1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.
2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
第一部分（選擇題 共58分）
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 若圓與圓有且只有三條公切線，則實數(shù)的值為（ ）
A. 6B. 4C. 6或D. 4或
【答案】C
【解析】
【分析】由題意可得兩圓外切，即可得，計算即可得.
【詳解】由圓與圓有且只有三條公切線，故兩圓外切，
故，即，解得.
故選：C.
2. 點是直線l上一點，是直線l的一個方向向量，則點到直線l的距離是（ ）
A. B.
C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用點到直線的距離公式計算即可．
【詳解】，是直線的一個單位方向向量，
點P到直線l的距離為.
故選：B.
3. 用紅、黃、藍等6種顏色給如圖所示的五連圓涂色，要求相鄰兩個圓所涂顏色不能相同，且紅色至少要涂兩個圓，則不同的涂色方案種數(shù)為（ ）
A. 25B. 630C. 605D. 580
【答案】B
【解析】
【分析】先計算所有的情況，然后計算不涂紅色和只有一個圓涂紅色，最后求差即可.
【詳解】先涂第一個圓，由6種情況；再涂第二個圓有5種情況；涂第三個圓有5種情況；涂第四個圓有5種情況；涂第五個圓有5種情況，利用計數(shù)原理可知，一共有種；
若沒有紅色，
先涂第一個圓，由5種情況；再涂第二個圓有4種情況；涂第三個圓有4種情況；涂第四個圓有4種情況；涂第五個圓有4種情況，一共有種；
若紅色涂一個圓，
當紅色涂第一個圓，再涂第二個圓有5種情況；涂第三個圓有4種情況；涂第四個圓有4種情況；涂第五個圓有4種情況，一共有種；
當紅色涂第二個圓，再涂第一個圓有5種情況，涂第三個圓有5種情況，涂第四個圓有4種情況；涂第五個圓有4種情況；一共有種；
當紅色涂第三個圓，再涂第二個圓有5種情況，涂第四個圓有5種情況，涂第一個圓有4種情況；涂第五個圓有4種情況；一共有種；
當紅色涂第四個圓，再涂第三個圓有5種情況，涂第五個圓有5種情況，涂第一個圓有4種情況；涂第二個圓有4種情況；一共有種；
當紅色涂第五個圓，再涂第四個圓有5種情況，涂第是三個圓有4種情況，涂第二個圓有4種情況；涂第一個圓有4種情況；一共有種；
所以紅色至少涂兩個圓的方案有.
故選:B
4. 下表為2017—2023年某企業(yè)兩輪電動車的年產(chǎn)量（單位：萬輛），其中2017—2023年的年份代碼分別為1—7.
已知與具有線性相關(guān)關(guān)系，且滿足經(jīng)驗回歸方程，則的值為（ ）
A. 146.5B. 164.8C. 179.5D. 197.8
【答案】B
【解析】
【分析】先求出，又因為點在經(jīng)驗回歸直線上，得出即可計算求解.
【詳解】由表中數(shù)據(jù)得，因為點在經(jīng)驗回歸直線上，
所以，所以.
故選：B.
5. 若事件，發(fā)生的概率分別為，，，則“”是“”的（ ）條件.
A. 充分不必要B. 必要不充分
C. 充分且必要D. 既不充分又不必要
【答案】C
【解析】
【分析】轉(zhuǎn)化，，根據(jù)充分性必要性的定義，以及條件概率公式，分析即得解.
【詳解】因為，所以，所以，
所以.
反之由能推出，
所以“”是“”的充分且必要條件.
故選：C
6. 若直線與曲線至少有一個公共點，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】作出曲線的圖象，數(shù)形結(jié)合可得解.
【詳解】直線恒過定點，
由，得到（），
所以曲線表示以點為圓心，半徑為，且位于直線右側(cè)的半圓（包括點，），
如下圖所示：

當直線經(jīng)過點時，與曲線有一個交點，此時，
當與半圓相切時，由，得，
由圖可知，當時，與曲線至少有一個公共點，
故選：B
7. 在直角坐標系中，點是雙曲線上任意一點，，是雙曲線的兩個焦點，若，則雙曲線的離心率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先設(shè)，根據(jù)焦半徑公式分別求出，，再由題意化簡計算可得.
