1．（2024?雁塔區(qū)校級模擬）已知函數(shù)，，對于任意的，，都恒成立，且函數(shù)在，上單調(diào)遞增，則的值為
A．3B．9C．3或9D．
2．（2024?威遠縣校級一模）設(shè)函數(shù)，若存在，且，使得，則的取值范圍是
A．，B．，C．，D．，
3．（2024?江西一模）已知，則
A．B．C．D．
4．（2024?南通模擬）已知，，，則
A．B．C．D．
5．（2024?鄒城市校級三模）已知，，則
A．B．C．D．
6．（2024?沙坪壩區(qū)校級模擬）已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，若，則
A．B．C．D．
7．（2024?濟南校級模擬）已知函數(shù)，若，是銳角的兩個內(nèi)角，則下列結(jié)論一定正確的是
A．B．
C．D．
8．（2024?博白縣模擬）已知點都是圖象上的點，點，到軸的距離均為1，把的圖象向左平移個單位長度后，點，分別平移到點，，且點，關(guān)于原點對稱，則的值不可能是
A．3B．5C．10D．11
9．（2024?姜堰區(qū)校級模擬）設(shè)函數(shù)在，上至少有兩個不同零點，則實數(shù)的取值范圍是
A．B．
C．D．
10．（2024?儀征市模擬）若，且，，則
A．B．C．D．
二．多選題（共5小題）
11．（2024?湖南模擬）已知，，下列結(jié)論正確的是
A．若的最小正周期為，則
B．若的圖象向左平移個單位長度后得到的圖象關(guān)于軸對稱，則
C．若在，上恰有4個極值點，則的取值范圍為
D．存在，使得在上單調(diào)遞減
12．（2024?九龍坡區(qū)模擬）已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則下列說法正確的是
A．
B．為偶函數(shù)
C．在上單調(diào)遞增
D．若，則的最小值為
13．（2024?東陽市模擬）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則
A．
B．
C．為偶函數(shù)
D．在區(qū)間的最小值為
14．（2024?合肥模擬）已知，是函數(shù)的兩個零點，且的最小值是，則
A．在上單調(diào)遞增
B．的圖象關(guān)于直線對稱
C．的圖象可由的圖象向右平移個單位長度得到
D．在上僅有1個零點
15．（2024?高州市模擬）已知函數(shù)，對任意實數(shù)都有，則下列結(jié)論正確的是
A．的最小正周期為
B．
C．函數(shù)的圖象關(guān)于對稱
D．在區(qū)間上有一個零點
三．填空題（共5小題）
16．（2024?芝罘區(qū)校級模擬）如圖，圓與軸的正半軸的交點為，點、在圓上，且點位于第一象限，點的坐標(biāo)為，，若，則的值為 ．
17．（2024?撫順模擬）已知，是函數(shù)的兩個零點，且，若將函數(shù)的圖象向左平移個單位后得到的圖象關(guān)于軸對稱，且函數(shù)在內(nèi)恰有2個最值點，則實數(shù)的取值范圍為 ．
18．（2024?迎江區(qū)校級四模）已知函數(shù)．直線與曲線的兩個交點，如圖所示．若，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，則 ； ．
19．（2024?資陽模擬）已知函數(shù)，若存在，，，使得，則的最小值為 ．
20．（2024?香河縣校級模擬）已知函數(shù)在區(qū)間上恰有兩個零點，則的取值范圍是 ．
四．解答題（共5小題）
21．（2024?天津）在中，，．
（1）求；
（2）求；
（3）求．
22．（2024?青浦區(qū)二模）對于函數(shù)，其中，．
（1）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（2）在銳角三角形中，若（A），，求的面積．
23．（2024?撫州模擬）已知函數(shù)，，，函數(shù)和它的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示．
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）已知，求的值．
24．（2024?東城區(qū)模擬）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）從下列三個條件中選擇一個作為已知，使函數(shù)存在，并求函數(shù)在上的最大值和最小值．
條件①：函數(shù)是奇函數(shù)；
條件②：將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到的圖象；
條件③：．
25．（2024?東城區(qū)校級三模）已知函數(shù)．
（Ⅰ）若，，，求的值；
（Ⅱ）設(shè)，求在區(qū)間上的最大值和最小值．
2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)壓軸訓(xùn)練7
參考答案與試題解析
一．選擇題（共10小題）
1．（2024?雁塔區(qū)校級模擬）已知函數(shù)，，對于任意的，，都恒成立，且函數(shù)在，上單調(diào)遞增，則的值為
A．3B．9C．3或9D．
【答案】
【考點】正弦函數(shù)的圖象
【專題】轉(zhuǎn)化思想；計算題；綜合法；數(shù)學(xué)運算；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)
【分析】根據(jù)函數(shù)在，上單調(diào)遞增得到的取值范圍，結(jié)合已知兩個恒等式可求解的值，結(jié)合取值進行驗證，綜合可得答案．
【解答】解：因為函數(shù)在，上單調(diào)遞增，
所以，解得，即，解得，
因為對于任意的，，
所以的圖象關(guān)于直線對稱，
則，，①
因為，
所以關(guān)于點，對稱，
則，，②
②①可得，，，
令，則，
結(jié)合，可得或9，
當(dāng)時，代入①可得，，
又，所以，此時，
在，上單調(diào)遞增，符合題意，
當(dāng)時，代入①可得，，
又，所以，此時，
在，上不單調(diào)，不符合題意．
綜上，．
故選：．
【點評】本題主要考查正弦函數(shù)的 圖象與性質(zhì)，考查運算求解能力，屬于中檔題．
2．（2024?威遠縣校級一模）設(shè)函數(shù)，若存在，且，使得，則的取值范圍是
A．，B．，C．，D．，
【答案】
【考點】由的部分圖象確定其解析式；正弦函數(shù)的圖象
【專題】綜合法；數(shù)學(xué)運算；函數(shù)思想；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)
【分析】依題意，可得，，結(jié)合，，及，可列式求得答案．
【解答】解：，
當(dāng)時，，，
又，，
又，
若存在，且，使得，
則，
解得．
故選：．
