考生注意：
1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.答卷前，考生務必將自己的姓名?準考證號填寫在答題紙上.
2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題紙上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.寫在本試卷上無效.回答非選擇題時，將答案寫在答題紙上.寫在本試卷上無效.
3.考試結束后，將本試卷與答題卡一并由監(jiān)考人員收回.
一?單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求.
1. 與直線關于x軸對稱的直線的方程為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由在直線上，則點在該直線關于x軸對稱的直線上，即可確定所求的直線.
【詳解】若在直線上，則點在該直線關于x軸對稱的直線上，
顯然在A中的直線上，但不在B、C、D中的直線上.
故選：A
2. 直線的傾斜角為（ ）
A. B. C. D. 不存在
【答案】C
【解析】
【分析】根據直線的方程，利用斜率和傾斜角的關系求解.
【詳解】，由于為常數(shù)，則直線的傾斜角為90°.
故選：C.
3. 已知等比數(shù)列中，，，則等于（ ）
A. B. C. 6D. 不確定
【答案】B
【解析】
【分析】由等比中項即可求解；
【詳解】由，可得：，
又等比數(shù)列所有奇數(shù)項同號，，
所以，
故選：B
4. 我們把平面內與直線垂直的非零向量稱為直線法向量，在平面直角坐標系中，過的直線的一個法向量為，則直線的點法式方程為：，化簡得.類比以上做法，在空間直角坐標系中，經過點的平面的一個法向量為，則該平面的方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據點法式方程的定義即可求解.
【詳解】與平面向量類比，得到空間直角坐標系中，經過點的平面的一個法向量為，
則該平面的方程為：，
化簡得.
故選：A.
5. 方程所表示的圖形是（ ）
A. 一個圓B. 一個半圓C. 兩個圓D. 兩個半圓
【答案】D
【解析】
【分析】根據和，平方化簡可得圓的方程，即可求解.
【詳解】由于，故或，
當時，則，平方可得，表示圓心為半徑為2的右半圓，
當時，則，平方可得，表示圓心為半徑為2的左半圓，
故選：D
6. 已知等比數(shù)列的前n項和為，則（ ）
A. 2B. C. D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】利用等比數(shù)列性質，求解.，
【詳解】解：由等比數(shù)列性質有，即，解得，
則，
故選：A．
7. 已知橢圓的一個焦點是，過原點的直線與相交于點，，的面積是，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】設直線方程，聯(lián)立直線與橢圓，根據的面積求出，利用弦長公式求出弦長.
【詳解】如圖：
由題，不妨設，直線斜率存在，
設直線方程，
聯(lián)立，
，
，
解得，
故，
故選：D.
8. 已知函數(shù)的圖象與x軸有兩個不同的交點，則實數(shù)m的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】問題化為且圖象有兩個交點，利用導數(shù)研究的性質并畫出函數(shù)圖象草圖，數(shù)形結合求參數(shù)范圍.
【詳解】由題，方程有兩個實數(shù)根，即，
所以且圖象有兩個交點，
設，則，令，解得，
當在上單調遞減，
當在上單調遞增，
所以有極小值，
當時，且，當時，，
作出函數(shù)的大致圖象，
故，解得.
故選：C
二?多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 設數(shù)列的前n項和為，則下列結論正確的是（ ）
A. B. 數(shù)列為遞增數(shù)列
C. 數(shù)列為等差數(shù)列D. 當取最小值時，
【答案】ABD
【解析】
【分析】A. 由遞推求解判斷；C.由，利用累加法求解判斷；B.由，利用二次函數(shù)的單調性判斷；D.由數(shù)列為遞增數(shù)列，且判斷.
【詳解】解：由題意，，所以選項A對；
，由累加法有：
，，
顯然滿足上式，則，
所以，所以數(shù)列不是等差數(shù)列，所以選項C錯誤；
又，且在區(qū)間單調遞增，
所以數(shù)列為遞增數(shù)列，所以選項B對：
數(shù)列為遞增數(shù)列，，所以取最小值時，，故選項D對.
故選：ABD.
10. 已知拋物線的焦點為，準線與軸交于點，過點的直線交拋物線于，兩點，分別過，作準線的垂線，垂足為，，線段的中點為，則下列結論正確的是（ ）
A. 線段長度的最小值為
B. 若，，則定值
C.
D. 若，則直線傾斜角的正弦值為
【答案】ACD
【解析】
【分析】先求拋物線的焦點坐標，準線方程，設直線的方程為，聯(lián)立方程組可得，，由此判斷B，結合焦點弦公式求線段長度的最小值，判斷A，證明判斷C，結合條件求的坐標，結合兩點斜率公式求直線傾斜角的正切值，再求其正弦值，判斷D.