【詳解】不妨設(shè)雙曲線方程為，設(shè)，則，
由焦半徑公式可知，，其中為雙曲線的離心率.
易知，則由，有，
可得，即，
則，
故雙曲線C的離心率.
故選：B
8. 法國數(shù)學(xué)家加斯帕·蒙日被稱為“畫法幾何創(chuàng)始人”、“微分幾何之父”．他發(fā)現(xiàn)與橢圓相切兩條互相垂直的切線的交點的軌跡是以該橢圓中心為圓心的圓，這個圓稱為該橢圓的蒙日圓．若橢圓的蒙日圓為，過上的動點作的兩條切線，分別與交于，兩點，直線交于，兩點，則下列說法中，正確的個數(shù)為（ ）
①橢圓的離心率為
②到的左焦點的距離的最小值為
③面積的最大值為
④若動點在上，將直線，的斜率分別記為，，則
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)定義，確定蒙日圓的點結(jié)合橢圓離心率計算判斷①；根據(jù)定義求得，再求出最大面積判斷③；設(shè)出點M的坐標并求出其橫坐標范圍計算判斷②；根據(jù)定義確定點A，B的關(guān)系，再利用“點差法”計算判斷④.
【詳解】對于①，直線，與橢圓都相切，且這兩條直線垂直，因此其交點在圓上，
即有，則，橢圓的離心率，①正確；
對于③，依題意，點均在圓上，且，因此線段是圓的直徑，
即有，顯然圓上的點到直線距離最大值為圓的半徑，即點到直線距離最大值為，
因此面積的最大值為，③正確；
對于②，令，有，令橢圓的左焦點，有，
則，而，
因此，即，
所以到的左焦點的距離的最小值為，②正確；
對于④，依題意，直線過原點O，即點A，B關(guān)于原點O對稱，設(shè)，有，
于是得，
又由①知，，得，
所以，④正確，
所以說法正確的有①②③④.
故選：D.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：解題關(guān)鍵是對橢圓的蒙日圓及橢圓性質(zhì)應(yīng)用，及點差法得出斜率積等的應(yīng)用.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9. 下列說法正確的是（ ）
A. 樣本數(shù)據(jù)的下四分位數(shù)是17
B. 在比例分配的分層隨機抽樣中，若第一層的樣本量為10，平均值為9，第二層的樣本量為20，平均值為12，則所抽樣本的平均值為11
C. 若隨機變量，則
D. 若隨機變量，若，則
【答案】ABD
【解析】
【分析】對于A由下四分位數(shù)的概念即可判斷；對于B，由平均數(shù)的計算公式即可判斷；對于C由二項分布即可判斷;對于D由正態(tài)分布的對稱性即可判斷.
【詳解】對于A.從小到大排序得：16，17，19，20，22，24，26，由，所以下四分位數(shù)是17正確；
對于B，正確；
對于C，由二項分布可得：，錯誤；
對于D，由正態(tài)分布的對稱性可得：，正確
故選：ABD
10. 下列對二項式的展開式的說法正確的是：（ ）.
A. 第3項的系數(shù)為40B. 第4項的二項式系數(shù)為10C. 不含常數(shù)項D. 系數(shù)和為32
【答案】BC
【解析】
【分析】寫成展開式的通項，利用通項判斷A、B、C；令判斷D.
【詳解】二項式展開式的通項為，，
所以第3項的系數(shù)為，故A錯誤；
第4項的二項式系數(shù)為，故B正確；
令，解得，又，所以展開式不含常數(shù)項，故C正確；
令可得系數(shù)和為，故D錯誤.
故選：BC
11. 已知拋物線上任意一點處的切線方程可以表示為．直線、、分別與該拋物線相切于點、、，、相交于點，與、分別相交于點、，則下列說法正確的是（ ）
A. 點落在一條定直線上
B. 若直線過該拋物線的焦點，則
C.
