【素養(yǎng)目標(biāo)】
會(huì)用代入消元法求稍復(fù)雜的二元一次方程組的解，進(jìn)一步體會(huì)“消元”思想.
【教學(xué)重點(diǎn)】用代入消元法解稍復(fù)雜的二元一次方程組.
【教學(xué)難點(diǎn)】方程組中未知數(shù)的系數(shù)都不為1(或－1)時(shí)，如何用一個(gè)未知數(shù)表示另一個(gè)未知數(shù)從而實(shí)現(xiàn)代入消元的靈活運(yùn)用.
【教學(xué)過程】
活動(dòng)一：舊知回顧，新課導(dǎo)入
[設(shè)計(jì)意圖]
通過回憶上節(jié)課所學(xué)，引出稍復(fù)雜的二元一次方程組的形式，為新課進(jìn)行鋪墊.
(1)什么是二元一次方程組？
方程組中含有兩個(gè)未知數(shù)，且含有未知數(shù)的式子都是整式，含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1，一共有兩個(gè)方程，像這樣的方程組叫作二元一次方程組.
(2)①y＝3x，2x－y＝9，②x＋5y＝8，2x－y＝5，③2x＋7y＝11，3x－4y＝6是二元一次方程組嗎？①②和③有什么不同？
都是二元一次方程組.①②的兩個(gè)方程中有一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)為1或－1，③的兩個(gè)方程中未知數(shù)的系數(shù)都不為1或－1.
(3)如何用代入法解方程組①②？試著做一做.
解方程組①，得x＝－9，y＝－27.解方程組②，得x＝3，y＝1.
像③這樣的方程組也可以用代入法求解嗎？這就是我們這節(jié)課將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容.
[教學(xué)建議]教師提問，學(xué)生代表進(jìn)行回答，重點(diǎn)在于引導(dǎo)學(xué)生觀察方程組中未知數(shù)的系數(shù)特征.也可在進(jìn)入正課之前給學(xué)生時(shí)間自行嘗試仿照上節(jié)課的代入法解一解，有助于體會(huì)方程形式上的特點(diǎn)，并對(duì)于解題難度上的區(qū)別有一個(gè)初步認(rèn)知.
活動(dòng)二：交流合作，探究新知
[設(shè)計(jì)意圖]
通過例題逐步設(shè)問，引導(dǎo)學(xué)生利用代入法解稍復(fù)雜的二元一次方程組.
探究點(diǎn)1 用代入法解稍復(fù)雜的二元一次方程組
例1 (教材P93例3)用代入法解方程組2x－5y＝－11，①9x＋7y＝39. ②
問題1 類比上節(jié)課所學(xué)，用代入法求解這種未知數(shù)的系數(shù)都不為1或－1的二元一次方程組時(shí)，第一步應(yīng)做些什么？
應(yīng)對(duì)某個(gè)方程進(jìn)行變形，把一個(gè)未知數(shù)用含另一個(gè)未知數(shù)的式子表示出來(lái)，并注意將被表示的未知數(shù)的系數(shù)化為1.
問題2 對(duì)于這個(gè)方程組，選擇表示出哪個(gè)方程中的哪個(gè)未知數(shù)會(huì)使計(jì)算更簡(jiǎn)便？為什么？
由于方程①中的x的系數(shù)的絕對(duì)值最小，所以在方程①中用含y的式子表示x會(huì)使計(jì)算更簡(jiǎn)便.
問題3 根據(jù)你在問題2中的結(jié)論，寫出解答過程.
解：由①，得x＝52y－112.③
(1)變形
把③代入②，得9(52y－112)＋7y＝39.
(2)代入
解這個(gè)方程，得y＝3.(3)求解
把y＝3代入③，得x＝2.(4)回代
所以這個(gè)方程組的解是x＝2，y＝3.
(5)寫解
問題4 解這個(gè)方程組時(shí)，可以先消去y嗎？試試看.
可以.
解：由①，得y＝25x＋115.③
把③代入②，得9x＋7(25x＋115)＝39.
解這個(gè)方程，得x＝2.
把x＝2代入③，得y＝3.
所以這個(gè)方程組的解是x＝2，y＝3.
[對(duì)應(yīng)訓(xùn)練]
教材P95練習(xí)第1題.
[教學(xué)建議]這部分采用上節(jié)課的教學(xué)模式，將例題分解成多個(gè)小問，學(xué)生分組討論，合作完成解答，感悟探究過程中所蘊(yùn)含的化歸思想，教師適時(shí)予以提示或指導(dǎo).由于本節(jié)課涉及的方程組的系數(shù)較為復(fù)雜，學(xué)生在解答完畢后可將解代回進(jìn)行檢驗(yàn).教師也可對(duì)學(xué)生提問不同的變形方式會(huì)不會(huì)改變方程的解，鼓勵(lì)學(xué)生用不同的方式去解方程，并讓學(xué)生從中自行感悟緣由.
[設(shè)計(jì)意圖]
通過運(yùn)用代入法解決實(shí)際問題，提高解方程組的能力和應(yīng)用意識(shí).
