàng)，特別地，當(dāng)s+t＝2p時(shí)，有
as+at＝2ap；
（5）若數(shù)列{an}，{bn}均是等差數(shù)列，則數(shù)列{man+kbn}仍為等差數(shù)列，其中m，k均為常數(shù)．
（6）an，an﹣1，an﹣2，…，a2，a1仍為等差數(shù)列，公差為﹣d．
（7）從第二項(xiàng)開始起，每一項(xiàng)是與它相鄰兩項(xiàng)的等差中項(xiàng)，也是與它等距離的前后兩項(xiàng)的等差中項(xiàng)，即2an+1＝an+an+2，
2an＝an﹣m+an+m，（n≥m+1，n，m∈N+）
（8）am，am+k，am+2k，am+3k，…仍為等差數(shù)列，公差為kd（首項(xiàng)不一定選a1）．
【解題方法點(diǎn)撥】
例：已知等差數(shù)列{an}中，a1＜a2＜a3＜…＜an且a3，a6為方程x2﹣10x+16＝0的兩個(gè)實(shí)根．
（1）求此數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）268是不是此數(shù)列中的項(xiàng)？若是，是第多少項(xiàng)？若不是，說明理由．
解：（1）由已知條件得a3＝2，a6＝8．
又∵{an}為等差數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)為a1，公差為d，
∴a1+2d＝2，a1+5d＝8，解得a1＝﹣2，d＝2．
∴an＝﹣2+（n﹣1）×2＝2n﹣4（n∈N*）．
∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n﹣4．
（2）令268＝2n﹣4（n∈N*），解得n＝136．
∴268是此數(shù)列的第136項(xiàng)．
這是一個(gè)很典型的等差數(shù)列題，第一問告訴你第幾項(xiàng)和第幾項(xiàng)是多少，然后套用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝a1+（n﹣1）d，求出首項(xiàng)和公差d，這樣等差數(shù)列就求出來了．第二問判斷某個(gè)數(shù)是不是等差數(shù)列的某一項(xiàng)，其實(shí)就是要你檢驗(yàn)看符不符合通項(xiàng)公式，帶進(jìn)去檢驗(yàn)一下就是的．
9．等比數(shù)列的性質(zhì)
【知識點(diǎn)的認(rèn)識】
等比數(shù)列
（又名幾何數(shù)列），是一種特殊數(shù)列．如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列，因?yàn)榈诙?xiàng)與第一項(xiàng)的比和第三項(xiàng)與第二項(xiàng)的比相等，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．注：q＝1 時(shí)，an為常數(shù)列．
等比數(shù)列和等差數(shù)列一樣，也有一些通項(xiàng)公式：①第n項(xiàng)的通項(xiàng)公式，an＝a1qn﹣1，這里a1為首項(xiàng)，q為公比，我們發(fā)現(xiàn)這個(gè)通項(xiàng)公式其實(shí)就是指數(shù)函數(shù)上孤立的點(diǎn)．②求和公式，Sn＝，表示的是前面n項(xiàng)的和．③若m+n＝q+p，且都為正整數(shù)，那么有am?an＝ap?aq．
等比數(shù)列的性質(zhì)
（1）通項(xiàng)公式的推廣：an＝am?qn﹣m，（n，m∈N*）．
（2）若{an}為等比數(shù)列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），則 ak?al＝am?an
（3）若{an}，{bn}（項(xiàng)數(shù)相同）是等比數(shù)列，則{λan}（λ≠0），{a}，{an?bn}，仍是等比數(shù)列．
（4）單調(diào)性：或?{an}是遞增數(shù)列；或?{an}是遞減數(shù)列；q＝1?{an}是常數(shù)列；q＜0?{an}是擺動(dòng)數(shù)列．
【解題方法點(diǎn)撥】
例：2，x，y，z，18成等比數(shù)列，則y＝ ．
解：由2，x，y，z，18成等比數(shù)列，設(shè)其公比為q，
則18＝2q4，解得q2＝3，
∴y＝2q2＝2×3＝6．
故答案為：6．
本題的解法主要是運(yùn)用了等比數(shù)列第n項(xiàng)的通項(xiàng)公式，這也是一個(gè)常用的方法，即知道某兩項(xiàng)的值然后求出公比，繼而可以以已知項(xiàng)為首項(xiàng)，求出其余的項(xiàng)．關(guān)鍵是對公式的掌握，方法就是待定系數(shù)法．
10．等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合
【知識點(diǎn)的認(rèn)識】
1、等差數(shù)列的性質(zhì)
（1）若公差d＞0，則為遞增等差數(shù)列；若公差d＜0，則為遞減等差數(shù)列；若公差d＝0，則為常數(shù)列；
（2）有窮等差數(shù)列中，與首末兩端“等距離”的兩項(xiàng)和相等，并且等于首末兩項(xiàng)之和；