D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】求出點、、的坐標，可判斷A選項；設(shè)直線的方程為，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理結(jié)合直線斜率的關(guān)系可判斷B選項；利用兩點間的距離公式可判斷CD選項.
【詳解】對于A選項，由題意可知，直線的方程為，即①，
同理可知，直線的方程為②，
聯(lián)立①②可得，，即點，
同理可得、，
無法確定點橫坐標與縱坐標之間的關(guān)系，A錯；
對于B選項，若直線過該拋物線焦點，
若直線的斜率不存在，則直線與拋物線只有一個交點，不合乎題意，
所以，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立可得，，
由韋達定理可得，
直線的斜率為，直線的斜率為，
因為，則，B對；
對于C選項，由拋物線的定義可得，，
由A選項可知點，易知點，
所以，
，C對；
對于D選項，，，
所以，，D對.
故選：BCD.
【點睛】方法點睛：拋物線定義的兩種應(yīng)用：
（1）實現(xiàn)距離轉(zhuǎn)化，根據(jù)拋物線的定義，拋物線上任意一點到焦點的距離等于它到準線的距離，因此，由拋物線的定義可以實現(xiàn)點與點之間的距離與點到準線的距離的相互轉(zhuǎn)化，從而簡化某些問題；
（2）解決最值問題，在拋物線中求解與焦點有關(guān)的兩點間距離和的最小值時，往往用拋物線的定義進行轉(zhuǎn)化，即化折線為直線解決最值問題.
第二部分（非選擇題 共92分）
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 在空間直角坐標系中，點，點，點，則在方向上的投影向量的坐標為__________.
【答案】
【解析】
【分析】先求出和的坐標，再由在方向上的投影向量概念，寫出計算公式，代入向量坐標計算即得.
【詳解】依題意，,
因在方向上的投影向量為，
則由，
可知在方向上的投影向量的坐標為：.
故答案為：.
13. 現(xiàn)將大小和形狀相同的4個黑色球和4個紅色球排成一排，從左邊第一個球開始數(shù)，不管數(shù)幾個球，黑球數(shù)不少于紅球數(shù)的排法有______種．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題意，分情況討論，求出每種情況對應(yīng)的排法種數(shù)，即可得出結(jié)果．
【詳解】根據(jù)題意，將8個球的位置從左至右依次記為1、2、3、4、5、6、7、8號位置.
當前4個位置均排黑球時，后面4個位置也均為紅球，共1種排法；
當前4個位置有3個黑球時，則必有1個紅球，紅球所在位置可以是2、3、4號位置，有3種不同排法，后面4個位置有1個黑球，3紅球，其中黑球可以在5、6、7號位置，有3種不同排法，故共有種不同排法；
當前4個位置有2個黑球時，則必有2個紅球，此時黑球位置可以是1、2位置，也可以說是1、3號位置，有2種不同排法，后面4個位置也有2個黑球，2紅球，也有2種不同排法，故共有種不同排法.
綜上，共有種不同排法.
故答案為：
【點睛】本題主要考查排列組合，意在考查考生的化歸與轉(zhuǎn)化能力、運算求解能力、邏輯推理能力，考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運算、邏輯推理．本題解題的關(guān)鍵在于分前4個位置均排黑球，后面4個位置也均為紅球時；當前4個位置有3個黑球，1個紅球，后面4個位置有1個黑球，3紅球時；當前4個位置有2個黑球時，2個紅球，后面4個位置有2個黑球，2紅球三種情況討論求解.
14. 過拋物線上一動點作圓的兩條切線，切點分別為，若的最小值是，則______.
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)，利用圓的切線性質(zhì)，借助圖形的面積把表示為的函數(shù)，再求出函數(shù)的最小值即可.
