【素養(yǎng)目標】
1.能夠找出實際問題中的已知數(shù)和未知數(shù)，分析它們之間的數(shù)量關(guān)系，列出方程組.
2.學會比較估算與精確計算以及檢驗方程組的解是否符合題意并正確作答.
3.在用二元一次方程組解決實際問題的過程中，培養(yǎng)應用數(shù)學的意識，體驗數(shù)學的實用性，提高學習數(shù)學的興趣.
【教學重點】以方程組為工具，分析、解決含有多個未知數(shù)的實際問題.
【教學難點】確定解題策略，比較估算與精確計算.
【教學過程】
活動一：舊知回顧，新課導入
[設(shè)計意圖]
復習二元一次方程組的解法及列一元一次方程解應用題的步驟，引入本節(jié)課內(nèi)容.
結(jié)合之前所學的知識，回答下面的問題.
(1)解二元一次方程組的基本思想是什么？常見方法有哪些？
解二元一次方程組的基本思想是消元，常見方法有代入消元法和加減消元法.
(2)列一元一次方程解應用題的一般步驟是什么？
一般步驟是審、設(shè)、列、解、驗、答.即(1)審清題意，找出已知量和未知量；(2)設(shè)未知數(shù)，并用含未知數(shù)的式子表示出相關(guān)的量；(3)根據(jù)題中的相等關(guān)系列出方程；(4)解方程；(5)檢驗所得結(jié)果是否滿足所設(shè)方程且具有實際意義；(6)根據(jù)提問作答.
前面我們結(jié)合實際問題，討論了用方程組表示問題中的條件以及如何解方程組.本節(jié)課我們繼續(xù)探究如何用方程組解決實際問題.
[教學建議]教師可讓學生結(jié)合教材P94例4和P97例7，初步探究列二元一次方程組解應用題與列一元一次方程解應用題的共性問題.
活動二：問題引入，自主探究
[設(shè)計意圖]
以教材探究題為例，探討用二元一次方程組解決實際問題的一般步驟和方法，引入和差倍分問題.
探究點 和差倍分問題
例1 (教材P101探究1)養(yǎng)牛場原有30頭大牛和15頭小牛，1天約用飼料675 kg；一周后又購進12頭大牛和5頭小牛，這時1天約用飼料940 kg.飼養(yǎng)員李大叔估計每頭大牛1天需飼料18～20 kg，每頭小牛1天需飼料7～8 kg.你能通過計算檢驗他的估計嗎？
我們分步來解決這個問題：
問題1 怎樣判斷李大叔的估計是否正確？
根據(jù)題中給出的數(shù)量關(guān)系求出每頭大牛和每頭小牛1天各約需飼料用量，再來判斷李大叔的估計是否正確.
問題2 寫出題中的已知量和未知量.
已知量：購進前后大牛和小牛的數(shù)量，購進前后每天飼料的用量.
未知量：大牛1天飼料的消耗量和小牛1天飼料的消耗量.
問題3 設(shè)每頭大牛和每頭小牛1天各約用飼料x kg和y kg.寫出題中的相等關(guān)系并用含未知數(shù)的等式表示.
問題4 請將下面的解答過程補充完整.
設(shè)每頭大牛和每頭小牛1天各約用飼料x kg和y kg.
根據(jù)兩種情況的飼料用量，找出相等關(guān)系，列得方程組 解這個方程組，得這就是說，每頭大牛1天約需飼料20 kg，每頭小牛1天約需飼料5 kg.
問題5 飼養(yǎng)員李大叔的估計正確嗎？
根據(jù)問題4的結(jié)果可知，飼養(yǎng)員李大叔對大牛的食量估計較準確，對小牛的食量估計偏高.
歸納總結(jié)：列二元一次方程組解應用題的一般步驟：
審審題，分析題中已知什么、求什么，明確各數(shù)量之間的關(guān)系
設(shè)設(shè)未知數(shù)(分直接設(shè)元和間接設(shè)元)，用含未知數(shù)的式子表示出相關(guān)量
列根據(jù)相等關(guān)系列出兩個方程，組成方程組
解解方程組，求出未知數(shù)的值
驗檢驗所求未知數(shù)的值是否滿足題意和實際意義
答根據(jù)問題作答(包括單位名稱)
和差倍分問題中常見的相等關(guān)系：
較大量＝較小量＋多余量；總量＝一份的量×倍數(shù)；各分量相加＝總量.
[對應訓練]
教材P101練習第1，2，3題.