【點評】本題考查正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用，考查運算求解能力，屬于中檔題．
3．（2024?江西一模）已知，則
A．B．C．D．
【答案】
【考點】兩角和與差的三角函數(shù)；二倍角的三角函數(shù)
【專題】轉(zhuǎn)化法；數(shù)學(xué)運算；三角函數(shù)的求值；轉(zhuǎn)化思想
【分析】根據(jù)給定條件，利用輔助角公式，結(jié)合誘導(dǎo)公式及二倍角的余弦公式計算即得．
【解答】解：由，得，即，
所以．
故選：．
【點評】本題考查了三角恒等變形，屬于中檔題．
4．（2024?南通模擬）已知，，，則
A．B．C．D．
【答案】
【考點】兩角和與差的三角函數(shù)
【專題】綜合法；數(shù)學(xué)運算；三角函數(shù)的求值；整體思想
【分析】由已知結(jié)合同角基本關(guān)系及和差角公式進行化簡即可求解．
【解答】解：因為，
所以，
因為，所以，
因為，
所以，
因為，
則．
故選：．
【點評】本題主要考查了同角基本關(guān)系，和差角公式在三角化簡求值中的應(yīng)用，屬于中檔題．
5．（2024?鄒城市校級三模）已知，，則
A．B．C．D．
【答案】
【考點】兩角和與差的三角函數(shù)
【專題】方程思想；綜合法；三角函數(shù)的求值；運算求解
【分析】將已知兩個關(guān)系式分別平方后相加，可求得，再利用二倍角公式可求得答案．
【解答】解：，
，①
又，
，②
①②，得，
，
．
故選：．
【點評】本題考查兩角和與差的三角函數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．
6．（2024?沙坪壩區(qū)校級模擬）已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，若，則
A．B．C．D．
【答案】
【考點】由的部分圖象確定其解析式
【專題】整體思想；綜合法；三角函數(shù)的求值；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；數(shù)學(xué)運算
【分析】由最值求出，由五點作圖及特殊點求出，，進而求出，然后結(jié)合誘導(dǎo)公式及二倍角公式即可求解．
【解答】解：由題意得，且，
所以，，
因為，
所以，，
因為，
則
．
故選：．
【點評】本題主要考查了部分函數(shù)的性質(zhì)求解的解析式，還考查了二倍角公式及誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于中檔題．
7．（2024?濟南校級模擬）已知函數(shù)，若，是銳角的兩個內(nèi)角，則下列結(jié)論一定正確的是
A．B．
C．D．
【答案】
【考點】余弦函數(shù)的單調(diào)性
【專題】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；函數(shù)思想；數(shù)學(xué)運算；綜合法
【分析】依題意，得在上恒成立在上單調(diào)遞減，結(jié)合，是銳角的兩個內(nèi)角，對四個選項逐一判斷可得答案．
【解答】解：，是銳角的兩個內(nèi)角，
，，
又，
在上恒成立，在上單調(diào)遞減．
又，
則，
，正確；
同理可得，錯誤
而與，與的大小關(guān)系均不確定，
與，與的大小關(guān)系也均不確定，，均錯誤．
故選：．
【點評】本題考查余弦函數(shù)的單調(diào)性及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查邏輯推理的核心素養(yǎng)，屬于中檔題．
8．（2024?博白縣模擬）已知點都是圖象上的點，點，到軸的距離均為1，把的圖象向左平移個單位長度后，點，分別平移到點，，且點，關(guān)于原點對稱，則的值不可能是
A．3B．5C．10D．11
【答案】
【考點】函數(shù)的圖象變換
【專題】綜合法；函數(shù)思想；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；數(shù)學(xué)運算
【分析】依題意，可求得，，即，結(jié)合，可求得，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可列式求得答案．
【解答】解：由都是圖象上的點，
依題意，可得，，，，因為點，關(guān)于原點對稱，
所以，又點，到軸的距離均為1，
故，，，
所以，又，所以，
故或，
即或，
所以的值可能是3，5，9，11，．
故選：．
【點評】本題考查了三角函數(shù)的圖象及變換，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)探索學(xué)科素養(yǎng)，考查了化簡運算能力，屬于中檔題．
9．（2024?姜堰區(qū)校級模擬）設(shè)函數(shù)在，上至少有兩個不同零點，則實數(shù)的取值范圍是
A．B．
C．D．
【答案】
【考點】正弦函數(shù)的圖象
【專題】綜合法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；計算題；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運算
【分析】先令得，并得到，從小到大將的正根寫出，因為，，所以，從而分情況，得到不等式，求出答案．
【解答】解：令，則，
因為，所以，
令，解得，或，，
從小到大將的正根寫出如下：
，，，，，，，
因為，，所以，
當(dāng)，即時，，解得，此時無解，
當(dāng)，即時，，解得，此時無解，
，即時，，解得，
故，
當(dāng)，即時，，解得，
故
當(dāng)時，，
此時在，上至少有兩個不同零點．
綜上，的取值范圍是．
故選：．
【點評】本題主要考查正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查運算求解能力，屬于中檔題．
10．（2024?儀征市模擬）若，且，，則
A．B．C．D．
【答案】
【考點】兩角和與差的三角函數(shù)
【專題】數(shù)學(xué)運算；整體思想；綜合法；三角函數(shù)的求值
【分析】利用切化弦可得，再由兩角和差公式先求，最后由同角基本關(guān)系式求解．
【解答】解：因為，則，則，
所以，
而，則，
所以．
故選：．
【點評】本題主要考查了和差角公式及同角基本關(guān)系的應(yīng)用，屬于中檔題．
二．多選題（共5小題）
11．（2024?湖南模擬）已知，，下列結(jié)論正確的是
A．若的最小正周期為，則
B．若的圖象向左平移個單位長度后得到的圖象關(guān)于軸對稱，則
C．若在，上恰有4個極值點，則的取值范圍為
D．存在，使得在上單調(diào)遞減
【答案】
【考點】三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；函數(shù)的圖象變換；三角函數(shù)的周期性
