1. .若隨機(jī)變量的分布列為，其中，則下列結(jié)果中正確的是
A.
B.
C.
D
【答案】C
【解析】
【詳解】試題分析：由離散型隨機(jī)變量的概率關(guān)系可知：.則.
考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的概率、數(shù)學(xué)期望和方差.
2. 已知，則（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先計(jì)算z，再求
【詳解】解：因?yàn)?，所以?br>所以，則，所以
故選：
3. 如圖，在四面體中，，，，，，且（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合空間向量的線性運(yùn)算法則，即可求解．
【詳解】，，
，
即.
故選：D.
4. 若，，則的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)已知條件利用賦值法，令和即可求解.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以令，可得，
又令，可得，
所以，
故選：D.
5. 已知直線與圓交于不同的兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，且有，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】設(shè)中點(diǎn)為C，由條件得出與的關(guān)系結(jié)合點(diǎn)到直線的距離解不等式即可.
【詳解】設(shè)中點(diǎn)為C，則，
∵，
∴，∴，
∵，即，
又∵直線與圓交于不同的兩點(diǎn)，
∴，故，
則，
.
故選：C．
6. 某醫(yī)療儀器上有、兩個(gè)易耗元件，每次使用后，需要更換元件的概率為，需要更換元件的概率為，則在第一次使用后就要更換元件的條件下，、兩個(gè)元件都要更換的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】記事件第一次使用后就要更換元件，事件、兩個(gè)元件都要更換，計(jì)算出、的值，利用條件概率公式可求得的值.
【詳解】記事件第一次使用后就要更換元件，事件、兩個(gè)元件都要更換，
則，，
由條件概率公式可得.
故選：C.
7. 某校有5名大學(xué)生打算前往觀看冰球，速滑，花滑三場(chǎng)比賽，每場(chǎng)比賽至少有1名學(xué)生且至多2名學(xué)生前往，則甲同學(xué)不去觀看冰球比賽的方案種數(shù)有（ ）
A. 48B. 54C. 60D. 72
【答案】C
【解析】
【分析】先分組，再考慮甲特殊情況.
【詳解】將5名大學(xué)生分為1-2-2三組，即第一組1個(gè)人，第二組2個(gè)人，第三組2個(gè)人，
共有 種方法；
由于甲不去看冰球比賽，故甲所在的組只有2種選擇，剩下的2組任意選，
所以由 種方法；
按照分步乘法原理，共有 種方法；
故選：C.
8. 已知圓與雙曲線，若在雙曲線上存在一點(diǎn)，使得過點(diǎn)能作圓的兩條切線，切點(diǎn)為，且，則雙曲線的離心率的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)切線求得，根據(jù)雙曲線的性質(zhì)可得的不等式，從而得出的不等式，結(jié)合離心率公式求解即可．
【詳解】如圖，，又，所以，
而是圓切線，則，
在中，，因此有，
從而，而，所以，
在雙曲線上，因此，所以，
∴，從而，
∴雙曲線的離心率.
故選：B．
二、多選題
9. 如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為2，則下列說法正確的是（ ）
A.
B. 平面
C. 直線與平面所成的角為
D. 點(diǎn)與平面的距離為
【答案】ABD
【解析】
【分析】A選項(xiàng)，建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算出，得到；B選項(xiàng)，證明出四邊形為平行四邊形，故，從而得到線面平行；C選項(xiàng)，求出平面的法向量，由線面角的求解公式進(jìn)行求解；D選項(xiàng)，求出平面的法向量，由點(diǎn)到平面的距離公式求出答案.
【詳解】A選項(xiàng)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
，
故，
故，所以，
故，A正確；
B選項(xiàng)，因?yàn)?，，所以四邊形為平行四邊形?br>故，
又平面，平面，故平面，B正確；
C選項(xiàng)，平面的一個(gè)法向量為，
又，故
設(shè)直線與平面所成的角大小為，
則，
故直線與平面所成的角不為，C錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)，，
則，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，
令，則，故，
故點(diǎn)與平面的距離為，D正確.