【詳解】設(shè)，則，圓的圓心，半徑為，
由切圓于點，得，

則
，
當且僅當時，等號成立，
可知的最小值為，
整理可得，解得，
且，所以，
故答案為：.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)切線的性質(zhì)，將轉(zhuǎn)化為，根據(jù)面積結(jié)合幾何性質(zhì)求解.
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 《中國人群身體活動指南（2021）》中建議18～64歲的成年人每周進行150～300分鐘中等強度或75～150分鐘高強度有氧運動，或等量的中等強度和高強度有氧活動組合．某體育局隨機采訪了200名18～64歲的成年人，并將其每周進行有氧運動的時長是否達到建議要求情況制作成如下圖表：
（1）完成列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為成年人每周進行有氧運動時長是否達到建議要求與性別有關(guān)？
（2）從樣本中每周進行有氧運動時長未達到建議要求的成年人中按性別用分層隨機抽樣的方法抽取8人，再從這8人中隨機抽取3人，記為女性的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．
附：，．
【答案】（1）表格見解析，不能認為成年人每周進行有氧運動時長是否達到建議要求與性別有關(guān)．
（2）分布列見解析，．
【解析】
【分析】（1）根據(jù)列聯(lián)表求解卡方，即可與臨界值比較作答；
（2）由列聯(lián)表，根據(jù)分層抽樣可知抽取的8人中，女性有2人，男性有6人，利用超幾何分布計算可得分布列，計算可求得結(jié)果.
【小問1詳解】
（1）補全的列聯(lián)表如下：
零假設(shè)：成年人每周進行有氧運動時長是否達到建議要求與性別無關(guān)．
，
所以根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷不成立，
故不能認為成年人每周進行有氧運動時長是否達到建議要求與性別有關(guān)．
【小問2詳解】
由題可知抽取的8人中，女性有2人，男性有6人．
的所有可能取值為，
則，，，
所以的分布列為
所以．
16. 如圖，在五棱錐中，，，.

（1）證明：；
（2）求平面與平面夾角的正弦值.
【答案】（1）證明見解析
（2）.
【解析】
【分析】（1）由勾股定理逆定理得，結(jié)合，從而得到線面垂直，證明出；
（2）證明出平面，建立空間直角坐標系，寫出點的坐標，求出平面的法向量，利用法向量求出面面角的余弦值，進而求出正弦值.
【小問1詳解】
證明：在中，，所以，
所以，即，
又，所以，
因為，平面，所以平面，
又平面，所以；
【小問2詳解】
連接，在中，，
所以，
在中，，
所以，所以，即，
由（1）知，，又因為，平面，
所以平面.
以A為坐標原點，以所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，
過點作⊥軸于點，
因為，所以，
又，故，
則，

故，
設(shè)平面的法向量為，
則即不妨令，則，
則為平面的一個法向量，
依題意，為平面的一個法向量，
設(shè)平面與平面的夾角為，
則，
又因為，
所以平面與平面夾角的正弦值為.
17 已知圓上一點
（1）求圓在點處的切線方程；
（2）過點作直線交圓于另一點，點滿足，求直線的方程.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）先依題求得圓的方程，再求直線的斜率，即得切線斜率，由點斜式方程即得切線方程；
（2）設(shè)直線的點斜式方程，代入圓的方程，由韋達定理求出點A的坐標，計算弦長和點到直線的距離，由三角形面積公式列方程，解之即得直線的方程.
【小問1詳解】
由題意，點在圓上，可得，
因直線的斜率為，則圓在點處的切線斜率為，
故切線方程為，即；
【小問2詳解】
如圖， 由（1）知圓，又點，，
當直線的斜率不存在時，直線，易知此時，，
點到的距離為3，則，不符合題意；
當直線的斜率存在時，設(shè)直線，即，
代入中，整理得：，
設(shè)，由韋達定理，，即，
代入，可得，即，
于是，
則得，
點到直線的距離為：，
則，解得或，
故直線的方程為或.