【詳解】拋物線的焦點的坐標為，準線方程為，
準線與軸的交點的坐標為，
若直線的斜率為，直線的方程為，
此時直線與拋物線的交點為，與條件矛盾，
故直線的斜率不為，設直線的方程為，
聯(lián)立，消可得，，
方程的判別式，
由已知為方程的兩個實根，
所以，，B錯誤；
所以，
當且僅當時等號成立，
所以當時，線段長度取最小值，最小值為；A正確；
由已知，，
所以點的坐標為，即，
所以，，
所以，
又，，
所以，
所以，C正確；
若，則直線的斜率為，點在第一象限，
所以，又，
所以，
所以，所以或（舍去），
設直線傾斜角為，則，
所以，
所以直線傾斜角的正弦值為，D正確；
故選：ACD
11. 如圖，在棱長為6的正方體中，，分別為棱，的中點，為線段上的一個動點，則下列說法正確的是（ ）
A. 三棱錐體積為定值
B. 存在點，使平面平面
C. 設直線與平面所成角為，則最小值為
D. 平面截正方體所得截面的面積為
【答案】ACD
【解析】
【分析】選項A：由等體積變換可得，可判斷；
選項B：建立空間直角坐標系，設，根據空間向量由面面平行可得，可判斷；
選項C：根據空間向量法表示線面角，可得，進而可得；
選項D：先做出平面截正方體所得截面，根據線面關系可得截面的面積.
【詳解】選項A：，故A正確；
選項B：
如圖建立空間直角坐標系，
則，
，
設平面的法向量為，
則，令，則，則，
，設，故，
則,
由，得，不合題意，故B錯誤；
選項C：平面的法向量為，
則，
，
當時，取最小值為，故C正確；
選項D：
如圖，直線分別交的延長線于點，
連接交于，連接交于，連接，
由題意可知五邊形即為平面截正方體所得截面，
因，分別為棱，的中點，，，
，得，
由正方體性質可知，，
故所求截面面積為，
由選項可知，，，
故，，
故，，
，
故所求截面面積為，故D正確，
故選：ACD
【點睛】關鍵點點睛：D選項的關鍵是先根據空間點線面的關系做出截面，進而由線面關系可求面積.
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 若點P是圓上動點，則點P到直線的距離最大值為_________．
【答案】
【解析】
【分析】根據圓心到直線距離求圓上點到直線距離的最大值即可.
【詳解】由題意，圓心坐標且半徑，圓心到直線的距離，
則直線與圓相交，顯然點P到直線距離.
故答案為：
13. 已知等差數(shù)列中，前項和為，這項中偶數(shù)項之和為，且，則數(shù)列的通項公式______.
【答案】
【解析】
【分析】利用等差數(shù)列前項和公式及等差數(shù)列性質條件可轉化為，，解方程求，再結合等差數(shù)列通項公式求，由此可求通項公式.
【詳解】設等差數(shù)列的公差為，
因為等差數(shù)列中，前項和為，
所以，故，
因為等差數(shù)列中前項中的偶數(shù)項之和為，
所以，故，
所以，解得，
所以，又，
所以，，
所以，，
所以
所以數(shù)列的通項公式為.
故答案為：.
14. 已知橢圓的左右焦點分別為，O為坐標原點．直線與橢圓相交于M，N兩點，滿足，則點M坐標為_________．
【答案】
【解析】
【分析】運用橢圓定義，結合余弦定理求解即可.
【詳解】由，則，則，
又，所以，則點N為下頂點．
由余弦定理，
所以
所以，則，所以橢圓方程為，則點，
又，所以．
故答案為：.
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
15. 已知數(shù)列的前n項和為，且數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）若數(shù)列滿足為數(shù)列前n項和，求．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）利用數(shù)列的通項和前n項和的關系求解；
（2）由，利用裂項相消法求解.
【小問1詳解】
解：由題知，則，
所以．
當，
又也符合，所以．
【小問2詳解】
，
所以，
.
16. 已知函數(shù)．
（1）當時，求曲線在點處的切線方程；
（2）討論的單調性；
（3）若在區(qū)間上存在極值，且此極值小于，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）
（2）答案見解析 （3）
【解析】
【分析】（1）先確定切點坐標，再根據導數(shù)的幾何意義求切線斜率，依據點斜式可得切線方程.
（2）求導，對的不同取值進行討論，可得函數(shù)的單調區(qū)間.要注意：函數(shù)的定義域.
（3）利用（2）的結論，可求問題（3）.
【小問1詳解】
當時，，.
又，所以.
所以切點坐標為，切線斜率為1，
所以切線方程為即.
【小問2詳解】
因為，
當時，恒成立，函數(shù)在區(qū)間單調遞增．
當時，令，解得，
在區(qū)間，，函數(shù)單調遞減，
在區(qū)間，，函數(shù)單調遞增.