探究點(diǎn)2 代入法解二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用
例2 (教材P94例4)快遞員把貨物送到客戶手中稱為送件，幫客戶寄出貨物稱為攬件.某快遞員星期一的送件數(shù)和攬件數(shù)分別為120件和45件，報(bào)酬為270元；他星期二的送件數(shù)和攬件數(shù)分別為90件和25件，報(bào)酬為185元.如果這名快遞員每送一件和每攬一件貨物的報(bào)酬分別相同，他每送一件和每攬一件的報(bào)酬各是多少元？
問題1 寫出題中所包含的相等關(guān)系.
相等關(guān)系1：送120件的報(bào)酬＋攬45件的報(bào)酬＝270元；
相等關(guān)系2：送90件的報(bào)酬＋攬25件的報(bào)酬＝185元.
問題2 設(shè)這名快遞員每送一件的報(bào)酬是x元，每攬一件的報(bào)酬是y元，請(qǐng)用含x，y的式子表示你在問題1中得到的相等關(guān)系.
120x＋45y＝270，90x＋25y＝185.
問題3 請(qǐng)根據(jù)你在問題2中的設(shè)元，及本節(jié)課學(xué)過的用代入法解稍復(fù)雜的二元一次方程組，完成本題的解答.
解：根據(jù)問題2中的設(shè)元，列得方程組120x＋45y＝270，①90x＋25y＝185. ②
由①，得x＝94－38y.③
把③代入②，得90(94－38y)＋25y＝185.
解這個(gè)方程，得y＝2.
把y＝2代入③，得x＝1.5.所以這個(gè)方程組的解是x＝1.5，y＝2.
答：這名快遞員每送一件的報(bào)酬是1.5元，每攬一件的報(bào)酬是2元.
[對(duì)應(yīng)訓(xùn)練]
教材P95練習(xí)第2題.
[教學(xué)建議]教師引導(dǎo)學(xué)生分析題中的兩個(gè)相等關(guān)系，從而列出方程組，并獨(dú)立完成解答過程.教師可引導(dǎo)學(xué)生對(duì)用代入法解二元一次方程組的實(shí)際問題的一般步驟進(jìn)行總結(jié)：①審題，找出題中的相等關(guān)系；②設(shè)元，設(shè)出兩個(gè)未知數(shù)；③列式，根據(jù)兩個(gè)相等關(guān)系列出二元一次方程組；④求解，解方程組；⑤檢驗(yàn)：有些情況下要檢驗(yàn)方程組的解是否符合實(shí)際意義；⑥作答：最后要寫出實(shí)際問題的答案.
活動(dòng)三：變式訓(xùn)練，鞏固提升
[設(shè)計(jì)意圖]
考查構(gòu)造稍復(fù)雜的二元一次方程組并進(jìn)行計(jì)算，強(qiáng)化本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容.例3 對(duì)于實(shí)數(shù)x，y，定義新運(yùn)算x*y＝ax＋by＋1，其中a，b為常數(shù)，等式右邊為通常的加法和乘法運(yùn)算.若3*5＝15，4*7＝28，求5*9的值.
解：根據(jù)題意得3a＋5b＋1＝15，4a＋7b＋1＝28，
即3a＋5b＝14，4a＋7b＝27.
解這個(gè)方程組，得a＝－37，b＝25.
所以5*9＝5×(－37)＋9×25＋1＝41.
[對(duì)應(yīng)訓(xùn)練]
若|3a＋2b＋7|＋（5a－3b＋1）2＝0，求a，b的值.
解：根據(jù)題意，得3a＋2b＋7＝0，5a－3b＋1＝0，
解這個(gè)方程組，得a＝－2319，b＝－3219.
所以a的值為－2319，b的值為－3219.
[教學(xué)建議]解決此類求值問題，通常是根據(jù)式子中隱含的相等關(guān)系構(gòu)造二元一次方程組，然后解方程組得到未知數(shù)的值，再代入所要求的式子中求值.形式多樣，包括但不限于例題中的新定義運(yùn)算與對(duì)應(yīng)訓(xùn)練中的利用非負(fù)性列方程組.
活動(dòng)四：隨堂訓(xùn)練，課堂總結(jié)
[課堂總結(jié)]師生一起回顧本節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容，并請(qǐng)學(xué)生回答以下問題：
1.你能用代入法解稍復(fù)雜的二元一次方程組嗎？如何變形方程能使計(jì)算更簡(jiǎn)便？舉例說(shuō)明.
2.你能用代入法解決與二元一次方程組有關(guān)的實(shí)際問題嗎？
【作業(yè)布置】
1.教材P99習(xí)題10.2第1，2(3)(4)，11題.

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初中數(shù)學(xué)人教版（2024）七年級(jí)下冊(cè)（2024）電子課本 新教材

10.2.1 代入消元法

版本： 人教版（2024）

年級(jí)： 七年級(jí)下冊(cè)（2024）

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