【素養(yǎng)目標(biāo)】
1.會(huì)用加減消元法求稍復(fù)雜的二元一次方程組的解，進(jìn)一步體會(huì)“消元”思想.
2.能運(yùn)用合適的方法解二元一次方程組，體驗(yàn)先觀察，再選擇合適的方法是做數(shù)學(xué)題的重要技巧.
【教學(xué)重點(diǎn)】用加減消元法解稍復(fù)雜的二元一次方程組.
【教學(xué)難點(diǎn)】方程組中未知數(shù)的系數(shù)既不相等，也不互為相反數(shù)時(shí)，如何運(yùn)用等式的性質(zhì)對(duì)方程進(jìn)行適當(dāng)變形，從而實(shí)現(xiàn)加減消元的靈活運(yùn)用.
【教學(xué)過程】
活動(dòng)一：懸疑設(shè)置，新課導(dǎo)入
[設(shè)計(jì)意圖]
引出稍復(fù)雜的二元一次方程組的形式，為新課中學(xué)習(xí)用加減法求解進(jìn)行鋪墊.
(1)觀察方程：
①x＋6y＝0，2x－6y＝9；②3x＋5y＝7，3x－4y＝－11；③2x＋7y＝10，4x－5y＝6.
①②和③有什么不同？
①②的兩個(gè)方程中都有一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相等或互為相反數(shù)，③的兩個(gè)方程中未知數(shù)的系數(shù)不具備這種特征.
(2)如何用加減法解方程組①②？試著做一做.
解方程組①，得x＝3，y＝－12.解方程組②，得x＝－1，y＝2.
像③這樣的方程組也可以用加減法求解嗎？這就是我們這節(jié)課將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容.
[教學(xué)建議]與學(xué)習(xí)用代入法求解稍復(fù)雜的二元一次方程組時(shí)類似，以設(shè)問的方法導(dǎo)入新課，教師提問，學(xué)生代表進(jìn)行回答，重點(diǎn)在于引導(dǎo)學(xué)生觀察方程組中未知數(shù)的系數(shù)特征.
活動(dòng)二：交流合作，探究新知
[設(shè)計(jì)意圖]
通過例題逐步設(shè)問，引導(dǎo)學(xué)生利用加減法解稍復(fù)雜的二元一次方程組.
探究點(diǎn)1 用加減法解稍復(fù)雜的二元一次方程組
例1 (教材P96例6)用加減法解方程組3x－2y＝4，①7x＋4y＝18.②
問題1 觀察方程組兩個(gè)方程中未知數(shù)的系數(shù)，這個(gè)方程組能否直接加減消元？
這兩個(gè)方程中沒有同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相等或互為相反數(shù)，直接加減這兩個(gè)方程不能消元.
問題2 怎樣對(duì)方程①②變形，才能使得這兩個(gè)方程中某個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相等或互為相反數(shù)，從而用加減法求解呢？
觀察這兩個(gè)方程中未知數(shù)y的系數(shù)之間的關(guān)系，將①×2可以使兩個(gè)方程中y的系數(shù)互為相反數(shù).
問題3 根據(jù)你在問題2中的結(jié)論，寫出解答過程.
解：①×2，得6x－4y＝8.③(1)變形
②＋③，得13x＝26，(2)加減
x＝2.(3)求解
把x＝2代入①，得3×2－2y＝4，y＝1.(4)回代
所以這個(gè)方程組的解是x＝2，y＝1.
(5)寫解
問題4 如果用加減法消去x，應(yīng)該怎樣解？解得的結(jié)果一樣嗎？與消去y相比，哪個(gè)計(jì)算更簡便？
如果用加減法消去x，需要對(duì)兩個(gè)方程都進(jìn)行變形，使兩個(gè)方程中x的系數(shù)相等，可以①×7，②×3.
解：①×7，得21x－14y＝28.③
②×3，得21x＋12y＝54.④(1)變形
④－③，得26y＝26，(2)加減
y＝1.(3)求解
把y＝1代入①，得3x－2×1＝4，x＝2.(4)回代
所以這個(gè)方程組的解是x＝2，y＝1.