（3）m，n∈N+，則am＝an+（m﹣n）d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，則as+at＝ap+aq，其中as，at，ap，aq是數(shù)列中的項(xiàng)，特別地，當(dāng)s+t＝2p時(shí)，有
as+at＝2ap；
（5）若數(shù)列{an}，{bn}均是等差數(shù)列，則數(shù)列{man+kbn}仍為等差數(shù)列，其中m，k均為常數(shù)．
（6）an，an﹣1，an﹣2，…，a2，a1仍為等差數(shù)列，公差為﹣d．
（7）從第二項(xiàng)開始起，每一項(xiàng)是與它相鄰兩項(xiàng)的等差中項(xiàng)，也是與它等距離的前后兩項(xiàng)的等差中項(xiàng)，即2an+1＝an+an+2，
2an＝an﹣m+an+m，（n≥m+1，n，m∈N+）
（8）am，am+k，am+2k，am+3k，…仍為等差數(shù)列，公差為kd（首項(xiàng)不一定選a1）．
2、等比數(shù)列的性質(zhì)．
（1）通項(xiàng)公式的推廣：an＝am?qn﹣ m ，（n，m∈N*）．
（2）若{an}為等比數(shù)列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），則 ak?al＝am?an
（3）若{an}，{bn}（項(xiàng)數(shù)相同）是等比數(shù)列，則{λan}（λ≠0），{a}，{an?bn}，仍是等比數(shù)列．
（4）單調(diào)性：或?{an}是遞增數(shù)列；或?{an}是遞減數(shù)列；q＝1?{an}是常數(shù)列；q＜0?{an}是擺動(dòng)數(shù)列．
11．利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程
【知識點(diǎn)的認(rèn)識】
利用導(dǎo)數(shù)來求曲線某點(diǎn)的切線方程是高考中的一個(gè)?？键c(diǎn)，它既可以考查學(xué)生求導(dǎo)能力，也考察了學(xué)生對導(dǎo)數(shù)意義的理解，還考察直線方程的求法，因?yàn)榘藥讉€(gè)比較重要的基本點(diǎn)，所以在高考出題時(shí)備受青睞．我們在解答這類題的時(shí)候關(guān)鍵找好兩點(diǎn)，第一找到切線的斜率；第二告訴的這點(diǎn)其實(shí)也就是直線上的一個(gè)點(diǎn)，在知道斜率的情況下可以用點(diǎn)斜式把直線方程求出來．
【解題方法點(diǎn)撥】
例：已知函數(shù)y＝xlnx，求這個(gè)函數(shù)的圖象在點(diǎn)x＝1處的切線方程．
解：k＝y(tǒng)'|x＝1＝ln1+1＝1
又當(dāng)x＝1時(shí)，y＝0，所以切點(diǎn)為（1，0）
∴切線方程為y﹣0＝1×（x﹣1），
即y＝x﹣1．
我們通過這個(gè)例題發(fā)現(xiàn)，第一步確定切點(diǎn)；第二步求斜率，即求曲線上該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)；第三步利用點(diǎn)斜式求出直線方程．這種題的原則基本上就這樣，希望大家靈活應(yīng)用，認(rèn)真總結(jié)．
12．棱柱的結(jié)構(gòu)特征
【知識點(diǎn)的認(rèn)識】
1．棱柱：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱．棱柱用表示底面各頂點(diǎn)的字母來表示（例：ABCD﹣A′B′C′D′）．
2．認(rèn)識棱柱
底面：棱柱中兩個(gè)互相平行的面，叫做棱柱的底面．
側(cè)面：棱柱中除兩個(gè)底面以外的其余各個(gè)面都叫做棱柱的側(cè)面．
側(cè)棱：棱柱中兩個(gè)側(cè)面的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱．
頂點(diǎn)：棱柱的側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn)．
高：棱中兩個(gè)底面之間的距離．
3．棱柱的結(jié)構(gòu)特征
根據(jù)棱柱的結(jié)構(gòu)特征，可知棱柱有以下性質(zhì)：
（1）側(cè)面都是平行四邊形
（2）兩底面是全等多邊形
（3）平行于底面的截面和底面全等；對角面是平行四邊形
（4）長方體一條對角線長的平方等于一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱的長的平方和．
4．棱柱的分類
（1）根據(jù)底面形狀的不同，可把底面為三角形、四邊形、五邊形…的棱柱稱為三棱柱、四棱柱、五棱柱…．
（2）根據(jù)側(cè)棱是否垂直底面，可把棱柱分為直棱柱和斜棱柱；其中在直棱柱中，若底面為正多邊形，則稱其為正棱柱．
5．棱柱的體積公式
設(shè)棱柱的底面積為S，高為h，
V棱柱＝S×h．
13．棱柱、棱錐、棱臺的體積
【知識點(diǎn)的認(rèn)識】
柱體、錐體、臺體的體積公式：
V柱＝sh，V錐＝Sh．
14．異面直線及其所成的角
【知識點(diǎn)的認(rèn)識】