【專題】綜合法；數(shù)學(xué)運算；整體思想；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)
【分析】先結(jié)合二倍角公式及輔助角公式進行化簡，然后結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)檢驗各選項即可判斷．
【解答】解：
，
對于，，又，，故正確；
對于，將的圖象向左平移個單位長度后得到，
若所得圖象關(guān)于軸對稱，則，得，，所以，故正確；
對于，由，，得，
若在，上恰有4個極值點，則，
解得，故正確；
對于，由，，
結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，在上不可能單調(diào)遞減，故錯誤．
故選：．
【點評】本題主要考查了正弦函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．
12．（2024?九龍坡區(qū)模擬）已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則下列說法正確的是
A．
B．為偶函數(shù)
C．在上單調(diào)遞增
D．若，則的最小值為
【答案】
【考點】正弦函數(shù)的奇偶性和對稱性；正弦函數(shù)的單調(diào)性
【專題】數(shù)學(xué)運算；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；函數(shù)思想；綜合法
【分析】利用正弦函數(shù)的對稱性質(zhì)可求得，再對各個選項逐一判斷即可．
【解答】解：的圖象關(guān)于直線對稱，
，
，
，錯誤；
，
，是偶函數(shù)，正確；
，，在上不單調(diào)，錯誤；
的最小正周期，
若，則的最小值為，正確．
故選：．
【點評】本題考查正弦函數(shù)的對稱性、單調(diào)性及周期性等性質(zhì)的運用，屬于中檔題．
13．（2024?東陽市模擬）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則
A．
B．
C．為偶函數(shù)
D．在區(qū)間的最小值為
【答案】
【考點】由的部分圖象確定其解析式；三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用
【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；數(shù)學(xué)運算
【分析】先由正弦展開式，五點法結(jié)合圖象求出，可得正確，錯誤；由誘導(dǎo)公式可得正確；整體代入由正弦函數(shù)的值域可得正確．
【解答】解：由題意得，
由圖象可得，
又，所以，
由五點法可得，
所以．
：由以上解析可得，故正確；
：由以上解析可得，故錯誤；
，故正確；
：當(dāng)時，，
所以最小值為，故正確；
故選：．
【點評】本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題．
14．（2024?合肥模擬）已知，是函數(shù)的兩個零點，且的最小值是，則
A．在上單調(diào)遞增
B．的圖象關(guān)于直線對稱
C．的圖象可由的圖象向右平移個單位長度得到
D．在上僅有1個零點
【答案】
【考點】函數(shù)的圖象變換；正弦函數(shù)的圖象
【專題】整體思想；數(shù)學(xué)運算；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；綜合法
【分析】由已知結(jié)合周期公式先求出，即可求出函數(shù)解析式，然后結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性檢驗選項，結(jié)合對稱性檢驗選項，結(jié)合三角函數(shù)圖象的平移變換檢驗選項；結(jié)合函數(shù)零點存在條件檢驗選項即可判斷．
【解答】解：由的最小值是可知，函數(shù)的最小正周期，
，．
對于，當(dāng)時，，
在上單調(diào)遞增，故正確；
對于，，
的圖象關(guān)于直線對稱，故正確；
對于，，故錯誤；
對于，當(dāng)時，，僅當(dāng)，即時，，故正確．
故選：．
【點評】本題主要考查了正弦函數(shù)的周期性，對稱性，單調(diào)性的應(yīng)用，還考查了函數(shù)圖象的平移變換，屬于中檔題．
15．（2024?高州市模擬）已知函數(shù)，對任意實數(shù)都有，則下列結(jié)論正確的是
A．的最小正周期為
B．
C．函數(shù)的圖象關(guān)于對稱
D．在區(qū)間上有一個零點
【答案】
【考點】三角函數(shù)的周期性；正弦函數(shù)的奇偶性和對稱性；正弦函數(shù)的圖象
【專題】數(shù)學(xué)運算；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；整體思想；綜合法
【分析】由已知結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)檢驗各選項即可判斷．
【解答】解：選項， 故正確；
選項，易知 為最大值或最小值，
是的一條對稱軸的方程．
，，，
，
，故正確；
選項，不是最值，故錯誤；
選項，當(dāng) 時，，此區(qū)間上有1個零點．
故選：．
【點評】本題主要考查了正弦函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．
三．填空題（共5小題）
16．（2024?芝罘區(qū)校級模擬）如圖，圓與軸的正半軸的交點為，點、在圓上，且點位于第一象限，點的坐標(biāo)為，，若，則的值為 ．
【考點】：任意角的三角函數(shù)的定義
【專題】49：綜合法；15：綜合題；34：方程思想；56：三角函數(shù)的求值
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義，結(jié)合三角函數(shù)的輔助角公式進行化簡即可得到結(jié)論．
【解答】解：點的坐標(biāo)為，設(shè)
，，
即，，
，若，，
則，
則，
故答案為：．
【點評】本題主要考查三角函數(shù)的化簡和求值，利用三角函數(shù)的定義以及三角函數(shù)的輔助角公式是解決本題的關(guān)鍵．
17．（2024?撫順模擬）已知，是函數(shù)的兩個零點，且，若將函數(shù)的圖象向左平移個單位后得到的圖象關(guān)于軸對稱，且函數(shù)在內(nèi)恰有2個最值點，則實數(shù)的取值范圍為 ， ．
【答案】，．
【考點】函數(shù)的圖象變換
【專題】數(shù)學(xué)運算；綜合法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；整體思想
【分析】由已知結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)先求出的解析式，然后結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解的范圍．