故選：ABD
10. 某高校甲、乙兩個(gè)班級(jí)舉行團(tuán)建活動(dòng)，在活動(dòng)中甲、乙兩個(gè)班各派出由6人組成的一支隊(duì)伍參加一項(xiàng)游戲．甲班的隊(duì)伍由2個(gè)女生和4個(gè)男生組成，乙班的隊(duì)伍由4個(gè)女生和2個(gè)男生組成，為了增加游戲的趣味性，先從甲班的隊(duì)伍中抽取一名同學(xué)加入乙班的隊(duì)伍，以分別表示由甲班隊(duì)伍中抽出的是女生和男生；再?gòu)囊野嗟年?duì)伍中隨機(jī)抽取一名同學(xué)加入甲班的隊(duì)伍，以表示從乙班隊(duì)伍中抽出的是女生，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 事件與事件互斥B. 事件與事件B相互獨(dú)立
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)條件概率，全概率公式，互斥事件和相互獨(dú)立事件的概念逐一分析判斷即可.
【詳解】由題意知，不可能同時(shí)發(fā)生，所以互斥，故A正確；
，，故C正確；
所以，，
所以，
則，
所以事件與事件B不相互獨(dú)立，故B錯(cuò)誤，D正確.
故選：ACD.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：用定義法求條件概率的步驟：
（1）分析題意，弄清概率模型；
（2）計(jì)算、；
（3）代入公式求.
11. 已知橢圓的左右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，左右兩個(gè)頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn)（與不重合），，則下列命題中，正確的命題是（ ）
A. B. 的最大面積為
C. 存在點(diǎn)，使得D. 的周長(zhǎng)最大值是
【答案】AD
【解析】
【分析】設(shè)，表示出和，利用橢圓方程化簡(jiǎn)即可判斷AC；結(jié)合圖形求解可判斷B；利用橢圓定義將的周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為，結(jié)合圖形求解可判斷D.
【詳解】對(duì)A，由題知，，則，
設(shè)，，
則，A正確；
對(duì)B，易知當(dāng)點(diǎn)為短軸端點(diǎn)時(shí)，的面積最大，最大值為，B錯(cuò)誤；
對(duì)C，，
則，C錯(cuò)誤；
對(duì)D，由橢圓定義可知，，所以，
又，
所以，
當(dāng)三點(diǎn)共線，且在線段上時(shí)，等號(hào)成立，D正確.
故選：AD
三、填空題
12. 已知圓和圓，觀察可得它們都經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，除此之外，它們還相交于一點(diǎn)，這點(diǎn)的坐標(biāo)是______．
【答案】
【解析】
【分析】將兩圓方程聯(lián)立解方程組即可求得該點(diǎn)坐標(biāo).
【詳解】聯(lián)立兩圓方程，解得或，
即可得這點(diǎn)的坐標(biāo)為.
故答案為：
13. 曲線C是平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)和的距離的積等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡．給出下列五個(gè)結(jié)論：
①曲線C過坐標(biāo)原點(diǎn)；
②曲線C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱；
③若點(diǎn)P在曲線C上，則的面積不大于．
④曲線C與橢圓只有兩個(gè)公共點(diǎn)；
其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是_________．
【答案】②③④
【解析】
【分析】由題意曲線是平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)和的距離的積等于常數(shù)，利用直接法，設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為，及可得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，然后由方程特點(diǎn)即可加以判斷．
【詳解】對(duì)于①，由題意設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為，
則利用題意及兩點(diǎn)間的距離公式的得：，
將原點(diǎn)代入驗(yàn)證，此方程不過原點(diǎn)，所以①錯(cuò)；
對(duì)于②，把方程中的被代換，被代換，方程不變，
故此曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故②正確；
對(duì)于③，若點(diǎn)在曲線上，則，
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
故的面積不大于，故③正確．
對(duì)于④，橢圓上任意一點(diǎn)到和的距離之和為，即.
又曲線C上任意點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)和的距離的積等于常數(shù)，即.
