1. 設(shè)，直線：，：，若，則m的值為（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】利用平行關(guān)系可得，從而求出的值.
【詳解】若，則，解得或，
故選：D.
2. 拋物線的準(zhǔn)線方程為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】將方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，即可求出其準(zhǔn)線方程.
【詳解】拋物線可化為，
故拋物線的準(zhǔn)線方程為.
故選：D.
3. 已知空間三點(diǎn)，，，在直線上有一點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的坐標(biāo)為( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)空間向量的坐標(biāo)表示與線性運(yùn)算得到的坐標(biāo)，利用垂直的向量滿足數(shù)量積為0進(jìn)行運(yùn)算，求解即可．
【詳解】由O（0，0，0），A（﹣1，1，0），B（0，1，1），
∴（﹣1，1，0），
且點(diǎn)H在直線OA上，可設(shè)H（﹣λ，λ，0），
則（﹣λ，λ﹣1，﹣1），
又BH⊥OA，
∴?0，
即（﹣λ，λ﹣1，﹣1）?（﹣1，1，0）＝0，
即λ+λ﹣1＝0，
解得λ，
∴點(diǎn)H（，，0）．
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查了空間向量的坐標(biāo)表示與運(yùn)算問(wèn)題，注意共線向量的坐標(biāo)表示，是基礎(chǔ)題．
4. 2024年4月22日至23日，習(xí)近平總書記在重慶市考察調(diào)研，某街道辦派甲、乙等6名志愿者到三個(gè)路口做引導(dǎo)員，每位志愿者去一個(gè)路口，每個(gè)路口兩位引導(dǎo)員，若甲和乙不能去同一個(gè)路口，則不同的安排方案總數(shù)為（ ）
A. 108種B. 54種C. 36種D. 72種
【答案】D
【解析】
【分析】利用間接法，先將志愿者安排出去，再排除甲和乙去同一路口的情況，結(jié)合組合數(shù)運(yùn)算求解.
【詳解】將志愿者安排出去，不同的安排方案總數(shù)為種，
甲和乙去同一路口，不同的安排方案總數(shù)為種，
所以甲和乙不能去同一個(gè)路口，則不同的安排方案總數(shù)為種.
故選：D.
5. 如圖，在平行六面體中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)均為6，且它們彼此的夾角都是，在下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（ ）
A. B.
C. D. 向量與的夾角是
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)平行六面體的向量運(yùn)算、向量的模、向量的夾角，數(shù)量積等概念和公式.通過(guò)向量運(yùn)算法則分別對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分析判斷.
【詳解】對(duì)于A，在平行六面體中，根據(jù)向量加法的三角形法則，，
由于，，所以，選項(xiàng)A正確.
對(duì)于B，已知以頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)均為，且它們彼此的夾角都是.
，則
.所以，選項(xiàng)B正確.
對(duì)于C，，
，
因?yàn)?，所以，選項(xiàng)C正確.
對(duì)于D，，設(shè)向量與的夾角為
，
，
所以，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.
故選：D.
6. 已知復(fù)數(shù)z滿足，則的最大值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】設(shè)，由可得，，故的最大值為點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的最大距離，繼而即可求解.
【詳解】設(shè)，由，可得，
所以，
故的最大值為點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的最大距離，
即.

故選：.
7. 下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是（ ）．
①?gòu)?0名男生，5名女生中選取4人，則其中至少有一名女生的概率為
②若隨機(jī)變量，則方差
③若隨機(jī)變量，，則
④已如隨機(jī)變量X的分布列為，則
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)對(duì)立事件的概率可判斷①；根據(jù)二項(xiàng)分布的方差以及方差的性質(zhì)即可判斷②，根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性可判斷③，根據(jù)隨機(jī)變量的分布列即可判④.