【解答】解：由題意，函數(shù) 的兩個零點，且，
則，，
，，
所以，
即，
所以，
所以，
又因為將函數(shù)的圖象向左平移個單位后得到的圖象關(guān)于軸對稱，
所以為偶函數(shù)，
則，，
又因為，
所以，，
當(dāng) 時，，函數(shù)有且只有兩個最值點，
所以，
解得．
故答案為：，．
【點評】本題主要考查了正弦函數(shù)的性質(zhì)在函數(shù)解析式求解中的應(yīng)用，還考查了正弦函數(shù)最值取得條件的應(yīng)用，屬于中檔題．
18．（2024?迎江區(qū)校級四模）已知函數(shù)．直線與曲線的兩個交點，如圖所示．若，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，則 2 ； ．
【答案】2；．
【考點】由的部分圖象確定其解析式
【專題】三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；數(shù)學(xué)運算；計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法
【分析】根據(jù)和，可構(gòu)造方程求得，并確定為半個周期，根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)性可構(gòu)造方程組求得．
【解答】解：設(shè)，，，，
由，得，所以，
又，所以，解得：，
此時的最小正周期，
因為，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以和分別為單調(diào)遞減區(qū)間的起點和終點，
當(dāng)時，，
所以，所以，
又，所以．
綜上，，．
故答案為：2；．
【點評】本題主要考查由的部分圖象確定其解析式，考查運算求解能力，屬于中檔題．
19．（2024?資陽模擬）已知函數(shù)，若存在，，，使得，則的最小值為 ．
【答案】．
【考點】兩角和與差的三角函數(shù)
【專題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運算；三角函數(shù)的求值；綜合法
【分析】根據(jù)兩角差的正弦公式得出，然后根據(jù)題意即可得出，從而可得出的最小值．
【解答】解：，
因為存在，，，使得，
所以，解得，即的最小值為．
故答案為：．
【點評】本題考查了兩角差的正弦公式，是中檔題．
20．（2024?香河縣校級模擬）已知函數(shù)在區(qū)間上恰有兩個零點，則的取值范圍是 ．
【答案】．
【考點】兩角和與差的三角函數(shù)
【專題】綜合法；三角函數(shù)的求值；數(shù)學(xué)運算；整體思想
【分析】先根據(jù)輔助角公式化簡，然后結(jié)合的范圍及正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得解．
【解答】解：，
令，
則，
由，
得，
因為函數(shù)在區(qū)間上恰有兩個零點，
所以，
解得，
所以的取值范圍是．
故答案為：．
【點評】本題考查了輔助角公式重點考查了正弦函數(shù)的性質(zhì)，屬中檔題．
四．解答題（共5小題）
21．（2024?天津）在中，，．
（1）求；
（2）求；
（3）求．
【答案】（1）4； （2）； （3）．
【考點】正弦定理；兩角和與差的三角函數(shù)；余弦定理
【專題】邏輯推理；數(shù)學(xué)運算；轉(zhuǎn)化思想；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；綜合法
【分析】（1）設(shè)，則，，利用余弦定理能求出；
（2）由同角三角函數(shù)關(guān)系式，先求出．再由正弦定理求出．
（3）利用二倍角公式求出，再由同角三角函數(shù)關(guān)系式求出，利用兩角差三角函數(shù)能求出．
【解答】解：（1）在中，，，
設(shè)，則，，
，
解得，
；
（2）由（1）得，，，
由正弦定理得，即，
解得．
（3），，是銳角，且，
，
，
．
【點評】本題考查余弦定理、正弦定理、二倍角公式、同角三角函數(shù)關(guān)系式、兩角差三角函數(shù)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題．
22．（2024?青浦區(qū)二模）對于函數(shù)，其中，．
（1）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（2）在銳角三角形中，若（A），，求的面積．
【答案】（1）．
（2）．
【考點】正弦函數(shù)的單調(diào)性；三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算
【專題】轉(zhuǎn)化法；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運算；三角函數(shù)的求值
【分析】（1）先對恒等變換，再結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；
（2）根據(jù)已知條件，先求出，再結(jié)合平面向量的數(shù)量積運算，以及三角形的面積公式，即可求解．
【解答】解：（1）
，
由，得，
故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是．
（2），
則，
在銳角三角形中，
則，
故，即，所以，
又，所以，，
故的面積．
【點評】本題主要考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，屬于中檔題．
23．（2024?撫州模擬）已知函數(shù)，，，函數(shù)和它的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示．
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）已知，求的值．
【考點】由的部分圖象確定其解析式
【專題】數(shù)學(xué)運算；轉(zhuǎn)化思想；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；綜合法
【分析】（1）由圖可得，，，的圖象過點，，可得，，進而可得結(jié)論；
（2）由（1）及題意得，而，結(jié)合二倍角公式求解即可．
【解答】解：（1）函數(shù)，，
由圖可得，，，
又，所以，，
因為的圖象過點，，
所以，，即，，
因為，所以，
所以．
（2）由（1）及，得，
．
【點評】本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查二倍角公式，屬于中檔題．