(5)寫解
解得的結(jié)果一樣.用加減法消去y比用加減法消去x計(jì)算更簡便.
歸納總結(jié)：解方程組時(shí)，先消去哪個(gè)未知數(shù)都可以，結(jié)果是確定的，不會(huì)因?yàn)橄认ツ膫€(gè)未知數(shù)而產(chǎn)生變化.一般地，先消去哪個(gè)未知數(shù)簡便就先消去哪個(gè).
[對(duì)應(yīng)訓(xùn)練]
教材P98練習(xí)第1題.
[教學(xué)建議]這部分采用上節(jié)課的教學(xué)模式，將例題分解成多個(gè)小問，學(xué)生分組討論，合作完成解答，感悟探究過程中所蘊(yùn)含的化歸思想，教師適時(shí)予以提示或指導(dǎo)，要使學(xué)生理解加減消元的本質(zhì)是利用等式的性質(zhì)，將未知數(shù)的系數(shù)化為相等或互為相反數(shù)，從而將方程組演變?yōu)樯瞎?jié)課所學(xué)的形式.通過整個(gè)探究過程，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律：消去哪個(gè)未知數(shù)，就找尋兩個(gè)方程中該未知數(shù)系數(shù)的最小公倍數(shù).
[設(shè)計(jì)意圖]
通過運(yùn)用加減法解決實(shí)際問題，強(qiáng)化解方程組的技巧和應(yīng)用意識(shí).
探究點(diǎn)2 加減法解二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用
例2 (教材P97例7)我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了這樣一道題：
今有牛五、羊二，直金十兩；牛二、羊五，直金八兩.問牛、羊各直金幾何？
意思是：假設(shè)5頭牛、2只羊，共值金10兩；2頭牛、5只羊，共值金8兩.那么每頭牛、每只羊分別值金多少兩？你能解答這個(gè)問題嗎？
問題1 寫出題中所包含的相等關(guān)系.
相等關(guān)系1：5頭牛的價(jià)格＋2只羊的價(jià)格＝10兩金；
相等關(guān)系2：2頭牛的價(jià)格＋5只羊的價(jià)格＝8兩金.
問題2 設(shè)每頭牛值金x兩，每只羊值金y兩，請(qǐng)用含x，y的式子表示你在問題1中得到的相等關(guān)系.
5x＋2y＝10，2x＋5y＝8.
問題3 請(qǐng)根據(jù)你在問題2中的設(shè)元，及本節(jié)課學(xué)過的用加減法解稍復(fù)雜的二元一次方程組，完成本題的解答.
解：根據(jù)問題2中的設(shè)元，列得方程組5x＋2y＝10，①2x＋5y＝8. ②
①×2，得10x＋4y＝20.③
②×5，得10x＋25y＝40.④
④－③，得21y＝20，y＝2021.
把y＝2021代入①，得x＝3421.
所以這個(gè)方程組的解是x＝3421，y＝2021.
答：每頭牛和每只羊分別值金3421兩和2021兩.
[對(duì)應(yīng)訓(xùn)練]
教材P98練習(xí)第2題.
[教學(xué)建議]教師引導(dǎo)學(xué)生分析題中的兩個(gè)相等關(guān)系，從而列出方程組，并獨(dú)立完成解答過程.注意提醒學(xué)生，在用加減消元法解方程組時(shí)，通常要先將得到的二元一次方程組整理成ax＋by＝m，cx＋dy＝n的形式，再求解.在關(guān)于例題的教學(xué)中，也可讓學(xué)生上臺(tái)板演，自己嘗試用加減法消去y，并計(jì)算出結(jié)果，看是否一致.
活動(dòng)三：交流新知，靈活運(yùn)用
[設(shè)計(jì)意圖]
強(qiáng)化學(xué)生對(duì)二元一次方程組解法的認(rèn)識(shí)，能夠選擇合適的方法解方程組.(教材P98思考)(1)怎樣解下面的方程組？
問題1 觀察上面的兩個(gè)方程組，你分別選擇用什么方法求解？為什么？
方程組Ⅰ中方程①中y的系數(shù)是1，選擇用代入法；方程組Ⅱ中y的系數(shù)互為相反數(shù)，選擇用加減法.
