一、選擇題（每小題5分，共40分）
1. 已知，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
解不等式集合，再由交集定義運算．
【詳解】因為，，
所以.
故選：A.
【點睛】本題考查集合的交集運算，確定集合中的元素是解題關(guān)鍵．
2. 若冪函數(shù)的圖像不經(jīng)過原點，則的值為（ ）
A. 2B. -3C. 3D. -3或2
【答案】A
【解析】
【分析】先根據(jù)冪函數(shù)的定義求出的值，再根據(jù)函數(shù)不過原點，確定的值.
【詳解】由冪函數(shù)的定義得，
所以或.
當時，，函數(shù)的圖象不過原點；
當時，，函數(shù)的圖象過原點，與已知不相符.所以舍去.
故選A
【點睛】本題主要考查冪函數(shù)的定義及圖象性質(zhì)，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.
3. 已知函數(shù)的圖象恒過定點，則點的坐標為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)過定點的性質(zhì)即可確定P的坐標．
【詳解】令x+1＝0，解得x＝﹣1，此時f（﹣1）＝1﹣3＝﹣2．
∴點P的坐標為（﹣1，﹣2），
故選B．
【點睛】本題主要考查指數(shù)函數(shù)過定點的性質(zhì)，直接讓冪指數(shù)等于0即可求出定點的橫坐標，比較基礎(chǔ)．
4. 已知，，，則的大小關(guān)系為（ ）
A. B. .C. .D. .
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分別判斷出的取值范圍，從而可得結(jié)果
【詳解】因為，
，
所以，
故選：A.
【點睛】本題主要考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及比較大小問題，屬于基礎(chǔ)題.解答比較大小問題，常見思路有兩個：一是判斷出各個數(shù)值所在區(qū)間；二是利用函數(shù)的單調(diào)性直接解答；數(shù)值比較多的比大小問題也可以兩種方法綜合應用
5. 函數(shù)的零點所在的區(qū)間是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)零點存在性定理，結(jié)合即可得解.
【詳解】因為單調(diào)遞增，且，，所以的零點所在的區(qū)間是.
【點睛】本題主要考查了零點存在性定理的應用，屬于基礎(chǔ)題.
6. 函數(shù)的圖象大致是（ ）
A. B.
C D.
【答案】A
【解析】
【分析】結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)，可求出函數(shù)的定義域，并判斷函數(shù)的正負性，可選出答案.
【詳解】函數(shù)的定義域為，可排除選項C和D；
當時，；當時，，即選項A符合題意.
故選：A.
【點睛】本題考查函數(shù)的圖象性質(zhì)，考查學生的推理能力，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，屬于基礎(chǔ)題.
7. 設(shè)均為不等于的正實數(shù)，則“”是“”的
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】
首先通過對數(shù)運算可判斷出時，，得到充分條件成立；當時，可根據(jù)對數(shù)運算求出或或，得到必要條件不成立，從而可得結(jié)果.
【詳解】由，可得：，則，即
可知“”是“”的充分條件
由可知，則
或
或或
可知“”是“”的不必要條件
綜上所述：“”是“”的充分不必要條件
本題正確選項：
【點睛】本題考查充分條件、必要條件的判斷，關(guān)鍵是能夠通過對數(shù)運算來進行判斷.
8. 已知正數(shù)a，b，滿足，則的最小值為（ ）
A. 4B. 6C. 16D. 25
【答案】C
【解析】
【分析】將分式化簡，根據(jù)“1”的妙用可求出最值.
【詳解】因為，，
所以，
因為a，b均為正數(shù)，所以，也為正數(shù)，
則，
當且僅當即時，等號成立，此時的最小值為16.
故選：C.
二、選擇題（全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分，共18分）
9. 某地一年之內(nèi)12個月的月降水量分別為：46，51， 48，53，56， 53，56，64，58，56，66，71，則下列說法正確的是（ ）
A. 該地區(qū)的月降水量20%分位數(shù)為51
B. 該地區(qū)的月降水量50%分位數(shù)為53
C. 該地區(qū)的月降水量75%分位數(shù)為61
D. 該地區(qū)的月降水量80%分位數(shù)為64
【答案】ACD
【解析】
【分析】把12個月的月降水量數(shù)據(jù)從小到大排列，利用百分位數(shù)的定義求解即得.
【詳解】12個月的月降水量數(shù)據(jù)從小到大排列為：46，48，51，53，53，56，56，56，58，64， 66，71，
由，該地區(qū)的月降水量20%分位數(shù)為51，A正確；
由，該地區(qū)的月降水量50%分位數(shù)為，B錯誤；
由，該地區(qū)的月降水量75%分位數(shù)為，C正確；
由，該地區(qū)的月降水量80%分位數(shù)為64，D正確.