24．（2024?東城區(qū)模擬）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）從下列三個條件中選擇一個作為已知，使函數(shù)存在，并求函數(shù)在上的最大值和最小值．
條件①：函數(shù)是奇函數(shù)；
條件②：將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到的圖象；
條件③：．
【答案】（Ⅰ）．
（Ⅱ）最大值為1，最小值為．
【考點】函數(shù)的圖象變換；由的部分圖象確定其解析式
【專題】整體思想；數(shù)學(xué)運算；綜合法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)
【分析】（Ⅰ）結(jié)合函數(shù)圖象可求周期，結(jié)合周期公式即可求解；
（Ⅱ）結(jié)合正弦函數(shù)的奇偶性及三角函數(shù)圖象的變換可求，然后結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解．
【解答】解：（Ⅰ）由題意知，即，
因為，所以，解得．
（Ⅱ）選擇條件①：函數(shù)是奇函數(shù)，
則，
因為函數(shù)是奇函數(shù)，所以，即，
因為，所以，
于是，，
因為，
所以，
當(dāng)，即時，取得最大值為1．
當(dāng)，即時，取得最小值為；
選擇條件②：將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到的圖象，
因為其圖象與的圖象相同，
所以，
所以，
因為，所以，
于是，，
因為，
所以，
當(dāng)，即時，取得最大值為1．
當(dāng)，即時，取得最小值為；
選擇條件③：，
所以，，
此時不存在．
【點評】本題主要考查了函數(shù)解析式的求解，還考查了三角函數(shù)圖象變換及正弦函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．
25．（2024?東城區(qū)校級三模）已知函數(shù)．
（Ⅰ）若，，，求的值；
（Ⅱ）設(shè)，求在區(qū)間上的最大值和最小值．
【答案】（Ⅰ）或；
（Ⅱ）最大值為，最小值為．
【考點】正弦函數(shù)的圖象；三角函數(shù)的最值
【專題】三角函數(shù)的求值；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運算；轉(zhuǎn)化法
【分析】（Ⅰ）根據(jù)已知條件，結(jié)合三角函數(shù)的特殊值，即可求解；
（Ⅱ）結(jié)合三角函數(shù)的恒等變換，以及三角函數(shù)的有界性，即可求解．
【解答】解：（Ⅰ），，，，
則或，解得或；
（Ⅱ）
，
，
則，
，
故，即的最大值為，最小值為．
【點評】本題主要考查三角函數(shù)的最值，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．
考點卡片
1．任意角的三角函數(shù)的定義
【知識點的認識】
任意角的三角函數(shù)
1定義：設(shè)α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P（x，y），那么sin α＝ y ，cs α＝ x ，tan α＝．
2．幾何表示：三角函數(shù)線可以看作是三角函數(shù)的幾何表示，正弦線的起點都在 x 軸上，余弦線的起點都是原點，正切線的起點都是（1，0）．
【解題方法點撥】
利用三角函數(shù)的定義求三角函數(shù)值的方法
利用三角函數(shù)的定義，求一個角的三角函數(shù)值，需確定三個量：
（1）角的終邊上任意一個異于原點的點的橫坐標(biāo)x；（2）縱坐標(biāo)y；（3）該點到原點的距離r．若題目中已知角的終邊在一條直線上，此時注意在終邊上任取一點有兩種情況（點所在象限不同）．
【命題方向】
已知角α的終邊經(jīng)過點（﹣4，3），則csα＝（ ）
A． B． C．﹣ D．﹣
分析：由條件直接利用任意角的三角函數(shù)的定義求得csα的值．
解：∵角α的終邊經(jīng)過點（﹣4，3），∴x＝﹣4，y＝3，r＝＝5．
∴csα＝＝＝﹣，
故選：D．
點評：本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，兩點間的距離公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
2．三角函數(shù)的周期性
【知識點的認識】
周期性
①一般地，對于函數(shù)f（x），如果存在一個非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個值時，都有f（x+T）＝f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期．
②對于一個周期函數(shù)f（x），如果在它所有的周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f（x）的最小正周期．
③函數(shù)y＝Asin（ωx+φ），x∈R及函數(shù)y＝Acs（ωx+φ）；x∈R（其中A、ω、φ為常數(shù)，且A≠0，ω＞0）的周期T＝．
【解題方法點撥】
1．一點提醒
求函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的單調(diào)區(qū)間時，應(yīng)注意ω的符號，只有當(dāng)ω＞0時，才能把ωx+φ看作一個整體，代入y＝sin t的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間求解，否則將出現(xiàn)錯誤．
2．兩類點
y＝sin x，x∈[0，2π]，y＝cs x，x∈[0，2π]的五點是：零點和極值點（最值點）．
3．求周期的三種方法
①利用周期函數(shù)的定義．f（x+T）＝f（x）
②利用公式：y＝Asin（ωx+φ）和y＝Acs（ωx+φ）的最小正周期為，y＝tan（ωx+φ）的最小正周期為．
③利用圖象．圖象重復(fù)的x的長度．
3．正弦函數(shù)的圖象
【知識點的認識】
正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)
4．正弦函數(shù)的單調(diào)性
【知識點的認識】
三角函數(shù)的單調(diào)性的規(guī)律方法
1．求含有絕對值的三角函數(shù)的單調(diào)性及周期時，通常要畫出圖象，結(jié)合圖象判定．
2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acs（ωx+φ）（其中，ω＞0）的單調(diào)區(qū)間時，要視“ωx+φ”為一個整體，通過解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助誘導(dǎo)公式將ω化為正數(shù)，防止把單調(diào)性弄錯．
5．正弦函數(shù)的奇偶性和對稱性
【知識點的認識】