【詳解】設(shè)至少有一名女生為事件 ，則，則，①錯(cuò)誤；
因?yàn)殡S機(jī)變量，所以，，②正確；
根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)，，所以，，③正確；
，得，
可得，解得，所以，④正確；
綜上，正確命題的個(gè)數(shù)為3.
故選：C.
8. 已知拋物線的焦點(diǎn)F是雙曲線的右焦點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)線與雙曲線的漸近線交于A，B兩點(diǎn).若是等邊三角形，則雙曲線的方程為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出拋物線的焦點(diǎn)、準(zhǔn)線方程，由已知求出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出即可求解得答案.
【詳解】依題意，拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，
即直線，不妨令點(diǎn)在第二象限，
由是等邊三角形，得直線的方程為，
于是點(diǎn)，
顯然點(diǎn)在雙曲線的漸近線上，則，
又，解得，，
所以雙曲線的方程為.
故選：C
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，P是C上任意一點(diǎn)，則（ ）
A. 長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6B. 兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，
C. 的最大值是5D. 的周長(zhǎng)為12
【答案】AC
【解析】
【分析】先把橢圓C方程化為，然后結(jié)合橢圓定義和性質(zhì)等一一判斷即可.
【詳解】橢圓化為，
于是，，所以長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，A正確；
由方程可知，橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)在y軸上，
又，所以兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，B錯(cuò)誤;
由橢圓的性質(zhì)知的最大值為，C正確;
根據(jù)橢圓的定義知的周長(zhǎng)，D錯(cuò)誤.
故選：AC.
10. 甲罐中有5個(gè)紅球，2個(gè)白球和3個(gè)黑球，乙罐中有4個(gè)紅球，3個(gè)白球和3個(gè)黑球（球除顏色外，大小質(zhì)地均相同）．先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，分別以，和表示由甲罐中取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再?gòu)囊夜拗须S機(jī)取出一球，以B表示由乙罐中取出的球是紅球的事件．下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 事件與相互獨(dú)立；B. ；
C. ；D. ，，是兩兩互斥事件
【答案】BCD
【解析】
【分析】求出各事件的概率，即可得出結(jié)論.
【詳解】由題意，
，和表示由甲罐中取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再?gòu)囊夜拗须S機(jī)取出一球，以B表示由乙罐中取出的球是紅球的事件．
顯然，，，是兩兩互斥的事件，D正確
且，，
而，A錯(cuò)誤，
，，
所以，B正確；
，C正確；
故選：BCD.
11. 如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，平面，則（ ）

A. B.
C. 平面D. 異面直線與夾角的余弦值為
【答案】ACD
【解析】
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量的線性運(yùn)算判斷A，由向量模的坐標(biāo)表示判斷B，根據(jù)數(shù)量積為0證明垂直判斷C，由異面直線所成角的向量求法判斷D.
【詳解】因?yàn)槠矫嫫矫?，所以?br>在正方形中，有，所以兩兩互相垂直，所以以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

而，從而，，，
對(duì)于A，，故A正確；
對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，，平面的一個(gè)法向量為，故C正確；
對(duì)于D，，所以異面直線與夾角的余弦值為，故D正確．
故選：ACD．
三、填空題：本題共3個(gè)小題，每小題5分，共15分.
12. 某中學(xué)2400名學(xué)生參加一分鐘跳繩測(cè)試.經(jīng)統(tǒng)計(jì)，成績(jī)近似服從正態(tài)分布，已知成績(jī)小于76的有300人，則可估計(jì)該校一分鐘跳繩成績(jī)?cè)?08~140之間的人數(shù)約為_(kāi)_______.
【答案】900
【解析】
【分析】利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性可求得答案.
【詳解】由題意可知，,
因?yàn)槌煽?jī)服從正態(tài)分布，
所以
所以跳繩成績(jī)?cè)?08~140之間的人數(shù)約為.
故答案為：900.
13. 直三棱柱中，是中點(diǎn)，則與CD所成角的余弦值為_(kāi)_____.