[教學建議]學生可以先獨立分析問題中的數(shù)量關(guān)系，列出方程組，得出問題的解答，再與同學交流，教師注意規(guī)范解題過程.對于學生列出的其他正確方程，如12x＋5y＝265，教師可讓學生介紹自己的想法并予以肯定，指出列方程組時應盡量使用原題中的數(shù)據(jù)，如265應寫成940－675；對于同一問題的不同解法，結(jié)果應一致，若不一致，則需仔細檢查過程是否有紕漏.
活動三：知識延伸，舉一反三
[設(shè)計意圖]
引導學生用二元一次方程組解決配套問題.例2 某瓷器廠共有120名工人，每名工人一天能生產(chǎn)200只茶杯或50只茶壺，8只茶杯和1只茶壺為一套.要使每天生產(chǎn)的茶杯和茶壺配套，應如何安排生產(chǎn)？
問題1 寫出題中的已知量和未知量.
已知量：工人總數(shù)，每名工人一天能生產(chǎn)茶杯或茶壺的數(shù)量，組成一套茶具所需茶杯和茶壺的數(shù)量.
未知量：生產(chǎn)茶杯的工人數(shù)量，生產(chǎn)茶壺的工人數(shù)量.(1)審
問題2 應如何設(shè)元？
設(shè)安排x名工人生產(chǎn)茶杯，y名工人生產(chǎn)茶壺.(2)設(shè)
問題3 找出題中的相等關(guān)系并用含未知數(shù)的等式表示.
①生產(chǎn)茶杯的工人數(shù)量＋生產(chǎn)茶壺的工人數(shù)量＝120；x＋y＝120
②茶杯的數(shù)量∶茶壺的數(shù)量＝8∶1.200x∶50y＝8∶1
(可變形為200x＝8×50y)(3)列
問題4 寫出完整的解題過程.
解：設(shè)安排x名工人生產(chǎn)茶杯，y名工人生產(chǎn)茶壺.
根據(jù)工人總數(shù)，茶杯、茶壺的生產(chǎn)量與配比的數(shù)量關(guān)系，列方程組x＋y＝120，200x＝8×50y.解這個方程組，得x＝80，y＝40.(4)解(5)驗
答：要使每天生產(chǎn)的茶杯和茶壺配套，應安排80名工人生產(chǎn)茶杯，40名工人生產(chǎn)茶壺.(6)答
歸納總結(jié)：配套問題中常見的相等關(guān)系：
數(shù)量較少量×相應倍數(shù)＝數(shù)量較多量；
總量各部分之間的比例＝每一套各部分之間的比例.
[對應訓練]
某家具廠接到了一筆定制方桌的訂單，下面是兩位木匠師傅的對話.
如何分配木料才能完成這筆訂單？這筆訂單需要方桌多少張？
解：設(shè)用x m3木料做桌面，y m3木料做桌腿.
根據(jù)題意，得x＋y＝5.5，4×50x＝300y＋100.解這個方程組，得x＝3.5，y＝2.
所以50×3.5＝175(張).
答：用3.5 m3木料做桌面、2 m3木料做桌腿即可完成這筆訂單，這筆訂單需要方桌175張.
[教學建議]學生獨立思考作答，解決配套問題的關(guān)鍵就是找出各部件之間的數(shù)量關(guān)系，通過比例的性質(zhì)將比例式轉(zhuǎn)化為等積式.在用二元一次方程組解決實際問題時，審、驗這兩個步驟通常是在草稿紙上進行.
活動四：強化訓練，學以致用
[設(shè)計意圖]
進一步鞏固用二元一次方程組解應用題的思想，強化對列二元一次方程組解應用題的方法和步驟的掌握.例3 為支援抗洪救災工作，甲、乙兩運輸隊接受了運輸20 000箱救災物資的任務，任務要求在15天內(nèi)(包含15天)完成.已知兩隊共有18輛汽車，甲隊每輛車每天能夠運輸120箱救災物資，乙隊每輛車每天能夠運輸100箱救災物資，前4天兩隊一共運輸了8 000箱.4天后，乙隊臨時被調(diào)派去執(zhí)行更為緊急的任務，在規(guī)定的時間內(nèi)甲隊能否單獨完成剩下的運輸任務？
解：設(shè)甲隊有x輛汽車，乙隊有y輛汽車.
結(jié)合汽車輛數(shù)與所運物資的數(shù)量關(guān)系，列方程組x＋y＝18，4（120x＋100y）＝8 000.
解這個方程組，得x＝10，y＝8.
則甲隊完成剩余運輸任務所需時間為(20 000－8 000)÷(120×10)＝10(天).
因為10＋4

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10.3 實際問題與二元一次方程組

版本： 人教版（2024）

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