故選：ACD
10. 下列運算結(jié)果正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】利用對數(shù)運算法則計算可得AB正確，根據(jù)分數(shù)指數(shù)冪運算法則可得CD錯誤.
【詳解】對于A，由對數(shù)運算法則可得：
，所以A正確；
對于B，易知，即B正確；
對于C，因為，所以，即C錯誤；
對于D，易知，只有當時，才成立，即D錯誤；
故選：AB
11. 已知定義域為，值域為的函數(shù)滿足，，．當時，，則（ ）
A.
B. 為偶函數(shù)
C. 在上單調(diào)遞減
D. 不等式的解集為
【答案】ACD
【解析】
【分析】令，求得判斷A，賦值根據(jù)偶函數(shù)定義判斷B，根據(jù)單調(diào)性定義判斷C，根據(jù)單調(diào)性解不等式判斷D.
【詳解】令，得，解得或，
因為的值域為，所以，A正確；
令，得，
則，故為奇函數(shù)，B錯誤；
任取，，且，則，
由題意可得，
因為，所以，
又因為的值域為，所以，，
所以，則，即，
所以在上單調(diào)遞減，C正確；
不等式轉(zhuǎn)化為，
根據(jù)的單調(diào)性可得，解得，D正確.
故選：ACD
三、填空題（每小題5分，共15分）
12. 若冪函數(shù)在上是減函數(shù)，則m=________．
【答案】
【解析】
【分析】由冪函數(shù)定義算出，由函數(shù)單調(diào)性舍去錯誤答案即可得.
【詳解】又為冪函數(shù)，則有，解得或，
當時，，在上單調(diào)遞增，不符，故舍去，
當時，，在上是減函數(shù)，符合.
故答案為：.
13. 甲和乙兩射手射擊同一目標，命中的概率分別為0.7和0.8，兩人各射擊一次，假設(shè)事件“甲命中”與“乙命中”是獨立的，則至少一人命中目標的概率為________.
【答案】##
【解析】
【分析】利用獨立事件的乘法公式分別求出“僅有一人命中目標”的概率和“兩人同時命中目標”的概率，即可得出結(jié)果.
詳解】根據(jù)題意可知“至少一人命中目標”包括“僅有一人命中目標”和“兩人同時命中目標”兩個基本事件；
可得“僅有一人命中目標”的概率為；
“兩人同時命中目標”的概率為；
所以至少一人命中目標的概率為.
故答案為：
14. 函數(shù)的值域為，則a的取值范圍是________．
【答案】
【解析】
【分析】由題可知，是函數(shù)的值域的子集，利用即可解得或.
【詳解】根據(jù)題意可知，函數(shù)的值域應取遍內(nèi)的所有實數(shù)，
即需滿足，解得或；
所以a的取值范圍是.
故答案為：
四、解答題（共77分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
15. 已知集合或，.
（1）若，求，；
（2）若“”是“”的必要不充分條件，求的取值范圍.
【答案】（1）或，
（2）或
【解析】
【分析】（1）根據(jù)交集，并集，補集的概念進行求解；
（2）根據(jù)題目條件得到是的真子集，分與兩種情況，得到不等式，求出答案.
【小問1詳解】
時，，故或，
，或，
故；
【小問2詳解】
由題意得是的真子集，
若，則，解得，
若，則或，
解得，
故的取值范圍是或
16. 網(wǎng)購是目前很流行也很實用的購物方式.某購物網(wǎng)站的銷售商為了提升顧客購物的滿意度，隨機抽取100名顧客進行問卷調(diào)查，根據(jù)顧客對該購物網(wǎng)站評分的分數(shù)（滿分：100分），按分成5組，得到的頻率分布直方圖如圖所示.
（1）估計顧客對該購物網(wǎng)站的評分的中位數(shù)（結(jié)果保留整數(shù)）；
（2）若采用分層抽樣的方法從對該購物網(wǎng)站的評分在和內(nèi)的顧客中抽取6人，再從這6人中隨機抽取2人，求抽取的2人中恰有1人對該購物網(wǎng)站的評分在內(nèi)的概率.
【答案】（1）中位數(shù)為72
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)中位數(shù)左邊的直方圖面積為0.5求解即可；
（2）利用列舉法，結(jié)合古典概型的方法求解即可.
【小問1詳解】
因為，
所以顧客對該購物網(wǎng)站的評分的中位數(shù)在內(nèi).