【答案】##
【解析】
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求線線角.
【詳解】設(shè)，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系,
則，
.
，
，.
設(shè)直線與CD所成角為，
則.
故與CD所成角的余弦值為.
故答案為：.
14. 已知雙曲線的一條漸近線與雙曲線的一條漸近線關(guān)于直線對(duì)稱，且這兩條漸近線的夾角為30°，則雙曲線與的離心率之積為_(kāi)_____.
【答案】##
【解析】
【分析】根據(jù)條件可得漸近線的傾斜角，進(jìn)而計(jì)算漸近線的斜率，根據(jù)離心率與漸近線斜率之間的關(guān)系可得結(jié)果.
【詳解】
不妨設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為，且在第一象限內(nèi)在直線下方，
雙曲線的一條漸近線方程為，且在第一象限內(nèi)在直線上方，
因?yàn)檫@兩條漸近線關(guān)于直線對(duì)稱，夾角為，直線的傾斜角為，
所以漸近線的傾斜角為，漸近線的傾斜角為，
所以，
故雙曲線的離心率為，
雙曲線的離心率為，
故與的離心率之積為.
故答案為：.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.
15. 已知圓經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，且圓心在直線上.
（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過(guò)點(diǎn)直線與圓相交于兩點(diǎn)，且為直角三角形，求的方程.
【答案】（1）
（2）或.
【解析】
【分析】（1）由待定系數(shù)法即可求解；
（2）根據(jù)題意可得圓心到直線的距離，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式即可求解.
【小問(wèn)1詳解】
∵圓心在直線上，
∴設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
∵圓經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，
∴，解得，，
∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
【小問(wèn)2詳解】
∵為直角三角形，,
∴圓心到直線距離.
當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線的方程為，
則圓心到直線的距離，不符合題意；
所以直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，即，
∵圓心到直線的距離，
∴，解得，
∴直線的方程為或.
16. 已知.
（1）求n的值；
（2）求的值；
（3）求的值（結(jié)果用數(shù)字表示）.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題目條件，令，化簡(jiǎn)可得的值.
（2）根據(jù)題目條件，令，化簡(jiǎn)可得結(jié)果.
（3）結(jié)合二項(xiàng)式展開(kāi)式通項(xiàng)公式可得，結(jié)合組合數(shù)性質(zhì)求值可得結(jié)果.
【小問(wèn)1詳解】
在中，
令，得，所以.
【小問(wèn)2詳解】
在中，
令，得，
所以.
【小問(wèn)3詳解】
∵的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，
∴.
17. 如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，M是PA的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，PD⊥平面ABCD，且，．
（1）求證：平面PCD；
（2）求AP與平面CMB所成角的正弦值；
（3）求二面角的余弦值．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）取中點(diǎn)為，分別連接，利用中位線性質(zhì)得，再根據(jù)線面平行的判定即可.
（2）以為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，求平面的法向量，用向量的方法求直線與平面所成角的正弦值；
（3）求平面的法向量，用向量的方法求二面角的余弦值．
【小問(wèn)1詳解】
取中點(diǎn)為，分別連接，
又因?yàn)槭荘A的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，所以，
，所以，，所以四邊形為平行四邊形，
所以，又因?yàn)槠矫?，平面?br>所以平面PCD.
【小問(wèn)2詳解】
以為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示
則，
，
設(shè)平面的法向量，則
，即，令，則，.
設(shè)直線與平面所成的角為，則
.
所以與平面所成角的正弦值為.
【小問(wèn)3詳解】
.
設(shè)平面的法向量，則
，即，
令，則..
又平面的法向量.
