1 概念
對于函數(shù)，如果存在一個不為零的常數(shù)，使得當(dāng)取定義域內(nèi)的每一個值時，都成立，那么把函數(shù)叫做周期函數(shù)，常數(shù)叫做這個函數(shù)的周期.
Eg：
上圖是三角函數(shù)的圖像
① 函數(shù)圖像可看成由紅色那段圖像玩“分身術(shù)”的向兩邊延申；
② 紅色圖像的水平長度為，它就是函數(shù)的最小正周期，即；
(思考：是周期么)
③ 整個函數(shù)，對于任何，都有.
(簡單說來，兩個自變量相差，它們對應(yīng)的函數(shù)值均相等)
下面兩個圖像也是周期函數(shù)的圖像！他們的周期是什么？最小正周期呢？

2 常見的結(jié)論
① 若 ，則的周期是.
② 若 ，則的周期是；
證明 ，所以的周期是.
③ 若，則的周期是.
證明 ，所以的周期是.
【題型1】 求值問題
【典題1】若函數(shù)的定義域為，且對一切實數(shù)，都有，且，試證明為周期函數(shù)．并求出它的一個周期．
證明：函數(shù)的定義域為，且對一切實數(shù)，都有，且，
，
即為周期函數(shù)．
即為函數(shù)的一個周期．
變式練習(xí)
1.已知函數(shù)滿足且．證明是周期函數(shù)并求出它的一個周期．
證明，
，
是周期函數(shù)，
的一個周期是．
2.對函數(shù)，當(dāng)時，，，證明：函數(shù)為周期函數(shù)．
證明：，，
又，；
故；
故；
故是函數(shù)的周期；
故函數(shù)為周期函數(shù)．
3.定義：對任意實數(shù)，表示不超過的最大整數(shù)，稱為的整數(shù)部分，為其相應(yīng)的小數(shù)部分，，函數(shù)．
(1)求方程的解；
(2)用周期函數(shù)定義證明是周期函數(shù)；
答案 (1) (2)略
解析 (1)解：①當(dāng)時，，由，得，得；
②當(dāng)時，，由，得，得；
③當(dāng)時，，由，得；
以此類推，當(dāng)時，由，得，無解；
當(dāng)時，方程仍然無解．
綜上；
(2)證明：，必存在，有，
則，從而可得，
故，
為周期函數(shù)，且；
【題型2】 應(yīng)用
【典題1】已知奇函數(shù)對任意實數(shù)滿足，當(dāng)，，則( )
A．B．C．D．
解析 根據(jù)題意，函數(shù)對任意實數(shù)滿足，
則函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，
，
又由，則，
則；
故選：．

【典題2】定義在上的奇函數(shù)滿足，且在上單調(diào)遞減．若方程在上有實數(shù)根，則方程在區(qū)間上的所有實數(shù)根之和是( )
A．12B．C．D．
答案 A
由，所以，
由是上的奇函數(shù)知，
所以，
所以，，
所以是以為周期的周期函數(shù)．
考慮的一個周期，例如，
由在上是減函數(shù)知在上是增函數(shù)，
在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)．
對于奇函數(shù)有，，
故當(dāng))時，，當(dāng)時，，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
方程在上有實數(shù)根，
則這實數(shù)根是唯一的，因為在上是單調(diào)函數(shù)，
則由于，故方程在上有唯一實數(shù)．
在和上，
則方程在和上沒有實數(shù)根．
從而方程在一個周期內(nèi)有且僅有兩個實數(shù)根．
當(dāng)，方程的兩實數(shù)根之和為，
當(dāng)，方程的所有四個實數(shù)根之和為．
故選：．
變式練習(xí)
1.若函數(shù)是周期為的奇函數(shù)，且，則( )
答案 C
依題意，．故選：．
設(shè)函數(shù)對任意都有且，則( )
答案 B
由，可得，故函數(shù)的周期為．
則，
故選：．
3.已知定義在上的奇函數(shù)，滿足，且在上單調(diào)遞減，則( )
答案 B
為上的奇函數(shù)，且滿足，
是以為周期的函數(shù)，
，，，
又在區(qū)間上單調(diào)遞減，
，即．
故選：．
4.若定義在實數(shù)集上的滿足：時，，對任意x∈R，都有成立．等于( )
答案 B
根據(jù)題意，對任意，都有成立，則有，
即函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，
則，
時，，當(dāng)時，有，
則，
故選：．
5.函數(shù)的定義域為，且，當(dāng)時，；當(dāng)時，，則( )
答案 D
函數(shù)的定義域為，且，得函數(shù)周期為，
所以
，，，帶入上式，得
．
故選：．


1.設(shè)是周期為的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則( )
答案 A
是周期為的奇函數(shù)，當(dāng)時，，
,
故選：．
2.已知函數(shù)滿足，且對任意都滿足，則的值為( )
答案 D
，，
的周期為，，
又，．
故選：．
3. 設(shè)偶函數(shù)對任意，都有，且當(dāng)時，，則 ．
答案
，
函數(shù)是以為周期的函數(shù)．
當(dāng)時，，
．
故答案為：．
4.已知定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時，，則的值為 ．
答案
定義在上的函數(shù)f(x)滿足，
當(dāng)時，，
，
．
故答案為：．
5.設(shè)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，滿足，若，，則實數(shù)的取值范圍是 ．
答案
由，可得，
則，故函數(shù)的周期為，
則，
又函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，，
．
，解得．
實數(shù)的取值范圍是．
6.定義在上的偶函數(shù)滿足，且當(dāng)時，．
(1)證明是周期函數(shù)，并求的值；
(2)求函數(shù)在區(qū)間上的解析式．
答案 (1)證明略， (2) ．
解析 (1)證明：因為定義在上的偶函數(shù)滿足，
即，
所以，
所以，
即，
所以函數(shù)是周期函數(shù)，周期為，
又，
所以，
所以；
(2)解：因為當(dāng)時，，
設(shè)，則，
所以，
所以，
由條件可知，，
所以；
當(dāng)時，，
所以，
由(1)可知，
所以，
所以．
7.設(shè)是定義在上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線對稱，對任意，都有，且．
(1)求及)； (2)證明是周期函數(shù)．
答案 (1) (2)略
(1)，
又

同理可得
(2)是偶函數(shù)，
又關(guān)于對稱，
這表明是上的周期函數(shù)，且是它的一個周期.
高中要求
1 理解函數(shù)周期性的概念；
2 掌握求函數(shù)的周期性;
3 掌握函數(shù)的周期性的應(yīng)用.

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