18. 已知橢圓的離心率為，且過點.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）過橢圓的右焦點作直線交橢圓于兩點（點在軸的上方），且為橢圓的左頂點，若的面積為，求的值.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）利用橢圓上的點求出，，，可求橢圓的離心率；
（2）設(shè)出直線方程，與橢圓聯(lián)立方程組，利用韋達定理，根據(jù)的面積求出的值，再利用韋達定理和，求出的值．
【小問1詳解】
橢圓的離心率為，且過點，
，聯(lián)立解得：.
橢圓的標準方程為：.
【小問2詳解】
由（1）知：，記，
當直線的斜率為0時，三點共線，不合題意；
當直線的斜率不為0時，設(shè)直線的方程為：，
聯(lián)立：，.
，.
，
.
即，
整理得：，
令，即，
解得：（舍）或，即，
.
由知：且，
當時，滿足：，聯(lián)立解得：，
當時，滿足：，聯(lián)立解得：，
綜上，的取值為或.
19. 為了建設(shè)書香校園，營造良好的讀書氛圍，學(xué)校開展“送書券”活動該活動由三個游戲組成，每個游戲各玩一次且結(jié)果互不影響.連勝兩個游戲可以獲得一張書券，連勝三個游戲可以獲得兩張書券.游戲規(guī)則如下表：
（1）分別求出游戲一，游戲二的獲勝概率；
（2）當時，求游戲三的獲勝概率；
（3）一名同學(xué)先玩了游戲一，試問為何值時，接下來先玩游戲三比先玩游戲二獲得書券的概率更大.
【答案】（1）游戲一獲勝的概率為，游戲二獲勝的概率為
（2）
（3）的所有可能取值為5，6，7
【解析】
【分析】（1）根據(jù)古典概型概率計算公式來求得正確答案.
（2）根據(jù)古典概型概率計算公式來求得正確答案.
（3）根據(jù)相互獨立事件、互斥事件（對立事件）求得先玩游戲三或先玩游戲二獲得書券的概率，由此列不等式來求得的所有可能取值.
【小問1詳解】
設(shè)事件“游戲一獲勝”，“游戲二獲勝”，“游戲三獲勝”，游戲一中取出一個球的樣本空間為，則，
因為，所以，.所以游戲一獲勝的概率為.
游戲二中有放回地依次取出兩個球的樣本空間，
則，因為，
所以，所以，所以游戲二獲勝的概率為.
【小問2詳解】
游戲三中不放回地依次取出兩個球的樣本的個數(shù)為，
時，樣本的個數(shù)為2，所以所求概率為；
【小問3詳解】
設(shè)“先玩游戲二，獲得書券”，“先玩游戲三，獲得書券”，
則，且，，互斥，相互獨立，
所以
又，且，，互斥，
所以
若要接下來先玩游戲三比先玩游戲二獲得書券的概率大，則，
所以，即.
進行游戲三時，不放回地依次取出兩個球的所有結(jié)果如下表：
當時，，舍去
當時，，滿足題意，
因此的所有可能取值為.
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題第3小問的解決關(guān)鍵是利用互斥事件與獨立事件的概率公式求得先玩游戲二與先玩游戲三獲得書券的概率，從而得到游戲三獲勝的概率，由此得解.
年份代碼
1
2
3
4
5
6
7
年產(chǎn)量萬輛
31
33
38
44
性別
有氧運動時長
合計
達到建議要求
未達到建議要求
男性
30
120
女性
70
合計
0.050
0.025
0.001
3.841
5.024
10.828
性別
有氧運動時長
合計
達到建議要求
未達到建議要求
男性
90
30
120
女性
70
10
80
合計
160
40
200
0
1
2
游戲一
游戲二
游戲三
箱子中球的
顏色和數(shù)量
大小質(zhì)地完全相同的紅球3個，白球2個
（紅球編號為“1，2，3”，白球編號為“4，5”）
取球規(guī)則
取出一個球
有放回地依次取出兩個球
不放回地依次取出兩個球
獲勝規(guī)則
取到白球獲勝
取到兩個白球獲勝
編號之和為獲勝
第二次
第一次
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5

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