由基本不等式，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).
故曲線C與橢圓只有兩個(gè)公共點(diǎn)，即橢圓的上下頂點(diǎn).
故④正確.
故答案為：②③④
14. 如圖，正方形與正方形所在平面互相垂直，，，分別是對(duì)角線，上的動(dòng)點(diǎn)，則線段的最小長(zhǎng)度為_________．
【答案】##
【解析】
【分析】根據(jù)面面垂直的性質(zhì)和線面垂直的性質(zhì)可得，由題意建立如圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，()，，，，利用空間向量的坐標(biāo)表示可得，結(jié)合基本不等式計(jì)算即可求解.
【詳解】由題意知，，
由正方形正方形，正方形正方形，正方形，
得正方形，又正方形，所以，
建立如圖空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，()，，，
則，，
得，，
所以，，
得，
有
，
當(dāng)且僅當(dāng)即即時(shí)，等號(hào)成立，
所以，即線段MN的最小長(zhǎng)度為.
故答案為：.
四、解答題
15. 回答下列問題，請(qǐng)寫出必要的答題步驟：
（1）若（a，b為有理數(shù)），請(qǐng)求出的值．
（2）已知，求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)展開式的通項(xiàng)公式計(jì)算即可；
（2）根據(jù)題干中展開式的特征，將變形為，再求系數(shù)即可.
【小問1詳解】
因?yàn)檎归_式的通項(xiàng)公式為：，
所以，
，
因此，.
【小問2詳解】
因?yàn)椋?br>所以，，
因此，.
16. （1）①計(jì)算：；
②已知，求.
（2）一場(chǎng)小型晚會(huì)有2個(gè)唱歌節(jié)目和3個(gè)相聲節(jié)目，要求排出一個(gè)節(jié)目單.
①.3個(gè)相聲節(jié)目要排在一起，有多少種排法？（結(jié)果用數(shù)值表示）
②.2個(gè)唱歌節(jié)目不相鄰，有多少種排法？（結(jié)果用數(shù)值表示）
（3）如圖，
從左到右共有5個(gè)空格，用4種不同顏色給5個(gè)空格涂色，要求相鄰空格用不同的顏色涂色，一共有多少種涂色方案？（結(jié)果用數(shù)值表示）
【答案】（1）①；②；2或3（2）①36；②72；（3）324
【解析】
【分析】（1）①直接按照算符展開計(jì)算即可；②根據(jù)組合數(shù)相等的情形分兩種情況討論即可；（2）①相鄰問題用捆綁法，②不相鄰插空法即可；（3）從左往右依次對(duì)每個(gè)空格涂色，然后用乘法原則即可.
【詳解】（1）①：
②或解之：或
（2）①將三個(gè)相聲節(jié)目看成一個(gè)整體，總共三個(gè)節(jié)目排列：（種）；
②先將相聲節(jié)目排好，然后再將唱歌節(jié)目插入其中的空中：（種）；
（3）從左往右依次涂色：（種）
17. 某學(xué)校組織游戲活動(dòng)，規(guī)則是學(xué)生從盒子中有放回的摸球且每次只能摸取1個(gè)球，每次摸球結(jié)果相互獨(dú)立，盒中有1分和2分的球若干，摸到1分球的概率為，摸到2分球的概率為．
（1）學(xué)生甲和乙各摸一次球，求兩人得分相等的概率；
（2）若學(xué)生甲摸球2次，其總得分記為X，求隨機(jī)變量X的分布列與期望；
（3）學(xué)生甲、乙各摸5次球，最終得分若相同，則都不獲得獎(jiǎng)勵(lì)；若不同，則得分多者獲得獎(jiǎng)勵(lì)．已知甲前3次摸球得了6分，求乙獲得獎(jiǎng)勵(lì)的概率．
【答案】（1）
（2）分布列見解析，期望為
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，甲乙同時(shí)摸到1分球或2分球，結(jié)合概率的乘法公式，即可求解；
（2）根據(jù)題意，變量可能取值為，求得相應(yīng)的概率，列出分布列，結(jié)合期望的公式，即可求解；
（3）記“甲最終得分為分”，其中，“乙獲得獎(jiǎng)勵(lì)”，結(jié)合相互獨(dú)立事件的概率公式以及條件概率和全概率公式，即可求解.