設(shè)二面角的大小為，則為銳角，
，
所以二面角的余弦值為．
18. 巴黎奧運(yùn)會(huì)于2024年7月26日至8月11日舉行．某體育局為普及奧運(yùn)知識(shí)，組織了答題活動(dòng)．設(shè)置一個(gè)抽題箱，箱中有若干裝有題目的小球，小球大小、顏色、質(zhì)量都一樣．每個(gè)小球內(nèi)只有一道題目，每道題目只有一個(gè)分值，題目分值分別為2分、10分．抽取規(guī)則：每次從抽題箱抽取一個(gè)小球，對(duì)小球中題目作答后將該題目放回原球內(nèi)，并把小球放回抽題箱，搖勻后，再抽?。阎?分題目小球被抽到的概率為，10分題目小球被抽到的概率為．
（1）若甲抽取3次，記表示甲3次抽取題目分值之和，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．
（2）若甲、乙各抽取4次，已知甲前兩次抽出題目分值之和為20，記事件“乙抽出題目分值之和大于甲抽出題目分值之和”，求．
【答案】（1）分布列見(jiàn)解析，12
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意列出的所有可能取值，利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率計(jì)算公式求解即可；
（2）根據(jù)條件概率，全概率公式計(jì)算即可.
【小問(wèn)1詳解】
的所有可能取值為．
，，
，，
所以的分布列為
所以．
小問(wèn)2詳解】
記“甲抽出題目分值之和為”，，
則，．
當(dāng)甲抽出題目分值之和為24時(shí)，乙抽出題目分值之和需為32或40，
所以；
當(dāng)甲抽出題目分值之和為32時(shí)，乙抽出題目分值之和需為40，
所以．
故
．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題以巴黎奧運(yùn)會(huì)為背景，以摸球答題為情境，貼近學(xué)生實(shí)際生活，提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)了學(xué)生的探究熱情．第（1）小題考查二項(xiàng)分布的分布列和數(shù)學(xué)期望，抽象出二項(xiàng)分布的模型是解題關(guān)鍵，相對(duì)而言比較基礎(chǔ)，也是大部分學(xué)生的得分點(diǎn)；第（2）小題考查全概率公式，注意正確地進(jìn)行分類討論，確定好分類標(biāo)準(zhǔn)是關(guān)鍵，同時(shí)還要做到不重不漏．
19. 如圖，已知橢圓的上、下焦點(diǎn)分別為，，焦距為2，離心率為，稱圓心在橢圓上運(yùn)動(dòng)，且半徑為的圓是橢圓的“環(huán)繞圓”.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）記直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)，“環(huán)繞圓”的面積為，三角形的面積為，試判斷，是否存在點(diǎn)，使，若存在，求滿足條件的直線的條數(shù)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）若過(guò)原點(diǎn)可作“環(huán)繞圓”的兩條切線，分別交橢圓于、兩點(diǎn)，直線，的斜率存在，記為，，求的最小值.
【答案】（1）；
（2）存在，2條； （3）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)焦距、離心率及參數(shù)關(guān)系求標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)直線為，，聯(lián)立橢圓并應(yīng)用韋達(dá)定理得，，根據(jù)及已知列方程求參數(shù)k，即可得答案.
（3）設(shè)切線方程為，切線方程為，且，根據(jù)相切關(guān)系得到是的兩個(gè)不相等實(shí)根，由韋達(dá)定理求出.
【小問(wèn)1詳解】
由橢圓的焦距為，離心率為，得，，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
【小問(wèn)2詳解】
由（1）知：，顯然直線不與軸重合，設(shè)直線為，，
由消去得，，
則，圓半徑為1，則，
于是，即，解得，
所以滿足條件的直線有2條.
【小問(wèn)3詳解】
設(shè)切線方程為，切線方程為，且，，
由圓與相切，得，化簡(jiǎn)得，
同理，于是是的兩個(gè)不相等實(shí)根，
則，由在橢圓上，得，
因此，而，則當(dāng)時(shí)，取得最小值，
所以的最小值為.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求出兩條切線方程，再構(gòu)造一元二次方程是求解第3問(wèn)的關(guān)鍵.6
14
22
30

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