正弦函數(shù)的對稱性
正弦函數(shù)是定義域為R的奇函數(shù)，既然是奇函數(shù)，那么其圖象關(guān)于原點對稱，即有sin（﹣x）＝﹣sinx．另外，正弦函數(shù)具有周期性，其對稱軸為x＝kπ+，k∈z．
【解題方法點撥】
例：函數(shù)y＝sin2x+2sin2x的對稱軸方程為x＝ ．
解：由于函數(shù)y＝sin2x+2sin2x＝sin2x+1﹣cs2x＝，
而函數(shù)y＝sint的對稱軸為
則，解得（k∈Z）
則函數(shù)y＝sin2x+2sin2x的對稱軸方程為
故答案為．
這個題很有代表性，一般三角函數(shù)都是先化簡，化成一個單獨的正弦或者余弦函數(shù)，然后把2x﹣看成一個整體，最后根據(jù)公式把單調(diào)性求出來即可．
【命題方向】
這個考點非常重要，也很簡單，大家熟記這個公式，并能夠理解運用就可以了．
6．余弦函數(shù)的單調(diào)性
【知識點的認識】
三角函數(shù)的單調(diào)性的規(guī)律方法
1．求含有絕對值的三角函數(shù)的單調(diào)性及周期時，通常要畫出圖象，結(jié)合圖象判定．
2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acs（ωx+φ）（其中，ω＞0）的單調(diào)區(qū)間時，要視“ωx+φ”為一個整體，通過解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助誘導(dǎo)公式將ω化為正數(shù)，防止把單調(diào)性弄錯．
7．函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換
【知識點的認識】
函數(shù)y＝sin x的圖象變換得到y(tǒng)＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的圖象的步驟
兩種變換的差異
先相位變換再周期變換（伸縮變換），平移的量是|φ|個單位；而先周期變換（伸縮變換）再相位變換，平移的量是（ω＞0）個單位．原因是相位變換和周期變換都是針對x而言的．
【解題方法點撥】
1．一個技巧
列表技巧：表中“五點”中相鄰兩點的橫向距離均為，利用這一結(jié)論可以較快地寫出“五點”的坐標(biāo)．
2．兩個區(qū)別
（1）振幅A與函數(shù)y＝Asin （ωx+φ）+b的最大值，最小值的區(qū)別：最大值M＝A+b，最小值m＝﹣A+b，故A＝．
（2）由y＝sin x變換到y(tǒng)＝Asin （ωx+φ）先變周期與先變相位的（左、右）平移的區(qū)別：由y＝sin x的圖象變換到y(tǒng)＝Asin （ωx+φ）的圖象，兩種變換的區(qū)別：先相位變換再周期變換（伸縮變換），平移的量是|φ|個單位；而先周期變換（伸縮變換）再相位變換，平移的量是（ω＞0）個單位．原因在于相位變換和周期變換都是針對x而言，即x本身加減多少值，而不是依賴于ωx加減多少值．
3．三點提醒
（1）要弄清楚是平移哪個函數(shù)的圖象，得到哪個函數(shù)的圖象；
（2）要注意平移前后兩個函數(shù)的名稱是否一致，若不一致，應(yīng)先利用誘導(dǎo)公式化為同名函數(shù)；
（3）由y＝Asin ωx的圖象得到y(tǒng)＝Asin（ωx+φ）的圖象時，需平移的單位數(shù)應(yīng)為，而不是|φ|．
8．由y＝Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式
【知識點的認識】
根據(jù)圖象確定解析式的方法：
在由圖象求三角函數(shù)解析式時，若最大值為M，最小值為m，則A＝，k＝，ω由周期T確定，即由＝T求出，φ由特殊點確定．
9．三角函數(shù)的最值
【知識點的認識】
三角函數(shù)的最值其實就是指三角函數(shù)在定義域內(nèi)的最大值和最小值，涉及到三角函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性和它們的圖象．在求三角函數(shù)最值中常用的手法是化簡和換元．化簡的原則通常是盡量的把復(fù)合三角函數(shù)化為只含有一個三角函數(shù)的一元函數(shù)．
【解題方法點撥】
例1：sin2x﹣sinxcsx+2cs2x＝ +cs（2x+） ．
解：sin2x﹣sinxcsx+2cs2x＝﹣+2?＝+（cs2x﹣sin2x）
＝+cs（2x+）．
故答案為：+cs（2x+）．
這個題所用到的方法就是化簡成一個單一的三角函數(shù)，把一個復(fù)合的三角函數(shù)最后化成了只關(guān)于余弦函數(shù)的式子，然后單獨分析余弦函數(shù)的特點，最后把結(jié)果求出來．化簡當(dāng)中要熟練的掌握三角函數(shù)的轉(zhuǎn)換，特別是二倍角的轉(zhuǎn)換．
例2：函數(shù)y＝sin2x﹣sinx+3的最大值是 ．
解：令sinx＝t，可得y＝t2﹣t+3，其中t∈[﹣1，1]
∵二次函數(shù)y＝t2﹣t+3的圖象開口向上，對稱軸是t＝
∴當(dāng)t＝時函數(shù)有最小值，
而函數(shù)的最大值為t＝﹣1時或t＝1時函數(shù)值中的較大的那個
∵t＝﹣1時，y＝（﹣1）2﹣（﹣1）+3＝5，當(dāng)t＝1時，y＝12﹣1+3＝3
∴函數(shù)的最大值為t＝﹣1時y的值
即sinx＝﹣1時，函數(shù)的最大值為5．
這個題就是典型的換元，把sinx看成是自變量t，最后三角函數(shù)看成是一個一元二次函數(shù)，在換元的時候要注意到三角函數(shù)的定義域和相應(yīng)的值域．
【命題方向】
求三角函數(shù)的最值是高考的一個常考點，主要方法我上面已經(jīng)寫了，大家要注意的是把一些基本的方法融會貫通，同時一定要注意函數(shù)的定義域和相對應(yīng)的值域．
10．兩角和與差的三角函數(shù)
【知識點的認識】
（1）C（α﹣β）：cs （α﹣β）＝csαcsβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cs（α+β）＝csαcsβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcsβ+csαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcsβ﹣csαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝．
11．二倍角的三角函數(shù)
【知識點的認識】
二倍角的正弦其實屬于正弦函數(shù)和差化積里面的一個特例，即α＝β的一種特例，其公式為：sin2α＝2sinα?csα；其可拓展為1+sin2α＝（sinα+csα）2．
二倍角的余弦其實屬于余弦函數(shù)和差化積里面的一個特例，即α＝β的一種特例，其公式為：cs2α＝cs2α﹣sin2α＝2cs2α﹣1＝1﹣2sin2α．