1、異面直線所成的角：
直線a，b是異面直線，經(jīng)過空間任意一點(diǎn)O，作直線a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我們把直線a′和b′所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和b所成的角．異面直線所成的角的范圍：θ∈（0，]．當(dāng)θ＝90°時(shí)，稱兩條異面直線互相垂直．
2、求異面直線所成的角的方法：
求異面直線的夾角關(guān)鍵在于平移直線，常用相似比，中位線，梯形兩底，平行平面等手段來轉(zhuǎn)移直線．
3、求異面直線所成的角的方法常用到的知識：
15．直線與平面所成的角
【知識點(diǎn)的認(rèn)識】
1、直線和平面所成的角，應(yīng)分三種情況：
（1）直線與平面斜交時(shí)，直線和平面所成的角是指此直線和它在平面上的射影所成的銳角；
（2）直線和平面垂直時(shí)，直線和平面所成的角的大小為90°；
（3）直線和平面平行或在平面內(nèi)時(shí)，直線和平面所成的角的大小為0°．
顯然，斜線和平面所成角的范圍是（0，）；直線和平面所成的角的范圍為[0，]．
2、一條直線和一個(gè)平面斜交，它們所成的角的度量問題（空間問題）是通過斜線在平面內(nèi)的射影轉(zhuǎn)化為兩條相交直線的度量問題（平面問題）來解決的．具體的解題步驟與求異面直線所成的角類似，有如下的環(huán)節(jié)：
（1）作﹣﹣?zhàn)鞒鲂本€與射影所成的角；
（2）證﹣﹣論證所作（或找到的）角就是要求的角；
（3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂線段、斜線段、斜線段的射影所組成的直角三角形）求出角．
（4）答﹣﹣回答求解問題．
在求直線和平面所成的角時(shí)，垂線段是其中最重要的元素，它可起到聯(lián)系各線段的紐帶的作用．在直線與平面所成的角的定義中體現(xiàn)等價(jià)轉(zhuǎn)化和分類與整合的數(shù)學(xué)思想．
3、斜線和平面所成角的最小性：
斜線和平面所成的角是用兩條相交直線所成的銳角來定義的，其中一條直線就是斜線本身，另一條直線是斜線在平面上的射影．在平面內(nèi)經(jīng)過斜足的直線有無數(shù)條，它們和斜線都組成相交的兩條直線，為什么選中射影和斜線這兩條相交直線，用它們所成的銳角來定義斜線和平面所成的角呢？原因是斜線和平面內(nèi)經(jīng)過斜足的直線所成的一切角中，它是最小的角．對于已知的斜線來說這個(gè)角是唯一確定的，它的大小反映了斜線關(guān)于平面的“傾斜程度”．根據(jù)線面所成的角的定義，有結(jié)論：斜線和平面所成的角，是這條斜線和這個(gè)平面內(nèi)的直線所成的一切角中最小的角．
用空間向量直線與平面所成角的求法：
（1）傳統(tǒng)求法：可通過已知條件，在斜線上取一點(diǎn)作該平面的垂線，找出該斜線在平面內(nèi)的射影，通過解直角三角形求得．
（2）向量求法：設(shè)直線l的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為θ，與的夾角為φ，則有sinθ＝|cs φ|＝．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2024/11/4 19:14:01；用戶：組卷36；郵箱：zyb036@xyh.cm；學(xué)號：41418999
命題
全稱命題?x∈M，p（x）
表述方法
①所有的x∈M，使p（x）成立
②對一切x∈M，使p（x）成立
③對每一個(gè)x∈M，使p（x）成立
④對任給一個(gè)x∈M，使p（x）成立
⑤若x∈M，則p（x）成立
命題
全稱命題?x∈M，p（x）
特稱命題?x0∈M，p（x0）
表述方法
①所有的x∈M，使p（x）成立
①存在x0∈M，使p（x0）成立
②對一切x∈M，使p（x）成立
②至少有一個(gè)x0∈M，使p（x0）成立
③對每一個(gè)x∈M，使p（x）成立
③某些x∈M，使p（x）成立
④對任給一個(gè)x∈M，使p（x）成立
④存在某一個(gè)x0∈M，使p（x0）成立
⑤若x∈M，則p（x）成立
⑤有一個(gè)x0∈M，使p（x0）成立
詞語
是
一定是
都是
大于
小于
詞語的否定
不是
一定不是
不都是
小于或等于
大于或等于
詞語
且
必有一個(gè)
至少有n個(gè)
至多有一個(gè)
所有x成立
詞語的否定
或
一個(gè)也沒有
至多有n﹣1個(gè)
至少有兩個(gè)
存在一個(gè)x不成立
關(guān)
鍵
詞

等
于
（＝）
大
于
（＞）
小
于
（＜）

是


能


都
是



沒
有


至
多
有
一
個(gè)
至
少
有
一
個(gè)
至
少
有
n
個(gè)
至
多
有
n
個(gè)
任 意 的
任 兩 個(gè)
P
且
Q
P
或
Q
否 定 詞
不
等
于
（≠）
不
大
于
（≤）
不
小
于
（≥）

不
是


不
能

不
都
是

至
少
有
一
個(gè)
至
少
有
兩
個(gè)
一
個(gè)
都
沒
有
至
多
有
n﹣1
個(gè)
至
少
有
n+1
個(gè)

某
個(gè)
某
兩
個(gè)
?P
或
?Q
?P
且
?Q