綜上可知：當時，函數(shù)在區(qū)間單調遞增；
當時，函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增.
【小問3詳解】
由（2）知，當時，函數(shù)無極值，
當時，函數(shù)在取得極小值，
所以，解得，所以．
所以實數(shù)的取值范圍為：
17. 已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列且公比大于，，，，
（1）求和的通項公式；
（2）設，記數(shù)列的前項和為，求.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）設數(shù)列公差為，數(shù)列公比為，利用等差數(shù)列通項公式和等比數(shù)列通項公式將條件轉化為的方程，解方程求，再利用等差數(shù)列通項公式，等比數(shù)列通項公式求結論；
（2）由（1）可得，分別在為偶數(shù)和奇數(shù)條件下，利用分組求和法，裂項相消法及等比數(shù)列求和公式求結論.
【小問1詳解】
設數(shù)列公差為，數(shù)列公比為，
由，得解得．
所以．
由于，即，又，，
所以，解得或（舍去）
所以；
【小問2詳解】
由（1）得：
所以
所以
所以
當為偶數(shù)時：
當為奇數(shù)時：
.
18. 如圖，在等腰梯形中，，，，，把三角形沿著翻折，得到如右圖所示的四棱錐，記二面角的平面角為.
（1）當時，求證：平面；
（2）當時，
（i）求點到底面的距離；
（ii）設是側棱上一動點，是否存在點，使得的余弦值為，若存在，求的值.
【答案】（1）證明見解析
（2）（i）；（ii）存在，
【解析】
【分析】（1）翻折后由，，確定，得到平面，再結合勾股定理得到，即可求證；
（2）（i）過點作，垂足為，確定平面，即可求解；
（ii）建系，求得平面的法向量，通過向量夾角公式即可求解.
【小問1詳解】
因為翻折前，所以翻折后，，
由二面角的定義可知，二面角的平面角，
當時，，即，
又，且，平面，
平面，
平面，，
又在三角形中，易知，，，
滿足：，由勾股定理可知，，
，且，平面，
平面.
【小問2詳解】
當時，
（i）由（1）知，，，平面，
平面，又平面，
平面平面，
在平面內，過點作，垂足為，
又平面平面，故平面，
即為點到平面的距離，
在中，，，故.
（ii）由（i）知，如圖建立空間直角坐標系，
故，，，，設，
設，即，即，
設平面法向量為，
，，
，即，
令，得，，即，
設平面的法向量，
，，
，即，
令，得，，即，
的余弦值為，
，
解得，即.
19. 已知橢圓左，右焦點分別為，，離心率為，經過點且傾斜角為的直線與橢圓交于，兩點（其中點在軸上方），的周長為.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）如圖，將平面沿軸折疊，使軸正半軸和軸所確定的半平面（平面）與軸負半軸和軸所確定的半平面（平面）互相垂直.
①若，求三棱錐的體積；
②是否存在，使得折疊后的周長為與折疊前的周長之比為？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.
【答案】（1）
（2）①；②存在，
【解析】
【分析】（1）由條件結合離心率的定義，橢圓的定義列關于的方程，解方程求，再根據關系求，由此可得橢圓方程；
（2）①由已知可得直線方程為，聯(lián)立方程組求出的坐標，再求三棱錐的底面面積和高，結合錐體體積公式求結論；
②假設存在滿足條件，設在新圖形中對應點記為，由假設可得，
設直線方程為，設折疊前，，聯(lián)立方程組求的縱坐標關系，結合兩點距離公式可轉化為，代入化簡求結論.
【小問1詳解】
由橢圓的定義知，，
所以的周長，所以，
又橢圓離心率為，所以，所以，，
所以橢圓的標準方程為
【小問2詳解】
①由（1）知，點，傾斜角為，
故直線方程為，
聯(lián)立，化簡可得，
所以，
解得或
則，，，，
所以的面積為，
因為平面平面，平面平面，
過作，則平面，
所以平面，故三棱錐的高為，
三棱錐的體積為；
②假設存在，使得折疊后的周長為與折疊前周長之比為，
設在新圖形中對應點記為，
因為折疊前的周長，
所以折疊后的周長為：，
而，，故，
設折疊前，，直線方程為，
聯(lián)立，得，
，
在折疊后的圖形中建立如圖所示的空間直角坐標系
（原軸仍然為軸，原軸正半軸為軸，原軸負半軸為軸）；
則，，
，，
，
即，
，
由可得，
，
，
，
，解得，
檢驗：，
故成立，故存在滿足題意.
此時由得，.
【點睛】關鍵點點睛：本題第二小問中②的解決的關鍵在于根據翻折前后的數(shù)量關系，將條件折疊后的周長為與折疊前的周長之比為，轉化為.

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