二倍角的正切其實屬于正切函數(shù)和差化積里面的一個特例，即α＝β的一種特例，其公式為：tan2α＝．對于這個公式要求是能夠正確的運用其求值化簡即可．
【解題方法點撥】
例：y＝sin2x+2sinxcsx的周期是 π ．
解：∵y＝sin2x+2sinxcsx
＝+sin2x
＝sin2x﹣cs2x+
＝sin（2x+φ）+，（tanφ＝﹣）
∴其周期T＝＝π．
故答案為：π．
這個簡單的例題的第二個式子就是一個二倍角的轉(zhuǎn)換，轉(zhuǎn)換過后又使用了和差化積的相關(guān)定理，這也可以看得出三角函數(shù)的題一般都涉及到幾個公式，而且公式之間具有一定的相似性，所以大家要熟記各種公式．
【命題方向】
本考點也是一個很重要的考點，在高考中考查的也比較多，這里面需要各位同學(xué)多加練習(xí)，熟記各種公式．
12．三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用
【知識點的認識】
1．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系
（1）平方關(guān)系：sin2α+cs2α＝1．
（2）商數(shù)關(guān)系：＝tanα．
2．誘導(dǎo)公式
公式一：sin（α+2kπ）＝sin α，cs（α+2kπ）＝csα，tan（α+2kπ）＝tanα，其中k∈Z．
公式二：sin（π+α）＝﹣sinα，cs（π+α）＝﹣csα，tan（π+α）＝tan α．
公式三：sin（﹣α）＝﹣sinα，cs（﹣α）＝csα，tan（﹣α）＝﹣tanα．
公式四：sin（π﹣α）＝sin α，cs（π﹣α）＝﹣csα，tan（π﹣α）＝﹣tanα．
公式五：sin（﹣α）＝csα，cs（﹣α）＝sin α，tan（﹣α）＝ctα．
公式六：sin（+α）＝csα，cs（+α）＝﹣sinα，tan（+α）＝﹣ctα．
3．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式
（1）C（α﹣β）：cs （α﹣β）＝csαcsβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cs（α+β）＝csαcsβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcsβ+csαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcsβ﹣csαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝．
4．二倍角的正弦、余弦、正切公式
（1）S2α：sin 2α＝2sinαcsα；
（2）C2α：cs 2α＝cs2α﹣sin2α＝2cs2α﹣1＝1﹣2sin2α；
（3）T2α：tan 2α＝．
13．平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算
【知識點的認識】
1、平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)：
設(shè)，都是非零向量，是與方向相同的單位向量，與和夾角為θ，則：
（1）＝＝||csθ；
（2）?＝0；（判定兩向量垂直的充要條件）
（3）當(dāng)，方向相同時，＝||||；當(dāng)，方向相反時，＝﹣||||；
特別地：＝||2或||＝（用于計算向量的模）
（4）csθ＝（用于計算向量的夾角，以及判斷三角形的形狀）
（5）||≤||||
2、平面向量數(shù)量積的運算律
（1）交換律：；
（2）數(shù)乘向量的結(jié)合律：（λ）?＝λ（）＝?（）；
（3）分配律：（）?≠?（）
平面向量數(shù)量積的運算
平面向量數(shù)量積運算的一般定理為①（±）2＝2±2?+2．②（﹣）（+）＝2﹣2．③?（?）≠（?）?，從這里可以看出它的運算法則和數(shù)的運算法則有些是相同的，有些不一樣．
【解題方法點撥】
例：由代數(shù)式的乘法法則類比推導(dǎo)向量的數(shù)量積的運算法則：
①“mn＝nm”類比得到“”
②“（m+n）t＝mt+nt”類比得到“（）?＝”；
③“t≠0，mt＝nt?m＝n”類比得到“?”；
④“|m?n|＝|m|?|n|”類比得到“||＝||?||”；
⑤“（m?n）t＝m（n?t）”類比得到“（）?＝”；
⑥“”類比得到．以上的式子中，類比得到的結(jié)論正確的是 ①② ．
解：∵向量的數(shù)量積滿足交換律，
∴“mn＝nm”類比得到“”，
即①正確；
∵向量的數(shù)量積滿足分配律，
∴“（m+n）t＝mt+nt”類比得到“（）?＝”，
即②正確；
∵向量的數(shù)量積不滿足消元律，
∴“t≠0，mt＝nt?m＝n”不能類比得到“?”，
即③錯誤；
∵||≠|(zhì)|?||，
∴“|m?n|＝|m|?|n|”不能類比得到“||＝||?||”；
即④錯誤；
∵向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，
∴“（m?n）t＝m（n?t）”不能類比得到“（）?＝”，
即⑤錯誤；
∵向量的數(shù)量積不滿足消元律，
∴”不能類比得到，
即⑥錯誤．
故答案為：①②．
向量的數(shù)量積滿足交換律，由“mn＝nm”類比得到“”；向量的數(shù)量積滿足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”類比得到“（）?＝”；向量的數(shù)量積不滿足消元律，故“t≠0，mt＝nt?m＝n”不能類比得到“?”；||≠|(zhì)|?||，故“|m?n|＝|m|?|n|”不能類比得到“||＝||?||”；向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，故“（m?n）t＝m（n?t）”不能類比得到“（）?＝”；向量的數(shù)量積不滿足消元律，故”不能類比得到．
【命題方向】
本知識點應(yīng)該所有考生都要掌握，這個知識點和三角函數(shù)聯(lián)系比較多，也是一個?？键c，題目相對來說也不難，所以是拿分的考點，希望大家都掌握．
14．正弦定理
【知識點的認識】
1．正弦定理和余弦定理
在△ABC中，已知a，b和角A時，解的情況
由上表可知，當(dāng)A為銳角時，a＜bsinA，無解．當(dāng)A為鈍角或直角時，a≤b，無解．
2、三角形常用面積公式
1．S＝a?ha（ha表示邊a上的高）；
2．S＝absinC＝acsinB＝bcsinA．
3．S＝r（a+b+c）（r為內(nèi)切圓半徑）．
【解題方法點撥】
正余弦定理的應(yīng)用
1、解直角三角形的基本元素．
2、判斷三角形的形狀．
3、解決與面積有關(guān)的問題．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在實際應(yīng)用中有著廣泛的應(yīng)用，如測量、航海、幾何等方面都要用到解三角形的知識
（1）測距離問題：測量一個可到達的點到一個不可到達的點之間的距離問題，用正弦定理就可解決．