【小問1詳解】
解：由題意，摸到1分球的概率為，摸到2分球的概率為，
若學(xué)生甲和乙各摸一次球，甲乙的得分相同，則甲乙同時(shí)摸到1分球或2分球，
所以兩人得分相等的概率為.
【小問2詳解】
解：由題意知，學(xué)生甲摸球2次的總得分的可能取值為，
可得，
所以隨機(jī)變量的分布列為：
所以，期望為.
【小問3詳解】
解：記“甲最終得分為分”，其中，“乙獲得獎(jiǎng)勵(lì)”，
可得，
當(dāng)甲的最終得分為9分時(shí)，乙獲得獎(jiǎng)勵(lì)需要最終得分為10分，
則；
當(dāng)甲最終得分為8分時(shí)，乙獲得獎(jiǎng)勵(lì)需要最終得分為10分或9分，
則，
所以，
所以乙獲得獎(jiǎng)勵(lì)的概率為.
18. 如圖所示，在四棱錐中，底面為梯形，且滿足，，平面平面.
（1）求證：；
（2）若，點(diǎn)在線段上，當(dāng)二面角大小為時(shí)，求四棱錐的體積.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由面面垂直的性質(zhì)定理得到，再由線面垂直的判定定理證明平面可得到；
（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出平面和平面的一個(gè)法向量，代入空間二面角公式解出，再由棱錐的體積公式求解即可.
【小問1詳解】
證明：連接BD，直角梯形ABCD中，易得，
又，
又平面平面，平面平面，平面，
平面平面，
，又，平面，
平面平面，
.
【小問2詳解】
如圖，取的中點(diǎn)的中點(diǎn)，連接，
由題意可得，
平面平面平面平面，平面，
平面，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
設(shè)，則，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，
令得，
又平面平面的一個(gè)法向量，
，令，解得或（舍）.
即為的靠近的三等分點(diǎn)時(shí)，二面角的平面角為，
平面，且，
到平面的距離為，又四邊形的面積為3，
四棱錐的體積.
19. 設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為為上一點(diǎn)．已知點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，且點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離是．點(diǎn)為圓上的點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，記兩切線的斜率分別為．
（1）求拋物線的方程；
（2）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，求值；
（3）設(shè)直線與軸分別交于點(diǎn)，求的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用點(diǎn)在拋物線上及拋物線的定義即可求解；
（2）利用直線的點(diǎn)斜式方程設(shè)出切線方程，切線方程與拋物線的方程聯(lián)立，利用切線與拋物線的位置關(guān)系即可求解；
（3）利用直線的點(diǎn)斜式方程設(shè)直線線方程，切線方程與拋物線的方程聯(lián)立，利用切線與拋物線的位置關(guān)系，求出直線，同理即可得出,進(jìn)而求出直線的方程，利用兩點(diǎn)間的距離公式及點(diǎn)在圓上即可求解.
【小問1詳解】
將代入中，得，所以，
由題意可知，，
因?yàn)辄c(diǎn)到焦點(diǎn)的距離是，
所以,解得，
故拋物線的方程為.
【小問2詳解】
設(shè)切線方程為，
由，消去，得，
因?yàn)榍芯€與拋物線有一個(gè)交點(diǎn)，
所以，得，
所以.
【小問3詳解】
設(shè)，設(shè)直線的方程為，
，消去，得，
因?yàn)橹本€與拋物線有一個(gè)交點(diǎn)，
，解得，
所以直線的方程為，令，則，，
同理直線的方程為,令，則，，
設(shè)代入，得，則直線的方程為，
由，消去，得，
所以，
所以，，
所以
又在圓上，
所以，即，
故.
綜上可知，的取值范圍為.
2
3
4

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