設(shè)顧客對該購物網(wǎng)站的評分的中位數(shù)為，則，
解得，即估計顧客對該購物網(wǎng)站的評分的中位數(shù)為72.
【小問2詳解】
由頻率分布直方圖可知顧客評分在和內(nèi)的頻率分別是和，則采用分層抽樣的方法抽取的6人中，對該購物網(wǎng)站的評分在內(nèi)的有4人，記為，對該購物網(wǎng)站的評分在,內(nèi)的有2人，記為.
從這6人中隨機抽取2人的情況有，共15種.
其中符合條件的情況有，共8種，
故所求概率.
17. 已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)．
（1）求a的值；
（2）求函數(shù)的值域；
（3）當時，恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用函數(shù)是奇函數(shù)求解即可．
（2）利用指數(shù)函數(shù)的值域以及不等式的性質(zhì)求解即可．
（3）利用函數(shù)恒成立，參變分離，利用換元法，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求解最大值，推出結(jié)果即可．
【小問1詳解】
因為是定義在上的奇函數(shù)，
所以，解得，
當時，，此時，
所以時，是奇函數(shù).
所以；
【小問2詳解】
由（1）可得，
因為，可得，所以，
所以，
所以，
所以函數(shù)的值域為；
小問3詳解】
由可得，
即，可得對于恒成立，
令，
則，
函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，
所以，
所以，
所以實數(shù)m的取值范圍為．
【點睛】求不等式恒成立問題常用分離參數(shù)法
若不等式（是實參數(shù)）恒成立，將轉(zhuǎn)化為或恒成立，進而轉(zhuǎn)化為或，求最值即可.
18. 某企業(yè)生產(chǎn)某種電子設(shè)備的年固定成本為500（萬元），每生產(chǎn)x臺，需另投入成本（萬元），當年產(chǎn)量不足60臺時，（萬元）；當年產(chǎn)量不小于60臺時，，若每臺售價為100（萬元）時，該廠當年生產(chǎn)的該電子設(shè)備能全部銷售完.
（1）寫出年利潤y（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（臺）的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當年產(chǎn)量為多少臺時，該企業(yè)在這一電子設(shè)備的生產(chǎn)中所獲利潤最大？
【答案】（1）；（2）年產(chǎn)量為70臺時，該企業(yè)的設(shè)備的生產(chǎn)中所獲得利潤最大為1300（萬元）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)年利潤的定義，銷售收入減固定成本為500（萬元）減每生產(chǎn)x臺，投入成本（萬元）求解。
（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，求每一段的最大值，取最大的為分段函數(shù)的最大值.
【詳解】（1）當時，有
當時，有，
∴；
（2）由（1）可得：當時，有，
∴時，y取得最大值為1100（萬元），
當時，有（當且僅當時取等號）
即當時y取得最大值為1300（萬元）
綜上可得：年產(chǎn)量為70臺時，該企業(yè)的設(shè)備的生產(chǎn)中所獲得利潤最大為1300（萬元）.
【點睛】本題主要考查分段函數(shù)的實際應用，還考查了數(shù)學建模和解模的能力，屬于中檔題.
19. 已知定義在上的函數(shù)滿足且，.
（1）求的解析式；
（2）若不等式恒成立，求實數(shù)取值范圍；
（3）設(shè)，若對任意的，存在，使得，求實數(shù)取值范圍.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)列方程，求解即可；
（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性化簡不等式，分離參數(shù)，利用基本不等式求最值即可；
（3）由題意得，先根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得，再求解使得成立的實數(shù)取值范圍即可.
小問1詳解】
由題意知，，
即，所以，
故
【小問2詳解】
由（1）知，，
所以在上單調(diào)遞增，
所以不等式恒成立等價于恒成立，
即恒成立.
設(shè)，則，，當且僅當，即時，等號成立
所以，
故實數(shù)的取值范圍是
【小問3詳解】
因為對任意的，存在，使得，
所以在上的最小值不小于在上的最小值，
因為在上單調(diào)遞增，
所以當時，，
又的對稱軸為，，
當時，在上單調(diào)遞增，，解得，
所以；
當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，解得，所以；
當時，在上單調(diào)遞減，，解得，
所以，
綜上可知，實數(shù)的取值范圍是
【點睛】結(jié)論點睛：本題考查不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：
一般地，已知函數(shù)，，，.
（1）若，，有成立，則；
（2）若，，有成立，則；
（3）若，，有成立，則；
（4）若，，有成立，則的值域是的值域的子集.

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