解題關(guān)鍵在于明確：
①測量從一個可到達的點到一個不可到達的點之間的距離問題，一般可轉(zhuǎn)化為已知三角形兩個角和一邊解三角形的問題，再運用正弦定理解決；
②測量兩個不可到達的點之間的距離問題，首先把求不可到達的兩點之間的距離轉(zhuǎn)化為應(yīng)用正弦定理求三角形的邊長問題，然后再把未知的邊長問題轉(zhuǎn)化為測量可到達的一點與不可到達的一點之間的距離問題．
（2）測量高度問題：
解題思路：
①測量底部不可到達的建筑物的高度問題，由于底部不可到達，因此不能直接用解直角三角形的方法解決，但常用正弦定理計算出建筑物頂部或底部到一個可到達的點之間的距離，然后轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題．
②對于頂部不可到達的建筑物高度的測量問題，我們可選擇另一建筑物作為研究的橋梁，然后找到可測建筑物的相關(guān)長度和仰、俯角等構(gòu)成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
點撥：在測量高度時，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一鉛錘面內(nèi)，視線與水平線的夾角．當(dāng)視線在水平線之上時，成為仰角；當(dāng)視線在水平線之下時，稱為俯角．
15．余弦定理
【知識點的認識】
1．正弦定理和余弦定理
【解題方法點撥】
正余弦定理的應(yīng)用
1、解直角三角形的基本元素．
2、判斷三角形的形狀．
3、解決與面積有關(guān)的問題．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在實際應(yīng)用中有著廣泛的應(yīng)用，如測量、航海、幾何等方面都要用到解三角形的知識
（1）測距離問題：測量一個可到達的點到一個不可到達的點之間的距離問題，用正弦定理就可解決．
解題關(guān)鍵在于明確：
①測量從一個可到達的點到一個不可到達的點之間的距離問題，一般可轉(zhuǎn)化為已知三角形兩個角和一邊解三角形的問題，再運用正弦定理解決；
②測量兩個不可到達的點之間的距離問題，首先把求不可到達的兩點之間的距離轉(zhuǎn)化為應(yīng)用正弦定理求三角形的邊長問題，然后再把未知的邊長問題轉(zhuǎn)化為測量可到達的一點與不可到達的一點之間的距離問題．
（2）測量高度問題：
解題思路：
①測量底部不可到達的建筑物的高度問題，由于底部不可到達，因此不能直接用解直角三角形的方法解決，但常用正弦定理計算出建筑物頂部或底部到一個可到達的點之間的距離，然后轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題．
②對于頂部不可到達的建筑物高度的測量問題，我們可選擇另一建筑物作為研究的橋梁，然后找到可測建筑物的相關(guān)長度和仰、俯角等構(gòu)成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
點撥：在測量高度時，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一鉛錘面內(nèi)，視線與水平線的夾角．當(dāng)視線在水平線之上時，成為仰角；當(dāng)視線在水平線之下時，稱為俯角．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2024/11/4 19:20:31；用戶：組卷36；郵箱：zyb036@xyh.cm；學(xué)號：41418999
函數(shù)
y＝sin x
y＝cs x
y＝tan x
圖象



定義域
R
R
k∈Z
值域
[﹣1，1]
[﹣1，1]
R
單調(diào)性
遞增區(qū)間：
（2kπ﹣，2kπ+）
（k∈Z）；
遞減區(qū)間：
（2kπ+，2kπ+）
（k∈Z）
遞增區(qū)間：
（2kπ﹣π，2kπ）
（k∈Z）；
遞減區(qū)間：
（2kπ，2kπ+π）
（k∈Z）
遞增區(qū)間：
（kπ﹣，kπ+）
（k∈Z）
最 值
x＝2kπ+（k∈Z）時，ymax＝1；
x＝2kπ﹣（k∈Z）時，
ymin＝﹣1
x＝2kπ（k∈Z）時，ymax＝1；
x＝2kπ+π（k∈Z） 時，
ymin＝﹣1
無最值
奇偶性
奇函數(shù)
偶函數(shù)
奇函數(shù)
對稱性
對稱中心：（kπ，0）（k∈Z）
對稱軸：x＝kπ+，k∈Z
對稱中心：（kπ+，0）（k∈Z）
對稱軸：x＝kπ，k∈Z
對稱中心：（，0）（k∈Z）
無對稱軸
周期
2π
2π
π
定理
正弦定理
余弦定理
內(nèi)容
＝2R
（ R是△ABC外接圓半徑）
a2＝b2+c2﹣2bccsA，
b2＝a2+c2﹣2accsB，
c2＝a2+b2﹣2abcsC
變形
形式
①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；
②sinA＝，sinB＝，sinC＝；
③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；
④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA
csA＝，
csB＝，
csC＝
解決
三角
形的
問題
①已知兩角和任一邊，求另一角和其他兩條邊；
②已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊和其他兩角
①已知三邊，求各角；
②已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩角
A為銳角
A為鈍角或直角
圖形




關(guān)系式
a＝bsinA
bsinA＜a＜b
a≥b
a＞b
解的個數(shù)
一解
兩解
一解
一解
定理
正弦定理
余弦定理
內(nèi)容
＝2R
（ R是△ABC外接圓半徑）
a2＝b2+c2﹣2bccs A，
b2＝a2+c2﹣2accs_B，
c2＝a2+b2﹣2abcs_C
變形
形式
①a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；
②sin A＝，sin B＝，sin C＝；
③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；
④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A
cs A＝，
cs B＝，
cs C＝
解決
三角
形的
問題
①已知兩角和任一邊，求另一角和其他兩條邊；
②②已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊和其他兩角
①已知三邊，求各角；
②已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩角

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