問題2 方程組Ⅰ能直接用加減法求解嗎？若不能，要如何變形才能使用加減法？
不能.如果要消去x，可以②×5－①×2；如果要消去y，可以①×3－②×5.
問題3 求出方程組的解.
解：(Ⅰ)由①，得y＝1.5－2x.③
把③代入②，得0.8x＋0.6(1.5－2x)＝1.3，－0.4x＝0.4，x＝－1.
把x＝－1代入③，得y＝3.5.
所以這個(gè)方程組的解是x＝－1，y＝3.5.
(Ⅱ)①＋②，得4x＝8，x＝2.
把x＝2代入①，得2＋2y＝3，y＝0.5.
所以這個(gè)方程組的解是x＝2，y＝0.5.
(2)選擇你認(rèn)為簡便的方法解習(xí)題10.1的第4題(“雞兔同籠”問題).
解：設(shè)籠中有雞x只，兔子y只.根據(jù)題意，得x＋y＝35，2x＋4y＝94.①②
①×2，得2x＋2y＝70.③
②－③，得2y＝24，y＝12.
把y＝12代入①，得x＋12＝35，x＝23.
所以這個(gè)方程組的解是x＝23，y＝12.
答：籠中有雞23只，兔子12只.
[對(duì)應(yīng)訓(xùn)練]
1.用合適的方法解下列方程組：
(1)3x－y＝2，6x－3y＝5；①② (2)2x－5y＝－21，4x＋3y＝23.①②
解：(1)由①，得y＝3x－2.③
把③代入②，得6x－3(3x－2)＝5，x＝13.
把x＝13代入③，得y＝－1.所以這個(gè)方程組的解是x＝13，y＝－1.
(2)①×2，得4x－10y＝－42.③
②－③，得13y＝65，y＝5.
把y＝5代入②，得4x＋15＝23，x＝2.
所以這個(gè)方程組的解是x＝2，y＝5.
2.某商場(chǎng)第一次用10 000元購進(jìn)甲、乙兩種商品共180件，其中甲種商品每件進(jìn)價(jià)60元，乙種商品每件進(jìn)價(jià)50元.該商場(chǎng)購進(jìn)甲、乙兩種商品各多少件？
解：設(shè)該商場(chǎng)購進(jìn)甲種商品x件，乙種商品y件.
根據(jù)題意，得x＋y＝180，60x＋50y＝10 000.
解這個(gè)方程組，得x＝100，y＝80.
答：該商場(chǎng)購進(jìn)甲種商品100件，乙種商品80件.
[教學(xué)建議]學(xué)生獨(dú)立思考作答，教師統(tǒng)一答案.加減法和代入法都是通過消元解方程組，對(duì)一個(gè)方程組用哪種方法解都可以，但是不同的解法在難度上會(huì)有差異，應(yīng)根據(jù)方程組的具體情況，選擇適合它的解法.當(dāng)方程組中任意一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)的絕對(duì)值不是1，且相同未知數(shù)的系數(shù)不成整數(shù)倍關(guān)系時(shí)，一般經(jīng)過變形，利用加減法會(huì)使過程更簡便.
活動(dòng)四：隨堂訓(xùn)練，課堂總結(jié)
[課堂總結(jié)]師生一起回顧本節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容，并請(qǐng)學(xué)生回答以下問題：
1.你能用加減法解稍復(fù)雜的二元一次方程組嗎？你能用加減法解決與二元一次方程組有關(guān)的實(shí)際問題嗎？
2.對(duì)于一個(gè)二元一次方程組，你能選擇最適合它的解法嗎？
【作業(yè)布置】
1.教材P99習(xí)題10.2第3(3)(4)，6，7，10，12題.

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10.2.2 加減消元法

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